Page 1

5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

A C T I V I D A D E S

D E

L O S

E P Í G R A F E S

Ecuaciones de primer grado con una incógnita PA R A

P R A C T I C A R

5.1 Averigua cuáles de estas igualdades son identidades numéricas. a) 3  (4  5)  3  4  3  5 b) (8  6) : 2  8 : 2  6

c) (5  3)2  52  32 d) 2  (3)  3  (2)

a) Es identidad numérica: 3(4  5)  3  4  3  5  3 b) No es identidad numérica: (8  6)  2  7  8  2  6  10 c) No es identidad numérica: (5  3)2  4  52  32  16 d) Es identidad numérica: 2(3)  6 Ejercicio resuelto 5.2 Indica si estas igualdades son identidades numéricas, identidades algebraicas o ecuaciones: a) xy  yx

b) 2x  0,5

a) Es una identidad algebraica que expresa la propiedad conmutativa de la multiplicación. Se verifica cualesquiera que sean x e y. b) Es una ecuación: solo se cumple la igualdad si x  0,25. 5.3 Indica si las siguientes igualdades son identidades numéricas, identidades algebraicas o ecuaciones: a) x(y  z)  xy  xz b) 3(5  7)  24 : (1  3)

c) 3x  0 d) x  2  x  2

a) Es una identidad algebraica, por la regla de los signos y la propiedad distributiva. Se verifica cualesquiera que sean x, y, z: x(y  z)  (x)(y)  (x)(z)  xy  xz b) 3(5  7)  3(2)  6; 24  (1  3)  24  4  6. Es una identidad numérica. c) Es una ecuación: solo se cumple la igualdad si x  0. d) La igualdad no es cierta: si a un número se le resta 2, siempre se obtendrá distinto resultado que si se le suma 2. Por tanto, no es una identidad de tipo alguno. 5.4 Comprueba si x  2 o x  0,5 son solución de las ecuaciones. a) 3x  4  x b) 8x  2  3(2x  1)

c) 5x  4  3x d) 6x  4  x  (4  5x)

a) 3(2)  4  6  4  2, luego x  2 es solución de la ecuación. 3  0,5  4  1,5  4  6,5  0,5; luego x  0,5 no es solución de la ecuación. b) 8(2)  2  16  2  14; 3(2(2)  1)  3(4  1)  9; luego x  2 no es solución de la ecuación. 8  0,5  2  4  2  6; 3(2  0,5  1)  3(1  1)  6; luego x  0,5 es solución de la ecuación. c) 5(2)  4  10  4  14; 3(2)  6, luego x  2 no es solución de la ecuación. 5  0,5  4  2,5  4  1,5; 3  1,5  4,5; luego x  0,5 no es solución de la ecuación. d) 6(2)  4  12  4  16; 2  (4  5(2))  2  (4  10)  2  14  16; luego x  2 es solución de la ecuación. 6  0,5  4  3  4  1; 0,5  (4  5  0,5)  0,5  (4  2,5)  0,5  1,5  1; luego x  0,5 es solución de la ecuación.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.5 Averigua si las siguientes ecuaciones son compatibles o incompatibles. ¿Cuántas soluciones tienen? a) x  1  3 b) (1  2)x  x  2x

c) x  (x  1)  1 d) 4x  1

a) x  2: tiene solución única; es compatible. b) Cualquier número x es solución: tiene infinitas soluciones; es compatible. c) Cualquier número x es solución: tiene infinitas soluciones; es compatible. 1 d) x  : tiene solución única; es compatible. 4 5.6 Escribe una ecuación equivalente a cada una. a) 3x  5 b) 2x  6  8

c) 3x  10  4x  12 d) 2x  37  x  42

5 a) x   3 b) 2x  8  6

c) 2  (3x  10)  (4x  12)  2 d) 2x  37  x  x  x  42

5.7 Comprueba si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes. a) 3x  1  2x  1 y 5x  0 b) 2x  16 y x  8 c) 3x  1  2x  2 y 6x  2  4x  4 d) 12x  2  x  6x  5  x y 2  2  6x  5 a) No son equivalentes, ya que tienen diferente solución: 3x  1  2x 1 ⇒ 3x  2x  1  1 ⇒ x  2  x  0 b) No son equivalentes, ya que tienen diferente solución: 2x  16 ⇒ x  8  x  8 c) Son equivalentes, ya que tienen la misma solución: 3x  1  2x  2 ⇒ x  3 y la 2.a ecuación es la misma multiplicada por 2. d) No son equivalentes, ya que tienen diferente solución: 12x  2  x  6x  5  x ⇒ 13x  2  7x  5 ⇒ 1 5 ⇒ x    2  2  6x  5 ⇒ 5  6x ⇒ x   2 6 5.8 Encuentra la solución de estas ecuaciones. a) x  2x  10  3x b) 7  x  4x  8

c) 5x  1  61  x d) 5x  50  3x  56

a) x  5 b) x  3

c) x  10 d) x  3

PA R A

A P L I C A R

5.9 El primer miembro de una ecuación es x  3. Escribe el segundo miembro para que la ecuación: a) Tenga una solución.

b) Tenga infinitas soluciones.

c) Sea incompatible.

