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Universidad Fermín Toro Vice- Rectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Ingeniería

Polinomios de Interpolación

Integrante: Josalex Coronado

REVISTA D E INGENIERÌA UFT – SEPTIEMBRE 2015 – AÑ O 1- Nº1- C ABUDARE - LARA


Las Matemáticas, la ciencia mas antigua, constituye un edificio doctrinal cuyo potencial aumenta día a día. Aunque la esencia de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna. La relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas nos muestra que esto ha sido siempre así. A esto podemos añadir que una de las disciplinas mas relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos esta revista.

REVISTA D E INGENIERÌA UFT – JULIO 2015 – AÑ O 1- Nº1- C ABUDARE - LARA Edit or Josalex Coronado


CONTENIDO Po l i n o m i o s d e Interpolación

4

Teoría de la Interpolación

7

Método de Newton Raphson

3

Especial Polinomios de Interpolación

8


Análisis Numérico

Polinomio de interpolación

Josalex Coronado Est. Ingeniería en Computación La interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas , se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio de grado menor o igual a m, cumpliendo. A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f. Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica. Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos haciendo extrapolación.

4 Especial Polinomio de Interpolación


Análisis Numérico

Polinomio de interpolación Josalex Coronado Est. Ingeniería en Computación Tabla De Diferencias Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo): x

f(x)

0,0

0,000

0,2

0,203

D f(x)

D 2f(x)

D 3f(x)

D 4f(x)

0,203 0,017 0,220 0,4

0,423

0,024 0,041

0,261 0,6

0,684

0,085 0,346

0,8

1,030

1,0

1,557

0,181

2,572

Especial Polinomio de Interpolación

0,211 0,307

0,488 1,015

5

0,052 0,096

0,527

1,2

0,020 0,044


Análisis Numérico

Polinomio de Interpolación Interpolación De Hermite aquí buscamos cuando Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. Interpolación Usando Splines Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos . 4. s(x) es continua en el intervalo. Polinomio de Interpolación De LaGrange Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio de Interpolación de LaGrange.

6 Especial Polinomio de interpolación


MEMORIAS

Teoría de la Interpolación

Hernán Álvarez Est. Ingeniería Mecánica En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido... Autor: HERNAN ALVAREZ

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Especial Polinomios de Interpolación


Análisis Numérico

Método de Newton Raphson

Álvaro Cordero Est. Ingeniería Mecánica El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De la realización del análisis por terminorum Infinitas número aequationes (escrita en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De fluxionum metodis et infinitarum serierum (escrita en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere sustancialmente de la descripción moderna dada arriba: Newton aplica el único método para polinomios. Él no computa las aproximaciones sucesivas x n, pero calcula una secuencia de polinomios y sólo al final, llega a una aproximación a la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y no se fija la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente deriva su método de un método preciso, pero menos similar por François Viète. La esencia de los métodos Viète puede encontrarse en la labor del Persa matemático Sharaf al-Din al-Tusi. El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en un tratado de álgebra, tanto histórica y práctica por John Wallis. En 1690, Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en universalis aequationum Análisis. Raphson más vistos del método de Newton exclusivamente como un método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él se describe el método en cuanto a las aproximaciones sucesivas xn en lugar de la secuencia más complicada de los polinomios utilizados por Newton. Por último, en 1740, Thomas Simpson describe el método de Newton como un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales generales utilizando el cálculo fluxional, esencialmente con la descripción anterior.

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Especial Polinomio de Interpolación


Revista polinomio de interoplación