Issuu on Google+

Wiskundige Varia Jeroen I.M. van Dorp


c 2015, 2016 Jeroen I.M. van Dorp


Voorwoord In dit boek heb ik een aantal bewijzen, beweringen en zaken uit de wiskunde verzameld en herschreven in mijn eigen woorden. Op deze wijze heb ik veel stof voor mijzelf weer uit de vergetelheid gehaald. Ik publiceer het via Internet omdat wellicht andere mensen er ook wat aan hebben (al is het maar een dolende ziel op de middelbare school). Het is dan ook zeker geen vademecum van de wiskunde. Gebruik geschiedt op eigen risico, hoewel de kans op ongelukken klein is. Het geheel wordt met enige regelmaat aangevuld en uitgebreid met nieuwe onderwerpen. De onderwerpkeuze is willekeurig. Een enkele maal wordt een bewijs in het ene hoofdstuk als bewezen aangenomen terwijl het in een ander hoofdstuk pas worden bewezen. Soms worden elementaire bewijzen herhaald. Ik heb dit zo veel mogelijk ondervangen door verwijzingen. Wie er type-, taal- en spelfouten uithaalt, krijgt een tien. Met elk nieuw onderwerp en elke gevonden fout wordt er een nieuwe PDF-versie aangemaakt. Controleer regelmatig op nieuwe versies. De versies worden niet genummerd. Utrecht, december 2015/november 2016

3


4


Inhoudsopgave Voorwoord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Een 1.1 1.2 1.3 1.4

paar rekenregels Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commutatief, associatief en distributief . . . . . . Wacht Meneer van Dalen nog steeds op antwoord? Formele rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3

. . . .

12 12 12 13 13

2 De 2.1 2.2 2.3

oppervlakte van de driehoek (en het Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . De willekeurige driehoek . . . . . . . . . Het parallellogram . . . . . . . . . . . .

parallellogram) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 14 15

3 De 3.1 3.2 3.3

stelling van Pythagoras Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewijs met een samengestelde oppervlakte . . . . . . . . . Alleen in het platte vlak? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 17 18

4 De 4.1 4.2 4.3

Cosinusregel 20 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vectortoepassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Producten van factoren 5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Een grafische voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Het merkwaardig product (a + b)2 . . . . . . 5.2.2 Het merkwaardig product (a − b)2 . . . . . . 5.2.3 Het merkwaardig product (a + b)(a − b) . . . 5.2.4 Het merkwaardig product (a + b)3 en (a − b)3 5.3 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

23 23 23 23 25 26 27 28

6 Ontbinden in factoren 29 6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.2 Aanpakken met algebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3 Trial-and-error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5


6.4 7 De 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 wortelformule en de discriminant Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kwadratische vergelijking en perfect kwadraat . Afleiden van de wortelformule . . . . . . . . . . De discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

31 31 31 32 33 33 35

8 Rekenregels logaritmes 8.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Optellen en aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Exponenten binnen de logaritme . . . . . . . . . 8.4 Vermenigvuldigen en delen . . . . . . . . . . . . . 8.5 Machtsverheffen en worteltrekken . . . . . . . . . 8.6 Relatie logaritmes met een verschillende grondtal

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

36 36 36 37 38 38 39

9 De 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

40 40 40 41 41 43

10 Rijen en Reeksen 10.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Rijen, parti¨ele sommen en reeksen . . . . . . . . . 10.2.1 De rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 De parti¨ele som . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 De reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Convergentie en divergentie . . . . . . . . . . . . . 10.4 Rekenkundige rijen en reeksen . . . . . . . . . . . . 10.5 Meetkundige rijen en reeksen . . . . . . . . . . . . 10.6 Harmonische en hyperharmonische rijen en reeksen 10.7 Tot slot: andere types rijen en reeksen . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

45 45 45 45 45 46 46 47 48 49 51

11 Differenti¨ eren 11.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Uitgangspunten . . . . . . . . . . . . 11.3 De differentiaal . . . . . . . . . . . . 11.4 Definitie differenti¨eren . . . . . . . . 11.5 De afgeleide functie . . . . . . . . . . 11.6 Differenti¨eren in de praktijk . . . . . 11.6.1 Toepassing van de definitie . 11.6.2 De kettingregel . . . . . . . . 11.6.3 De product- en quoti¨entregel

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

52 52 52 53 54 54 55 55 58 63

bijectie Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . Gekoppelde verzamelingen en relaties . De functie en de inverse functie . . . . Bijectie . . . . . . . . . . . . . . . . . Tot slot: de oneindige praktijk . . . .

6

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .


11.6.4 Gebruik van bekende afgeleide functies . . . . . . . 66 11.6.5 Regels combineren: de machtregel . . . . . . . . . 68 12 Impliciet differenti¨ eren 12.1 Achtergrond . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Methodiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Verschil impliciet en expliciet differenti¨eren 12.5 Functies delen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

69 69 70 71 72 73 74

13 Partieel differenti¨ eren 13.1 Inleiding . . . . . . . 13.2 Voorbeeld . . . . . . 13.3 Partieel en impliciet 13.4 Tot slot . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

75 75 76 76 77

14 De afgeleiden van sin, cos en tan 14.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . 14.2 De afgeleide van sin(x) . . . . . 14.2.1 sin(h − i) . . . . . . . . 14.2.2 sin(h) − sin(i) . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 limiet sin(h) h 14.2.4 De afgeleide van sin(x) . 14.3 De afgeleide van cos(x) . . . . . 14.4 De afgeleide van tan(x) . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

78 78 78 79 81 81 83 84 84

15 De afgeleiden van arcsin, arccos en arctan 15.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Reciproke functies csc, sec en cot . . . . 15.1.2 Inverse functies arcsin, arccos en arctan 15.2 De afgeleide van arcsin(x) . . . . . . . . . . . . 15.3 De afgeleide van arccos(x) . . . . . . . . . . . . 15.4 De afgeleide van arctan(x) . . . . . . . . . . . . 15.5 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

86 86 86 86 87 88 88 89

16 De functies sinh, cosh, tanh 16.1 Inleiding . . . . . . . . . 16.2 Definitie . . . . . . . . . 16.3 Reciproque functies . . . 16.4 Inverse functies . . . . . 16.5 De afgeleide functies . . 16.5.1 Afgeleide sinh . . 16.5.2 Afgeleide cosh . 16.5.3 Afgeleide tanh . 16.5.4 Afgeleide arsinh 16.5.5 Afgeleide arcosh

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

90 90 91 91 92 92 93 93 93 94 94

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . .

hun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .


16.5.6 Afgeleide artanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 16.6 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 17 Minima, maxima en buigpunten 17.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . 17.2 Minima en maxima . . . . . . . 17.3 Buigpunten . . . . . . . . . . . 17.4 Tot slot . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

96 96 96 98 99

18 De regel van l’Hˆ opital 100 18.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 18.2 Naar nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 18.3 Naar oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 19 Integreren 19.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Uitgangspunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 De integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Definitie integreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.1 Bewijs met de insluitstelling . . . . . . . . . . 19.5 De primitieve functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 De constante in de primitieve functie . . . . . . . . . 19.6.1 Bepaalde en onbepaalde integralen . . . . . . 19.6.2 De constante in de onbepaalde integraal . . . 19.6.3 De constante in de bepaalde integraal . . . . 19.6.4 Voorbeeld constante in een bepaalde integraal 19.7 Primitiveren in de praktijk . . . . . . . . . . . . . . 19.7.1 Partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . 19.7.2 Substitueren bij samengestelde functies . . . 19.7.3 Breuksplitsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7.4 Functies herleiden . . . . . . . . . . . . . . . 19.7.5 Staartdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.8 Oneigenlijke integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.9 Meervoudige integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.10Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 104 104 106 107 108 110 111 111 112 112 112 113 113 115 122 123 129 129 131 133

20 Het 20.1 20.2 20.3 20.4

. . . .

. . . .

. . . .

134 134 135 136 137

binomium van Newton Inleiding . . . . . . . . . . Driehoek van Pascal . . . Bewijs door inductie . . . Voorbeeld . . . . . . . . .

. . . .

Variabele Verhalen

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

139

8


21 Waarom 1 6= 2 21.1 Inleiding . . . 21.2 ’Bewijs’ . . . 21.3 Vergelijkingen 21.4 Tot slot . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

141 141 141 142 142

en flauwekul Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kunnen we x0 en 00 uitrekenen of defini¨eren? Een andere benadering: limieten . . . . . . Laatste poging: naar oneindig? . . . . . . . Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

143 143 143 144 145 146

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limiet . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

147 147 147 148 149 149 150 151 151 152 154

24 Euler’s Formule en Identiteit 24.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Poolco¨ ordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4 Afleiding formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Afleiding met de Taylorreeks . . . . . . . . . . . . . . . 24.5.1 Brook Taylor, trillende snaren en de Taylorreeks 24.5.2 De analytische functies sin(x), cos(x) en ex . . . 24.5.3 Van analytisch naar holomorf . . . . . . . . . . . 24.6 Bonus: meer complexe schrijfwijzes . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

156 156 157 158 160 161 161 162 163 164

22 Nul 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5

. . . . . . . . . . en delen . . . . .

. . . . . . door . . .

. . . . . . nul . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

23 Zeno’s wedstrijd als wiskundige paradox 23.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Zeno van Eleia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Achilles en de schildpad . . . . . . . . . . . . . . 23.4 Rijen en reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.1 De rekenkundige rij . . . . . . . . . . . . 23.4.2 De meetkundige rij . . . . . . . . . . . . . 23.5 Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6 Zeno, Achilles, de schildpad en een convergerende 23.7 De som van de meetkundige reeks . . . . . . . . . 23.8 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 Riemann en zeta 165 25.1 inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 25.2 De YouTube-oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 25.3 Oneindig veel problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 25.4 Grandi, Ces` aro en Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 25.5 Riemann, priemgetallen en de Rieman Zeta functie . . . . 169 25.6 De som van natuurlijke getallen en de zetafunctie . . . . . 170 25.7 Analytische voortzetting, functionaalvergelijkingen en regularisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 25.7.1 Een voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 25.7.2 Regularisatie van de zeta-functie . . . . . . . . . . 173 9


25.8 Een merkwaardige uitkomst? . . . . . . . . . . . . . . . . 174 25.9 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Alfabetische index

177

Colofon

180

10


Hoofdstuk 1

Een paar rekenregels 1.1

Inleiding

Na 1 komt 2. 0 komt voor 1. 1 + 1 = 2. Dit soort eigenschappen is geen logisch gevolg van het een of ander, maar van een afspraak; het zijn elementaire rekenregels. De meeste mensen hebben vast wel eens zo’n overzicht van elementaire regels gekregen. Toch zullen weinigen deze nog kunnen herinneren, laat staan als ze commutatief, associatief of distributief blijken te heten.

1.2

Commutatief, associatief en distributief

Wat is de commutatieve eigenschap? Commutatief komt van het Latijnse commutare, dat omwisselen of omdraaien betekent. Deze eigenschap wordt ook wel de wisseleigenschap genoemd. Simpelweg betekent dit dat a + b gelijk is aan b + a. Naast de commutatieve eigenschap bestaat ook de associatieve eigenschap. Associare betekent verenigen of samengaan, denk maar aan een associatie. De associatieve eigenschap houdt in dat je bepaalde rekenkundige bewerkingen mag uitvoeren in een willekeurige volgorde. Je mag als het ware de diverse bewerkingen met elkaar associ¨eren. Een voorbeeld van de associatieve eigenschap is (a · b) · c = a · (b · c). Tot slot bestaat de distributieve eigenschap, de verdeeleigenschap. Deze ken je van de vorm a · (b + c) = a · b + a · c. De commutatieve en associatieve eigenschap gelden voor optellen en vermenigvuldigen, maar niet voor delen of aftrekken.

12


1.3

Wacht Meneer van Dalen nog steeds op antwoord?

Een zelfde soort regel is het inmiddels in ongenade gevallen zinnetje Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord , dat de volgorde van bewerking aangeeft: eerst Machtsverheffen, dan Vermenigvuldigen, dan Delen, dan Worteltrekken, dan Optellen en Aftrekken. Wat in dit - naar mijn mening heel nuttige zinnetje - ontbreekt is natuurlijk het haakje: eerst uitwerken wat tussen haakjes staat. Bovendien is het verstandiger machtsverheffen en worteltrekken (dat uiteindelijk ook machtsverheffen is, zij het dan met exponenten waarvoor geldt −1 < r < 1 en r 6= 0) op gelijke hoogte te zetten.

1.4

Formele rekenregels

Voor menigeen zal het een verrassing zijn dat sommige formele beschrijvingen van de rekenkunde niet meer dan een eeuw geleden zijn vastgelegd. De Italiaan Guiseppe Peano, die overleed in 1932 heeft bijvoorbeeld enkele regels geformaliseerd. Hoe ziet dat eruit? Een voorbeeld. Stel, we bezien de verzameling van natuurlijke getallen, die de volgorde 1, 2, 3, 4... hebben. We defini¨eren de opvolgerfunctie S(n) waarvoor geldt S(n) = n + 1. Nu geldt: als n ∈ N dan is ook S(n) ∈ N. Tevens geldt daarmee dat S(0) = 1 en S(1) = S(S(0)) = 2. S(n) = 0 bestaat niet. Peano formuleerde vervolgens de volgende twee axioma’s: ∀a ∈ N : a + 0 = a ∀a, b ∈ N : a + S(b) = S(a + b) Nu geldt dat 1 + 1 = 1 + S(0) ofwel (tweede axioma) 1 + S(0) = S(1 + 0) Daar a + 0 = a (eerste axioma) geldt S(1 + 0) = S(1) en S(1) = S(S(0)) = 2 Derhalve geldt 1+1=2

13


Hoofdstuk 2

De oppervlakte van de driehoek (en het parallellogram) 2.1

Inleiding

De oppervlakte van een (rechthoekige) driehoek is gelijk aan de helft van de oppervlakte van een rechthoek met dezelfde lengte en breedte. Simpelweg in twee stukken knippen via de de diagonaal van de rechthoek is daar al voldoende bewijs voor. Voor een (rechthoekige) driehoek spreken we daarbij van de helft van de breedte maal de hoogte. Waarom geldt dit ook voor een niet-rechthoekige driehoek? We leveren een simpel bewijs. Met de definitie van de oppervlakte van een driehoek kunnen we nog meer berekenen. Daartoe kijken we aan het eind van dit hoofdstuk ook nog naar een parallellogram, het scheefgetrokken broertje van de rechthoek.

2.2

De willekeurige driehoek

Laten we een willekeurige driehoek construeren en deze in twee kleinere driehoeken opdelen. We gaan daarbij uit van drie in elkaar passende driehoeken. Bekijk de figuur op de volgende pagina.

14


Het opdelen gebeurt door een loodlijn neer te laten vanuit D op de basis AC. Het punt waar de loodlijn terecht komt noemen we B. We hebben nu twee rechthoekige driehoeken. De loodlijn BD zorgt ervoor dat â&#x2C6; ABD = â&#x2C6; DBC = 90o . Waartoe dienen de rode lijnen? Met behulp van deze rode stippellijnen construeren we twee rechthoeken die, gezien het feit dat hun zijden allemaal parallel lopen, zijn opgebouwd uit een spiegeling en rotatie van de originele driehoeken. De oppervlakte van de driehoeken ABD en BCD is dus elk de helft van de oppervlakte van hun respectievelijke rechthoeken. Nu geldt uiteraard dat de gecombineerde oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van de totale driehoek. Kortom 4ABD + 4BCD = 4ACD We berekenen de beide oppervlaktes van de driehoeken en stellen vast dat 4ACD = 12 (AB)(BD) + 21 (BC)(BD) ofwel 1 2 BD(AB

+ BC)

Nu geldt echter (AB + BC) = AC Derhalve kunnen we de oppervlakte van de totale driehoek stellen op 4ACD = 12 (AC)(BD) ofwel de helft van het product van de breedte en de hoogte.

2.3

Het parallellogram

We tekenen een parallellogram.

15


Daarbij verdelen we het parallellogram in drie delen: twee driehoeken en een rechthoek in het midden. Omdat de overliggende zijden van een parallellogram evenwijdig aan elkaar lopen, zijn de beide rechthoeken gelijk. Uit de tekening blijkt dat geldt: B + C = A. De totale oppervlakte van het parallellogram kunnen we nu schrijven als 1 1 2 B · D + C · D + 2 B · D = B · D + C · D = D(B + C) en daar B + C = A geldt dat de oppervlakte geschreven kan worden als Oppervlakte = A · D ofwel breedte maal hoogte.

16


Hoofdstuk 3

De stelling van Pythagoras 3.1

Inleiding

De stelling van Pythagoras luidt: de som van de kwadraten van de lengte van de rechte zijden van een rechthoekige driehoek is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa van die driehoek : a2 + b2 = c2 Er zijn waarschijnlijk meer bewijzen voor de stelling van Pythagoras dan dat er mensen zijn die de formule hebben onthouden na hun middelbare school. Hoe eenvoudiger het bewijs, hoe eleganter. Daartoe kiezen we het volgende bewijs.

3.2

Bewijs met een samengestelde oppervlakte

Kijken we naar onderstaande figuur.

17


We berekenen de oppervlakte van het ingesloten vierkant met zijde c. De oppervlakte is derhalve c2 . Deze oppervlakte kunnen we uitdrukken in het verschil tussen de oppervlakte van het grote vierkant met zijde a + b en de oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken met zijden a en b. Hoe ziet dat er uit? c2 = (a + b)2 − (4 ·

1 2

· a · b)

Dit vereenvoudigen we tot a2 + 2ab + b2 − 2ab = c2 ofwel a2 + b2 = c2

3.3

Alleen in het platte vlak?

Sommige mensen denken dat de stelling van Pythagoras alleen geldig is voor een rechthoek die je op papier tekent. De stelling is echter in alle hogere dimensies geldig, zelfs in meer dan drie ruimtedimensies. Hoe dat laatste eruit ziet kunnen we ons helaas niet voorstellen, maar in drie dimensies is dat nog wel mogelijk. Kijk naar de kubus hieronder:

In de kubus (maar het kan iedere willekeurige balk zijn) is schuin een driehoek geplaatst. De diagonaal die van rechtsvoor beneden naar linksachter boven loopt is d lang. De zijden van de kubus/balk zijn a diep, b breed en c √ hoog. Nu is de liggende diagonaal in de kubus (rood) volgens de stelling a2 + b2 lang. Het kwadraat van de lengte van de hypotenusa d van de rechthoek (ook in rood getekend) is nu natuurlijk het kwadraat 18


van de liggende diagonaal en de staande zijde c. Dat levert het volgende op: p 2 a2 + b2 + c2 = d2 en dat is gelijk aan a2 + b2 + c2 = d2 In een tesseract, een vier dimensionale kubus, zal dus gelden a2 + b2 + c2 + d2 = e2 , maar hoe dat eruit ziet - daar mag ieder voor zich over fantaseren.

19


Hoofdstuk 4

De Cosinusregel 4.1

Inleiding

In het voorgaande hoofdstuk hebben we gezien dat de stelling van Pythagoras kan worden toegepast om de schuine zijde van een driehoek te berekenen in elke willekeurige dimensie groter dan R1 , dus in twee dimensies of meer. Dat heeft een aantal consequenties. Ook driehoeken in n-dimensionale ruimtes hebben zijden en onderlinge hoeken. Maar hoe bereken je naast de lengtes ook de onderlinge hoeken? We bekijken dit voor het speciale geval dat n = 2, dus in twee dimensies - ofwel het platte vlak. Voor rechthoekige driehoeken is het probleem niet groot. Als we de lengte van twee zijden kennen dan helpt Pythagoras ons uit de brand. De hoeken zijn dan ook geen probleem. De hoek tussen de aanliggende zijde en de overliggende zijde van de rechte hoek is natuurlijk altijd cos 0 of sin 0. Hebben we een van de scherpe hoeken θ dan nemen we simpelweg de verhouding tussen de overliggende zijde en de schuine zijde (sin θ of cos θ). En zo kunnen we uiteraard ook de derde hoek berekenen. Wat gebeurt er echter als de driehoek niet rechthoekig is, maar bijvoorbeeld scherp (alle hoeken zijn kleiner dan 90◦ ) of stomp (´e´en hoek is groter dan 90◦ )? En hoe is een hoek tussen twee lijnen (of vectoren) uit te rekenen die zich in tien ruimtedimensies bevinden? Hun lengte kunnen we simpel berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras, maar hun hoek niet. In die gevallen kan de cosinusregel worden ingezet. Laten we zien hoe deze eruit ziet, en vooral waarom.

20


4.2

Bewijs

We kijken naar de volgende figuur.