a) Por ejemplo: x  3  0

b) x  3  x  3

c) Por ejemplo: x  3  x

5.10 Halla un número sabiendo que si se multiplica por 2 y se le suma 30, se obtiene 104. Un número x  2  30  104 ⇒ 2x  104  30 ⇒ x  37


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.11 En el cuadrado de la figura, los números están dispuestos de forma que la suma de los elementos de cada fila, de los elementos de cada columna y de los elementos de las dos diagonales es 15. Halla a, b, c, d, e y f planteando las ecuaciones correspondientes. Primera fila: 4  a  8  15 Diagonal principal: 4  5  f  15 Diagonal secundaria: 8  5  d  15 Tercera columna: 8  c  f  15 b  5  c  15 Segunda fila: d  e  f  15 Tercera fila:

12  a  15 ⇒ a  3 9  f  15 ⇒ f  6 13  d  15 ⇒ d  2 como f  6 ⇒ 8  c  6  15 como c  1 ⇒ b  5  1  15 como d  2, f  6 ⇒ 2  e  6  15

4

a

8

b

5

c

d

e

f

14  c  15 ⇒ c  1 b  6  15 ⇒ b  9 8  e  15 ⇒ e  7

5.12 La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 505. ¿Cuáles son dichos números? Los 2 números consecutivos son x y x  1. La diferencia de sus cuadrados es (x  1)2  x 2  505 Resolviendo la ecuación: x 2  (x 2  1  2x)  505 ⇒ 2x  504 Las soluciones son 252 y 253. 5.13 La profesora de Matemáticas le ha dicho a Víctor: “Si se restara 4 puntos a la nota que has sacado en el control y luego se duplicara este resultado, se obtendría un 10”. ¿Qué nota ha sacado Víctor? Si x es la nota que ha sacado Víctor, entonces: se le resta 4 puntos ⇒ x  4; se duplica este resultado ⇒ 2(x  4). Luego 2(x  4)  10. Si el doble de x  4 es 10, es que x  4  5, luego x  9. Víctor ha sacado un 9 en el control. 5.14 El perímetro de cada rectángulo es de 24 centímetros.

2y – 1

x 2x

y+1

¿Cuál es la medida de los lados en cada caso? En el primer caso, la medida es: En el segundo caso:

4x  2x  24 ⇒ x  4 cm 2(2y  1)  2(y  1)  24 ⇒ y  4 cm

Resolución de ecuaciones de primer grado Ejercicio resuelto 2(x  3) x3 5.15 Resuelve la ecuación ——  ——  1. 5 2 2(x  3) x3 20(x  3) 10(x  3)     1 ⇒     10 ⇒ 4(x  3)  5(x  3)  10 ⇒ 4x  12  5x  15  10 ⇒ 5 2 5 2 ⇒ 4x  5x  10  12  15 ⇒ x  13 ⇒ x  13


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

PA R A

P R A C T I C A R

5.16 Resuelve las ecuaciones. a) 4(x  3)  7(x  4)  6  x b) 2  3(x  7)  7x  4(x  2)  8 c) 3(2  x)  7(x  1)  4(2x  3) ⇒x5 23 ⇒ 23  14x ⇒ x   b) 2  3x  21  7x  4x  8  8 ⇒ 23  10x  4x 14 18 c) 6  3x  7x  7  8x  12 ⇒ 10x  1  8x  12 ⇒ 18x  13 ⇒ x   13 a) 4x  12  7x  28  6  x

⇒ 3x  16  6  x

⇒ 10  2x

5.17 Resuelve las ecuaciones. a) 4x  (2x  (3x  1))  4  2x b) (3x  (4x  1))  4  x  (3  5x) c) 5  3(x  (2x  3))  1  5  2(3x  5) 5 a) 4x  (2x  3x  1)  4  2x, 4x  (x  1)  4  2x, 4x  x  1  4  2x, 5x  1  4  2x, 7x  5, x   7 6 b) (3x  4x  1)  4  x  3  5x,  (x  1)  4  4x  3, x  1  4x  7, 5x  6, x   5 c) 5  3(x  2x  3)  1  5  6x  10, 5  9x  9  1  6x  15, 15  9x  6x  15, x  0 Ejercicio resuelto 5.18 Resuelve la siguiente ecuación. x  (x  1)(x  3)  4x  8  x 2 x  (x  1)(x  3)  4x  8  x 2 x  (x 2  3x  x  3)  4x  8  x 2 x  x 2  3x  x  3  4x  8  x 2 x  x 2  3x  x  4x  x 2  8  3 ⇒ x  11 ⇒ x  11 5.19 Resuelve las ecuaciones. a) (x  1)2  (x  1)(x  1)  16 b) (x  3)2  1  (2  x)2 a) x 2  2x  1  x 2  1  16 ⇒ 2x  1  15 ⇒ 2x  14 ⇒ x  7 b) x 2  6x  9  1  4  4x  x 2 ⇒ x 2  6x  10  4  4x  x 2 ⇒ 6x  10  4  4x ⇒ 6  2x ⇒ x  3 5.20 Resuelve las ecuaciones. 7x 3x 5x a) ——  ——  ——  15 2 4 6

x2 x3 b) x  1  ——  ——  0 2 3

x2 3x  2 c) ——  ——  6 2 2

a) m.c.m.(2, 4, 6)  12 7x 3x 5x 180 12   12   12   12  15 ⇒ 42x  9x  10x  180 ⇒ 41x  180 ⇒ x   2 4 6 41 b) m.c.m.(2, 3)  6 x2 x3 6(x  1)  6   6   0 ⇒ 6x  6  3(x  2)  2(x  3)  0 ⇒ 6x  6  3x  6  2x  6  0 2 3 6 5x  6  0 ⇒ 5x  6 ⇒ x   5 x2 3x  2 c) 2   2   2  6 ⇒ x  2  3x  2  12 ⇒ 4x  12 ⇒ x  3 2 2


