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Licence de sciences physiques 1ème année

U. E. Physique 1.1

Cours d’ Electromagnétisme 1

M. MEYER

Année universitaire 2008


Chapitre 1 : Outils mathématiques I) Rappels d’analyse 1.1) Dérivée d’une fonction Dérivée d’une fonction à une seule variable Soit une fonction y=f(x), la dérivée de cette fonction est définie par

f ' (x) =

df dy f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = lim dx dx ∆x →0 ∆x

dx est la différentielle de x La dérivée dy/dx est la tangente à la courbe f(x) au point x. Quelques rappels (f ( x ) + g( x ))' = f ' ( x ) + g' ( x )

(f ( x )g ( x ))' = f ' ( x )g( x ) + f ( x )g' ( x )

(

f (x) f ' ( x )g ( x ) − f ( x ) g ' ( x ) )' = g( x ) g 2 (x)

(f m ( x ))' = mf ' ( x )f m −1


Dérivée d’une fonction à plusieurs variables On considère une fonction à plusieurs variables f(x1,x2,x3,…xi.) La dérivée partielle de f par rapport à xi est obtenue en dérivant f par apport à xi et en maintenant les autres variables xj≠i constantes. On note cette dérivée partielle :

 ∂f   ∂x  i

    x j≠ i

Elle représente le taux de variation de f le long de la direction définie par la direction xi L’équation aux dérivées partielles s’écrit :  ∂f   ∂f   ∂f  df =   dx1 +   dx 2 + ...... +   dx i ∂ x ∂ x ∂ x  1  x j ≠1  2  x j≠ 2  i x j ≠i


1.2) Primitives et intégrales On appelle primitive d’une fonction f(x) la fonction F(x) telle que f soit la dérivée de F. Exemple f(x)=cos(x) ; F(x)=sin(x) + C ; C est une constante d’intégration Physiquement, l’intégrale de f entre deux bornes a et b correspond à l’aire compris entre f et l’axe des abscisses. f(x)

dx

a

b A = f ( x )dx = F(b) − F(a ) a

b

x


II) Systèmes de coordonnées, longueurs, aires et surfaces 2.1) systèmes de coordonnées -Trois types de système de coordonnées

Système de coordonnées cartésiennes Coordonnées : x, y, z r r r Base de vecteur (u x , u y , u z ) r r r r OM = xu x + yu y + zu z

Système de coordonnées cylindriques 0≤θ≤ 2π r≥0 Coordonnées r,θ, z Base de vecteur

r r r (u r , u θ , u z )

r r r OM = ru r + zu z


Système de coordonnées sphériques Coordonnées r,θ, ϕ Base de vecteur

0≤θ≤ π; 0≤ϕ≤ 2π; r≥0

r r r (u r , u θ , u ϕ )

r r OM = ru r

2.2) Longueur, aires, volumes élémentaires en coordonnées cartésiennes 2.2.1) Longueur

x2

x

L = ∫ dx = [ x] x2 = x2 − x1 1

dx

x1

2.2.2) Aires y Ds= dy

dx

x

y 2 x2

y2

x2

y1 x1

y1

x1

x

y

A = ∫ ∫ dxdy = ∫ dy ∫ dx = [ x] x2 [ y ] y 2 = ( x2 − x1 )( y2 − y1 ) 1

1


z 2.2.3) Volumes

a dτ=dx.dy.dz

dz

dx dy

a y

a z 2 y 2 x2

xa

a

a

z1 y1 x1

0

0

0

A = ∫ ∫ ∫ dxdydz = ∫ dz ∫ dy ∫ dx = [ x]0a [ y ]0a [z ]0a = (a − 0)(a − 0)(a − 0) = a 3 1 2.2) Longueur, aires, volumes élémentaires en coordonnées polaires (ou cylindrique) Surface élémentaire

