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Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales

Curso 2008-09

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Un ejemplo de transmisi´on de calor

Ejemplo Una barra met´alica ha sido calentada hasta una cierta temperatura T0 y depositada en un habit´aculo cerrado que se mantiene a una temperatura constante Ta ¿cu´al es la temperatura de la barra despu´es de t minutos? Ta = 20o C

T0 = 80o C

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Ley de enfriamiento de Newton Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la variaci´on en el tiempo del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducci´on, convecci´on y/o radiaci´on es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo y a la superficie del cuerpo. Q(t) = calor transferido por la barra despu´es de t minutos. dQ = variaci´on del calor transferido. dt Ley de enfiamiento de Newton: dQ = −αA(T − Ta ) dt α = coeficiente de transmisi´on (o intercambio) de calor (> 0). A = ´area de la barra. 3

Calor y Temperatura Capacidad calor´ıfica o calor espec´ıfico de un cuerpo de masa m: c=

1 dQ m dT

Equivalentemente dQ = mc dT As´ı mc

dT = −αA(T − Ta ), dt

dT = −k(T (t) − Ta ) dt

(1)

αA k= constante asociada al material y ´area de la superficie de la mc barra. (1) es una ecuaci´on diferencial de primer orden 4


Ejemplos de ecuaciones diferenciales

x 0 (t) = 3 ´o x0 − 3 = 0 exp(t) − x 0 (t) = 1 ´o et − x 0 − 1 = 0 x 00 (t) − x + t 2 = 0 ´o x 00 − x + t 2 = 0 t = variable independiente x = variable dependiente o funci´on inc´ognita orden de una ecuaci´ on diferencial

=

orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuaci´on.

Forma general de una ecuaci´on de orden n F (t, x(t), x 0 (t), x 00 (t), . . . , x (n) (t)) = 0.

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M´as ejemplos de ecuaciones diferenciales Las letras que representan las variables pueden ser cualesquiera: x 2 y 000 (x) + e y (x) y 0 (x) + sen(y (x)) = x + cos(x) x 2 y 000 + e y y 0 + sen(y ) = x + cos(x) x = variable independiente y = variable dependiente o funci´on inc´ognita t 2 y 000 (t) + e y (t) y 0 (t) + sen(y (t)) − t − cos(t) = 0, t 2 y 000 + e y y 0 + sen(y ) = t + cos(t) t = variable independiente y = variable dependiente o funci´on inc´ognita En los problemas reales se usan letras que nos recuerden los objetos con los que trabajamos dT = −k(T − Ta ) ⇔ x 0 = k(x − a) dt 6


Soluci´on de ecuaciones diferenciales Definici´on La funci´ on x(t) se dice que es una soluci´ on expl´ıcita de la 0 (n) ecuaci´ on F (t, x, x , . . . , x ) = 0 en el intervalo [a, b] si (a) x(t) es diferenciable hasta de orden n en el intervalo [a, b], y (b) F (t, x(t), x 0 (t), . . . , x (n) (t)) = 0 es una identidad para todo t ∈ [a, b]. Si g (t, x) = 0 representa una curva que define una soluci´on de F (t, x, x 0 , . . . , x (n) ) = 0 , se dice que es una soluci´ on impl´ıcita y define una curva soluci´ on de la ecuaci´on. A las soluciones,sean expl´ıcitas o impl´ıcitas, se les llama tambi´en curvas integrales de la ecuaci´ on.

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An´alisis cualitativo de la ecuaci´on de Newton 

T 0 (t) = k(T (t) − Ta ) T (0) = T0

Si T (t) = Ta entonces T 0 (t) = 0. T (t) = Ta Soluci´ on de equilibrio. Si T0 = T (0) 6= Ta entonces dT dt (0) = k(T0 − Ta ) 6= 0 y hay cambio de temperatura.Si k > 0 y T (0) > Ta entonces dT ıa creciendo: imposible. dt > 0 y la temperatura estar´ dT = −k(T (t) − Ta ) dt

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(k > 0)


Esbozo de soluciones

Temperatura

T

Si T (0) > Ta entonces dT dt < 0. Y si t1 > 0 entonces dT 0 > dT dt (t1 ) > dt (0).

T(t)

A tiempo

t

Temperatura

T

Si T (0) < Ta entonces dT dt > 0. Y si t1 > 0 entonces dT dT dt (0) > dt (t1 ) > 0).

A

T(t)

tiempo

t

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C´alculo anal´ıtico ¿Cu´al es la temperatura de la barra al cabo de 60 minutos?¿Cu´anto tiempo debe pasar para que la temepratura de la barra sea 40o cent´ıgrados? T (60) =?

T (?) = 40

Sustituci´ on: P(t) = T (t) − Ta ⇒

dP dt

=

dT dt

T 0 = −k(T − Ta ) ⇔ P 0 = −kP P(t) = ce −kt ,

c una constante cualquiera.

Deshaciendo el cambio: T (t) = P(t) + Ta = ce −kt + 20 Imponemos la condici´ on inicial: T (0) = 80o 80 = T (0) = ce −k·0 + 20 ⇒ c = 80 − 20 = 60 Soluci´ on: T (t) = 60e −kt + 20 10

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