Page 92

12.6.5

Regels combineren: de machtregel

Willen we de afgeleide vinden van de functie f (x) = xn dan maken we n direct gebruik van de constructie xn = eln(x ) , de afgeleide van ex , de afgeleide van ln(x), de kettingregel en uiteraard de logaritmeregels: n

g(f (x)) = xn = eln(x

)

f 0 (x) = n ·

1 x

n

g 0 (f (x)) = eln(x

)

= en·ln(x)

= xn

dus (g(f (x))0 = f 0 (x) · g 0 (f (x)) = n ·

1 n · x = n · xn · x−1 = nxn−1 x

Dit is een bijzonder geval van de algemene regel voor elke macht; ook voor het geval de macht zelf een functie is, zoals bijvoorbeeld x(x+3) . Laten we uitgaan van g(x) = u en f (x) = v. Er geldt dan g(f (x)) = uv . Er volgt nu2 v uv = eln(u ) = ev ln(u) d v dx u

=

d v ln(u) dx e

= uv ·

·

d dx v ln(u)

d dx v ln(u)

d x daar geldt dat dx e = ex . Nu moeten we voor het tweede lid zowel de product- als de kettingregel toepassen.   1 dv · ln(u) + v · · du = uv dx u dx

Laten we deze iets netter schrijven: d v dx u

of traditioneel

dv = uv ln(u) dx +

v du u dx



 v  (uv )0 = uv ln(u)v 0 + u0 u

en we hebben de algemene machtregel3 .

df d gebruiken hier voor de verandering eens de notatie dx f (x) of dx ; deze schrijf0 wijze van het differentiaalquotiënt of afgeleide is uitwisselbaar met f (x). 3 We komen nog even terug op het specifieke geval xn . We weten uit de definitie van de afgeleide functie dat f (x) = x ⇒ f 0 (x) = 1 en f (x) = c ⇒ f 0 (x) = 0, waarbij c een constante is. Substitueren we nu xn weer in de algemene machtregel, waarbij n een constante is, dan hanteren we u = x en v = n en vinden we  n  n d n x = xn ln(x) · 0 + · 1 = xn · = nxn−1 dx x x 2 We

92

Wiskundige varia  

Wiskundige uitleg, bewijzen en beweringen. Niveau VWO.

Wiskundige varia  

Wiskundige uitleg, bewijzen en beweringen. Niveau VWO.

Advertisement