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Análisis de vuelo del disco de Ultimate José Roberto Herrera Ibagos 2051785 15 de febrero de 2011

1.

Introducción El disco de Ultimate es un disco basado en un modelo que data de 1930; pero

el origen de este es mucho mas antiguo, los antiguos griegos los usaban para sus juegos olímpicos y el lanzamiento de disco se ha mantenido como una disciplina en estos juegos desde ese tiempo hasta el presente. La compañía fabricante de pasteles Frisbees utilizaba platos metálicos para sus productos; cuando un grupo de estudiantes universitarios empezaron a arrojarlos los unos a los otros, la idea se patentó y popularizo hasta el punto en el que hoy en día cientos de miles de personas juegan con el con objetivo recreativo o deportivo, siendo este último el caso del Ultimate, y cuyo disco se analiza en este escrito.

2.

Objetivos Se analizara el disco desde dos enfoques principales; la rotación que se le

imprime al disco al momento de lanzarlo y su comportamiento como un cuerpo que se desplaza a lo largo de un uido, para esto se planteara el modelo físico con la matemática que lo representa, se calculará la trayectoria a lo largo de todo el movimiento y se observará el comportamiento en un túnel de viento virtual.

3.

Características del disco Las características de los diferentes discos varían de modelo en modelo,

aunque mantienen cualidades de desplazamiento similares. El disco usado es un DISCRAFT ULTRA-STAR usado para Ultimate profesional, pesa 175 gramos, tiene un diámetro característico de 27.5 centímetros, una altura característica de 3 cm, esta fabricado de polipropileno y tiene una distribución de masa claramente concentrada en los bordes; mas grueso, mientras que en el resto es uniforme y delgado.

1


Figura 1: Dimensiones Disco

4.

AnĂĄlisis

4.1.

Estabilidad GiroscĂłpica

Para que el disco se desplace se necesita un momento de inercia grande y que rote alrededor de el eje de simetrĂ­a, en donde este es mĂĄximo, con una velocidad angular grande el disco es mas estable que con una pequeĂąa, ademĂĄs de acuerdo con la deniciĂłn del momento de inercia esta depende de la distribuciĂłn de la masa y como ya se explico en las caracterĂ­sticas del disco, esta masa se concentra en los bordes. El momento angular visto desde el origen se dene como

L = xχp

(1)

Donde x es la distancia del origen a la partĂ­cula a la que le corresponde el momento linear p. Llevando esto a un anĂĄlisis diferencial vemos que el momento se puede expresar como un diferencial de masa por velocidad velocidad angular

ω,

dp = vdm, como el disco tiene

se tiene que el disco se mueve con una velocidad lineal de

v = (ωχx). dL = dmxχ (ωχx)

(2)

Si se expande en la notaciĂłn de Ă­ndices de Einstein tenemos:

xχ (ωχx) = ijl xj lmk ωm xk xχ (ωχx) = (ijl lmk ) xj xk ωm xχ (ωχx) = (δim δjk − δik δjm ) xj xk ωm xχ (ωχx) = xk xk ωi − xi xj ωj xχ (ωχx) = δij xk xk ωj − xi xj ωj 2

(3)


Al integrar se obtiene

L=I ·ω

(4)

1

Si comparamos esto con la ecuación del tensor de inercia , vemos como el tensor de inercia depende tanto de la distribución de la masa como de la orientación del disco.

ˆ Iij =

dm δij x2k − xi xj



(5)

Así queda el momento angular en términos del tensor de inercia y la velocidad angular, como vemos una velocidad angular grande o una inercia grande generaran un momento mayor, si examinamos la integral vemos que; si la masa se encuentra concentrada en los extremos mas alejados del disco, la inercia sera grande y con la misma velocidad angular se podría obtener un momento grande, traduciéndose en una estabilidad del disco mayor. El torque se dene como el producto cruz entre la posición de una partícula y una fuerza aplicada a esta, el torque también nos indica la razón de cambio que tiene el momento angular con respecto al tiempo.

