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APPLICATIONS LINEAIRES Dans tout ce chapitre, E, F et G dĂŠsignent des espaces vectoriels sur â„? de type fini.

I. DEFINITIONS ET PREMIERES PROPRIETES 1. DĂŠfinitions Une application de E dans F associe Ă  tout ĂŠlĂŠment de E un et un seul ĂŠlĂŠment de F. Ainsi, đ?‘“ est une application de E dans F si et seulement si : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ , ∃! đ?‘˘â€˛ ∈ đ??š tel que đ?‘˘â€˛ = đ?‘“ đ?‘˘ On dit alors que đ?‘˘â€˛ est l'image de đ?‘˘ par đ?‘“, et que đ?‘˘ est un antĂŠcĂŠdent de đ?‘˘â€˛ par đ?‘“. Exemple : le fait d'associer, Ă  tout triplet đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ de â„?3 , le couple đ?‘Ľ + đ?‘Ś , đ?‘Ľ + đ?‘§ de â„?2 , dĂŠfinit bien une application de â„?3 dans â„?2 puisque Ă  tout ĂŠlĂŠment de â„?3 est associĂŠ un et un seul ĂŠlĂŠment de â„?2 . L'image de 1 , 2 , 3 est 3 , 4 . 3 , 4 a plusieurs antĂŠcĂŠdents : 1 , 2 , 3 , 0 , 3 , 4 , ‌ đ?‘“ ĂŠtant une application de E dans F,

đ?’‡ est une application linĂŠaire de E dans F si et seulement si : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ , ∀ đ?‘Ł ∈ đ??¸ , ∀ đ?›ź ∈ â„? , đ?’‡ đ?’– + đ?’— = đ?’‡ đ?’– + đ?’‡ đ?’— et đ?’‡ đ?œśđ?’– = đ?œśđ?’‡ đ?’– Exemple (suite) : l'application đ?‘“ de â„?3 dans â„?2 dĂŠfinie par đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś , đ?‘Ľ + đ?‘§ est une application linĂŠaire, car : ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„?3 , ∀ đ?‘Ľâ€˛, đ?‘Śâ€˛, đ?‘§â€˛ ∈ â„?3 , ∀ đ?›ź ∈ â„? , đ?‘“

�, �, � + �′, �′, �′

=đ?‘“

� + � ′ , � + � ′ , � + �′

= � + � ′ + � + � ′ , � + �′ + � + �′ = � + � , � + � + � ′ + � ′ , �′ + �′ =� � � �, �, �

=đ?‘“

�, �, � + �

�′, �′, �′

�� , �� , ��

= �� + �� , �� + �� = � �+�, �+� =��

Vocabulaire :

�, �, �

une application linĂŠaire de E dans F est appelĂŠe un homomorphisme de E dans F une application linĂŠaire de E dans E est appelĂŠe un endomorphisme de E.

On note đ?“› đ?‘Ź, đ?‘­ l'ensemble des applications linĂŠaires de E dans F.


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2. Premières propriĂŠtĂŠs a) ∀ đ?’‡ ∈ đ?“› đ?‘Ź, đ?‘­ , đ?’‡ đ?&#x;Žđ?‘Ź = đ?&#x;Žđ?‘­ En effet : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸, đ?‘“ 0đ?‘˘ = 0 đ?‘“ đ?‘˘

(car đ?‘“ est linĂŠaire)

â&#x;ş đ?‘“ 0đ??¸ = 0đ??š

b) Une application linĂŠaire de E dans F est dĂŠterminĂŠe par la connaissance de l'image d'une base de E. Si đ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??š , si đ?‘˘1 , đ?‘˘2 , ‌ , đ?‘˘đ?‘? est une base de E, et si l'on connait la famille đ?‘“ đ?‘˘1 , đ?‘“ đ?‘˘2 , ‌ , đ?‘“ đ?‘˘đ?‘? de vecteurs de F, on peut alors dĂŠterminer l'image de tout vecteur de E. En effet : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ , ∃ ! đ?›ź1 , đ?›ź2 , ‌ , đ?›źđ?‘? ∈ â„?đ?‘? tel que đ?‘˘ = đ?›ź1 đ?‘˘1 + đ?›ź2 đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘? đ?‘˘đ?‘? et đ?‘“ đ?‘˘ = đ?‘“ đ?›ź1 đ?‘˘1 + đ?›ź2 đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘? đ?‘˘đ?‘? = đ?›ź1 đ?‘“ đ?‘˘1 + đ?›ź2 đ?‘“ đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘? đ?‘“ đ?‘˘đ?‘?

