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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del P.P para la Educación Universidad “Fermín Toro” Cabudare –Edo-Lara

Coordenadas Polares

Jose Salas 23835999 SAIA “A”

6 de diciembre del 2013


Objetivos de la unidad Objetivo Terminal      Diferenciar los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas  polares y el plano real en la aplicación de resolución en los  problemas inherentes a la ingeniería. Objetivos Específicos Emplear el sistema de coordenadas polares. Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares y  viceversa. Obtener las gráficas de las ecuaciones en coordenadas polares. Calcular el área de una región plana en coordenadas polares.


Sistemas de Coordenadas Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten  definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de  ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los  cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo  que se denomina sistema de referencia.

Sistemas de Coordenadas  Polares      Las coordenadas polares son un sistema que 

definen la posición de un punto en un espacio  bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.


En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida. Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia. Hasta aquí hemos usado siempre coordenadas cartesianas. En ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas en forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas o esféricas. En general, es posible definir muchos sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio. Más adelante veremos como relacionar una curva o superficie expresada en las cartesianas, con el mismo objeto expresado en otro sistema de las mismas. A esto lo llamamos transformación de coordenadas. Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes. .


Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos después el origen como polo y el semieje no negativo de las x como eje  polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas polares so r y q , escritas como par ordenado ( r,  θ  ), se localiza como sigue. Encuentre el lado terminal del ángulo q,  dado en radianes, medido en sentido contrario de las manecillas del reloj ( si  θ > 0) a partir del semieje positivo de  abscisas ( eje polar) como lado inicial. Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen. Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r del polo. Se puede describir la coordenada radial r como la distancia  dirigida de P al polo, sobre el lado terminal del ángulo q.  Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que θ. Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto. Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q,  las coordenadas polares ( 0,  θ  ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada angular  θ .  Por supuesto, el  origen o polo es el único punto para el cual r = 0    


Conversión de Coordenadas La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer  mediante diferentes sistemas de coordenadas. En estos momentos nos ocupan  los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.       Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en  este caso nos ocuparemos de la conversión del rectangular al polar y viceversa.      


Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares  Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y).      Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ.      Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de θ que producen una  copia de la curva polar, cuando ésta es apropiada. Se deduce que muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares sencillas


Gráfica de una Ecuación Polar      La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el  conjunto de puntos (x,y) para los cuales               x = r  cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la  gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el  plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas  polares satisfacen la ecuación dada.      Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y  familiares). La clave para dibujar las mismas de una  ecuación polar, es mantener siempre presente que  representan las coordenadas polares.      Con estos conceptos básicos de localización de  puntos en el sistema de coordenadas polares,  podemos graficar funciones y no sólo puntos. En este  tipo de funciones la variable independiente es θ y la  dependiente es r, así que las funciones son del tipo r  = r(θ). El método para graficar estas funciones es el  siguiente, primero graficamos la función r = r(θ) en  coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica  trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos  con la dependencia de r con respecto a θ.       Recordemos que θ es la variable independiente y  generalmente va de 0 a 2π.


Intersección de Gráficas Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial  cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo  de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una región polar.       De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el de encontrar los  puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no entrarían en colisión en  tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de θ  ).         La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de intersección que sean "puntos simultáneos",  aquellos  a los que se llega en el mismo instante (valor de θ).


Calcular el Área de una Región Plana en Coordenadas Polares El desarrollo de una fórmula para el área de una  región polar va paralelo al de zonas en sistema de  coordenadas rectangulares, pero con sectores de  un círculo en lugar de rectángulos como  elementos básicos de dicha área. En la figura se  observa que la superficie de un sector circular de  radio r viene dada por:   Consideremos la función dada por r= f(q), donde  f es continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] .  La región limitada por la gráfica para hallar el área  de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n  subintervalos  iguales      a = q < q < q<........< q < q = b      A continuación aproximamos el área de la  región por la suma de las mismas de los n  sectores,      Luego de haber notado el teorema anterior,  podemos decir que usar la fórmula para hallar el  área de una región limitada por la gráfica de una  función continua no negativa. Sin embargo, no es  necesariamente válida si f toma valores positivos y  negativos en el intervalo [ a , b ] .


AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES Cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas  polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de  otra. Aunque en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos,  con frecuencia, determinar los límites de integración es la parte más  desafiante para hallar el área de una región polar.


Coordenadas polares