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MOVIMIENTO CIRCULAR

Mecánica – Ing. Joana Santamaría M.


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) El movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. En la figura 1 se muestra un objeto con movimiento circular.

Figura 1. Objeto con movimiento circular. Para estudiar el movimiento rectilíneo de una partícula, se definió la posición, la velocidad y la aceleración, y se encontraron las ecuaciones del movimiento. De manera similar, para estudiar el movimiento circular de una partícula, se definirá la posición angular, la velocidad angular y la aceleración angular, y se encontrarán las ecuaciones del movimiento circular. POSICIÓN ANGULAR: Una partícula se desplaza desde A hasta B como se muestra en la figura 2. La posición angular se define como:

s   r

(1)

B

 Angulo Theta (radianes) s Longitud del arco (distancia recorrida por el objeto) r Radio

O

s

r A

Figura 2. Posición angular El radian no tiene dimensiones físicas porque es una relación entre dos longitudes.

Ejemplo 1: Un autobús entra en una glorieta y recorre 8 m alrededor de la misma. Suponga que el radio de la glorieta es de 1,5 m. ¿Cuál es el ángulo recorrido por el autobús alrededor de la rotonda? Aplicando la ecuación (1):



8 m  5.3 rad 1.5 m

Convirtiendo a grados:

5.3 rad 

360   303.7  2 rad Mecánica – Ing. Joana Santamaría M.


De acuerdo al anterior resultado, el autobús casi da una vuelta completa alrededor de la rotonda.

VELOCIDAD ANGULAR: La velocidad angular media es el cociente del desplazamiento angular dividido por el tiempo transcurrido, o sea:

 

  0

(2)

t  t0

Si el tiempo transcurrido es infinitamente pequeño, entonces la fórmula (2) se convierte en la ecuación de la velocidad angular instantánea, o sea:



d dt

(t y t0 infinitamente cercanos)

(3)

Como el ángulo se mide en radianes (rad) y el tiempo en segundos, la velocidad angular se mide en rad/s en el S.I., en la práctica se acostumbra a usar vueltas por segundo (n) o revoluciones por minuto (rpm). La equivalencia entre estas unidades se muestra a continuación:

 (rad/s)  2n (vueltas/s)  2

n (rpm) 60

Ejemplo 2: Un disco de vinilo gira con una velocidad de

(4)

33 13 rpm. ¿Cuál es su velocidad

angular?. La velocidad angular es:

  2

33.3  3.5 rad/s 60

Ejemplo 3: Una partícula gira con un ángulo de 7200° en un tiempo de 10 segundos. ¿Cuál es su velocidad angular media?.

7200  720 /s 10

Su velocidad angular media es:

 

Y en radianes es:

720 2 rad   12.6 rad/s s 360

SE DEFINE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME CUYA VELOCIDAD ANGULAR ES CONSTANTE

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VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL: Tomando las relaciones de la velocidad angular



 t

y de posición angular

 

s , se puede r

obtener una ecuación para hallar la velocidad lineal.



 t

s v  r.t r

(4)

Siendo v la velocidad lineal del objeto (el espacio recorrido s entre el tiempo t que dura el movimiento). Se puede decir que:



v r

o bien que

v  .r

ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA: El movimiento circular uniforme es un caso "especial", pues posee aceleración. ¿Cómo un movimiento uniforme puede tener aceleración? Hay aceleración debido al cambio continuo de dirección del vector velocidad a lo largo de todo el movimiento.

Figura 3. Aceleración normal de una partícula Dicha aceleración está siempre dirigida hacia el centro, por lo que se llama aceleración centrípeta. Por otro lado, este vector puede verse que es perpendicular (o normal) al vector velocidad en todo momento. Por ello también se le denomina aceleración normal. Su magnitud se obtiene dividiendo el cuadrado de la velocidad lineal entre el radio de la trayectoria:

aN 

v2 r

(5)

FRECUENCIA Y PERÍODO DEL MCU: La frecuencia f es el número de vueltas dadas en un segundo. El período T es la magnitud inversa, es decir, el tiempo (en segundos) empleado en dar una vuelta completa.

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T

1 (6) f

f 

1 (7) T

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA) En este tipo de movimiento la velocidad angular aumenta con el incremento del tiempo, por lo tanto se dice que el objeto está acelerando uniformemente, en el movimiento circular a esta aceleración se le llama aceleración angular. ACELERACIÓN ANGULAR: La aceleración angular media es el cociente del cambio de la velocidad angular dividido por el tiempo transcurrido, o sea:

 

  0

(8)

t  t0

Si el tiempo transcurrido es muy pero muy pequeño, entonces la ecuación (8) se transforma en la fórmula de la aceleración instantánea, o sea:



d dt

(t y t0 infinitamente cercanos)

(9)

La unidad de  es el rad/s . 2

Además en este tipo de movimiento existen dos tipos de aceleraciones lineales: aceleración normal y aceleración tangencial. La aceleración normal se genera por el cambio de dirección de la velocidad. La aceleración tangencial se genera por el cambio de la magnitud de la velocidad, por lo tanto la velocidad angular también varía.

Figura 4. Aceleraciones normal y tangencial de una partícula. La aceleración de este movimiento consta de dos componentes, la aceleración tangencial que es constante porque la magnitud de la velocidad varía proporcionalmente con el tiempo (es uniformemente acelerado) y la aceleración normal que no es constante porque la velocidad es diferente en cada punto. La aceleración se obtiene por:

a  aT  a N 2

2

(10)

La aceleración tangencial se calcula con:

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aT   .r

(11)

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento circular son similares al del movimiento rectilíneo, la diferencia radica en los símbolos usados para la aceleración, velocidad y posición. Movimiento Uniformemente Acelerado Rectilíneo Circular

a  constante v f  at  v0

  constante ( en rad/s2)  f  0   .t (  en rad/s) (12)

2

(a en m/s ) (v en m/s)

x  12 at 2  v0t

  0t  12 t 2

(x en m)

 f 2  0 2  2

v f  v0  2ax 2

( en rad) (13)

2

(14) 2

Ejemplo 4: Una partícula que parte del reposo con aceleración angular de 2 rad/s gira hasta alcanzar una velocidad angular de 6 rad/s. ¿Cuántas vueltas dio la partícula?. ¿En que tiempo se alcanzó la mencionada velocidad angular?. Para calcular las vueltas que dio la partícula puede usarse la ecuación:

 f 2  0 2  2 Reemplazando valores conocidos:

62  02  2(2) Despejando la posición angular:



36  9 rad 4

Convirtiendo a vueltas:

9 rad 

1 vuelta  1.4 vueltas 2 rad

El tiempo empleado en alcanzar la velocidad angular de 6 rad/s puede calcularse mediante la ecuación:

 f  t  0 Reemplazando valores conocidos:

6  2(t )  0 Despejando el tiempo:

t

6 3 s 2

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Movimiento circular