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Solucionario del libro del alumno

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Dirección De conteniDos y servicios eDucativos Elisa Bonilla Rius Gerencia De publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González autores David Francisco Block Sevilla, Silvia García Peña coorDinación eDitorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar eDición Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Cristóbal Bravo Marván revisión técnica y asistencia eDitorial Armando Solares Rojas activiDaDes con tecnoloGía, enlaces web y evaluaciones enlace Eric Ruíz Flores González, Valentina Muñoz Porras colaboración Mónica de Lourdes Valencia (páginas 186, 187, 228 y 229) Ana Laura Barriendos (páginas 76 y 77) revisión técnica De evaluaciones Instituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (idea) coorDinación De corrección Abdel López Cruz corrección Juan Eduardo Jiménez Zurita, Guadalupe Casillas Laura Martínez, Mónica Terán Dirección De arte Quetzatl León Calixto Diseño De la serie y De portaDa Brenda López Romero coorDinación GrÁFica y DiaGramación César Leyva Acosta ilustración Raúl Castillo Tena coorDinación De imaGen Ricardo Tapia iconoGraFía Penélope Graciela Ubaldo Jurado FotoGraFía © 2011, Carlos A. Vargas, © 2011, Iván Meza © Thinkstock, 2011, © OTHERIMAGES, 2011 © Archivo Digital, 2011, Archivo SM

Conect@ Estrategias Matemáticas 1. Secundaria Primera edición, 2012 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx ISBN 978-607-24-0331-4 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad DiGitaliZación e imaGen de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Carlos A. López, Uriel Flores Moreno Donovan Popoca Jiménez, Eliana Castro Fernández Prohibida su reproducción total o parcial. proDucción Impreso en México/Printed in Mexico Carlos Olvera, Teresa Amaya

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Presentación ¿Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica más conveniente, decidir si un juego de dados es equitativo e interpretar los datos de una gráfica en una noticia del periódico son algunos de los muchos casos en que hacemos matemáticas. También hacemos matemáticas cuando contestamos preguntas propias de estas; por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5? ¿Las medidas de los lados de un triángulo pueden ser tres números cualesquiera? ¿La suma de dos números impares consecutivos siempre es múltiplo de cuatro? ¿Cómo se calcula el área de una elipse?… Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen son insuficientes. Hacer matemáticas es asimismo unamanera divertida de aprenderlas. Por ello, en este libro te proponemos numerosas cuestiones que pueden resolverse con su ayuda. Nos interesa que aprendas matemáticas y las veas como una herramienta para pensar.

Presentación para el alumno Cuando afrontas problemas nuevos debes sentirte con la libertad de poner en práctica lo que se te ocurra para resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer cómo proceden tus compañeros y con la ayuda del profesor, irá mejorando la manera en que los resuelves: será cada vez más ordenada, sistemática y comprobable. Es decir, harás mejores matemáticas. Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos y en grupo. • Al afrontar una nueva tarea es bueno que reflexiones; después, es importante que compartas ideas y dudas con los otros. Trabajar en parejas o en equipos puede serte muy útil para avanzar. • Explicar al grupo tus acciones o las de tu equipo, conocer lo que hicieron otros equipos, decidir juntos si los resultados son correctos y atender los aportes del profesor te ayudará mucho a aprender. • Después, es importante que, en algún momento, veas si puedes hacer tú solo la tarea. A lo largo del libro se sugiere el trabajo en grupo, en equipo o en parejas. Sin embargo, es el profesor quien indicará el tipo de organización más adecuada para cada momento. Esperamos, igual que todos los autores que escriben para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te anime a exclamar: “¡Esto sí me gusta!”. Los autores 3

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Guía de uso

BL OQ UE

Conect@ estrategias está estructurado en cinco bloques que tienen los siguientes elementos. cho mayor Un peligro mu ece de lo que par

1

ndo en el me iceberg flota Observa el enor sumergida men de la parte océano… El volu parte visible. or que el de la glaciares es mucho may los de en desprend Los icebergs se mente por el se mueven lenta s en los polos y tos y corriente ed de los vien océano, a merc marinas. hielo polar son imientos de de todo Los desprend íficos cient y s, frecuente cada vez más y estudian su an este proceso el mundo vigil humana. planeta con la actividad la superficie del posible relación ras partes de la mayor más de dos terce agua dulce, y El agua cubre a; solo 3% es dulce del salad es oría may s de toda el agua (72%), pero la dulce quintas parte tro agua de s(cua ues bloq los polo , gigantescos parte está en muchas rgs son, por tanto que afectan a planeta). Los icebe en la salinidad del océano es en el clima. ios ucir alteracion y producen camb incluso, prod en, pued nas; de arriespecies mari del esquema le del iceberg ntas la fracción visib damente, ¿cuá rgida. Aproxima de 1. Mide la alturaa de tado en forma de la parte sume ba y la altur s? Expresa el resul están sumergida partes del total parforma decimal. ¿Qué a? salad fracción y en de agua , ¿cuántas son agua de s 2. De cada cien parteestá fuera de los polos? del o más grande te de agua dulce En 1912 el barc ar ria del Titanic? bordo tras choc 3. ¿Conoces la histoió con más de 2 200 personas abarco muy seguro, era un que mundo se hund aban pasa d de los rg. Como pens os de la mita men con un icebe s. para parte s salvavidas dos terceras solo había bote total murieron damente, en salieron con vida? nas jeros. Desgracia perso ente,¿cuántas Aproximadam el planeta en… ón del agua en sobre la distribuci Investiga más 7 .mx/SCM1-01 www.e-sm.com

Entrada de bloque Se presenta un contexto histórico o una situación cercana a la vida de los estudiantes y se numeran los aprendizajes esperados que se lograrán en el bloque.

erados

esp Aprendizajes

números enteras. Los indibles en de cantidades resar partes erlo; por ello son impresc emos que exp hac A menudo ten cionarios nos permiten r… juga a frac ir, par necesarias r, para med decimales y as pra trez com des a : par do las has adquiri nuestra vida probarás si . bloque com intos ámbitos Al final de este tuar cálculos en dist y efec para usarlos

rios a eros fracciona ✓ Convierte núm ersa. decimales y vicev nes para a las convencio ✓ Conoce y utiliz ionarios y fracc eros representar núm . la recta numérica decimales en números o sucesiones de ✓ Representa dada y r de una regla de figuras a parti

17

viceversa.

16

Los contenidos se desarrollan en secuencias didácticas de varias lecciones. Cada secuencia cuenta con…

Competencias Se dan ejemplos de las competencias matemáticas que se desarrollan con las actividades.

O

2

erios de los crit 5. Formula ad entre 2, 3 y s divisibilid entre número ue stos. Disting y compue primos

CONTENID

Se indica el contenido que se trabaja en la secuencia.

Las secuencias se numeran por bloque. La numeración de las lecciones es continua en todo el libro.

Nombre de la lección

cción 30

cia 1 / le

Secuen

BL O Q UE

Contenido

Número de bloque, de secuencia y de lección

resolver

os os prim y númer

as, problem algunos idirse s resolver ede div Divisore útil para un número pu ente es r si tam ba ac ro a otro ex ás cómo comp ro divide . sabr é núme mbién división sin Saber qu enseguida. Ta hacer la el otro rás ente, sin y seis en como ve 5 y 9 exactam un lado 3, diez en ulo entre 2, ng de un rectá ar oc orm ga ho ede f lo que ten os se pu rectángu 0 mosaic marse un 1. Con 6 re alguno. uede for que sob saicos, ¿p sabes lo mo de mo có ad Explica a cantid ? esa mism ga doce a) Con que ten ¿Y uno o? represen en un lad s. Puedes el otro se mosaico con 60 y seis en formarse diez en un lado e podrían ne tie qu si los mplo, rectángu n. Por eje entra los ltiplicació b) Encu n una mu tarlos co 6. ta 10 × represen iente es que el coc con los es decir, mente, n exacta os de los lo divide en los lad y 6: los que n poner 10 ede ros son lo, pu me mp se nú ; por eje cos que res de un de mosai iden exactamente Los diviso residuo, 0. tidades el or, las can puesto que lo div residuo 0 eri entero y ant 60, = 6 con blema iduo 0 isores de 60 ÷ 10 En el pro 10 con res los son div 60 ÷ 6 = rectángu

a Una pist

erno. tu cuad 6. e sean 1 quen qu ros. Verifi ompañe s c . tu e con e alguno 2. contrast e no falt en qu ue rar ivisores q tos para asegu rte los d Compa cedimien m s. Divisores n sus pro Comente s número Número res de lo s diviso Divisores 15 todos lo tra en Número 3. Encu

ción multiplica En toda ros enteros, de núme lo: mp por eje 600, = 100 × 6 es son divisotor : los fac producto 600, res del de divisor • 100 es e qu puesto = 6 con 600 ÷ 100 0. o idu 600, res isor de • 6 es div e qu puesto 100 con = 600 ÷ 6 0. o idu eden res to, se pu res de Por tan iso r los div conoce ro buscando un núme licaciones las multip ojan como arr que lo . resultado

tra lo Encuen

s diviso

res de 60

Divisores

Número 1

0 y escrí

belos en

16

8

17

9

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10

2

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3

12

4

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5 6

19 20

Introducción a la secuencia En la primera lección de cada secuencia se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que estudiarás.

Puestas en común Se destaca el trabajo de dos competencias (comunicar y validar) en estos momentos.

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14

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84

4

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Guía de uso

En las secuencias se intercalan cápsulas que fomentan la reflexión y el análisis, plantean retos y fortalecen las habilidades. Ya sabemos…

BLO QUE

2

ancia I A la misma dist

as Resuelve problem que impliquen geométricos propiedades el uso de las de un de la mediatriz bisectriz de segmento y la un ángulo.

s y habilidades conocimiento

Recordatorio de conceptos o técnicas que los alumnos ya conocen.

L. Esa recta l segmento F ste la mediatriz de tos. ad anterior traza arca otros tres pun 2. En la activid habías marcado. M cinco puntos que cia de distan misma s están a la a) ¿Estos punto A F y de L?

/ lección 43 Secuencia 5

resolver

os. ¿Cómo

pasa por los se traza Practica cómo un segla mediatriz de mento en…

la mism ón de tren a er ruir una estaci podrás resolv Se decidió const de un ángulo lugar? y la bisectriz localizarías ese un segmento mediatriz de Al estudiar la este. problemas como n ruirá u const (L). Se ndo (F) y de Luisa ibles ubicaciones. las casas de Ferna l es una de sus pos egros representan El punto azu 1. Los puntos n istancia de ambas. dría construirse. pozo a la misma d s que también po puntos en lo cinco otros Marca

de AB. es la mediatriz c) La recta azul la recta. puntos sobre mos del » Marca cinco cia a los extre » Mide su distan s. segmento. cias sean iguale distan estas » Verifica que

nto están a la misma

distancia

2. e las actividades 1 y po, tus respuestas d m ento. Comenta, en el gru diatriz de un segm o para trazar la me nte procedimient o del 3. Lee el siguie ás en un extrem y abajo. b) Apoya el comp a mayor un arco arriba ás a una medid segmento y traza a) Abre tu comp segmento. que la mitad del

F

técnicas

o Este procedimient trapara también es útil tricas. zar figuras geomépara ¿Cómo lo usarías con lo trazar un triángu y uno dos lados iguales uno para diferente? ¿Y iguales? con tres lados

alos.

s trazarla, rectifíc

que pase por los que nto FL. La recta Este es el segme puntos negros. . Llámale P. nto que une los nto FL en un punto b) Traza el segme a) corta al segme trazaste en el inciso LP = ntos. FP = c) Mide los segme que trazaste? nto FL y la recta forman el segme los ángulos que d) ¿Cuánto miden

a) Traza una recta

Conceptos

Ya sabemos… al Como divide en dos segmento FL , P es su partes iguales punto medio.

Cuando es necesario, los conceptos, las técnicas o las fórmulas de la lección aparecen resaltados.

¿cómo son entre

esos ángulos, e) Por formar

o ás en el otro extrem c) Apoya el comp que y traza dos arcos del segmento res. corten los anterio

s de corte. Esa

d) Une los punto mediatriz.

Reflexionamos

recta es la

y la recta?

sí el segmento

egme cuaderno cuatro s 4. Traza en tu ices. marca sus mediatr

dicular a él se llama

nto y es perpen

de un segme por el punto medio

Sugerencias de actividades relacionadas con el uso de las TIC.

B

riz de un segme

mediat pertenecen a la Los puntos que de este. de los extremos

L

Si no puede cinco puntos.

Conectamos

m.mx/

www.e-sm.co SCM1-111

sta.

respue b) Verifica tu

dos puebl a distancia de

La recta que pasa segmento. mediatriz del

ntos diferentes y,

con el procedimi

ento descrito, 111

110

3

conocimientos y habilidades

BLOQUE

Secuencia 5 / lección 66

Polígonos y doblado de papel

Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Analiza la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

3. Traza, en tu cuaderno, cinco circunferen cias de 5 cm de radio y úsalas para traz pectivamente, un cuadrado, un pentágon ar, reso regular, un hexágono regular, un octág regular y un nonágono regular (nueve la ono dos).

Con frecuencia se usan polígonos regulares para construir mosaicos, azulejos, vitrales, e incluso fuentes, kioscos y edificios. Dan armonía y belleza al lugar donde se encuentran. En esta secuencia aprenderás a trazarlos y conocerás algunas de sus propiedades.

Los vértices de los polígonos trazados quedaron sobre una circunferencia. Esta es la circunferencia circunscrita al polígono regular.

1. Sigue el procedimiento para construir un hexágono. Necesitarás cuat ro círculos de papel de 6 cm de radio. Pueden ser de colores . Dobla el círculo a la mitad.

En contexto

Desdobla: el círculo ha que-

Dobla en tres partes iguales para obtener esta figura.

técnicas

Convivimos

45º

También quedaron marcados los ángulos centrales del polígono regular. El vértice de estos ángulos es el centro de la circunferencia circunscrita y sus lados van de dicho centro a dos vértices consecutivos del polígono.

dado dividido en seis partes iguales.

Este edificio, llamado “El Pentágono”, es la sede del Departamento

En contexto

4. En cada polígono que trazaste…

de Defensa de Estados Unidos de América.

a) verifica que todos sus lados midan b) marca un ángulo central y anota Traza líneas con tu regla para formar el hexágono.

Se relaciona un contenido que estés estudiando con un contexto de otra asignatura o de la vida cotidiana.

lo mismo.

su medida.

5. Traza una circunferencia circunscrita al

Dobla por las líneas.

Voltea la figura: tienes un hexágono regular. Pégalo en tu cuaderno.

triángulo equilátero y otra al cuadrado.

Convivimos Cuando no hayas entendido algo no dudes en preguntar a otros. Comenta a tu profesor o a tus compañeros aquello que te está costando trabajo. Esto te permitirá avanzar con más confianza en el estudio de las matemáticas. Y, si tú has comprendido algo, compártelo con aquellos a quienes se les dificulte.

a) Con los otros círculos forma un cuadrado, un octágono regular y un triángulo equilátero, y pégalos en tu cuaderno.

2. Responde. a) ¿En cuántas partes quedó dividido

el círculo?

b) ¿Cuánto mide cada ángulo marcado? c) Traza los segmentos que faltan para

Una pista

formar un polígono regular.

d) ¿Qué polígono obtuviste?

6. Traza un hexágono regular en la circunfe rencia circunscrita al triángulo y un oct regular en la del cuadrado. ágono

164

Recuerda lo que estudiaste de la mediatriz de un segmento.

165

Evaluación

Evaluaciones tipo ENLACE

(TIPO ENLACE)

BLOQ UE 1

ión Evaluac

correcta. Selecciona la opción es falsa? 1. ¿Cuál igualdad 25 0.025 = 0.025 d) _ 1 1000 = 0.125 c) _ 1 8 = 0.5 4 b) _ = 1.3 a) _ 5 3 qué otra manera es de 5/8 de milla. ¿De , la distancia a recorrer caballos de carrera una 2. En esta distancia? se puede expresar d) 5.8 millas c) 0.85 millas b) 0.625 millas a) 0.58 millas

Con estas evaluaciones podrás evaluar tus conocimientos. Reactivos de opción múltiple para repasar y consolidar lo que sabes hacer.

señala 3. ¿Qué número

la flecha?

