Page 1

TALLINNA ÜLIKOOL

Matemaatika ja Loodusteaduste Instituut Matemaatika osakond

Joosep Vaikma

FIBONACCI ARVUDEST Seminaritöö

Juhendaja: Paul Tammela

Autor: .....................................................................................”........”.....................2011 Juhendaja: ..............................................................................”........”.....................2011


Sisukord Sisukord

2

Sissejuhatus

3

1.

4

2.

3.

4.

Ajalugu 1.1.

Fibonacci arvud

5

1.1.

Kuldlõige

6

Üldistusi Fibonacci arvudele

8

2.1.

Esimene üldistus e. jada algsete väärtuste muutmine

8

2.2.

Teine üldistus e. summeeritavate elementide muutmine

8

2.3.

Kolmas üldistus e. liidetavate elementide arvu muutmine

8

Fibonacci arvude genereeriv funktsioon

10

3.1.

Genereeriv funktsioon

10

3.2.

Fibonacci genereeriv funktsioon ja Binet´ valem

10

Fibonacci arvude omadused –

4.1.

14 14

4.2.

14

4.3.

14

4.4.

Negatiivse Fibonacci elemendi valem

15

4.5.

Negatiivse Lucas´ elemendi valem

16

4.6.

Fibonacci arvude liitmisvalem

16

4.7.

Fibonacci arvude lahutamisvalem

17

4.8.

Lucas´ arvude liitmisvalem

17

4.9.

Lucas´ arvude lahutamisvalem

18

4.10.

Lucas´ arvude valem Fibonacci arvude kaudu

18

4.11.

Fibonacci arvude valem Lucas´ arvude kaudu

19

4.12.

Fibonacci ja Lucas´ arvude seoseid

20

4.12.1.

20

4.12.2.

20

Kokkuvõte

21

Kasutatud kirjandus

22

2


Sissejuhatus Matemaatikas on üheks kestvaimaks uurimusobjektiks olnud Fibonacci arvud – jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., milles iga järgnev element on kahe eelneva summa. Esimesena käsitleti neid teaduslikult juba 13. sajandil. Varasest avastamisest hoolimata pakuvad nad aga suurt huvi ka tänapäeva matemaatikutele, omades väärtust nii teoreetikute kui praktikute jaoks. Nende uurimisele on pühendunud 4 korda aastas ilmuv ajakiri, neid käsitletakse ka paljudes teistes väljaannetes ja tähtsamaid uurimustulemusi avaldatakse tihti raamatutena. Kõige selle põhjuseks on ilmselt just nende arvude lai rakendatavus ja üldistatavus. Nimelt põhineb suur osa looduslikest protsessidest kas eksponentfunktsioonil (ex) või siis just diskreetsetel rekurrentsetel jadadel, millistest lihtsaimaks ehk ongi Fibonacci jada. Siiski on imetlusväärne, et siiani leitakse uusi viise nende arvude rakendamiseks, nii börsi liikumiste ennustamiseks, õnnemängudes võitmiseks ning algoritmide keerukuse hindamiseks. Huvi pakuvad kindlasti ka puhtalt arvuteoreetilised tulemused, mida arvude pikast ajaloost hoolimata siiski pidevalt juurde avastatakse. Niisiis on Fibonacci arvude näol tegu vägagi unikaalse nähtusega matemaatikas.

