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Definiciones bรกsicas en Programaciรณn lineal M.Sc. Jorge E. Hernรกndez H

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Contenido. 1.Variables de decisión 2. Función Objetivo 3. Restricciones 4. Región Factible. 5. Soluciones Factibles. 6. Propiedades. 7. Solución gráfica. 8. Análisis de Sensibilidad.

` ` ` ` ` ` ` `

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1. Variables de decisión. Es lo que se trata de determinar, y para lo cual se requiere una decisión. Generalmente se designan con letras subindizadas. Cada variable debe representar una cantidad que corresponda con una misma unidad de medida.

`

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•x

•x

1

2

Utilidad

Horas

Artículos

Precios

•x

•x

3

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2. Funci贸n Objetivo. El objetivo es lo que se quiere maximizar o minimizar. En el caso de la programaci贸n lineal est谩 expresado como una funci贸n lineal.

`

Z = f ( x1 , x2 ) = a1 x1 + a2 x2

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3. Restricciones. Representan los l铆mites del escenario de la situaci贸n planteada. Se muestran por medio de desigualdades de tipo lineal. El sistema completo muestra una regi贸n del plano.

`

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4. Regi贸n Factible. `

Es precisamente la regi贸n determinada por el sistema de restricciones de tipo lineal. Es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen las restricciones del problema.

`

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La regi贸n est谩 determinada por los ejes cartesianos y las rectas.

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4.1 Regi贸n Factible no acotada. No acotadas:

`

Una regi贸n es no acotada si no se puede encerrar en un c铆rculo. Generalmente se piensa que el problema est谩 mal planteado.

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4.2 Regi贸n Factible acotada. Acotada:

`

Una regi贸n es acotada si se puede encerrar en un c铆rculo.

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5. Soluciones Factibles. Cualquier solución dentro de la región factible se denomina solución factible, es decir cualquier punto dentro de la región factible determina valores numéricos para las variables que satisfacen las restricciones.

`

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5.1 Soluci贸n Factible Optima. `

Entre todas las soluciones factibles, buscamos aquella que maximice o minimice la funci贸n objetivo, adem谩s de que satisfaga las restricciones impuestas.

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6. Propiedades. `

Proporcionalidad. La contribución de cada variable a la función objetivo o cualquier restricción debe estar en proporción directa con los coeficientes o parámetros

a.x 11

`

Aditividad. La contribución total de las variables de decisión a la función objetivo o a las restricciones debe estar expresada en sumas o restas. Z = ax + by 25/08/2008


7. Solución gráfica. ` Graficar las rectas determinadas por las restricciones

Encontrar la región intersección

Determinar los vértices o esquinas

Evaluar la función objetivo en los vértices

Escoger el mayor o menor valor.

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8. An谩lisis de Sensibilidad. `

Es un estudio que se hace para conocer que tanto pueden variar los coeficientes de la funci贸n objetivo y los par谩metros de las restricciones, sin alterar el valor 贸ptimo encontrado.

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8.1 Análisis de Sensibilidad. ` `

En el ejemplo de la clase anterior encontramos el siguiente gráfico, donde pudimos evaluar que la función objetivo

Z = 3000 x1 + 5000 x2 alcanza su máximo en el vértice (2,6).

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8.2 Análisis de Sensibilidad. ` `

Grafiquemos la recta obtenida de la función objetivo, dándole a Z el valor máximo encontrado:

3000 x1 + 5000 x2 = 36000 Nótese que la recta segmentada tiene una inclinación que permanece entre los límites establecidos por las rectas de color rojo y verde.

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8.3 Análisis de Sensibilidad. `

Esto se puede establecer de la siguiente manera: La pendiente de la recta solución (pendiente -0.6) está entre los valores de la pendiente de la recta horizontal (pendiente 0) y la pendiente de la recta roja (pendiente -1.5). Esto quiere decir que cualquier modificación a los coeficientes de la función objetivo no deben cambiar la pendiente fuera del intervalo establecido entre las rectas que pasan por el punto óptimo. 16

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8.4 Análisis de Sensibilidad. `

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¿Qué pasa si modificamos la disponibilidad, es decir, si modificamos los valores del lado derecho de las restricciones? Identificamos las rectas que determinan el punto óptimo: x2 = 6

3x1 + 2 x2 ≤ 18 17

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8.5 Anรกlisis de Sensibilidad. `

Observamos, manteniendo la disponibilidad de la recta en 6, es posible desplazar la recta desde el punto (0,6) hasta el punto (4,6), evaluando la recta en esos puntos obtenemos y

`

3.0 + 2.6 = 12 3.4 + 2.6 = 24

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8.6 Anรกlisis de Sensibilidad `

`

En otras palabras, la disponibilidad de la planta 3 puede variar entre 12 y 24 horas. Caso similar ocurre si dejamos la disponibilidad de el recurso de la planta 3 fijo en 18. Entonces, podemos mover la recta correspondiente a la planta 1I desde (4,3) hasta (0,9) 19

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8.7 Análisis de Sensibilidad. `

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Esto nos conduce a observar que la disponibilidad de la planta 1I puede ser modificada entre 3 y 9 horas. Hay otro aspecto de interés para el análisis de sensibilidad.

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`

Valor por unidad de un recurso: Tasa de cambio del valor de la función objetivo con respecto a los cambios en la disponibilidad de los recursos.

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8.8 An谩lisis de Sensibilidad. `

Se consigue usando la siguiente expresi贸n: Cambios en Z yi = Cambios en el recurso i

En nuestro caso, encontremos y3: los puntos considerados fueron (0,6) y (4,6), con lo que al sustituirlos en Z obtenemos

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Z = 3000 x1 + 5000 x2 `

para (0,6):

3000.0 + 5000.6 = 30000 `

para (4,6)

3000.4 + 5000.6 = 42000 de esta manera, cambios en Z = 12000 25/08/2008


8.9 Análisis de Sensibilidad. `

Los cambios en el recurso 3 ya son conocidos: 24 – 12 = 12

`

`

Luego, el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta 3 es y3 = 22

12000 = 1000 12

`

Similarmente estudiamos el recurso 1I. Los límites del recurso oscilan entre 3 y 9, lo que nos da un cambio de 6. Y el cambio en la función objetivo es de 18, así que el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta II es y2 =

18000 = 3000 6 25/08/2008


Fin de la presentaci贸n. Gracias por su atenci贸n.

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Programacion Lineal pres1  

Presentacion en Power point correspondiente a las definiciones basicas en programacion lineal

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