Issuu on Google+

SYSTEMY LICZBOWE


SYSTEM DWÓJKOWY •Systemem liczbowym stosowanym w technice cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system liczbowy o podstawie 2. •Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości istnienia dwóch stanów, które można interpretować jako dwie różne cyfry. •W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz dwóch cyfr: 0 i 1. • Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23), itd.


Wartości dziesiętne wybranych liczb zapisanych w systemie dwójkowym: Zapis w systemie dwójkowym

Wartość w systemie dziesiętnym

Wartość w systemie dziesiętnym

Zapis w systemie dwójkowym

1

20 = 1

0,1

2-1 =0,5

10

21 = 2

0,01

2-2 =0,25

100

22 = 4

0,001

2-3 =0,125

1000

23 = 8

0,0001

2-4 =0,0625

10000

24 = 16

0,00001

2-5 =0,03125

100000

25 = 32

0,000001

2-6 =0,015625

1000000

26 = 64

0,0000001

2-7 =0,0078125

10000000

27 = 128

0,00000001

2-8 =0,00390625

100000000

28 = 256

0,000000001

2-9 =0,001953125

1000000000

29 = 512

0,0000000001

2-10 =0,0009765625

210 = 1024

0,00000000001

2-11 =0,00048828125

10000000000


Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny. W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system dwójkowy:


Wzór ogólny liczby naturalnej zapisanej w systemie binarnym gdzie: • k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej), •bk to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu binarnego, bk є {0, 1}


Zamiana ułamka dziesiętnego na binarny:


SYSTEMY: ÓSEMKOWY I SZESNASTKOWY


SYSTEM ÓSEMKOWY

Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:

01234567


SYSTEM ÓSEMKOWY Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23. Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest trzykrotnie.


SYSTEM ÓSEMKOWY


SYSTEM SZESNASTKOWY

W tym systemie mamy szesnaście cyfr:

0123456789ABCDEF Symbolom literowym odpowiadają wartości dziesiętne: A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15


SYSTEM SZESNASTKOWY Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis binarny czterokrotnie.


Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny) Dec – system dziesiątkowy (decymalny) Oct – system ósemkowy (oktalny) Bin – system dwójkowy (binarny)


Wzór na wartość n-cyfrowej liczby całkowitej zapisanej w dowolnym systemie liczbowym: gdzie: • k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej), • ck to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu, ck є {0, 1, …, r – 1}


Działania arytmetyczne w różnych systemach liczbowych Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w różnych systemach liczbowych są takie same jak w znanym Ci systemie dziesiętnym. Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb. Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.


Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych.

System dwójkowy System czwórkowy Dalej


Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych.

DODAWANIE

MNOŻENIE

+

0

1

×

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

10

1

0

1

System czwórkowy


Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych.

DODAWANIE

MNOŻENIE

+

0

1

2

3

×

0

1

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

1

2

3

10

1

0

1

2

3

2

2

3

10

11

2

0

2

10

12

3

3

10

11

12

3

0

3

12

21

System dwójkowy


Znasz już sposób postępowania przy zamianie

liczby z układu dziesiętnego np. na układ ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez 8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności. 11000101001010111010010110111000011010110111

Na następnym slajdzie podany jest inny sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania działań arytmetycznych w różnych systemach.


Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę 835(10) w systemie ósemkowym • Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym: 8(10) =10(8)

Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr – wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku: 83(10) =8(10) ·10(10) +3(10) =10(8) ·12(8) +3(8) =120(8) +3(8) =123(8) Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z trzech kolejnych cyfr: 835(10) =?(8) 835(10) =83(10) ·10(10) + 5(10) =123(8) ·12(8) + 5(8) =1476(8) + 5(8) =1503(8) W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.


Systemy liczbowe