1

4. ¿Qué regla genera

12 b) La serie inicia en – a número. y se va sumando 3 a cad

n m

la sucesión –12,

5. ¿Qué expresión a) 2m × 2n

12 c) La serie inicia en – ro. . número a núme y se va sumando 5 a cad 12 d) La serie inicia en – ro.. número a núme y se va restando 3 a cad

perímetro del rectáng permite calcular el c) m + n

b) 2m + 2n

obtiene 6. ¿Qué figura se

con las siguientes

×n d) m × n

instrucciones?

dos miden 14 cm.

a) Un cuadrado cuyos la

b) Un rectángulo cuyos

lados miden 3 y 6 cm. dos miden 8, 3 y 6 cm.

c) Un triángulo cuyos la

d) Un cuadrilátero, dos d

ielos: ¿la

Rascac

altura es

m y los otros, 6 cm.

e cuyos lados miden 3 c

s? la que ve s de los

os de tre unos dat

ejan alg la se refl

En la tab

i Torre Taipe (Taipei) 1999-2004 101

Construcción

Torre Willis (Chicago) 1970-1973 108 3 2

418 064 m 442.3 m

2

2

395 000 m 452 m 410 m

442.3 m -13.1 m

s Torres Petrona ) pur (Kwala Lum

Torre Taipei (Taipei)

Torre Willis (Chicago)

del Willis? ¿Y hasta la cio Taipei? 0 o piso del edifi -31.5 m torres. altura del últim o de ambas Willis no hasta la e e al conjunt último sóta correspond s es más alta la torr la base del cada rascacielos? e Willis. a de dad l des ie tota s vece la torr ancia hay ia de los pisos de m. ¿Cuánta que la superfic Taipei y de 1. ¿Qué dist Pregunta ¿Cuál es la altura med un piso del edificio onas. Ten en cuenta ad de México. Mide 230 Petr de 2. es cie ta Ciud torr la erfi gun las en sup Pre de la la Reforma de un piso 3. Calcula ENCIAS Pregunta Calcula la superficie uentra en el Paseo de COMPET noma 4. era autó Pregunta La Torre Mayor se enc as de man matemática 4. problem ción Resolver unicar informa Pregunta que la Torre Mayor? Com la niña.

eros

los núm

–dijo . tas partes que dos cuar tó el Sombrerero Loco lo mismo ia tarta es tes —la felici el pelo? Med fracciones equivalen —dijo el tomando las de la tarta —¿Me estás , acabas de descubrir erte el 50% ó la Liebre. na y prefieres com lo —Muy bien _1 = _1 —añadi también es gloto de la tarta —Claro: 2 4lo mejor eres una 50% El a —. e tó Alicia ro Loco —Aunqu ! —protes Sombrere ro. tiempo orejas. rme el pelo fica que el s horas. Sombrere do con las eros y poco bajo —Eso signi Charlie—. bien de toma los ojos. toman a toda ue de núm o, aplaudien tó —¡Ya está mitad. e de Marz ntó el Lirón sin abrir d —contestó ño, pues lo la diagonal del bosq en una mesa dispuesta Liebr extra la —comen de la ó té mita ndo el tiene nada zando por mismo que tan lista! —exclam la mitad? —pregu o que tomar la s en eron avan Lo cual no Marzo toma que muy junto ente, sigui —¡Qué niña 50% es lo mismo cincuenta, es lo mism la Liebre de plicó el Som el Y, efectivam n al Sombrerero y ía profundamente. s se habían agrupado r: s cien —¿Por qué de cien partes toma la tarta! —re nsale n a grita después viero ellos, el Lirón dorm si que partir uno que partirla en los tres come ro empezaro —Porque Alicia. Entre la que tiene y sin embargola Liebre y el Sombrere un árbol. nte amplia no eres tú en dos trozos y darte , muy grande, rápidame as. nota que aba en una o partirla matemátic La mesa era Al ver acercarse a Alicia ¡Cómo se que se sent enigmáticamente, es lo mism 0). Malditas Números. —Ah, ¿sí? , a la vez tti, C. (200 una esquina. ¡No hay sitio! . ¿Crees que los , indignada la seguía sonriendo Frabe de ro— niña País sitio! la el brere ? Alicia en e de —¡No hay de sobra —replicó mesa. Charlie, que cincuenta la untó la Liebr trozos y darte —Hay sitio a a la cabecera de s? —le preg habí cuartas parte butaca que lado. zana o dos tes man isa. su dien de a sonr Ingre ia tarta se sentó quiosa harina eres, med 1 ía una obse 1 _2 taza de —¿Qué prefi , mientras le ofrec r qué? 2 huevos ero Loco? ¿Po ofrecen a Alicia? Marzo a Alicia manzanas limón 2 le iendo del Sombrer 1 yogur de a pregunta fracción de tarta que a que se estaban com . _1 taza de 4 s a la últim la gen _1 taza de leche zan 2 é respondería as aparece expresada arar la tarta de man los que muestra la ima mermelada _3 taza de aceite ? form de prep gunta 1. ¿Qu son

nes Fraccio

to: Alici de cuen os están y sus amig

tomando

país de

el té de las

cinco

diez s do Pre ntas s? ¿Y para ha encarga seis persona a la 2. ¿De cuá Pregunta El Sombrerero Loco se Los ingredientes para nte para cuatro persona durmió, y al llegar de 3. se d Pregunta en el té de las cinco. esita de cada ingredie ingredientes pero ¿Qué cantida prar los podrá invitar? tidad nec a) ¿Qué can el encargado de com¿A cuántos comensales era b) El Lirón quedaba un huevo. ra? solo aho ará tienda nte necesit cada ingredie

80

Sugerencias para la resolución de algún problema o ejercicio con cierto grado de dificultad.

ENCIAS COMPET noma era autó as de man entemente efici problem Resolver Manejar técnicas

mu s altos del

5

5 412 500 m 508 m 448 m

rráneos Niveles subte Superficie antena Altura con el último piso Altura hasta o Último sótan

edificios

Una pista

ias

ndo.

nas Torres Petro ur) (Kwala Lump 1992-1998 88

Sugerencias que apoyan el desarrollo de las competencias actitudinales y los valores.

mpetenc

o mis co

en jueg

a en el

ulo?

os A y B. cm y llamar sus extrem i) Trazar un segmento de 8 etal en un extremo cm, colocar la punta de m ii) Abrir el compás 3 cia. rencia. a circunferencia. cunferen circunfe r otra cir del segmento y trazar un e metal en el otro y traza D. 6 cm, colocar la punta d encias y llamarlos C y D. iii) Abrir el compás ircunfer e se cruzan las c iv) Marcar los puntos dond y DA . ntos de recta AC, CB, BD v) Trazar los segme

78

–7, –2, 3, 8, 13, 18…?

12 a) La serie inicia en – a número. y se va restando 5 a cad

3 d) 1 _ 4

1 c) 1 _ 3

5 b) _ 4

3 a) _ 2

A) (TIPO PIS

Pongo

1

BL OQ UE

Pisos 2

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Preguntas que ayudan a profundizar el aprendizaje de los contenidos.

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Evaluaciones tipo PISA Respóndelas en tu cuaderno. Podrás hacerlas de forma individual o en equipo. Es importante que argumenten y justifiquen las respuestas y procedimientos desarrollados. 5

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Guía de uso

Al finalizar cada bloque encontrarás otras dos secciones.

s en... Las matemática Los números

Las matemáticas en… Se proponen situaciones de la vida cotidiana, la naturaleza, la música, y de otros ámbitos en los que, sorprendentemente, hay un conocimiento matemático en juego.

Y para terminar...

primos

logrado deros primos y han iado los núme respuesta. áticos han estud as preguntas sin edad, los matem rgo aun hay much Desde la antigü edades. Sin emba as de sus propi mostrar algun as de ellas. algun os ad infinita de núAquí te presentam “hay una cantid que stró grande Euclides demo que sea el más , el matemático un número primo números priEn la antigua Grecia palabras, “no hay trar fácilmente o, dicho en otras do para encon meros primos” bierto un méto ía no se ha descu de todos”. Todav es. o. mos muy grand que está escrit grande que el ro primo más inciso un núme > 41 e) sus alumnos Escribe en cada do geometría a > 31 d) Euclides enseñan > 53 c) > 13 b) s” de los >5 básico más a) es o “component , los “ladrillos” licación de núforma multip una cierta s, son, en e escribirse como Los números primo ro natural pued cualquier núme números, pues lo: ejemp por 813 = 3 × 271 meros primos, 41 164 = 2 × 2 × 70 = 2 × 5 × 7 ×5 60 = 2 × 2 × 3 s. 15 = 5 × 3 de números primo multiplicación como ros ntes núme e) 69 = Escribe los siguie d) 18 = c) 192 = 78 = b) s, qué tan a) 32 = números primo respecto de los cia. preguntado, al a la misma distan también se han os primos hay Los matemáticos ros primos y cuánt estar dos núme cerca pueden le. lo más cerca posib d, es decir, están 3 distan una unida ién son Los primos 2 y los; 11 y 13 tamb dos primos geme des; son llama 5 distan dos unida Los primos 3 y los. esta. geme s primo Explica tu respu n una unidad? diste que s números primo ¿Hay otros dos

Decidido a encon trar el árbol que nunca duerme, abiertos, José se internó en el un gran sauce cuyas ramas seme bosque más de Sin poder evitar lo que el líder jan ojos lo se perdió en de su equipo les aquel inhóspito había permitido. y peligroso lugar. Al cabo de varias horas de búsqu eda, Rodrigo y mochila, sus vívere René lo encon s y su lámpara. traron. José había perdido su Estuvieron todo un día de camin o al campamen y René. Cada vez to y comieron que se sentaron los víveres que a comer, dividí iguales. Al final llevaban Rodri an una de las barra de su travesía go contaron cinco s energéticas en barras de Rodri partes go y tres barra Una vez que regre s de René. saron, Rodrigo y René recibieron larles algunos de sus comics una medalla al de acuerdo a las mérito y José decidió regabarras energéticas que le compartier Te presentamos on. tres diferentes formas de retrib ución según lo acontecido. 1. José prop uso entregar cin co comics a Rod energéticas que rigo y tres a Re apor tó cada un né, en relación o. a las barras 2. René prop uso o tra re parti ción: “cad a uno comíamos cada vez __1 de un a barra. Puesto que fue 3 ron ocho barras en total 24 comimos __ 3 , de los cuáles yo puse __ comí __8 y le d 39 , me 1 _ i a José; Ro 3 drigo puso __7 3 Por esto le corre 3 . sponden a Rodr igo siete comics y a mi so lo uno”.

¿Qué reparto es

hasta ahora no

Contiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque.

más justo? Explic

los.

embargo s gemelos, sin ad infinita de primo que hay una cantid

Y para terminar…

3. Rodrigo p ropuso que Jos é les regalara cuatro comics a cada uno, dado que los dos colaboraron con la misma d eterminación en la bú squeda y salva mento de su compañero.

s de primos geme

Escribe cinco pareja

Un cuento

a por qué.

se ha

Se cree demostrado.

¿Qué reparto es

proporcional? Explica por qué.

126

81

Al final del libro, encontrarás las siguientes secciones. Bibliografía Glosario

es perpendicular un triángulo y de un vértice de ento que parte triángulo: segm Altura de un ncia a ese vértice. o de la circunfere al lado opuesto centr el es ce lo cuyo vérti del polígono. regular:: ángu ces consecutivos de un polígono van a dos vérti Ángulo central y cuyos lados be al polígono polígono que circunscri ecutivos de un cons lados forman dos ono:: ángulo que no de un políg Ángulo inter dentro de él. un polígono y se encuentra de los lados de se forma por uno ono:: ángulo que políg un de polígono. Ángulo externo ubica fuera del Se otro. bre de ión recibe el nom y la prolongac gulo. También ianas de un trián cortan las med o en el que se Baricentro: punt . s edad parte e en dos de centro de grav ángulo y lo divid el vértice de un que pasa por ángulo: recta Bisectriz de un iguales. circunferencia. squiera de la dos puntos cuale ro de la ento que une Cuerda: segm gulo. Es el cent es de un trián n las mediatric o donde se corta punt : tro: Circuncen nscrita. ono. circu políg ncia un ces de circunfere todos los vérti que pasa por : circunferencia ono. a circunscrita: lados de un políg Circunferenci punto todos los un en toca nferencia que inscrita:: circu a 0) si la ro a (distinto Circunferencia un número ente por ible divis ro b es : un número ente Divisibilidad exacta. uo. división b/a es sin arrojar resid ir otro número que puede divid número entero de elevar otro todo : or: Divis potencia se ha denota a qué que raica algeb cha. ero o expresión superior a la dere Exponente:: núm coloca en la parte expresión y se número u otra . se repite un dato de veces que luta: número el total de Frecuencia abso de un dato entre encia absoluta de dividir la frecu iva:: resultado Frecuencia relat lo lares cuyo ángu circu datos. res secto representan con e los datos se : gráfica dond . Gráfica circular: que representa ma orcional al valor sobre un siste central es prop jadas dibu s unto de barra nal al dato s es proporcio ada por un conj as:: gráfica form itud de las barra vertical. La long Gráfica de barr horizontal y otro de dos ejes, uno n. que representa

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Bibliografía

Para el alumn o

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274

Glosario

Bibliogafía p ara el alumn

o

Definiciones útiles que utilizarás Te proponemos algunas referencias en las secuencias didácticas. bibliográficas y sitios web para que repases y consolides tus aprendizajes.

el Bibliogafía para

profesor

Sugerencias de bilbiografía y enlaces web para el profesor.

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d con e .

Presentación para el profesor El enfoque didáctico de Conect@ estrategias. Matemáticas 1 En Conect@ estrategias. Matemáticas 1 se ha cuidado que las secuencias didácticas propicien de manera significativa el desarrollo de las siguientes competencias. 1. Resolver problemas de manera autónoma 2. Comunicar información matemática 3. Validar procedimientos y resultados 4. Manejar técnicas eficientemente El libro está organizado en cinco bloques de lecciones; cada grupo de estas constituye una secuencia didáctica en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra, lo que no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún punto del mismo tema. En general, cada actividad contribuye al desarrollo de más de una competencia, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

5. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente. » Construya, cada uno, un diseño geométrico con triángulos y cuadriláteros. No lo muestren al otro. » Escriban las instrucciones para que el compañero lo reproduzca. » Intercambien las instrucciones. Cada uno trace el diseño que inventó el otro, según sus instrucciones. » Al terminar, comparen los diseños y vean si son iguales. Si no es así, determinen qué ocurrió.

Con esta actividad, los estudiantes deben resolver un problema. Al escribir e interpretar instrucciones desarrollan su competencia para comunicar información matemática. Al comparar sus figuras tendrán que validar sus procedimientos y resultados. Esta actividad se plantea al finalizar una lección en la que se han trabajado técnicas para trazar paralelas, perpendiculares y triángulos. Si los estudiantes utilizan esto en su diseño geométrico, entonces observarán que también está presente la competencia sobre el manejo de técnicas. Debido a esta relación múltiple y compleja entre las competencias y las actividades que las propician hemos optado por marcar, en cada lección, solamente algunas competencias que se favorecen, a fin de patentizar que, al efectuar las actividades que se plantean en el libro, a la vez que los alumnos aprenden conocimientos matemáticos desarrollan competencias. La selección de actividades en que se destaca alguna competencia se hizo con la idea de mostrarle a usted la diversidad de actividades relacionadas con cada competencia.

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En las puestas en común se destacan dos competencias (comunicar y validar), de manera sistemática, mediante el logo .

*

resolver

Resolver. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que este aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática que los alumnos ya hayan afrontado. Se considera también que, en muchos casos, al afrontar una problemática adecuadamente, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al ideal. Por esto, numerosas lecciones de Conect@ estrategias. Matemáticas 1 comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas. Solo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado. ¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información suficiente han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan resolverlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución con herramientas más elementales, o bien, que aun cuando no puedan resolverlos identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo. Después de analizar los problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, puede complementar los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que diseñe o tome de otros materiales.

comunicar

Comunicar. Al resolver problemas, los conocimientos se generan muchas veces de manera silenciosa, implícita, al menos parcialmente. Por ello, una fase importante en los procesos de aprendizaje de nociones matemáticas consiste en explicitar esos conocimientos, nombrarlos, representarlos y, también, adoptar convenciones. Para dar lugar a la diversidad de procesos relacionados con la comunicación, en Conect@ estrategias. Matemáticas 1 se apela a varios recursos: en cada lección se propone el trabajo en parejas o equipos, o la modalidad de una puesta en común de procedimientos y resultados. En estos momentos los alumnos construyen formulaciones con sus palabras y aprenden de sus compañeros. Cabe recordar que diferentes formas de resolución ponen en juego distintas relaciones entre los datos, y conocer y analizar la resolución de otros ayuda a comprender mejor algunas nociones, a verlas desde distintos puntos de vista. Las puestas en común también constituyen el momento ideal para que usted introduzca las formas convencionales de representación. Además, para atender a la necesidad de crear un lenguaje matemático y perfeccionar su uso, se proponen situaciones en las que, como parte integral de una tarea matemática, los alumnos deben comunicar algo a alguien, como dar instrucciones para que se construya una figura geométrica. Otro aspecto más que suele vincularse con la capacidad de comunicación es la posibilidad de expresar ideas matemáticas e interpretarlas en distintos tipos de representación: gráfica tabular, numérica, geométrica y algebraica, entre otros.

validar

Validar. ¿Cómo se sabe, en clase de matemáticas, qué es correcto y qué es incorrecto? ¿Quién lo decide? Otra característica fundamental del quehacer matemático

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es el desarrollo de formas de probar que algo es correcto, verdadero. A la vez, esta característica ofrece una oportunidad formativa única: se trata de que el profesor ponga en manos de los alumnos los medios para que aprendan a determinar la validez de sus procedimientos y resultados. No es cuestión todavía de enseñar a los alumnos a que hagan demostraciones formales, pero sí de que sientan la necesidad de probar las aserciones con los recursos a mano. En Conect@ estrategias. Matemáticas 1 se proponen dos maneras de validar. • Empíricamente, mediante la prueba, para saber si algo funciona. Por ejemplo, la manera empírica de apreciar si las medidas de una figura a escala son correctas consiste en comparar visualmente su forma con la original; la prueba empírica de que un número es solución de una ecuación consiste en sustituir el valor en la ecuación y ver si se obtiene una igualdad. Estas maneras de “probar” se nombran, frecuentemente, como “verificar”. • Por medio de validación semántica. La principal característica es que descansa en argumentos, por ejemplo, “la suma de dos números impares es par, puesto que si quitas una unidad a cada uno, obtienes dos números pares, y además, un dos…” . Técnicas. El desarrollo de técnicas y su aplicación en la resolución de problemas constituye otra característica del trabajo en matemáticas. En Conect@ estrategias. Matemáticas 1 se ha puesto especial cuidado en la diversidad de técnicas por varias razones: ocurre con frecuencia que las técnicas más rápidas o más elaboradas para resolver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres); tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos. Otras técnicas, en cambio, aunque más precarias por ser más largas o menos sistemáticas son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso, en ocasiones, las pueden establecer por sí mismos. Estas técnicas cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunas son más económicas que la técnica más avanzada; y además constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que los estudiantes olvidan la más avanzada.

técnicas

A final de cuentas, ¿qué procedimiento es mejor? Esto depende tanto del tipo de problema como de los conocimientos de quien resuelve. Por ello, los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas. OTRAS CARACTERÍSTICAS DE LA OBRA Como apoyo a su labor docente hemos pensado en algunos elementos dirigidos a un aspecto en específico. • Para la planificación de la enseñanza incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones. En esta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases. • Para la evaluación continua indicamos en el índice los contenidos (conocimientos y habilidades) a fin de facilitar su identificación y seguimiento. Esperamos que Conect@ estrategias. Matemáticas 1 constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos. Los autores

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Dosificación Ya que el tiempo que dedica a cada secuencia depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones y las eventualidades (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita, podrá trabajar las actividades de “Las matemáticas en…”, así como “Y para terminar…” o adelantar

S  E  M  A  N  A  S

BLOQUES

1

2

3

4

1

Secuencia 1 Fracciones decimales y no decimales (lecciones 1 a 4)

Secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta numérica (lecciones 5 a 8)

Secuencia 3 Suma y resta de fracciones (lecciones 9 a 11)

Secuencia 4 Sucesiones de números (lecciones 12 a 14) Secuencia 5 Uso de literales en fórmulas geométricas (lecciones 15 a 17)

2

Secuencia 1 Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos (lecciones 30 y 31)

Secuencia 2 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (lecciones 32 a 34)

Secuencia 3 Problemas aditivos con fracciones y decimales (lecciones 35 a 37)

Secuencia 4 Multiplicación y división con fracciones (lecciones 38 a 42)

3

Secuencia 1 Multiplicación de números decimales (lecciones 51 y 52)

Secuencia 2 Aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad (lecciones 53 a 57)

Secuencia 3 División de números decimales (lecciones 58 a 60)

Secuencia 4 Ecuaciones de primer grado (lecciones 61 a 65)

4

Secuencia 1 Números con signo (lecciones 77 a 79)

Secuencia 2 Construcción de círculos (lecciones 80 y 81)

Secuencia 3 Justificación de la fórmula Secuencia 4 para perímetro y área Regla de tres del círculo (lecciones 84 y 85) (lecciones 82 y 83)

5

Secuencia 1 Adición y sustracción de números con signo (lecciones 94 a 97)

Secuencia 2 Notación científica (lecciones 98 y 99)

Secuencia 3 Raíz cuadrada y potencia (lecciones 100 a 102)

Secuencia 4 Sucesiones aritméticas. Regla general (lecciones 103 y 104)

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Dosificación el trabajo de otros contenidos si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan el eje al que corresponde cada contenido: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en anaranjado Forma, espacio y medida; y en verde Manejo de la información. La redacción de los contenidos ha sido simplificada.

