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Edición 2 / 2011
(que acotan el largo de la envolvente original), entonces se cumplirá también para cualquier triángulo. Como esto lo demostramos para un triángulo arbitrario, dados los argumentos anteriores para las cotas por curvas poligonales, tenemos entonces que siempre, para cualquier curva convexa, es más corto irse por el arco. (c) Extensión: Puntos A y B fuera de un eje de simetría del obstáculo convexo Cuando los puntos A y B colineales no se encuentran en un eje de simetría del objeto obstáculo, no podemos quedarnos arbitrariamente con un sólo semiplano, y con nuestro método ya no obtenemos una solución limpia. Una forma de resolver el problema sería colocar el eje X a lo largo de la linea AB y estudiar el problema por separado en los semiplanos y ≥ 0 e y < 0. Con esto obtenemos dos posibles soluciones: la curva minimizante en el semiplano superior y la curva minimizante en el semiplano inferior. Entre estas dos escogemos la que tenga menor largo. Esa será la solución al problema global. Es notable entonces que la perdida del eje de simetría puede implicar unicidad de la solución. Esto lo podemos discutir con un ejemplo: la elipse rotada. Consideramos el mismo problema que en la sección B, pero con la diferencia que la linea AB no coincide con alguno de los semiejes, pero aun contiene al centro de la elipse la cual hemos rotado. En este caso la unicidad de la solución dependerá de la ubicación de los puntos A y B. Si estos se encuentran a la misma distancia que el centro de la elipse, entonces seguiremos manteniendo dos soluciones distintas, sólo que estas, ya no son un reflejo (una de la otra) respecto al eje X. Esto se debe a que en este caso, sigue existiendo una simetría remanente, que es la simetría de reflexión en torno al centro de la elipse. De esta manera, las soluciones serán ahora reflejos una de la otra, pero respecto al origen. Si ahora, colocamos los puntos A y B en forma no simétrica respecto al origen, habremos perdido cualquier simetría. Tenemos entonces una solución para cada semiplano y debemos escoger entre una de estas dos, obteniendo entonces unicidad. Esto recuerda, un poco, la idea matemática y física, de que las simetrías acarrean consigo degeneraciones en la solución de ecuaciones y problemas en general.
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