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.21 Resuelve las ecuaciones. 3(x  1) 2(4x  5) 2x  3 c) ——  ——  1  —— 2 3 4 5(1  x) 3(2x  4x) 3  4x d) ——  ——  —— 3 4 6

5x x1 a) 3(2  x)  1  ——  —— 2 3 x2 b) 1  (2x  (x  1))  —— 3

44 a) 18(2  x)  6  15x  2x  2 ⇒ 42  18x  13x  2 ⇒ 44  5x ⇒ x   5 3(x  2) 1 b) 3  3(2x  (x  1))   ⇒ 3  3(2x  x  1)  x  2 ⇒ 3  3(x  1)  x  2 ⇒ 3  3x  3  x  2 ⇒ x   3 2 43 c) 6x  9  18x  18  12  32x  40 ⇒ 12x  9  32x  52 ⇒ 44x  43  0 ⇒ x   44 26 13 d) 18x  20  20x  6  8x ⇒ 38x  20  6  8x ⇒ 30x  26 ⇒ x   ⇒ x   30 15 5.22 Resuelve las ecuaciones. 4 a) 1  —— 9x  6

3 2 b) ——  —— x4 x5

a) 9x  6  4

b) 3(x  5)  2(x  4)

9x  10

3x  15  2x  8

10 x   9

x7 PA R A

A P L I C A R

5.23 Halla el valor de x para que las áreas de las figuras cumplan la igualdad.

x + 4

2 = 2

La solución es 4x  4  8 ⇒ x  1 5.24 Halla la masa de la bola de madera si la balanza está en equilibrio.

1 x Si la bola pesa x kilos: x     2 2 2 2x 2x    , 2x  1  x, x  1 2 2 La bola pesa 1 kilo.

2 4


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.25 Para hacer un uso razonable del agua, en casa de Javi han establecido que el consumo diario se distribuya de la siguiente manera.

1  10

1  5

1  2

10 L

¿A cuántos litros de agua limitan el consumo? x x x Si x es el número de litros de agua para el consumo diario, se tiene:       10  x. m.c.m.(2, 5, 10)  10 2 5 10 10x 10x 10x       10  10  10x, 5x  2x  x  100  10x, 100  2x, x  50 2 5 10 Han decidido limitar a 50 litros el consumo diario. 5.26 Un recorrido por un parque natural se ha realizado de la siguiente forma.

1  3

1  4

8 km

¿De cuántos kilómetros constaba el recorrido? Si el número de kilómetros de que constaba el recorrido es x, se tiene: x x     8  x ⇒ 4x  3x  96  12x ⇒ 5x  96 ⇒ x  19,2 3 4 El recorrido consta de 19,2 km.

Ecuaciones de segundo grado PA R A

P R A C T I C A R

5.27 Indica si las siguientes ecuaciones son de segundo grado. a) 5  x 2  x  0 b) x  2x  2

3

2  2x

3

c) (x  1)(x  1)  8 x1 1 — d) ——  — 3 x2  3

a) Es una ecuación de segundo grado. b) Si se simplifica, se tiene: x 2  2, que es una ecuación de segundo grado. c) Si se opera, se tiene: x 2  1  8, que es una ecuación de segundo grado. d) Si se opera, se tiene: (x  1)(x 2  3)  3, x 3  3x  x 2  3  3, que no es una ecuación de segundo grado.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.28 Expresa cada ecuación de segundo grado en su forma general e indica los valores de a, b y c. a) 5x 2  3x  4  2x 2  x  2 b) (2x  3)2  5 c) (3x  4)(x  1)  x 2  x  4 x2 x1 d) ——  —— x3 2x a) 3x 2  4x  6  0 b) 4x 2  12x  9  5, 4x 2  12x  4  0 c) 3x 2  3x  4x  4  x 2  x  4, 2x 2  0 d) 2x(x  2)  (x  3)(x  1), 2x 2  4x  x 2  x  3x  3, x 2  6x  3  0

a3 a4 a2 a1

b  4 b  12 b0 b6

c6 c4 c0 c3

1 5.29 Comprueba si los siguientes valores 1, ——, 5, 3 son soluciones de la ecuación de segundo grado 2 2x 2  5x  3  0. Para x  1 ⇒ 2  12  5  1  3  2  5  3  4  0 1 1 2 1 2 5 Para x   ⇒ 2    5    3      3  0 2 2 2 4 2 Para x  5 ⇒ 2  (5)2  5  (5)  3  50  25  3  22  0 Para x  3 ⇒ 2  (3)2  5  (3)  3  18  15  3  0 1  y 3 son soluciones de la ecuación de segundo grado; 1 y 5 no lo son. 2