S  E  M  A  N  A  S 5 Secuencia 6 Trazo de triángulos y cuadriláteros (lecciones 18 a 20 )

Secuencia 5 Mediatriz y bisectriz (lecciones 43 a 45)

Secuencia 5 Construcción de polígonos regulares (lecciones 66 a 68)

Secuencia 5 Proporcionalidad directa. Factor inverso (lecciones 86 a 88)

6

7

Secuencia 7 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo (lecciones 21 a 24)

Secuencia 8 Reparto proporcional (lecciones 25 a 27)

Secuencia 6 Justificación de fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares (lecciones 46 y 47)

Secuencia 7 Proporcionalidad directa. Valor faltante y factores constantes fraccionarios (lecciones 48 a 50)

Secuencia 6 Perímetro y área de polígonos regulares (lecciones 69 a 71)

Secuencia 7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria (lecciones 72 a 75)

Secuencia 6 Problemas de conteo (lecciones 89 y 90)

Secuencia 7 Gráfica de barras y circulares (lecciones 91 a 93)

8 Secuencia 9 Identificación y práctica de juegos de azar (lecciones 28 y 29)

9 Evaluación tipo  ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 78 a 80)

Evaluación tipo  ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 128 a 130)

Secuencia 8 Frecuencia absoluta y relativa (lección 76)

Evaluación tipo  ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 188 a 190)

Evaluación tipo  ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 230 a 232)

Secuencia 5 Perímetro y área del círculo (lecciones 105 a 107)

Secuencia 6 Proporcionalidad múltiple (lecciones 108 y 109)

Evaluación tipo  ENLACE Evaluación tipo PISA (páginas 270 a 272)

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Índice

BLOQUE 1 Lección

Presentación para el alumno .......................................................................................................................... 3 Guía de uso ........................................................................................................................................................... 4 Presentación para el profesor ......................................................................................................................... 7 Dosificación ........................................................................................................................................................... 10

Título

Página

Contenido

Lección 1

Diferentes maneras de expresar medidas

18

Lección 2

Escritura decimal de una fracción

Lección 3

¿Cuántas cifras hay después del punto?

20 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su 22 escritura decimal y viceversa

Lección 4

Otro juego de flechas

24

Lección 5

Las apariencias engañan

26

Lección 6

Números en la recta

Lección 7

Números ocultos

Lección 8

Del cero al uno

28 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, 30 analizando las convenciones de esta representación 32

Lección 9

Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío

34

Lección 10 Para usar las fracciones Lección 11 Un juego de cartas

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen 36 más de una operación de suma y resta de fracciones 38

Tema

Números y sistemas de numeración

Problemas aditivos

Lección 17 Con fórmulas y con palabras

40 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. 42 Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión 44 aritmética o geométrica de números y de figuras Patrones y ecuaciones 46 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al 48 considerar a las literales como números generales con los que es posible operar 50

Lección 18 De tres lados

52

Lección 12 La matemática de las rejas Lección 13 Bordados Lección 14 Sucesiones de figuras o números Lección 15 La fórmula es útil, pero no es lo único Lección 16 Con números o con letras

Lección 20 Diseños con triángulos y cuadriláteros

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso 54 del juego de geometría 56

Lección 21 Un triángulo al interior de un círculo

58

Lección 22 Un círculo en un triángulo Lección 23 Centro de gravedad

60 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, 62 medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

Lección 24 Las alturas del triángulo

64

Lección 25 ¿Son proporcionales?

66

Lección 26 El campamento

68 Resolución de problemas de reparto proporcional

Lección 27 Repartos justos

70

Lección 28 Hablemos de juegos I

72 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias 74 en función del análisis de resultados posibles

Lección 19 De cuatro lados

Lección 29 Hablemos de juegos II

16 Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico

espacio Figuras y cuerpos Forma, y medida

Proporcionalidad y funciones

Manejo de la información

Nociones de probabilidad

Las matemáticas en la música

76

Evaluación (TIPO ENLACE)

78

Evaluación (TIPO PISA)

80

Y para terminar...

81

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Índice BLOQUE 2 Lección

Título

Lección 30 Divisores y números primos

Página

Contenido

Lección 31 ¿Quién divide a quién?

84 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. 86 Distinción entre números primos y compuestos

Lección 32 Mínimo común múltiplo

88

Lección 33 Máximo común divisor Lección 34 Descomponiendo números Lección 35

La migración indocumentada en Estados Unidos de América

Lección 36 Tipo de cambio y algo más Lección 37 Salarios y precios

Resolución de problemas que impliquen el cálculo 90 del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 92 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, 96 empleando los algoritmos convencionales 98 100

Lección 39 La mitad de un cuarto II

102

Lección 41 Vueltas alrededor de un circuito II

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación 104 y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales 106

Lección 42 ¿Qué número multiplicado por 2 da 3?

108

Lección 43 A la misma distancia I

110

Lección 44 A la misma distancia II Lección 45 Mediatrices y bisectrices Lección 46 Unas fórmulas se originan en otras Lección 47 La mitad del doble Lección 48 Banderas a escala Lección 49 Más del doble pero menos del triple Lección 50 La casita a escala

Números y sistemas de numeración

94

Lección 38 La mitad de un cuarto I Lección 40 Vueltas alrededor de un circuito I

Tema

82 Eje

Problemas aditivos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas multiplicativos

Resolución de problemas geométricos que impliquen 112 el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo 114

Figuras y cuerpos

116 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción 118 y transformación de figuras

Medida

120 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” 122 en diversos contextos, con factores constantes 124 fraccionarios

Proporcionalidad y funciones

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Las matemáticas en los números primos

126

Evaluación (TIPO ENLACE)

128

Evaluación (TIPO PISA)

130

Y para terminar...

131

BLOQUE 3 Lección

Título

Lección 51 Multiplicar y dividir entre 10, 100 y 1 000

Página

Contenido

Lección 52 Técnicas para multiplicar decimales

134 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando 136 el algoritmo convencional

Lección 53 Copias de copias

138

Lección 54 Engranajes I

140

Lección 56 Desandar el camino. El factor recíproco I

Formulación de explicaciones sobre el efecto 142 de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas 144

Lección 57 Desandar el camino. El factor recíproco II

146

Lección 55 Engranajes II

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Tema

132 Eje

Problemas multiplicativos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Proporcionalidad y funciones

Manejo de la información

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Índice Lección 58

Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I

Lección 59

Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II

148 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando 150 el algoritmo convencional

Problemas multiplicativos

Lección 60 Técnicas para dividir decimales

152

Lección 61 Adivinanzas I

154

Lección 62 Adivinanzas II

156 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma Patrones 158 x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades y ecuaciones de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales 160 o fraccionarios 162

Lección 63 Balanzas en equilibrio Lección 64 Ecuaciones equivalentes Lección 65 Problemas diversos Lección 66 Polígonos y doblado de papel Lección 68 Vitrales

164 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, 166 ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos 168 de la circunferencia y el polígono inscrito en ella

Lección 69 La plaza

170

Lección 67 Relaciones interesantes

Lección 71 Más sobre el área de polígonos regulares

Resolución de problemas que impliquen calcular 172 el perímetro y el área de polígonos regulares 174

Lección 72 Creencias y realidades

176

Lección 70 Mesas y polígonos regulares

Lección 73 Para comparar datos Lección 74 Lanzamiento de un dado Lección 75 ¿Es mucho o es poco? Lección 76 Elecciones

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Figuras y cuerpos Forma, espacio y medida Medida

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, 178 su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias 180

Nociones de probabilidad

182 Lectura y comunicación de información mediante el uso 184 de tablas de frecuencia absoluta y relativa

Análisis y representación de datos

Manejo de la información

Las matemáticas en el arte

186

Evaluación (TIPO ENLACE)

188

Evaluación (TIPO PISA)

190

Y para terminar...

191

BLOQUE 4 Lección

Título

Lección 77 Temperaturas bajo cero Lección 78 Números opuestos Lección 79 Estadísticas del futbol mexicano Lección 80 El círculo en la arquitectura Lección 81 Círculos y algo más Lección 82 Dar la vuelta Lección 83 En la pizzería

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Tema

192 Eje

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen 196 la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos 198

Números y sistemas de numeración

Sentido numérico y pensamiento algebraico

200 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que 202 cumplan condiciones dadas

Figuras y cuerpos

Página

Contenido

194

204 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la Medida 206 razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

Forma, espacio y medida

3/26/12 3:16 PM


Índice Lección 84 La regla de tres Lección 85 Un mismo problema, varias técnicas

208 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros 210 o fraccionarios

Lección 86 Factores de escala I

212

Proporcionalidad y funciones

218 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar 220 los resultados

Nociones de probabilidad

222 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas 224 y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo 226 la representación gráfica más adecuada

Análisis y representación de datos

Lección 87 Factores de escala II Lección 88 Del maíz a las tortillas Lección 89 Tarjetas de felicitación Lección 90 Futbol Lección 91 Deportistas de México Lección 92 México en el año 2000 Lección 93 Información diversa

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación 214 de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala 216

Manejo de la información

Las matemáticas en los recorridos

228

Evaluación (TIPO ENLACE)

230

Evaluación (TIPO PISA)

232

Y para terminar...

233

BLOQUE 5 Lección

Título

Página

Contenido

Tema

Lección 94 Suma de números con signo I

236

Lección 95 Suma de números con signo II Lección 96 Resta de números con signo

238 Resolución de problemas que implican el uso de sumas 240 y restas de números enteros

Lección 97 Juegos con números

242

Lección 98 Cantidades astronómicas o microscópicas Lección 99 Distancias y masas

244 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes 246 o muy pequeñas

Lección 100 La medida de un lado

248

Problemas multiplicativos

Lección 104 Construyendo sucesiones

254 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) 256 de una sucesión con progresión aritmética

Patrones y ecuaciones

Lección 105 Circulando

258

Lección 101 Raíces cuadradas Lección 102 Crecimiento exponencial Lección 103 Símbolos en lugar de palabras

Resolución de problemas que impliquen el cálculo 250 de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales 252

234 Eje

Problemas aditivos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Medida

Forma, espacio y medida

Lección 107 Más sobre círculos y circunferencias

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área 260 del círculo en la resolución de problemas 262

Lección 108 Depende de varias magnitudes I

264

Lección 109 Depende de varias magnitudes II

266

Proporcionalidad y funciones

Manejo de la información

Lección 106 De vuelta en la pizzería

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

Las matemáticas en la sucesión de Fibonacci

268

Evaluación (TIPO ENLACE)

270

Evaluación (TIPO PISA)

272

Y para terminar...

273

Glosario ................................................................................................................................................................................................................................. 274 Bibliografía para el alumno............................................................................................................................................................................................ 276 Bibliografía para el profesor .............................................................................................................................................................................................. 277

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BLOQUE

1

Aprendizajes esperados ✓ Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. ✓ Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. ✓ Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

16

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Un peligro mucho mayor de lo que parece Observa el enorme iceberg flotando en el océano… El volumen de la parte sumergida es mucho mayor que el de la visible. Los icebergs se desprenden de los glaciares en los polos y se mueven lentamente por el océano, a merced de los vientos y las corrientes marinas. Los desprendimientos de hielo polar son cada vez más frecuentes científicos de todo el mundo vigilan este proceso y estudian su posible relación con la actividad humana. El agua cubre más de dos terceras partes de la superficie del planeta (72%), pero la mayoría es salada; solo 3% es agua dulce, y la mayor parte está en los polos(cuatro quintas partes de toda el agua dulce del planeta). Los icebergs son, por tanto, gigantescos bloques de agua dulce y producen cambios en la salinidad del océano que afectan a muchas especies marinas; pueden, incluso, producir alteraciones en el clima.

1. Mide la altura de la fracción visible del iceberg del esquema de arri-

ba y la altura de la parte sumergida. Aproximadamente, ¿cuántas partes del total están sumergidas? Expresa el resultado en forma de fracción y en forma decimal.

2. De cada cien partes de agua, ¿cuántas son de agua salada? ¿Qué parte de agua dulce está fuera de los polos?

3. ¿Conoces la historia del Titanic? En 1912 el barco más grande del mundo se hundió con más de 2 200 personas a bordo tras golpear un iceberg. Como pensaban que era un barco muy seguro, solo había botes salvavidas para menos de la mitad de los pasajeros. Desgraciadamente, en total murieron dos terceras partes. Aproximadamente, ¿cuántas personas salieron con vida?

Investiga más sobre la distribución del agua en el planeta en… www.e-sm.com.mx/SCM1-017

eros tes de cantidades enteras. Los núm A menudo debemos expresar par dibles en cin res imp son miten hacerlo; por ello decimales y fraccionarios nos per medir, para jugar… nuestra vida: para comprar, para necesarias ás si has adquirido las destrezas Al final de este bloque comprobar distintos ámbitos. para usarlos y efectuar cálculos en

17

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contenido

BLOQUE

1

Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

Secuencia 1 / lección 1

Diferentes maneras de expresar medidas Esmcomúnmquemlasmmedidasmsemexpresenmdemdiferentesmmaneras.mPormejemplo,m1mm__ m12mmlm tambiénmpuedemexpresarsemcomom1.5mlmomcomom1m500mml.m¿Cómomsemexpresam1.75mmm usandomfracciones?m¿Ym1mmm__14mmkgmmusandompuntomdecimal?

1. Subraya la pesa que equilibre cada balanza. a)

b) Peso neto 0.25 kg

Peso neto 0.5 kg

_3 kg 4

_1 kg 2

_1 kg 4

_3 kg

_1 kg

4

8

c)

_1 kg 2

_1 kg 4

4

8

d) Peso neto 0.75 kg

_3 kg

_1 kg

Peso neto 0.125 kg

_1 kg 2

_1 kg 4

_1 kg 8

_3 kg 4

_1 kg 2

_1 kg 4

_1 kg 8

2. Escribe en forma de fracción la cantidad de agua que hay en cada botella.

Contenido: 0.1 l

1 _ ​ ​​​ de litro 10

mm

Contenido: 0.2 l

2 ​_​​​ de litro 10

Contenido: 0.35 l

35 ​_​ ​​ 100 de litro

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Coméntales si sabes convertir un número con punto decimal en una fracción.

18

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3. A continuación se presenta un procedimiento para convertir un número con punto decimal en fracción. Complétalo. i. Se anota la fracción que corresponde a cada cifra decimal. 2 + 0.28 = _ 10

8

ii. Se reduce a denominador común.

iii. Si es posible, se simplifica la fracción. 28

8 28 20 0.28 = _ + = 100

100

100

100

100

28 Los pasos i. y ii. pueden abreviarse poniendo directamente la fracción decimal 0.28 = ___ . 100 Basta con recordar que la última cifra de la derecha indica si se trata de décimos, centésimos, milésimos, etcétera.

4. Escribe la fracción correspondiente. a) 0.3 =

3 _ ​ ​​​ 10

2 b) 0.02 = ​_ ​​​

55 d) 0.055 = _ ​ ​ ​​

100

1​000

455 e) 0.455 = _ ​ ​​ ​

50

=

7

25

Ya sabemos… Para simplificar una fracción se dividen su numerador y su denominador entre un mismo número.

8 f ) 0.008 = _ ​ ​​​

1​000 mm

14

En un número con punto decimal, la primera cifra a la derecha del punto representa décimos; la segunda, centésimos; la tercera, milésimos; etcétera.

100

12 c) 0.12 = ​_ ​​​

=

1​000

Compara tus resultados de las actividades 3 y 4 con los de tus compañeros. Conviertan el número 4.005 en su expresión con una fracción. Escriban en su cuaderno el procedimiento completo de la actividad 3 usando como ejemplo la fracción 0.375.

5. Subraya las pesas que equilibren cada balanza. Solo puedes usar una vez cada pesa.

_3 kg 4

mm

_1 kg 2

_1 kg 4

_1 kg 8

Convivimos

Peso neto 1.25 kg

Peso neto 1.5 kg

_3 kg 4

_1 kg 2

_1 kg 4

_1 kg 8

Explica tu procedimiento a algunos de tus compañeros y escucha el que ellos efectuaron. Comenten qué diferencias hay entre ellos.

Conocer formas de resolver problemas distintas a la que usaste enriquece tu comprensión del problema y tus nociones matemáticas. Por ello, es recomendable comparar con frecuencia tus resultados con los de tus compañeros.

19

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contenido

BLOQUE

1

Secuencia 1 / lección 2

Escritura decimal de una fracción

Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

1. Trabaja en equipo. Anoten el peso neto de la caja usando una expresión con punto decimal para que la balanza esté equilibrada.

resolver _1 kg 8

mm

8

Peso neto

_1 kg

0.375 kg

8

Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Comenten si saben convertir una fracción en su expresión con punto decimal.

2. A continuación hay dos procedimientos incompletos para convertir la fracción __38 en su expresión con punto decimal. Complétalos.

Ya sabemos...

Procedimiento 1

Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad. Por ejemplo, 3 12 __ es equivalente a ___ . 25

_1 kg

Procedimiento 2

Se busca una fracción decimal

Se divide 3 entre 8 hasta obtener 0 en el

equivalente a 3 , es decir, que su 8

residuo.

denominador sea 10, 100,

100

o 1 000…

Puedes obtener una fracción equivalente a otra multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número.

0.375 3 = 375 8 1 000

8 3

30 ​​60 ​​​​40 ​​​​​​0

Esta fracción es igual a un número con punto decimal. El resultado es 0.375

El resultado es 0.375

3. Convierte cada fracción en su expresión decimal. Utiliza el procedimiento que prefieras.

mm

3 _   =    1.5   2

7    =  0.7   _ 10

9 _   =    2.25   4

4  =  _   0.8 5

7    =  0.35   _ 20

31 _     =  3.875   8

9 _     =  0.36   25

19 _    =  0.38 50

7  =  3.5   _ 2

13 _     =  3.25   4

7  =  _   0.875   8

34 _    =  1.36 25

Compara tus resultados con tus compañeros. Lean y comenten la siguiente información.

20

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Algunas fracciones son equivalentes a una fracción decimal, por ejemplo: 1 5 = = 0.5 2 10

3 75 = = 0.75 4 100

17 125 =2 = 2.125 8 1 000

36 180 = = 1.8 20 100

Estas fracciones se caracterizan porque, al dividir el numerador entre el denominador, en algún momento se obtiene un residuo igual a 0 (como en el caso de 3 ). Por lo tanto, 8 el número de cifras después del punto es finito.

4. En la tabla hay cantidades de medicina que pueden ponerse en la jeringa.

A

B

1.4 oz

C

0.8 oz

1.5 oz

D

E

F

G

H

0.3 oz

1 ___12_ oz

1 ___25_ oz

3 __ oz 10

__4 oz 5

a) Indica las expresiones que representen la misma cantidad de medicina.  

A y  F  

B y  H  

C y  E  

D y  G validar

b) Marca donde corresponde cada letra en la jeringa para verifi car tus respuestas. 5. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha una fracción del tablero, la convierte en su expresión con punto decimal y la ubica en la recta con una flecha. Gana el primero que coloque tres flechas consecutivas, es decir, que entre ellas no haya una flecha del contrincante. Usen colores diferentes para distinguir las flechas de cada uno.

