Page 86

Voorbeeld 2: φ(x) = ln(ex ) Dat is niet moeilijk1 want ln(ex ) = x en de afgeleide van x = 1. We passen echter toch de kettingregel toe, waarbij verondersteld wordt dat bekend is (en zo niet, zie 12.6.4, p.90) dat de afgeleide van ln(x) = x1 en ex zichzelf als afgeleide heeft: • de functie is: φ(x) = ln(ex ); • deel op: f (x) = ex en g(u) = ln(u) waarbij u staat voor ex • we schrijven nu op: φ(x) = ln(ex ) f (x) = ex g(u) = ln(u)(⇒ u = ex ) • bereken de deelafgeleiden: f 0 (x) = ex g 0 (u) =

1 (⇒ u = ex ) u

en substitueer, dus: g 0 (x) =

1 ex

• vermenigvuldig de twee complete deelafgeleiden: f 0 (x) · g 0 (x) = ex ·

1 ex = x =1 x e e

• het resultaat is de afgeleide van φ(x) = x ofwel van g(f (x)) = ln(ex ): φ0 (x) = 1 hetgeen we reeds boven vastgesteld hadden. Voorbeeld 3: φ(x) = ax x

We herschrijven dit tot f (x) = eln(a ) . De regels van logaritmes toegepast kunnen we dit ook schrijven als f (x) = ex·ln(a) en is nog steeds gelijk aan ax . Nu kunnen we hier de kettingregel op loslaten: 1 Zie hoofdstuk 9 ln(ex ) = x. We weten ln(ex ) = log (ex ). Stel log (x) = y dan e e geldt volgens de definitie ey = x. We substitueren en we zien loge (ey ) = y ofwel y ln(e ) = y.

86

Wiskundige varia  

Wiskundige uitleg, bewijzen en beweringen. Niveau VWO.

Wiskundige varia  

Wiskundige uitleg, bewijzen en beweringen. Niveau VWO.

Advertisement