We zien hier een stompe driehoek. De lengte van de liggende zijde noemen we a, de lengte van de staande zijde b en de lengte van de schuine zijde noemen we c. De hoek tussen de liggende en staande zijde is stomp en noemen we θ. Om de lengte van c uit te rekenen zouden we graag de hulp van Pythagoras ontvangen. Daartoe kijken we naar de grote rechthoekige driehoek met de rood gestippelde staande zijde links die loodrecht op de x-as staat. We moeten dan wel weten hoe lang het extra liggende stuk aan zijde a is. Uit de eenheidscirkel weten we dat sin θ gelijk is aan de projectie op de y-as en cos θ gelijk is aan de projectie op de x-as. De lengte van het extra liggende stuk is dus −b cos θ (daar we ons in het tweede kwadrant bevinden is de cos θ negatief) en de lengte van de staande zijde is b sin θ. Nu kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen: (a + (−b cos θ)2 + (b sin θ)2 = c2 Werken we dit uit dan krijgen we a2 − 2ab cos θ + b2 cos2 θ + b2 sin2 θ = c We kunnen nu b2 buiten haakjes halen a2 − 2ab cos θ + b2 (cos2 θ + sin2 θ) = c2 en tussen haakjes vinden we de identiteit sin2 θ + cos2 θ ≡ 1. Daarom vereenvoudigen we tot de cosinusregel : a2 + b2 − 2ab cos θ = c2

21


4.3

Vectortoepassing

Wie enige kennis van lineaire algebra heeft kan deze kennis nuttig toepassen bij het berekenen van hoeken tussen vectoren, ongeacht in hoeveel dimensies ze zich bevinden. We kunnen in het geval van ons voorbeeld ~ en B. ~ De vector C, ~ lopend van de punt spreken van zijden als vectoren A ~ ~ van B naar de punt van A, kan dan volgens de regels voor het optellen ~ − B. ~ Passen we nu en aftrekken van vectoren geschreven worden als A de cosinusregel toe dan zien we dat 2 2 ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ − B B cos θ = A − 2 A A + B Het kwadraat van de lengte (of liever gezegd: de norm) van de vector aan de rechterkant is ~ − B) ~ · (A ~ − B) ~ (A ~ − B. ~ Dit kunnen we Dit is gelijk aan het inproduct van de vector A uitwerken tot ~2 + B ~ 2 − 2A ~B ~ A Het resultaat is een scalair; de (vierkants)wortel van het inproduct van een vector met zichzelf is zoals we zagen gelijk aan de norm of lengte van ~ ·A ~ = A2 is dus gelijk aan het kwadraat van die vector. Het inproduct A ~ en hetzelfde geldt voor het inproduct de norm of lengte van vector A, ~ van B met zichzelf. We kunnen dus schrijven 2 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ · B) ~ A + B − 2 A B cos θ = A + B − 2(A Aan beide zijden kunnen we wegstrepen ~ ~ ~ · B) ~ −2 A B cos θ = −2(A en delen door −2:

~ ~ ~·B ~ A B cos θ = A

~ en B ~ overblijft. Nu weten we Zodat rechts alleen het inproduct van A niet alleen hoe het inproduct te defini¨eren, maar ook dat geldt ~·B ~ A cos θ = ~ ~ A B Wie nu twee n-dimensionale vectoren heeft kan hun lengte c uitrekenen met behulp van de stelling van Pythagoras voor n dimensies a21 + a22 + a23 + ... + a2n = c2 en de cosinus van hun hoek uitrekenen door het inproduct van de vectoren te delen door het product van hun lengtes. De toets cos−1 op de rekenmachine doet dan de rest.

22


Hoofdstuk 5

Producten van factoren 5.1

Inleiding

Wie (3 + 4) wil vermenigvuldigen met (2 + 3) zal niet lang twijfelen. Eerst de afzonderlijke delen bij elkaar optellen, en dan vermenigvuldigen. Uitkomst: 7 · 5 = 35. Case closed. Maar wat nu als we (3a + 4b) willen vermenigvuldigen met (2a + 3b)? Hier valt niets op te tellen, dus gaan we kruislings alle factoren met elkaar vermenigvuldigen, omdat we dit zo geleerd hebben. De som ziet er dan als volgt uit: (3a + 4b)(2a + 3b), en dat leidt tot 3a · 2a = 6a2 , 3a · 3b = 9ab, 4b · 2a = 8ab en 4b · 3b = 12b2 . Bijeengeraapt komen we uit op 6a2 + 17ab + 12b2 . Het ziet er niet zo fraai uit, maar het klopt wel. Vergelijken we de twee samengestelde factoren met de eerst vermenigvuldiging (3 + 4)(2 + 3) dan vullen we stiekem a = 1 en b = 1 in en we krijgen 6 + 17 + 12 = 35. En opnieuw, case closed. Maar waarom moet er eigenlijk kruislings vermenigvuldigd worden? Aan de hand van een paar bijzondere producten, zogenoemde merkwaardige producten, stellen we de uitwerkingen grafisch voor. Uiteraard geldt de uitwerking voor ieder willekeurig product van het type (a + b)(c + d), geconstrueerd met vierkant of rechthoek.

5.2 5.2.1

Een grafische voorstelling Het merkwaardig product (a + b)2

Kijk naar het bovenstaande vierkant. Dit vierkant verdelen we met twee lijnen in vier stukken. We zorgen ervoor dat zowel de horizontale als de verticale lijn op gelijke afstand van hun zijde van het vierkant liggen. Daarmee wordt het vierkant dus in een groot en een klein vierkant en in twee gelijke rechthoeken opgedeeld. Die vier onderdelen hebben de volgende oppervlaktes: 1 = a · a = a2 23


Figuur 5.1: samengestelde oppervlakte

2 = a · b = ab 3 = a · b = ab 4 = b · b = b2

De totale oppervlakte van het vierkant is natuurlijk (a + b)(a + b) = (a + b)2 We tellen nu alle vier de stukken bij elkaar op: (a + b) = (a + b) · (a + b) = a2 + b2 + ab + ab = a2 + 2 · ab + b2 Derhalve geldt dat (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . 24


5.2.2

Het merkwaardig product (a − b)2

Maar wat nu als we (a − b)(a − b) = (a − b)2 willen uitrekenen? Ook dat is eenvoudig. We gebruiken nu geen som van twee lengtes, maar het verschil van twee lengtes. In de volgende figuur wordt dat grafisch weergegeven. De zijde van het vierkant heeft lengte a. De twee lijnen verdelen de beide zijden van het vierkant in twee ongelijke delen, met lengte b en c. We schrijven a = b + c. Maar daaruit volgt ook dat c het verschil is van a en b: c = a − b. We gaan nu de oppervlakte van het totale vierkant op dezelfde manier als bij (a + b) berekenen. In de figuur zijn de diverse oppervlaktes weergegeven. We beginnen bij de twee meest voor de hand liggende berekeningen, waarbij de nummering uit figuur 1 wordt aangehouden: 1 = b · b = b2 4 = c · c = c2

Voor de twee overige oppervlaktes geldt (met in het achterhoofd dat c = (a − b)): 2 = 3 = b · c = b · (a − b) = b(a − b) = ab − b2 Nu rest ons niet anders dan alles bij elkaar op te tellen. De oppervlakte van het vierkant met de lengte van de zijde a is a2 ofwel a2 = b2 + c2 + 2(ab − b2 ) a2 = b2 + c2 + 2ab − 2b2 a2 = −b2 + c2 + 2ab c2 = a2 − 2ab + b2 25


en daar we weten dat c = (a − b) blijkt dat (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

5.2.3

Het merkwaardig product (a + b)(a − b)

We kijken naar de volgende figuur.

De zijden van dit vierkant zijn a + b lang. Dit betekent dat de totale oppervlakte gelijk is aan (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Aan de rechterkant snijden we nu twee stukken met gelijke breedte b van het vierkant af. Wat is nu de resterende oppervlakte van het rode gedeelte? We rekenen eerst de overblijvende zijden uit van het rode stuk. Dit is nu lengte (a + b) − b − b = a + b − 2b = a − b. De rode rechthoek heeft dus als oppervlakte (a + b)(a − b), de lange maal de korte zijde. De twee afgesneden oppervlakken zijn ieder b(a + b) groot, dus hun beider oppervlaktes zijn in het totaal 2b(a + b). Nu berekenen we de oppervlakte van de rode rechthoek als het verschil van de oppervlakte van het vierkant verminderd met de oppervlaktes van de twee afgesneden rechthoeken: (a + b)(a − b) = (a + b)2 − 2b(a + b) We weten nu wat de oplossing van (a + b)2 is (zie boven). Uitwerken geeft (a + b)(a − b) = a2 + 2ab + b2 − 2ab − 2b2 Vereenvoudigen levert op (a + b)(a − b) = a2 − b2 26


Merkwaardige producten kunnen heel handig zijn bij hoofdrekenen. Een voorbeeld is de vraag hoeveel 998·1002 is. Dat valt uit te schrijven als een merkwaardig product (1000 − 2)(1000 + 2) = 10002 − 22 = 1000000 − 4 = 999996.

5.2.4

Het merkwaardig product (a + b)3 en (a − b)3

De laatste twee merkwaardige producten die we behandelen zijn (a + b)3 en zijn collega (a − b)3 . De onderstaande kubus biedt daarbij hulp.

Drie vlakken doorsnijden de kubus, zodat het volume in elke richting doorsneden wordt op dezelfde afstand van de bijbehorende zijde. De lange gedeeltes van de ribben zijn alle a lang, de korte gedeeltes zijn ieder b lang. Wat is nu het volume van de kubus? De ribben zijn elk (a + b) lang, waarmee het volume (a + b)(a + b)(a + b) ofwel (a + b3 ) is. Zorgvuldig kijken en tellen levert op dat dit volume is samengesteld uit de volgende deelvolumes: a3 onder linksachter; b3 boven rechtsvoor; a·a·b beneden linksvoor, beneden rechtsachter en boven linksachter; a·b·b boven linksvoor, beneden rechtsvoor en boven rechtsachter. 27


Het geheel levert ons dus op (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Wie tijd en moeite neemt de lengte van de gehele ribbe van de kubus uit te drukken als a, het korte gedeelte als b en het lange gedeelte als a − b komt op het volgende merkwaardige product uit: (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

5.3

Tot slot

Ooit lanceerde de (toenmalig enige) Nederlandse telefoonmaatschappij PTT de slogan Wie tot tien kan tellen kan de wereld bellen. Ik zou daar aan toe willen voegen Wie een rechthoek kan tekenen kan producten uitrekenen. Wie meer wil weten over het uitwerken van merkwaardige producten kan zijn hart ophalen in hoofdstuk 20 op pagina 134.

28


Hoofdstuk 6

Ontbinden in factoren 6.1

Inleiding

Ontbinden in factoren van kwadratische vergelijkingen is ´e´en van de eerste dingen die men leert op de middelbare school. Eindeloos zoeken naar de factoren. Natuurlijk kun je een computerprogrammaatje schrijven om de factoren te vinden. Maar dat telt niet. Kan het niet op een meer degelijke, wiskundig verantwoorde manier? Over het algemeen is dat niet nodig. De meeste vergelijkingen zijn eenvoudig en uit het hoofd te ontbinden in factoren. Maar toch, als we dat willen, hoe pakken we dat zonder gokken aan?

6.2

Aanpakken met algebra?

Laten we een voorbeeld nemen en van achteren naar voren werken. We nemen (x − 2)(x + 5). Uitgewerkt ziet dit er als volgt uit: x2 + 3x − 10. We weten nu dat 3x de som is van de factoren −2 en +5. En natuurlijk is −10 het product van −2 en +5. We zouden dus kunnen stellen dat voor de vergelijking x2 + 3x − 10 geldt dat de ontbonden factoren a en b voldoen aan: a · b = −10 en a+b=3 Daar hebben we eenvoudigweg twee vergelijkingen met twee variabelen, en dat is op te lossen. Hebben we nu de uitweg gevonden? Laten we het eens proberen: −10 a= b dus −10 +b=3 b 29


dat we herschrijven als −10 b2 + =3 b b ofwel

−10 + b2 =3 b en dat wordt tot onze ontsteltenis 3b = −10 + b2 ofwel b2 − 3b − 10 = 0 Het is duidelijk waar we terecht zijn gekomen: de slang bijt in zijn eigen staart. Wie 5 of −2 invult ziet dat die vergelijking klopt, maar om de vergelijking op te lossen zullen we ook deze weer moeten ontbinden in factoren. We kunnen dan de bovenstaande methode herhalen. Het laat zich raden wat er dan (opnieuw) gebeurt.

6.3

Trial-and-error

Dat hadden we beter direct x2 + 3x − 10 kunnen ontbinden met trialand-error . Het is vaak slimmer om -indien computerhulp ontbreekt of verboden is- te zoeken met gezond verstand. En belangrijk handvat: kijk altijd eerst naar het laatste cijfer zonder de variabele; die is altijd het product van de twee bekende (getals)factoren. Die producten zijn vrij snel te vinden. Check dan wat een optelling oplevert. In ons voorbeeld is het wel heel erg simpel: −10 is uit te splitsen als product van (positief of negatief) 10 en 1 alsmede 5 en 2. Met het laatste paar rolt direct het verschil 3 eruit. Nu alleen nog de plus- en mintekens schikken en je bent waar je wezen wil. Soms compliceren de variabelen de oplossing enigszins, denk aan 2x2 − 2x − 12 = 0. Het product 2x2 is natuurlijk het gevolg van 2x · x. Maar kijk dan direct naar het eindproduct −12. Dat getal is te ontbinden in 4 en 3 of 6 en 2 of 12 en 1. Er blijft −2x over van het kruisproduct. Dat kan (2 · −3) + 4 zijn. 6 en 2 en 1 en 12 zijn zo niet te combineren We kunnen dus een oplossing schrijven als (x − 3)(2x + 4) = 0.

6.4

Tot slot

Alvorens het volgende hoofdstuk te bekijken geldt het advies: doe het niet elegant, maar effectief .

30


Hoofdstuk 7

De wortelformule en de discriminant 7.1

Inleiding

In het vorige hoofdstuk hebben we ons bezig gehouden met het ontbinden in factoren van een kwadratische vergelijking. We hebben gezien dat het in de meeste gevallen slim is met een beetje inzicht en proberen snel te ontbinden in factoren. Immers, de mathematische aanpak aldaar deed de slang in zijn eigen staart bijten. Toch is er wel degelijk wat meer te zeggen over de kwadratische vergelijking ax2 + bx + c (met als belangrijkste randvoorwaarde a 6= 0, want anders is het geen kwadratische vergelijking meer) en in het bijzonder over de vergelijking ax2 + bx + c = 0. Kortom: de wortelformule en de discriminant: wie kent ze niet. Deze formules maken het mogelijk voor de bovenstaande kwadratische vergelijking de nulpunten te berekenen. Geen, (of een complex nulpunt), ´e´en of twee. Dat is interessant, want veel nuttige functies zijn te formuleren als kwadratische vergelijkingen. Wie deze twee oplossingen kent weet natuurlijk ook wat meer over de twee resulterende factoren waarin de kwadratische vergelijking is te ontbinden.

7.2

Kwadratische vergelijking en perfect kwadraat

We gaan op zoek naar de nulpunten van de kwadratische vergelijking. Grafisch gezien zijn dit natuurlijk de punten waar de grafiek van de functie ax2 + bx + c de x-as snijdt. Dat kunnen twee punten zijn (het ’laagste’ punt ligt onder de x-as, of het hoogste punt erboven), dat kan ´e´en punt zijn (denk maar aan y = x2 , waar (0,0) dat punt is) of geen 31


enkel punt (als de grafiek op zijn laagste punt boven de x-as blijft zweven, of op zijn hoogste punt onder de x-as blijft). Hoe bepalen we dat? Laten we kijken of we door de vergelijking onder handen te nemen kunnen uitvinden waar x = 0. We gaan daartoe de wortelformule afleiden, waarbij we gebruik maken van het zogenoemde perfect kwadraat (denk ook aan het merkwaardige product op pagina 23) x2 + 2xy + y 2 dat uiteen te sleutelen valt in (x + y)2

7.3

Afleiden van de wortelformule

We beginnen bij de algemene formulering van een kwadratische vergelijking die gelijk is aan 0 (ook wel vierkantsvergelijking genoemd): ax2 + bx + c = 0 We trachten nu stap voor stap de x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken. De langste reis begint bij de eerste stap: ax2 + bx = −c Daar a 6= 0 geldt, mogen we delen door a: x2 +

c bx =− a a

Laten we nu proberen toe te werken naar het perfect kwadraat x2 + 2xy + y 2 : b c x2 + 2 x = − 2a a We missen nu alleen nog het derde lid van het perfect kwadraat, dat in b 2 dit geval ( 2a ) is. Daartoe tellen we deze factor aan beide kanten van het gelijkteken op bij de rest van de vergelijking:  2  2 b b c b 2 = − x +2 x+ 2a 2a 2a a Aan de linkerkant hebben we nu een perfect kwadraat, dat we direct ontbinden in zijn factoren, terwijl we rechts de haakjes wegwerken:  2 b b2 c x+ = 2− 2a 4a a Laten we nu de rechterkant van de vergelijking onder ´e´en noemer brengen:  2 b b2 4ac x+ = 2− 2 2a 4a 4a ofwel

 2 b b2 − 4ac x+ = 2a 4a2 32


We kunnen nu overgaan tot het bepalen van de wortel van beide zijden van de vergelijking, zodat x te isoleren valt uit het merkwaardig product. Dus1 r b b2 − 4ac x+ =± 2a 4a2 De vergelijking laat zich herschrijven tot √ b b2 − 4ac x=− ± 2a 2a ofwel

b2 − 4ac 2a waarmee we uit zijn gekomen bij de Wortelformule. x=

7.4

−b ±

De discriminant

Laten we onze wortelformule eens toepassen op de functie y = x2 . Wanneer geldt x2 = 0? Niet moeilijk, maar we doen het toch met de wortelformule: a = 1, b = 0, c = 0. Dus geldt √ 0 −0 ± 02 − 4 · 1 · 0 = =0 x= 2·1 2 en dat ziet er vertrouwd uit. Maar het toont ook aan dat het gedeelte onder het wortelteken belangrijk is. Immers, is b2 − 4ac gelijk aan nul, dan is er maar ´e´en oplossing; is b2 − 4ac groter dan nul, dan zijn er twee oplossingen; is b2 − 4ac kleiner dan nul, dan zijn er geen re¨ele oplossingen.2 De waarde van b2 − 4ac bepaalt dus het onderscheid tussen het aantal oplossingen en heet daarom discriminant.

7.5

Voorbeelden

voorbeeld 1 Laten we nu eens opnieuw kijken naar de vergelijking op pagina 29: x2 + 3x − 10 q b2 −4ac erom, wellicht ten overvloede: heeft twee oplossingen. Als x2 = r 4a2 √ √ √ √ 2 2 dan is x2 = ± r want zowel (− r) = r als ( r) = r = x2 . 2 Uiteraard zijn er dan wel complexe oplossingen (dus getallen uit de complexe verzameling C), maar dan schrijven we de wortelformule anders: √ −b ± i b2 − 4ac x= als b2 − 4ac < 0 2a 1 Denk

33


We proberen nu met behulp van de wortelformule te bepalen of er een oplossing is voor x2 + 3x − 10 = 0. Hier geldt: a = 1, b = 3, c = −10. Allereerst kijken we naar de discriminant: b2 − 4ac = 9 − (4 · 1 · −10) = 49 Er zijn dus twee oplossingen mogelijk, want de discriminant is groter dan 0. Bovendien ziet dit er goed uit, want 49 = 72 . We substitueren echter gezagsgetrouw. √ −3 ± 32 − 4 · 1 · −10 x= 2·1 √ −3 ± 49 −3 ± 7 4 −10 = = of = 2 of − 5 2 2 2 2 Omdat a = 1 is ontbinden in factoren nu eenvoudig. We zien onmiddellijk: (x − 2)(x + 5) = 0 Zo hebben we toch nog een (ingewikkelde) manier gevonden om op wiskundig verantwoorde wijze te kunnen ontbinden in factoren. voorbeeld 2 Lukt dat ook voor de andere in het hoofdstuk genoemde vergelijking? Dat was de kwadratische vergelijking 2x2 − 2x − 12 Wie goed nadenkt haalt natuurlijk onmiddellijk de 2 buiten haakjes en houdt 2(x2 − x − 6) over. Het ontbinden is dan weer eenvoudig. Maar laten we de formele route weer eens bewandelen. Met de wortelformule (en a = 2, b = −2 en c = −12) blijken de nulpunten te liggen bij √ 2 ± 10 12 −8 2 ± 100 = = ∧ = 3 ∧ −2 4 4 4 4 De kwadratische vergelijking (x + 2)(x − 3) = 0 voldoet aan dat profiel. Uitgewerkt is dit x2 − x − 6 Onze kwadratische vergelijking is het dubbele, namelijk 2(x2 − x − 6) Conclusie: zowel 2(x + 2)(x − 3) = 0 als (2x + 4)(x − 3) = 0 als (x + 2)(2x − 6) = 0 voldoen als oplossing, waarmee tevens de kwadratische vergelijking in factoren is ontbonden. 34


7.6

Tot slot

De discriminant en de wortelformule zijn onmisbare hulpmiddelen bij het beantwoorden van twee vragen: â&#x20AC;˘ heeft een kwadratische vergelijking nulpunten, en zo ja, hoeveel? â&#x20AC;˘ wat zijn de x-waarden van de nulpunten indien deze bestaan? Daarnaast is de wortelformule in tijden van wanhoop ook te gebruiken voor het ontbinden in factoren. Ga er echter liever van uit dat trial-anderror vrijwel altijd sneller werkt.

35


Hoofdstuk 8

Rekenregels logaritmes 8.1

Inleiding

De logaritme is de inverse van de exponenti¨ele functie ac . Een logaritme heeft deze algemene vorm: a

log(b) = c

a is het grondtal van de logaritme, b de macht en c de exponent aan het grondtal . Nu geldt voor de logaritme (gezien de inverse, exponenti¨ele functie): ac = b

8.2

Optellen en aftrekken

Als exponenten bij elkaar worden opgeteld, worden de machten met elkaar vermenigvuldigd. Worden de exponenten van elkaar afgetrokken, dan worden de machten gedeeld. Wie dus twee logaritmes bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, vermenigvuldigt of deelt de machten van de logaritmes: a log(b) +a log(d) =a log(b · d) b a log(b) −a log(d) =a log d We leiden af voor optellen. Laat a

log(b) = c

a

log(d) = e

en dan geldt ac = b en ae = d. Tellen we de logaritmes bij elkaar op dan geldt a log(b) +a log(d) = c + e 36


We kunnen de logaritme links opheffen door de inverse functie toe te passen. Dat betekent dat we rechts ook de inverse functie toepassen, derhalve moeten machtsverheffen. Dat geeft a

a

log(b)+a log(d)

= ac+e

We weten echter ook dat ac · ae = ac+e , en daar ac = b en ae = d ook geldt ac · ae = b · d. Hieruit volgt dat ac+e = b · d. Dus a

a

log(b)+a log(d)

=b·d

Heffen we de inverse functie links op, dan moeten we evenzeer de inverse functie rechts toepassen, dat wil zeggen de logaritme nemen van het rechterlid. Derhalve geldt a

log(b) +a log(d) =a log(b · d)

De afleiding voor het delen van logaritmes gaat volgens dezelfde methode. We krijgen dan immers volgens bovenstaande redenering ac−e en b d . De regel voor het optellen en aftrekken van logaritmes heet ook wel de hoofdeigenschap van de logaritmes.