3


1. Ajalugu Leonardo Pisano (1170-1250) oli üks 13. sajandi väljapaistvamaid matemaatikuid. Tänapäeval tuntakse teda eelkõige just Fibonacci arvude järgi, mille ta pakkus välja lahendusena järgmisele ülesandele: “Olgu mingis kindlas piiratud piirkonnas üks jänestepaar. Kui mitu jänestepaari on seal aasta pärast, kui iga paar hakkab peogima kahe kuu möödudes ja saab seejärel igal kuul 2 järglast (ehk uue jäneste paari)?” Fibonacci kaotas ülesandest ära ajapiirangu ja leidis üldkuju lahendiks jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .... Jada sai tänu sellele tema järgi nime. Läbi sajandite on leitud selle jada erinevaid omadusi ja rakendusi. Lucas´ jada on saanud nime Fracois Edouard Anatole Lucas´ (1842-1891) järgi, kes oli esimesi, kes Fibonacci jada teema peale mitmesaja-aastast unustust taas päevakorda tõi ja kes ka tõepoolest omanimelise jada ja selle põhiomadused avastas. Fibonacci sündis Pisa linnas (tänapäeva Itaalias), kuid sai hariduse põhiliselt PõhjaAafrikas, kus tema isa esindas Pisa vabariigi kaupmehi, kes kauplesid Bugias. Nüüd nimetatakse seda Kirde-Alžeerias asetsevat Vahemere sadamat Bejaiaks. Tema hüüdnimi Fibonacci tulenes isa nimest Guilielmo ja pere nimest Bonacci (Pisano tähendas Piisast pärit ehk siis Piisalane, sest keskajal kasutati perenime asemel tavaliselt teise nimena linna või asula nime, kust inimene pärit on). Fibonacci õpetas Bugias matemaatikat ja reisis palju oma koos isaga, kus nägi tohutuid edusamme matemaatilistes süsteemides. Fibonacci lõpetas oma rändamise umbes aastal 1200 ja pöördus tagasi Pisasse, kus ta kirjutas palju olulisi traktaate, mis kõik olid käsitsi kirjutatud, sest sellel ajal veel ei oldud leiutatud trükikunsti. Tal on teeneid eelkõige arvuteooria ja diskreetse matemaatika vallas, kuid ta tegeles ka geomeetria ja majandusmatemaatikaga. Tema teostest Liber Abaci (1202), Praktica Geometriae (1220), Flos (1225) ja Liber Quadratorum leidub koopiaid ka tänapäeval.

4


1.1.

Fibonacci arvud

Tänapäpeval Fibonacci arvude nime all tuntakse jada 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., kus jada iga järgmine element on kahe eelneva summa. Seda seost defineeritakse seosega

kusjuures tavaliselt fikseeritakse Seega

,

,

,

ja ,

. ,

,

,

, ...

Fibonacci jadal on ka kaasjada, mida nimetatakse Lucas´ jadaks ja mis järgib sama rekurrentset võrrandit, kuid defineeritud on Seega

,

,

,

,

ja

.

,

,

,

, ...

Fibonacci jada näol on tegemist väga tähtsa jadaga, antud jada on isegi kutsutud looduse jadaks. Fibonacci jada liikmed eksisteerivad väga erinevates kohtades. Näiteks on paljudel lilledel kas täpselt või keskmisel mõni Fibonacci arv õielehti (enamikul karikakardel nt. 34, 55 või 89 õielehte, mis on vastavalt

,

ja

). Samuti on paljude

seemnete ja käbide soomuste paigutuses märgatud, et nad paiknevad spiraalselt ja neid spiraale on sel juhul alati mõne Fibonacci arvu jagu ning ka paljudel taimedel lehtede paigutus varrel nii, et kahe täpselt üksteise kohal asuva lehe vahel on varrel mõne Fibonacci arvu jagu lehti. Rakendades Eukleidese algoritmi, et leida kahe järjestikuse Fibonacci arvu suurim ühistegur, siis kulub selleks nii mitu rida, kui mitmes Fibonacci arv see on ja suurim ühistegur on alati 1. See on tingitud sellest, et

jääk on alati

järgmine ride uuesti kaks järjestikus Fibonacci arvu ja see kordub kuni

, mille tõttu on . On ka

tõestatud, et mistahes kahe järjestikuse Fibonacci arvu puhul vajab see algoritm kõige rohkem korduseid võrreldes sama suurte suvaliste arvudega.

5


1.1.

