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Ă NGULOS Tomado de Hemmerling, (1983), pp.32-47.

Carlos Rojas Suarez


Ángulo

Nomenclatura

Vértice A β

B Lado

C

ABC <ABC <B <β

Definición: un ángulos es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.


Interior y exterior de un ángulo Semiplano

Arista

Semiplano

H1 ∩ l = Ø; H2 ∩ l = Ø; U = H1 U H2 U l H1 U l semiplano cerrado H2 U l

Definición: considérese <ABC situado en el plano U. El interior del ángulo es el conjunto de todos los puntos del plano en el mismo lado de AB que C y en el mismo lado de BC que A.


Medir un ángulo

Nomenclatura

A B

β C

m<ABC = r º <ABC es un ángulo de r grados La medida de <ABC es r grados

Definición: a cada ángulo le corresponde exactamente un numero real r entre 0 y 180. El numero r se llama medida o bien medida en grados del ángulo.


Clases de ángulos A

A

B

<ABC recto m<ABC =90º <ABC agudo m<ABC <90º

C

B A

C

B <ABC obtuso 90º < m<ABC <180º

A

B

<ABC llano m<ABC =180º C

C

Definición: un ángulo es agudo si, y solo si tiene una medida menor que 90º, recto igual a 90º, obtuso mayor de 90º y menor de 180º, de lados colineales (llano), igual a 180º.


Ángulos adyacentes A A

D

D

B C

B <ABD ^ <DBC Adyacentes

Definición: dos ángulos son adyacentes si, y solo si, tienen el mismo vértice, un lado común y los otros dos están contenidos en los semiplanos cerrados opuestos determinados por la recta que contiene el lado común.

C


Ángulos opuestos por el vértice C <AMC ^ <BMD Opuestos por el vértice <AMD ^ <BMC Opuestos por el vértice

A

M

B

D

Definición: los pares de ángulos no adyacentes formados cuando dos rectas se interceptan se denominan opuestos por el vértice.


Congruencia Misma forma y tamaño E

A B

m<ABC = m<EFG <ABC Ξ <EFG <ABC

C

B

F <EFG

G

E mAB = mET

A

T AB

AB Ξ ET

ET

Definición: dos ángulos (o dos segmentos) son congruentes si, y solo si, tiene la misma medida.


Rayo bisector Bisectriz de un ángulo A

D B C

BD es bisectriz de <ABC: • D esta en el interior de <ABC • <ABC Ξ <DCB

Definición: es el rayo cuyo punto extremo es el vértice del ángulo y el cual lo divide en dos ángulos congruentes.


Rectas perpendiculares

BC ⊥ BA

BC ⊥ BA

BC ⊥ BA

BC ⊥ BA

Definición: dos rectas son perpendiculares si, y solo si, se interceptan para formar un ángulo recto.


Distancia de un punto a una recta

M mMT es la distancia de M a AB A

B T

Definici贸n: la distancia de un punto a una recta es la medida del segmento perpendicular del punto la recta.


Ángulos complementarios y ángulos suplementarios M R

P A

B T <ATM ^ <MTB suplementarios

B A <PAR ^ <RAB complementarios

Definición: dos ángulos son complementarios si, y solo si, la suma de sus medidas es 90º. Suplementarios si dicha suma es 180º.


Triángulo A

∆ABC

M

B

Definición: la unión de los tres segmentos AB, BC y CA se llama triangulo si, y solo si, A, B y C son tres puntos no colineales.


Para continuar

Insumos:

1. Lectura de las paginas 88 a 111 del documento GeometrĂ­a Elemental de Hemmerling. 2. Lectura del documento que estĂĄ en fotocopiadora (cod. 272 A) sobre lo que es una demostraciĂłn.


Gracias por su atenci贸n


angulos (tomado Hemmerling 1983) p. 32-47