8.3

Exponenten binnen de logaritme

Als a

log(b) = c

dan geldt ac = b dus a

log(ac ) = c

Dit kunnen we ook schrijven als a

log(ac ) = c · 1

omdat a log(a) = 1 kunnen we hiervoor schrijven a

log(ac ) = c ·a log(a)

zodat geldt c ·a log(a) =a log(ac ) In het algemeen geldt dus a

log(bc ) = c ·a log(b)

en (uiteraard) omgekeerd.

37


8.4

Vermenigvuldigen en delen

Het product a

log(b) ·a log(d)

en het quoti¨ent a a

log(b) log(d)

kunnen niet geschreven worden met behulp van a, b, en d. Als echter beide machten van de logaritmes uit te drukken zijn als ac en ae dan geldt uiteraard de volgende redenering: a

log(b) = c =a log(ac ) = c ·a log(a)

a

log(d) = e =a log(ae ) = e ·a log(a)

dus a

log(b) ·a log(d) =a log(ac ) ·a log(ae ) = c · e

Dat is uiteraard de uitkomst van a

log(ac·e ) = c · e

Vervang vermenigvuldigen door delen en het laat zich eenvoudig vertalen naar die bewerking.

8.5

Machtsverheffen en worteltrekken

Wie getallen wil verheffen tot een willekeurige macht kan dat ook doen door twee logaritmes bij elkaar op te tellen. Met een combinatie van de diverse rekenregels kunnen deze bewerkingen eenvoudig worden gevonden. Neem a log(a log(a)) +a log(b) Nu geldt volgens de eerder genoemde somregel dat a

a

log(a log(a)) +a log(b) =a log(a log(a) · b)

Dat is gelijk aan a

log(b ·a log(a)) =a log

a

log ab



Passen de we regel voor aftrekken toe dan kunnen we uiteraard een willekeurige wortel trekken en krijgen we als algemene oplossing   √  1 a log(a log(a)) −a log(b) =a log a log a b =a log a log b a

38


8.6

Relatie logaritmes met een verschillende grondtal

Tot slot kijken we nog naar de relatie tussen logaritmes met een verschillend grondtal. We stellen opnieuw dat a log(b) = c en derhalve ac = b. We nemen nu een logaritme met een ander grondtal maar met dezelfde macht b en we substitueren. d log(b) =d log(ac ) en dus d

log(b) = c ¡d log(a)

(zie paragraaf 8.3). Nu geldt d

c=

d

log(b) log(a)

Terugkerend naar a log(b) = c blijkt dus dat d a

log(b) =

d

log(b) log(a)

Deze regel wordt ook wel de overgangsformule genoemd. Blijft de vraag welk grondtal d dit logaritme heeft. Maar dat maakt niet uit. We schrijven nogmaals d a

log(b) =

d

log(b) log(a)

en ac = b. Substitutie van b levert d a

d d

log(ac ) =

d

log(ac ) log(a)

c ¡d log(a) log(ac ) = d =c log(a) log(a)

39


Hoofdstuk 9

De bijectie 9.1

Inleiding

Wiskunde kan prachtig zijn. Voor je het weet ben je uren bezig tot je iets bewezen hebt dat iemand anders 2000 jaar geleden ook al had bewezen. Wiskunde heeft ook prachtige woorden, namen en terminologie¨en. Dat is natuurlijk een kwestie van persoonlijke smaak, maar ik vind het woord bijectie (bie-jek-sie) een van de allermooiste. Het klinkt als een gruwelijke medische ingreep, maar het zou net zo goed uit de argumentatietheorie of politiek kunnen komen. Na de bijectie van de fractievoorzitter sprak de premier het machtswoord. In dat laatste kun je trouwens ook iets wiskundig vermoeden. Maar dat terzijde. Wat is een bijectie?

9.2

Gekoppelde verzamelingen en relaties

Stel, je hebt twee verzamelingen van getallen (elementen). Wat gebeurt er als in de ene verzameling een element slechts aan ´e´en element in een andere verzameling is gekoppeld? En is dat element op zijn beurt ook weer exclusief aan dat oorspronkelijke element gekoppeld? Of aan meer elementen? Het kan allemaal wat ondoorzichtig klinken, maar in de economie kun je het vaak goed gebruiken. Als prijs x tot omzet y leidt, zal omzet y dan ook altijd tot prijs x leiden? Dat is lang niet altijd het geval, en dat wil je toch graag weten. Soms gaat bij stijgende omzet de prijs omlaag. En soms gaat de omzet omhoog omdat iets erg geliefd is, maar blijft de prijs gelijk. Denk maar aan een iPhone. Hoe zit het derhalve met die relatie? Formeel omschreven: Als er een relatie is tussen x en y dan is (x, y) een element van deze relatie r en (y, x) een element van de inverse relatie rinv .

40


9.3

De functie en de inverse functie

Stel nu dat de elementen uit verzameling 2 te beschrijven zijn als functiewaarden van verzameling 1, dan heeft de waarde van x als resultaat de functiewaarde f (x). De relatie is dan een functie. Draaien we de relatie om, dan zouden we de elementen uit verzameling 1 dus kunnen beschrijven als functiewaarden van verzameling 2. De functie moet dan wel omgekeerd werken: de inverse functie. Hoe ziet de inverse functie f inv er dan uit? Als je redeneert vanuit de veronderstelling x → y dan kun je voor de inverse functie y → x aannemen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld. We schijven voor f (x) de functiewaarde y. Als y =x+3 dan is de inverse functie x = y + 3 ofwel y = x − 3 Vullen we nu bijvoorbeeld x = 3 in, dan geldt y = 6. En als we vervolgens in de inverse functie x=6 invullen, krijgen we y = 3. Dat zit wel snor. Wie tijd heeft meer in te vullen zal zien dat dit voor iedere x geldt. Elke x heeft ´e´en y en omgekeerd.

Maar is die inverse functie er altijd? Daarom een ander voorbeeld. Als y = x2 dan zou de inverse functie moeten zijn x = y 2 ofwel y 2 = x We kiezen weer eens een voorbeeld voor de functie: x = 4. Dan wordt y = 16. Nu draaien we de zaak om en vullen we in de inverse functie x = 16 in. We krijgen dan y 2 = 16. Dat betekent echter dat er twee oplossingen zijn, namelijk y = 4 en y = −4. Dit gaat niet goed. Er is geen ´e´en-op-´e´en relatie tussen de twee verzamelingen van functiewaarden.

De functie f (x) = x + 3 heeft w´el een inverse functie, namelijk f inv = x − 3, want voor elke x waarvoor geldt f (x) = x + 3 dat er ´e´en x is gekoppeld uit de functie f inv (x) = x − 3. De functie f (x) = x2 heeft geen inverse functie, omdat f (x2 ) = x twee oplossingen voor x heeft.

9.4

Bijectie

Dit leidt ons tot het woord bijectie. Een bijectie is een functie waarin ieder element vastzit aan precies ´e´en element van de andere functie en 41


omgekeerd. De functie f (x) = x + 3 is dus een bijectie, de functie f (x) = x2 niet.

Het is mogelijk dit ook grafisch te laten zien. De inverse functie verwisselt x met y. In de grafiek van de functie zal dan ook de x-as stuivertje wisselen met de y-as. De bijectie f (x) = x + 3 is te roteren zonder dat er twee y-waarden komen. De functie stijgt continu: wordt x groter, dan wordt y ook groter. De figuur illustreert dat: elke x-waarde hoort nog steeds slechts bij ´e´en y-waarde en omgekeerd (zie grafiek):

Voor f (x) = x2 geldt dat niet. Elke y-waarde heeft maar ´e´en x-waarde. Maar de inverse functie f (x2 ) = x heeft voor elke x-waarde twee ywaarden, ´e´en boven de x-as en ´e´en onder de x-as (zie rode lijn in de grafiek hieronder)

42


Heeft dat iets te betekenen? Laten we eens een ander voorbeeld nemen: de functie f (x) = sin(x). Die daalt en stijgt zelfs continu tussen -1 en 1. Als we deze functie spiegelen, van links naar rechts slingerend om de x-as naar van onder naar boven slingerend om de y-as, dan hebben talloze y-waarden dezelfde x-waarde. Een voorbeeld: x = π ∧ y = sin(x) → y = sin(π) = 0 maar x = 0 ∧ sin(y) = x → sin(y) = 0 → y = 0

(mod π)

Inderdaad is f (x) = sin(x) ook geen bijectie. De functie is voor alle getallen (het domein van de functie, in dit geval de verzameling re¨ele getallen R) soms stijgend en soms dalend. Daarom valt er een algemene conclusie te trekken uit de vraag of een functie een bijectie is of niet: als een functie stijgend op zijn domein Df is (∀x1 , x2 ∈ Df : x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )) dan is de functie een bijectie. als een functie dalend op zijn domein Df is (∀x1 , x2 ∈ Df : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )) dan is de functie een bijectie. Een bijectie is dus afhankelijk van ofwel stijging ofwel daling op een domein. Dat heeft een aardige consequentie. Wat nu als we f (x) = sin(x) beperken tot het domein [− 21 π, 21 π]? Dan loopt f (x) = sin(x) van -1 naar 1, en is de functie voor dit domein een bijectie. Zo is er alsnog vaak een inverse functie mogelijk als het domein beperkt wordt. Voor f (x) = sin(x) is dat overigens f inv (x) = arcsin(x), maar dat is een ander verhaal.

9.5

Tot slot: de oneindige praktijk

We kijken nog even naar een simpel voorbeeld van de bijectie. Dat is de functie f (x) = 2x (x ∈ N). We zijn in dit hoofdstuk er bijna als vanzelfsprekend vanuit gegaan dat x ∈ R. Nu beperken we ons domein. We zien dat deze functie voor ieder natuurlijk getal zijn tweevoud oplevert en voor ieder tweevoud zijn unieke helft, daar f inv (x) = 12 x, waarvoor uiteraard geldt dat ook 12 x ∈ N. Dit lijkt een triviale opmerking, maar wie hierover nadenkt snapt de implicaties: ieder natuurlijk getal is te koppelen aan precies ´e´en even 43


natuurlijk getal. Ook al gaat het hier om een oneindig aantal getallen, toch noemen we deze verzameling aftelbaar. We kunnen als het ware ieder getal aan de beurt laten komen, ook al zijn we eindeloos bezig. De grootte van de verzameling noemen we de kardinaliteit. De kardinaliteit van de natuurlijke getallen is dus gelijk aan die van de even getallen. Nog simpeler: er zijn evenveel gehele getallen als even getallen. 1 De bijectie maakt het mogelijk. Bijectie. Proef het op je tong. Bijectie.

1 De kardinaliteit van de natuurlijke getallen wordt aangeduid met ℵ (alef-nul). 0 Dit is de kleinste kardinaliteit in de wiskunde. De verzameling R heet alef-´ e´ en, ℵ1 , en is groter dan ℵ0 . De Duitse wiskundige Cantor bewees dit met behulp van de zogenoemde diagonaalstelling. Cantor stelde dat ieder natuurlijk getal aan een re¨ eel getal kon worden gekoppeld tussen 0 en 1. Je kreeg dan een oneindig lange rij van een aantal getallen met een oneindig aantal decimalen, ieder gekoppeld aan een natuurlijk getal. Cantor vroeg zich af: hebben we nu alle mogelijke getallen gehad? Is er een getal te vinden dat niet in deze rij staat en dus niet aan een natuurlijk getal is gekoppeld? Op een slimme manier toonde hij aan dat dit inderdaad het getal was. Neem een rij getallen en onderstreep van het eerste getal de eerste decimaal, van het tweede getal de tweede decimaal enzovoorts, tot aan ∞. Tel bij elk van deze getallen 1 op en maak van 9 een 0. Zet deze getallen achter elkaar. Hebben we dit getal al eens gehad? Nee, want het is niet het eerste getal, daar de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet het tweede getal, aangezien hier de tweede decimaal verschilt. Dit is tot in het oneindige te herhalen, en derhalve zijn er meer re¨ ele getallen tussen 0 en 1 dan er natuurlijke getallen zijn. En dat geldt natuurlijk ook voor alles buiten dit interval. De kardinaliteit ℵ1 is dus groter dan ℵ0 . Een uitgewerkt voorbeeld:

12345...

0, 0, 0, 0, 0, ...

1 5 3 1 4

2 2 6 9 9

3 4 7 3 3

4 3 2 7 8

5... 1... 8... 5... 1...

We krijgen nu het getal 0, 12771.... Hiervan maken we dus 0, 23882.... Komt dit elders in de rij voor? Het eerste getal kan het niet zijn, want de eerste decimaal verschilt. Het tweede getal kan het ook niet zijn, want de tweede decimaal verschilt. Het n-de getal? Nee, want de n-de decimaal verschilt. Misschien het n + 1e getal? Nee, want ook de n + 1e decimaal verschilt. Kortom, terwijl alle natuurlijke getallen zijn vergeven is er toch weer een nieuw getal te bedenken. En dat kan niet meer worden gekoppeld aan een natuurlijk getal, want die waren ’op’. Conclusie: de kardinaliteit van de verzameling R is groter dan de kardinaliteit van de verzameling N en voor de verzamelingen geldt |R| > |N|.

44


Hoofdstuk 10

Rijen en Reeksen 10.1

Inleiding

Wie getallen op een rij zet, heeft nog geen rij. Wiskundig gezien, wel te verstaan. Een willekeurige rij van willekeurige getallen, rijp en groen, vormt misschien in het spraakgebruik een rij, maar niet in de wiskunde. Voor de wiskunde moet er een samenhang bestaan tussen de opeenvolgende getallen. We bespreken in dit hoofdstuk kort een aantal soorten rijen, en kijken of we de elementen bij elkaar kunnen optellen, zowel als het om een eindige rij getallen gaat als om een oneindige rij.

10.2

Rijen, parti¨ ele sommen en reeksen

10.2.1

De rij

Een al dan niet oneindige reeks opeenvolgende getallen die een onderlinge, rekenkundige samenhang vertonen noemen we een rij. Het begrip ’rij’ en ’reeks’ wordt nogal eens door elkaar gehaald of anders gebruikt in andere tijden. Hier gebruiken we de term rij voor de kommagescheiden opeenvolging van getallen zonder operator. Voorbeelden zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... ofwel een rij van natuurlijke getallen, waarbij ieder volgend element ontstaat door bij het vorige element 1 op te tellen, en 2, 8, 16, 32, 64, 128, ... ofwel de rij van tweede machten, namelijk 21 , 22 , 23 enzovoort.

10.2.2

De parti¨ ele som

Wie de elementen van een rij wil optellen heeft twee mogelijkheden: de rij is oneindig lang of de rij heeft een eindig aantal elementen. In het 45


laatste geval heeft de rij n elementen en houdt dus ergens op. De som is dus ook eindig. Deze som wordt de parti¨ele som genoemd. Een voorbeeld is de som van de eerste 6 natuurlijke getallen. Die som is uiteraard te schrijven als 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Nu is het uitschrijven van deze som goed te behappen. Maar wat als er zeer veel termen zijn? De wiskunde hanteert hiervoor de verkorting met behulp van het somteken, de Griekse hoofdletter sigma. Onder het somteken staat de ondergrens, die in discrete stappen (gehele getallen) groter wordt, en boven het somteken staat de bovengrens van het aantal termen. b X a=n

Achter het somteken staat de algemene omschrijving van de parti¨ele som; de functie beschrijft hoe het ene getal overgaat in het volgende getal. Een voorbeeld is 5 X n2 = 55 n=1

Hier zien we de eerste vijf kwadraten van de natuurlijke getallen bij elkaar opgeteld staan: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

10.2.3

De reeks

De reeks is een somrij die oneindig lang is. Anders gezegd: de bovengrens van de optelling is oneindig. In dit geval komt boven het somteken het zogenoemde Lemniscaat of oneindigheidsteken ∞ te staan: ∞ X

n2

n=1

Willen we hiervan een antwoord bepalen, dan zullen we de limiet moeten berekenen. De reeks ziet er dan zo uit: lim

N X

n→∞

10.3

n2

n=1

Convergentie en divergentie

Convergentie en divergentie zijn termen die vooral van belang zijn bij reeksen. Dit zijn namelijk oneindig veel getallen die bij elkaar worden opgeteld. Op het eerste gezicht zou men denken dat het optellen van een oneindig aantal elementen ook altijd leidt tot een oneindig (groot of klein) antwoord. Dat is echter niet het geval. 46


Er zijn reeksen die per term zodanig kleiner worden dat ze nooit een bepaalde waarde zullen overschrijden. Een eenvoudig voorbeeld daarvan is de reeks n X 1 lim n→∞ 2n n=1 Dit is gelijk aan 1 2

+

1 4

+

1 8

+

1 16

+ ...

Wie dit uitrekent ziet dat de parti¨ele sommen zich als volgt ontwikkelen: 1 3 7 15 31 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ....

Het is duidelijk dat de parti¨ele som steeds dichter bij 1 komt, maar er nooit overheen gaat. Andere reeksen worden echter wel continu groter. Denk aan de volgende reeks: n X n lim n→∞

n=1

Uitgeschreven blijkt dit de som van alle natuurlijke getallen te zijn: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ....

Reeksen die naar een bepaalde limietwaarde toe bewegen worden convergerende reeksen genoemd; reeksen die steeds groter (positief of negatief) worden, heten divergerende reeksen. Laten we nu kijken naar de diverse soorten rijen en reeksen.

10.4

Rekenkundige rijen en reeksen

De rekenkundige rij is opgebouwd uit getallen (of termen) die een eenvoudig patroon volgen. De eerstvolgende term is de vorige term vermeerderd met een vaste hoeveelheid. Het verschil tussen de termen is dus constant. Een simpel voorbeeld van een rekenkundige rij is de serie even getallen 2, 4, 6, 8. Bij elk getal wordt 2 opgeteld, waarna het volgende getal in de rij 2 groter is. Het algemene formaat voor de parti¨ele som van een rekenkundige rij met t termen is daarmee te , (te + v), (te + 2v), ...., (tl − 2v), (tl − v), tl waarbij te het eerste getal is, tl het laatste getal en v de vaste hoeveelheid die bij elke term wordt opgeteld.

47


Het is dan mogelijk de parti¨ele som van de rekenkundige rij met een n aantal termen uit te schrijven volgens de formule: Sn = te + (te + v) + (te + 2v) + .... + (tl − 2v) + (tl − v) + tl We kunnen de n termen van twee identieke sommen bij elkaar optellen. We draaien de tweede rij dan wel om. Dat mag, want gezien de commutatieve eigenschap geldt (a + b) = (b + a) Laten we eens zien hoe die optelling er uit ziet. Sn = −Sn = 2Sn =

te tl (te + tl )

+ (te + v) + (tl − v) + (te + tl )

+ (te + 2v) + (tl − 2v) + (te + tl )

+ ... + ... + ...

+ (tl − v) + (te + v) + (te + tl )

+ tl + te + (te + tl )

We zien onmiddellijk dat door het wegvallen van de toegevoegde term v er n keer de som (te + tl ) overblijft, ofwel 2Sn = n(te + tl ) en dus kan de parti¨ele som worden geschreven als n(te + tl ) 2 Omdat er ofwel een constante toename of afname is in de rekenkundige rij, zal de som met een oneindig aantal getallen (de reeks) oneindig groeien in positieve of negatieve richting. De reeks kunnen we schrijven als X n(te + tl ) lim n→∞ 2 De oplossing van de reeks gaat niet naar een bepaalde waarde toe. Het is dus een divergerende rij. Sn =

10.5

Meetkundige rijen en reeksen

In hoofdstuk 23 over Zeno, Achilles en de schildpad komt de meetkundige rij nogmaals voorbij, maar hier nu alvast de uitleg. Een rekenkundige rij bestaat uit n termen waarvoor geldt dat de eerstvolgende term een vast product is van de voorgaande term. Hoe ziet dat eruit? Als voorbeeld kunnen we de rij 1, 3, 9, 27, 81 nemen, waarbij iedere term met 3 1 1 vermenigvuldigd wordt. Of de rij 12 , 41 , 18 , 16 , 32 , waarbij elke term met 1 wordt vermenigvuldigd. 2 Kunnen we dit soort rijen met n termen ook eenvoudig optellen? Daartoe moeten we eerst weten hoe we de parti¨ele som van een meetkundige rij in algemene termen kunnen schrijven. De eerste term noemen we a. De vermenigvuldigingsfactor noemen we r. Deze letter staat ook wel voor de reden van de rij. Nu schrijven we de bijbehorende parti¨ele som als Sn = a + ar + ar · r + ar · r · r + ar · r · r · r.... 48


Dat kan eenvoudiger. Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn−1 Waarom n − 1? Omdat de som n termen heeft maar de eerste term a niet met r wordt vermenigvuldigd; derhalve worden n − 1 termen vermenigvuldigd met een macht van de reden r. Wat is hier de som van? We herhalen de truc van de rekenkundige rij, maar dan met een kleine aanpassing. We vermenigvuldigen de tweede instantie met r om (opnieuw) de eerste en laatste term te isoleren, maar we trekken de parti¨ele sommen nu van elkaar af. Sn = −r · Sn = Sn − r · Sn =

a

+ ar2 + ar2

+ ar ar

+ ar3 + ar3

+ ... + ...

