212
8 Teoría de la estabilidad
8.9 Analice la estabilidad de la solución trivial de x˙ = −y − x3 ,
y˙ = x − y 3 .
8.10 Demuestre que si aij = −aji para i 6= j, y aii < 0, entonces la solución trivial del sistema lineal n X
x˙ i =
aij xj
j=1
es estable, ya que
Pn
i=1
x2i es una función de Liapunov.
8.11 ¿Para qué valores del parámetro α es estable el punto fijo de x˙ = αx − y,
y˙ = αy − z,
z˙ = αz − x?
8.12 Formas definidas. Demuestre que la función U(x, y) = ax2 +bxy +cy 2 es definida positiva si y solo si a > 0 y b2 −4ac < 0. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que sea definida negativa? 8.13 Analice la estabilidad de (0, 0) en 1 x˙ = − x3 + 2xy 2 , 2
y˙ = −y 3 .
8.14 Demuestre mediante una función de Liapunov adecuada que el origen del sistema de ecuaciones x˙ = y − xf (x, y), y˙ = −x − yf (x, y) es asintóticamente estable (inestable) si f (x, y) > 0 (f (x, y) < 0) en un entorno del origen, aunque f (0, 0) se anule. ¿Cuál será la geometría de las trayectorias en las proximidades del punto crítico? 8.15 Considere la información que las funciones de Liapunov 1 U1 = y 2 + (1 − cos x), 2
1 1 U2 = (x + y)2 + x2 + y 2 2 2
dan sobre la estabilidad del origen del sistema x˙ = y,
y˙ = −y − sin x.
¿Cómo podía haberse establecido más fácilmente dicha estabilidad? 8.16 Demuestre que, si r 2 ≡ x2 + y 2, el sistema x x˙ = −y + f (r), r
y y˙ = x + f (r) r
tiene soluciones periódicas correspondientes a las raíces de f (r). ¿Cuál es la dirección de recorrido de las trayectorias cerradas? ¿Cómo se estudiaría su estabilidad? Determine todas las soluciones periódicas del anterior sistema y discuta su estabilidad, cuando f (r) = r(r −2)2 (r 2 −4r +3).