c) L'espace vectoriel đ?“› đ?‘Ź, đ?‘­ En munissant â„’ đ??¸, đ??š : - d'une loi de composition interne qui Ă  tout đ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??š et Ă  tout đ?‘” ∈ â„’ đ??¸, đ??š associe đ?‘“ + đ?‘” ∈ â„’ đ??¸, đ??š dĂŠfinie par : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ ,

�+� � = � � +� � ,

- d'une loi de composition externe qui Ă  tout đ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??š et Ă  tout đ?›ź ∈ â„? associe đ?›źđ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??š dĂŠfinie par : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ ,

�� � = �� � ,

on obtient un espace vectoriel. Son ĂŠlĂŠment neutre pour la loi de composition interne est "l'application nulle", qui, Ă  tout vecteur đ?‘˘ de E, associe 0đ??š .


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II. NOYAU, IMAGE ET RANG D'UNE APPLICATION LINEAIRE Dans tout ce paragraphe, đ?‘“ dĂŠsigne une application linĂŠaire de E dans F : đ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??š

1. Noyau d'une application linĂŠaire On appelle noyau de đ?’‡, et on note Ker đ?’‡, l'ensemble des antĂŠcĂŠdents de đ?&#x;Žđ?‘­ . Ker đ?‘“ = đ?‘˘ ∈ đ??¸ / đ?‘“ đ?‘˘ = 0đ??š

Ker đ?’‡ est un sous-espace vectoriel de E (dĂŠmonstration en classe).

2. Image d'une application linĂŠaire On appelle image de đ?’‡, et on note Im đ?’‡, l'ensemble des images des ĂŠlĂŠments de E. Im đ?‘“ = đ?‘˘â€˛ ∈ đ??š / ∃ đ?‘˘ ∈ đ??¸ , đ?‘˘â€˛ = đ?‘“ đ?‘˘

Im đ?’‡ est un sous-espace vectoriel de F (dĂŠmonstration en classe).

đ?‘“

E

Ker đ?‘“

F

0đ??¸

0đ??š

Exemple (suite) : considĂŠrons Ă  nouveau l'application linĂŠaire đ?‘“ de â„?3 dans â„?2 dĂŠfinie par : đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś , đ?‘Ľ + đ?‘§ DĂŠterminons son noyau : Quel que soit le vecteur đ?‘˘ = đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ de â„?3 , đ?‘˘ ∈ Ker đ?‘“

â&#x;ş đ?‘“ đ?‘˘ = 0â„?2

Donc Ker đ?‘“ =

â&#x;ş

đ?‘Ľ+đ?‘Ś = 0 â&#x;ş đ?‘Ľ+đ?‘§=0

đ?‘Ś = −đ?‘Ľ đ?‘§ = −đ?‘Ľ

đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ / đ?‘Ľ ∈ â„? = đ?‘Ľ 1, −1, −1 / đ?‘Ľ ∈ â„?

Donc Ker � = VECT �1

avec đ?‘˘1 = 1, −1, −1

�1 ≠ 0 donc �1 est une base de Ker � , et Ker � est donc un sous-espace vectoriel de �3 de dimension 1.

Im đ?‘“


EPSI BX 4 JCD DĂŠterminons son image : Im đ?‘“ =

đ?‘Ľ +đ?‘Ś ,đ?‘Ľ +đ?‘§ / đ?‘Ľ ∈ â„?, đ?‘Ś ∈ â„?, đ?‘§ ∈ â„?

= đ?‘Ľ 1,1 + đ?‘Ś 1,0 + đ?‘§ 0,1 / đ?‘Ľ ∈ â„? , đ?‘Ś ∈ â„? , đ?‘§ ∈ â„? = VECT đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3

avec đ?‘Ł1 = 1,1 , đ?‘Ł2 = 1,0 , đ?‘Ł3 = 0,1

Mais đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 n'est pas une famille libre, puisque đ?‘Ł1 = đ?‘Ł2 + đ?‘Ł3 On en dĂŠduit que Im đ?‘“ = VECT đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 . đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 est une famille libre, donc une base de Im đ?‘“. Im đ?‘“ est donc un sous-espace vectoriel de â„?2 de dimension 2, donc Im đ?‘“ = â„?2

