Y la suma infinita de las longitudes infinitamente pequeñas de todos los pedazos está dada por la integral: b
L
Dado que para y( x )
e x se tiene que
° dL
° a
2
¨ dx · © ¸ 1 dy ©ª dy ¸¹
x( y) ln( y ) entonces la derivada de x con respecto a y es:
Y la longitud del arco de la curva, entre los puntos ( 0 , 1) y ( 3 ,
L
e3 ¥ 1 ´ 2
° 1
¦ y µ 1 dy § ¶
e3
1 1 dy y2
° 1
dx 1 dy y
e 3 ) queda expresada por la integral
e3 y2 1
° 1
y2
dy
e3 y2 1
° 1
y
dy
4. Un problema que requiere el cálculo de la longitud del arco de una curva Supongamos que se lanza una pelota al aire con un cierto ángulo y con una cierta velocidad inicial de tal manera que la ecuación que representa su trayectoria es: y( x ) x 0.01 x 2 . Ve a continuación su gráfica y
100
x
a) Si x y y se miden en metros, calcula un valor aproximado de la distancia que recorre la pelota. Para ello, divide el arco de la curva que describe su trayectoria en 10 pedazos partiendo el eje x en 10 intervalos de tamaño $x 10 y considera que cada uno de los pedazos es recto. b) Plantea la integral que representa a la distancia total recorrida por la pelota.
Solución: a) Tomando los puntos P0( 0 , 0), P1( 10 , 9), P2( 20 , 16), P3( 30 , 21), P4( 40 , 24), P5 ( 50 , 25 ), P6(60 , 24), P7( 70 , 21), P8(80 , 16), P 9( 90 , 9) y P10( 100 , 0) sobre la curva que describe la trayectoria y denotando por L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , L 5 , L 6 , L 7 , L 8 , L 9 y L 10 las longitudes de los arcos entre cada par de puntos sucesivos ( L 1 de P0( 0 , 0) a P1( 10 , 9), L2 de P1( 10 , 9) a P2( 20 , 16), etc.) podemos aproximar la distancia recorrida por la pelota mediante la longitud del arco de la curva desde x 0 hasta x 100, esto es y
P1 P0
P2
P3
P4 P5 P6 P7
P8
P9
P10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
16 r Unidad 1
x
Los Problemas
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