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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS RELACIÓN 2ª: TEMA 1: FUNCIONES. CURSO: CC.SS.2

1.

PROFESOR: D. JUAN JOSÉ ORTIZ MUÑOZ

x−1 . 2 x−1 a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica f en el punto (0,1). b) Estudie la monotonía. c) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función. Sea la función

2.

¿Es f ¿Es f Halle abscisa x =

{

−x

e si x0 . x − x1 si x0 continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio? derivable en x =0? ¿Es derivable en su dominio? la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de 1.

Sea la función a) b) c)

f  x=

f : ℝ−− ℝ definida mediante

f  x=

3

x1 . 2 x−1 Determine los puntos de corte con los ejes. Estudie su curvatura. Determine sus asíntotas. Represente la función.

3.

Sea la función f definida mediante a) b) c) d)

f  x=

4. a)

La gráfica de la derivada de una función es la recta que pasa por los puntos (0,-3) y (4.0). Estudie la monotonía de la función f. x e b) Calcule las siguientes derivadas: g x =3 x13 · L  x21  y h  x= 5 7 x −4 5. a)

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3 en el punto de abscisa x = -1. f  x= x b b) Halle los valores de a y b para que la función tenga un g x =a x x extremo relativo en el punto (1,2). 6.

Dada la función f  x=4−3 x 2 x3 , determine: a) La monotonía y la curvatura de f. b) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

7.

Sea la función definida de la forma

f  x=

{

2x si x−1 2 2 x −10 x si

x2

x2 Halle el dominio de f. Estudie la derivabilidad de f en x = 2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

a) b) c)

8. a) b) 9.

{

x2a xb si L  x si Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene Para a = -1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f

Sea la función f definida mediante

f  x=

x1 x1 un mínimo en x = -1. en x = -1 y en x = 1.

El beneficio de un empresa, en miles de euros, viene dado por la función x0 . B x=−3 x2120 x675 ,


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a) b)

Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios. Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio? c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa. d) Represente gráficamente la función B. 10.

Calcule las derivadas de las siguientes funciones: f  x= x31  · e7 x x g x =3 · L  x 6 h x=  x 21 ·  x5−6 x   x12 i x= 2 x −2

a) b) c) d)

Sea la función f  x= x3−6 x2 . Determine sus puntos de corte con los ejes. Calcule sus extremos relativos y su punto de inflexión. Represente gráficamente la función.

11. a) b) c)

{

x 24 si x1 a xb si x1 a) Calcule a y b sabiendo que f(2)=7 y que f es continua en x = 1. b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

12.

Sea la función

13.

Sea la función definida de la forma

f  x=

{

x

a) b) c)

e si x0 x x1 si x0 ¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio? ¿Es f derivable en x =0? ¿Es derivable en su dominio? Estudie la monotonía de f. f  x=

2

14. a)

2 en el x

f  x=

Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

punto de abscisa x=1. Sea la función g x = x3a x 2b . Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto (2,5).

b) 15. a)

b)

Halle las derivadas de las siguientes funciones: L  x ; h x= x · e3x g x = x

3

f  x=  2 x −3 

Determine el dominio y las asíntotas de la función

2

m  x=

;

2 x3 . x−4

16. a)

Sea la función

f  x=

{

1−2 x si 1 si x1

x0 x0

. Estudie su continuidad y su

derivabilidad. b)

Se consideran las funciones:

g x =2 x13 ,

h x=

funciones derivadas. 17.

La función derivada de una función f viene dada por

x−1 . Halle sus x 2 f ´  x=3 x 2−12 x9 .


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a)

Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función alcanza sus extremos locales. b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f. c) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2,5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto. Sea la función f  x=a x3b x2 x Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en x=1 y que f(1)=2. b) Para a=b=1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.

18.

a)

{

19. a) b) c)

2

x  x si x0 Sea la función . f  x= x si x0 x1 Analice la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio. Determine la asíntota horizontal, si la tiene. Determine la asíntota vertical, si la tiene.

20. Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C t=−0´ 2t 24t 25 ; 0t 25 (t = años transcurridos desde el año 2000). a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t=8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. 21. Un almacenista ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B x=−x 24 x−3 , siendo B(x) el beneficio por kg y x el precio de cada kg, ambos expresados en euros. a) ¿Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista? b) ¿Qué precio maximiza los beneficios? c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total máximo que podrá obtener?

{

x

3 si x1 . x2−6 x8 si x1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=3.

22.

Sea la función

f  x=

Sea la función f  x= x3−1 . a) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los tuviese. b) Determine su curvatura y punto de inflexión. c) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3.

23.

24.

Sea la función real de variable real a) b) c)

f  x=

Represente gráficamente la función. Estudie la continuidad de la función. Estudie la derivabilidad de la función.

{

−x1 si x1 . x−1 si x1


RELACION 2 FUNCIONES II