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7 Métodos aproximados
7.4. Métodos perturbativos En muchos problemas de física existe un parámetro pequeño, una perturbación, que hace que el desarrollo natural no sea en potencias de la variable independiente (la posición x o el tiempo t, por ejemplo), sino en términos de aquel parámetro, partiendo como aproximación de orden cero de la que se obtiene al anular el mismo (o darle otro valor particular) y que corresponde a menudo a un caso en que se conoce bien la solución del problema y que, por ello, constituye un buen punto de partida para construir aproximaciones sucesivas. La teoría de perturbaciones es una de las herramientas básicas del físico experimentado, pero, ¡ay!, ¡una vez más!, nos vemos obligados a limitarnos a presentar una introducción que solo pretende despertar el interés por el problema y describir las ideas más elementales5 (casi deberíamos decir triviales). Empezaremos con un ejemplo muy sencillo y luego veremos un caso más realista e interesante.
7.4.1. Perturbación regular Supongamos que queremos hallar las posibles soluciones periódicas del oscilador no lineal x¨ + 2x = sin t + ǫx2 ,
(7.32)
para ǫ pequeño. Cuando ǫ es nulo tenemos un oscilador lineal elemental. E JERCICIO 7.9 Demuestre que la única solución periódica de x¨ + 2x = sin t es x = sin t.
El caso no lineal es bastante más complicado. Buscaremos una solución perturbada de la forma x = sin t + ǫx1 + O(ǫ2 ) (7.33) que satisfaga la ecuación hasta primer orden en ǫ. E JERCICIO 7.10 Compruebe que sustituyendo (7.33) en (7.32) se obtiene 1 − cos 2t ǫ x¨1 + 2x1 = + O(ǫ2 ). 2
(7.34)
Resuelva la ecuación para x1 hallando la única solución periódica. E JERCICIO 7.11 Halle el siguiente orden en el desarrollo perturbativo.
7.4.2. El oscilador de van der Pol Consideremos la siguiente ecuación, que describe una válvula electrónica hoy día en desuso, pero que ocupa un lugar de honor en la historia de las ecuaciones diferenciales no lineales:
x¨ + ǫ x2 − 1 x˙ + x = 0.
(7.35)
Si el parámetro ǫ es positivo, cuando x es muy pequeño el término x2 x˙ es despreciable y tenemos, debido al término −ǫx, ˙ un oscilador antiamortiguado que recibe energía del entorno en vez de 5
El lector interesado en aprender más puede encontrar una breve y accesible introducción en el texto de Strogatz [28] y un tratamiento sistemático en el de Holmes [20].