τ=

dL dt

(6)

Derivando el momento angular tenemos entonces:

τ =I

dω dI + ω dt dt

(7)

Ahora hay que hacer una pequeña aproximación, como vemos se tiene una variación de la inercia del cuerpo, la inercia depende de la distribución de masa y del eje de rotación del disco, es decir: el disco se mutila y pierde masa durante su recorrido o se le pegan otros cuerpos y gana masa (ninguna de las dos tiene mucho sentido); o su eje de rotación esta variando, que el eje de rotación varíe signicaría una perdida del tensor de inercia y en la estabilidad del disco, y aunque en el lanzamiento real esto sea cierto, sucede cuando los torques producidos por el aire exceden el momento angular que lleva el disco, al perder velocidad angular, debido al rozamiento; por esto es una buena aproximación decir que el tensor de inercia del disco no cambia con respecto al tiempo.

τ =L 1 En

dω dˆ ω = Iω dt dt

(8)

la última ecuación se representa con la delta de Kronecker de nuevo, para dejar así

la velocidad angular con la misma componente y poder llevar esto a la forma del tensor de inercia que se encuentra en los libros o incluso en wikipedia.

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Figura 2: Componentes Vectoriales

4.2.

Aerodinámica

El vuelo del disco es intrigante debido a su forma tan simple, la cual contrasta con sus excepcionales capacidades para volar, el movimiento de este en el aire genera una turbulencia, calculando el número de Reynolds tenemos:

<= Donde

ρ

ρvd 1,23 · 14 · 0,275 = = 2,74 · 105 η 1,73 · 10−5

(9)

es la densidad del aire, v la velocidad del disco, d su diámetro y

η

la viscosidad del aire. Aunque al tomar como su característica principal el diámetro se estaría analizando como si fuera una esfera, se considera una buena aproximación. Existen dos fuerzas diferentes ejercidas sobre el disco durante su desplazamiento, están son la fuerza de arrastre y la fuerza de levantamiento. Para un número de Reynolds de esta magnitud se utiliza la relación de Prandtl para calcular la primera de las fuerzas, la fuerza de arrastre.

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Fa = El coeciente

Ca

Ca ρπr2 v 2 Ca Av 2 = 2 2

(10)

es el coeciente de arrastre del disco, el cual varia con re-

specto al objeto de estudio, el cual se puede expresar como una función cuadráti-

α

ca que solamente depende del ángulo de ataque radio alrededor del eje de simetría

N

(el plano generado al rotar el

y el vector velocidad

Ca = Ca0 + Caα (α − α0 ) Los coecientes

Ca0 , Caα

y

α0

v ).

2

(11)

son constantes y dependen enteramente de las

características del disco, pueden ser calculadas con cámaras que capturen a una velocidad de obturación que supere la velocidad angular del disco, con túneles de viento virtuales o reales. El disco es muy similar al ala de un avión, para estas se calcula la fuerza de levantamiento usando el principio de Bernoulli, en el cual se relaciona la velocidad, presión y altura de un uido a cualquier punto de la misma linea de ujo; uidos con una alta velocidad tienen una baja presión y viceversa, esto puede escribirse matemáticamente así:

p1 v2 p2 v12 + + gh1 = 2 + + gh2 2 ρ 2 ρ

(12)

Donde se toma en cuenta dos velocidades, presiones y alturas diferentes diferentes en el uido; abajo del disco y encima del disco, teniendo en cuenta que la diferencia de altura a la cual pasa el aire por debajo y por encima es mínima, se cancelan. También se asume que la velocidad debajo del disco es proporcional a la velocidad por encima de este

v1 = Cv2 .

C 2 v22 p1 v2 p2 + = 2 + 2 ρ 2 ρ

(13)

Sabemos que la fuerza por unidad de área es igual a la presión, tenemos entonces: Fl/A = p1 − p2 , donde Fl es la fuerza de levantamiento y A el área del disco, despejando

Fl

nos queda:

Fl = El coeciente

Cl

1 2 ρv ACl 2

depende del ángulo de ataque al igual que

(14)

Ca ,

y los pasos

para hallarlos fueron desarrollados por Hummel (2003), siendo una función linear del ángulo, se escribe:

Cl = Cl0 + Clα α Donde

Cl0

y

Clα

dependen también de las características del disco.

5

(15)


5.

Simulación Es interesante ver modelado de los fenómenos que se generan en el movimien-

to del disco, para esto se hacen dos interesantes análisis independientes y se analizan los resultados.

5.1.

