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© Jean Pierre Délèze, ing. EPFL, 2018

Stratification des Nombres premiers, colonnes remarquables Diffusion Ce document peut être librement copié et diffusé à condition que ce soit intégralement et sans aucun changement. Il est également possible de copier et diffuser des extraits à condition d’indiquer clairement l’auteur comme dans le copyright ci-dessus.

Remerciements Trop nombreuses sont les personnes à qui je suis redevable à un titre ou un autre pour ce projet. À défaut de les mentionner toutes, en voici deux éminentes : Ératosthène, pour son génie Oliva, ma femme, pour sa patience.

Table des matières Résumé................................................................................................................................................2 Largeurs de grille.................................................................................................................................2 Exemples de grilles..............................................................................................................................2 Calcul des colonnes remarquables.......................................................................................................4 Définitions de base...........................................................................................................................4 Logique des « formations » (solos, duos, trios etc).........................................................................5 Combinatoire pour les colonnes remarquables................................................................................6 Raffinement des grilles........................................................................................................................7 Conclusion...........................................................................................................................................7


Résumé Les nombres premiers, lorsqu’ils sont présentés dans des grilles de largeur spéciale, montrent une stratification en colonnes. La liste de ces colonnes obéit à une règle de calcul un peu complexe mais précise. On peut utiliser ces colonnes pour guider la recherche des nombres premiers, en évitant une large proportion de zones que l’on sait dépourvues de nombres premiers.

Largeurs de grille Les largeurs de grille qui montrent la stratification sont des produits d’une suite de nombres premiers, comme dans le tableau ci-dessous. NP

Produit

2

2

=2

3

2*3*

=6

5

2*3*5

= 30

7

2*3*5*7

= 210

11

2*3*5*7*11 = 2310

Exemples de grilles Grille de largeur 2

Grille de largeur 30

Grille de largeur 6


ReprĂŠsentations graphique, colonnes en rouge, nombre premiers en noir, symĂŠtrie en bleu. Grille de largeur 30

Grille de largeur 210

Grille de largeur 2310


Calcul des colonnes remarquables Définitions de base Pour la suite de l’exposé, on utilise les symboles suivants : NP PP(NP)

abréviation pour Nombre Premier Produit des Nombres Premiers jusqu’à NP. NP

PP(NP)

2

2

=2

3

2*3*

=6

5

2*3*5

= 30

7

2*3*5*7

= 210

11

2*3*5*7*11 = 2310

Considérons une grille dont la hauteur est NPi, et la largeur PP(NPi-1), par exemple : hauteur 7 largeur 30 = 2*3*5 taille 210 = 30*7 Sa première ligne a pour contenu la grille précédente. Dans l’exemple de la grille de taille 210, la grille précédente serait la grille de taille 30. Soit NPL la liste des nombres premiers de la première ligne, à partir de NPi. Dans l’exemple choisi, on aurait : NPL = 7, 11, 13, 17, 23, 29. Telles sont les colonnes remarquables pour cette grille. Soit CRL la liste des colonnes remarquables. Pour la grille de taille 210, CRL = NPL. Pour la grille suivante, on doit également utiliser les carrés des NP de la liste, ainsi que les produits des couples de NP de la liste, en veillant à ne pas mettre dans CRL un numéro qui déborde de la largeur de la grille. La formule se généralise comme suit. La CRL comprend : 1) les NP de NPL, puis 2) les produits de couples de ces NP, y compris les carrés 3) les produits de tous les trios, obtenus en prenant chaque NP de NPL combiné avec chaque couple produit à l’étape 2) 4) les produits de tous les quatuors, obtenus de la même façon 5) puis les produits des quintettes, sextuors etc. Appelons formation 1 les solos, formation 2 les duos, formation 3 les trios etc. En résumé : la CRL contient les solos (la liste NPL elle-même), puis les produits des duos, trios, quatuors etc.. Toutefois on ne doit aborder une formation n que si NP1n est inférieur à la largeur de la grille. Par exemple on s’arrête avant les quatuors si NP14 > L (largeur de la grille), NP1 étant le premier NP de NPL. Sous cette forme, cela engendrerait encore beaucoup trop d’éléments, par exemple on pourrait prendre trois fois la valeur de 13*11*11, sous les formes 11*13*11 et 11*11*13. En outre on doit respecter la limite de la largeur de la grille. Il a donc fallu élaborer une systématique pour obtenir une CRL non redondante.


