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Última atualização 07/08/2006

ÁREA1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação Disciplina: Álgebra Linear Professor(a): _____________________________ Data _____ / _____ / _____ Aluno(a): ___________________________________________ Turma______

1a. Lista de Exercícios

O início da teoria das matrizes remonta um artigo de Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a idéia de matriz preceda a de determinante, historicamente ocorreu o contrário: de fato, os determinantes já eram usados há muito na resolução de sistemas lineares. (Hygino H. Domingues) A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVIII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares. Hoje em dia, embora não sejam um instrumento prático para resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas. (Gelson Iezzi &

Samuel Hazzan)


Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes

Questão 1.

Considere as matrizes

( )

A = aij

2 x2

i + j , i = j 0, i ≠ j

, tal que aij = 

( )

B = bij

e

, tal que bij = 2i − 3 j .

2 x2

Determine A + B . x − 2 y  1  1  = x + 18 4   y − 3x 

Questão 2.

Determine o produto x . y para que se tenha 

Questão 3.

Considere as seguintes matrizes: A = 

y + 1 . 4 

1 2   5 0 1 − 3 4  1 2  , B =   , C =   , D =   3 − 4 − 6 7  2 6 − 5 3 4

5 4   . e E =   6 11 a) Determine 5 A − 2 B e 2 A + 3B . b) Determine A 2 = AA e AC. c) Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, DE = ED) e A e B não comutam (isto é, AB ≠ BA).

2x 1   0  2  Determine, se possível, x ∈ℜ para que a matriz  x 0 − 4 x  seja:  x + 1 x3 0  

Questão 4. a) simétrica.

b) anti-simétrica.

1 2  . Ache uma matriz B = bij 3 6 (observe que AB = 0 não implica A = 0 ou B = 0 ). Questão 5.

Seja A = 

( )2 x3 , com todos os elementos distintos, tal que AB = 0 .

Questão 6.

 2 −1 1    Considere A =  − 3 4 − 3 . Mostre que    − 5 5 − 4

A é idempotente, isto é, que A 2 = A .

Questão 7.

 1 −1 1    Considere B =  − 3 3 − 3 . Mostre que B é nilpotente, isto é, que    − 4 4 − 4

Questão 8.

Sejam

( A .X ) t

−1

( )

= B −1

Questão 9.

A + B .X = C .

−1

 1 3 − 1 0   e B =   . A −1 =  0 1  2 − 1

Determine,

se

B n = 0 para algum inteiro n ≥ 2 .

possível,

a

matriz

X

tal

que

.

4   1  2   − 1 − 2  . Determine, se possível, a matriz X  , B =   e C =  − 4 − 8  − 1 − 3 − 5

Sejam A = 

tal que

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Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes

Questão 10.

Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:

2 x + y − 2 z = 10  a) 3 x + 2 y + 2 z = 1 5 x + 4 y + 3 z = 4  x + y + z = 4  d) 2 x + 5 y − 2 z = 3 x + 7 y − 7 z = 5 

Questão 11.

 x − y + 2 z − w = −1 2 x + y − 2 z − 2 w = −2  c)  − x + 2 y − 4 z + w = 1 3x − 3w = −3

x + 2 y − z = 0  b) 2 x − y + 3 z = 0 4 x + 3 y + z = 0 

x + y + z + t = 0 x + y + z − t = 4  f)   x + y − z + t = −4  x − y + z + t = 2

 x − 2 y + 3z = 0 2 x + 5 y + 6 z = 0

e) 

i + j , i < j  Considere a matriz A = aij , tal que aij = 2i − j , i = j . Determine X na equação AX = B , 3 x3  j − i, i > j 

( )

 − 2   onde B =  − 2 .    − 2 Questão 12.

Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:

− 4 x + 3 y = 2  a) 5 x − 4 y = 0 2 x − y = k  Questão 13.

− x − 2 y − kz = 1  b) S : kx − y + z = 2 x + y + z = 0  Calcule o determinante das matrizes abaixo: 1 3 4    b)  5 2 − 3   1 4 2 

 3 − 1  a)  4 2 

1  3 d)  2  0

3 2 0  1 0 2 3 0 1  2 1 3

Questão 14.

2 x − 5 y + 2 z = 0  c)  x + y + z = 0 2 x + 0 y + kz = 0 

0  0 e)  a  1

 − 1 − 4 − 6   c)  0 − 2 − 5   0 − 3  0

1  0 f)  0  0  0

a b 1  1 0 0 a 0 b  b a 0

2 3 4 a 1 2 0 b 1 0 0 c 0 0 0

5  3 2  1  d

Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer.

2 x + y + 2 z = 4  a)  x + 2 y + z = −1 3 x + 5 y + 2 z = 1 

x + 3 y − z = 0  b) 2 y + 2 z = 0 x + y + z = 0 

x + y − z = 0  c) 2 x + y + z = 1 3 x − y + z = 1 

− 1 − 4 2 1   a  − 32      d)  2 − 1 7 9   b  =  14  − 1 1 3 1   c   11        1 − 2 1 − 4  d   − 4 

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Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes

Questão 15.

Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em

caso afirmativo, determine a sua inversa.  1 3  a) A =   2 7

 2 5 − 1   b) B =  4 − 1 2    1 0 4

1 −1 2    c) C =  3 2 − 4    0 1 − 2

Questão 16.

 x + 2 y + 3z = 5  Resolva o sistema 2 x + 5 y + 3 z = 3 , usando inversão de matrizes.  x + 8 z = 17 

Questão 17.

Determine a corrente elétrica em cada um dos trechos indicados nos circuitos ilustrados a seguir: b)

a)

Questão 18.

Deseja-se construir um circuito como o mostrado na figura:

Dispõe-se de uma tabela de preços de vários tipos de resistências; assim como as correntes máximas que elas suportam sem queimar. Resistências R3 = 50Ω R5 = 100Ω R1 = 20Ω R2 = 30Ω R4 = 40Ω 0,5 A $10,00 $10,00 $15,00 $15,00 $20,00 Corrente 1,0 A $15,00 $20,00 $15,00 $15,00 $25,00 máxima 3,0 A $20,00 $22,00 $20,00 $20,00 $28,00 5,0 A $30,00 $30,00 $34,00 $34,00 $37,00 Que tipo devemos escolher as resistências para que o circuito funcione com segurança e a sua fabricação seja a de menor custo possível? Qual é esse custo mínimo?

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Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes Numa equação química balanceada o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos produtos. Por exemplo, 2 H 2 + O2 → 2 H 2 O . Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão facilmente. Assim em cada caso a seguir, encontre a equação química balanceada (mínima).

Questão 19.

(a) NH 3 + O2 → N 2 + H 2O . (b) C 5 H 11 OH + O 2 → H 2 O + CO 2 (c) C4 H 10 + O2 → CO2 + H 2O . Observação.

NH 3 = amônia ,

O2 = oxigênio ,

N 2 = nitrogênio ,

H 2O = água , CO2 = dióxido de carbono ,

C6 H 12O6 = gli cos e e C4 H 10 = gás bu tan o . Questão 20.

Análise de redes. Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que fluem os fluxos, entrando e/ou saindo. E em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída. Exemplo:

↑ 20

f1

f2

f 1 + f 2= 15 + 20

↓ 15

Com estas considerações, determine os possíveis fluxos da rede de encanamento de água mostrado na figura a seguir, onde o fluxo é medido em litros por minuto.

↓5 A

f1 →

20 ↓ f 4

f3 →

10 →

D

B

10 →

↓ f2 5

C

↓30

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Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes

Respostas Q1..

 1 − 4   1 2 

Q2..

10

Q3.

a) 

b) 

Q4..

a) x = 0

b) x = −2

− 6 9  7 − 6  5   e  − 9 22   − 5 − 33 32 

4  − 5 10   17  e  27 − 34 − 12 13    

Q5.

4 6  2  . Existem outras. B=  − 1 − 2 − 3

Q8.

−1 0     − 5 − 1 2 x 2

Q9.

(1

3 )1 x 2

Q10. a) ( x , y , z) = (1,2 ,−3) d) não existe solução.

b) (− α ,α ,α );α ∈ R

c) (α − 1,2 β , β ,α );α , β ∈ R

e) (−3α ,0,α );α ∈ R

f) ( x , y , z , t ) = (1,−1,2 ,−2)

 − 1

Q11. X =  1   − 1  

Q12. a) Se k ≠ −6 o sistema é impossível; Se k = −6 o sistema é possível determinado.

b) Se k = 0 o sistema é impossível; Se k ≠ 0 e k ≠ 1 o sistema é possível determinado; Se k = 1 o sistema é possível indeterminado. c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado; Se k ≠ 2 o sistema é possível determinado.

Q13. a) 10

c) − 6

b) 49

Q14. a) ( x , y , z) = ( 5,−2 ,−2)

b) ( x , y , z ) = ( 0,0,0)

 7 − 3  − 2 1 

Q15. a) A −1 =  Q16..

 16 

b) B −1 =  2 27

  − 8 27

c) ( x , y , z ) = (1 4 ,1 8 ,3 8) 16

− 1 27 4 27

−1 6  4 27   11 27

f) abcd d) (a ,b ,c , d ) = (5 ,8 ,3 ,−1)

c) C não é inversível.

(x, y, z ) = (1,−1,2)

Q17. a) (i1 ,i2 ,i3 ) = (− 1,3,−2 ) Q18.

e) a2 + b2

d) 48

(i1 , i2 , i3 , i4 , i5 ) = (3,68; 1,61;

Q19. a) ( 4 ,3,2 ,6 )

b) (i1 , i 2 , i3 , i4 ) = (− 2 ,1,−1,2 )

0,16; 1,45; 2,07 ) . O custo mínimo é $ 115,00. b) ( 2 ,15 ,12 ,10 )

c) ( 2 ,13,8 ,10 )

Q20. ( 15 − f 4 , 5 − f 4 , 20 + f 4 , f 4 ) , onde 0 ≤ f 4 ≤ 5 .

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aula 1  

exercicios

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