+ arn−1 + arn−1

a

+arn −arn

Snel zijn we tot een overzichtelijke formule gekomen: Sn − r · Sn = a − arn Vereenvoudigd geeft dat Sn (1 − r) = a − arn We willen graag wat weten over Sn . We zullen daarom 1 − r uit moeten delen. Dat gaat uiteraard gepaard met een restrictie: r 6= 1 omdat we niet door nul mogen delen (zie daarvoor hoofdstuk 22 op pagina 143, want we hebben aan alles gedacht). Nu volgt, met restrictie Sn =

a − arn (als r 6= 1) 1−r

Het is duidelijk als n → ∞ dat er sprake is van een meetkundige reeks.

10.6

Harmonische en hyperharmonische rijen en reeksen

De harmonische rij ziet er als volgt uit: 1, 12 , 13 , 41 , 15 , 16 , ... n1 De parti¨ele som van n elementen is te berekenen met n X 1 n n=1

De bijbehorende harmonische reeks kan dus worden geschreven als ∞ X 1 n n=1

49


De harmonische reeks dankt zijn naam aan de verhoudingen tussen grondtonen en boventonen in de muziek, en specifiek de verschillen in snaarlengten. Wat betreft de ontwikkeling van de reeks kunnen we vaststellen dat deze divergeert. Dat valt eenvoudig te bewijzen met de parti¨ele sommen van de reeks. Immers ∞ X 1 =1+ n n=1

+

1 5

+ 16 , ...

+ ( 13 + 14 ) + ( 15 +

1 6

+

1 2

+

1 3

+

1 4

Dit valt te schrijven als ∞ X 1 =1+ n n=1

ofwel

∞ X 1 =1+ n n=1

1 2

1 2

+

7 12

+

1066 1680 ...

=1+

1 2

1 7

+

+ 81 ) + ...

980 1680

+

1066 1680

Elk van de parti¨ele sommen is groter dan de voorgaande parti¨ele som. De reeks gaat dus langzaam naar oneindig en divergeert derhalve. De hyperharmonische rij is 1,

1 1 1 1 1 1 , , , , , .... p 1p 2p 3p 4p 5p n

Hierbij is p ∈ R. De parti¨ele som is te schrijven als n X 1 p n n=1

en de bijbehorende hyperharmonische reeks is daarom ∞ X 1 p n n=1

Willen we weten of deze reeks convergeert of divergeert, dan moeten we onderscheid maken tussen de waarde van p. Als p = 1 dan hebben we natuurlijk gewoon een harmonische reeks. Maar als p < 1 dan wordt de noemer van de breuk steeds groter en hebben we een divergerende reeks. Als p > 1 dan wordt de noemer van de breuk steeds groter, zijn elk van de parti¨ele sommen kleiner dan de voorgaande parti¨ele som en convergeert de reeks. Een voorbeeld van een hyperharmonische reeks is de beroemde reeks ∞ X n=1

n−2 = 1 +

1 1 1 1 + + + + .... 4 9 16 25

50


De wiskundige Leonard Euler uit Basel, bekend van het getal e, heeft in de achttiende eeuw voor het eerst deze som uitgerekend. Het staat bekend als het Basel-probleem, daar de wiskundefamilie Bernouilli, eveneens uit Basel, er zich zonder succes mee bezig had gehouden. Euler toonde aan dat N X π2 n−2 = lim n→∞ 6 n=1

10.7

Tot slot: andere types rijen en reeksen

Er zijn nog veel meer soorten rijen en reeksen. Het merendeel daarvan is een voortzetting van de bovenstaande rijen en reeksen. Veel van deze reeksen beschrijven specifiek gedrag van getallen, bijvoorbeeld van priemgetallen. Zo zijn er machtreeksen, Taylorreeksen, MacLaurinreeksen, binomiaalreeksen (zie het hoofdstuk over de binomiaalstelling, hoofdstuk 20), Dirichletreeksen, Fourierreeksen, Fibonaccireeksen en nog veel meer. Alternerende reeksen zijn reeksen die wisselen van een positieve term naar een negatieve term. Ook deze zijn vaak te herleiden tot een andere grondvorm. In dit hoofdstuk hebben we ons alleen bezig gehouden met P somreeksen. Deze worden gekenmerkt door de Griekse hoofdletter . Uiteraard kunnen reeksen ook uit producten bestaan. In analogie wordt voor een productreeks (een rij getallen die met elkaar worden vermenigvuldigd) Q de Griekse hoofdletter gebruikt.Een product kan er bijvoorbeeld zo uitzien: 5 Y (2n + 2) = 23040 n=1

hetgeen uitgeschreven eruit ziet als 4 · 6 · 8 · 10 · 12 = 23040 We besteden verder geen aparte aandacht aan productreeksen. Bij het analyseren van reeksen lijkt het op het eerste gezicht om de som, het product of de limietwaarde te gaan, maar vaak is de analyse van de reeksontwikkeling nog belangrijker. Het gedrag van een reeks kan wiskundigen veel vertellen over het karakter van de getallen die er in voorkomen. Denk daarbij bijvoorbeeld aan de relatie met priemgetallen.

51


Hoofdstuk 11

Differenti¨ eren 11.1

Inleiding

Differenti¨eren is een belangrijk onderdeel van de infinitesimaalrekening, de discipline binnen de wiskunde die zich bezig houdt met infinitesimalen. Een infinitesimaal is een construct dat kleiner is dat elk re¨eel getal maar toch groter dan nul. Wie wil differenti¨eren zal eerst moeten weten wat een afgeleide is.

11.2

Uitgangspunten

Kijken we naar figuur hieronder.

In deze figuur zien we een deel van de curve van een willekeurige, continue functie f , laten we zeggen: de snelheid van een auto gedurende een bepaalde tijd. Op de x-as bevinden zich twee tijdstippen, de punten, a en x. De bijbehorende functiewaarden zijn natuurlijk f (a) en f (x), die zich op de y-as bevinden. Nu willen we antwoord op de vraag: wat 52


was de gemiddelde toename van de snelheid van de auto tussen tijdstip a en tijdstip x? We weten dat de auto op tijdstip a een snelheid had van f (a) en op tijdstip x een snelheid van f (x). Willen we nu de stijging van de functiewaarde van punt a ten opzichte van de functiewaarde van punt x meten, dan trekken we een rechte lijn tussen de twee functiewaarden. De gemiddelde versnelling kan nu eenvoudig worden berekend door het verschil in snelheid tussen f (x) en f (a) te delen door het tijdsverschil tussen x en a. Niet verrassend is dit tevens de tan(h); immers, dit is de verhouding tussen de overliggende en de aanliggende zijde van de door deze constructie ontstane driehoek. We schrijven de gemiddelde versnelling tussen tijdstip a en x dus als: f (x) − f (a) x−a We stuiten hier natuurlijk op een praktisch probleem. Wat als de afstand erg lang is geweest, bijvoorbeeld de afstand tussen Groningen en Maastricht? Heel veel snelheidswisselingen op dat traject kunnen het begrip ’gemiddelde versnelling’ tot een loze kreet maken. Hoe kleiner het interval, hoe zinniger (en nuttiger) de uitspraak die we kunnen doen over de gemiddelde versnelling. Laten we daarom nog een stap verder gaan. Het zou pas echt interessant zijn als we x zeer dicht bij a zouden kunnen brengen. Sterker nog, als we x nu a infinitesimaal dicht zouden laten naderen, dan kunnen we zelfs de versnelling op tijdstip a zelf berekenen. Hoe ziet dat eruit? De driehoek zou steeds kleiner worden; de versnelling in de buurt van het punt a zou steeds nauwkeuriger berekend worden. Kortom: wat als we a vanuit x arbitrair dicht benaderen? Dat betreft natuurlijk een limiet, namelijk limx→a van de tan(x). Indien deze limiet berekend wordt is het punt a infinitesimaal dicht genaderd vanuit x. Dan is er sprake van de versnelling van de auto in het punt a.

11.3

De differentiaal

Precies geformuleerd: wie deze limiet berekent een oneindig kleine toename in punt a, een differentie, vandaar het woord differentiaal . Algemeen: de differentiaal is de verandering (een toename, een afname of zelfs verandering 0) van een functiewaarde die oneindig klein wordt. We schrijven die oneindig kleine verandering als dx.

53


11.4

Definitie differenti¨ eren

We noemen de bovengenoemde limiet de afgeleide waarde in een punt. De afgeleide functie voor elk willekeurig punt a is dus als volgt te defini¨eren: f (x) − f (a) f 0 (a) = lim x→a x−a Soms is het handiger om het verschil tussen x en a uit te drukken als de ∆x (’Delta x’) of als een andere willekeurige letter, bijvoorbeeld h, waardoor de vergelijking er in vorm als volgt uit ziet: f (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x) ∆x→0 ∆x lim

of

f (x + h) − f (x) = f 0 (x) h→0 h De afgeleide is dus de verandering van de functiewaarde van een punt. Een functie heeft alleen een afgeleide als de functie continu is. Dat wil zeggen dat als de punten x en a dicht bij elkaar liggen of naar elkaar toe gaan ook de functiewaarden f (x) en f (a) dicht bij elkaar liggen en naar elkaar toegaan. lim

Samenvattend: Hebben we een functie x → f (x) dan geeft de afgeleide waarde f 0 (x) de verandering (stijging of daling) weer van de functie in f (x). Dat betekent dat f 0 (x) de richtingsco¨effici¨ent is van de raaklijn in punt (x, f (x)). Bestaat de afgeleide voor alle domeinelementen van de functie dan is de functie differentieerbaar op zijn domein. Simpelweg: de functie x → f (x) is differentieerbaar.

11.5

De afgeleide functie

Dit is uiteraard een heel bijzonder stuk gereedschap. Immers: een punt is nuldimensionaal. Hoe moet je daar nu een raaklijn van bepalen? Differenti¨eren maakt het mogelijk door de afgeleide functie te vinden. In principe is iedere afgeleide functie te vinden door de bovenstaande definitie van de afgeleide functie te hanteren. Soms moeten we bij het berekenen van een afgeleide functie een kleine omweg bewandelen, door reeds bekende afgeleide functies te gebruiken bij het berekenen van andere afgeleide functies. We zullen deze methodes gebruiken voor het berekenen van een aantal belangrijke afgeleide functies, zoals ln(x), ex , maar ook van het generieke a log(x). Een apart hoofdstuk zullen we wijden aan de afgeleiden de goniometrische functies sin(x), cos(x) en tan(x). (Zie hoofdstuk 14)

54


Ook zullen we kijken naar enkele praktische toepassingen in hoofdstuk 17. Tot slot zullen we een apart hoofdstuk wijden aan een handige regel waarbij differenti¨eren als hulpmiddel wordt toegepast: de regel van l’Hopital (zie hoofdstuk 18).

11.6

Differenti¨ eren in de praktijk

Een functie kunnen we op een aantal manieren aanpakken om de afgeleide functie te vinden. De enkelvoudige functie kunnen we in principe aanpakken met de formule van de definitie. Veel functies zijn echter niet enkelvoudig, maar samengesteld. Ook kunnen functies met elkaar vermenigvuldigd of op elkaar gedeeld worden. In dit hoofdstuk zullen we ons daarom verder bezighouden met deze functies en hun toepassing bij het berekenen van de afgeleiden van een aantal veelgebruikte functies. Daar kunnen we enkele hulpmiddelen goed bij gebruiken: uiteraard allereerst de definitie; vervolgens de kettingregel, de productregel en de quoti¨entregel. Tot slot laten we de definitie in zijn eigen staart bijten door een bekende afgeleide te gebruiken als de methodes hierboven niet helpen.

11.6.1

Toepassing van de definitie

De natuurlijke logaritme ln(x) In de wiskunde wordt meestal de natuurlijke logaritme gebruikt. Deze wordt dan ook vaak simpelweg geschreven als log(x). Maar voor de duidelijkheid hanteren we hier de schrijfwijze ln(x) (van logaritmus naturalis). Uiteraard is e het grondtal van de natuurlijke logaritme: e log(x) = ln(x). Definitie van het getal e Het ontstaan van het getal e gaat niet terug op wiskunde, maar op geld. In de 17e eeuw bestudeerde Jacob Bernouilli samengestelde rentes (renteop-rente). Wat gebeurde er met het eindbedrag als niet eenmaal per jaar rente werd uitgekeerd over het ingelegde bedrag, maar tweemaal per jaar de helft van de rente? En wat gebeurt er als dit interval verder wordt verkleind tot een maand, een week, een dag? Bernouilli ontdekte dat de hoogte van het eindbedrag steeds minder hard toenam en een limiet benaderde. Deze limiet is wat het getal e is gaan heten. De definitie is daarom ook uit de probleemstelling van Bernouilli af te leiden, namelijk e = lim

n→∞



1+

1 n ≈ 2, 7182818284.... n

55


De afgeleide van de natuurlijke logaritme ln(x) Om de afgeleide van ln(x) te bepalen hanteren we de definitie van de afgeleide en substitueren hier ln(x) voor f (x): f 0 (a) = lim

x→a

ln(x) − ln(a) x−a

Volgens de rekenregels van de logaritmes kunnen we deze definitie als volgt herschrijven:  ln xa f 0 (a) = lim x→a x − a Omdat we weinig met een samengestelde noemer kunnen, trachten we deze elders een plaats te geven. Delen door x − a is gelijk aan vermenig1 vuldigen met x−a , waardoor geldt: x 1 · ln x→a x − a a

f 0 (a) = lim

Met de rekenregels van logaritmes opnieuw in de hand volg hieruit: 1  x  x−a f 0 (a) = lim ln x→a a

Het geheel is al een stuk handzamer geworden, maar we blijven zitten 1 met de noemer van de breuk x−a waarmee we weinig kunnen uitrichten. Daarom substitueren we p voor x − a. Laten we daarvan de gevolgen op een rijtje zetten. x−a=p⇔x=a+p en x → a dan geldt p → 0 Nu substitueren we opnieuw:  1 a+p p lim ln p→0 a dat we vereenvoudigen tot  p  p1 lim ln 1 + p→0 a Deze uitkomst doet met een blik op de exponent van de logaritme vermoeden dat we in de richting van de definitie van e moeten zoeken. Immers, ln(e) = 1. Hoe komen we daar? Laten we opnieuw substitutie toepassen. Nu vervangen we ap direct door n1 . En laten we ook opnieuw kijken wat hiervan de consequenties zijn. p 1 a 1 n = ⇔p·n=a⇔p= ⇔ = a n n p a 56


en p → 0 dan geldt n → ∞ Dit zijn goede consequenties:  n 1 a lim ln 1 + n→∞ n dat we kunnen schrijven als  n· a1 1 lim ln 1 + n→∞ n We halen, met het oog op de rekenregels voor logaritmes, de exponent a1 buiten de logaritme en zelfs buiten de limiet, daar a onafhankelijk is van n. Ook halen we de logaritme uit de limiet: de limiet van de logaritme is hetzelfde als de logaritme van de limiet:   1 n 1 · ln lim (1 + ) n→∞ a n Hiermee verschijnt de definitie van e en kunnen we dus concluderen dat 1 1 1 · ln(e) = · 1 = a a a

f 0 (a) = Hieruit volgt derhalve dat als

f (x) = ln(x) dan is f 0 (x) =

1 x

Vereenvoudigde berekening De bewijsvoering kan zelfs nog iets eenvoudiger als we een alternatieve definitie van een afgeleide gebruiken (zie paragraaf 11.4 op pagina 54, waarbij we hier voor ∆x = h substitueren): f 0 (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

We hoeven nu slechts eenmaal te substitueren. De korte versie: ln(x + h) − ln(x) h→0 h

f 0 (x) = lim

We komen nu na de eerste paar stappen (die gemakkelijk zelf te reproduceren zijn) uit op  ln 1 + hx 0 f (x) = lim h→0 h 57


  1 h f (x) = lim · ln 1 + h→0 h x   h1 h f 0 (x) = lim ln 1 + h→0 x 0

We gaan nu hx direct vervangen door n1 . Denk erom: als h → 0 dan geldt n → ∞. En als hx = n1 volgt logischerwijs dat h1 = nx ofwel n · x1 . Dit leidt ons tot  n· x1 1 0 f (x) = lim ln 1 + n→∞ n Hiermee openbaart zich de definitie van het getal e in ´e´en keer. We halen de exponent x1 weer buiten de logaritme en buiten de limiet, evenals de logaritme:   1 1 n 0 f (x) = · ln lim (1 + ) n→∞ x n Zo zijn we weer uitgekomen op de handzame definitie van e en zien we dat de oplossing gelijk is aan f 0 (x) =

1 1 1 · ln(e) = · 1 = x x x

Kortom, een hele geruststelling dat ln(x) zijn gedrag niet heeft veranderd met een lichtelijk aangepaste vorm van de definitie van een afgeleide. Wiskunde houdt niet van verrassingen.

11.6.2

De kettingregel

De samengestelde functie Wie van een waarde de functiewaarde x van functie f bepaalt, en daarna van de verkregen functiewaarde f (x) de functiewaarde van functie g bepaalt, werkt met een samengestelde functie. Uiteraard kan een groot aantal functies na elkaar worden uitgevoerd, maar hier houden we het op twee functies. Hoe ziet dit eruit? De functie g moet worden toegepast na toepassing van functie f . Vandaar de aanduiding ’g na f ’, geschreven als (g ◦ f )(x). Dit wordt ook geschreven als g(f (x)). Derhalve: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) Men zou het ook als volgt wat beeldend kunnen omschrijven: er is een functie ’ingebed’ (f (x)) in de ’omvattende’ functie (g(x)), waarbij de x-waarde hier staat voor de waarde f (x). De samengestelde functie noemen we hierna φ(x), (’phi x’). Een voorbeeld is de functie  φ(x) = sin x2 58


Deze functie bevat een ingesloten functie f (x) = x2 en een omvattende functie g(x) = sin(x) waarbij deze laatste x staat voor de x2 in de originele functie. Als we beide functies differenti¨eren, verkrijgen we de twee afgeleide functies, namelijk f 0 (x) = 2x en g 0 (x) = cos(x) waarbij x staat voor x2 . Derhalve is de afgeleide functie g 0 (x) = cos x2 . Hoe nu deze twee functies te combineren? Intu¨ıtief lijkt het of we de twee functies met elkaar moeten vermenigvuldigen, waarbij de afgeleide van de samengestelde functie het product φ0 (x) = 2x cos x2 wordt. Dat zou betekenen dat we uitkomen op de regel: φ(x) = g(f (x)) φ0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) Uiteraard is dat het geval, maar hoe kunnen we dit bewijzen? Laten we daartoe terugkeren naar de definitie van de afgeleide. Afleiding van de kettingregel In principe is van iedere continue functie de afgeleide te berekenen via de definitie van de afgeleide. Zo ook de afgeleide van een samengestelde functie. Hoe ziet die afgeleide eruit? De definitie luidde: f (x) − f (a) = f 0 (a) x→a x−a Invullen in de definitie levert het volgende op: lim

g(f (x)) − g(f (a)) = φ0 (a) x−a Er is een aantal problemen met deze vergelijking. Willen we de afgeleide van g(f (x)) bepalen, dan zal niet x naar a moeten toe bewegen, maar f (x) naar f (a). Daarom zal het verschil in de noemer dus ook het verschil tussen f (x) en f (a) moeten zijn. Er dient dus te staan: lim

x→a

lim f (x)→f (a)

g(f (x)) − g(f (a)) = φ0 (a) f (x) − f (a)

Laten we ´e´en probleem per keer aanpakken. Hoe krijgen we f (x) − f (a) in de noemer van de tweede breuk op deze pagina? Een idee dat opkomt is de noemer van die breuk daarmee te vermenigvuldigen en dan noemers uit te wisselen. Dat mag echter niet zomaar. Wat wel mag is zowel de teller als de noemer met f (x) − f (a) te vermenigvuldigen. Dat is namelijk gelijk aan 1, zolang deze breuk hierdoor maar geen 0 in teller en noemer krijgt. Dat is niet het geval, want f (x) − f (a) nadert naar 0, maar wordt het niet. Daarom vermenigvuldigen we het geheel met 1 in deze toegestane vorm: f (x) − f (a) f (x) − f (a) 59


Er resulteert dan: lim

x→a

g(f (x)) − g(f (a)) f (x) − f (a) · = φ0 (a) x−a f (x) − f (a)

Als we nu de noemers van deze breuk verwisselen blijft de uitkomst van de vermenigvuldiging gelijk en ontstaat: lim

x→a

g(f (x)) − g(f (a)) f (x) − f (a) · = φ0 (a) f (x) − f (a) x−a

Tot onze verbazing zien we, als we de limiet splitsen, geheel rechts de afgeleide van de functie f staan. lim

x→a

g(f (x)) − g(f (a)) f (x) − f (a) · lim = φ0 (a) x→a f (x) − f (a) x−a

Er staat dus: lim

x→a

g(f (x)) − g(f (a)) 0 · f (a) = φ0 (a) f (x) − f (a)

