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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I.

DEFINICIONES PRELIMINARES

I.1 TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además recuerda que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura mostrada: c

: hipotenusa

a ∧ b : catetos θ ∧ α : son ángulos agudos

Recuerda que en el triángulo rectángulo se cumple:

α + θ = 90º.

Los ángulos agudos suman 90º:

Teorema de Pitágoras:

La hipotenusa es mayor que los catetos: c > a ∧ b.

a2 + b2 = c2.


RAZÓNES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

(c) hipotenusa (b) cateto opuesto (a) cateto adyacente

Las razones trigonométricas de θ se definen del modo siguiente:

senθ =

cateto opu esto al án gulo θ b = hipotenusa c

cos θ =

cateto adyacente al ángulo θ a = hipotenusa c

tgθ =

cateto opu esto al án gulo θ b = cateto ady acente al ángulo θ a

ctgθ =

catetoadya cente al á ngulo θ a = cateto opu esto al án gulo θ b

sec θ =

hipotenusa c = cateto adyacene al ángulo θ a

csc θ =

hipotenusa c = cateto opu esto al án gulo θ b


Lee detenidamente el siguiente ejemplo: Calcula los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades. Resolución Aplicamos el teorema de Pitágoras, para hallar el valor de la hipotenusa: (8)2 + (15)2 = x2 Luego: x2 = 289 Por tanto: x = 17 Considerando las definiciones dadas anteriormente tenemos: senθ =

cateto opu esto a θ hipotenusa

cos θ =

cateto adyacente a θ hipotenusa

tgθ =

cateto opu esto a θ cateto ady acente a θ

senθ =

8 17

cos θ =

tgθ =

15 17

8 15

catetoadya cente a θ cateto opu esto a θ

ctgθ =

15 8

sec θ =

hipotenusa cateto ady acene a θ

sec θ =

17 15

csc θ =

hipotenusa cateto opu esto a θ

ctgθ =

csc θ =

17 8


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Se caracterizan porque su producto es la unidad Siendo θ un ángulo agudo se cumple: csc θ =

1 = senθ. csc θ =1 senθ

sec θ =

1 = cos θ. sec θ =1 cos θ

ctgθ=

1 =tgθ .ctgθ=1 tgθ

En los ejemplos que se presentan a continuación puedes observar que son razones reciprocas porque al multiplicarlas su producto es 1

senθ =

3 4 ⇒csc θ = 4 3

cos θ =

1 ⇒sec θ = 5 5

ctg θ =

5 3 ⇒tgθ = 3 5

csc θ =

3 2 ⇒sen θ = 2 3

Al multiplicarlos su producto es 1

Al multiplicarlos su producto es 1

Al multiplicarlos su producto es 1

Al multiplicarlos su producto es 1


RAZONES TRIGONOMÉT. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. En el triángulo mostrado en la figura θ y α son ángulos complementarios (θ + α = 90º) senθ =

tgθ =

b = cos α c

b = ctgα a

sec θ =

c = csc α a

cos θ =

ctgθ =

csc θ =

a = senα c

a = tgα b

c = sec α b

RAZON TRIGONOMETRICA seno tangente secante

CO-RAZON TRIGONOMETRICA coseno cotangente cosecante

Observa los siguientes ejemplos: sen40º = cos50º debido a que 40º y 50º con complementarios sec20º = csc70º debido a que 20º y 70º con complementarios Como puedes ver cada razón es numéricamente igual a su correspondiente co-razón Ejemplo: Si: sen (40º + θ) = cos (10º + θ); 12º < θ < 24º, halle θ


Resolución: Si la razón es igual a su co-razón trigonométrica entonces sus ángulos suman 90º. Por tanto se tiene: (40º + θ) + (10º + θ) = 90º 2θ = 40º Finalmente: θ = 20º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º Se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos. Ángulo R.T.

30º

37º

45º

53º

60º

sen

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

cos

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

tan

3 3

3 4

1

4 3

3

cot

3

4 3

1

3 4

3 3

sec

2 3 3

5 4

2

5 3

2

cosec

2

5 3

2

5 4

2 3 3

OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.


RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS  

Curso de trigonometría

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