Kuldlõige

Kuldlõikeks kutsutakse lõigu jaotamist kaheks osaks nii, et lõigu pikema osa ja lühema osa jagatis on võrdne kogu lõigu ja pikema osa jagatisega. Kehtib võrdus

, millest järeldub, et pikema lõigu pikkus peab olema

kogu lõigu pikkuse ja lühema lõigu pikkuse geomeetriline keskmine. Kuldlõike suhtarv on irratsionaalarv ja teda tähistatakse Kahe järjestikuse Fibonacci jada arvu jagatis läheneb kuldlõike suhtarvule ning on seda täpsem, mida suurem järjenumbriga järjestikused arvud võtta, ehk

Kuldlõike suhtarvu

leidub veel paljudes huvitavates seostes:

Tegemist on suhtega, mida võib tähele panna väga paljudes kohtades. Seda loetakse inimesele kõige harmoonilisemana tunduvaks suhteks ja sellepärast on seda kasutatud läbi aegade suhteliselt palju nii arhitektuuris, kujutavas kunstis, heliteostes ja mõnedes alternatiivsetes akustikateooriates. Kui ristküliku küljed suhtuvad üksteisega nagu kuldlõike suhtarv, siis seda ristkülikuks kutsutakse kuldseks ristkülikuks ning spiraali, mis moodustub kui iga poole pöördega kandub joon keskpunktist kuldlõike suhtarvu korda kaugemal, kui ta enne oli, kutsutakse kuldspiraaliks. Nimelt on juba Vana-Egiptuse püramiidide juures leitud seoseid kuldlõikega. Selle teadlik kasutamine sai tõendatavalt alguse juba Vana-Kreekast, kust pärineb väidetavalt ka tema tähistus, nimelt olevat Pheidiase ( ειδας) skulptuurides juba kuldlõiget kasutatud. Kuldlõiget on kasutatud ääretult paljudes erinevates kohtades, näiteks Beethoveni 5. sümfoonias, Stradivariuse viiulite ehitustes, mängukaartide ja krediitkaartide kujunduses

6


(nn. kuldsed ristk체likud) ja ka looduse maalimises, kuid k천ik need seosed ei pruugi olla tahtlikud, sest piisava andmehulga korral on v천imalik leida praktiliselt k천iki arve, kuid on teada, et Vana-Kreeka matemaatikud seda arvu ka juba matemaatiliselt tundsid.

7


2. Üldistusi Fibonacci arvudele Käosolevas uurimustöös käsitleme kolme peamist üldistust Fibonacci arvudele, erinevaid üldistusi on palju rohkem. Hetkeline kasutusala on piiratud, sest üldistusi pole uuritud nii palju kui Fibonacci arve ise ning need valemid, mis on olemas, ei pruugi olla piisavalt üldised või lihtsad, et neid rakendada. Kuid üsna tõenäoliselt leiavad tulevikus kasutust kombinatoorikas, majandusmatemaatikas, tõenäosusteoorias või informaatikas.

Esimene üldistus e. jada algsete väärtuste muutmine

2.1.

Kuna Fibonacci jada põhiliseks omaduseks on tema rekurrentne võrrand, siis selle asemel, et jada alustada kahe kindla väärtusega nagu Fibonacci või Lucas´ arvude korral, võib ta alata suvaliste väärtustega. Sellist lähenemist võib rakendada ka kõigile ülejäänud üldistustele. Edaspidi märgime suvalise algusega jada n-indat elementi kui määratud rekurrentse võrrandiga

, mis on

.

Teine üldistus e. summeeritavate elementide muutmine

2.2.

Fibonacci ja Lucas´ arvud on tuntud selle poolest, et jada kahe järjestikuse arvu summa annab järgmise arvu jadas, kuid selle võib anda ka vahetult eelneva ja sellest fikseeritud kaugusel asuva liikme summa. Selle üldistuse puhul tuleb jada rekurrentne võrrand seega

, kus

on siinkohal selle jada n-is element ja k on mingi

kindel täisarvuline ja enamasti ühest suurem konstant. Tasub tähele panna, et

korral

on tulemuseks Fibonacci ja Lucas´ arvude rekurrentne seos. Sellise määramise puhul tuleb aga tähele panna, et jada kahe elemendi määramisest ei piisa enam jada üheseks defineerimiseks, vaid on vaja kindlalt määrata sellise jada elementi

järjestikust elementi. Edaspidi märgime

, mis järgib eeltoodud rekurrentset võrrandit ja mille elemendid

on võrdsed 1-ga. Samamoodi tähistab

sellise jada elementi, mis järgib

eeltoodud rekurrentset võrrandit, kuid mille esimesed elemendid ei ole määratud.