0 mm

13 20

1 10

19 10

3 2

8 5

17 10

1 4

9 5

13 10

7 5

7 10

6 5

7 4

1 5

75 10

2 5

1 2

3 5

5 4

3 4

9 10

11 20

27 20

4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de conversión de fracciones.

1.7

1.8

1.9

2

Comenta con tus compañeros cuáles fueron las estrategias que utilizaron para colocar las tres flechas. Escriban en el pizarrón tres estrategias. 21

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contenido

BLOQUE

1

Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

Secuencia 1 / lección 3

¿Cuántas cifras hay después del punto? 1. Anota en cada flecha la expresión con punto decimal correspondiente.

3.25

3.3333

2.75 0.6666

2. Usa el procedimiento 1 de la lección anterior para convertir las fracciones en su expresión con número decimal. 3 a) _    =  0.75   4 1    =  0.125   c) _ 8

Ya sabemos... Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es 10, 100, 1 000, 10 000.

1    =  0.25 b)   _ 4 2    =  0.66666 d)   _ 3

3. ¿Con qué fracción no pudiste emplear el procedimiento 1? d) 4. Utiliza el procedimiento 2 para escribir la fracción __32 en su notación con punto decimal. No uses calculadora. ¿Qué sucede? mm

R.​T.​El​residuo​nunca​llega​a​0.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Lean lo siguiente.

Existen fracciones que no son equivalentes a una fracción decimal. Cuando se intenta convertirlas en una expresión con punto decimal, dividiendo el numerador entre el denominador, sucede que… » el residuo nunca es 0, se podría seguir dividiendo tantas veces como se quisiera; y » la expresión decimal del cociente tiene una parte que se repite de manera infinita, por ejemplo: 1 = 0.33333… 3

7 = 0.16666… 6

20 = 1.818181… 11

Al conjunto de cifras que se repite de manera infinita después del punto se le llama periodo. A la expresión decimal se le llama expresión decimal periódica. Otra manera de escribir los números anteriores es colocando una línea sobre el periodo. 0.33333… = 0.3

0.16666… = 0.16

1.818181… = 1.81

22

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5. Haz lo siguiente. a) Completa la tabla. En cada casilla puedes formar una fracción, considerando como numerador un número de la primera columna y como denominador uno de la última fila.  Escribe la expresión decimal correspondiente a la fracción que se forma en cada caso.  Usa calculadora. Medios

Tercios

Cuartos Quintos

Sextos

Séptimos Octavos Novenos

1

0.5

0.3

0.25

0.2

0.16

0.142857

0.125

2

1

0.6

0.5

0.4

0.3

0.285714

0.25

3

1.5

1

0.75

0.6

0.5

4

2

1.3

1

0.8

5

2.5

1.6

1.25

6

3

2

7

3.5

8

Décimos

0.1 0.2

0.2

0.428571 0.375

0.3

0.3

0.6

0.571428

0.5

0.4

0.4

1

0.83

0.714285

0.625

0.5

0.5

1.5

1.2

1

0.857142

0.75

0.6

0.6

2.3

1.75

1.4

1.16

1

0.875

0.7

0.7

4

2.6

2

1.6

1.3

1.142857

1

0.8

0.8

9

4.5

3

2.25

1.8

1.5

1.285714

1.125

1

0.9

10

5

3.3

2.5

2

1.6

1.428571

1.25

1.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b) Completa las oraciones, considera las fracciones de la tabla, sin tener en cuenta los  enteros. » Los medios, cuartos, 

quintos

, 

y 

octavos

décimos

 siempre 

tienen una expresión decimal finita. » Los tercios, 

, 

sextos

séptimos

y 

novenos

 siempre 

Ya sabemos... Los medios resultan cuando el entero se divide en dos partes iguales; los tercios, cuando se hace en tres partes; los cuartos, en cuatro; y así sucesivamente.

tienen una expresión decimal periódica. mm

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Compárenlas con lo leído en la página anterior y registren sus conclusiones en su cuaderno.

6. Analiza las regularidades de cada columna de la tabla anterior y, sin usar calculadora ni hacer la división por escrito, completa la tabla. Medios Tercios Cuartos Quintos Sextos

Séptimos

resolver

Octavos Novenos Décimos

11

5.5

3.6

2.75

2.2

1.83

1.571428

1.375

1.2

1.1

12

6

4

3

2.4

2

1.714285

1.5

1.3

1.2

13

6.5

4.3

3.25

2.6

2.16

1.857142

1.625

1.4

1.3

Repasa la conversión de fracciones en su escritura decimal en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-023

23

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contenido

BLOQUE

1

Secuencia 1 / lección 4

Otro juego de flechas

Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

0

1    _ 12

1   _ 8

1   _ 6

1. Juega con un compañero. Por turnos, cada uno tacha un número del tablero y lo ubica en la recta con una flecha. Se puede usar la calculadora solo después de tachar el número. Gana el primero que coloque tres flechas consecutivas, es decir, sin que haya alguna del otro jugador entre ellas. Algunas fracciones ya se han ubicado de manera aproximada.

2   _ 1   _ 9 4

0.5

0.25

0.83

0.375

0.3

0.16

0.6

0.083

0.125

0.625

0.94

0.2

0.5

0.72

0.7

0.875

0.4

0.90

1   _ 3

3 _    8

4   _ 9

1   _ 2

5 _    9

5 _    8

2   _ 3

8 _     11

7   _ 9

5 _    6

10 _ 7   _ _   17  8 11 18

1

2. Responde considerando los números de la actividad anterior. Verifica con calculadora hasta después de responder las cuatro preguntas.

0

1    _ 12

1   _ 8

1   _ 6

2   _ 1   _ 9 4

3 _    8

4   _ 9

1   _ 2

5 _    9

5 _    8

2   _ 3

8 _     11

7   _ 9

5 _    6

10 _ 7   _ _   17  8 11 18

1

a) ¿Qué números del tablero ha elegido quien está jugando con el rojo?  0.6​y​0.83

Ya sabemos...

b) ¿Y el que está jugando con el azul?  0.625​,​0.875​y​0.94

Para multiplicar por 10 un número con punto decimal, basta con desplazar el punto un lugar a la derecha, por ejemplo, 0.5 × 10 es 5. Para multiplicar por 100, basta con desplazar el punto decimal dos lugares a la derecha y, si hace falta, agregar ceros, por ejemplo, 0.5 × 100 = 50.

1   _ 3

c) Es el turno del rojo. ¿Qué número del tablero debería elegir para ganar?  R.​T.​0.7 d) ¿Con cuál ganaría el azul?  R.​T.​0.90 mm

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo eligieron los números en el juego de las flechas. Con el profesor, lean la siguiente información.

24

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3/26/12 3:27 PM


Cómo pasar de la notación decimal a la fraccionaria Es muy sencillo expresar un decimal finito como fracción, puesto que el número de cifras a la derecha del punto indica si se trata de décimos, centésimos, milésimos, etc. Por ejemplo, 5 625 0.625 = 625 milésimos = _ = _ 1 000 8 8 2 0.08 = 8 centésimos = _ = _ 100 25 Expresar como fracción un decimal periódico como 0.45 es más difícil. Se puede hacer de la siguiente manera. Sabemos que 0.45 es 0.45454545…, entonces… a) Como el periodo tiene dos cifras, se multiplica por 100.

0.45454545… × 100 = 45.45454545…

b) Obtuvimos 100 veces el valor de la fracción que estamos buscando.

45.4545…

c) Si restamos 0.454545… a 45.454545…, obtenemos 45. Este valor es 99 veces el valor de la fracción que buscamos (porque a 100 veces el número le restamos una vez el mismo número).

45.4545… – 0.4545… 45

45 45 ÷ 99 = _ 99 Simplificando, se obtiene

d) Entonces, para obtener la fracción buscada, debemos dividir entre 99.

5 0.45 = _ 11 3. Verifica con calculadora que

45 5 y sean iguales a 0.45. 99 11

4. Convierte los números decimales en fracciones. a) 0.12 =  12​  

100​

10

1225   d) 12.25 =   100

12    e)  0.12 =  99

g) 0.09 =  1

h)  2.15=  213

11 mm

b)  4.3 =  43    

c)  56.13 = 5613

100 f )  0.375 =  375 999

99

Investiga, en grupo, qué fracción corresponde a 0.02. Consideren primero multiplicar por 100 y luego por 10; al restar obtendrán 90 veces la fracción que buscan.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten lo que han aprendido acerca de cómo convertir fracciones en decimales y decimales en fracciones. Hagan un resumen en su cuaderno y pongan ejemplos de ambos casos. 25

S-CNCT_M1_B1_016-025_maestro_de_alta_003 25

3/26/12 3:27 PM


CONTENIDO

BLOQUE

1

Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

resolver

Secuencia 2 / lección 5

Las apariencias engañan Una manera de representar y entender los números es mediante la recta numérica. ¿Sabías que esta recta es un conjunto infinito de puntos y que a cada uno le corresponde un número?

1. Reúnete con un compañero para resolver las actividades. a) El dibujo de abajo representa una pista de 9 km. Ubiquen a cada corredor en su posición aproximada, como se muestra en el ejemplo. Corredor

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Kilómetros recorridos

6 __34

21 __

6

5 __34

16 __

18 __

6.5

5 __13

13 __

7.25

3

3

3

2

1 2 0

3 4

8

J

5

B

7

H

E 6

A G

I

D F

C

¿Qué corredores están empatados?

G con I, C con F y E con H

b) Localicen en la recta numérica los siguientes números. 5 _ 3 4 _ 15 _ 3 _ 6 1, _ 2, _ 1, _ _ , 2 , _, _ , , , 0.5, 0.3333…, 0.16 , 3 3 2 6 6 9 6 18 6 9 0.5 0 26

S-CNCT_M1_B1_026-033_maestro_de_alta 26

1 2 6

1 3

3 9

1 2

3 6

6 9

2 3

4 6

5 6

15 18

3/26/12 3:06 PM


c) Si ubicaron bien las fracciones, varias se sobrepusieron, es decir, son equivalentes. De las fracciones del inciso b), escriban en el espacio correspondiente las equivalentes a las que se indican. 1 _ 3

2 6

1 _ 2

3 9

2 _ 3

3 6

6 9

5 _ 6

4 6

15 18

Ya sabemos... Dos o más fracciones son equivalentes cuando se escriben diferente pero representan el mismo número. 5 Por ejemplo: __13 = __26 = __ 15

2. Averigüen cuál es el número mayor en cada pareja y subráyenlo. Si los números son equivalentes, subrayen ambos. __4 y __6

__7 y 1

__5 y 1

__1 y __2 3

__6 y 1

__2 y __4

__1 y __1

5 __ __ y7

__1 y 0.5

__1 y __4

__1 y __5

11 __ y 0.75

__3 y __2

__2 y 0.83333…

__3 y __4

6 __ __ y 12

1.5 y __46

8 __ __ y2

4

6

2

6

3

2

12

3

6

6

2

2

4

3

2

3

12

6

6

2

6

6

3

6

12

12

3

3. Ubiquen los números anteriores en la recta. Luego, revisen sus respuestas con base en el orden en que quedaron.

0.5

0.83 0.75 3 5 4 6

11 12

0

6 6

7 6

4 3

3 2

validar

6 4

1

1 3

5 12

3 6

6 12

1 2

8 2 12 3

4 6

2

1.5

12 _ 6

Algunas veces, para comparar dos fracciones es suficiente observarlas y pensar en lo que representan, por ejemplo, __67 y __32 , ¿cuál es mayor? __67 es menor que 1, mientras que __32 es mayor que 1, por lo tanto __32 es mayor que __67 . Otro ejemplo, __56 y __34 , ¿cuál es mayor? A __56 le falta __16 para completar 1, mientras que a __34 le falta __14 para completar 1, por lo tanto es mayor __56 .

4. Encuentren una fracción equivalente en cada caso. Exprésenla de manera simplificada.

m

3 6 _ = 8 4

1 8 _ = 16 2

1 50 _ = 100 2

1 30 _ = 90 3

5 10 _ = 12 6

2 10 _ = 15 3

técnicas

omparen sus resultados con los de sus compañeros. Recuerden cómo se sabe cuál de dos C fracciones es mayor o si son equivalentes, y cómo se simplifican. 27

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Secuencia 2 / lección 6

Números en la recta 1. A un grupo de alumnos se le pidió representar los números 0, 8, 16 y 24 en la siguiente recta.

A continuación verás cómo resolvieron el problema cuatro alumnos. Anota en cada caso si la solución es correcta o incorrecta y explica por qué. a) José lo hizo así:

0

8

Lo que hizo José es

16

24

incorrecto porque entre 0 y 8, entre 8 y 16,

y entre 16 y 24 debe haber la misma distancia. b) Pedro hizo lo siguiente:

0

8

16

Lo que hizo Pedro es

correcto

porque

24

si cada rayita representa dos

unidades, tenemos los valores requeridos. c) María lo hizo así:

0

8

16 24

Lo que hizo María es

correcto

porque

si un número es mayor que

otro, debe representarse más a la derecha, y 24 es mayor que 16. d) Rosa resolvió así:

0

8 Lo que hizo Rosa es

24

16

incorrecto porque 24 es mayor que 16, por lo

que debe representarse más a la derecha en la recta. e) ¿Cómo lo resolverías? Usa la recta que hay al inicio de la lección para responder. Justifica tu respuesta en el cuaderno. 28

S-CNCT_M1_B1_026-033_maestro_de_alta 28

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resolver

2. Haz lo que se indica en cada recta. a) Representa los números 0

1 2 3 , y . 4 3 2

1 2

1 4

b) Representa los números

3 _ 2

2 _ 3 1 3 , y 2. 2 4

R. P.

1 3

c) Representa los números

2 , 0.7 y 1.2. 5

R. P.

0.3 m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Entre todos, analicen lo siguiente.

Al representar números en una recta numérica es importante tener en cuenta diversos aspectos. » No siempre hay un lugar fijo para el cero, de manera que, como en los casos b) y c) de la actividad 2, es correcto que lo ubiques donde te parezca conveniente. » Si ya están ubicados dos o más números, hay una unidad de medida establecida que se debe conservar en la recta. José se equivocó en el problema 1 porque no conservó la misma medida. De 0 a 8 cada espacio vale uno, pero de 8 a 16, vale dos y de 16 a 24, vale cuatro. Es incorrecto hacer esto en la misma recta.

No siempre correcto qu Si ya están u var en la rec espacio vale recta. Si solo está que sea con Se ha conve cha o de ab ción es inco

» Si solo está ubicado un número, o ninguno, es necesario establecer la unidad de medida del tamaño que sea conveniente para ubicar otros números. » Se ha convenido que el valor de los números representados en una recta aumenta de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba. En la actividad 1 Rosa no tuvo en cuenta esta convención y por eso su solución es incorrecta.

3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados en las rectas.

0.5

1.5

0

2

3 8

0

Ya sabemos...

__ 1

__54

4

0.3

1.3 0.7

m

1

ompara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay diferencias identifiquen los C errores y corrijan lo que sea necesario. Identifiquen qué parte de la información resulta útil en cada caso de las actividades 2 y 3.

Cuando hay dos o más números ubicados en la recta numérica, ya hay una unidad que debes conservar. Si solo está ubicado un número o ninguno, debes establecer la unidad.

29

S-CNCT_M1_B1_026-033_maestro_de_alta 29

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BLOQUE

1

Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Secuencia 2 / lección 7

Números ocultos 1. En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en cinco partes iguales. Anota el número que le corresponde al punto que señala la flecha.

0

resolver

20

12

a) Explica en tu cuaderno por qué el número que corresponde al punto señalado no puede ser el 3. b) El segmento de 0 a 15 está dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde 9 al punto señalado con la flecha?

0

15

c) El segmento de 0 a 1 está dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde 3 al punto señalado con la flecha? 5

0

1

2. En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en seis partes iguales. a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

0

20

20 3

b) Respecto a la actividad del inciso a), cinco equipos de un grupo dieron las respuestas que se muestran. Solo dos son correctas. Anota en la columna de comentarios por qué consideras que es correcta o incorrecta cada respuesta, con base en la información que hay en la recta.

validar

Equipo

Respuesta

1

6

2 3 4 5 m

20 _ 3 21 _ 3 2 6+_ 3 6.6

Comentarios

Incorrecta, pues 6 + 6 + 6 = 18 Correcta, pues

20 3

+ 20 + 20 = 20 3

3

Incorrecta, pues 7 + 7 + 7 = 21 2

20

Correcta, pues tres veces 6 + 3 es 3 Incorrecta, aunque es aproximada

evisa, con ayuda del profesor, lo que escribiste para ver si coinciden tus respuestas con las R de tus compañeros. Anota a qué conclusiones llegan.

30

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3. Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas en cada una de las rectas.

Si en vez de 5 fuera 1, el número que correspondería al punto señalado con la flecha sería __23 , pero es cinco veces 1, por tanto el número buscado es…

a) El segmento de 0 a 5 está dividido en tres partes iguales.

0

Una pista

5

10 3

b) El segmento de 0 a 5 está dividido en ocho partes iguales.

5 8

0

5 2

15 4

5

4. En la siguiente recta, el segmento AB se dividió en siete partes iguales.

A

1

9 7

a) ¿Qué número le corresponde al punto A? b) ¿Y al punto B?

B

3 7

17 7

c) Anota otro número que se ubique en el segmento AB: R. P. d) Anota uno que se ubique fuera del segmento AB: R. P. m

ompara, con ayuda del profesor, tus resultados con los de tus compañeros. En caso de C que haya diferencias, averigüen quién tiene razón y por qué. Después lean la siguiente información.

7 4

Una manera de resolver problemas como los de esta lección consiste en pensarlos como problemas de reparto. Por ejemplo, si se trata de un segmento de 0 a 7 dividido en cuatro partes iguales, dividir 7 entre 4 nos da 7 , 1 3 o 1.75 para cada parte del segmento. Esto quiere decir que el 4 4 número que corresponde a la primera marca después de 0 es 7 ; a la segunda, 14 ; a la tercera, 4 4 21 ; y a la cuarta, 28 , que es igual a 7. 4 4

5. ¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha?

20 7 0

4

31

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BLOQUE

1

Representa números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Secuencia 2 / lección 8

Del cero al uno 1. En la siguiente recta la flecha señala el punto medio del segmento que va de

1 2 a . 3 3

a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

0

1 3

1

2 3

3 6

b) A continuación se presentan cuatro razonamientos distintos para encontrar el número que señala la flecha. Anota sobre las líneas si es correcto o incorrecto. » El segmento que va de 1 a 2 mide 1 . La mitad de 1 es 1 , entonces, el número 3

3

3

3

que señala la flecha es 1 + 1 = 3 . 3 6 6

6

Correcto

» El número que señala la flecha es 1 + 1 , es decir, 5 . 3

2

Incorrecto

6

» 1 vale lo mismo que 2 y 2 vale lo mismo que 4 ; el número que está a la mitad 3

6

3

6

entre 2 y 4 es 3 . 6 6 6

Correcto

» El número que señala la flecha es la mitad de 1 , es decir, 1 . 3

resolver

Incorrecto

6

2. Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha en las rectas.