Longueur élémentaire

ds r uθ

r ur

θ

dl=rdθ

r

dl dθ

r uθ

r θ ur

rdθ

r

ds=rdθdr

dr


2.3) Volumes en coordonnées polaires et cylindriques 2.3.1)Volume du cylindre dτ=dr.rdθ.dz

R2π h

R

h

Vcylindre = ∫ ∫ ∫ dr.r.dθ .dz = ∫ rdr ∫ dθ ∫ dz 0 0 0 0 0 0 r 2 R 2π h R2 Vcylindre = [ ]0 [θ ]0 z 0 = 2π h = πR 2 h

2

[]

2.3.2) Coordonnées polaires dτ=dr.rdϕ.rsin θ dθ. dτ=r2 dr.dϕ.sin θ dθ. Volume de la sphère 4/3π πR3 A vous de jouer ???

2


III) Produit scalaire et produit vectoriel 3.1) Produit scalaire de deux vecteurs On considère deux vecteurs définis par

r s r r A = A x u x + A yu y + Azu z

r s r r B = B x u x + B y u y + Bz u z

r r Leur produit scalaire s’écrit : A.B = A x B x + A y B y + A z Bz r r r r A.B = A .B . cos θ

3.2) Produit vectoriel de deux vecteurs r r n r r r r B A ∧ .B = A .B . sin θnˆ

r A

r ux

r uy

r uz

Ax

Ay

Az

Bx By

Bz

θr Angle entre les directions de r A et B

Vecteur unitaire perpendiculaire r r au plan définit par A et B

r r r = ( Ay Bz − Az B y )u x − ( Ax Bz − Az Bx )u y + ( Ax B y − Ay Bx )u z


IV) Circulation et flux d’un champ de vecteurs 4.1) définition d’un champ d’un champ de vecteur et d’un champ scalaire Soit une grandeur physique U, dépendante de N paramètres : x1, x2,.., On notera alors : U=U(x1, x2,..). Si U est une grandeur scalaire on parlera de champs scalaire Exemple de champ de scalaire : Champ de pression P(z), champ gravitationnel U(r) Un champ de vecteurs est une fonction continue et dérivable qui a tout point de l’espace R3 associe un vecteur réel ou complexe. Exemple de champ de vecteurs : Champ électrique, champ magnétique, champ des vitesses d’un fluide en écoulement


4.2) Circulation d’un champ de vecteurs

r A

La circulation d’un champ de vecteur sur le contour IF F

r dr

I

r r Cab = ∫ A.d r IF

4.3) Flux d’un champ de vecteurs i) Définition On considère une surface élémentaire dSM. On r r r note dS M le vecteur n.d s unitaire et normale à ds.

r A r A M

r A r A

r

r d sM

r n dSM r A

r A r A

Le flux élémentaire dφ d’un vecteur A(M) à travers dSM est définit par r r dφ = A(M).dS M On en déduit que le flux φ à travers une surface s’écrit : r r φ = ∫∫ A(M ).dS M S


Flux à travers une surface fermée Pour une surface fermée, on convient d’affecter un signe + au vecteur unitaire s’il est orienté de l’intérieur vers l’extérieur du volume délimité par cette surface fermée. r r φ = ∫∫ A(M ).dS e S

4.4) Angles solides ii) Angle solide et angle solide élémentaire Angle solide

La portion d’espace délimitée par les génératrices du cône de sommet O correspond O R à un angle dit « solide », noté Ω. R’ Σ est la surface d’intersection d’une Σ L’angle solide Ω est définit par Ω = 2 sphère de centre 0 et de rayon R R avec la portion d’espace caractérisée par Ω Ω Est exprimé en stéradian