3. Rang d'une application linĂŠaire On appelle rang de đ?’‡, et on note rg đ?’‡ , la dimension de đ??ˆđ??Ś đ?’‡ : rg đ?’‡ = dim đ??ˆđ??Ś đ?’‡ Remarque : Im đ?‘“ est un sous-espace vectoriel de F, donc dim Im đ?‘“ ≤ dim đ??š

4. ThÊorème du rang :

dim đ??Šđ??žđ??Ť đ?’‡ + dim đ??ˆđ??Ś đ?’‡ = đ???đ??˘đ??Ś đ?‘Ź

Exemple (suite) : en appliquant le thĂŠorème du rang, on aurait pu dĂŠterminer Im đ?‘“ beaucoup plus rapidement. En effet, dim Im đ?‘“ = dim â„?3 − dim Ker đ?‘“ = 3 − 1 = 2 Im đ?‘“ est donc un sous-espace vectoriel de â„?2 de dimension 2, donc Im đ?‘“ = â„?2

III. COMPOSITION DE DEUX APPLICATIONS LINEAIRES DĂŠfinition : si đ?‘“ est une application de E dans F et đ?‘” est une application de F dans G, la composĂŠe de đ?‘” et đ?‘“ est l'application de E dans G notĂŠe đ?‘” ∘ đ?‘“ telle que : ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸, đ?‘” ∘ đ?‘“ đ?‘˘ = đ?‘” đ?‘“ đ?‘˘ PropriĂŠtĂŠ :

si đ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??š et đ?‘” ∈ â„’ đ??š, đ??ş , alors đ?‘” ∘ đ?‘“ ∈ â„’ đ??¸, đ??ş

Autrement dit : "la composĂŠe de deux applications linĂŠaires est une application linĂŠaire". En effet, ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ , ∀ đ?‘Ł ∈ đ??¸ , ∀ đ?›ź ∈ â„? : đ?‘”∘đ?‘“ đ?‘˘+đ?‘Ł = đ?‘” đ?‘“ đ?‘˘+đ?‘Ł đ?‘” ∘ đ?‘“ đ?›źđ?‘˘ = đ?‘” đ?‘“ đ?›źđ?‘˘

=� � � +� �

=� �� �

=�� � �

=� � �

+đ?‘” đ?‘“ đ?‘Ł

= đ?›ź đ?‘”∘đ?‘“ đ?‘˘

= đ?‘”∘đ?‘“ đ?‘˘ +đ?‘”∘đ?‘“ đ?‘Ł


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IV. INJECTION, SURJECTION, BIJECTION Dans ce paragraphe, on s'intÊresse à la possibilitÊ de rÊversibilitÊ de la transformation qu'une application linÊaire opère, c'est-à-dire à l'existence d'une application rÊciproque.

1. Applications linĂŠaires injectives Rappel : une application đ?’‡ est injective si et seulement si tout ĂŠlĂŠment de l'ensemble d'arrivĂŠe possède au plus un antĂŠcĂŠdent dans l'ensemble de dĂŠpart. Autrement dit, đ?‘“ est injective si et seulement si : đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘“ đ?‘Ś â&#x;š đ?‘Ľ = đ?‘Ś Proposition 1: đ?’‡ ĂŠtant une application linĂŠaire de E dans F,

đ?’‡ est injective si et seulement si Ker đ?’‡ = đ?&#x;Žđ?‘Ź

(dĂŠmonstration en classe).

Proposition 2 : si đ?‘“ est une application linĂŠaire injective de E dans F, alors l'image par đ?‘“ d'une famille libre de vecteurs de E est une famille libre de vecteurs de F (dĂŠmonstration en classe).

2. Applications linÊaires surjectives Rappel : une application � est surjective si et seulement si tout ÊlÊment de l'ensemble d'arrivÊe possède au moins un antÊcÊdent dans l'ensemble de dÊpart. Proposition 3 : � Êtant une application linÊaire de E dans F,

đ?’‡ est surjective si et seulement si đ??ˆđ??Ś đ?’‡ = đ?‘­ (consĂŠquence directe des dĂŠfinitions). Proposition 4 : si đ?‘“ est une application linĂŠaire surjective de E dans F, alors l'image par đ?‘“ d'une famille gĂŠnĂŠratrice de E est une famille gĂŠnĂŠratrice de F (dĂŠmonstration en classe).