7 10 a) 0

7 12

3 5

1

4 5

b) 0

1 2

0.25

2 3

1

c) 0

0.2

0.3

1

7 12

d) 0

m

1 3

2 3

1

evisa, con ayuda del profesor, los resultados de las actividades anteriores. Después analiza R la siguiente información.

32

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Entre dos números fraccionarios o decimales cualesquiera siempre hay otros números fraccionarios o decimales. Una forma de encontrarlos es utilizando números equivalentes. Por ejemplo, entre 7 y 8 está 15 . ¿Por qué? A esta característica de los números fraccionarios 6 6 12 y decimales se le llama propiedad de densidad.

3. En la recta A el segmento que va de 0 a 1 se dividió en diez partes iguales. En la recta B, una de estas partes se amplificó y dividió en diez partes iguales. En la recta C, una de estas partes se amplificó y de nuevo se dividió en diez partes iguales. a) Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas y contesta lo que se pide. 7 8

10

Recta A

10

0

www.e-sm.com.mx/ SCM1-033

1

76 77 100 100

Recta B 70 100

Recta C

Familiarízate más con las fracciones y la recta numérica en...

80 100

76 100

b) Escribe un número comprendido entre

777 1 000

1 2 y . 10 10

77 100

R. T. 3 20

c) Escribe un número comprendido entre 0.4 y 0.5. R. T. 0.42 m

ompara, con ayuda del profesor, tus resultados de la actividad anterior con los de tus comC pañeros. Comenten cómo encontrarían dos números decimales entre __ 47 y __ 35 .

m

Juega en grupo “de 0 a 1”. » El profesor piensa un número que sea mayor que 0 y menor que 1, y lo anota en un papel, sin que los alumnos vean. » Los alumnos, organizados en equipos, tienen derecho a hacer hasta diez preguntas para acercarse lo más posible al número que pensó el profesor. » A cada pregunta que hagan los equipos, el profesor solo contesta sí o no. » Al final, cada equipo dice un número y gana el que se haya acercado más. 33

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Secuencia 3 / lección 9

Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío

Resuelve y plantea problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Lamsumamymlamrestamdemfraccionesmsonmoperacionesmquemestudiastemenmlamprimaria.mEnmestam secuenciamlasmutilizarásmparamresolvermdiversosmproblemas.mCalculammentalmentemlosm 1 1 resultadosmsiempremquempuedas.mPormejemplo,mparamresolverm 2 m+m 3 mpuedesmpensarmquemm 3 2 5 1 mequivalemam 36 mym 13 mequivalemam 2 ,mentonces,m 6 m+m 6 m=m 6 . 2 6

1. Las etiquetas que indican el contenido de cada vaso están revueltas. A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

a) Estima el contenido de cada vaso y coloca las etiquetas en la tabla. 1 5

3 4

5 10

5 6

2 3

1 4

1 3

1 6

1 2

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

2 3

3 4

3 5

5 6

5 10

3 5

2. Responde las preguntas con la información de la tabla. a) El vaso con más líquido es I. » ¿Cuánto contiene? » ¿Cuánto le falta para estar lleno?

5 6 1 6

b) El vaso con menos líquido es E. » ¿Cuánto contiene? » ¿Cuánto le falta para estar lleno? c) ¿Qué vasos tienen menos de

1 2

?

1 6 5 6 B, C, D, E,

34

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d) ¿Qué vasos tienen más de

1 2

?

F, G, H, I 1

e) ¿Qué vasos tienen exactamente 2 ? mm

A, J

Compara tus resultados con los de tus compañeros

3. Si juntas el contenido de dos vasos, es posible que el resultado sea menos de un vaso, exactamente un vaso o más de un vaso. Completa la tabla con base en los ejemplos. A

mm

B

C

D

E

F

G

H

I

J

más

más

lleno

A

lleno menos menos menos menos más

más

B

menos menos menos menos menos lleno

más

menos más

menos

C

menos menos menos menos menos menos lleno menos más

menos

D

menos menos menos menos menos menos menos menos más

menos

E

menos menos menos menos menos menos menos menos lleno menos

resolver

vaso

F

más

lleno menos menos menos más

más

más

más

más

G

más

más

lleno menos menos más

más

más

más

más

H

más menos menos menos menos más

más

más

más

más

I

más

más

más

más

más

más

J

lleno menos menos menos menos más

más

más

más

lleno

más

más

más

lleno

evisa algunas de las respuestas con tus compañeros. Expliquen en cada caso cómo supieR ron que un resultado sería mayor, menor o igual que un vaso lleno.

4. Anota en la siguiente tabla la fracción de vaso que se llena al juntar el líquido de dos vasos. A A B C D E F mm

1 5 __ 6 3 __ 4 7 __ 10 2 __ 3 7 __ 6

B

C

D

E

F

G

H

I

5 __

3 __

7 __

2 __

11 __

4 __

4 7 __ 12

10 8 __ 15 9 ___ 20 2 __ 5 11 ___ 30 13 __ 15

3

7 6

5 __

6 2 __ 3 7 __ 12 8 __ 15 1 2

1/2

1

4 13 __ 12

5 __

11 __

12 11 ___ 30 __1 3 5 __ 6

12 13 __ 15 5 __ 6 4 __ 3

10 14 __ 15 17 ___ 20 4 __ 5 23 ___ 30 19 __ 15

3 7 __ 6 13 __ 12 31 ___ 30

1

1/2 9 ___ 20 5 __ 12 11 __ 12

1 19 ___ 20 11 __ 12 17 __ 12

1 3 __ 2

J

1 5 __ 6 3 __ 4 7 __ 10 2 __ 3 7 __ 6

Comenta con tus compañeros los procedimientos que utilizaron. Hagan una lista con los procedimientos distintos e indiquen cuál les parece mejor para esta situación.

Ya sabemos... Hay diferentes maneras de sumar dos fracciones, por ejemplo, convirtiendo a fracciones con igual denominador, convirtiendo a decimales, usando la recta numérica, etc.

validar

35

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Resuelve y plantea problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

resolver

Secuencia 3 / lección 10

Para usar las fracciones 1. Resuelve, en equipo, los problemas. Expliquen sus procedimientos. 1

1

a) En una bolsa hay 20 canicas de cinco colores diferentes. 5 son rojas, 4 son azules, 1 10 son amarillas y tres son verdes. El resto son negras. ¿Qué fracción de las 20 canicas corresponde a las negras?

3 10 Ya sabemos... Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, primero debes hacer las conversiones necesarias para igualar los denominadores. Por ejemplo, para sumar 1 2 3 + 5 debes convertirlas en quinceavos: 1 = 5 2 = 6 3 15 5 15 5 + 6 = 11 15 15 15

b) La siguiente operación es una resta de fracciones con cuatro dígitos diferentes, cuyo resultado es 1. Escribe al menos otras dos operaciones que cumplan las mismas características. 4 – 26 3

R. T. 10 12 – =1 4 8

=1

R. T. 7 4 – =1 5 10

c) Los antiguos egipcios escribían las fracciones como sumas de fracciones unitarias, es decir, fracciones cuyo numerador es 1. Por ejemplo, para escribir la fracción 5 , utiliza8 ban la expresión 12 + 18 . » Las siguientes sumas corresponden a las fracciones del recuadro. Identifícalas y anótalas donde corresponda. 1 + 1 + 1 = 11 1 + 1 =5 1 + 1 = 9 4

5

2

20

3

12

2

12

11 12

7 10

7 12

9 20

3 4

5 6

3

6

» Escribe en tu cuaderno las otras tres fracciones como sumas de fracciones unitarias con distinto denominador.

1 1 3 + = 2 4 4 1 1 7 + = 2 5 10

d) Con base en la información del esquema que aparece abajo, ¿cuánto tiempo tardó el autobús en ir de la ciudad B a la ciudad C. 1 3 h

4 5 12 h

1 1 7 + = 2 12 12

2 14 h A

1 12 h B

C

D

36

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3/26/12 1:39 PM


1

1

1

e) Un niño ocupa 3 del día para dormir, 4 para estudiar, 6 para jugar y ver televisión, y el resto para otras actividades. ¿Qué parte del día ocupa para otras actividades?

1 4 1

5

f ) Una fotografía mide 6 4 pulgadas de ancho por 8 8 pulgadas de largo. ¿Cuál es el perímetro de la fotografía?

29 3 = 119 4 4 g) Encuentra dos números que sean mayores que __12 y menores que __34 . Representa los cuatro números en la recta. 0

1

2 3

5 8

» ¿Qué valores pueden tomar a y b? R. T. » Si la diferencia entre dos números sucesivos es siempre la misma, ¿cuánto vale b?

8 12 h) Anota en cada cuadrito el signo más (+) o el signo menos (–) para que las expresiones sean correctas.

mm

1 2

8 5

2 3

1 1 3 4 + 8 = 8

2 3

+

1 2

1 10 = 2

1 4

+

3 1 6 = 4

1 1 6 + 2 =1

5 4

1 2

3 3 8 = 8

1 2

1 3

+

1 6 =1

Practica la suma y resta de fracciones en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-037

evisen en grupo, con ayuda del profesor, los resultados de los problemas. Cuando difieran, R averigüen quién tiene razón y dónde están los errores.

37

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3/26/12 1:39 PM


CONTENIDO

BLOQUE

1

Resuelve y plantea problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

resolver

Secuencia 3 / lección 11

Un juego de cartas 1. Reúnete con tres compañeros. Preparen un juego de 40 cartas y anoten en cada una alguno de los siguientes números: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 5 . Cada número debe re2 4 3 6 8 3 4 8 8 petirse en cuatro cartas. » Uno de los jugadores se encargará de revolver las cartas y repartir. » El repartidor da tres cartas a cada jugador sin que los demás vean los números. » Cada jugador, después de observar los números de sus cartas, tiene derecho a pedir más o a quedarse con las que tiene. 1 » El jugador que más se acerca a 1 2 sumando los números de sus tarjetas gana tres puntos. Si hay empate, se reparten los tres puntos entre los ganadores. » El jugador que se pasa de 1 12 pierde el juego. » Al final de varias rondas, gana el jugador que obtiene más puntos. 1

2. Daniela, Carmen, Rodrigo y Mario jugaron cuatro rondas de 1 2 . Analicen los resultados de cada una y escriban el nombre de los ganadores.

Ya sabemos... Para sumar o restar fracciones primero se hacen las conversiones necesarias para que tengan el mismo denominador.

Ronda

Cartas de Daniela

Cartas de Carmen

Primera

1 3

5 8

1 6

5 8

3 8

1 4

Segunda

1 4

3 8

1 2

1 2

3 8

5 8

Tercera

5 8

1 8

1

Cuarta

1 3

1 2

1 6

2 3

Cartas de Rodrigo

1 8

1 8

1 3

Cartas de Mario

1 2

¿Quién ganó la ronda?

2 3

3 4

3 4

Carmen

2 3

2 3

1 8

5 8

1 2

1 4

Carmen

1 4

1 6

3 8

3 8

1

1 2

1 3

5 8

1 4

1 3

Mario

1 8

5 8

1 4

1

1 3

1 4

3 4

2 3

1 8

1

Rodrigo

a) ¿Quién ganó al final de las cuatro rondas?

Carmen.

38

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3. Daniela, Carmen, Rodrigo y Mario cambiaron las reglas del juego. Ahora cada uno toma tres cartas. Deben sumar dos de ellas y restar la otra. Gana el que obtenga el resultado mayor. Anota, en la última columna, quién ganó. Ronda

Cartas de Daniela

Cartas de Carmen

Cartas de Rodrigo

Cartas de Mario

Primera

1 6

2 3

2 3

1 3

5 8

1 8

1 2

5 8

3 4

1 4

1 6

5 8

Daniela

Segunda

1

3 4

1 4

3 8

1

1 3

1 8

2 3

3 8

3 8

1 6

1 2

Daniela

Tercera

1 6

1

1 2

1 3

3 4

3 8

1 3

2 3

1 8

1

1 4

1 2

Daniela

Cuarta

1 4

1 6

1 6

3 8

1 2

1 6

3 4

1 4

1

1 8

3 8

5 8

Rodrigo

a) ¿Quién ganó al final de las cuatro rondas?

¿Quién ganó la ronda?

Daniela.

4. Lee la siguiente información.

Cuando hay sumas y restas de fracciones con distinto denominador en una expresión es necesario encontrar fracciones equivalentes con igual denominador para calcular el resultado. Por ejemplo: 3 _ 9 _ 1 =_ 4 =_ 17 _ + 1 –_ + 12 – _ 8 2 6 24 24 24 24

mm

Comenta, en grupo, cómo calculaste las sumas y restas de fracciones.

39

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CONTENIDO

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1

Construye sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formula en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Secuencia 4 / lección 12

La matemática de las rejas Muchas figuras que conoces siguen cierta regla o patrón. ¿Te has preguntado qué tienen que ver las rejas con las matemáticas? ¿Has notado que algunos bordados también siguen una regla? 1. Trabaja en equipo. Don Manolo, el herrero, diseña rejas con tres modelos de barras. Tipo A

Tipo B

Tipo C

resolver

Esta es parte de una reja.

1

2

3

4

5

6

7

En contexto En el trabajo de los herreros hay diversas aplicaciones matemáticas, por ejemplo: líneas rectas y curvas, figuras geométricas distintas y simetrías. Además, constantemente toman medidas y hacen cálculos.

a) ¿Qué tipo de barra es la número 5? Tipo A. b) Si la reja continúa, ¿de qué tipo será la barra número 10? Tipo B. c) ¿Y la 39? Tipo A. d) ¿La barra número 45 es del tipo B? No. e) ¿Cómo lo averiguaron? Porque las rejas pares son tipo B y las impares, tipo A. f ) Expliquen la regla que siguió don Manolo para hacer esta reja:

R. P.

40

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2. Veamos una sección de otra reja que diseñó don Manolo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de sucesiones.

a) Expliquen la regla que siguió don Manolo para hacer esta reja:

R. T. Van de tres en tres. b) Completen la tabla. Tipo de barra

Lugares que ocupan

A

3

6

9

12

15

18

B

2

5

8

11

14

17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

C

1

4

7

10

13

16

21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

19 22 25 28 31 34 37 40 43 46

c) Deduzcan y expliquen la regla que sigue cada sucesión numérica anterior. Tipo de barra

comunicar

Regla

A

R. T. Son los múltiplos de 3.

B

R. T. Van de tres en tres, a partir de 2.

C

R. T. Van de tres en tres a partir de 1.

d) Escriban el tipo de barra (A, B o C) que hay en cada lugar.

m

Lugar

18

19

20

33

38

55

104

121

Tipo

A

C

B

A

B

C

B

C

201

A

102

A

Comparen sus resultados y procedimientos con los de sus compañeros. Expliquen en su cuaderno por qué es posible saber el tipo de reja que hay en determinado lugar. 41

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Secuencia 4 / lección 13

Bordados 1. Las figuras de la izquierda son diseños para hacer bordados en punto de cruz. a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla. Figura

1

2

3

4

5

10

50

100

Cuadrados bordados

4

8

12

16

20

40

200

400

b) ¿Cómo calculaste el número de cuadrados bordados de la figura 100?

Multiplicando 100 Í 4. c) Si conocieras el número de una figura, ¿cómo calcularías el número de cuadrados bor-

Figura 1

dados que tiene?

Multiplicándolo por 4.

d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿con qué operación se calcula su número Figura 2

200 Í 4 = 800

de cuadrados?

e) Subraya la regla que corresponde a esta sucesión. » Sumar 4 al número de la figura. » Multiplicar por 4 el número de la figura. Figura 3

» Dividir entre 4 el número de cuadrados bordados. f ) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 101 cuadrados bordados? ¿Por qué?

No.

Porque 4 no divide a 101.

Figura 4 m

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

2. Aquí tienes otro diseño.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Considera que las figuras anteriores continúan y completa la tabla. Figura

1

2

3

4

5

10

50

Cuadrados bordados

5

9

13

17

21

42

201

100

401

42

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b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100? Multiplicando 100 Í 4 y sumando 1. c) Si conocieras el número de una figura, ¿cómo calcularías el número de cuadrados bordados que tiene?

Multiplicándolo por 4 y sumando 1.

d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿con qué operaciones sabrías su número

Figura 1

4 Í 200 + 1 = 801

de cuadrados?

e) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 45 cuadrados bordados? f ) ¿Por qué?

No.

R. T. Porque 45 no está en la sucesión. Figura 2

g) Subraya la regla que corresponde a esta sucesión. » Multiplicar por 2 el número de la figura y sumarle 3 al resultado. » Multiplicar por 3 el número de la figura y sumarle 2 al resultado. » Multiplicar por 4 el número de la figura y sumarle 1 al resultado. Figura 3

3. Observa el diseño que está a la derecha. a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla. Figura

1

2

3

4

5

10

Cuadrados bordados

1

4

9

16

25

100

50

100

2 500 10 000

Figura 4 resolver

b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100?

100 x 100

c) Escribe la regla para encontrar el número de cuadrados a partir del número de la figura:

multiplicar el número por sí mismo. d) Si a una figura le correspondiera el número 200, ¿con qué operaciones sabrías su número de cuadrados?

Multiplicando 200 x 200 = 40 000.

e) ¿Alguna figura completa tendrá 121 cuadrados bordados? Sí, la número 11. f ) ¿Por qué? m

Ve más sucesiones de figuras en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-043

Porque 11 x 11 es 121.

ompara tus resultados con los de tus compañeros. Lean lo siguiente y ejemplifíquenlo en C su cuaderno con una sucesión numérica y su regla.

Una sucesión numérica es un conjunto de números ordenados de acuerdo con una regla.

43

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Secuencia 4 / lección 14

Sucesiones de figuras o números 1. Considera el número de flores en cada dibujo.

Dibujo 1

Dibujo 2

Dibujo 3

Dibujo 4

Practica más con sucesiones de figuras en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-044

a) ¿Cuántas flores tendrá el dibujo 10?

1 024

b) Explica cómo aumenta el número de flores:

Inicia con dos, y va aumentando al doble respecto al término anterior. resolver

2. Una sucesión de figuras formadas por puntos aumenta de tal manera que cada una tiene el triple de puntos que la anterior. La sucesión empieza con tres puntos. a) Dibuja las primeras cuatro figuras de la sucesión. Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Trazar tres puntos en fila

Dibujar tres filas de tres puntos cada una: nueve puntos en total

Dibujar 27 puntos. Tres filas de 9 puntos

Dibujar un cuadrado con 9 puntos por lado: 81 puntos en total

44

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3. Escribe, a partir de la regla dada, los primeros diez números de la sucesión. a) La sucesión inicia en 100 y se resta 2 al número anterior.

100, 98, 96, 94, 92, 90, 88, 86, 84, 82... b) La sucesión inicia en __12 y se duplica el valor del número anterior. 1 ___ 1 1 1 1 1 1 __1 , __1 , __1 , __ , , ___, ___, ____, ___, ____ 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024

c) La sucesión inicia en 0.4 y se triplica el valor del número anterior.