Angle solide élémentaire

r n

r u

La surface élémentaire ds, autour du point M est vue de O sous l’angle solide dΩ

θ ds

O dΣ dΣ dΩ = 2 r

Par définition

Avec dΣ=ds.cosθ

dΩ représente le flux du vecteur

r u r2

dΩ =

ds. cos θ r2

=

r r u.d s r2

à travers la surface élémentaire ds

ii) Angles solides usuels On considère que dΣ≈ds

dΣ = rdθr sin θdϕ θ r ϕ

dΣ = r 2 sin θdθdϕ

dΩ = sin θdθdϕ

L’angle solide sous lequel est vue du point O une surface ouverte s’écrit : ϕ1

θ2

ϕ2

θ1

ω = ∫ dϕ ∫ sin θdθ

ω = (ϕ1 − ϕ 2 )(cos θ2 − cos θ1 )


Pour un cône de demi-angle au sommet β l’angle solide s’écrit :

β

ω = 2π(1 − cos β)

Deux cas possibles : O à l’intérieur de la surface fermée et O à l’extérieur de la surface fermée i-O à l’intérieur de la surface fermée: 2π

π

0

0

ω = ∫ dϕ∫ sin θdθ

ω=4π (sr)

ii-O à extérieure de la surface fermée: N Pour chaque valeur de ϕ, θ varie de 0 à θmax quand M décrit NT θ varie de θmax À 0 quand M décrit TS. T Sθ

θ max

ω = ∫ dϕ  ∫  0 0

sin θdθ + ∫ sin θdθ  θ max 0

ω=0 (sr)


V) Opérateurs de champ de vecteur 5.1) Définition On appelle opérateur une application linéaire agissant sur un champ scalaire ou sur un champ de vecteurs. 5.2) Opérateur nabla r

L’opérateur nabla est un vecteur noté ∇ et qui en coordonnées cartésiennes est définit par : r ∂ r ∂ r ∂ r ∇= ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z 5.3) Opérateur gradient On appelle gradient d’un champ scalaire grad U, le champ vectoriel tel que r r dU = gradU.d r r r ∂U r ∂U r ∂U r gr a dU = ∇ . U = u + u + uz x y Coordonnées cartésiennes : ∂z ∂x ∂y r ∂U r 1 ∂U r 1 ∂U r uθ + uϕ Coordonnées cylindriques : gradU = u r + ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ


5.4) Opérateur divergence On appelle divergence le champ scalaire tel que :

r dφ = divA.dτ En coordonnée cartésiennes :

dτ volume élémentaire

r r r ∂A x ∂A y ∂A z + divA = ∇.A = + ∂x ∂y ∂z

Théorème de Green-Ostrogradski Le flux d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est équivalent à l’intégrale de sa divergence étendue au volume délimité par cette surface fermée. r r

v A . n ∫∫ ds = ∫∫∫ divAdτ τ

s

S délimite le volume dτ

5.5) Opérateur rotationnel

r

Soit un contour fermé γ de normale n et délimitant une surface ds. L’opérateur rotationnel est défini par :

r n ds

r r r dC = (rotA)n.ds


En coordonnée cartésiennes :

∂A y ∂A x r r r r r ∂A ∂A y r ∂A ∂A z r rotA = ∇ ∧ A = ( z − )u x + ( x − )u y + ( − )u z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Théorème de Stockes La circulation d’un champ vectoriel sur un contour fermé est équivalente au flux de son rotationnel à partir de n’importe qu’elle surface r r ∫ Ad r =

r r r ∫∫ ro tA .n ds

C

s

C contour fermé sur lequel s’appuie la surface s

5.6) Opérateur Laplacien scalaire

r ∆U = div(gradU)

En coordonnée cartésiennes :

∂2 ∂2 ∂2 ∆= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂y


5.7) Opérateur laplacien vectoriel

r rr r r r r ∆A = grad (divA) − rot (rotA) VI) Champs et vecteurs à circulation et flux conservatifs 6.1) Champ à circulation conservative

r E

Est à circulation conservative s’in s’agit d’un champ scalaire tel que

r r E = −gradV

r r r rotE = 0

6.2) Champ à flux conservatif

r r r B = rotA

r divB = 0


Electromagnetique