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SISTEMAS DE ECUACIONES Historia de los sistemas de ecuaciones lineales: Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

3. Dado

el

sistema

⎧⎪ x + ay + a 2 = 0 , ⎨ 2 ⎪⎩ x + by + b = 0

⎛1 1⎞ x calcule el valor de ⎜ + ⎟ . ⎝a b⎠ y

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

es inconsistente. Rpta: n = 5

4. Sea la terna ( a; b; c ) solución del

⎧7 x + 4 y − 4 z = 7 ⎪ sistema ⎨7 y + 5 z = 12 ⎪11y + 8 z = 19 ⎩

12. Determine los valores del parámetro p de tal modo que el sistema ⎧( p + 2) x + ( p + 1) y = 1 ⎨ ⎩6 x + ( p + 3) y = 2

halle el valor de a + b + c .

no tenga solución.

⎧x − y = 2 donde c es 5. Del sistema ⎨ ⎩cx + y = 3

una constante, tiene una solución ( x; y ) de modo que x , y ∈ \ + . Según ello indique la condición para c .

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de n.e.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

6. Determine la condición del parámetro k real para que el sistema ⎧(k + 1) x + 4 y = 3 tenga solución única. ⎨ ⎩ x + (k + 1) y = 4

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

7. Determine los valores del parámetro n ⎧5 x = 7 − ny ⎪ para que el sistema ⎨ n 9 tenga ⎪⎩ 5 x + y = 5

El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo III a. de n.e.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

SISTEMAS LINEALES ⎧ 4 x + 5 y = 32 ⎨ ⎩3 x + 7 y = 37

11. Para que valores de n el sistema ⎧(4n + 5) x + (3n + 10) y = −1 ⎨ ⎩(5n − 1) x + (7 n − 11) y = 2

Rpta: 3

1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos

1. Resolver el sistema

Mathema

e

Rpta: \ − {1; −3}

solución única. Rpta: n ∈ \ − {−5;5} ⎧(k − 1) x + ky = 4 8. Si el sistema ⎨ ⎩(k + 1) x + ( k + 3) y = 8 es compatible indeterminado, halle el valor de k .

Rpta: 3 2 ⎪⎧( p + 4) x + qy = q 9. Para que el sistema ⎨ ⎪⎩(4 − q ) x + y = 1 sea indeterminado, halle el valor de p+q.

indique el valor de x 2 + y 2 . 2. La única solución del sistema ⎧⎪ 2 x + y = n 2 es (0;1). Calcule el valor ⎨ 2 ⎪⎩3 x + n y = n de n .

Rpta: 2 10. Para que valores del parámetro k el ⎧(k + 1) x + (k + 3) y = k + 12 sistema ⎨ ⎩(k + 17) x + 30 y = k + 72 admite infinitas soluciones.

Rpta: 0 13. Determine el mayor valor de k para que el sistema ⎧(k − 2) x + (k + 1) y = k + 4 ⎨ ⎩8 x + (k + 8) y = 30 sea incompatible. Rpta: 6

⎧nx + y + z = 1 ⎪ 14. En el sistema ⎨ x + y + nz = n halle el ⎪ 2 ⎩ x + ny + z = n valor de

(n + 2) y . n +1

Rpta: n + 1 15. Al resolver el sistema ⎧cos α .x − senα . y = cos α + senα ⎨ ⎩ senα .x + cos α . y = cos α − senα se obtiene una solución ( x0 ; y0 ) , halle el valor de x02 + y02 . Rpta: 2

SISTEMAS NO LINEALES 1. Resuelva el sistema ⎧x + y = 2 ⎨ ⎩( x + 5)( y + 3) = 16 ⎧ x( x + y ) = −6 2. Resolver ⎨ . ⎩ y ( x + y ) = 10

R: {( − 3;5), (3; − 5)} 3. Resolver el siguiente sistema. 2 4 2 ⎪⎧ x y − 4 xy − 32 = 0 ⎨ ⎪⎩ xy = 4

Rpta: k = 3

Prof.: Christiam Huertas R.

www.xhuertas.blogspot.com

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SISTEMAS DE ECUACIONES 2 2 ⎪⎧3x − 4 y = 11 4. Resolver ⎨ 2 . 2 ⎪⎩ x + y = 13

Rpta: {(3;2),(3;-2),(-3;2),(-3;-2)} 5. Si ( x0 ; y0 ) es una solución del sistema ⎧⎪ x 2 + xy + y 2 = 5 ⎨ ⎪⎩ x + xy + y = 7

⎧ x 2 + y 2 + z 2 = 14 ⎪ 14. Resolver ⎨ x + y 2 + z 2 = 12 ⎪x + z = 2 ⎩ dé como respuesta el número de soluciones.

