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SISTEMA DE NUMEROS NÚMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD NÚMEROS PRIMOS MÍNIMO COMÚN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR

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Z  = Conjunto de los Números Enteros  Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

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PRODUCTO EN Z 

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente ley de los signos : (+) · (+) = + (-) · (-) = + (+) · (-) = (-) · (+) = 3


DIVISIBILIDAD 

Un número entero A es divisible entre otro número entero  positivo B, si al dividir A entre B la división resulta exacta. A B A Є Ζ , BЄΖ+ 0 K KЄΖ

Se dice :

“ A es divisible entre B ” “ B es un divisor de A ” 4

ó


MULTIPLICIDAD 

Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por un número entero K. A = B.K

A Є Ζ , BЄΖ+ KЄΖ Se dice : “ A es múltiplo de B “ ó “ B es un factor de A “ 5


DIVISIBILIDAD < > MULTIPLICIDAD Indicar que: un número entero A es divisible entre ó múltiplo de otro número positivo B, se considerará equivalente, y se denotará: o o A=B ó A = B ó A=nB, n  Z B: Módulo Ejemplos: o o o o 21= 7 , - 45 = 9 , 5 = 5 , 0 = 3 

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OBSERVACIONES 

Todo número entero positivo es divisible por si mismo y por la unidad.

La unidad es divisor de todo número entero .

El cero es múltiplo de todo número entero. 7


CRITERIOS  DE  DIVISIBILIDAD 

Es un conjunto de reglas que , aplicadas a las cifras de un número , nos permite anticipar entre qué cantidades es divisible dicho número. En caso contrario , nos permite calcular el residuo en forma directa.

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Número Criterio 2 * El número acaba en cifra par 3 * La suma de sus cifras es múltiplo de 3 4   * El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4 5 * La última cifra es 0 ó 5 9 de 9

* La suma de sus cifras es multiplo

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REPRESENTACION LITERAL DE UN NUMERO  Cuando no se conocen las cifras de un número éstas se representan mediante la notación: N = abcdef

EJEMPLO: Si el número se escribe como : N  abcdef o

o

abcd e f 3 ó 9 10


NUMEROS PRIMOS 

Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y el mismo número. Ejemplos: 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…

Todos los números primos son impares, a excepción del 2. 11


Números Simples: Son aquellos números enteros positivos que poseen a lo más dos divisores, y están formados por la unidad y los números primos. Ejms: 1, 2, 3, 5, 7, 23, 29, 37, 89, 187, 193,..  Números Compuestos: Son aquellos números enteros positivos que poseen más de dos divisores. Ejemplos: 4 , 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, … 

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NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (P.E.S.I.) 

Se les denomina también primos relativos o coprimos, y son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad.

Ejm. 6, 14, 21 son números P.E.S.I porque DIVISORES

6 : 1, 2, 3, 6 14 : 1, 2, 7, 14 21 : 1, 3, 7, 21

,el único divisor común es 1

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PROPIEDADES Dos o más números consecutivos son siempre números P.E.S.I.  Dos o más números impares consecutivos son siempre números P.E.S.I.  Si dos números A y B son P.E.S.I. entonces: a) A, B y A + B son P.E.S.I. b) A, B y A – B son P.E.S.I. 

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA. 

Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes , elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es única, salvo el orden de sus factores. A esta representación se le denomina: Descomposición Canónica del Número.

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones: 1. Es un múltiplo común de los números.

2. Es el menor de estos múltiplos comunes.

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Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8 o

4o 6

: 4,8,12,16, 20,24, 28, 32, 36, 40,44,48…

8

: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …

o

: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …

Múltiplos comunes: 24, 48, … El menor de estos múltiplos comunes es 24 M.C.M.(4, 6, 8) = 24 17


Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180 

40

78

180

2

20

39

90

2

10

39

45

2

5

39

45

3

5

13

15

3

5 1

13 13

5 1

5 13

1 1 MCM(40, 78,1 85)=2.2.2.3.3.5.13 = 4680 18


Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180

3

40 = 2 .5 78 = 2 .3.13 2 2

180 = 2 .3 .5 яБо

3

2

MCM(40,78,180) = 2 .3 .5 .13 = 4 680 19


MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones:  1. Es un divisor común de los números. 

2. Es el mayor de los divisores comunes. 20


Ejm. Halle el MCD de 12, 16 y 20 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 16 : 1, 2, 4, 8, 16 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores comunes: 1, 2, 4 El mayor de estos divisores comunes es 4 M.C.D.(12, 16, 20) = 4 21


MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D.

Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800 

400 200 100 50 10 2

800 1800 2 400 900 2 200 450 2 100 225 5 20 45 5 4 9 PESI MCD(400,800,1800)=2.2.2.5.5 = 200 22


Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800

4 2

400 = 2 .5

5 2

800 = 2 . 5

3 2 2

1800 = 2 .3 .5 яБо

3

2

MCD(400,800,1800) = 2 . 5 = 200 23


PROPIEDADES FUNDAMENTALES 

Con respecto a las operaciones con números múltiplos de un mismo módulo:

o o o a) n + n = n

o o o b) n - n = n

o o c) Si A = n ∧ K ∈ Ζ ⇒ K.A = n o o + m =n d) Si A = n ∧ m ∈ Ζ ⇒ A 24


Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos: i) Si 

A=

o a

,A=

ii) Si

N=

o a±r

o b ∧A

=

, N=

⇒N =

o c ⇒A

o b±r

=

o MCM (a , b, c)

∧ N=

o MCM ( a , b, c ) ± r 25

o c

±r


ď Ž

Dado un nĂşmero N donde:

CD ( N ) : Cantidad de divisores de N CDS( N ) : Cantidad de divisores simples de N CDP( N ) : Cantidad de divisores primos de N CDC ( N ) : Cantidad de divisores compuestos de N

Se cumple: CD ( N ) = CDS( N ) + CDC( N ) CDS( N ) = 1 + CDP( N ) 26


Si un número canónicamente: α

N β

se

descompone

γ

N = a .b .c ....... Entonces:

CD N = (α + 1).(β + 1).( γ + 1)...

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Sistema de Números  

En el presente documento veremos multiplicidad, divisibilidad, MCM, MCD y números primos

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En el presente documento veremos multiplicidad, divisibilidad, MCM, MCD y números primos

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