5.30 Copia y completa la siguiente tabla, comprobando si los valores son soluciones o no de las ecuaciones. 2

1

1

2

2x  2  0

no

no

x x20

no

no

3x 2  9x  6  0

no

no

2x  2x  4  0

no

no

2

2

2

5.31 Los valores 3 y 2 son soluciones de la ecuación x 2  x  6  0. ¿Alguna de las siguientes ecuaciones es equivalente? a) x 2  x  2  0 b) x 2  5x  0

c) x 2  2x  15  0 d) 12  x(2x  2)  0

32  3  6  0, (2)2  (2)  6  4  2  6  0; luego 3 y 2 son soluciones de la ecuación x 2  x  6  0. a) 32  3  2  10  0, (2)2  2  2  4  4  0: 3 no es solución y 2 es solución. Por tanto, la ecuación no es equivalente a la primera. b) 32  5  3  9  15  6, (2)2  5  (2)  4  10  14: ni 3 ni 2 son soluciones. Por tanto, la ecuación no es equivalente a la primera. c) 32  2  3  15  9  6  15  0, (2)2  2  (2)  15  4  4  15  0: 3 es solución y 2 no lo es. Por tanto, la ecuación no es equivalente a la primera. d) 12  2x 2  2x  0  12  2  32  2  3  12  8  6  0, 12  2  (2)2  2  (2)  12  8  4  0: 3 y 2 son soluciones de la ecuación. Por tanto, esta ecuación es equivalente a la primera.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.32 Una solución de la ecuación x 2  bx  6  0 es x  1. ¿Cuánto vale b? Si x  1, entonces nuestra ecuación nos queda ⇒ 12  b  1  6  0,

1  b  6  0,

7b

5.33 Una solución de la ecuación de segundo grado ax 2  bx  c  0 es x  0. ¿Cuánto vale c? Si x  0, entonces nuestra ecuación queda de la siguiente forma: a  02  b  0  c  0 ⇒ 0  c  0 ⇒ c  0 5.34 Observa la ecuación de segundo grado y las dos ecuaciones de primer grado que se obtienen al hallar las raíces cuadradas de sus dos miembros. (x  2)2  16 ⇒

x24 x  2  4

Averigua si las soluciones de estas dos últimas ecuaciones son las soluciones de la ecuación de segundo grado. x  2  4 ⇒ x  2; x  2  4 ⇒ x  6 Veamos si x  2 y x  6 son soluciones de la ecuación (x  2)2  16: (2  2)2  42  16, (6  2)2  (4)2  16 Por tanto, las soluciones de las ecuaciones de primer grado son las soluciones de la ecuación de segundo grado. 5.35 Halla una solución entera positiva de cada ecuación dando valores a la incógnita x. a) x 2  x  2  0 b) x 2  3x  0

c) x 2  4x  5  0 d) x 2  5x  14  0

a) x  1: 12  1  2  2  0 x  2: 22  2  2  0 Una solución es x  2.

c) x  1: 1  4  5  8  0 x  2: 22  4  2  5  9  0 x  3: 32  4  3  5  8  0 x  4: 42  4  4  5  5  0 x  5: 52  4  5  5  0 Una solución es x  5.

b) x  1: 12  3  1  2  0 x  2: 22  3  2  2  0 x  3: 32  3  3  0 Una solución es x  3.

d) x  1: 12  5  14  18  0 x  2: 22  5  2  14  20  0 x  3: 32  5  3  14  20  0 x  4: 42  5  4 1 4  18  0 x  5: 52  5  5  14  14  0 x  6: 62  5  6  14  8  0 x  7: 72  5  7  14  0 Una solución es x  7. PA R A

A P L I C A R

Problema resuelto 5.36 El perímetro de un rectángulo es de 10 metros, y su área, de 6 metros cuadrados. Plantea la ecuación para hallar sus dimensiones, y resuélvela mediante una tabla. Si el perímetro es 10 m, la base y la altura suman 5 m. Si x y 5  x son la base y la altura, entonces el área es: x(5  x)  6. x

1

2

5x

4

3

x (5  x)

4

6

Las dimensiones son 2 y 3 metros.

5–x x


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.37 El producto de dos números naturales es 15 y su diferencia, 2. Halla los números planteando la ecuación y resolviéndola mediante una tabla. x 0 1 2 3 Si los números son x y x  2, entonces x(x  2)  15. x2 2 3 4 5 Los números son 3 y 5. x (x  2)

0

3

8

15

5.38 La suma de los cuadrados de dos números enteros positivos consecutivos es 41. Plantea la ecuación correspondiente y resuélvela por tanteo. x 2  (x  1)2  41 ⇒ x 2  x 2  2x  1  41 ⇒ forma general: 2x 2  2x  40  0. x  1: 2  12  2  1  40  36  0 x  2: 2  22  2  2  40  28  0 x  3: 2  32  2  3  40  16  0 x  4: 2  42  2  4  40  0 Los números son 4 y 5. 5.39 En la tabla, x e y son, en cada caso, las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y z la longitud de su hipotenusa, expresadas en metros. Completa la tabla planteando y resolviendo previamente la ecuación correspondiente. z 2  25; z  5 32  42  z 2; Como no hay dimensiones negativas: z  5 metros.

x

y

z

122  y 2  132; 144  y 2  169; Por tanto, y  5 metros.