2.3.

Kolmas üldistus e. liidetavate elementide arvu muutmine

Kui oleme harjunud ühe liikme saamiseks kaks liiget liita, võib selle asemel liita ka rohkem elemente, näiteks 3 või 4 või

elementi. Siingi ei piisa enam alati kahe

8


algelemendi defineerimisest vaid on vaja ette anda nii mitu algelementi, kui mitut liidetavat on kasutatud jada järgmise arvu arvutamisel. Sellise jada üldiseks rekurrentseks võrrandiks osutub seega sagedamini kasutatav erikuju

∑ , kus

. Sellest jadast on olemas kindlate algjuhtudega ja

. Tähtis on

siinjuures seda üldistust eelmisega mitte segi ajada, kuna tähistus on sama.

9


3. Fibonacci arvude genereeriv funktsioon 3.1.

Genereeriv funktsioon

Uurimaks täisarvulise jada {bk} omadusi on kasulik konstrueerida genereeriv funktsioon. ∑

Selle funktsiooni abil proovitakse leida ka analüütiline valem jada üldelemendi jaoks. Kuna genereeriv funktsioon on astmerida, siis omab ta koonduvuspiirkonda, milles rea summa e. kinnine kuju esitab genereerivat funktsiooni. Kui

, siis

Fibonacci genereeriv funktsioon ja Binet´ valem

3.2.

Nüüd uurime genereerivat funktsiooni Fibonacci arvude jaoks. Leiame esmalt selle genereeriva funktsiooni kinnise kuju. ∑

. Nendest kahest saame ∑

10


(∑

)

Millest saame järeldada

Millega leidsimegi Fibonacci arvude genereeriva seose. Leidmaks Fibonacci arvude üldavaldist peame arendama genereeriva funktsiooni tagasi astmereaks. Lahutame esmalt võrrandi

osamurdudeks, et seda teha lahendame

. Kasutades ruutvõrrandi lahendamisvalemit saame, √

Tähistame √

̅ Järelikult

̅ Kehtib seos ̅

(√ )

Siis saame

11


̅

̅

(

̅

) (̅

̅

)

Lahutame selle osamurdudeks

̅

̅ ̅

Saame võrrandisüsteemi { Asendades

̅

teise võrrandisse saame ̅

̅

Tehtud asendusest järeldub, et

√ Saime

(

̅

)

Teame, et ∑

Viimaste kahe võrrandiga saame

12


∑̅

(∑

)

∑(

̅ )

Siit saamegi üldavaldise Fibonacci arvude leidmiseks

̅ )

(

[(

)

(

) ]

Seda valemit tuntakse Binet´ valemina. Analoogselt on võimalik tuletada Binet´ valemit ka Lucas´ arvude jaoks. Tulemuseks saame ̅ )

( [(

)

(

) ]

Nende kahe valemi abil on võimalik tõestada väga palju erinevaid valemeid, mis seovad Fibonacci arve Lucas´ arvudega.

13


4. Fibonacci arvude omadused 4.1.

Seda saab tõestada induktsiooni abil. Kõigepealt näitame, et valem kehtib baas –

korral. Saame lihtsa arvutuse teel

.

Järgmisena näitame, et kehtib ka n-1 korral. Algseslt võrrandist saame asendades, et –

võrrandis

. Kasutame valemit

ja saame – –

4.2. Tõestame eelmise punkti abil. Asendades

meie võrrandisse, saame

– Eelmisest punktist teame juba, et see on võrdne

.

4.3. Tõestus

14


Kasutades liitmisvõtet, saame

4.4.

Negatiivse Fibonacci elemendi valem

Binet´ valemist teame

̅ )

(

Järelikult ka

√ (

̅

(

̅

)

)

̅

√ (

(

̅ ̅ ̅

)

)

Kuna ̅

Siis saame

(

̅

)

(

̅ )

15


4.5.

