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UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA ALGEBRA LINEAL PROFESORA: INGRID SUSANNE ZUÑIGA KAUFMANN ALUMNO: JOHNNY OMAR DEL CID GUZMÁN CARNET: 13032 “TEMAS DE SEMESTRE”


VECTORES Un vector, es un segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta uno B. 

CaracterĂ­sticas: o Poseen magnitud (longitud o norma) o Poseen una direcciĂłn



NotaciĂłn: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ o đ?‘Łâƒ—, đ?’—, đ??´đ??ľ



Formas de escribirlos: o đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ľ, đ?‘Ś] đ?‘Ľ o đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ś]

[Cuando un vector inicia desde el origen y va a cualquier otro punto se dice que estĂĄ en posiciĂłn estĂĄndar.]

OPERACIONES CON VECTORES: Suma: Sean đ?‘˘ ⃗⃗ = [đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] y đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] se define đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = [đ?‘˘1 + đ?‘Ł1 , đ?‘˘2 + đ?‘Ł2 ]

GrĂĄficamente: ďƒ

MultiplicaciĂłn escalar (da por resultado un nĂşmero real): C escalar, đ?‘˘ ⃗⃗ = [đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ]

Cđ?‘˘ ⃗⃗ = [đ??śđ?‘˘1 , đ??śđ?‘˘2 ]




Casos: o C>0: aumenta c veces o C<0: aumenta c veces direcciĂłn cambia o 0<|C|<1: disminuye longitud, la direcciĂłn puede cambiar

Resta: đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;) Graficamente:

Producto punto o producto escalar: đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; = [đ?&#x2018;˘1 , đ?&#x2018;˘2 ] â&#x2C6;&#x2014; [đ?&#x2018;Ł1 , đ?&#x2018;Ł2 ] = đ?&#x2018;˘1 đ?&#x2018;Ł1 + đ?&#x2018;˘2 đ?&#x2018;Ł2 ď&#x201A;ˇ

Distancia (radianes o grados): â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2014;

o đ?&#x153;&#x192; = cos â&#x2C6;&#x2019;1 (||đ?&#x2018;˘â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|| ||â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|| ) đ?&#x2018;Ł VECTORES IGUALES: Tienen la misma magnitud y direcciĂłn VECTORES PARALELOS: đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;||đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; si son mĂşltiplos escalares mutuos VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES: đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x160;Ľ đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; si el ĂĄngulo entre ellos es de 90°

MAGNITUD DE ||đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;||: â&#x2C6;Ľ đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;Ľ= â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 DIRECCIĂ&#x201C;N:

đ?&#x2018;Ś tanθ = y/x ; đ?&#x153;&#x192; = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( â &#x201E;đ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;)


DADO 2 VECTORES đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

Distancia entre đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;: đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;) = â&#x2C6;Ľ đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;Ľ đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014; Ă ngulo entre đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;: â &#x201E;|đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|| ||â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;Ł

PROYECCIĂ&#x201C;N DE đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; SOBRE đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;: (Ă ngulo agudo)

(Ă ngulo obtuso)

Ă ngulo: ď&#x201A;ˇ Agudo: ProyecciĂłn misma direcciĂłn; puede que exista la necesidad de prolongarse. ď&#x201A;ˇ Obtuso: Va en direcciĂłn contraria; necesidad de prolongaciĂłn. đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ś â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = ( ) đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;


PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES: Sean đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;¤ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; vectores en â&#x201E;?đ?&#x2018;&#x203A; y c, d escalares: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (Conmutatividad) đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (đ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;¤ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) = (đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;¤ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (Asociatividad) â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 0 = đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (Elemento neutro [vector cero] ) đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) = â&#x192;&#x2014;0â&#x192;&#x2014; (Inverso Aditivo [-đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;]) đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (Distributividad) đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (Distributividad) đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 1đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;

VECTOR UNITARIO: Tiene longitud 1 Normalizar un vector: Es un proceso de encontrar un vector unitario en la misma direcciĂłn que el vector dado. đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; =

1 đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;Ľ đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;Ľ

đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; RECTAS Y PLANOS Rectas en â&#x201E;?2 : ECUACIONES DE UNA RECTA EN â&#x201E;?2 : ď&#x201A;ˇ

Forma general: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;? o Si la recta pasa por el origen c = 0 se tendrĂ­a la ecuaciĂłn de la forma đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ [ ] [đ?&#x2018;Ś] = 0 đ?&#x2018;?