y 2  25;

y  5

3

4

5

12

5

13

x 2  82  102; x 2  64  100; Por tanto, x  6 m

x 2  36;

x  6

6

8

10

y

z

x

Ecuaciones incompletas de segundo grado Ejercicio resuelto 5.40 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3(x  2)  x 2  3x

x2  6 b) ——  x  3 2

c) 4x 2  3(x  1)  x(x  3)  3

a) 3(x  2)  x 2  3x ⇒ 3x  6  x 2  3x ⇒ x 2  6  0 x 2  6  0 ⇒ x 2  6 No tiene solución , no existe. x2  6 b)   x  3 ⇒ x 2  6  2(x  3) ⇒ x 2  6  2x  6 ⇒ x 2  2x  0 2 x0 x 2  2x  0 ⇒ x(x  2)  0 ⇒ x20⇒x2 c) 4x 2  3(x  1)  x(x  3)  3 ⇒ 4x 2  3x  3  x 2  3x  3 ⇒ 4x 2  0 4x 2  0 ⇒ x 2  0 ⇒ x  0 PA R A

Incompleta con b  0 Incompleta con c  0

Incompleta con b  0 y c  0

P R A C T I C A R

5.41 Indica los coeficientes a, b y c en las siguientes ecuaciones: a) 17x 2  6  0 b) 8x 2  0

c) 4x 2  3x  0 d) x 2  4

a) Dada la ecuación general ax 2  bx  c  0; a  17, b  0, c  6 b) a  8, b  0, c  0

c) a  4, b  3, c  0 d) a  1, b  0, c  4


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.42 Resuelve las ecuaciones. a) x 2  36  0 b) 3x 2  75  0

c) 4x 2  0 d) x 2  2  0

a) x 2  36 ⇒ x  6, x  6.

c) x 2  0 ⇒ x  0

b) 3x 2  75 ⇒ x 2  25 ⇒ x  5; x  5

d) x(x  2)  0 ⇒ x  0; x  2

5.43 Resuelve las ecuaciones. a) x 2  4x  0 b) 8x 2  16x  0

c) 3x 2  6x  0 d) 18x 2  2x  0

a) x(x  4)  0 ⇒ x  0; x  4

c) 3x(x  2)  0 ⇒ x  0; x  2

b) 8x(x  2)  0 ⇒ x  0; x  2

1 d) 2x(9x  1)  0 ⇒ x  0; x   9

Ejercicio resuelto 5.44 Resuelve la ecuación (2x  3)(x  5)  0 sin efectuar el producto. Se tiene el producto de dos factores igual a cero, entonces al menos uno de ellos es cero. 3 2x  3 ⇒ x   2 (2x  3)(x  5)  0 ⇒ 2x  3  0 ⇒ x  5  0 ⇒ x  5 Las soluciones son x  y x  5. 5.45 Resuelve las siguientes ecuaciones sin efectuar el producto. a) (x  2)(x  1)  0

c) (x  2)2  0

b) (x  1)(3x  12)  0

x1 d) —— (x  5)  0 2





a) x  2  0 ⇒ x  2;

x10⇒x1

c) x  2  0 ⇒ x  2

b) x  1  0 ⇒ x  1;

3x  12  0 ⇒ x  4

d) x  1  0 ⇒ x  1;

x  5  0 ⇒ x  5

5.46 Resuelve las ecuaciones. a) 0,2x 2  0,39x  x b) (x  1)2  (x  1)2

c) 2x 2  3x  4x  x 2 d) 3x 2  4  28  x 2

a) 0,2x 2  0,61x  0 ⇒ x(0,2x  0,61)  0 ⇒ x  0; x  3,05 b) x 2  2x  1  (x 2  2x  1) ⇒ x 2  2x  1  x 2  2x  1 ⇒ 2x 2  2  0 ⇒ x 2  1  0 ⇒ x 2  1 ⇒ x  1  no tiene solución real. 7 c) 3x 2  7x  0 ⇒ x(3x  7)  0 ⇒ x  0; x   3 d) 2x 2  32 ⇒ x 2  16 ⇒ x  4; x  4 5.47 Resuelve estas ecuaciones. 3(x  2) 5x  3 a) x 2  4  ——  —— 2 3 x(x  1) x2  9 x2 21  2x b) ——  ——  ——  —— 3 3 6 2

c) x  x(x  2)  3x  3  2(5  x)  3 (x  5)(x  3) d) (x  1)(x  3)  —— 5

2x 2  8  (3x  6) 3x  6 5x  3 5x  3 19 a) x 2  4     ⇒    ⇒ 6x 2  9x  6  10x  6 ⇒ x  0; x   2 3 2 3 6 b) (3x 2  27)  (2x 2  2x)  2x 2  21  2x ⇒ x 2  48 ⇒ Sin solución real. c) x  (x 2  2x)  3x  3  10  2x  3 ⇒ x 2  8x  16  0 ⇒ x  4 y x  4 d) 5x 2  15x  5x  15  x 2  3x  5x  15 ⇒ x 2  3x  0 ⇒ x  0 y x  3


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.48 Una de las soluciones de la ecuación ax 2  bx  0 es x  1. a) ¿Cuál es la otra solución? b) ¿Qué relación hay entre a y b? a) La ecuación ax 2  bx  0 siempre tiene como solución x  0; luego la otra solución es x  0. b) x  1 ⇒ a  12  b  1  0 ⇒ a  b  0 ⇒ a  b: a y b son opuestos. PA R A

