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U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICA

25

´ Primer examen parcial de Algebra Lineal (25 %) Apellidos y Nombres

Secci´on

Profesor

C´edula

Fecha: 03/12/2004

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE Primera parte. Verdadero o Falso. Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones.

(2 ptos. c.u.)

1. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(AAT ) ≥ 0. 2. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles. 3. Si A y B son matrices de orden m × n, entonces (A + B)T = AT + B T . Segunda parte. Desarrollo. Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente. 1. Demuestre que

(3 ptos. c/u)

a. Si A1 , A2 , . . . , Ak son matrices invertibles, entonces A1 A2 · · · Ak es invertible y su −1 −1 inversa es A−1 k · · · A 2 A1 . b. Existe una u ´nica matriz 0 de orden m × n tal que para toda matriz A de orden m × n se cumple que A + 0 = A. 2. Dada la matriz

  A=  

 1 −1 2 1 1 1 2 1 −1 2   1 −1 0 2 1   0 0 1 0 0  1 3 1 3 2

Halle A−1 , si existe, y adj(A).

(5 ptos.)

1


3. Un departamento Gubernamental de Pesca proporciona tres tipos de alimento a un lago en el que habitan peces de tres especies. Cada pez de la especie 1 consume, por semana, un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume, por semana, un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. El consumo semanal promedio por ejemplar de la especie 3 es de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se vierten en el lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 unidades del alimento 3. Si se supone que toda esta comida se consume, ¿cu´antos ejemplares de cada especie pueden coexistir en el lago? (4 ptos.) 4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x 4x 2x −2x 4x

+ − − − −

3y 3y 3y 6y 9y

− 2z − z + 6w + 4w − 3z − 4w + z + 10w

2

(4 ptos.) = = = = =

−4 10 8 10 22


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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

25

´ Primer Examen Parcial de Algebra Lineal (25 %) Secci´on

Apellidos y Nombres Profesor

C´edula

Fecha: 26/08/2005

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE Primera Parte. Verdadero o Falso. Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones.

(2 ptos. c.u.)

1. Si A y B son dos matrices tales que AB es invertible, entonces A y B son invertibles. 2. Si A es una matriz tal que A−1 = AT , entonces det(A) = ±1. Segunda Parte. Desarrollo. Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente. 1. Demuestre que

(4 ptos. c/u)

a. Si α1 , α2 , . . . , αk son n´ umeros reales y A es una matriz de orden m × n, entonces (α1 + α2 + · · · + αk ) · A = α1 · A + α2 · A + · · · + αk · A. b. Si A es una matriz invertible de orden n, entonces det[adj(A)] = [det(A)] n−1 . 2. Dada la matriz

 2 0 1 −7  6 1 0 4   A=  8 −2 1 0  4 1 0 2

Halle det(A) y A−1 .

(5 ptos.)

3. Una peque˜ na compa˜ n´ıa constructora ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de casa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para canceler´ıa y 5 unidades de madera para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades respectivamente, de concreto, madera para canceler´ıa y madera para estructuras. Si cada mes la compa˜ n´ıa dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de madera para canceler´ıa y 250 unidades de madera para estructuras, calcule el n´ umero de diferentes tipos casas que la compa˜ n´ıa podr´a construir al mes si usa todos los materiales de que dispone. (4 ptos.) 1


4. Un torneo de tenis se puede organizar como sigue. Cada uno de los n participantes juega contra cada uno de los otros, y los resultados se registran en una matriz R = (rij )n×n de esta manera:   1 si el i-´esimo jugador vence al j-´esimo jugador 0 si el i-´esimo jugador pierde ante j-´esimo jugador rij =  0 si i = j Al i-´esimo jugador se le asigna entonces la puntuaci´on Si =

n X

n

rij +

j=1

1X sij 2 j=1

donde sij es la ij-´esima componente de la matriz R2 . a. En un torneo con cuatro participantes,  0  0 R=  1 1

1 0 0 0

0 1 0 1

 0 1   0  0

Clasifique a los jugadores seg´ un sus puntuaciones. b. Interprete el resultado de la puntuaci´on.

2

(3 ptos.) (1 pto.)


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U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

25

´ Primer Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25 %) Apellidos y Nombres

Secci´on

Profesor

C´edula

Fecha: 29/03/2007

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLA JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE 1. Sea A ∈ Mn×n (R) una matriz antisim´etrica. Demuestre que det(AT ) = (−1)n det(A). (2 ptos.) 2. Determine todos los valores de β para los cuales el sistema de ecuaciones lineales  = 3  x+y−z x − y + 3z = 4  x + y + (β 2 − 10)z = β

a) Tenga una u ´ nica soluci´on. En este caso, halle tal soluci´on. b) No tenga soluci´on. c) Tenga infinitas soluciones.

(4 ptos) (1 pto) (1 pto)

3. Sean A1 , A2 , · · · , Ak ∈ Mn×n (R) matrices invertibles. Demuestre que: A1 · A2 · · · Ak −1 −1 es invertible y (A1 · A2 · · · Ak )−1 = A−1 (4 ptos) k · · · A2 · A1 4. Sea A ∈ Mm×n (R). Demuestre que AIn = A = Im A.

(4 ptos)

5. Dada la matriz 

 1 4 3 −2  4 −3 2 0   A= −1 2 1 1  2 8 −1 −1 determinar si es invertible, en caso afirmativo hallar A−1 .

(5 ptos.)

6. Muestre que si A ∈ Mn×n (R) es una matriz sim´etrica, entonces adj(A) tambi´en lo es. (4 ptos)

´ ¡EXITO! 1


Algebra Lineal