Si la recta se traslada de tal manera que ya no pasa por el origen, tambiĂŠn cumple que: â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ Donde: â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) = 0 đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; = 0


ď&#x201A;ˇ Forma normal: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0 Donde đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = [đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?] es el vector normal (perpendicular a la recta) đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; = [đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś] (Vector pos. estĂĄndar) Es cualquier punto sobre la recta. đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; = [đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 ] (Vector en pos. estĂĄndar) Correspondiente a un punto conocido. ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

Forma vectorial: đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;â&#x192;&#x2014; Forma paramĂŠtrica o ecuaciones paramĂŠtricas de la recta: ď&#x192;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?1 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;1 ď&#x192;&#x2DC; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?2 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;2

ECUACIONES DE UN PLANO P EN â&#x201E;?3 : ď&#x201A;ˇ Forma general: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x2018; ď&#x201A;ˇ Forma normal: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0 ď&#x201A;ˇ Forma vectorial: đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; ď&#x201A;ˇ Ecuaciones paramĂŠtricas: ď&#x192;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘1 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ł1 ď&#x192;&#x2DC; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?2 + đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘2 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ł2 ď&#x192;&#x2DC; đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?3 + đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘3 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ł3 PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL: NotaciĂłn: đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; Ă&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;

đ?&#x2018;˘2 đ?&#x2018;Ł3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘3 đ?&#x2018;Ł2 đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; Ă&#x2014; đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; = [ đ?&#x2018;˘3 đ?&#x2018;Ł1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘1 đ?&#x2018;Ł3 ] đ?&#x2018;˘1 đ?&#x2018;Ł2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘2 đ?&#x2018;Ł1

PASOS PARA REALIZAR UNA DEMOSTRACIĂ&#x201C;N: ď&#x192;&#x2DC; Definir con quĂŠ se va a trabajar (enunciar vectores y constantes si es necesario). ď&#x192;&#x2DC; Desarrollar lado izq. y der. por separado. ď&#x192;&#x2DC; Comparar ambos lados. ď&#x192;&#x2DC; Concluir segĂşn resultados si son o no iguales. ECUACIONES DE UNA RECTA EN â&#x201E;?3 : En â&#x201E;?3 , una recta es la intersecciĂłn de 2 planos, por lo que se expresa la ecuaciĂłn de una recta en â&#x201E;?3 en sus formas general y normal. ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ

Forma general: o đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x2018;1 o đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x2018;2 Forma normal: o đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1 â&#x2C6;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?1 o đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2 â&#x2C6;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?2


ď&#x201A;ˇ

Forma vectorial:

ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;â&#x192;&#x2014; Forma paramĂŠtricas: o o o o

đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?1 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;1 đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?2 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?3 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;3

ECUACIONES SIMĂ&#x2030;TRICAS: đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?3 đ?&#x2018;Ą2 = đ?&#x2018;Ą3 = đ?&#x2018;&#x2018;1 đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;&#x2018;3 Cuando una o mĂĄs de sus componentes del vector direcciĂłn es cero, por ej. si d3 = 0, las ecuaciones simĂŠtricas se dan asĂ­: đ?&#x2018;Ą1 =

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 = , đ?&#x2018;&#x2018;1 đ?&#x2018;&#x2018;2

đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?3

DISTANCIA DESDE UN PUNTO F (fuera) HASTA UNA RECTA Ć&#x2013;. Pasos para encontrar la distancia: ď&#x201A;ˇ Encontrar el vector que va desde el punto conocido hasta el que va afuera. ď&#x201A;ˇ Encontrar đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ď&#x201A;ˇ Encontrar đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??š đ?&#x2018;&#x2018;

â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; || ď&#x201A;ˇ Calcular ||đ?&#x2018;&#x192;đ??š đ?&#x2018;&#x2018;

DISTANCIA DESDE UN PUNTO F (fuera) HASTA UN PLANO P: La distancia de F al plano estĂĄ dada por la magnitud de: ď&#x201A;ˇ ||đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??š ||


ARITMĂ&#x2030;TRICA MODULAR â&#x201E;¤đ?&#x2018;&#x161; Enteros mĂłdulo â&#x20AC;&#x153;mâ&#x20AC;?. â&#x201E;¤2 = {0, 1} â&#x201E;¤3 = {0, 1, 2}â&#x20AC;Ś En â&#x201E;¤đ?&#x2018;&#x161; sĂłlo estĂĄn definidas dos operaciones: suma y multiplicaciĂłn. En â&#x201E;¤2 : + 0

1

*

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

En â&#x201E;¤3 : + 0 0 0 1 1 2

2

En â&#x201E;¤4 : + 0 0 0 1 1 2 2 3 3

1 1 2

2 2 0

* 0 1

0 0 0

1 0 1

2 0 2

0

1

2

0

2

1

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

* 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

â&#x201E;¤đ?&#x2018;? = {0, 1 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1}

3 0 3 2 1

En los nĂşmeros reales y en â&#x201E;¤đ?&#x2018;? 0 = neutro aditivo 1 = neutro multiplicativo

inverso aditivo da como resultado 0 inverso multiplicativo da como resultado 1

Revista  

Recopilación de temas vistos durante el semestre