Rpta: 2

Rpta: 4

Calcule el mayor valor de x0 + y0 . 6. Resolver el siguiente sistema en \ . 2 ⎪⎧ x − 4 y + 7 = 0 . ⎨ 2 ⎪⎩ y − 2 x − 2 = 0 Rpta: {(1;2)}

⎧ x 2 + z = −2 xz ⎪ 7. Resolver el sistema ⎨ y 2 + x = −2 yx y ⎪ 2 ⎩ z + y = −2 yz calcular el valor de x + y + z . ⎧ 2x + 3 y = 4 ⎪ calcule el 8. Del sistema ⎨ ⎪⎩ 8 x − 2 y = 5 valor de x − y . ⎧⎪ xy ( x + y ) = 13 9. Del sistema ⎨ 3 calcule el 3 ⎪⎩ x + y = 25 valor de 5( x + y + 2 x + y ).

Rpta: 100 10. Indique el número de soluciones del 3 3 ⎪⎧ x − y = 9 . sistema ⎨ ⎪⎩ x − y = 3 11. Luego de resolver el sistema 2 2 ⎪⎧ x + xy + y = 13 para x > y , halle el ⎨ ⎪⎩ x + y = 4 valor de x + 3 y . ⎧⎪2 x (1 + 2 y ) = 20 12. Resolver el sistema ⎨ x +1 ⎪⎩2 (1 − y ) = −8 De cómo respuesta el valor de x 2 y .

⎧6( x + y ) = 5 xy ⎪ 13. Resolver el sistema ⎨3( y + z ) = 4 yz . ⎪2( z + x) = 3zx ⎩ Rpta: {(2;3;1)}

Mathema

15. Sea ( a; b; c ) una terna de números

⎧a + b + c = 24 ⎪ enteros tales que ⎨a 2 + b 2 + c 2 = 210 ⎪abc = 440 ⎩ ¿el menor número de esta terna es?

⎧ yx + y + x = 5 ⎪ 16. Del sistema ⎨ xz + x + z = 14 ⎪ ⎩ zy + z + y = 9 indique el valor de z 3 + x + y .

23. Halle el valor de z del sistema ⎧ x2 + y 2 + z = 1 ⎪ ⎨ 5 2 ⎪2 xy = z + ⎩ 4 si x, y, z ∈ \ . Rpta: −1/ 2 24. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧⎪4 x + 4 8 − y = 16 ⎨ 4 ⎪⎩ y + ( x + 1) = 8 25. Luego de resolver el sistema en \ + , ⎪⎧ x 2 + 25 + y 2 + 1 = 3 5 ⎨ ⎪⎩ x + y = 3 halle el valor de 4xy .

Rpta: 67

⎧ x 2 + y 2 + z 2 = 14 ⎪ 17. Resolver ⎨ xy + yz − zx = 7 , de cómo ⎪x + y + z = 6 ⎩ respuesta el valor de x3 + y 3 + z 3 . Rpta: 36 18. Indique el número de soluciones del sistema ⎧⎪ x 2 − xy − y 2 + 1 = 0 . ⎨ 3 2 2 ⎪⎩ x − x y − xy + x − y + 2 = 0 Rpta: 2 19. Halle el valor de k de modo que el ⎧⎪ x + y = 2 sistema ⎨ 2 tenga solución ⎪⎩ x + 2 y + k = 0 única. 20. Determinar los valores de m de modo ⎧⎪ x 2 + y 2 = 4 que el sistema ⎨ sea ⎪⎩ y − mx = 4 compatible, además x, y ∈ \ ⎧⎪ x 2 + xy + 4 y 2 = 31 21. Dado el sistema ⎨ 2 2 ⎪⎩ x − 2 y = 1 si 22 y ≠ −15 x ; entonces, ¿cuál es el valor de x / y ?

22. Cuantas ternas de números reales ( x; y; z ) verifican el sistema y2 z2 x2 x y z = , = , = . 2 2 2 1+ y 2 1+ z 2 1 + x2

Prof.: Christiam Huertas R.

www.xhuertas.blogspot.com

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Matematica Universitaria