Wat blijft er nu over aan de linkerkant? Dit is bijna de definitie van de afgeleide van g(f (x)) maar de limietelementen x en a lijken nog steeds in de weg te zitten. Dit is echter niet het geval. Immers, in de eerste paragraaf van 2 is gesteld dat: Een functie heeft alleen een afgeleide als de functie continu is. Dat wil zeggen dat als de punten x en a dicht bij elkaar liggen of naar elkaar toe gaan ook de functiewaarden f (x) en f (a) dicht bij elkaar liggen en naar elkaar toegaan. Daaruit volgt dat als geldt x → a dat ook geldt f (x) → f (a) daar de functie per definitie continu is. Daarmee is de vergelijking in zijn geheel te herschrijven als: lim f (x)→f (a)

g(f (x)) − g(f (a)) 0 · f (a) = φ0 (a) f (x) − f (a)

hetgeen gelijk is aan: g 0 (f (a)) · f 0 (a) = φ0 (a) waarmee de kettingregel is bewezen. Voorbeelden: toepassing van de kettingregel Met de kettingregel φ0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) is makkelijk te werken indien men de volgende regels toepast. • Begin met de samengestelde functie φ(x) = g(f (x));

60


• deel φ(x) op in de ingesloten functie f (x) en de omvattende functie g(f (x)); vereenvoudig daarbij de omvattende functie en substitueer, bijvoorbeeld door u,waarbij u = f (x). Voorbeeld: schrijf ln x2 als ln(u) maar onthoudt dat hier de u 2 staat voor x2 ; schrijf cos(u) voor cos(x + 3) maar onthoudt dat 2 hier de u staat voor (x + 3) ; • schrijf nu onder elkaar: φ(x) = g(f (x)) f (x) = f (x) g(u) = g(u) • Schrijf hier nu onder de deelafgeleiden f 0 (x) = f 0 (x) g 0 (u) = g 0 (u) ⇒ (u = f (x)) • vermenigvuldig nu de twee volledig afgeleide functies met elkaar na substitutie van u door f (x); het resultaat van dit product is de afgeleide van de samengestelde functie φ(x). Enkele voorbeelden om deze regels te illustreren. Voorbeeld 1: φ(x) = cos(x + 3)

2

(Hoe de afgeleiden van de goniometrische functies te bewijzen, zie 14.2.4, vanaf p.83) 2

• de functie is: φ(x) = cos(x + 3) ; • deel op: f (x) = (x + 3)2 en g(u) = cos(u) waarbij u staat voor (x + 3)2 • we schrijven nu op: φ(x) = cos(x + 3)

2

f (x) = (x + 3)2 g(u) = cos(u)(⇒ u = (x + 3)2 ) • bereken de deelafgeleiden: f 0 (x) = 2x + 6 g 0 (u) = − sin(u)(⇒ u = (x + 3)2 ) en substitueer, dus: g 0 (x) = − sin(x + 3) 61

2


• vermenigvuldig de twee complete deelafgeleiden: f 0 (x) · g 0 (x) = (2x + 6) · − sin(x + 3)

2

• het resultaat is de afgeleide van φ(x) ofwel van g(f (x)): φ0 (x) = −(2x + 6) sin(x + 3)

2

Voorbeeld 2: φ(x) = ln(ex ) Dat is niet moeilijk1 want ln(ex ) = x en de afgeleide van x = 1. We passen echter toch de kettingregel toe, waarbij verondersteld wordt dat bekend is (en zo niet, zie 11.6.4, p.66) dat de afgeleide van ln(x) = x1 en ex zichzelf als afgeleide heeft: • de functie is: φ(x) = ln(ex ); • deel op: f (x) = ex en g(u) = ln(u) waarbij u staat voor ex • we schrijven nu op: φ(x) = ln(ex ) f (x) = ex g(u) = ln(u)(⇒ u = ex ) • bereken de deelafgeleiden: f 0 (x) = ex g 0 (u) =

1 (⇒ u = ex ) u

en substitueer, dus: g 0 (x) =

1 ex

• vermenigvuldig de twee complete deelafgeleiden: f 0 (x) · g 0 (x) = ex ·

1 ex = x =1 x e e

• het resultaat is de afgeleide van φ(x) = x ofwel van g(f (x)) = ln(ex ): φ0 (x) = 1 hetgeen we reeds boven vastgesteld hadden. 1 Zie hoofdstuk 8 ln(ex ) = x. We weten ln(ex ) =e log(ex ). Stel e log(x) = y dan geldt volgens de definitie ey = x. We substitueren en we zien e log(ey ) = y ofwel ln(ey ) = y.

62


Voorbeeld 3: φ(x) = ax x

We herschrijven dit tot f (x) = eln(a ) . De regels van logaritmes toegepast kunnen we dit ook schrijven als f (x) = ex·ln(a) en is nog steeds gelijk aan ax . Nu kunnen we hier de kettingregel op loslaten: • de functie is: φ(x) = ex·ln(a) ; • deel op: f (x) = x · ln(a) en g(u) = eu waarbij de laatste u staat voor x · ln(a) • we schrijven nu op: φ(x) = ex·ln(a) f (x) = x · ln(a) g(u) = eu (⇒ u = x · ln(a)) • bereken de deelafgeleiden: f 0 (x) = ln(a) (want we differenti¨eren naar x, dus de constante blijft over) g 0 (u) = eu (⇒ u = x · ln(a)) en substitueer, dus: g 0 (x) = ex·ln(a) = eln(a

x

)

= ax

• vermenigvuldig de twee complete deelafgeleiden: f 0 (x) · g 0 (x) = ln(a) · ax • het resultaat is de afgeleide van φ(x) = ax ofwel van g(f (x)) = ax : φ0 (x) = ax · ln(a) Ter controle: als a=e dan is de afgeleide ex · ln(e) = ex · 1 = ex . *** Wie deze stappen consequent toepast en een groot aantal voorbeelden zelf uitwerkt zal nooit meer een probleem met de toepassing van de kettingregel hebben. Met enige oefening zijn de meeste bovenstaande stappen al snel niet meer nodig.

11.6.3

De product- en quoti¨ entregel

Er zijn nog meer combinaties van functies mogelijk die niet eenvoudigweg te differenti¨eren zijn. Wat gebeurt er als twee functies die met elkaar vermenigvuldigd worden gedifferentieerd worden? Volgt daaruit simpel de afgeleide van de ene functie maal de afgeleide van de andere? En wat gebeurt er met twee functies die op elkaar gedeeld worden? 63


De productregel Laten we een voorbeeld van twee functies nemen: φ(x) = sin(x) · cos(x) We lopen even vooruit op hoofdstuk 14. Daar zullen we aantonen dat als f (x) = sin(x) dat f 0 (x) = cos(x) en als f (x) = cos(x) dat f 0 (x) = − sin(x). Is de afgeleide nu simpelweg cos(x) · − sin(x)? Laten we dit controleren door het product van twee functies f (x) en g(x) te voeden in de inmiddels welbekende definitie van de afgeleide functie. Allereerst defini¨eren we de algemene functie. φ(x) = f (x) · g(x) Substitutie levert het volgende op: φ0 (a) = lim

x→a

f (x) · g(x) − f (a) · g(a) x−a

Hier komen we niet veel verder mee. We drukken de factoren liever uit in termen die zijn te herleiden tot de afgeleide van beide functies. In het linker lid van de teller missen we f (a) en in het rechter lid g(x). Kunnen we deze op enigerlei manier toevoegen? We zouden kunnen proberen zoveel toe te voegen aan de teller dat deze in waarde gelijk blijft, bijvoorbeeld door er iets bij op te tellen en er hetzelfde weer van af te trekken. Laten we dit uitproberen met −f (a) · g(x) en +f (a) · g(x): φ0 (a) = lim

x→a

f (x) · g(x) − f (a) · g(a) − f (a) · g(x) + f (a) · g(a) x−a

Deze termen herschikken we: φ0 (a) = lim

x→a

f (x) · g(x) − f (a) · g(x) + f (a) · g(x) − f (a) · g(a) x−a

Deze breuk kunnen we splitsen: φ0 (a) = lim

x→a

f (x) · g(x) − f (a) · g(x) f (a) · g(x) − f (a) · g(a) + x−a x−a

We halen het een en ander buiten haakjes φ0 (a) = lim g(x) · x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + f (a) x−a x−a

We berekenen nu de limiet: φ0 (a) = g(a) · f 0 (a) + f (a) · g 0 (a) iets handzamer, met weer algemeen geldend de x gesubstitueerd voor a: φ0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) 64


De afgeleide van de functie φ(x) = sin(x) cos(x) is dus volgens de productregel: φ0 (x) = cos(x) · cos(x) + sin(x) · − sin(x) φ0 (x) = cos2 (x) − sin2 (x) De quoti¨ entregel De quoti¨entregel kunnen we eenvoudig afleiden uit de productregel. Immers, als f (x) φ(x) = g(x) dan is φ(x) · g(x) = f (x) en dit kunnen we met de productregel oplossen want: f 0 (x) = φ0 (x) · g(x) + φ(x) · g 0 (x) zodat φ0 (x) · g(x) = f 0 (x) − φ(x) · g 0 (x) en φ0 (x) = aangezien φ(x) =

f (x) g(x)

f 0 (x) − φ(x) · g 0 (x) g(x)

is dit gelijk aan f 0 (x) −

0

φ (x) =

f (x) g(x)

· g 0 (x)

g(x)

Laten we nu het linkerlid van de teller (f 0 (x)) vermenigvuldigen met daar dit gelijk is aan vermenigvuldigen met 1. f 0 (x) ·

0

φ (x) =

g(x) g(x)

f (x) g(x)

g(x) g(x)

· g 0 (x)

g(x)

Dit leidt tot φ0 (x) =

f 0 (x)·g(x) g(x)

f (x)·g 0 (x) g(x)

g(x)

We halen nu g(x) in de noemer naar de teller door deze te vermenigvul1 digen met g(x) en het eindresultaat wordt: φ0 (x) =

f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) g(x)2

65


11.6.4

Gebruik van bekende afgeleide functies

De afgeleide van ex Met het gegeven dat als f (x) = ln(x) dat f 0 (x) = x1 is een aantal andere belangrijke afgeleiden te bewijzen. E´en van de meer interessante toepassingen is de afgeleide van ex . Deze laat zich als volgt bewijzen. Allereerst berekenen we de afgeleide van f (x) = x. Met de definitie is dat zeer eenvoudig. We substitueren: x−a =1 x→a x − a

f 0 (a) = lim

Nu is x ook te schrijven als ln(ex ) of als eln(x) . We weten dan uiteraard dat de afgeleide van deze beide functies ook 1 is. Laten we de afgeleide functie van de eerste samengestelde functie berekenen met behulp van de kettingregel (zie hoofdstuk met bewijs kettingregel): g 0 (f (x)) = f 0 (x) · g 0 (x) waarbij de laatste x staat voor f (x). Eerst splitsen we de samengestelde functie: φ(x) = ln(ex ), f (x) = ex en g(x) = ln(x) waarbij de laatste x staat voor ex (dus f (x)). Nu passen we de kettingregel toe: d x 1 e · x =1 dx e x immers, de afgeleide van e kennen we nog niet, en schrijven we dus d x als dx e (de afgeleide van ex gedifferentieerd naar x). De afgeleide van ln(x) is x1 , en deze x stond voor ex . Bovendien was de functie ln(ex ) niets anders dan x, waarvan de afgeleide 1 is. Vermenigvuldigen we nu beide zijden van de vergelijking met ex dan volgt achtereenvolgens: φ0 (x) =

d x 1 e · x · ex = 1 · ex dx e d x ex e · x = ex dx e d x e · 1 = ex dx d x e = ex dx Dus als f (x) = ex dan is f 0 (x) = ex De wonderbaarlijke uitkomst is dat de afgeleide van de functie ex gelijk is aan de functie zelf - en dat dit dus ook geldt voor alle volgende afgeleiden. Het betekent dat de stijging van de functiewaarde van x gelijk is aan de functiewaarde van x. Op haar beurt kan de afgeleide van ex weer, samen met de afgeleide van ln(x) bijzonder behulpzaam zijn bij het differenti¨eren van andere functies, zoals ax en xn (zie hoofdstuk 11.6.2 over de kettingregel). 66


De afgeleide van de functie

a

log(x)

Welke omweg moeten we kiezen voor de functie a log(x)? De uitwerking van de vraag wat de afgeleide is van de functie f (x) = ln(x) is natuurlijk een bijzonder geval van de afgeleide van een willekeurig logaritme. Hadden we dat niet andersom moeten aanpakken? Als we a log(x) volgens de definitie proberen af te leiden komen we op het eerste gezicht nergens terecht. Het is daarom de moeite waard om eerst het speciale geval te bekijken alvorens het algemene geval aan te pakken. We weten inmiddels dat de afgeleide van e log(x)(= ln(x)) = x1 . Wat kunnen we hiermee met betrekking tot een ’gewoon’ logaritme? Wie paragraaf 8.6 er nog eens op naslaat, weet dat we een logaritme uit kunnen drukken in een quoti¨ent van twee logaritmes met een willekeurig grondtal. We schreven dat d a

log(b) =

d

log(b) log(a)

waarbij het grondtal d willekeurig gekozen kon worden. Dat komt ons nu goed van pas. Immers, we weten de afgeleide van ln(x), maar niet van a log(x). We kiezen daarom het grondtal e en schrijven de logaritme daarmee als een quoti¨ent van twee natuurlijke logaritmes: ln(x) a log(x) = ln(a) Als we nu differenti¨eren naar x is ln(a) de constante. Nu is de oplossing eenvoudig. ln(x) f (x) =a log(x) = ln(a) ofwel f (x) = dus f 0 (x) =

1 · ln(x) ln(a)

1 1 1 · = ln(a) x x ln(a)

Het getal a is het grondtal van het originele logaritme. Substitueren we a = e dan krijgen we de afgeleide van ln(x) weer terug, want als f (x) = ln(x) dan geldt f 0 (x) =

1 1 1 = = x ln(e) x·1 x

Ook hier blijkt de wiskunde een betrouwbare partner. 67


11.6.5

Regels combineren: de machtregel

Willen we de afgeleide vinden van de functie f (x) = xn dan maken we n direct gebruik van de constructie xn = eln(x ) , de afgeleide van ex , de afgeleide van ln(x), de kettingregel en uiteraard de logaritmeregels: n

g(f (x)) = xn = eln(x

)

f 0 (x) = n ·

1 x

n

g 0 (f (x)) = eln(x

)

= en·ln(x)

= xn

dus (g(f (x))0 = f 0 (x) · g 0 (f (x)) = n ·

1 n · x = n · xn · x−1 = nxn−1 x

Dit is een bijzonder geval van de algemene regel voor elke macht; ook voor het geval de macht zelf een functie is, zoals bijvoorbeeld x(x+3) . Laten we uitgaan van g(x) = u en f (x) = v. Er geldt dan g(f (x)) = uv . Er volgt nu2 v uv = eln(u ) = ev ln(u) d v dx u

=

d v ln(u) dx e

= uv ·

·

d dx v ln(u)

d dx v ln(u)

d x daar geldt dat dx e = ex . Nu moeten we voor het tweede lid zowel de product- als de kettingregel toepassen.   1 dv · ln(u) + v · · du = uv dx u dx

Laten we deze iets netter schrijven: d v dx u

of traditioneel

dv = uv ln(u) dx +

v du u dx



 v  (uv )0 = uv ln(u)v 0 + u0 u

en we hebben de algemene machtregel3 .

df d gebruiken hier voor de verandering eens de notatie dx f (x) of dx ; deze schrijf0 wijze van het differentiaalquoti¨ ent of afgeleide is uitwisselbaar met f (x). 3 We komen nog even terug op het specifieke geval xn . We weten uit de definitie van de afgeleide functie dat f (x) = x ⇒ f 0 (x) = 1 en f (x) = c ⇒ f 0 (x) = 0, waarbij c een constante is. Substitueren we nu xn weer in de algemene machtregel, waarbij n een constante is, dan hanteren we u = x en v = n en vinden we  n  n d n x = xn ln(x) · 0 + · 1 = xn · = nxn−1 dx x x 2 We

68


Hoofdstuk 12

Impliciet differenti¨ eren 12.1

Achtergrond

Differenti¨eren hebben we tot nog toe uitsluitend behandeld voor expliciete functies. Dit betekent dat we gekeken hebben naar functies die een functiewaarde van x rechtstreeks aan y koppelen. Er geldt y = f (x) Elke y-waarde wordt expliciet gedefinieerd door de functie: x is de variabele, y het resultaat. Het kan echter voorkomen dat x- en y-waarden elkaar op een andere wijze be¨ınvloeden. Een voorbeeld daarvan is de vergelijking van een cirkel met een straal 5: f (x, y) : x2 + y 2 = 25 We kunnen trachten de y los te weken van de x. Dat gaat wel lukken, want y 2 = 25 − x2 p y = ± 25 − x2 maar het is duidelijk dat y is gekoppeld aan twee verschillende functies die in teken van elkaar verschillen. Willen we nu differenti¨eren, dan zullen we voor twee functies de afgeleide moeten berekenen. Er zijn namelijk twee functies voor y: de functie voor alle y-waarden boven de x-as en een functie voor alle y-waarden onder de x-as. Er is dus geen expliciete verhouding tussen y en x. Dat is erg onhandig. Laten we daarom een andere aanpak volgen. We nemen aan dat y ´e´en of andere functie van x impliceert, zonder dat we ons druk maken welke functie dat precies is. We impliceren dus een ingesloten functie. 69


Willen we dit soort functie differenti¨eren dan zullen we derhalve de ywaarde moeten beschouwen als een impliciete functie van x. We kunnen nu geen expliciete functie differenti¨eren, dus zullen we de in y opgesloten functie impliciet moeten differenti¨eren.

12.2

Methodiek

Impliciet differenti¨eren is niet ingewikkeld. De grootste problemen openbaren zich voornamelijk bij het correct plaatsen van de diverse termen en het in de gaten houden van de plus- en mintekens. Vergelijkingen die we impliciet moeten differenti¨eren kunnen worden beschouwd als samengestelde functies of producten van functies. En dat betekent: rekening houden met de kettingregel en de productregel en alle andere regels die voor differenti¨eren van samengestelde functies gelden. Laten we als voorbeeld eenvoudig beginnen met het al eerder genoemde voorbeeld. x2 + y 2 = 25

We willen nu de richtingsco¨effici¨ent in het punt (x, y) berekenen. De stijging in dit punt is volgens de definitie de verandering van de functiedy . waarde gedeeld door de verandering van de x-waarde dx Het punt (x, y) vinden we waar de lijn vanuit het middelpunt de rode raaklijn snijdt. De straal van de cirkel is 5. Gewapend met Pythagoras en de kennis dat hoek h = 45◦ weten we nu dat beideq rechte zijden een 25 gelijkbenige driehoek vormen en dus ieder de lengte 2 hebben. De ◦ rode raaklijn maakt dus een hoek van 45 met de x-as. De co¨ordinaten q q

25 van dit punt zijn dus ( 25 2 ,− 2 ). We kunnen nu al op basis van deze simpele illustratie vermoeden dat de richtingsco¨effici¨ent 1 zal zijn. We kijken of we dit resultaat kunnen

70


reproduceren met behulp van impliciet differenti¨eren van de functievergelijking. Hiervoor geldt: d 2 d 2 d x + y = 25 dx dx dx De afgeleide van de constante is nul en dus d 2 d 2 x + y =0 dx dx De afgeleide van de eerste term is eenvoudig: het is een x-term die naar x gedifferentieerd wordt. Derhalve geldt: 2x +

d 2 y =0 dx

In de tweede term kunnen we y beschouwen als een in het kwadraat ingesloten functie van x, dus g(y) = g(f (x)) = y 2 . We moeten dus de kettingregel (zie pagina 60) toepassen: de afgeleide van de omvattende functie y 2 maal de afgeleide van de ingesloten functie y (die ´e´en of andere functie van x is die we helaas niet kennen). We schrijven daarom 2x + 2y

dy =0 dx

Nu kunnen we het differentiaalquoti¨ent isoleren in de volgende stappen: 2y

dy = −2x dx

y

dy = −x dx

ofwel en

dy x =− dx y

q q 25 Hiermee is het mogelijk de stijging van de raaklijn in punt ( 25 2 ,− 2 ) te berekenen. We kunnen constateren dat onze inschatting juist was:  q  25 dy 2 = − q  = 1 dx − 25 2

12.3

Voorbeeld

Laten we eens kijken naar de volgende functie. 2y 2 + 3xy = y 3 + 2xy 2 + 3 Wie zich afvraagt hoe de functiegrafiek eruit ziet, kan dat controleren in de onderstaande illustratie. 71


Belangrijker voor ons is echter dat in deze functie de y en x op geen enkele manier van elkaar zijn te scheiden. Willen we de afgeleide functie vinden, dan zullen we dus moeten aannemen dat y een functie van x verhult en deze impliciet moeten differenti¨eren. We zullen daarbij zoveel mogelijk stap voor stap werken, met het risico enige op het oog overbodige handelingen te verrichten. Allereerst voorzien we alle factoren van een differentiaalquoti¨ent. 2 d dx 2y

+

d dx 3xy

=

d 3 dx y

+

2 d dx 2xy

+

d dx 3

d d 3 We passen nu voor dx 2y 2 en voor dx y de kettingregel toe (immers, y d is een -ingesloten- functie van x); voor dx 3xy passen we de productregel d (zie pagina 64) toe; tot slot passen we voor dx 2xy 2 zowel de productals de kettingregel toe. De afgeleide van de constante is uiteraard 0. We vermelden hem ´e´en keer ten behoeve van de duidelijkheid. Nu werken we uit. Tussen de haakjes staan de uitwerkingen van de toepassing van product- en/of kettingregel: dy dy dy dy 4y dx + (3y + 3x dx ) = 3y 2 dx + (2y 2 + 4xy dx )+0

We vegen nu alle differentiaalquoti¨enten bij elkaar aan de linkerkant van het gelijkteken en de rest aan de rechterkant, en brengen het differentiaalquoti¨ent buiten haakjes: dy dx (4y

+ 3x − 3y 2 − 4xy) = 2y 2 − 3y

Nu kunnen we het differentiaalquoti¨ent isoleren. dy 2y 2 − 3y = dx 4y + 3x − 3y 2 − 4xy waarmee we de afgeleide functie hebben bepaald.

