Sistemas Lineares Álgebra Linear 1
escalonar a matriz aumentada de S: 1 0 −3 2 −1 3 2 1 2 3 L1 ↔ L3 1 2 3 L2 ← L2 − 3L1 ⇒ 3 2 1 0 −3 2 −1 ⇒ −1 5 4 0 4 L3 ← L3 + L1 −1 5 4 0 4 1 0 −3 2 −1 1 0 −3 2 −1 ⇒ L2 ← 1/2L2 ⇒ ⇒ 0 2 10 −4 5 −2 3 6 0 1 L3 ← L3 − 5L2 0 5 1 2 3 0 5 1 2 3 1 0 −3 2 −1 −3c +2d = −1 a ⇒ 0 1 5 −2 3 ⇒S : b +5c −2d = 3 0 0 −24 12 −12 −24c +12d = 12 Na terceira equa¸c˜ao, vamos escrever d em fun¸c˜ao de c : d = −1 + 2c. Substituindo na segunda equa¸c˜ao, obtemos b = 1−c. E na primeira equa¸c˜ao: a = 1 − c. Temos, neste caso, um sistema compat´ıvel, por´em indeterminado: ele possui infinitas solu¸c˜oes. Fazendo c = k, seu conjunto-solu¸c˜ao ´e {(1−k, 1−k, k, −1+2k); k ∈ R}. Exemplo 49 2x +y −3z = 3 Vamos resolver o sistema S : x −y +z = 1 3x +3y −7z = 2 1 −1 1 1 L1 ↔ L2 2 1 −3 3 1 −3 3 L2 ← L2 − 2L1 ⇒ 1 1 ⇒ 2 1 −1 L3 ← L3 − 3L1 3 3 −7 2 3 3 −7 2 1 −1 1 1 1 −1 1 1 ⇒ 0 3 −5 1 3 −5 1 0 0 0 0 −3 0 6 −10 −1 L3 ← L3 − 2L2 Observe que, ao escrever o sistema associado a essa matriz, a terceira equa¸c˜ao ser´a: 0x+0y+0z = −3, ou seja, 0 = −3, o que ´e falso, para quaisquer valores de x, y e z. Logo, o sistema S ´e imposs´ıvel e seu conjunto-solu¸c˜ao ´e ∅. Exemplo 50 a −b +c = 0 Vamos resolver o sistema linear homogˆeneo S : a +b =0 2b −c = 0 1 −1 1 0 1 −1 1 0 1 0 0 L2 ← L2 − L1 0 2 −1 0 1 0 2 −1 0 0 2 −1 0 L3 ← L3 − L2
CEDERJ
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