Page 65

toch noemen we deze verzameling aftelbaar. We kunnen als het ware ieder getal aan de beurt laten komen, ook al zijn we eindeloos bezig. De grootte van de verzameling noemen we de kardinaliteit. De kardinaliteit van de natuurlijke getallen is dus gelijk aan die van de even getallen. Nog simpeler: er zijn evenveel gehele getallen als even getallen. 1 De bijectie maakt het mogelijk. Bijectie. Proef het op je tong. Bijectie.

1 De kardinaliteit van de natuurlijke getallen wordt aangeduid met ℵ (alef-nul). 0 Dit is de kleinste kardinaliteit in de wiskunde. De verzameling R heet alef-één, ℵ1 , en is groter dan ℵ0 . De Duitse wiskundige Cantor bewees dit met behulp van de zogenoemde diagonaalstelling. Cantor stelde dat ieder natuurlijk getal aan een reëel getal kon worden gekoppeld tussen 0 en 1. Je kreeg dan een oneindig lange rij van een aantal getallen met een oneindig aantal decimalen, ieder gekoppeld aan een natuurlijk getal. Cantor vroeg zich af: hebben we nu alle mogelijke getallen gehad? Is er een getal te vinden dat niet in deze rij staat en dus niet aan een natuurlijk getal is gekoppeld? Op een slimme manier toonde hij aan dat dit inderdaad het getal was. Neem een rij getallen en onderstreep van het eerste getal de eerste decimaal, van het tweede getal de tweede decimaal enzovoorts, tot aan ∞. Tel bij elk van deze getallen 1 op en maak van 9 een 0. Zet deze getallen achter elkaar. Hebben we dit getal al eens gehad? Nee, want het is niet het eerste getal, daar de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet het tweede getal, aangezien hier de tweede decimaal verschilt. Dit is tot in het oneindige te herhalen, en derhalve zijn er meer reële getallen tussen 0 en 1 dan er natuurlijke getallen zijn. En dat geldt natuurlijk ook voor alles buiten dit interval. De kardinaliteit ℵ1 is dus groter dan ℵ0 . Een uitgewerkt voorbeeld:

12345...

0, 0, 0, 0, 0, ...

1 5 3 1 4

2 2 6 9 9

3 4 7 3 3

4 3 2 7 8

5... 1... 8... 5... 1...

We krijgen nu het getal 0, 12771.... Hiervan maken we dus 0, 23882.... Komt dit elders in de rij voor? Het eerste getal kan het niet zijn, want de eerste decimaal verschilt. Het tweede getal kan het ook niet zijn, want de tweede decimaal verschilt. Het n-de getal? Nee, want de n-de decimaal verschilt. Misschien het n + 1e getal? Nee, want ook de n + 1e decimaal verschilt. Kortom, terwijl alle natuurlijke getallen zijn vergeven is er toch weer een nieuw getal te bedenken. En dat kan niet meer worden gekoppeld aan een natuurlijk getal, want die waren ’op’. Conclusie: de kardinaliteit van de verzameling R is groter dan de kardinaliteit van de verzameling N en voor de verzamelingen geldt |R| > |N|.

65

Wiskundige varia  

Wiskundige uitleg, bewijzen en beweringen. Niveau VWO.

Wiskundige varia  

Wiskundige uitleg, bewijzen en beweringen. Niveau VWO.

Advertisement