Negatiivse Lucas´ elemendi valem

Ka selle tõestamisel kasutame Binet´valemit ̅ )

( Sarnaselt eelmisele ̅

(

̅

)

̅

̅

Kuna siingi √

̅

Siis saame ̅

4.6.

̅ )

(

Fibonacci arvude liitmisvalem

Kasutame Binet´ valemit ̅

(

(

̅

√ ̅

̅

̅ )

(

̅

√ √

(

̅ ̅

( ̅

(

̅ )) ̅

̅

)

)

)

16


4.7.

Fibonacci arvude lahutamisvalem

Kasutame Binet´ valemit

(

̅

( ̅

)

̅ √ ̅

√ √

4.8.

̅

̅ ))

̅

)

̅

̅

)

(

̅

̅

)

̅ (

(

(

̅

̅

̅

(

̅

(

̅

̅ )

(

)

)

Lucas´ arvude liitmisvalem

Kasutame Binet´ valemit ̅

(

(

̅

̅

√ ̅

√ ̅

(

̅ ) ( ̅

̅ )) ̅

̅

)

17


̅

(

)

̅

Lucas´ arvude lahutamisvalem

4.9.

Kasutame Binet´ valemit

̅ ) (

((

̅

( ̅

̅

)

̅

̅ )

̅

̅

̅

̅

(

̅

̅

(

̅

)

̅

̅

)

̅ ̅

(

) ̅

(

̅

)

̅ ( (

)

)

)

Lucas´ arvude valem Fibonacci arvude kaudu

4.10.

Kasutame Binet´ valemit (

̅ )

(

̅ )

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅

Kuna

18


̅

̅

Siis saame ̅ ̅

4.11.

̅ ̅

̅

̅

Fibonacci arvude valem Lucas´ arvude kaudu

Tõestame sarnaselt eelmisele tõestusele ̅

̅

̅

̅

̅

Kuna √

√ √

̅

√ √

̅

Siis saame √ (

̅ ) √

(

̅ )

19


4.12.

Fibonacci ja Lucas´ arvude seoseid

4.12.1. Tõestame järgnevalt

Eelnevalt tõestasime, et

Siis saamegi, et

4.12.2. Tõestame järgnevalt kasutades ära eelnevaid tõestusi

20


Kokkuvõte Käesoleva seminaritöö eesmärk oli anda ülevaade Fibonacci arvudest ja tema omadustest. Töö koosnes neljast peatükist. Esimeses peatükis kandis sissejuhatavat eesmärki, tutvusime põgusalt ajalooga, Fibonacci ja Lucas´ arvudega ning kuldlõikega. Teises peatükis oli juttu kolmest peamisest Fibonacci jada üldistustest. Kolmas peatükk oli pühendatud Fibonacci genereerivale funktsioonile ja Binet´ valemile, mis sai ära märgitud nii Fibonacci kui ka Lucas´arvude kohta. Kogu neljas peatükk koosnes erinevatest Fibonacci ja Lucas´ arvude omadustest, omavahelistest seostest ja tõestustest.

21


Kasutatud kirjandus 1. James Moore. Fibonacci Numbers and the Golden Mean [WWW] http://www.docstoc.com/docs/45745920/Fibonacci-Numbers-and-the-GoldenMean (29.12.2011)

2. Fibonacci GCD's, please [WWW] http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.5.shtml (29.12.2011)

3. Fibonacci Number [WWW] http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html (29.12.2011)

4. Lucas Number [WWW] http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html (29.12.2011)

5. Generalized Fibonacci Number [WWW] http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFibonacciNumber.html (29.12.2011)

6. Redi, E., Arvuteooria. Tallinn: Avita, 1998 7. Fibonacci arvud ja nende 端ldistatud kujud [WWW] http://lepo.it.da.ut.ee/~velochy/uurimus.pdf (29.12.2011)

22

Fibonacci arvudest  

Joosep Vaikma seminaritöö

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you