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Hoja de actividades de ecuaciones y sistemas Curso 4º ESO Ejercicio nº1 Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones: x ( x − 1) a) x ( x + 4 ) − 5 = b) x 4 − 48x 2 − 49 = 0 3 3 2 4 d) 1 + 3x + 16 = 2x e) + 2 = 1+ 2 x x x g) x + 5 − x = 3 Solución: Ecuación: x ( x + 4 ) − 5 =

x ( x − 1)

x=1y x=−

3

c) x 2 + f)

15 3x 2 − x + 3 = +3 4 4

3x − 3 + x = 7

15 2

Solución:

Ecuación: x4−48x2−49=0

x = −7 y x = 7

Solución:

Ecuación: x 2 +

15 3x 2 − x + 3 = +3 4 4

Solución: Ecuación: 1 + 3x + 16 = 2x

x = 0 y x = −1 x =3

Solución:

Ecuación:

3 2 4 + 2 = 1+ 2 x x x

Ponemos a común denominador:

3x 2 x 2 4 + = + x2 x2 x2 x2

3x + 2 x 2 + 4 = Operamos: Igualamos los numeradores: 3x + 2 = x2 + 4 2 2 x x Resolvemos la ecuación: x2 –3x + 2 = 0 Obtenemos las soluciones: x = 1 y x = 2 Solución: Ecuación: x + 5 − x = 3 Soluciones: x = –1 y x = –4

Solución válida: x= –1

Solución: Ecuación: 3x − 3 + x = 7 Soluciones: x = 13 y x = 4

Solución válida: x= 4

Ejercicio nº2 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6x 6 − 3x 5 = 0 b) x 3 + 5x 2 − 6x = 0 c) (x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0 d) x(x + 1)(x – 3) = 0

Juan José Expósito Jubete

1 2 Sol: x = –6, x = 0 y x = 1 Sol: x = 1, x = –2 y x = 3 Sol: x = 0, x = –1 y x = 3 Sol: x = 0 y x =

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Ejercicio nº3 Re suelve la ecuación : 2x + 10 − 3 x = 3x Solución:

Ecuación : 2 x + 10 − 3 x = 3x Se aísla el radical : − 3 x = x − 10 Se eleva al cuadrado : 9x = x 2 − 20x + 100 ⇒ x 2 − 29x + 100 = 0 Soluciones : x = 4, x = 25 Comprobación : 8 + 10 − 3 4 = 12 50 + 10 − 3 25 = 45 ≠ 12 La solución válida es : x = 4 Ejercicio nº4 Re suelve la ecuación : 5x + 1 + x = 7 Solución:

Ecuación : 5x + 1 + x = 7 Se aísla el radical : 5x + 1 = 7 − x Se eleva al cuadrado : 5x + 1 = x 2 − 14x + 49 ⇒ x 2 − 19x + 48 = 0 Soluciones : x = 16, x = 3 Comprobación : 80 + 1 + 16 = 25 ≠ 7 15 + 1 + 3 = 7 La solución válida es : x = 3 Ejercicio nº5 Re suelve la ecuación :

x − x + 21 = 3

Solución:

Ecuación : x - x + 21 = 3 Se eleva al cuadrado : x - x + 21 = 9 Se aísla el radical : x − 9 = x + 21 Elevamos al cuadrado : x 2 − 18x + 81 = x + 21 ⇒ x 2 − 19x + 60 = 0 Soluciones : x = 15, x = 4 Comprobación : 15 − 15 + 21 = 3 4 − 4 + 21 = −1 ≠ 3 La solución válida es : x = 15

Juan José Expósito Jubete

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Ejercicio nº6 Re suelve la ecuación :

2x + 3 − x + 1 = 1

Solución: Ecuación : 2x + 3 − x + 1 = 1 Se aísla el radical : 2x + 3 = 1 + x + 1 Elevamos al cuadrado :2x + 3 = 1 + x + 1 + 2 x + 1 Repetimos el proceso : 2 x + 1 = x + 1 Elevamos al cuadrado : 4(x + 1) = x 2 + 2x + 1 ⇒ x 2 − 2x − 3 = 0 Soluciones : x = 3, x = −1 Comprobación : 6 + 3 − 3 + 1 = 1

−2 + 3 − −1 + 1 = 1 Las dos soluciones son válidas Ejercicio nº7 Resuelve la siguiente ecuación: x3 − 7x − 6= 0 Solución: Las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ±1, ± 2, ± 3, ± 6 Se comprueba que −1 es raíz 1 0 –7 −6 –1 –1 1 6 1 –6 0 −1 –2 –2 6 1 –3 0 Se factoriza: (x + 1)(x + 2)(x – 3) = 0 Igualando a 0 cada factor: x + 1=0; x + 2 = 0; x – 3 = 0 Soluciones: x = −1; x = −2; x = 3