3. Applications linĂŠaires bijectives Rappel : une application đ?’‡ est bijective si et seulement si tout ĂŠlĂŠment de l'ensemble d'arrivĂŠe possède un et un seul antĂŠcĂŠdent dans l'ensemble de dĂŠpart. Autrement dit : une application đ?’‡ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective. Une application bijective đ?’‡ de E dans F possède une application rĂŠciproque de F dans E, notĂŠe đ?’‡âˆ’đ?&#x;? , qui est elle aussi bijective. Proposition 5 : d'après ce qui prĂŠcède,

đ?’‡ ĂŠtant une application linĂŠaire de E dans F, đ?’‡ est bijective si et seulement si Ker đ?’‡ = đ?&#x;Žđ?‘Ź

et đ??ˆđ??Ś đ?’‡ = đ?‘­


EPSI BX 6 JCD Proposition 6 : đ?‘“ ĂŠtant une application linĂŠaire de E dans F, đ?’‡ est bijective si et seulement si l'image par đ?’‡ d'une base de E est une base de F (dĂŠmonstration en classe).

ConsĂŠquence : si đ?‘“ est une application linĂŠaire bijective de E dans F, alors dim E = dim đ??š . La rĂ��ciproque de cette implication est gĂŠnĂŠralement fausse. Sa contraposĂŠe est bien sur vraie : si đ???đ??˘đ??Ś đ?‘Ź ≠ đ???đ??˘đ??Ś đ?‘­ , alors đ?’‡ n'est pas bijective. Proposition 7 : đ?’‡ ĂŠtant une application linĂŠaire de E dans F,

si : dim đ??„ = đ???đ??˘đ??Ś đ?‘­ , alors : đ?’‡ est injective â&#x;ş đ?’‡ est surjective â&#x;ş đ?’‡ est bijective. (dĂŠmonstration en classe). Ce thĂŠorème sera notamment applicable aux endomorphismes đ??¸ = đ??š .

Vocabulaire :

un homomorphisme bijectif de E dans F sera appelĂŠ un isomorphisme de E dans F. un endomorphisme bijectif de E sera appelĂŠ un automorphisme de E. deux espaces vectoriels E et F sont dits isomorphes lorsqu'il existe un isomorphisme de E dans F .

Proposition 8 : tout isomorphisme đ?‘“ de E dans F admet une application rĂŠciproque de F dans E notĂŠe đ?‘“ −1 , et đ?‘“ −1 est un isomorphisme de F dans E. ∀ đ?‘˘ ∈ đ??¸ , đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“ đ?‘˘ = đ?‘˘ , ce qui peut ĂŞtre exprimĂŠ ainsi : đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“ = Idđ??¸ ( identitĂŠ dans E ). ∀ đ?‘Ł ∈ đ??š , đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 đ?‘Ł = đ?‘Ł , ce qui peut ĂŞtre exprimĂŠ ainsi : đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 = Idđ??š ( identitĂŠ dans F ). Proposition 9 : si đ?‘“ est un isomorphisme de E dans F, et đ?‘” un isomorphisme de F dans G, alors đ?‘” ∘ đ?‘“ est un isomorphisme de E dans G, et đ?’ˆâˆ˜đ?’‡

−đ?&#x;?

= đ?’‡âˆ’đ?&#x;? ∘ đ?’ˆâˆ’đ?&#x;?


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EXERCICES

EXERCICE 1 On considère les applications de �2 dans �3 suivantes : f :

â„?2 â&#x;ś â„?3 đ?‘Ľ, đ?‘Ś â&#x;ź 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś , đ?‘Ľ − đ?‘Ś , đ?‘Ś

g : â„?2 â&#x;ś â„?3 đ?‘Ľ, đ?‘Ś â&#x;ź 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś , đ?‘Ľ − đ?‘Ś , đ?‘Ś + 1 h : â„?2 â&#x;ś â„?3 đ?‘Ľ, đ?‘Ś â&#x;ź 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś , đ?‘Ľ − đ?‘Ś , đ?‘Ś a) Montrer que f est linĂŠaire, et que g et h ne le sont pas. b) DĂŠterminer Ker f. c) DĂŠterminer une base et la dimension de Im f. d) f est-elle injective ? surjective ?

EXERCICE 2 On considère la base canonique de �3 notÊe �1 , �2 , �3 , et l'application linÊaire � de �3 dans �2 telle que : � �1 = 1 , 2 ; � �2 = 1 , 3 ; � �3 = 0 , 2 1. Calculer l'image par � du vecteur � = 1 , 2, 3 2. a) DÊterminer un vecteur � diffÊrent de � tel que � � = � � b) Que peut-on en dÊduire à propos de Ker f ? 3. a) DÊterminer une base et la dimension de Ker f . b) Que peut-on en dÊduire à propos de Im f et de la surjectivitÊ de � ?