0.4, 1.2, 3.6, 10.8, 32.4, 97.2, 291.6, 8 74.8, 2 624.4, 7 873.2 m

ompara tus respuestas con las de tus compañeros. Resuman, en su cuaderno, qué es una C sucesión numérica y den tres ejemplos anotando la regla de cada uno.

4. Completa la tabla. En la primera columna deben aparecer los primeros cinco números de la sucesión; en la segunda, los dos que siguen; en la tercera, la regla con que se forma.

Sucesión

Números que siguen

Regla

18, 21

Se suma 3 al número anterior.

3, 6, 9, 12, 15…

7, 14, 21, 28, 35

0.125, 0.25, 0.5, 1, 2…

42, 49

Se suma 7 al número anterior.

4,8

125 000, 25 000, 5 000, 1 000, 200

1, 1, 1, 1, 1… 3 6 12 24 48

m

comunicar

1 _ 1 _ , 96 192

Se multiplica por 2 el término anterior. Cada número es la quinta parte del anterior.

Cada número es la mitad del anterior.

Explica a tus compañeros cómo completaste la tabla. Lean la siguiente información.

Hay sucesiones de números o figuras que siguen una regla o patrón. A veces la regla consiste en sumar o restar un número, o bien, en multiplicar o dividir; también hay sucesiones que combinan las operaciones anteriores. Encontrar la regla te permite calcular números o dibujar figuras que pertenecen a la sucesión.

45

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Explica el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

Secuencia 5 / lección 15

La fórmula es útil, pero no es lo único ¿Recuerdas algunas fórmulas geométricas? ¿Sabes lo que significa cada uno de sus términos? En esta secuencia analizarás estos y otros aspectos.

1. Imagina rectángulos diferentes (pequeños, medianos, grandes) y objetos que tengan forma de rectángulo, por ejemplo, cuadernos, losetas, pizarrones, ventanas, patios, etc. ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular su área? Descríbelo.

R. T. Mediría la base y la altura, y luego multiplicaría ambas.

resolver

2. Aunque existe un procedimiento general para calcular el área de cualquier rectángulo, la información que se necesita para ello puede expresarse de distintas maneras, como las siguientes. a) Sobre fondo cuadriculado. ¿Cuál es el área de cada rectángulo? Considera un cuadrito como unidad.

Convivimos Ante una actividad nueva es normal que tengas dificultades y cometas errores. Hasta a los matemáticos les pasa. Poco a poco desarrollarás la habilidad necesaria para resolverla y te parecerá menos difícil.

A =

15

A =

12

b) Con medidas reales. ¿Cuál es el área, en cm2, del siguiente rectángulo?

A =

21 cm2

3.5 cm

6 cm 46

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c) Con medidas ficticias. ¿Cuál es el área, en m2, de este rectángulo?

13 m A =

325 m2

25 m d) Con medidas disfrazadas. El radio del círculo pequeño mide 3 unidades y el del círculo grande mide 5. Calcula el área del rectángulo.

A =

3

60

5

e) Con medidas representadas con literales. El largo del rectángulo es m y el ancho, n. ¿Cuánto mide el área?

n

m

A =

mxn

m Analiza, en grupo, cada respuesta. En caso de haber diferencias averigüen a qué se deben. Registren sus conclusiones acerca de porqué es importante usar literales. El resultado del último problema es la expresión general, también llamada fórmula, con que se calcula el área de cualquier rectángulo. La expresión con palabras es: área (del rectángulo) es igual a largo por ancho. La expresión con literales es: A = mn. En vez de largo y ancho, suele decirse base (b) y altura (h), de manera que la fórmula más conocida es A = bh, pero es lo mismo. Cuando se multiplican dos literales no se usa el signo ×, para no confundirlo con la letra equis.

47

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Explica el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

Secuencia 5 / lección 16

Con números o con letras 1. Haz, en grupo, lo siguiente. a) Expresen con palabras, de la manera más breve posible, cómo calcular el perímetro de un rectángulo.

comunicar

Se suma la medida de cada lado.

b) Identifiquen, con ayuda del profesor, la descripción más breve del procedimiento y verifiquen que sea correcta. c) Expresen con una fórmula el procedimiento para calcular el perímetro del rectángulo de la izquierda. d) Anoten lo que falta en la tabla. Consideren que A representa el área; P, el perímetro; a, el ancho; y l, el largo. La primera fila está resuelta.

2(a + I)

Con palabras

Con símbolos

¿Qué se calcula? A

2a + 2l

Dos veces el ancho más dos veces el largo

P

a

l

l xa

Largo por ancho

A

Área entre largo

l

Ancho más largo multiplicado por dos Área entre ancho

2(a + l) A __ a

✓ Ancho más largo, más ancho más largo a + l + a +  l m Comenten la siguiente información: La expresión 2(a + l) significa 2 por a más l, lo que es igual a 2a + 2l. Escriban sus conclusiones en el cuaderno.

2. Las figuras son triángulos equiláteros, es decir, sus lados son iguales. En uno, las medidas están expresadas con números; en otro, con literales. a) Anota las medidas que se piden.

3 cm

b

26 cm

a

9 cm 2

3.9 cm

3b ba _ 2

b) Expresa con palabras cómo calcular el área de un triángulo.

El área es igual al producto de su base por la altura, dividido entre dos. 48

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m

evisa, en grupo, las medidas que escribiste, especialmente los casos en que no coincidan R con las de tus compañeros. Comprueben quiénes tienen razón.

3. Haz lo mismo con los siguientes cuadrados Medida de un lado: Perímetro: Área:

Medida de un lado:

3 cm

12 cm 2

9 cm

3 cm

Perímetro:

4a

Área:

2a2

a

Sigue practicando con fórmulas geométricas en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-049

a

4. La siguiente figura es un paralelogramo. Dos medidas están indicadas con números y una con una literal. Anota lo que se pide.

3 cm

x

Medida de un lado:

6.5

Medida de la altura:

3

Perímetro:

13 + 2x

Área:

19.5 cm2

6.5 cm 5. El perímetro de una figura cuyos lados y ángulos son iguales puede calcularse mediante la fórmula P = a + a + a + a + a, o bien, P = 5a, donde a representa la medida de un lado. a) ¿Qué figura es?

resolver

Un pentágono regular.

b) Si a vale 3.5, ¿cuál es el perímetro de la figura?

17.5

c) Si el perímetro mide 28 cm, ¿cuál es el valor de a?

5.6

d) En tu cuaderno, dibuja la figura y divídela en cinco triángulos iguales. La altura de uno de esos mide b. ¿Cómo se expresa el área de la figura con literales? A = m

5 ba 2

ompara tus respuestas con las de tus compañeros. Ubiquen los errores y corrijan lo que C sea necesario.

6. La siguiente fórmula sirve para calcular el área de un trapecio: A =

(B + b) h . 2

a) Asigna, en grupo, valores a B, b y h. R. P. b) Calculen el área del trapecio. c) Tracen el trapecio y escriban sus medidas.

49

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BLOQUE

1

Secuencia 5 / lección 17

Con fórmulas y con palabras

comunicar

1. Completa la tabla. Operaciones que intervienen

Figura a la que pertenece

Qué se calcula

Área es igual a lado al cuadrado.

potenciación

cuadrado

área

Perímetro es igual a seis veces lo que mide un lado.

multiplicación

hexágono

perímetro

suma, multiplicación, división

trapecio

área

división

rectángulo

ancho

Fórmula

A = l2

P = 6l

A=

(B + b) h 2

a= A l

Área es igual a la suma de la base mayor más la base menor, multiplicado por la altura, divido entre dos. Ancho es igual a área entre largo.

P = 3l

Perímetro es igual a tres veces lo que mide un lado.

multiplicación

triángulo equilátero

perímetro

P = 5l

Perímetro es igual a cinco veces lo que mide un lado.

multiplicación

pentágono

perímetro

Área es igual a base por altura entre dos.

multiplicación y división

triángulo

área

Área es igual a diagonal mayor por diagonal menor entre dos.

multiplicación y división

rombo

área

A = bh 2

A = Dd 2 CONTENIDO

Con palabras

Explica el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

m

evisa, en grupo, lo que anotaste en la tabla. Pónganse de acuerdo cuando haya respuestas R diferentes. Después lean y comenten la siguiente información.

Cada fórmula es una igualdad. A la izquierda del signo igual está lo que se calcula y a la derecha, cómo se calcula. Cada literal representa una medida de la figura y es importante saber distinguirlas, así como las operaciones que se indican, por ejemplo: B + b, la suma de la base mayor y la base menor; bh, base por altura; 2b , el doble de la base entre la altura; l2, elevar a la segunda potencia la h medida de un lado, que equivale a multiplicar lado por lado.

50

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2. Las ocho fórmulas registradas en la tabla anterior corresponden a las siguientes figuras. Anota abajo de cada una su fórmula y escribe cada letra sobre la medida que representa.

resolver

l l

l

a A a = _  l

A = l 2

P = 3l l

D

l

d Dd A=_ 2

P = 6l

P = 5l

b

h

h b

B (B + b)h A=_ 2 m

A=

bh 2

T rabaja en grupo. Asignen a las letras los valores que decidan, calculen lo que indican las fórmulas y organicen la información en la tabla. Hay un caso ya resuelto (a un lado del hexágono regular se le asignó 4 cm). Figura

Fórmula

Valores asignados

Resultado

P=6l

l = 4 cm

24 cm

técnicas

R. P. hexágono regular

m

evisen, con ayuda del profesor, lo que registraron en la tabla. Recuerden que puede haber R varias formas de escribir la fórmula correcta. Por ejemplo, en vez de P = 6 l, alguien pudo escribir P = l + l + l + l + l + l. 51

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

técnicas

¿Podrías haber empezado trazando el segmento de 3.5 cm? ¿Cuáles serían las instrucciones para este caso?

Secuencia 6 / lección 18

De tres lados En esta secuencia podrás responder preguntas como las siguientes: ¿Cómo trazarías un triángulo si conocieras las medidas de los lados? ¿Podrías trazar un cuadrado si supieras cuánto mide su diagonal?

1. Sigue las indicaciones para trazar en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2.5 cm y 3.5 cm. a) Se traza un segmento de 4 cm.

b) Se abre el compás a 2.5 cm y, apoyándolo en un extremo del segmento, se traza un arco.

c) Se abre el compás a 3.5 cm y, apoyándolo en el otro extremo del segmento, se traza otro arco que corte al primero.

d) Se une cada extremo del segmento con el punto de corte de los arcos y se obtiene el triángulo deseado.

Los triángulos que tienen tres lados desiguales se llaman triángulos escalenos. Los que tienen dos lados iguales se llaman triángulos isósceles. Los triángulos isósceles que tienen tres lados iguales también se llaman triángulos equiláteros.

2. Traza en tu cuaderno o en una hoja, con instrumentos geométricos, un triángulo que tenga al menos dos lados iguales y otro con tres lados diferentes. 52

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3. Traza triángulos con las características que se indican. Utiliza instrumentos geométricos. Anota la medida de cada lado y, cuando sea el caso, indica el ángulo de 90°. Isósceles con un ángulo de 90°

Equilátero

R. P.

Escaleno con un ángulo de 90°

Dadas tres medidas diferentes, ¿siempre será posible trazar un triángulo con ellas? Estudiarás esto más adelante.

Cualquier triángulo con ángulos menores de 90°

Los triángulos que tienen tres ángulos agudos, es decir, menores de 90°, se llaman triángulos acutángulos. Los que tienen un ángulo recto, es decir, de 90°, son triángulos rectángulos. Los que tienen un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90°, se conocen como triángulos obtusángulos.

4. Comenta, en equipo, si es posible que un triángulo…

m

a) sea equilátero y rectángulo a la vez.

No es posible.

b) sea isósceles y acutángulo a la vez.

Sí es posible.

c) tenga más de un ángulo recto.

No es posible.

d) tenga más de un ángulo obtuso.

No es posible.

comunicar

omenten sus respuestas con sus compañeros. Para cada caso, si concluyeron que el triánC gulo existe, tracen un ejemplo en el cuaderno. Si concluyeron que no, argumenten por qué.

53

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

técnicas

Secuencia 6 / lección 19

De cuatro lados 1. Lee los procedimientos. Sin llevar a cabo las instrucciones, imagina qué resulta. Procedimiento A » Traza una recta. » Con el compás, traza dos circunferencias que se corten entre sí y tengan su centro en diferentes puntos de la recta. » Encuentra los dos puntos de corte de ambas circunferencias. » Traza una recta que pase por los dos puntos.

Procedimiento B » Traza una recta. » Con el compás, traza una circunferencia con centro sobre la recta. Nómbralo circunferencia C1. » Con el compás, traza otras dos circunferencias del mismo tamaño cuyos centros equidisten del centro de C1 y que corten a C1 en dos puntos. » Ubica los puntos de corte (que estén del mismo lado de la recta) de las dos circunferencias con C1. » Traza una recta que pase por estos dos puntos.

a) Escribe si se puede utilizar el procedimiento A, el B o ninguno para obtener lo que se indica. » Una recta transversal a la primera recta. Procedimientos A y B » Una recta paralela a la primera recta. Procedimiento B » Una recta perpendicular a la primera recta. Procedimientos A y B

validar

2. Traza en tu cuaderno lo que indican los procedimientos y verifi ca tus respuestas.

técnicas

3. Observa, en equipo, cómo trazar rectas perpendiculares usando escuadras.

Una pista Trazar rectas perpendiculares con escuadras te puede ayudar.

a) Averigüen cómo trazar rectas paralelas usando escuadras. b) Tracen en su cuaderno una pareja de rectas perpendiculares y una de paralelas usando escuadras. c) Comenten los procedimientos que utilizaron.

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resolver

4. Traza, con instrumentos geométricos, lo que se indica. a) Un rectángulo cuya base sea AB y uno de sus vértices el punto C.

C

B

A b) Un cuadrado, tomando el siguiente segmento como uno de sus lados

c) Un rombo, uno de cuyos lados sea el segmento PQ y tenga dos ángulos de 60º.

P

60o

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de trazo de cuadriláteros.

120o

120o

60o

Q d) Un cuadrado que tenga por diagonal el siguiente segmento.

Una pista Analiza cómo son entre sí las diagonales de un cuadrado.

55

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Secuencia 6 / lección 20

Diseños con triángulos y cuadriláteros 1. Completa las instrucciones para trazar el siguiente diseño. » Traza un

cuadrado.

» Ubica los puntos medios de cada

uno de sus lados. » Une consecutivamente los puntos medios que localizaste para formar otro

Ya sabemos... El punto medio de un segmento se encuentra sobre este y a la misma distancia de sus extremos.

cuadrado más »

pequeño y traza sus diagonales.

comunicar

2. Analiza, en equipo, cada diseño. Escriban las instrucciones para trazarlo con instrumentos geométricos. Puede ser del tamaño que consideren conveniente.

R. T. Traza un triángulo equilátero. Divide cada lado en cuatro partes iguales. Une los puntos formando líneas paralelas.

R. T. Traza un rombo. Traza sus diagonales. Prolonga la diagonal menor. Aprende más sobre cuadriláteros en…

Selecciona un punto sobre esta recta y

www.e-sm.com.mx/ SCM1-056

únelo con los vértices del rombo opuestos a la diagonal menor. m

E lige, en grupo, uno de los diseños. Lean en voz alta algunas de las instrucciones que escribieron. Comenten si con ellas pueden construir el modelo.

56

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3. Traza en tu cuaderno cualquiera de los diseños de la página anterior. 4. Traza un diseño geométrico en el espacio de abajo siguiendo las instrucciones. » Traza un cuadrado que mida 4 cm de lado. » Sobre cada lado, hacia afuera, traza un triángulo equilátero. » Traza los cuatro ejes de simetría del cuadrado. » Prolonga los ejes de simetría que cortan a los lados hasta que toquen los vértices de los triángulos. » Colorea a tu gusto.

R. P.

m

Comparen su diseño con los de sus compañeros. Si no son iguales determinen por qué.

5. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente. » Construya, cada uno, un diseño geométrico con triángulos y cuadriláteros. No lo muestren al otro. » Escriban las instrucciones para que el compañero lo reproduzca. » Intercambien las instrucciones. Cada uno trace el diseño que inventó el otro, según sus instrucciones. » Al terminar, comparen los diseños y vean si son iguales. Si no es así, determinen qué ocurrió.

resolver

57

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

resolver

Secuencia 7 / lección 21

Un triángulo al interior de un círculo Considera un triángulo: ¿qué es el centro de gravedad?, ¿cuántas alturas tiene?, ¿se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices?, ¿se puede trazar una que toque en un punto sus lados? Al estudiar esta secuencia podrás responder estas preguntas. C

1. Trabaja con un compañero. Tracen en su cuaderno un triángulo escaleno acutángulo. Nombren sus vértices como A, B y C. a) Intenten trazar un círculo cuya circunferencia pase por A, B y C. Si lo logran, expliquen cómo encontrar el centro del círculo de una manera que no sea al tanteo.

B

A

R. P.

técnicas

2. Ahora conocerás una forma de trazar la circunferencia anterior. a) En una hoja de papel traza un triángulo ABC como el anterior. b) Marca dobleces en el papel. » Dóblalo de manera que el vértice A quede exactamente encima del vértice B. Marca bien el doblez. » Ahora dobla el papel de manera que el vértice A quede encima del vértice C y marca el doblez. » Haz que el vértice B quede encima del vértice C. » Si hiciste bien los dobleces, las líneas marcadas deben cortarse en un solo punto, como muestra la figura.

C

B A

c) Nombra P al punto donde se cortan las tres líneas. Mide las distancias de P a cada vértice.

PA =

2.5 cm

PB =

2.5 cm

PC =

2.5 cm

d) P es el centro del círculo que pasa por los tres vértices. Verifícalo.

58

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Cuando una circunferencia pasa por los tres vértices se dice que circunscribe al triángulo y se le llama circunferencia circunscrita. Los dobleces que marcaste son las mediatrices de los lados del triángulo. La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento en su punto medio. El punto donde se cortan las tres mediatrices se denomina circuncentro, pues es el centro de la circunferencia circunscrita.

3. Traza en papel un triángulo rectángulo y uno obtusángulo. Marca sus mediatrices con dobleces, encuentra el circuncentro y traza un círculo que pase por los vértices. C

A

C

B

A

B

a) ¿Dónde quedó el circuncentro del triángulo rectángulo?

Sobre la hipotenusa.

b) ¿Dónde quedó el circuncentro del triángulo obtusángulo?

Afuera del triángulo.

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Argumenten, con ejemplos, cómo llegaron a ellas. Entre todos, califiquen como falsa o verdadera cada una de las siguientes afirmaciones. Argumenten sus respuestas.

m

validar

a) El circuncentro de un triángulo siempre queda dentro del triángulo. Falsa b) El circuncentro de un triángulo rectángulo se ubica sobre el lado mayor del triángulo. Verdadera m

ompara tus respuestas con la de un compañero. Si no coinciden, anoten por qué en sus C cuadernos.

