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GUIA DE EJERCICIOS TOPOGRAFIA Profesor: Juan Esteban Ramos C g

1.- En el siguiente triángulo ABC, se sabe que α mide 100 , β mide 20°, y el AB mide 5 cm. Utilizando la información disponible, determine: a.- Complete los valores de correspondientes al triángulo ABC. b.- Determine el valor de las funciones: • Seno β • Coseno β • Tangente β • Seno γ • Coseno γ • Tangente γ

γ

α

β

A

B

Solución: Lo primero que hay que hacer es uniformar la unidad en que están los ángulos. Por comodidad, utilizaremos el sistema sexagesimal, por lo que el ángulo α mide 90°, es decir, se trata de un triángulo rectángulo. a.- Para determinar el valor del ángulo γ, debemos utilizar la fórmula (n-2) * 180°, a partir de lo cual obtenemos rápidamente el valor de dicho ángulo: γ = 70° Una vez que contamos con todos los lados, podemos aplicar el Teorema del Seno, el cual señala que: BC = CA = AB Sen α Sen β Sen γ Aplicando la función Seno, obtenemos: Sen α(90°) = 1 Sen β(20°) = 0,342 Sen γ(70°) = 0,940 A partir de lo anterior, obtenemos los valores correspondientes para: AB = 5 cm BC = 5,32 cm CA = 1,82 * Estos valores pueden ser comprobados utilizando el Teorema de Pitágoras. A partir de los valores calculados para los ángulos y lados del triángulo ABC, podemos calcular el valor para cualquier función trigonométrica, por ejemplo:


• • • • • •

Seno β: Cateto Opuesto = AC = 1,82 = 0,342 ** Igual al valor obtenido con calculadora. Hipotenusa BC 5,32 Coseno β: Cateto Adyacente = AB = 5 = 0,940 Hipotenusa BC 5,32 Tangente β: Cateto Opuesto = AC = 1,82 = 0,364 Cateto Adyacente AB 5 Seno γ: Cateto Opuesto = AB = 5 = 0,940 ** Igual al valor obtenido con calculadora. Hipotenusa BC 5,32 Coseno γ: Cateto Adyacente = AC = 1,82 = 0,342 Hipotenusa BC 5,32 Tangente γ: Cateto Opuesto = AB = 5 = 2,748 Cateto Adyacente AC 1,82

2.- Para saber la altura de una antena, se instaló una estación topográfica en un punto determinado. Desde ahí se lanzó una visual hacia la punta de la antena, obteniéndose un ángulo de elevación de 50g; además, se midió la distancia horizontal desde la estación hacia la base de la antena, obteniéndose una lectura de 15 metros. Determine la altura de la antena. Solución: Gráficamente podemos visualizar el problema, utilizando un triángulo ABC como el de la figura, donde el lado BC corresponde a la altura de la antena. Además sabemos que AB mide 15 metros, α tiene un valor de 50g equivalentes a 45°. Para obtener la altura de la antena, utilizamos la función tangente del ángulo α, y sabemos que tangente de 45° = 1. A partir de lo anterior: tg α (45°) = cateto opuesto = BC cateto adyacente AB

C γ

α A

1= X 15 De donde se obtiene que el lado BC, correspondiente a la altura de la torre, tiene un valor de 15 metros.

β B


Guía de Ejercicios de Trigonometría