Ejercicio nº8 Resuelve la siguiente ecuación: x3 − 8x2 + 13x − 2= 0 Solución: Las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ±1, ± 2 Se comprueba que 2 es raíz 1 13 −8 −2 2 2 2 −12 1 1 0 −6 Se factoriza (x − 2)(x2 − 6x + 1) = 0 Igualando a 0 cada factor: x – 2 = 0; x2 − 6x + 1 = 0 Se resuelve la ecuación de 2º grado y tenemos las soluciones Soluciones: x = 2, x = 3−2 2 y x = 3+2 2

Juan José Expósito Jubete

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Ejercicio nº9 Resuelve la siguiente ecuación:

2x 1 1 − = x+2 2 x

Solución: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: 2x(x + 2) Ponemos a común denominador: 2x ⋅ 2x 1⋅ x(x + 2) 1⋅ 2(x + 2) − = 2x(x + 2) 2x(x + 2) 2x(x + 2) Operamos: 4x 2 x 2 + 2x 2x + 4 − = 2x(x + 2) 2x(x + 2) 2x(x + 2) Igualamos los numeradores: 4x2 – x2 – 2x = 2x + 4 3x2 –4x –4 = 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado. 2 Soluciones: x=2 y x=− 3

Ejercicio nº10 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 3x 2 − y 2 = 11  2x 2 + 3y 2 = 11 Solución: Se resuelve por reducción. Multiplicamos por 3 la primera ecuación 9x2 – 3y2 = 33 2x2 + 3y2 = 11 11x2 = 44 44 x2 = =4 x2 = 4 x= 4 x = ±2 11 Sustituimos en la primera ecuación Si x = 2 3·22 – y2 = 11 12 – y2 = 11 y2 = 1 y=± 1

Si x = –2 3·(–2 ) – y = 11 12 – y = 11 y =1 y=± 1 Soluciones: x = 2; y = 1 ó x = 2; y = –1 ó x = –2; y = 1 ó x = –2; y = –1 2

2

2

2

y = ±1 y = ±1

Ejercicio nº11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y = 10   x 2 − y 2 = 32 Solución: Despejando x en la primera ecuación: x = 10 − 2y Sustituyendo en la segunda: (10 − 2y)2 − y2 = 32 Operando: 100 + 4y2 − 40y − y2 = 32 3y2 − 40y + 68 = 0 34 Resolviendo: y = 2, y = 3 Juan José Expósito Jubete

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Sustituyendo y en x = 10 − 2y Soluciones: x = 6 e y = 2 ó

x = 6, x = − x=−

38 3

38 34 e y= 3 3

Ejercicio nº12 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x 2 + xy = 24   y 2 + xy = 40  Solución: 24 − x 2 Despejando y en la primera ecuación: y = x 2

 24 − x 2   24 − x 2    + x ⋅  = 40  x   x  576 + x 4 − 48x 2 + 24 − x 2 = 40 x2 576 – 64 x2 = 0 x = 3, x = −3

Sustituyendo en la segunda: Operando: Resolviendo:

24 − x 2 y = 5, y = −5 x Soluciones: x = 3 e y = 5 ó x = −3 e y = −5. Sustituyendo x en y =

Ejercicio nº13 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y = 6   x − y = −3  Solución: Despejando y en la primera ecuación: Sustituyendo en la segunda:

x = 3 − 2x

Resolvemos una ecuación irracional:

( x)

Resolviendo la ecuación de 2º grado: Hay que verificar las soluciones: x =

9 4

x=1 (Recuerda que hemos elevado al cuadrado) Sustituyendo x en y = 6 – 2x y=4 Solución: x = 1; y = 4

Juan José Expósito Jubete

y = 6 – 2x x − ( 6 − 2x ) = −3 2

= ( 3 − 2x )

2

x = 9 − 12x + 4x 2 9 x = 1, x = 4 9 9 3 9 =3−2 ; =3− ; 4 4 2 2 1 = 3 − 2 ⋅1 1=1

3 3 ≠− No es solución 2 2 Si es solución

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Ejercicio nº14 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: xy = 28   2 2 x − y = 33  Solución: Despejando x en la primera ecuación:

x=

10 y 2

Sustituyendo en la segunda: Operando: y4 + 33y2 – 784 = 0

 28  2   − y = 33 y   784 − y4 = 33y2 y = 4, y = −4

Resolviendo: 28 Sustituyendo y en x = x = 7, x = −7 y Soluciones: x = 7 e y = 4 ó x = −7 e y = −4.

Juan José Expósito Jubete

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Actividades de ecuaciones y sistemas resueltas(JJE)  

Actividades de ecuaciones y sistemas resueltas

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