4. Traza en tu cuaderno estos diseños. En el primero, los lados iguales del triángulo isósceles deben medir 5 cm y, en el segundo, los lados del triángulo equilátero deben medir 6 cm.

En el bloque 2 aprenderás más sobre mediatrices y cómo trazarlas con regla y compás. 59

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

técnicas

Secuencia 7 / lección 22

Un círculo en un triángulo 1. Trabaja con un compañero. Intenten trazar en el triángulo de la derecha una circunferencia como se muestra en el triángulo de la izquierda. Observen que la circunferencia toca cada lado del triángulo en un solo punto. Expliquen cómo encontrar el centro del círculo de una manera que no sea al tanteo.

2. Ahora sabrás cómo trazar la circunferencia anterior. » Traza en una hoja un triángulo escaleno acutángulo, como los triángulos anteriores, y recórtalo. Dobla por la mitad cada ángulo. » Si hiciste bien los dobleces, deben cortarse en un solo punto, como muestra la figura. Llama P a ese punto. B » Traza un segmento que salga de P y sea perpendicular a uno de los lados. Observa que, sin importar qué lado escojas, los segmentos miden lo mismo.

P C

A » Apoya tu compás en P y ábrelo al tamaño del segmento que trazaste en el punto anterior. Verifica que P sea el centro del círculo y toque en un solo punto cada lado del triángulo.

B

P C

A 60

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Cuando una circunferencia toca en un punto cada lado de un triángulo, se dice que está inscrita en el triángulo. Los dobleces que marcaste son las bisectrices de los ángulos del triángulo. El punto donde se cortan las tres bisectrices se llama incentro, pues es el centro de la circunferencia inscrita.

3. Traza un círculo inscrito en cada triángulo. C

C

B

A

m

B

A

a) ¿Dónde quedó el incentro del triángulo rectángulo?

Dentro del triángulo.

b) ¿Dónde quedó el incentro del triángulo obtusángulo?

Dentro del triángulo.

omenta, en grupo, si la siguiente afirmación es verdadera y argumenta por qué: El incentro C de un triángulo siempre queda dentro de este.

resolver

4. En la siguiente figura aparece el triángulo ABC, al que se le han prolongado los lados, así como tres circunferencias que tocan un lado y las prolongaciones de los otros dos en un punto. A esas circunferencias se les llama exinscritas. a) Construye, con un compañero, un triángulo en una hoja de papel. Prolonguen sus lados, averigüen cómo ubicar el centro de cada circunferencia y tracen las tres circunferencias exinscritas.

validar

A

B

C

En el bloque 2 aprenderás más sobre bisectrices y cómo trazarlas con regla y compás.

61

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

técnicas

Secuencia 7 / lección 23

Centro de gravedad 1. Recorta, en pareja, un triángulo de cartón. Intenten encontrar un punto para ponerlo en equilibrio sobre la goma de un lápiz. Cuando lo hagan, márquenlo con un círculo pequeño.

2. ¿Cómo encontrar el punto de equilibrio de manera segura y no al tanteo? Hagan lo siguiente en su triángulo de cartón. » » » »

Localicen el punto medio de cada lado. Unan cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Verifiquen que los tres segmentos trazados se corten en un punto, que llamarán B. Comprueben que B es el punto de equilibrio del triángulo. ¿Está cerca del que encontraron antes?

El segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto se denomina mediana. El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo se llama baricentro o centro de gravedad.

3. Encuentra el baricentro de los triángulos.

62

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validar

4. Considera la siguiente afirmación. Una mediana y una mediatriz de un triángulo nunca coinciden. a) Demuestra con un ejemplo que la afirmación es falsa. Traza el triángulo con su mediana y su mediatriz en el recuadro de la derecha.

R. T. Un triángulo equilátero

5. Señala la afirmación falsa y demuestra por qué lo es con un ejemplo. Afirmación

Ejemplo

a) El baricentro de un triángulo siempre queda dentro de él. b) En un triángulo isósceles con solo dos lados iguales, las medianas, bisectrices y mediatrices coinciden.

falsa

c) En un triángulo equilátero, el baricentro, el circuncentro y el incentro son el mismo punto.

6. Traza en el recuadro un triángulo cuyo centro de gravedad esté a la misma distancia de sus vértices. R. T. Un triángulo equilátero

m

resolver

ompara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten de qué tipo es el triángulo C de la actividad 4 y compárenlo con el del inciso b) de la actividad 5. Escriban sus conclusiones sobre qué sucede con el triángulo equilátero. 63

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Traza y analiza las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Secuencia 7 / lección 24

Las alturas del triángulo C

1. Traza en una hoja un triángulo escaleno acutángulo y nombra sus vértices como A, B y C.

B

A C » Dobla el papel de manera que el vértice B caiga sobre el lado AB y el doblez pase por el punto C, como muestra la ilustración de la derecha. A

B C

» Este doblez es una de las tres alturas del triángulo: la que corresponde al lado AB. En el dibujo se indica con una línea punteada.

B

A C

Explora las propiedades de las alturas de un triángulo en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-064

» Marca con el procedimiento que prefieras las otras dos alturas del triángulo: la que corresponde al lado AC y pasa por el vértice B, y la que corresponde al lado BC y pasa por el vértice A.

A

B

» Si hiciste bien los dobleces observarás que las tres alturas se cortan en un punto.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado o su prolongación y que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. Los triángulos tienen tres alturas y estas concurren en un punto llamado ortocentro.

64

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2. El siguiente procedimiento sirve para trazar solo con escuadras las alturas de un triángulo. Paso 1 Coloca una escuadra sobre un lado del triángulo. C

técnicas

Paso 2 Coloca la otra escuadra de manera que forme ángulo recto con la anterior y pase por el vértice opuesto. Traza la altura. C

A

B A

B

a) Traza en tu cuaderno un triángulo en el que…

resolver

» el ortocentro sea uno de sus vértices. » el ortocentro quede fuera del triángulo. b) ¿Cómo es el triángulo cuyo ortocentro es uno de sus vértices? Triángulo rectángulo. c) ¿Cómo es el triángulo cuyo ortocentro queda fuera del triángulo?

Escaleno.

3. Traza en tu cuaderno un triángulo en el que… » una de sus alturas también sea una de sus mediatrices. » dos de sus alturas coincidan con dos de sus lados. 4. Traza las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices del siguiente triángulo. ¿Qué observas? Anota en tu cuaderno tus conclusiones.

m

ompara tus respuestas a las actividades 2, 3 y 4 con las de tus compañeros. Comenten si C las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Argumenten sus respuestas. » La altura de un triángulo siempre es menor o igual que la mediana que corresponde al mismo lado. » Cualquiera de las alturas de un triángulo siempre es menor que uno de sus lados.

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de alturas del triángulo.

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Secuencia 8 / lección 25

¿Son proporcionales?

Resuelve problemas de reparto proporcional.

Dos amigos hicieron juntos un trabajo. Uno de ellos trabajó el doble de tiempo que el otro. ¿Crees que las ganancias deben repartirse por mitades? ¿Por qué? 1. Trabaja con un compañero. Completen las tablas. Si consideran que algún dato no puede calcularse, tachen la casilla correspondiente.

resolver

Un taxi cobra $7.04 por el servicio más $0.86 por cada 250 m

Cuando Mario nació, Luisa tenía 6 años Acontecimiento

Edad de Mario

Edad de Luisa

Mario entra a la escuela primaria.

6

12

Luisa termina la licenciatura.

18

24

Luisa tiene su primer hijo.

30

Mario tiene su primer hijo.

42

Km recorridos en taxi

Precio del recorrido

3 5

$17.36 $24.24

36

15

$58.64

48

30

$110.24

Tabla 1

Tabla 2

Los helados se venden a…

Una receta para un pastel pide hornear durante 45 min a 200°

Núm. de helados

Precio total

3

$9.00

6

$18.00

45 min

15

$45.00

45 min

30

$90.00

Núm. de pasteles que se hornean al mismo tiempo

Tiempo de horneado

1

45 min

2 3 Tabla 3

Tabla 4

Las cajas tienen la misma cantidad de chocolates

El disco contiene 20 canciones

Núm. de cajas

Núm. de chocolates

Núm. de canciones reproducidas

Tiempo transcurrido desde que se reproduce la primera canción

3

36

1

3 min

72 120 144

2

7 min

3

9 min

4

X

6 10 12 Tabla 5

Tabla 6

Ana lee un libro

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 90 km/h

Núm. de páginas leídas

Núm. de páginas por leer

12

102

24

90

2h

36

78

3h

60

54

Tabla 7

Tiempo transcurrido 1h

4h

Distancia

90 180 270 360

Tabla 8

66

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2. Revisa, en grupo y con la ayuda del profesor, las tablas anteriores de la siguiente manera. a) Comparen las cantidades que encontraron. Si difieren, identifiquen las correctas. b) En la primera columna de la tabla, hay una lista de características de una relación. En la primera fila, las “T” refieren a las tablas de la actividad 1. Indiquen con una palomita (ü) o un tache (×) si la tabla tiene la característica indicada. T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

Cuando una cantidad de uno de los conjuntos varía (aumenta o disminuye), la correspondiente del otro conjunto puede no variar (solamente una tabla tiene esta característica). Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las correspondientes del otro conjunto tienen algún aumento.

Ya sabemos... Hay muchas formas en que las cantidades de un conjunto dependen de las de otro. Si una cantidad de un conjunto aumenta dos veces, tres veces o n veces, y la correspondiente del otro conjunto aumenta ese mismo número de veces, se dice que las cantidades de un conjunto son directamente proporcionales a las del otro conjunto.

comunicar

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las correspondientes del otro conjunto disminuyen. La diferencia (resta) entre dos cantidades de un conjunto es siempre igual a la diferencia entre las dos cantidades correspondientes en el otro conjunto. Cuando una cantidad se hace dos, tres, o n veces mayor, la correspondiente del otro conjunto se hace ese mismo número de veces mayor (tres tablas tienen esta característica).

3. Contesten las preguntas. » ¿Las edades de Luisa señaladas son proporcionales a las de Mario?

No.

» ¿Las cantidades de tiempo que requieren los pasteles para hornearse son proporcionales No. a las cantidades de pasteles que se hornean? » ¿Las cantidades de dinero que se deben pagar por los helados son proporcionales a las cantidades de helados que se compren? Sí. » ¿La cantidad total de tiempo transcurrido desde la primera canción es proporcional al No. número de canciones que han sido reproducidas? 4. Encuentren tres parejas de cantidades que sean proporcionales y tres que no lo sean.

(2, 4), (3, 6) y (4, 8) son proporcionales; (1, 2) (3,5) y (8, 10) no lo son. 67

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Resuelve problemas de reparto proporcional.

Secuencia 8 / lección 26

El campamento 1. En el campamento al que fue Juan, los víveres se distribuyeron entre las tiendas de campaña. La cantidad que se entregó a cada tienda dependió del número de ocupantes. Un día hubo protestas por el reparto de galletas. a) Compara lo que recibieron los ocupantes de las tiendas A y B en el reparto de galletas, y anota quiénes protestaron y por qué.

resolver

Tienda de campaña

A

B

Los de la tienda B, porque le corres-

Núm. de ocupantes

3

5

pondieron menos galletas por ocupante.

Núm. de galletas

7

7

b) En cada par de tiendas indica si el reparto de galletas te parece justo y argumenta por qué. Tienda de campaña

C

D

Tienda de campaña

E

F

Núm. de ocupantes

4

4

Núm. de ocupantes

3

6

Núm. de galletas

7

8

Núm. de galletas

7

12

Practica con situaciones de reparto proporcional en… www.e-sm.com.mx/ SCM1-068

No, porque a la tienda D le corres-

No, porque a la tienda E le correspon-

pondieron más galletas por ocupante.

dieron más galletas por ocupante.

Tienda de campaña

G

H

Tienda de campaña

I

J

Núm. de ocupantes

3

2

Núm. de ocupantes

2

8

Núm. de galletas

5

7

Núm. de galletas

4

16

No, porque a la tienda H le corres-

Nadie protesta; ambas tiendas

ponden más galletas por ocupante.

reciben la misma cantidad de galletas por ocupante.

m

omenta, en grupo y con tu profesor, qué condiciones debe cumplir un reparto para que C sea justo. Anota las conclusiones a las que lleguen.

Al dividir el número de galletas entre el número de ocupantes de cada tienda, el resultado debe ser el mismo. 68

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2. Reparte 80 galletas entre las diez tiendas de manera que el reparto sea justo. Anota en la tabla tus resultados. Tienda de campaña

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Total

Núm. de ocupantes

3

5

4

4

3

6

3

2

2

8

40

Núm. de galletas

6

10

8

8

6

12

6

4

4

16

80

Si los grupos de personas fueran del mismo tamaño, para que el reparto fuera justo bastaría con dar la misma cantidad a cada uno. Como los grupos no son del mismo tamaño, una manera de que el reparto sea justo es que las cantidades sean proporcionales al tamaño de cada grupo, es decir que, si un grupo es dos, tres o n veces mayor que otro, reciba una cantidad ese mismo número de veces mayor. Cuando esto ocurre, se dice que el reparto es proporcional. m

ompara tus tablas con las de tus compañeros. Revisa si las calcularon como tú. Explica tu C método.

3. En la siguiente tabla se presentan otras cantidades de víveres. a) Trabaja en pareja. Distribuyan los víveres de manera que los repartos sean proporcionales. Tienda de campaña

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Total

Núm. de ocupantes

3

5

4

4

3

6

3

2

2

8

40

Núm. de latas de atún

9

15

12

12

9

18

9

6

6

24

120

l de agua

12

20

16

16

12

24

12

8

8

32

160

Núm. de panes

3.75

6.25

5

5

3.75

7.5

3.75

2.5

2.5

10

50

Kg de queso

.75

1.25

1

1

.75

1.5

.75

.5

.5

2

10

b) Verifiquen que, aunque los grupos reciben cantidades distintas, a las personas les corresponde la misma cantidad de cada cosa, por ejemplo, todas obtienen una pieza y cuarto de pan. 4. Resuelve el siguiente problema. Te puede ayudar hacer una tabla. Los habitantes de tres pequeñas comunidades harán una obra de drenaje. El costo de los materiales necesarios asciende a $360 000.00. Se decidió que las aportaciones sean proporcionales al número de habitantes de cada comunidad. En la comunidad A hay 120, en la comunidad B hay 240 y en la comunidad C, 360. ¿Con cuánto debe cooperar cada comunidad? Responde en tu cuaderno. m

ompara con tus compañeros las distintas maneras de resolver el problema anterior. VerifiC quen que la comunidad C, en comparación con la A, coopere el triple, mientras que la B, el doble.

Convivimos Comunicar a otros ideas propias no siempre es fácil pero tiene ventajas importantes: permite que uno mismo aclare sus ideas y las precise, propicia que se reciba retroalimentación de otros y, también, es una forma de ayudar a los demás.

69

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Secuencia 8 / lección 27

Repartos justos

Resuelve problemas de reparto proporcional.

1. Tres personas abrieron una pequeña sastrería. Debido a que tienen distintas ocupaciones, acordaron turnarse para atender el negocio y repartirse las ganancias de cada semana en función del tiempo que trabajara cada quien. a) En la siguiente tabla se indican las horas que trabajó cada persona durante la primera semana, así como las ganancias totales que obtuvieron. Busca cómo distribuir las ganancias entre las tres personas en función del tiempo trabajado.

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de reparto de ganancias.

m

Primera semana

María

Ana

Pedro

Total

Horas trabajadas

20 h

8h

12 h

40 h

Ganancia correspondiente

$1 000.00

$400.00

$600.00

$2 000.00

ompara tus resultados con los de tus compañeros. Si repartieron las ganancias de distintas C maneras, comenten cuáles, a su juicio, son justas. b) Distribuye las ganancias de la segunda semana. Enseguida, completa los procedimientos que están bajo la tabla. Segunda semana

María

Ana

Pedro

Total

Horas trabajadas

32 h

12 h

4h

48 h

Ganancia correspondiente

$1 920.00

$720.00

$240.00

$2 880.00

Procedimiento 1

técnicas 1

Procedimiento 2 1

4 h es 12 de 48 h; por tanto, a Pedro le corresponde 12 de $2 880.00, es decir, $ 240.00

. 12 h es

1

de 48 h; por tanto, a Ana le

Si por 48 h ganaron $2 880.00, ganaron en promedio $ 60.00

por h.

4 corresponden $

720.00

. 32 h es

2

de 48 h; por tanto, a

Entonces, Pedro ganó $ 240.00

, Ana ganó

3 María le corresponden $

1 920.00

validar

.

$ 720.00

y María ganó $

1 920.00 .

c) Verifica lo siguiente. » ¿La suma de lo que ganan los tres juntos es igual a $2 880.00? » Ana trabajó el triple de tiempo que Pedro. ¿También ganó el triple?

Sí. Sí.

» María trabajó ocho veces lo que trabajó Pedro. ¿También ganó ocho veces más que él? 70

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Sí.

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d) Haz lo mismo con estos datos. Tercera semana

María

Ana

Pedro

Total

Horas trabajadas

18 h

6h

24 h

48 h

Ganancia correspondiente

$1 620.00

$540.00

$2 160.00

$4 320.00

2. Resuelve el problema. Tres amigos reunieron su dinero para comprar un boleto de $250.00 para una rifa. Luis aportó $50.00; Jaime, $125.00; y Rosa, $75.00. Tuvieron suerte y ganaron un premio de $2 000.00. Decidieron que las cantidades que les correspondieran fueran proporcionales a lo que dieron para comprar el boleto. a) ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?

A Luis le corresponden $400.00; a Jaime, $1 000.00; y a Rosa, $600.00.

b) Verifica tus resultados. ¿La suma de lo que obtendrá a cada uno es igual a $2 000.00? Jaime aportó 2

1 2

veces lo que Luis. ¿La ganancia de Jaime también es 2

1 2

la de Luis?

Sí. 3. Completa las soluciones del problema anterior. Solución 1

Solución 2

El premio ($2 000.00) es ocho veces mayor que el costo del boleto ($250.00).

Jaime aportó la mitad; por tanto, recibirá la mitad. Luis aportó la quinta parte; por ello recibirá la quinta parte. ¿Y Rosa? Ella recibirá lo demás.

x Total Luis Jaime Rosa

Boleto $250.00 $50.00 $125.00 $75.00

8 Premio $2 000.00

$400.00 $1 000.00 $600.00

4. Resuelve el problema. Cuatro amigas, Martha, Pati, Lupita y Marina, hicieron un viaje juntas. Reunieron el dinero que cada una tenía: $600.00 de Martha, $600.00 de Pati, $950.00 de Lupita y $850.00 de Marina. Al regresar del viaje les quedaron $150.00. Decidieron repartirse el sobrante de manera proporcional a lo que cada una aportó. Anota en tu cuaderno.

resolver

a) ¿Cuánto le corresponde a cada una? $30.00 a Martha, $30.00 a Pati, $47.50

a Lupita y $42.50 a Mariana. b) ¿Cuánto habría recibido cada amiga si el sobrante hubiera sido… » $300.00?