A P L I C A R

5.49 Halla la longitud del lado de estos cuadrados. a)

b) 6,25 cm 2

12,25 cm 2

En un cuadrado de lado x el área es x 2. a) x 2  6,25 ⇒ x  6,25  ⇒ x  2,5; x  2,5 Como no hay longitudes negativas, el lado tiene de longitud 2,5 cm. b) Si x 2  12,25 ⇒ x  3,50 cm 5.50 Si al cuadrado de un número x se le quita el doble del número, se obtiene el quíntuplo del número. Calcula el valor de x. Si el número es x, se cumple: x 2  2x  5x x 2  7x  0 ⇒ x  0; x  7 Hay dos números que lo verifican: 0 y 7 5.51 Halla la medida de los lados del triángulo rectángulo. La hipotenusa es x  1, y los catetos, x y x  1. Por tanto: (x  1)2  x 2  (x  1)2 x 2  2x  1  x 2  x 2  2x  1 ⇒ 4x  x 2 x 2  4x  0 ⇒ x(x  4)  0 ⇒ x  0; x  4 La única solución válida es x  4. Las longitudes de los lados del triángulo son 3, 4 y 5 cm.

x+1 x–1

x

5 dm

5.52 Esta pecera de base cuadrada tiene una capacidad de 320 decímetros cúbicos. ¿Cuánto mide el lado de la base?

La pecera es un ortoedro de base cuadrada de lado x. Su volumen es: V  x  x  5  5x 2. Por tanto: 5x 2  320 x 2  64 ⇒ x  8, x  8 Sólo hay una solución que verifique el problema dado que no hay longitudes negativas. El lado de la base mide 8 decímetros.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.53 El marco de un cuadro cubre una superficie en la pared de 1,62 metros cuadrados. Halla las dimensiones de la lámina del cuadro.

x

2x

1,5x 3x

El área de la lámina es igual al área del rectángulo exterior menos el área del rectángulo interior: 3x  2x  1,5x  x  1,62 6x 2  1,5x 2  1,62 ⇒ 4,5x 2  1,62 ⇒ x 2  0,36 ⇒ x  0,6 ⇒ x  0,6 La solución del problema es x  0,6. Las dimensiones de la lámina son 1,5  0,6  0,9 metros de ancho y 0,6 metros de alto; o sea, 90 por 60 centímetros.

Ecuación completa de segundo grado 5.54 Copia y completa la tabla. ax 2  bx  c  0 a

b

c

2

2x  3x  1  0

3

2

1

5x 2  x  1

5

1

1

x  2  3x  2x

1

5

2

2(x  1)  3x  0

2

3

2

2

2

5.55 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x 2  x  2  0 b) x 2  7x  18  0

c) x 2  8x  15  0 d) x 2  3x  28  0

2  4  1  (2) 1  1 18 1  9 1  3  1   a) x         ⇒ x  1; x  2 21 2 2 2 2  4  1  (18) (7)  (7) 7   49  72 7   121 7  11  b) x         ⇒ x  2; x  9 21 2 2 2 2 8  8  4  1  15 64  60 8   8  4 8  2 c) x         ⇒ x  3; x  5 21 2 2 2 2  3  11  4  1  ( 28) 3  3 3   3  121 9  112 d) x         ⇒ x  4; x  7 21 2 2 2

5.56 Resuelve estas ecuaciones. a) x 2  3x  6  2x

b) x 2  x  2x 2  3x  8

a) x 2  5x  6  0 ⇒ tiene como soluciones x  2 y x  3. b) x 2  2x  8  0 ⇒ tiene como soluciones x  2 y x  4. Ejercicio resuelto 5.57 Resuelve, simplificando antes, la ecuación 3x 2  9x  6  0. Se simplifica la ecuación dividiendo ambos miembros entre 3. 3x 2  9x  6  0 ⇒ x 2  3x  2  0

(3)  (3)  4  1 2 3   98 3  1 31  Se aplica la fórmula: x          ⇒ 21 2 2 2 2

4 x    2 2 2 x    1 2


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.58 Resuelve, simplificando antes, estas ecuaciones. a) 2x 2  26x  84  0 b) 3x 2  30x  27  0

c) 2x 2  7x  4  0 d) 18x 2  12x  2  0

a) Se puede simplificar: x 2  13x  42  0. (13)   (13)2   4  1  42 13   169  168 13  1 x       ⇒ x  7; x  6 21 2 2 b) Se puede simplificar dividiendo entre 3: 2  10  8 10  10  4 19 10  100  36 10  64    x         ⇒ x  1; x  9 21 2 2 2 2  79  4  2  ( 4) 7  7 7   49  32 7  81 1 c) x         ⇒ x  , x  4 22 4 4 4 2 2  4 91 6  6 6   36  36 6  0 6 1 d) x           29 18 18 18 3

5.59 Resuelve las siguientes ecuaciones.

x2 x1 b) ——  ——  3 2 3

a) 4(x 2  3x)  1  10 a) 4(x 2  3x)  9, 4x 2  12x  9, 4x 2  12x  9  0 ⇒

2 12  12  4  4  9 12  144  144 12  0 3   ⇒ x         24 8 8 2

b) m.c.m.(2, 3)  6 6x 2 6(x  1)     18 ⇒ 3x 2  2(x  1)  18 ⇒ 3x 2  2x  2  18 ⇒ 3x 2  2x  20  0 2 3 2  2  261  1  61  2  2  4  3  (20) 4  240 2  244  2   x           ⇒ 2.3 6 6 3 3

1   61 1   61 ⇒ x  , x   3 3 5.60 Escribe el discriminante de estas ecuaciones. a) 7x 2  3x  2 b) 1  x 2  3x  0

c) 2x 2  x  1  3x  1 d) 3x  1  2x 2  2

⇒ D  b2  4ac ⇒ D  9  56  65 0 a) 7x 2  3x  2  0 ⇒ tiene 2 soluciones distintas. b) D  9  4  5 0 ⇒ tiene una solución. c) D  4  4  0 d) D  9  24  15 0 ⇒ no tiene soluciones.