EXERCICE 3 Soit f l'application linĂŠaire de â„?4 dans â„?3 telle que : f :

â„?4 â&#x;ś â„?3 đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ą â&#x;ź đ?‘Ľ − đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘Ą , đ?‘Ľ + 2đ?‘§ − đ?‘Ą , đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 3đ?‘§ − 3đ?‘Ą

DĂŠterminer une base et la dimension de Ker f et de Im f.


EPSI BX 8 JCD EXERCICE 4 On considère les vecteurs de â„?3 suivants : đ?‘Ł1 = 1,1,0 , đ?‘Ł2 = 0,1,1 , đ?‘Ł3 = 1,0,1 . 1. DĂŠmontrer que â„Ź = đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 est une base de â„?3 . 2. On considère l'endomorphisme f de â„?3 dĂŠfini par : đ?‘“ đ?‘Ł1 = đ?‘Ł1 + đ?‘Ł3 ; đ?‘“ đ?‘Ł2 = đ?‘Ł2 + đ?‘Ł3 ; đ?‘“ đ?‘Ł3 = 2đ?‘Ł1 − đ?‘Ł2 + đ?‘Ł3 a) Si un vecteur đ?‘˘ a pour coordonnĂŠes đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? dans la base â„Ź, quelles sont les coordonnĂŠes de đ?‘“ đ?‘˘ dans la base â„Ź ? b) DĂŠterminer une base et la dimension de Ker f. c) DĂŠterminer une base et la dimension de Im f. d) f est-il injectif ? surjectif ?

EXERCICE 5 E ĂŠtant un espace vectoriel sur â&#x201E;? de dimension 2, on considère une base â&#x201E;Ź = đ?&#x2018;Ł1 , đ?&#x2018;Ł2 de E , et un endomorphisme f de E dĂŠfini par : đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ł1 = đ?&#x2018;Ł1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ł2 et đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ł2 = đ?&#x2018;Ł1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł2 . 1. Si un vecteur đ?&#x2018;˘ a pour coordonnĂŠes đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś dans la base â&#x201E;Ź, quelles sont les coordonnĂŠes de đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;˘ dans la base â&#x201E;Ź ? 2. f est-il injectif ? surjectif ? 3. Montrer que đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201C; = â&#x2C6;&#x2019;Idđ??¸ ( Idđ??¸ dĂŠsignant l'application identitĂŠ dans E ). 4. Montrer que si đ?&#x2018;˘ est un vecteur non nul de E, alors đ?&#x2018;˘ , đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;˘ est une base de E. 5. Si un vecteur đ?&#x2018;˘ a pour coordonnĂŠes đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś dans la base â&#x201E;Ź, quelles sont les coordonnĂŠes de đ?&#x2018;˘ dans la base đ?&#x2018;Ł1 , đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ł1 ? EXERCICE 6 đ?&#x2018;&#x201C; ĂŠtant une application linĂŠaire de E dans F, dĂŠmontrer les implications suivantes Ă  l'aide du thĂŠorème du rang : a) si dim đ??¸ < dim đ??š , alors đ?&#x2018;&#x201C; n'est pas surjective. b) si dim đ??¸ > dim đ??š , alors đ?&#x2018;&#x201C; n'est pas injective.

EXERCICE 7 Etant donnĂŠs trois espaces vectoriels E, F, G, et deux applications linĂŠaires đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2019; đ??¸, đ??š et đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2019; đ??š, đ??ş . Montrer que đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201C; = 0 â&#x;ş Im đ?&#x2018;&#x201C; â&#x160;&#x201A; Ker đ?&#x2018;&#x201D;. (0 dĂŠsignant ici l'application nulle de E dans G).

EXERCICE 8 E ĂŠtant un espace vectoriel et f un endomorphisme de E, montrer que : a) Ker đ?&#x2018;&#x201C; â&#x160;&#x201A; Ker đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201C; b) Im đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x160;&#x201A; Im đ?&#x2018;&#x201C; c) Ker đ?&#x2018;&#x201C; = Ker đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x;ş Im đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;Š Ker đ?&#x2018;&#x201C; = 0đ??¸


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