Logique des « formations » (solos, duos, trios etc) Considérons les nombres a, b, c, d, de valeurs croissantes. (a < b < c < d), dont on va lister les solos, duos, et trios. Solos c'est simplement nos 4 nombres: Duos c'est une matrice: a b c d

a aa ab ac ad

b ab bb bc bd

c ac bc cc cd

c ad bd cd dd

Mais en fait on laisse tomber les termes en dessous de la diagonale, qui apparaissent déjà en dessus de la diagonale. Restent 10 termes sur 16. \ a b c d a aa ab ac ad b bb bc bd c cc cd d dd Trios: matrice avec en colonne les 10 trios de l’étape précédente et en ligne les 4 nombres: \ aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd a aaa aab aac aad abb abc abd acc acd add b baa bab bac bad bbb bbc bbd bcc bcd bdd c caa cab cac cad cbb cbc cbd ccc ccd cdd d daa dab dac dad dbb dbc dbd dcc dcd ddd Mais là également on doit laisser tomber des nombres. Par exemple, sur la ligne b: baa=aab, bab=abb, bac=abc etc. On obtient: \ a b c d

aa aaa

ab aab

ac aac

ad aad

bb abb bbb

bc abc bbc

bd abd bbd

cc acc bcc ccc

cd acd bcd ccd

dd add bdd cdd ddd

Comme on le voit, on laisse tomber dans la ligne x les produits situés avant le produit xxx. Donc pour chaque ligne L d’une formation n (trio : n=3, quatuor : n=4 etc.), on ne considère, sur la ligne, que les produits à partir de Ln.


Avec l’exemple a, b, c, d, si l’on prend des matrices complètes on récolterait beaucoup de termes: solos 4 duos 16 trios 64. Total 84 En tenant compte de la condition sur les carrés et les cubes, on obtient : solos 4 duos 10 trios 20 Total 34 On économise 84-34 = 50, soit plus de la moitié des éléments. Cette économie est essentielle pour les grandes grilles afin de limiter autant que possible le temps de calcul.

Combinatoire pour les colonnes remarquables Considérons une grille dont la hauteur H est NPi, et la largeur L est PP(NPi-1). Sa première ligne a pour contenu la grille précédente, et contient des nombres premiers. Soit NPL la liste des nombres premiers de la première grille à partir de NPi. Par exemple, pour la grille n°3, de largeur 30 (2*3*5) et de hauteur 7: NPL = 7, 11, 13, 17, 23, 29 Soit CRL la liste des colonnes remarquables. Soit NP1 le premier nombre de NPL (qui se trouve être la hauteur de la grille H). La CRL contient les produits des formations solos, duos, trios, quatuors etc. Appelons CRLi les produits de la formation i, soit : CRL1 les solos, la liste NPL elle-même CRL2 les duos, les produits des couples de NP pris dans NPL, mais pour chaque ligne NPL de la matrice, seulement depuis NPL2 CRL3 les trios, où pour chaque NP, on ne prend les duos que depuis NP2 CRL4 les quatuors, mais pour chaque NP, on ne prend les trios que depuis NP3 On ne prend une formation CRLn que si NP1N < L (largeur de la grille). Les produits de la formation CRLn sont les produits de chaque NP de NPL avec chaque produit obtenu de la formation précédente ; toutefois, pour chaque NP, on ne prend les produits de la formation précédente que depuis NPN, et si ce nombre manque dans la formation précédente, alors il n’y a plus d’éléments à ajouter, car ils seraient tous au-delà de L (largeur de la grille).


Raffinement des grilles Une fois que l’on a la liste des colonnes remarquables, on peut ébaucher la grille, mais il y a encore tout un travail pour finaliser la grille. En effet, les colonnes remarquables disent où se trouvent les nombres premiers, mais dans ces colonnes il se trouve également des nombres non premiers, qu’on doit barrer. Voici l’algorithme en pseudo-code Soit RCL la liste triée des colonnes remarquables. Pour tout N dans RCL Pour tout M dand RCL Prod = N*M Si Prod < LargeurGrille barrer ce nombre, car c’est un multiple : crible[Prod] = False Sinon, mettre fin à la boucle sur M en effet les produits suivants dépasseraient la largeur de grille Cet algorithme est simple, mais il exige que la liste des colonnes soit triée. Dans notre cas, il existe un moyen simple de trier les colonnes. Lorsqu’on a constitué la liste des colonnes, on l’utilise ensuite pour remplir la grille à partir de la 2e ligne. Cette 2e ligne fait partie du crible, et consiste en une suite de booléen. On peut donc récupérer la liste des colonnes simplement en parcourant cette 2e ligne et en faisant la liste des éléments marqués – la liste résultante est de ce fait triée et sans doublons. C’est un tri efficace mais c’est un cas particulier : on trie des entiers (cardinaux) en les « projetant » dans un tableau de booléens d’une dimension égale au plus grand de ces entiers, l’information étant toute contenue dans l’indice du booléen.

Conclusion En utilisant la logique des grilles et des colonnes remarquables, on a pu lister les nombres premiers sans visiter les larges zones dépourvues de nombres premiers (les colonnes « blanche » : les colonnes non remarquables). La concordance avec Ératosthène a pu être établie pour un crible allant jusqu’à environ 9 millions, maximum atteignable avec les moyens disponibles. Les programmes ont été développé en Python et en Delphi (Lazarus).

Pndoc 17 fr b  

Les nombres premiers, lorsqu’ils sont présentés dans des grilles de largeur spéciale, montrent une stratification en colonnes. La liste de...

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