⇒ 2 soluciones distintas.

5.61 Indica, sin resolverlas, cuántas soluciones tiene cada ecuación. a) x 2  4x  3  0 b) x 2  2x  1  0 a) D  (4)2  4  1  3  16  12  4 0 b) D  (2)2 4  1  1  4  4  0 c) D  (4)2 4  4  1  5  16  20  4 d) D  02  4  1  (9)  36 0

c) x 2  4x  5  0 d) x 2  9  0 ⇒ Dos soluciones. ⇒ Una solución. ⇒ No tiene soluciones. ⇒ Dos soluciones.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Ejercicio resuelto 5.62 Halla m para que la ecuación x 2  mx  1  0 tenga las dos soluciones iguales. b  m c1 Los coeficientes de la ecuación son: a  1 Para que las dos soluciones sean iguales, el discriminante debe ser 0. D  b2  4ac  (m)2  4  1  1  m2  4 m2  4  0 ⇒ m2  4 ⇒ m  2 ó m  2 5.63 Halla m para que la ecuación x 2  2mx  (3  2m)  0 tenga las dos soluciones iguales. Para que sean dos soluciones iguales el discriminante debe ser 0. Entonces, D  b2  4ac  (2m)2  4  1 (3  2m)  4m2  12  8m  0. 2 2  2  4 13 2   16 2  4 Simplificando: m2  2m  3  0 ⇒ m       ⇒ m  3; m  1 ⇒ m debe valer 3 ó 1. 2 2 2

PA R A

A P L I C A R

Problema resuelto 5.64 Halla dos números que sumen 20 y la suma de sus cuadrados sea 250. Si un número es x, el otro es 20  x. Por tanto, se tiene que: x 2  (20  x)2  250 x 2  (20  x)2  250 ⇒ x 2  400  40x  x 2  250 ⇒ 2x 2  40x  150  0 ⇒ x 2  20x  75  0 ⇒ 30 x    15 2 (20)2  4  1  75 (20)   20   400  300 20  10 ⇒ x       ⇒ 10 21 2 2 x    5 2 Los números son 15 y 5. 5.65 Un número más el doble de su cuadrado es igual a 45 más el doble del número. ¿De qué número se trata? Si el número es x: x  2x 2  45  2x 1  1  4  2  45 1   361 1  19 9 2x 2  x  45  0, x       ⇒ x  5; x   4 4 4 2 9 El número debe valer 5 ó . 2 5.66 Halla un número x sabiendo que sumándole su inverso se obtiene 4,25. 1 x    4,25 ⇒ x 2  1  4,25x ⇒ x 2  4,25x  1  0 ⇒ x 2  4,25  4,25 4 4,25   4,25  3,75 14,0625 ⇒ x       ⇒ x  4 y x  0,25 2 2 2 El número es 4 ó 0,25.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.67 Calcula la longitud de los lados de estos triángulos rectángulos. a)

b) x+2

x

35 – x x x+1

25 – x

⇒ x 2  2x  3  0

a) (x  2)2  x 2  (x  1)2

⇒ x  3 y x  1 La solución es x  3.

b) (35  x)  x  (25  x) ⇒ x  20x  600  0 ⇒ x  16,46 y x  36,46 La solución es x  16,46. 2

2

2

2

Resolución de problemas mediante ecuaciones Problema resuelto 5.68 Entre varios amigos van a apadrinar a un niño aportando, en total, 20 euros al mes. Se suma otro amigo más, y entonces cada uno tiene que pagar 1 euro menos. ¿Cuántos le apadrinan y cuánto tienen que pagar finalmente? 1. Coste mensual: 20 € Coste por persona inicial 1  coste por persona final 1 2. x  número inicial de amigos 20 3. Con x amigos tocan a  20 20 x   1   20 x x 1 Con x  1 amigos tocan a   1 x



20 20 20 20  x 4.   1   ⇒    ⇒ 20x  (x  1)(20  x) ⇒ 20x  20x  x 2  20  x ⇒ x x1 x1 x x4 1   1  180 19 ⇒ x 2  x  20  0 ⇒ x     2 2 x  5

5. x  4



20 20 Lo apadrinan x  1  5 amigos y tocan a      4 euros cada uno. x 1 41 20 20 Comprobación:   1   4 4 1

x  5. No es solución del problema.