12.4

Verschil impliciet en expliciet differenti¨ eren

Het lijkt op het eerste gezicht of de twee vormen een verschillende manier van differenti¨eren inhouden. Daar is natuurlijk geen sprake van. 72


De methode is hetzelfde: vindt de infinitesimaal kleine verandering in een punt door de stijging in de functiewaarde te delen door de stijging in x-waarde. Impliciet en expliciet differenti¨eren geven beide hetzelfde resultaat als beide mogelijk zijn. Om dat te illustreren een voorbeeld. We nemen de functie f (x, y) : xy = x + 3 Impliciet differenti¨eren is hier niet nodig, immers y=

3 x+3 =1+ x x

De afgeleide van deze functie is dy 3 =− 2 dx x Indien we nu toch besluiten tot impliciet differenti¨eren komen we de volgende stappen tegen: d dx

[xy] =

d dx

[x + 3]

Met de productregel krijgen we dy y + x dx =1

Waaruit volgt dat dy 1−y = dx x We substitueren nu y = 1 +

3 x

(zie boven) en vinden   1 − 1 + x3 −3 dy 3 = = x =− 2 dx x x x

12.5

Functies delen

We nemen de functie y=

f (x) g(x)

We nemen nu van beide zijden de natuurlijke logaritme.   f (x) ln(y) = ln g(x) Nu weten we op basis van de logaritmeregels dat het volgende geldt: ln(y) = ln(f (x)) − ln(g(x))

73


Laten we deze functie impliciet differenti¨eren. We gooien de notaties en f 0 (x), g 0 (x) wat achteloos door elkaar:

1 y

·

dy dx

d dx

ln(y) =

1 y

·

=

dy dx

d dx

ln(f (x)) −

d dx

dy dx

ln(g(x))

1 1 · f 0 (x) − · g 0 (x) f (x) g(x)

=

f 0 (x) g 0 (x) f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x) − = − f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)

Zo komen we uit op 1 y

·

=

f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) f (x)g(x)

=y·

f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) f (x)g(x)

dy dx

dus dy dx

f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) · g(x) f (x)g(x)

=

dy dx

=

f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) g 2 (x)

waarin we uiteraard de quoti¨entregel voor differentieren herkennen.

12.6

Tot slot

De methodiek van impliciet differenti¨eren is niet ingewikkeld, maar wel erg gevoelig voor simpele rekenfouten. Let vooral op plussen en minnen; deze kunnen in berekeningen met veel factoren al gauw onjuist worden overgezet.

74


Hoofdstuk 13

Partieel differenti¨ eren 13.1

Inleiding

Partieel differenti¨eren doet niets anders dan de naam doet vermoeden: niet differenti¨eren naar alle variabelen, maar slechts naar een deel (of meestal: ´e´en) van de variabelen. We bekijken de volgende figuur van twee kanten zodat de vorm goed zichtbaar is. Als we de figuur nader bestuderen dan is het eenvoudig te zien dat ieder punt niet ´e´en raaklijn heeft, maar een verzameling van raaklijnen, die een raakvlak vormen; in algemene termen ook wel raakruimte genoemd.

De vergelijking van dit vlak is: z = 2x2 + xy + y 2 Het is duidelijk dat in een willekeurig punt het raakvlak afgeleide functie is. Omdat de x-waarden twee keer zo snel krommen als de y-waarden is het duidelijk dat dit raakvlak geen plat vlak is. Het lijkt nu onduidelijk hoe we moeten bepalen wat de richtingsco¨effici¨ent van een raaklijn is die bijvoorbeeld in de richting van de x-as is. Maar hoe is dit te berekenen? 75


De oplossing is eenvoudig als we ons realiseren dat we in dit geval ons niet bewegen in de richting van de y-as, noch in de richting van de zas: deze waarden blijven constant. We kunnen deze waarden dus als constante beschouwen. Nu hoeven we slechts te differenti¨eren alsof x de enige variabele is. We differenti¨eren dus naar x, terwijl y en z constanten zijn. De notatie voor partieel differenti¨eren wijkt enigszins af van die van normaal differenti¨eren. De traditionele d wordt als een soort Griekse delta met de krul naar voren geschreven: ∂ ∂x betekent dus partieel gedifferentieerd naar x.

13.2

Voorbeeld

Voor ons bovenstaande voorbeeld z = 2x2 + xy + y 2 betekent dit dus dat we y en z als constanten beschouwen. Nu volgt ∂ ∂ ∂ 2 ∂z = 2x2 + xy + y ∂x ∂x ∂x ∂x hetgeen ∂z = 4x + y ∂x oplevert. Differenti¨eren we nu alleen naar y, dan krijgen we ∂z = x + 2y ∂y In het punt (1, 1, 4) zijn dus de twee bovenstaande richtingsco¨effici¨enten respectievelijk 5 en 3.

13.3

Partieel en impliciet

Wie de vergelijking f (x, y) : 2x2 + xy + y 2 = c partieel differentieert naar x en y (waarbij c een constante is) krijgt ∂f dx = 0 ∂x ∂f dy = 0 ∂y 76


en dus

∂f ∂f dx + dy = 0 ∂x ∂y

Immers, beide onderdelen tezamen vormen de complete afgeleide. Nu volgt ∂f ∂f dy = − dx ∂y ∂x daarmee geldt ∂f

dy ∂x = − ∂f dx ∂y Passen we dat toe voor de functie 2x2 + xy + y 2 = c dan vinden we de twee parti¨ele afgeleiden ∂z = 4x + y ∂x ∂z = x + 2y ∂y Vullen we dat nu in bovenstaand resultaat in dan zien we dat dy −(4x + y) = dx x + 2y We zitten nu niet vast aan ketting- of productregels. Het resultaat vinden we natuurlijk ook door impliciet differenti¨eren: 2 d dx 2x

+

d dx xy

+

d 2 dx y

=0

of dy dy 4x + x dx + y + 2y dx =0 dy dx (x

+ 2y) = −(4x + y)

dy −(4x + y) = dx x + 2y en alle wegen blijken ook hier weer naar Rome te leiden.

13.4

Tot slot

Partieel differenti¨eren heeft vele toepassingen in praktische disciplines: van werktuigbouw en ontwerp tot aan de financi¨ele sector.

77


Hoofdstuk 14

De afgeleiden van sin, cos en tan 14.1

Inleiding

De goniometrische functie sin(x) is gedefinieerd als de verhouding tussen de overliggende (OV) rechte zijde van een van de hoeken van een rechthoekige driehoek, gedeeld door de hypotenusa (HYP) van die driehoek. De functie cos(x) is gedefinieerd als de verhouding tussen de aanliggende (AL) rechte zijde gedeeld door de hypotenusa. De functie tan(x) is gedefinieerd als de overliggende (OV) gedeeld sin(x) door de aanliggende (AL) zijde, en is derhalve gelijk aan cos(x) , immers sin(x) = cos(x)

OV HY P AL HY P

=

HY P OV OV · = = tan(x) AL HY P AL

We bewijzen eerst de afgeleide van de functie sin(x), daarna bespreken we kort hoe op eenzelfde wijze te komen tot de afgeleide van de functie cos(x). Tot slot bewijzen we de afgeleide van de functie tan(x) als quoti¨ent van de beide voorgaande functies.

14.2

De afgeleide van sin(x)

De afgeleide van de functie f (x) = sin(x) is te bewijzen met de definitie van de afgeleide, namelijk f (x) − f (a) x→a x−a lim

78

(1)


Figuur 14.1: sin(h+i)

Voordat we deze substitutieoefening kunnen uitvoeren dient nog een aantal ondersteunende bewijzen te worden geleverd, zoals sin(h − i) = sin(h) · cos(i) − cos(h) · sin(i)

(2)

Dit zullen we bewijzen met een geometrische constructie. Daarna is eenvoudig af te leiden dat het volgende geldt:     h+i h−i sin(h) − sin(i) = 2 · cos · sin (3) 2 2 Deze regel hebben we uiteraard nodig omdat sin(x) − sin(a) de noemer vormt van de breuk in formule (1). Met die bewijsvoeringen zijn we er nog niet, want het is ook noodzakelijk te bewijzen dat sin (h) =1 h→0 h lim

14.2.1

(4)

sin(h − i)

Laten we kijken naar figuur (2). We zien dat de zijden AF, FG, en AG een rechthoekige driehoek vormen, evenals zijden DH, GH en DG. Daar elk van de eerste zijden loodrecht staat op de corresponderende zijde van de andere driehoek, 79


volgt nu dat de hoek h, die AG en AF met elkaar maken en de hoek van DH en DG gelijk zijn. We kunnen daarmee twee beschrijvingen geven van de sin(h) en cos(h) en een enkele beschrijving van de sin(i) en de cos(i). Laten we nu de sin(h + i) bepalen: deze is uiteraard gegeven door DE AD Daar echter DE de som is van DH en FG kunnen we ook schrijven: sin(h + i) =

F G + DH F G DH = + AD AD AD

We kunnen beide breuken vermenigvuldigen met 1; hierdoor veranDG dert het antwoord uiteraard niet. In dit geval is 1 gelijk aan AG AG en DG . Nu is het mogelijk de breuken te herschrijven, en wel als volgt: sin(h + i) =

F G AG DH DG · + · AD AG AD DG

hetgeen na opnieuw schikken van de tellers (of de noemers) uitkomt op sin(h + i) =

F G AG DH DG · + · AG AD DG AD

Deze verhoudingen laten zich na controle in de figuur schrijven als sin(h + i) = sin(h) · cos(i) + cos(h) · sin(i)

(5)

Uit deze formule kunnen we onmiddellijk sin(h − i) afleiden, daar we weten dat sin(−i) = − sin(i) en cos(−i) = cos(i). (Dit valt eenvoudig af te leiden uit het tekenen van de eenheidscirkel en het construeren van een positieve en negatieve hoek. In het eerste kwadrant zijn sin en cos positief, in het vierde is de cos positief maar de sin negatief) Het plusteken zal dus veranderen in een minteken en de formule luidt nu: sin(h − i) = sin(h) · cos(i) − cos(h) · sin(i)

(6)

Hiermee is stelling (2) bewezen1 . 1 Het lijkt simpel. En dat is het ook. Maar toch zou de vraag kunnen rijzen hoe FG we kunnen weten voor welke volgorde te kiezen. Voor AD · AG en verder, of voor AG F G DG · en verder? Het antwoord is dat we in het ergste geval de twee combinaties AD DG moeten uitwerken en de eerste keer nergens op uit komen. Dat betekent niet dat we de handdoek in de ring moeten gooien, maar de vermenigvuldigingen andersom moeten uitproberen. In meer algemene zin is het vinden van dit soort bewijzen vaak een combinatie van inzicht, patroonherkenning en trial-and-error. Niet zelden worden afleidingen gevonden door met alternatieve versies van 1 te vermenigvuldigen (bijvoorbeeld ax ) of iets erax gens bij op te tellen en dan dit er prompt weer af te trekken. Zo kan y ook geschreven worden als y = y(+x − x). Het lijkt triviaal, maar het is vaak een oplossing, omdat zo kosteloos gemanipuleerd kan worden met onderdelen van de vergelijking. Voorbeelden van wat (of welke volgorde) te kiezen zijn ook te vinden in paragrafen 11.6.2 over de kettingregel, 11.6.3 over de productregel en 19.7.1 over partieel integreren.

80


14.2.2

sin(h) − sin(i)

Uit formule (5) en (6) kan sin(h) − sin(i) worden afgeleid. Laten we deze formules onder elkaar zetten en respectievelijk bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken. Onder de lijn staat als eerste vergelijking de optelling en als tweede het verschil. sin(h + i) = ± sin(h − i) = sin(h + i) + sin(h − i) = en sin(h + i) − sin(h − i) =

sin(h) · cos(i) sin(h) · cos(i) 2 sin(h) · cos(i)

+ cos(h) · sin(i) - cos(h) · sin(i)

2 cos(h) · sin(i)

Nu substitueren we: h+i=A h−i=B en i = waaruit volgt dat A + B = 2h en A − B = 2i ofwel h = A+B 2 Daarmee kunnen we sin(h + i) − sin(h − i) schrijven als:     A+B A−B sin(A) − sin(B) = 2 cos sin 2 2

A−B 2

Uiteraard is dit onmiddellijk te vervangen door:     h+i h−i sin(h) − sin(i) = 2 cos sin 2 2 of welke combinatie van hoeken ook. Hiermee is stelling (3) bewezen.

14.2.3

limiet

sin(h) h

We beschouwen drie sectoren van de eenheidscirkel uit figuur (3) met daarin de hoek h getekend. Het is duidelijk dat de driehoek ABC binnen de cirkel een kleinere oppervlakte heeft dan de cirkelsector ADC, die op zijn beurt weer een kleinere oppervlakte heeft dan de grote driehoek ADE. Laten we nu de drie oppervlaktes berekenen. De algemene formule voor de oppervlakte van een driehoek is (l·h) 2 . De oppervlakte van driehoek ABC is (daar het de eenheidscirkel betreft) sin(h)·cos(h) . De oppervlakte van het cirkelsegment ADC is ook 2 eenvoudig uit te rekenen. De gehele hoek van de eenheidscirkel is 2π. De oppervlakte van de gehele cirkel is, daar het de eenheidscirkel betreft h π · r2 = π · 12 = π Nu is de hoek h het 2π -de deel van de hele hoek; h de oppervlakte van het segment is daarmee 2π · π = h2 De oppervlakte tan(h) sin van de driehoek ADE is 2 . Daar tan = cos kan de oppervlakte ook uitgedrukt worden als 2sin(h) cos(h) 81


Figuur 14.2: cirkelsector

Nu zetten we de oppervlaktes in volgorde van grootte, van klein naar groot: h sin(h) sin(h) · cos(h) ≤ ≤ 2 2 2 cos(h) Allereerst elimineren we de 2, zodat we overhouden: sin(h) · cos(h) ≤ h ≤

sin(h) cos(h)

Aangezien we op zoek zijn naar de limiet van h → 0 voor sin(h) h kunnen we in het midden sin(h) toevoegen door alle elementen door sin(h) te delen. Dit mag, daar alle onderdelen in het product positief zijn. Het levert de volgende vergelijking op: h sin(h) sin(h) · cos(h) ≤ ≤ sin(h) sin(h) cos(h) · sin(h) Een hernieuwde vereenvoudigingsoperatie brengt ons dit: cos(h) ≤

h 1 ≤ sin(h) cos(h)

Door de teller en de noemer om te draaien wijzigen alle symbolen ≤ in ≥. We zien dan 1 sin(h) ≥ ≥ cos(h) cos(h) h Dit kunnen we echter weer ongedaan maken door de volgorde van de argumenten ook om te draaien. We houden dan over: cos(h) ≤

sin(h) 1 ≤ h cos(h) 82


We gaan nu gebruik maken van de insluitstelling. Stel voor dat we een rij getallen hebben die we xn , yn en zn noemen. Er geldt voor een bepaalde n dat xn ≤ yn ≤ zn . De insluitstelling zegt dan dat als xn en zn convergeren naar dezelfde limiet L, dan de limiet van yn ook naar L convergeert. De rij getallen yn , voor te stellen als een grafieklijn, zit ingeklemd (of liever gezegd: ingesloten) tussen de twee andere grafieklijnen van xn en zn Laten we nu met deze kennis voor de drie functies de limiet bekijken voor h → 0. De vergelijkingen aan de linker- en rechterkant zijn eenvoudig te 1 = 11 = 1. berekenen; links levert cos(0) = 1 op en rechts leidt tot cos(0) Dit brengt ons tot de limiet van het middelste getal: 1 ≤ lim

h→0

sin(h) ≤1 h

en dus geldt sin(h) =1 h→0 h lim

Hiermee is (4) bewezen.

14.2.4

De afgeleide van sin(x)

Op basis van de definitie van de afgeleide is f 0 (x) in a van sin(a) als volgt te bewijzen. Volgens formule(1) lim

x→a

f (x) − f (a) x−a

geldt sin(x) − sin(a) x→a x−a Inmiddels hebben we aangetoond dat dit gelijk is aan: lim

2 cos (x+a) · sin (x−a) 2 2 x→a x−a Met het wegdelen van 2 uit de teller introduceren we nu een deling door 2 in de noemer. Dat maakt van het bovenstaande geheel het volgende: cos (x+a) · sin (x−a) 2 2 lim x−a lim

x→a

2

We herkennen hier onmiddellijk stelling (4) in. Laten we daarom x−a 2 vervangen door h. Dat heeft enige consequenties. Als x−a 2 = h dan geldt x+a 2 = h + a; tevens gaat in het geval x → a de h → 0

83


Zo kunnen we finaliseren met: cos(h + a) · sin(h) = h→0 h lim

sin(h) · cos(h + a) = h 1 · cos(a) = cos(a)

lim

h→0

Daarmee is bewezen dat: als f (x) = sin(x) dan is f 0 (x) = cos(x)

14.3

De afgeleide van cos(x)

Terugkerend naar figuur 1 kunnen we de cos(x) eenvoudig afleiden. De cos(h + i) laat zich omschrijven als AE AD AE laat zich schrijven als de som van AF − EF , en EF is natuurlijk gelijk aan GH. Volg nu dezelfde stappen om cos(h + i) af te leiden, door optellen, aftrekken en substitueren cos(h) + cos(i) en cos(h) − cos(i) te verkrijgen. Na hernieuwd berekenen van de afgeleide met behulp van de sin(h) resteert ons dan dat als h f (x) = cos(x) dan is f 0 (x) = − sin(x)

14.4

De afgeleide van tan(x)

Deze afgeleide is eenvoudig met de quoti¨entregel (zie paragraaf 11.6.3 op pagina 65) f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) φ0 (x) = g(x)2 sin(x) te berekenen. Immers, tan(x) = cos(x) . De afgeleide van sin(x) is cos(x) en van cos(x) is de afgeleide − sin(x). Substitutie doet de rest.

tan0 (x) =

cos(x) · cos(x) + sin(x) · sin(x) cos2 (x)

Dit is

sin2 (x) + cos2 (x) cos2 (x) Kijken we nu naar de eenheidscirkel en passen we de stelling van Pythagoras toe (par. 3.2 op p. 18), dan zien we dat sin2 (x) + cos2 (x) = 1 tan0 (x) =

84


Daaruit volgt dat de afgeleide van de tan(x) gelijk is aan: tan0 (x) = Uiteraard is

1 cos2 (x)

sin2 (x) + cos2 (x) cos2 (x)

ook te schrijven als sin2 (x) cos2 (x) + = 1 + tan2 (x) cos2 (x) cos2 (x)

Resumerend: als f (x) = tan(x) dan is f 0 (x) =

85

1 = 1 + tan2 (x) cos2 (x)


Hoofdstuk 15

De afgeleiden van arcsin, arccos en arctan 15.1

Inleiding

15.1.1

Reciproke functies csc, sec en cot

Naast de functies sin(x), cos(x) en tan(x) zijn er ook namen en toepassingen bedacht voor hun reciproque functies. Dat betekent: 1 1 1 , , sin(x) cos(x) tan(x) Deze reciproque functies zijn achtereenvolgens de cosecans csc(x), de secans sec(x) en de cotangens cot(x) en door hun vorm eenvoudig af te leiden.

15.1.2

Inverse functies arcsin, arccos en arctan

Er zijn echter ook inverse functies beschikbaar. Deze functies zijn dus gedefinieerd door de verhouding x = sin(y) Hetzelfde geldt voor de andere twee functies. Om een inverse functie te hebben moet er sprake zijn van een bijectie (zie hoofdstuk 9) en dus een beperking van het domein (zie pagina 43). De inverse functies zijn achtereenvolgens (met hun domein) arcsin(x)|x ∈ [−1, 1] arccos(x)|x ∈ [−1, 1] arctan(x)|x ∈ [− π2 , π2 ] 86


De functies arcsinus, arccosinus en arctangens worden ook wel eens aangeduid als boogsinus, -cosinus en -tangens. Ook wordt het voorvoegsel arc- nog wel eens simpelweg afgekort tot a-. In de volgende grafiek is te zien hoe deze drie functies er grafisch uitzien.

De domeinbeperkingen zijn grafisch goed te zien. Bij het bepalen van de afgeleiden van deze drie functies maken we gebruik van hun inverse (dus originele) goniometrische functies en van de techniek van het impliciet differenti¨eren (zie hoofdstuk 12 op pagina 69).