Túnel de viento virtual

Las pruebas del disco se realizaron sobre un modelo a escala del mismo y modelado con alta precisión de un disco real, al cual se le sometió a pruebas de túnel de viento en el programa SolidWorks 2010. La simulación se realizo con una velocidad de desplazamiento de 14 m/s, una velocidad angular de 15 rad/seg (promedio que imparte un jugador), en un ujo laminar y turbulento, turbulencia de 0.2 %, un ángulo entre el plano horizontal del disco y la velocidad del viento (ángulo de ataque) de 0, 5, 7.5, 10 y 45 grados.

5.2.

Numérica

Para modelar el desplazamiento del disco, se supone que tiene un momento angular lo sucientemente grande para que se genere levantamiento y se desplace sin tambalearse, para hallar las componentes simplemente se miran las fuerzas que actúan sobre el en un diagrama de cuerpo libre, como ya las tenemos calculadas, es cuestión de denir como se relacionan las componentes de desplazamiento con sus componentes de velocidad y calcularlo en un intervalo de tiempo que nos permita ver su movimiento. El método de Euler para calculo numérico resulta apropiado para dividir el sistema en pequeños intervalos de tiempo, así podemos denir la posición y la velocidad como:

Con

∆v

y

∆s,

vi+1 = vi + ∆v

(16)

si+1 = si + ∆s

(17)

como los cambios de velocidad y posición respectivamente.

Los cambios de velocidad se calculan observando las sumatorias de fuerza a lo largo de los ejes x y y.

Fx = Fa m

∆vx 1 = ρvx2 ACa ∆t 2

∆vx =

1 ρv 2 ACa ∆t 2m x

Fy = Fg + Fl 6

(18)

(19)

(20)

(21)


∆vy 1 = mg + ρvx2 ACl ∆t 2   1 ρvx2 ACl ∆t ∆vy = g + 2m m

(22)

(23)

Teniendo ahora las velocidades en x y y, podemos obtener fácilmente las posiciones así:

∆x = vx ∆t

(24)

∆y = vy ∆t

(25)

El script escrito en código de matlab, permite cambiar los diferentes valores iniciales como el cambio del tiempo, velocidad inicial, ángulo de ataque, posición inicial, etc. Los valores usados fueron Ca0 = 0,08, Caα = 2,72, Cl0 = 0,15, Clα = 1,4, ∆t = 0,001, vx0 = 14m/s, vy0 = 0, ángulo de ataque de 0, 5, 7.5, 10, 45 además de las características del disco como el área, la densidad del aire, etc.

6.

Conclusiones Para los resultados con el túnel de viento virtual se observaron comportamientos de lineas de ujo turbulento para todos los ángulos, pero en diferentes magnitudes y ubicaciones, por ejemplo para el caso de 10 grados (el cual es un ángulo cercano al del alcance máximo del disco) se ve como las turbulencias por debajo son pequeñas con respecto al de 0 grados y tiene un área de impacto del aire grande, lo que genera una fuerza de levantamiento mayor y la fuerza de arrastre pequeña (debido a que en la mayor parte del ujo, en especial por encima, es laminar) esto le permite ser el tiro de mayor alcance de los evaluados. En 0 grados el ujo por debajo es turbulento y no hay fuerza de levantamiento, excepto por el golpe del aire al caer este producto de la fuerza de gravedad; en la gráca de Y vs X se ve como el disco simplemente se desplaza a lo largo de X sin levantarse y tiene un alcance muy limitado. El ángulo de ataque de 45, es un ángulo interesante, ya que la creencia popular es que ese ángulo es el ángulo de alcance máximo del tiro parabólico, en el túnel de viento se eliminan las turbulencias por la parte de abajo del disco, pero se generan muchas por la parte superior, lo cual le permite una gran fuerza de levantamiento pero también una gran fuerza de arrastre. Existe un lanzamiento que es a -45 grados con respecto a la horizontal (a los pies del oponente) y en este lanzamiento se ve como el disco lo evade cercano a la altura de suelo para luego levantarse a una altura en la que

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los demás jugadores puedan agarrar el disco, este resultado es particularmente útil para ver el comportamiento de tan peculiar tiro y el por que es uno de los lanzamientos de mínimo alcance; como se puede ver en la gráca de Y vs X.

Referencias [1] The Physics of Flying Discs Eugene Motoyama December 13, 2002 [2] Hummel, Sarah A.  Frisbee Flight Simulation and Throw Biomechanics . Rolla: University of Missouri, 2003.

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Análisis de vuelo del disco de Ultimate