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

PA R A

P R A C T I C A R

5.69 En un centro hay 72 alumnos en 3.o de ESO, distribuidos en tres grupos de la siguiente forma. En 3.o A hay 4 alumnos más que en 3.o B. En 3.o C hay 1 alumno menos que en 3o B. Plantea una ecuación que te permita hallar el número de alumnos de cada grupo en estos casos. a) Tomando x como el número de alumnos de 3.o A b) Tomando x como el número de alumnos de 3.o B c) Tomando x como el número de alumnos de 3.o C a) Si llamamos x al número de alumnos de 3.o A, entonces en 3.o B habrá x  4, y en 3.o C, x  5. Por tanto, la ecuación es: x  x  4  x  5  72 ⇒ 3x  9  72 ⇒ 3x  81 ⇒ x  27 En 3.o A hay 27, en 3.o B hay 23 y en 3.o C hay 22. b) Si llamamos x al número de alumnos de 3.o B, entonces en 3.o A habrá x  4, y en 3.o C, x  1. Por tanto, la ecuación es: x  4  x  x  1  72 ⇒ 3x  3  72 ⇒ 3x  69 ⇒ x  23 En 3.o A hay 27, en 3.o B hay 23 y en 3.o C hay 22. c) Si llamamos x al número de alumnos de 3.o C, entonces en 3.o B habrá x  1, y en 3.o A, x  5. Por tanto, la ecuación es: x  5  x  1  x  72 ⇒ 3x  6  72 ⇒ 3x  66 ⇒ x  22 En 3.o A hay 27, en 3.o B hay 23 y en 3.o C hay 22. 5.70 Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son múltiplos consecutivos de 3. Escribe la ecuación correspondiente en cada caso. a)

b)

c) 3x

3x

3x

a) (3x  6)2  9x 2  (3x  3)2 ⇒ 9x 2  18x  27  0 b) (3x)2  (3x  3)2  (3x  3)2 ⇒ 9x 2  36x  0 c) (3x)2  (3x  3)2  (3x  6)2 ⇒ x 2  6x  5  0 PA R A

A P L I C A R

5.71 Si se aumenta 6 centímetros el ancho de un cuadrado y en 4 centímetros el alto, se obtiene un rectángulo que duplica el área del cuadrado original. a) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? b) ¿Y los lados del rectángulo?

4 + x

x x

a) El área del cuadrado es x 2, y la del rectángulo, (x  4)(x  6). Por tanto: 2x 2  (x  4)(x  6) ⇒ 2x 2  x 2  6x  4x  24 ⇒ x 2  10x  24  0 2  4  24 10  14 10  10  x     ⇒ x  12; x  2 2 2 x  2 no es solución del problema. El lado del cuadrado mide 12 centímetros. b) Los lados del rectángulo, 16 y 18 centímetros.

x

+ 6


5 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.72 Miguel tiene 50 monedas de 1 y 2 euros. Si en total tiene 87 euros, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo? Si el número de monedas de 2 € es x, el número de monedas de 1 € es 50  x. Por tanto: 50  x  2x  87 ⇒ x  13. Tiene 13 monedas de 1 € y 37 monedas de 2 €. 5.73 ¡Qué casualidad!, Elena y su hija cumplen años el mismo día.

¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será triple que la de la hija? Sea x el número de años que han de transcurrir para que la edad de la madre sea triple que la de la hija: 36  x  3(6  x) ⇒ 36  x  18  3x ⇒ 18  2x ⇒ x  9 Se verificará dentro de 9 años. Edad de la madre  45 años, edad de la hija  15 años. 5.74 Dentro de 6 años, la edad de María será igual al cuadrado de la edad que tenía hace 6 años. ¿Qué edad tiene María ahora? (x  6)2  x  6 ⇒ x 2  13x  30  0 ⇒ x  10 y x  3; por tanto, María tiene ahora 10 años. Problema resuelto 5.75 Un automovilista comienza un viaje con el depósito de su coche lleno. En la primera parada observa que ha consumido un tercio de la gasolina que tenía, en la segunda parada ha consumido la mitad de lo que le quedaba, y aun así tiene todavía 15 litros de gasolina. Calcula la capacidad del depósito. Inicio

1.a parada

2 — 3

2.a parada

= 1 2 — de — 2 3

15 L

1 2 2 Como quedan 15 litros, se tiene que:   x  15 ⇒ x  15 ⇒ x  45 2 3 6 El depósito tenía inicialmente 45 L de gasolina. 5.76 El Ayuntamiento de una ciudad decide repartir una dotación económica entre cuatro asociaciones culturales. La primera recibe la cuarta parte de la dotación; la segunda, la tercera parte de lo que queda, y la tercera y la cuarta, 1 000 euros cada una. a) ¿Cuánto dinero se ha repartido? b) ¿Cuánto dinero ha recibido cada una?





x x 1 x x a) x    x     1 000  1 000 ⇒ x      2 000 ⇒ 2x  x  4 000 ⇒ x  4 000 € 4 4 3 4 4 b) 1 000 € cada asociación. 5.77 Se quiere seleccionar a tres cantantes para formar un grupo musical. Para ello se realiza una prueba que consta de tres partes. En la primera fase se elimina a 8 personas; en la segunda, a la mitad de las que quedaban, y en la tercera se prescinde de 14 personas. ¿Cuántos aspirantes se presentaron a la prueba? Sea x el número de aspirantes: x8 (x  8)    14  3 ⇒ 2x  16  x  8  28  6 ⇒ x  6  16  28  8 ⇒ x  42 aspirantes 2


mat2unidad5  

matematicas, segundo

Advertisement
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you