15.2

De afgeleide van arcsin(x)

We beschouwen de functie y = arcsin(x) Daar we bekend zijn met de afgeleide van de inverse functie sin(x) gebruiken we deze kennis door van beide zijden van de vergelijking de sin te berekenen. sin(y) = x Met behulp van impliciet differenti¨eren stellen we vast dat d dx

sin(y) =

d dx x

of (met behulp van de kettingregel) cos(y) ¡

dy dx

87

=1


dus dy dx

=

1 cos(y)

hetgeen gelijk is aan de sec(y). We willen echter cos(y) uitdrukken in termen van x, maar we weten slechts dat sin(y) = x. We gebruiken de identiteit sin2 (y) + cos2 (y) = 1. Daaruit volgt dat cos2 (y) = 1 − sin2 (y) 2 2 2 Aangezien sin(y) = x geldt dat sin √ (y) = x en kunnen we cos (y) 2 2 schrijven als 1 − x en cos(y) als 1 − x . Nu geldt voor de afgeleide van arcsin(x) 1 dy √ dx = 1 − x2

15.3

De afgeleide van arccos(x)

Het is duidelijk dat de afgeleide van de arccos slechts een minteken nodig heeft. Immers y = arccos(x) cos(y) = x d dx

cos(y) =

sin(y) · dus dy dx

=

dy dx

d dx x

=1

1 − sin(y)

en aangezien cos(y) = x en sin2 (y) = 1 − cos2 (y) geldt de afgeleide van arccos(x) dus −1 dy √ dx = 1 − x2

15.4

De afgeleide van arctan(x)

De laatste functie die er aan moet geloven is arctan. Er geldt weer y = arctan(x) en tan(y) = x d dx

tan(y) =

d dx x

Na toepassing van de kettingregel blijft 1 dy =1 cos2 (y) dx 88


dy dx

= cos2 (y)

Ook nu willen we cos2 (y) uitdrukken in termen van x. We passen nu een veelvuldig gebruikt middel toe in de wiskunde. We hebben het ook al gezien bij de afleiding van de ketting- en productregel (zie pagina’s 60 en 64) dat vermenigvuldigen met of delen door 1 (desnoods in andere vorm) of tegelijkertijd optellen en aftrekken van dezelfde factor verder kan helpen. Zo ook hier. We kiezen voor delen door 1, daar we de identiteit sin2 (y) + cos2 (y) = 1 kennen. We schrijven nu dy dx

=

cos2 (y) cos2 (y) = 1 sin2 (y) + cos2 (y)

We delen nu cos2 (y) uit dy dx

=

en houden over dy dx

1 sin2 (y)+cos2 (y) cos2 (y)

1

= 1+

sin2 (y) cos2 (y)

=

1 1 + tan2 (y)

en omdat tan(y) = x geldt dy dx

15.5

=

1 1 + x2

Tot slot

In een later hoofdstuk zullen we integreren behandelen. Bij het integreren zullen we zien dat het belangrijk is zogenoemde primitieve functies te herkennen op basis van bepaalde patronen. Ook bovenstaande afgeleiden zullen zich nog wel eens vertonen in integralen. Omdat in de afgeleiden van de hier behandelde functies geen andere goniometrische functies voorkomen zijn ze niet makkelijk te koppelen aan hun oorspronkelijke, primitieve functies. Het is daarom de moeite waard de oplossingen uit het hoofd te leren. 1 arcsin0 (x) = √ 1 − x2 −1 arccos0 (x) = √ 1 − x2 1 arctan0 (x) = 1 + x2

89


Hoofdstuk 16

De functies sinh, cosh, tanh en hun afgeleiden 16.1

Inleiding

De bekende goniometrische functies zijn verbonden aan de cirkel. Immers, sin2 (x) + cos2 (x) = 1, dus volgens de functievergelijking x2 + y 2 = r2 vormen de punten (sin(x), cos(x)) een cirkel. Als we nu naar de volgende figuur kijken, zien we dat we deze punten op de blauwe cirkel via de groene lijnen kunnen projecteren op de rode hyperbool x2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 = 1.

De bijbehorende punten worden beschreven door de functies sinh en cosh, voluit sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus. Delen we deze twee op elkaar dan krijgen we de tanh of tangens hyperbolicus. Wat de normale goniometrische functies voor de cirkel zijn, zijn de hyperbolische functies voor de hyperbool. 90


Naar analogie van de cirkel volgt op basis van de vergelijking voor een hyperbool voor de verhouding tussen de sinh en de cosh de identiteit cosh2 (x) − sinh2 (x) ≡ 1

16.2

Definitie

Deze drie hyperbolische functies bekijken we in de illustratie.

Wie deze vormen ziet zal al snel aan verwantschap met de grafiek y = ex vermoeden. De definitie van de drie functies zijn dan ook sinh(x) =

ex − e−x 2

ex + e−x 2 sinh(x) ex − e−x tanh(x) = = x cosh(x) e + e−x cosh(x) =

16.3

Reciproque functies

Deze functies hebben uiteraard hun reciproque functies, cosecans hyperbolicus, secans hyperbolicus en cotangens hyperbolicus. Deze zijn gedefinieerd als 1 csch = sinh 1 sech = cosh 1 coth = tanh We kijken verder niet naar deze functies.

91


16.4

Inverse functies

We kijken wel naar de inverse functies. Deze functies heten achtereenvolgens arsinh, arcosh, en artanh.

We zien in deze afkortingen een c ontbreken. Deze functies beschrijven namelijk geen hoek of arc, maar een oppervlakte of areaal. We kunnen dat zien in de volgende illustratie. Het gele vlak wordt gedefinieerd door arsinh en arcosh.

De functies heten dan ook officieel areaalsinus hyperbolicus, areaalcosinus hyperbolicus en areaaltangens hyperbolicus. Wie op een verjaardagsfeest moeite heeft een beleefdheidsgesprek aan de gang te houden kan er altijd voor kiezen deze woorden te gebruiken, daar ze de tijd prima opvullen.

16.5

De afgeleide functies

Op basis van de definities zijn deze functies eenvoudig af te leiden, een enkele keer met behulp van de quoti¨entregel voor differenti¨eren. De inverse functies zijn dan op hun beurt weer eenvoudig af te leiden met 92


de oorspronkelijke functies en impliciet differenti¨eren, zoals we dat in paragraaf 15.1.2 op pagina 86 ook al hebben toegepast.

16.5.1

Afgeleide sinh sinh(x) =

De afgeleide is dus simpel, daar f 0 (x) =

16.5.2

ex − e−x 2

d x dx e

= ex :

ex + e−x = cosh(x) 2

Afgeleide cosh

ex + e−x 2 Ook hier is differenti¨eren niet moeilijk. De afgeleide is cosh(x) =

ex − e−x = sinh(x) 2

f 0 (x) =

We zien dat door de afgeleide van e−x het teken weer terug wisselt. De afgeleide van cosh(x) is dus sinh(x). We herinneren ons dat de afgeleide van cos(x) gelijk is aan − sin(x).

16.5.3

Afgeleide tanh tanh(x) =

sinh(x) ex − e−x = x cosh(x) e + e−x

We passen hier de quoti¨entregel toe, met kennis van de afgeleiden van sinh en cosh: f 0 (x) =

cosh(x) · cosh(x) − sinh(x) · sinh(x) cosh2 (x) f 0 (x) =

cosh2 (x) − sinh2 (x) cosh2 (x)

We weten cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 Dus vereenvoudigd f 0 (x) =

1 cosh2 (x)

93


16.5.4

Afgeleide arsinh

We beginnen met y = arsinh(x) dus sinh(y) = x We differenti¨eren beide zijden: d dx

sinh(y) = 1

dus dy cosh(y) dx =1

dy 1 = dx cosh(y) We weten dat cosh2 (y) − sinh2 (y) = 1, dus cosh2 (y) = 1 + sinh2 (y). Hieruit volgt dat sinh2 (y) = x2 dus geldt arsinh0 (x) = √

16.5.5

1 1 + x2

Afgeleide arcosh

Nu levert deze afgeleide weinig problemen op. Als y = arcosh(x) dan is cosh(y) = x We komen weer via de beproefde methode uit op 1 dy = dx sinh(y) Met cosh2 (y) − sinh2 (y) = 1 bepalen we sinh2 (y) = cosh2 (y) − 1 (let op de tekens) en dus geldt (vanwege cosh(y) = x) sinh2 (y) = x2 − 1 Ofwel arcosh0 (x) = √

94

1 x2 − 1


16.5.6

Afgeleide artanh

Als y = artanh(x) dan geldt tanh(y) = x We differenti¨eren beide zijden: d dx

tanh(y) = 1

1 dy =1 cosh2 (y) dx dy = cosh2 (y) dx Nu volgens analogie van de afgeleide van arctan schrijven we dy cosh2 (y) cosh2 (y) = = 2 dx 1 cosh (y) − sinh2 (y) We delen cosh2 (y) uit en krijgen 1 1−

sinh2 (y) cosh2 (y)

=

1 1 − tanh2 (y)

en omdat tanh(y) = x geldt nu artanh0 (x) =

16.6

1 1 − x2

Tot slot

Geen wiskundige functie zonder zijn toepassingen. Wie een koord aan beide zijden ophangt en kijkt naar de boog die het koord onderin maakt kijkt naar een hyperbool. Maar zoals ook al in de laatste paragraaf van het hoofdstuk over de afgeleiden van de inverse functies van sin, cos en tan is opgemerkt, zijn er ook hier weer praktische toepassingen voor de wiskunde zelf. Zoals bijvoorbeeld bij integreren, dat we in hoofdstuk 19 zullen behandelen. Ook hier geldt weer dat de afgeleiden van de areaalfuncties vrij niet eenvoudig verwijzen naar de oorspronkelijke, primitieve functies. Daarom is het goed ook deze afgeleiden goed uit het hoofd te leren zodat het patroon altijd herkend wordt.

95


Hoofdstuk 17

Minima, maxima en buigpunten 17.1

Inleiding

In de afgelopen hoofdstukken hebben we ons bezig gehouden met de afgeleiden van diverse functies. Met hetgeen daar besproken is kan het hoofdstuk over differenti¨eren natuurlijk niet afgesloten worden. Er zijn nog vele andere redenen waarom er zo vaak gebruik wordt gemaakt van differenti¨eren en afgeleiden. In dit hoofdstuk bespreken we een veel voorkomende toepassing van afgeleiden en zelfs dubbele afgeleiden.

17.2

Minima en maxima

Wie een grafiek zoals de volgende bekijkt zal zien dat er nog meer eigenschappen van functies nuttig kunnen zijn.

96


We zien hier de afbeelding van de functie f (x) = 2x2 − 4x + 4 Een alledaagse parabool die naar beneden suist, ombuigt, en weer naar boven verdwijnt Op een top of in een dal van een grafiek wisselt de richtingsco¨effici¨ent van positief naar negatief of omgekeerd - al naar gelang de vorm van de grafiek. Ook hier is dat uiteraard het geval. Op dat punt moet de richtingsco¨effici¨ent derhalve 0 zijn. Daar de richtingsco¨effici¨ent door de afgeleide functie kan worden bepaald geldt voor de minima en maxima dus f 0 (x) = 0 Laten we kijken: f 0 (x) = 4x − 4 = 0 Het punt waarin de raaklijn aan de grafiek horizontaal loopt is dus bij x = 1; we substitueren in de oorspronkelijke functie en zien dat y = 2. Het minimum van deze functie ligt dus in punt (1, 2). We weten dat dit een absoluut minimum is, want er geldt lim = ∞

x→±∞

Als een grafiek een dergelijk minimum of maximum heeft (ook wel extreme waarde genoemd) is het altijd mogelijk dat ver buiten beeld de grafiek weer flink naar boven of beneden schiet. Bij analyseren van de functie moet daarmee rekening worden gehouden. Er is dan sprake van een lokaal minimum of maximum. Een voorbeeld daarvan is de volgende grafiek. Hier zien we de functie met de blauwe lijn aangegeven met als beschrijving f (x) =

1 3 x − x2 + x + 1 3

We bepalen de afgeleide f 0 (x) = x2 − 2x + 1 97


die weergegeven is door de rode lijn. Zelfs zonder rekenen zien we onmiddellijk dat de richtingsco¨effici¨ent in (1, 1 13 ) de waarde 0 heeft. De afgeleide is gelijk aan 0 voor (x − 1)2 = 0, en substitutie in de oorspronkelijke functie doet de rest. Maar de grafiek loopt dan wel even vlak, een moment later schiet hij de lucht weer in. Er is hier sprake van een lokaal maximum. De grafiek stijgt, komt even tot stilstand en gaat vervolgens weer vrolijk verder. Dat brengt ons bij de volgende eigenschap die een grafiek kan hebben.

17.3

Buigpunten

Het is namelijk ook mogelijk dat de grafiek van richting veranderd zonder te mini- of maximaliseren. Laten we kijken naar de volgende grafiek.

Deze wordt beschreven door de functie f (x) = 2x3 + x + 1 Heeft deze functie - hier aangegeven in blauw - een lokaal minimum of maximum? We hanteren de aanpak van de vorige paragraaf en beschouwen de nulpunten van de afgeleide f 0 (x) = 6x2 + 1 = 0 Hier gaat iets mis. De afgeleide functie heeft geen nulpunten. Er is geen (re¨ele) oplossing voor 6x2 = −1 (aangegeven in rood); de discriminant is kleiner dan nul. Een nauwkeurige blik op de grafiek laat ons inderdaad zien dat deze afgeleide nergens de x-as snijdt. Maar er zit toch echt een soort knik in de oorspronkelijke functie, ook al heeft de raaklijn in dat punt geen richtingsco¨effici¨ent die gelijk is aan nul. Op basis van de afgeleide kunnen we desalniettemin wel degelijk wat nuttigs stellen. Daar de afgeleide de richting van de raaklijn aangeeft, kunnen we constateren dat daar waar de grafiek van de afgeleide functie minimaal is, de richtingsco¨effici¨ent van teken wisselt en derhalve de oorspronkelijke functie een knik vertoont. 98


Hoe bepalen we dit punt? Dat valt niet moeilijk in te zien. Uiteraard wordt de oplossing gegeven door de afgeleide van de afgeleide; daar waar de tweede afgeleide functie f 00 (x) = 0 wordt een maximum of (in dit geval) een minimum bereikt. We berekenen dus f 00 (x) = 12x = 0 De knik waar we het dus over hebben in de oorspronkelijke grafiek is dus in punt (0, 1). Dit punt noemen we een buigpunt en de raaklijn de buigraaklijn. Deze is in het groen weergegeven. Er geldt uiteraard y = ax + b voor. De richtingsco¨effici¨ent a = 1 en daarom geldt voor punt (0, 1) de vergelijking van de buigraaklijn y = x + 1.

17.4

Tot slot

Uiteraard zijn er nog veel meer toepassingen voor differenti¨eren. Wiskunde is wat dat betreft net een kraslot: onder elk vakje zit wel een prijs.

99


Hoofdstuk 18

De regel van l’Hˆ opital 18.1

Inleiding

De regel van l’Hˆ opital (of l’Hospital) is een nuttig hulpmiddel bij het bepalen van de limiet van een deling van twee functies. Soms zijn limieten eenvoudig te berekenen: vul de limietwaarde in en bekijk wat de functiewaarde wordt. De limiet x2 − 1 x→3 4x + 4 lim

levert weinig problemen op: vul 3 in en de limiet is nu eens deze limiet: x2 − 1 lim x→−1 4x + 4

8 16

= 12 . Maar bekijk

en je ziet dat de deling 00 is geworden. Wat nu? In de gevallen dat zo’n deling op 00 of op ∞ ∞ uitkomen is het antwoord onbepaald (zie ook paragraaf 22.2 op pagina 144). Dan kan de regel van l’Hˆ opital echter uitkomst bieden. Deze regel stelt dat voor continue functies op het domein van die functies geldt f (x) f 0 (x) = lim 0 x→a g(x) x→a g (x) lim

Er is natuurlijk een uitzondering: als g 0 (x) = 0. Voordat we verder gaan proberen we de regel even uit.Voor bovenstaand voorbeeld zou de regel de volgende uitwerking hebben: 2x 6 3 f 0 (x) = = = 0 x→3 g (x) 4 4 2 lim

Je ziet dat hier niets van klopt. Proberen we nu echter f 0 (x) 2x = = x→−1 g 0 (x) 4 lim

100

−2 4

= − 21


dan kijken we naar de grafiek van de functie en zien we dat de limiet klopt 1 . We kunnen de limiet ook handmatig berekenen door te substitueren x = −1 + h waarbij h → 0. De regel werkt dus alleen bij de twee uitzonderingsgevallen. Laten we eens bekijken hoe die regel te bewijzen voor zowel 00 als ∞ . voor ∞

18.2

Naar nul

We herinneren ons de definitie van de afgeleide nog: lim

x→a

f (x) − f (a) x−a

Als f (a) = g(a) = 0, dan kunnen we schrijven f (x) f (x) − 0 = g(x) g(x) − 0 hetgeen gelijk is aan f (x) f (x) − f (a) = g(x) g(x) − f (a) Delen we nu beide door x-a dan krijgen we: f (x) = g(x)

f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a

Berekenen we nu de limiet voor deze deling, dan ontstaat f (x) lim = lim x→a g(x) x→a

f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a

hetgeen zich laat herschrijven tot f (x) f 0 (x) = lim 0 x→a g(x) x→a g (x) lim

Als voor de functie in de teller van de breuk geldt x 6= 0 dan gaat deze regel niet op. Immers, x0 voor x 6= 0 is ongedefinieerd .

1 het opmerkelijke is dat als we de teller en de noemer van deze functie omdraaien, de functie niet meer continu is. Immers bij x = 1 is de functiewaarde ongedefinieerd: limx↑1= −∞ en limx↓1 = ∞. Toch klopt ook dan voor limx→−1 nog steeds de juiste waarde bij toepassing van de regel. We begrijpen natuurlijk direct wat er gebeurt als we het domein van die omgekeerde functie beperken tot x < 1: deze functie is weer continu. Zie ook paragraaf 9.4 op pagina 43.

101


Er is ook nog een andere variatie om de regel te bewijzen. Dit gebeurt eveneens met een bewijs waarbij we uitgaan van dingen die we al weten. (We hebben in bovenstaand bewijs niet voor niets gedeeld door x − a, want we wisten waar we uit zouden komen.) In dit tweede geval schrijven we de complete definitie van de twee afgeleiden f (x) en g(x) uit. (a) limx→a f (x)−f f 0 (a) f 0 (x) x−a = lim = g 0 (a) x→a g 0 (x) limx→a g(x)−g(a) x−a

Dat kunnen we schrijven als f 0 (x) lim 0 = lim x→a g (x) x→a hetgeen we vermenigvuldigen met

x−a x−a :

f 0 (x) = lim x→a x→a g 0 (x) lim

Dat leidt tot

f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a

f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a

·

x−a x−a

f 0 (x) f (x) − f (a) = lim x→a g 0 (x) x→a g(x) − g(a) lim

Nu hadden we afgesproken dat f (a) = 0 en g(a) = 0. Derhalve volgt: f 0 (x) f (x) = lim x→a g 0 (x) x→a g(x) lim

18.3

Naar oneindig

(x) ∞ Het bewijs voor fg(x) = ∞ levert meer problemen op. Het is niet eenvoudig te bewijzen uit het speciale geval 00 .

In het bewijs moet de stelling van Rolle worden gehanteerd: Als een kromme op een interval (a, b) twee punten a en b heeft die dezelfde functiewaarde (derhalve: y-co¨ordinaat) hebben, dan is er ergens op die kromme een functiewaarde c waarvan de raaklijn evenwijdig loopt aan de x-as. Met andere woorden: f 0 (c) = 0.

Ook moet de veralgemenisering van de stelling van Rolle worden gebruikt: de zogenoemde middelwaardestelling, f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

omdat we de veralgemenisering van de middelwaardestelling nodig hebben, de middelwaardestelling van Cauchy. 102


Dit gaat een groot ’geloof me maar’-gehalte krijgen zonder deze drie te bewijzen. Daarom kan gerust vastgesteld worden dat de regel van (x) ∞ l’Hˆ opital ook geldt voor fg(x) =∞ . Geloof me maar.

103


Hoofdstuk 19

Integreren 19.1

Inleiding

Differentiaalrekening en integraalrekening vormen samen de infinitesimaalrekening, berekeningen waarbij een eenheid infinitesimaal (oneindig) klein wordt, maar net geen nul. Nauwkeuriger gesteld: een infinitesimaal is een getal dat groter is dan 0 maar kleiner dan elk re¨eel getal. In dit hoofdstuk bekijken we wat het principe achter integreren is, wat de definitie van integreren is en welke praktische manieren er zijn om te integreren.

19.2

Uitgangspunten

Denken we nu eens aan de versnelling van een auto. Zetten we het accelereren uit in een grafiek met snelheid als y-as en tijd als x-as, dan kunnen we op ieder willekeurig moment vaststellen hoe hard de auto rijdt. Met behulp van de differentiaalrekening kunnen we van elk punt berekenen hoe groot de versnelling is. Maar wat bevindt zich nu onder de lijn van de grafiek die de functie weergeeft? Oppervlakte is lengte maal hoogte, en dat is snelheid maal tijd. Laten we dat eens uitrekenen in algemene termen: snelheid maal tijd =

m ·s=m s

Een opmerkelijk resultaat: de oppervlakte onder de grafieklijn schijnt (afgelegde) afstand aan te geven. Nog sterker, dat is daadwerkelijk het geval. Bekijk de situatie maar eens als de snelheid gedurende het hele interval constant is. Wie gedurende ´e´en uur 80 km/h rijdt, heeft na dat uur lengte maal hoogte ofwel 1h · 80 km h = 80km afgelegd, zoals de onderstaande figuur toont:

104


Een interessant uitgangspunt. Kunnen we de oppervlakte uitrekenen, dan kunnen we de afgelegde afstand vaststellen. In dit geval geen groot probleem: lengte maal hoogte, de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek. Laten we nu eens een gedachte-experiment uitvoeren. We kunnen dit immers op twee manieren benaderen. Kijk nog eens naar de voorgaande figuur. Laten we het begin- en eindpunt op de x-as a en b noemen. 1. We berekenen nu het verschil tussen deze twee punten door b − a uit te rekenen en de uitkomst te vermenigvuldigen met de hoogte, die voor iedere x tussen a en b gelijk is. Anders gezegd: f (x) is constant. 2. We kunnen echter ook de oppervlakte berekenen door het vlak onder te verdelen in een aantal gelijke rechthoeken, ieder met een breedte die we ∆x noemen. De rechthoeken zijn in de onderstaande figuur afwisselend rood en blauw ingekleurd:

Vervolgens berekenen we de som van deze oppervlaktes en we komen op hetzelfde resultaat uit. We kunnen onder de grafiek tussen a en b maximaal b − a rechthoeken inpassen. Als we bij het maximaal aantal rechthoeken zijn aangekomen geldt dat de oppervlakte gelijk is aan de som van de oppervlaktes van alle rechthoeken met de breedte ∆x → 0 = dx Redelijk onzinnig natuurlijk. Waarom moeilijk doen als het makkelijk kan? Toch is daar een reden voor. Het probleem is namelijk dat de op105


pervlakte onder de grafieklijn zelden met keurig rechte zijden afgebakend is. De acceleratie van een auto bijvoorbeeld is een kromme: hoe harder de snelheid, hoe moeizamer de versnelling. Nu moeten we de oppervlakte onder een gekromde curve berekenen. Hoe kunnen we dat toch toch voor elkaar krijgen?