» $450.00?

$60.00, $60.00, $95.00, $85.00 $90.00, $90.00, $142.50, $127.50

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71

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Identifica y practica juegos de azar sencillos y registra los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Secuencia 9 / lección 28

Hablemos de juegos I En la vida hay muchas situaciones en las que interviene el azar, es decir, situaciones cuyos resultados son impredecibles, como en muchos de los juegos que conoces: lotería, oca, ruleta, volados, etcétera. Instrucciones generales En esta lección y en la siguiente se describen cuatro juegos que podrás practicar en varias sesiones de clase. En cada uno haz lo siguiente. » Agrúpate para jugar en parejas o en grupos más amplios, como se indique en cada juego. » Jueguen al menos cinco rondas y registren en una tabla quién gana en cada una. » Después de la última ronda de cada juego, comenten con los demás jugadores si creen que es un juego de azar (no hay certeza sobre el resultado del juego) y por qué. » Averigüen si hay una estrategia para ganar.

1. Carrera a 20 Reglas » Se juega en parejas. Solo necesitan una hoja de papel y un lápiz. Antes de iniciar el juego dibujen sobre la hoja un esquema como el que se muestra.

Javier

Maru

» El jugador que inicia escribe, de su lado, 1 o 2. » El otro jugador suma 1 o 2 a lo que escribió el primero y escribe el resultado en su lado del esquema. » Ahora el jugador que inició el juego puede sumar 1 o 2 a lo que escribió el otro jugador. Y así sucesivamente. » Gana quien llega primero a 20.

resolver

a) Jueguen varias partidas y traten de encontrar una estrategia para ganar siempre. b) Javier y Maru jugaron dos partidas. En la primera empezó Javier y ganó Maru. En la segunda empezó Maru y también ganó. Analiza las jugadas y contesta las preguntas.

Javier

Maru

Javier

Maru

1

2

3

1

3

5

7

5

7

8

10

8

9

11

12

11

13

14

16

14

15

17

18

17

18

20

20

72

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» ¿A qué atribuyes que Javier perdiera la primera partida?

Cuando Maru coloca el 2, Javier puede llegar a 3 o 4. En cualquier caso, Maru puede llegar a 5 y conservar la sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20.

» ¿Y la segunda? Después del 1 de Maru, Javier hubiera sumado 1 para

llegar a 2, sin embargo suma 2 y coloca 3. Maru de nuevo puede llegar a 5 y controlar el juego. » ¿Pudo ganar en alguna, o en las dos?

En las dos.

c) Probablemente encontraste una estrategia para ganar. Compártela con el grupo. Verifiquen si funciona siempre. d) ¿Consideras que carrera a 20 es un juego de azar?

validar

No. ¿Por qué?

R. T. Porque si los dos jugadores conocen la estrategia ganadora, siempre ganará el que tenga el primer turno.

2. Completa el entero Reglas » Agrúpate con cuatro compañeros. Necesitan el juego de cartas que utilizaron en la lección 10 de la secuencia 3. » Uno de los jugadores revuelve las cartas y las reparte. A cada jugador le corresponden ocho. » El jugador que inicia el juego pone en el centro de la mesa una de sus cartas, con el número hacia arriba. » El jugador que está a su derecha busca entre sus cartas una que, sumada a la que está en la mesa, dé 1. Si la encuentra, la pone al centro de la mesa para que todos verifiquen que la suma es 1 y recoge las dos cartas. Si no la encuentra, cede el turno al jugador que está a la derecha. » Las cartas que tienen 1 son comodines: se les puede dar el valor necesario para formar el entero. » El juego termina cuando todos agotan sus cartas o cuando nadie puede formar el entero. Gana el juego quien forme más enteros.

a) Si encontraste una forma de ganar siempre, compártela con el grupo. b) ¿Consideras que completa el entero es un juego de azar? Sí.

comunicar

¿Por qué?

La posibilidad de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador, porque se reparten las cartas de manera azarosa.

73

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CONTENIDO

BLOQUE

1

Identifica y practica juegos de azar sencillos y registra los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Secuencia 9 / lección 29

Hablemos de juegos II 1. El siete mata Reglas » Forma un equipo de tres a cinco jugadores. Uno será cajero y los demás, apostadores. Necesitan un tablero como el que se muestra, dos dados y 25 fichas. Pueden dibujar el tablero en 14 de cartulina.

2

3

4

5

6

8

9

10

11

12

» Antes de iniciar el juego, el cajero reparte cinco fichas a cada apostador y se queda con cinco. Enseguida, cada apostador pone su apuesta en el número que prefiera. El cajero lanza los dados, suma los puntos y paga a quien eligió la casilla con el número resultante el doble de lo que apostó. Las apuestas de los perdedores son para el cajero. » Si en una tirada cae 7 (que no está en el tablero), el cajero gana las apuestas. Si cae un número distinto a 7 y nadie gana, el cajero vuelve a lanzar los dados. » El juego termina cuando alguno de los apostadores o el cajero se queda sin fichas. Gana quien tiene más fichas; puede ser un apostador o el cajero.

a) Jueguen diez partidas. Anoten, en la tabla, el nombre de los jugadores y registren quién ganó en cada ocasión. Después de las partidas contesten las preguntas.

1 Cajero

2

3

4

5

6

7

8

9

10

R. P.

Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4

74

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b) ¿Habrá algunos números a los que conviene apostarles porque salen más veces que Sí. Si tu respuesta es sí, escribe los números; si es no, explica por qué. otros?

resolver

El 6 y el 8 (cada uno tiene cinco posibilidades de salir)

c) ¿Tiene ventaja ser apostador o ser cajero en este juego? Explica por qué.

Ser cajero.

R. P. Se espera que los jugadores observen que el cajero tiene ventaja a partir de los resultados del juego.

2. Cubilete Reglas » Pueden participar de dos a cuatro jugadores. Necesitan cinco dados, un vaso de plástico y 20 fichas, que se reparten equitativamente. » En cada ronda, cada jugador apuesta una ficha. Por turnos, usan el vaso para revolver los dados y lanzarlos sobre la mesa. Gana el jugador que obtiene más caras iguales y con más puntos en la ronda. » En caso de empate, vuelven a lanzar los jugadores que empataron. » El juego termina cuando algún jugador se queda sin fichas. El ganador es el que tiene más fichas.

a) ¿Habrá alguna estrategia que permita ganar siempre en este juego? Si tu respuesta es sí, di en qué consiste; si es no, explica por qué.

No, porque es un juego de azar: al lanzar los dados no es posible

Enfréntate a la computadora en un juego de azar en…

predecir un resultado. www.e-sm.com.mx/ SCM1-075

m

Analiza, con tus compañeros y profesor, la información relacionada con los cuatro juegos: carrera a 20, completa el entero, el siete mata y cubilete. Probablemente notaron diferencias en los cuatro juegos. En carrera a 20 hay una estrategia que asegura el triunfo al jugador que inicia el juego, es decir, el resultado es predecible: no es un juego de azar. El siete mata y cubilete son juegos de azar porque cada uno de los posibles resultados de lanzar los dados es impredecible, aunque se puede averiguar cuáles tienen más posibilidades de salir mediante el cálculo de probabilidades, que estudiarán más adelante. Finalmente, hay otros juegos que, si bien no se consideran de azar, porque en ellos los conocimientos y las habilidades de los jugadores influyen en quién gana, tienen, no obstante, algo de azaroso, por ejemplo, completa el entero. En ese juego interviene el azar en la distribución de las cartas.

75

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Las matemáticas en... La música En la música se usan las matemáticas de varias maneras. Una de ellas tiene que ver con la escritura. ¿Sabías que las fracciones se utilizan en la escritura de las notas, y también de los silencios, que son una parte muy importante de la música? 1 y dura la mitad que 4 1 la anterior; este silencio, , dura lo mismo que una nota de ; y este, , dura la 4 1 mitad que el anterior, es decir, lo mismo que una nota de 8 . En la siguiente tabla

Una nota como esta,

, se llama 1 ; esta otra, 2

, se llama

hay otros valores musicales.

Notas

Silencios

Las notas y los silencios de toda pieza musical se escriben en fragmentos separados por una línea vertical llamados compases. En los siguientes compases escribe notas y silencios para que cada uno dure 4 . Observa el ejemplo 4 que hay en el primer compás.

Notas

Notas Silencios Silencios 1 Cuando los compositores quieren escribir un silencio que dure 3 , es decir, 1 + 4 2 4

Notas Notas Notas Notas 1 . Eso quiere decir que a ese silencio se le agrega la mitad de su valor, o sea 2

, no escriben los dos silencios sino que ponen un punto a la derecha del silencio de

+ se escribe

Notas Lo mismo sucede con las notas. La nota 76

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• dura lo mismo que

y

juntas, o

SilenciosSilencios Silencios Silencios Silencios

sea, 1 + 1 = 3 . 8 4 8

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En los siguientes compases escribe notas y silencios para que cada compás 5 dure 8 . Usa el puntillo siempre que puedas.

El siguiente es un fragmento de “Las Mañanitas”, ¿en qué compás está escrita? Rodéalo.

3 4

3 8

4 4

2 2

El siguiente es un fragmento de “La Cucaracha”, ¿en qué compás está escrita? Rodéalo.

3 4

4 4

5 4

6 8

El siguiente es un fragmento del Concierto para dos violines en re menor de Vivaldi. El compositor la escribió en 12 , en la lista de fracciones hay otros que 8 son equivalentes, ¿cuáles son? Rodéalas.

12 4

4 4

6 8

6 4

3 2

77

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Evaluación (TIPO ENLACE)

BLOQUE 1 Selecciona la opción correcta. 1. ¿Qué igualdad es falsa? 4 = 1.3 a) _ 3

1 = 0.5 b) _ 5

25 d) _ = 0.025 1000

1 = 0.125 c) _ 8

2. En una carrera de caballos, la distancia por recorrer es de __85 de milla. ¿De qué otra manera se puede expresar esta cantidad? a) 0.58 millas

b) 0.625 millas

c) 0.85 millas

d) 5.8 millas

3. ¿Qué número señala la flecha?

1

3 a) _ 2

5 b) _ 4

2

1 c) 1 _ 3

3 d) 1 _ 4

4. ¿Qué regla genera la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, 18…?

n m

a) La serie inicia en –12 y se va restando 5 a cada número.

c) La serie inicia en –12 y se va sumando 5 a cada número.

b) La serie inicia en –12 y se va sumando 3 a cada número.

d) La serie inicia en –12 y se va restando 3 a cada número.

5. ¿Qué expresión permite calcular el perímetro del rectángulo? a) 2m × 2n

b) 2m + 2n

c) m + n

d) m × n

6. ¿Qué figura se obtiene con las instrucciones? i) Trazar un segmento de 8 cm y llamar sus extremos A y B ii) Abrir el compás 3 cm, colocar la punta de metal en un extremo del segmento y trazar una circunferencia iii) Abrir el compás 6 cm, colocar la punta de metal en el otro y trazar otra circunferencia iv) Marcar los puntos donde se cruzan las circunferencias y llamarlos C y D v) Trazar los segmentos de recta AC, CB, BD y DA a) Un cuadrado cuyos lados miden 14 cm. b) Un rectángulo cuyos lados miden 3 y 6 cm. c) Un triángulo cuyos lados miden 8, 3 y 6 cm. d) Un cuadrilátero, dos de cuyos lados miden 3 cm y los otros, 6 cm. 78

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7. Selecciona la afirmación verdadera; el punto D es el centro de la circunferencia .

A f

e

a) El punto D es el baricentro del triángulo ABC. D

b) Las rectas d, e y f son las medianas del triángulo ABC. B

c) Las rectas d, e y f son las mediatrices del triángulo ABC.

C

d) El punto D es el incentro del triángulo ABC. 8. Sebastián, Max y Ariel compraron un videojuego que costó $350.00. Sebastián gastó $100.00; Max, $100.00; y Ariel, $150.00, y quieren que el tiempo que lo use cada quien sea proporcional al dinero que gastó. ¿Cuál es el arreglo? a) Que, a la semana, Sebastián lo use un día; Max, otro; y Ariel, los cinco restantes. b) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, uno; y Ariel, los otros cuatro. c) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, dos; y Ariel, los otros tres. d) Que, a la semana, Sebastián lo use dos días; Max, dos; Ariel, dos días; y el último se lo vayan turnando. 9. Andrea y sus amigas lanzan tres monedas y, antes de que caigan al suelo, dicen qué resultará. ¿Qué opción debe escoger Andrea para tener más posibilidad de ganar? a) Tres águilas. b) Resultado mixto (águilas y soles). c) Tres soles. d) Cualquiera de las estrategias anteriores es igual de buena. 10. Traza las alturas del triángulo ABC. B

En cada vértice, la altura pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto (se necesita prolongar al lado AC y el lado BC).

A

C

79

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Evaluación (TIPO PISA)

BLOQUE 1

Pongo en juego mis competencias

Rascacielos: ¿la altura es la que ves? En la tabla se reflejan algunos datos de tres de los edificios más altos del mundo.

Construcción Pisos Niveles subterráneos Superficie

Torre Taipei (Taipei)

Torres Petronas (Kwala Lumpur)

Torre Willis (Chicago)

1999-2004

1992-1998

1970-1973

101

88

108

5 412 500 m

5 2

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Manejar técnicas eficientemente

3

395 000 m

418 064 m2

2

Altura con antena

508 m

452 m

527 m

Altura hasta el último piso

448 m

410 m

442.3 m

Último sótano

-31.5 m

0

-13.1 m

Torres Petronas (Kwala Lumpur)

Torre Taipei (Taipei)

Torre Willis (Chicago)

Pregunta 1. ¿Qué distancia hay desde la base del último sótano hasta la altura del último piso del edificio Taipei? ¿Y hasta la del Willis? Pregunta 2. ¿Cuál es la altura media de los pisos de cada rascacielos? Pregunta 3. Calcula la superficie de un piso del edificio Taipei y de la torre Willis. Pregunta 4. Calcula la superficie de un piso de las torres Petronas. Ten en cuenta que la superficie total dada corresponde al conjunto de ambas torres. Pregunta 5. La Torre Mayor se encuentra en el Paseo de la Reforma en la Ciudad de México. Mide 230 m. ¿Cuántas veces es más alta la torre Willis que la Torre Mayor?

Fracciones de cuento: Alicia en el país de los números —Eso significa que el Sombrerero Loco y sus amigos están tomando el té de las cinco —comentó Charlie—. Lo cual no tiene nada de extraño, pues lo toman a todas horas. Y, efectivamente, siguieron avanzando por la diagonal del bosque de números y poco tiempo después vieron al Sombrerero y la Liebre de Marzo tomando el té en una mesa dispuesta bajo un árbol. Entre ellos, el Lirón dormía profundamente. La mesa era muy grande, y sin embargo los tres comensales se habían agrupado muy juntos en una esquina. Al ver acercarse a Alicia, la Liebre y el Sombrerero empezaron a gritar: —¡No hay sitio! ¡No hay sitio! —Hay sitio de sobra —replicó la niña, indignada, a la vez que se sentaba en una amplia butaca que había a la cabecera de la mesa. Charlie, que la seguía sonriendo enigmáticamente, se sentó a su lado. —¿Qué prefieres, media tarta de manzana o dos cuartas partes? —le preguntó la Liebre de Marzo a Alicia, mientras le ofrecía una obsequiosa sonrisa.

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática

—¿Me estás tomando el pelo? Media tarta es lo mismo que dos cuartas partes –dijo la niña. —Muy bien, acabas de descubrir las fracciones equivalentes —la felicitó el Sombrerero Loco. —Claro: _21 = _24 —añadió la Liebre. —Aunque a lo mejor eres una glotona y prefieres comerte el 50% de la tarta —dijo el Sombrerero. —¡Ya está bien de tomarme el pelo! —protestó Alicia—. El 50% de la tarta también es lo mismo que la mitad. —¡Qué niña tan lista! —exclamó la Liebre de Marzo, aplaudiendo con las orejas. —¿Por qué el 50% es lo mismo que la mitad? —preguntó el Lirón sin abrir los ojos. —Porque si de cien partes tomas cincuenta, es lo mismo que tomar la mitad —contestó rápidamente Alicia. —Ah, ¿sí? ¡Cómo se nota que no eres tú la que tiene que partir la tarta! —replicó el Sombrerero—. ¿Crees que es lo mismo partirla en dos trozos y darte uno que partirla en cien trozos y darte cincuenta? Frabetti, C. (2000). Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números.

Pregunta 1. ¿Qué responderías a la última pregunta del Sombrerero Loco? ¿Por qué? Pregunta 2. ¿De cuántas formas aparece expresada la fracción de tarta que le ofrecen a Alicia? Pregunta 3. El Sombrerero Loco se ha encargado de preparar la tarta de manzana que se estaban comiendo en el té de las cinco. Los ingredientes para seis personas son los que muestra la imagen. a) ¿Qué cantidad necesita de cada ingrediente para cuatro personas? ¿Y para diez? b) El Lirón era el encargado de comprar los ingredientes, pero se durmió, y al llegar a la tienda solo quedaba un huevo. ¿A cuántos comensales podrá invitar? ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesitará ahora?

Ingredientes 2 huevos

1 _12 taza de harina

1 yogur de limón 2 manzanas _1 taza de leche 2

_1 taza de

4

mermelada

_3 taza de aceite

4

80

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Un cuento

Y para terminar...

Decidido a encontrar el árbol que nunca duerme, un gran sauce cuyas ramas semejan ojos abiertos, José se internó en el bosque más de lo que el líder de su equipo les había permitido. Sin poder evitarlo se perdió en aquel inhóspito y peligroso lugar. Al cabo de varias horas de búsqueda, Rodrigo y René lo encontraron. José había perdido su mochila, sus víveres y su lámpara. Estuvieron todo un día de camino al campamento y comieron los víveres que llevaban Rodrigo y René. Cada vez que se sentaron a comer, dividían una de las barras energéticas en partes iguales. Al final de su travesía contaron cinco barras de Rodrigo y tres barras de René. Una vez que regresaron, Rodrigo y René recibieron una medalla al mérito y José decidió regalarles algunos de sus cómics de acuerdo con las barras energéticas que le compartieron. Te presentamos tres diferentes formas de retribución según lo acontecido. 1. José propuso entregar cinco cómics a Rodrigo y tres a René, en relación a las barras energéticas que aportó cada uno. 2. René propuso otra repartición: “Cada uno comimos cada vez __13 de una barra. Puesto que fueron ocho barras en total 24 comimos __ , de los cuales yo puse __39 , me 3 1 a José; Rodrigo puso __7 . 8 __ comí 3 y le di _ 3 3 Por esto le corresponden a Rodrigo siete cómics y a mí solo uno”. 3. Rodrigo propuso que José les regalara cuatro cómics a cada uno, dado que los dos colaboraron con la misma determinación en la búsqueda y salvamento de su compañero. ¿Qué reparto es más justo? Explica por qué.

R. P.

¿Qué reparto es proporcional? Explica por qué.

El de René.

81

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