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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales (lados homólogosson los opuestos a ángulos iguales), es decir:

C C’ b

a

a’

b’ A

A’

B

c

B’

c’

∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’ ( triángulo ABCes semejante al triángulo A’B’C’ ) si y sólo si : i) ∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’ a b c       =    =   ii) a'   b'   c'  Ejemplo: Los triángulos siguientes son semejantes:

B 10 6

En efecto: ∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C= ∠ C’

C

B’

a b c  =    =    =  2 a'   b'   c'

5

3 C’

A

8

A’

4

Postulado: en el triángulo ABC: Si

A' B' // AB , entonces: AB BC AC  =    =   A' B' B' C' A' C'

Ejemplo:

W

En el triángulo GAW, QK  //  GA AK = 4, KW = 8, GQ = 5 Encuentra WQ = 9

K A

Q G


CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CRITERIO ángulo - ángulo (A - A) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes. Esdecir, en los triángulos ABCy DEF: ∠A = ∠D y ∠ B = ∠ E Entonces ∆ABC∼ ∆DEF

C F

D

Ejemplo:

E

A

B

Según la figura, si AB  //  DE , ¿Es ∆ABC∼ ∆DCE? Si AB  //  DE , entonces ∠ D =   ∠ B (Alternos internos entre paralelas) Y

∠ E =   ∠  A  (Alternos internos entre paralelas)

Por lo tanto:

∆ABC∼ ∆DCE A

B

C CRITERIO lado -

ángulo - lado (L .A .L)

Dos triángulos son semejantes si congruentes el ángulo Es decir, en los triángulos ABC y

Si ∠ A = ∠ D y Entonces

AC DF

=

D

E

tienen dos lados proporcionales y comprendido entre ellos. DEF,

AB DE

∆ABC ∼ ∆DEF A D

B

C E

F


Ejemplo: ¿Sonsemejantes los triángulos? Como:

15 12 =       y    ademas       ∠ R =   ∠ B =  35º 10 8

∆CRJ∼ ∆LBQ

Entonces:

8

B

Q

35º 10 L C

15

35º

12

R CRITERIO

J

lado

- lado - lado (L.L.L)

Dostriángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Esdecir, en los triángulos ABC y DEF:

Si

AB DE

=

Entonces

BC EF

=

AC DF

∆ABC ∼ ∆DEF A

B

C D

E

F


Ejemplo: ¿Sonsemejantes los triángulos TMQ y CJX?

T

18

12 Q

Como:

18 12 15 = = 12 8 10

Entonces

∆ABC∼ ∆DEF

15

J

M

10

8 C

X 12


GLOSARIO DE PALABRAS: • Proporcionales: Según una proporción, en una relación justa y equilibrada. En Matemáticas, se dice de las cantidades que están relacionadas de tal manera que, si una aumenta o disminuye, la otra lo hace en la misma medida (directamente proporcionales) o al contrario (inversamente proporcionales).

Homólogos: Que significan lo mismo pero expresado de diferente manera.

Criterio: Norma, regla o pauta para conocer la verdad o la falsedad de una cosa.



Geometría