19.3

De integraal

Bekijk onderstaande grafiek. We delen de oppervlakte onder de grafiek in een groot aantal rechthoeken. Daarmee kunnen we een redelijk goede benadering maken van de oppervlakte, namelijk de som van alle rechthoeken.

Wat gebeurt er nu als we deze rechthoeken zo smal maken dat het aantal naar oneindig en de breedte naar nul gaat? Met andere woorden: wat gebeurt er als ∆x → dx? Door het sommeren van de oppervlaktes van alle infinitesimaal smalle rechthoeken vullen we de totale oppervlakte van het gedeelte onder de grafieklijn. Deze totale oppervlakte is dan de som van de hoogte (de functiewaarde) van iedere rechthoek, maal de breedte (dx) van iedere rechthoek, ofwel de som van: f (x) · dx We sommeren dus een infinitesimaal aantal rechthoekjes tussen een startpunt a en een eindpunt b. Voor de oppervlakte schrijven we dan ˆ

b

f (x) dx a

waarin het integraalteken het sommatieteken is (een langgerekte s, uitgedacht door de wiskundige Leibniz) dat alle infinitesimaal kleine stukjes oppervlakte tussen a en b bij elkaar optelt.

106


19.4

Definitie integreren

De vraag die we nu moeten beantwoorden is hoe we deze integraal moeten defini¨eren. Zou het kunnen zijn dat er een functie is die afhankelijk van de x-waarde de oppervlakte onder de grafiek van de functie f (x) geeft? Laten we eens proberen of zo’n functie bestaat, en laten we hem F (x) noemen. Wie de waarde x in f (x) invult, berekent het punt op de functielijn; wie x invult in F (x) krijgt de oppervlakte onder de grafieklijn tot aan de lijn die loopt van x naar f (x). Kijk nog eens kort naar de definitie van de afgeleide op pagina 54. De grafiek hieronder geeft het principe nogmaals weer.

De rechte verbindingslijn geeft de verandering aan tussen de twee functiewaarden. De verandering kan geschreven worden als de tan van de hoek tussen de verbindingslijn en de x-as, ofwel als de richtingsco¨effici¨ent van de verbindingslijn. Laten we de functiewaarde f (x + h) naar f (x) bewegen, dus h → 0 dan berekenen we de verandering in f (x). Deze verandering hebben we omschreven als een functie f 0 (x), ofwel de afgeleide functie: f (x + h) − f (x) lim = f 0 (x) h→0 h

We tekenen deze grafiek nu nogmaals, maar kijken nu niet naar de (relatieve) toename tussen de functiewaarden f (x) en f (x + h) maar naar de (relatieve) toename tussen de functiewaarden van F (x) en F (x + h).

We kijken nu niet meer naar de verandering tussen twee punten, 107


gedefinieerd als een lijn, maar naar een verandering tussen twee lijnen, gedefinieerd als een oppervlakte. Kortom: ´e´en dimensie hoger dan bij de definitie van de afgeleide. Er is reeds gesteld dat de oppervlakte onder de grafiek tot aan het punt x gelijk is aan de waarde in x van de nog onbekende functie F (x). De oppervlakte tot aan het punt x + h is dus de waarde van F (x + h). Wat is nu de verandering in oppervlakte tussen F (x) en F (x + h)? Die is uiteraard gelijk aan de toename in oppervlakte gedeeld door de toename van de x-waarde. Uitgedrukt in een formule: F (x + h) − F (x) h Nu kunnen we hetzelfde principe toepassen als bij differenti¨eren. Wat gebeurt er als we de verandering in oppervlakte infinitesimaal klein maken? Dus F (x + h) − F (x) lim h→0 h De verandering is ook hier, net als bij differenti¨eren, infinitesimaal klein, dus gelijk aan F (x) · dx. Uiteraard is deze oppervlakte gelijk aan de (’oppervlakte’ van de) lijn met lengte f (x). Kortom, F (x)dx = f (x) en

F (x + h) − F (x) = f (x) h→0 h lim

ofwel F 0 (x) = f (x) Door de afgeleide functie van F (x) te berekenen komen we uit op de functie f (x). De functie F (x) die de oppervlakte definieert is dus geen willekeurige functie. Er is een directe relatie tussen deze twee functies. Wie f (x) ’omgekeerd differentieert’ weet welke functie F (x) is. Berekenden we bij differenti¨eren de verandering in een punt door middel van een infinitesimale toename, bij integreren berekenen we de verandering in een lijn door een infinitesimale toename.

19.4.1

Bewijs met de insluitstelling

Er is nog een andere elegante manier om te bewijzen dat F 0 (x) gelijk is aan f (x). Dat kan met de zogenoemde insluitstelling. We herinneren ons namelijk deze stelling, die we in paragraaf 14.2.3 op pagina 83 hebben gebruikt.

108


We kunnen namelijk stellen dat de oppervlakte tussen f (x) en f (x + h) gelijk is aan het verschil tussen de totale oppervlaktes van F (x) en F (x + h) ofwel oppervlakte = F (x + h) − F (x) Als we nu h → 0 laten gaan, kunnen we misschien iets meer zeggen over de functie F (x). Maar op dit ogenblik komen we er even niet verder mee. Het is echter mogelijk om dit toegevoegde stuk op een andere manier te beschrijven. Omdat het niet perfect rechthoekig is, bestaat er een boven- en een ondergrens voor de oppervlakte die beide uit te drukken zijn als oppervlaktes van twee rechthoeken, namelijk f (x) · h ≤ oppervlakte ≤ f (x + h) · h Door substitutie van de twee bovenstaande constateringen kunnen we nu het volgende stellen over de oppervlakte van dit kleine toegevoegde stuk: f (x) · h ≤ F (x + h) − F (x) ≤ f (x + h) · h Hier kunnen we wel verder mee, zeker als we gaan kijken wat er gebeurt als h → 0. Laten we daarom bekijken of het rechter- en linkerlid convergeren naar dezelfde limiet L; in dat geval kunnen we vaststellen dat ook de limiet van het middelste lid naar L convergeert. lim f (x) · h ≤ lim F (x + h) − F (x) ≤ lim f (x + h) · h

h→0

h→0

h→0

We delen de h links en rechts uit. Dat mag, daar h > 0, zodat de tekens gelijk blijven. lim

h→0

f (x) · h F (x + h) − F (x) f (x + h) · h ≤ lim ≤ lim h→0 h→0 h h h

109


ofwel

F (x + h) − F (x) ≤ lim f (x + h) h→0 h De limieten van het linker- en rechterlid zijn eenvoudig te berekenen en inderdaad gelijk aan elkaar: lim f (x) ≤ lim

h→0

h→0

f (x) ≤ lim

h→0

F (x + h) − F (x) ≤ f (x) h

Daaruit kunnen we concluderen dat lim

h→0

F (x + h) − F (x) = f (x) h

Aan de linkerkant staat nu weer de definitie van de afgeleide, in dit geval de afgeleide van F (x). Kortom f (x) = F 0 (x)

19.5

De primitieve functie

We hebben gezien dat de functie f (x) de afgeleide van de functie F (x) is, en dat deze functie de oppervlakte onder de grafiek definieert. Wie de oorspronkelijke functie van f (x) kent, kan de oppervlakte onder de grafiek f (x) beschrijven en berekenen. Deze ’oorspronkelijke functie’ noemen we de primitieve functie van f (x). De opbrengst tot nog toe: wie differentieert, krijgt de afgeleide functie, wie integreert krijgt de primitieve functie. De primitieve functie vinden lijkt eenvoudig. Immers, op het eerste gezicht kunnen we primitiveren beschouwen als omgekeerd differenti¨eren. Er zitten echter wel wat haken en ogen aan. Een voorbeeld kan dat verduidelijken. Laten we de volgende simpele functie beschouwen. f (x) = x2 Als deze functie de afgeleide is van de functie F (x), wat is deze functie F (x) dan? We weten dat de afgeleide van xn gelijk is aan nxn−1 . (Zie paragraaf 11.6.5 op pagina 68) Voor de primitieve functie van x2 betekent dit dat n − 1 = 2; dus n = 3. De parameter n van x wordt 1; er geldt dus n · r = 1 ofwel r = n1 = 13 De primitieve functie is daarmee simpel te berekenen: F (x) =

1 3 x 3

Het lijkt erop alsof de bepaling van de primitieve functie weinig complicaties kent. Toch is de bovenstaande uitkomst niet volledig. Beschouw 110


de twee volgende primitieve functies en differentieer beide: F (x) =

1 3 x waarmee F 0 (x) = f (x) = x2 3

1 3 x + 5 waarmee F 0 (x) = f (x) = x2 3 Aangezien er gedifferentieerd wordt naar x vervalt de constante (die we in het algemeen c zullen noemen) in de tweede functie. Beide afgeleiden zijn gelijk en beide primitieve functies zijn dus primitieve functies van x2 F (x) =

Daaruit volgt een belangrijke aanvulling: voor de functie f (x) geldt dat de primitieve functie gelijk is aan F (x)+c. Dit kan consequenties hebben voor het berekenen van de integraal. Voordat we dit doen moeten we wel het verschil kennen tussen de bepaalde en de onbepaalde integraal.

19.6

De constante in de primitieve functie

19.6.1

Bepaalde en onbepaalde integralen

We beschouwen de twee onderstaande integralen. ˆ f (x) dx (1) ˆ

b

f (x) dx (2) a

Op het eerste gezicht lijkt er weinig onderscheid in de twee integralen te zitten. We missen echter bij integraal (1) het beginpunt a en het eindpunt b. De onder- en bovengrens, of liever gezegd het interval, is dus niet bepaald. Dit is dan ook een onbepaalde integraal . Voor de onbepaalde integraal geldt dat de oplossing alle primitieve functies omvat: ˆ f (x) dx = F (x) + c Van integraal (2) is het interval, dus de onder- en bovengrens w´el bepaald: deze grenzen zijn a en b. Dit heet dan ook een bepaalde integraal . De oplossing is hier het verschil tussen de twee primitieve functiewaarden ˆ

b

f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

111


19.6.2

De constante in de onbepaalde integraal

Berekenen we dus een onbepaalde integraal dan is de oplossing nooit volledig: we weten immers niet wat de constante is. Ooit, toen van de primitieve functie de afgeleide werd bepaald is deze verdwenen in de oneindig grote wiskundige ruimte. We kunnen dus nooit verder komen dan ˆ f (x) dx = F (x) + c

19.6.3

De constante in de bepaalde integraal

Maar wat is nu de rol van de constante van de primitieve functie in de bepaalde integraal ? De uitkomst is simpel: ˆ

b

f (x) dx = (F (b) + c) − (F (a) + c) a

ˆ

b

f (x) dx = F (b) − F (a) + c − c = F (b) − F (a) a

In een bepaalde integraal valt de constante weg en is derhalve niet essentieel bij de berekening van de primitieve functie: c kan weggelaten worden.

19.6.4

Voorbeeld constante in een bepaalde integraal

Laten we eens kijken naar een voorbeeld ˆ 5 3x2 dx 1

Zoals we gezien hebben berekent deze integraal de oppervlakte onder de grafiek van f (x) = 3x2 tussen de waarden x = 1 en x = 5. Maar een grafiek en rechthoekjes hebben we niet meer nodig. We berekenen nu de primitieve functie F (x) = x3 + c De oppervlakte is het verschil tussen de twee functiewaarden van de primitieve functie F (x): ˆ

5

3x2 dx = (53 + c) − (13 + c) = (125 + c) − (1 + c) = 124 + c − c = 124 1

Nogmaals zien we dat de constante wegvalt. Wie een bepaalde integraal wil berekenen hoeft zich dus niet te bekommeren om de constante(n) in de primitieve functie.

112


19.7

Primitiveren in de praktijk

Eerder werd optimistisch gesteld dat bij integreren ’simpelweg’ het vinden van de primitieve functie het rekensommetje op kan lossen. Dat is wel erg rooskleurig voorgesteld. Net als bij differenti¨eren is het mogelijk om een groot aantal primitieve functies te herkennen en uit het hoofd te leren. Denk maar aan de functie f (x) = x1 : dat is de afgeleide van ln(x). Wie in een integraal dus x1 tegen komt zal niet lang hoeven na te denken over de mogelijke oplossing. Toch zitten aan die aanpak haken en ogen. Allereerst: we weten misschien dat de primitieve functie van cos(x) gelijk is aan sin(x) en dat 1 x vastgeknoopt zit aan ln(x), maar aan welke primitieve functie F (x) moeten we denken als f (x) = ln(x)?1 En, indachtig de kettingregel, de productregel en de quoti¨entregel  bij differenti¨eren, wat gebeurt er als van de primitieve functie de functies f (x) = sin x2 + 5 of f (x) = sin(ln(x)) x moet worden gevonden? Het toverwoord lijkt hierbij substitutie.

19.7.1

Partieel integreren

Laten we eens kijken naar de primitieve functie van een samengestelde functie. Voor de samengestelde functie geldt achtereenvolgens F (x) = u(x) · v(x) en (pas de productformule voor differenti¨eren toe) F 0 (x) = f (x) = u(x) · v 0 (x) + u0 (x) · v(x) Dat passen we nu omgekeerd toe: ˆ u(x) · v 0 (x) + u0 (x) · v(x) = u(x) · v(x) Op het eerste gezicht lijkt dit niet zo’n spannende conclusie. De integraal van de afgeleide functie is nu eenmaal de primitieve functie (plus constante, bij een onbepaalde integraal). Toch kunnen we hier wat mee. We zien hier even af van de (x) en van de constante, en schrijven de formule enigszins opgeschoond als volgt: ˆ u · v 0 + u0 · v = u · v We splitsen nu de integraal2 ˆ ˆ u · v 0 + u0 · v = u · v 1 bedenkt dat voor ∀x ∈ R en x 6= 0 er een functiewaarde bestaat voor f (x) = 1 , x maar niet voor de primitieve functie F (x) ´ = ln(x), ´ want ´ voor deze functie´ geldt x > ´ 0 2 Denk aan de algemene rekenregels: a+b = a+ b en bijvoorbeeld c·a = c a voor constante c. Er worden namelijk oppervlaktes bij elkaar opgeteld.

113


ˆ

ˆ u · v0 = u · v −

u0 · v

Dit noemen we partieel integreren. Wat kunnen we nu met deze formule? Laten we kijken naar f (x) = ln(x). Stel nu voor dat we deze functie schrijven als u · v 0 . Valt hier te substitueren? We nemen u = ln(x). Wat zou dan v 0 zijn? Als u · v 0 = ln(x) dan geldt dus ln(x) · v 0 = ln(x) en daaruit volgt dat v 0 = 1. Als v 0 = 1 dan is v = x. Omdat we ln(x) schrijven als 1 · ln(x) kunnen we bovenstaande formule gebruiken. Daarvoor hebben we nog wel u0 (of du) voor nodig, ofwel d(ln(x)) = x1 dx. Laten we nu integreren met substitutie. De constante bewaren we tot het einde. ˆ ˆ 1 · x · dx u · v 0 = ln(x) · x − x hetgeen gelijk is aan

ˆ x · ln(x) −

x dx x

verder vereenvoudigd tot ˆ x · ln(x) −

1dx = x · ln(x) − x

Conclusie: de primitieve functie van ln(x) = x · ln(x) − x + c Met behulp van deze methode is een groot aantal functies te primitiveren en daarmee te integreren.

Wie de voetnoot op pagina 80 leest moet zich realiseren dat het lang niet altijd direct duidelijk is wat of welke volgorde te kiezen. In dit geval: welke functie moeten we voor u kiezen en welke voor v 0 ? Soms leidt dat onvermijdelijk tot dubbel rekenwerk. Laten we een voorbeeld nemen. We zoeken de oplossing van de integraal ˆ 2te−t dt Het onderdeel 2t ziet er aantrekkelijk uit. Het is de afgeleide van t2 . We kiezen dus u = e−t v 0 = 2t en daarmee u0 = −e−t v = t2 114


We integreren volgens de formule: ˆ ˆ ˆ 2te−t dt = t2 e−t − −t2 e−t dt = t2 e−t + t2 e−t dt Hier schieten we niet veel mee op. We bekijken onze opties. We halen de constante 2 uit de integraal en beschouwen 1 als de afgeleide van t. De volgorde is nu u=t v 0 = e−t en dus u0 = 1 v = −e−t We proberen het opnieuw:   ˆ ˆ 2 te−t dt = 2 −te−t − 1 · −e−t dt = −2e−t (t + 1) + C en deze volgorde levert ons wel succes op.

19.7.2

Substitueren bij samengestelde functies

voorbeeld 1 We zoeken de primitieve functie van f (x) =

x x2 + 5

We stellen: u = x2 + 5. De functie ziet er dan als volgt uit: f (x) = De onbepaalde integraal is nu ˆ x dx u

x u.

Wat kunnen we stellen over dx? Immers, we gaan nu integreren naar de variabele u in plaats van naar x. De integraal verandert dus: ˆ ˆ f (x)dx → udu Hoe verhouden dx en du zich tot elkaar? Laten we even kijken naar u = x2 + 5 dus du = 2xdx 1 du dx = 2x 115


De bovenstaande integraal wordt daarmee ˆ ˆ ˆ x 1 x 1 1 1 · du = · du = 2 · u du = u 2x 2x u

ˆ 1 2

1 du u

Nu is het geheel fatsoenlijk op te lossen want ˆ 1 1 du = 21 · ln(u) + c 2 u Immers, de primitieve functie van x1 = ln(x) + c Terug substitueren levert nu op ˆ  x = 12 · ln x2 + 5 + c 2 x +5 Waarmee we de primitieve functie hebben gevonden. opmerking  Aangezien ln x2 + 5 > 0 voor ∀x ∈ R (vanwege het kwadraat) klopt deze uitkomst. Ook bij het berekenen van de primitieve functie van f (x) = ln(x) is er geen probleem, omdat ook hier altijd dient te gelden x > 0. We hoeven ons hier dus geen zorgen te maken. Zoals opgemerkt in voetnoot 1 op pagina 113 is dat lang niet altijd het geval. Bij het primitiveren van de functie f (x) = x1 waarbij x een waarde x < 0 kan aannemen is de primitieve functie F (x) = ln |x|, daar moet gelden x > 0. voorbeeld 2 In de inleiding van deze paragraaf vroegen we ons af wat de primitieve functie van sin(ln(x)) f (x) = x zou kunnen zijn. Dat gaan we nu berekenen met behulp van substitutie. We kiezen voor substitutie ln(x) = u. Dat betekent du = x1 dx. Daaruit volgt dx = xdu. Nu is de integraal eenvoudig te berekenen: ˆ ˆ ˆ sin(u) sin(u) dx = x · du = sin(u)du x x Daarmee is de primitieve functie (substitueer en voeg de constante toe) − cos(ln(x)) + c

voorbeeld 3 De integraal is

ˆ sin(x) cos(x)dx 116


Deze integraal is op een aantal manieren aan te pakken. Dat zullen we later nog zien. Maar nu kiezen we voor substitutie van een van de termen. Welke van de twee termen moeten we nu kiezen? We weten dat de afgeleide van sin(x) = cos(x), dus de primitieve functie van cos(x) is sin(x) + c, en van sin(x) is − cos(x) + c. Daar worden we niet veel wijzer van. Laten we beide proberen. voorbeeld 3a We beginnen met cos(x) = u. De zoektocht wordt dan ˆ u · sin(x)dx Nu geldt du = − sin(x)dx dx = −

1 sin(x)du

We komen daarmee uit op ˆ u · sin(x) · −

1 du sin(x)

ˆ −udu = − 21 u2 Substitutie ongedaan maken levert ons dus de primitieve functie op: − 12 cos2 (x) + c

voorbeeld 3b We hebben nog een belofte in te lossen voor sin(x) = u. De zoektocht wordt nu ˆ u · cos(x)dx Nu geldt du = cos(x)dx dx =

1 du cos(x)

We komen daarmee uit op ˆ u · cos(x) ·

1 du cos(x)

ˆ udu = 21 u2 117


En ook dit keer maken we de substitutie ongedaan en krijgen we de primitieve functie: 2 1 2 sin (x) + c Wat is er nu gebeurd? De primitieve functie is zowel − 12 cos2 (x) + c als 2 1 2 sin (x) + c. Hebben we een rekenfout gemaakt? Nee, gelukkig niet, want we weten dat3 sin2 (x) + cos2 (x) ≡ 1 sin2 (x) ≡ 1 − cos2 (x) We substitueren 1 2 1 2

sin2 (x) + c = 21 (1 − cos2 (x)) + c 1 2

cos2 (x) + c = − 21 cos2 (x) + c +

1 2

We zien tot onze tevredenheid dat de primitieve functies gelijk zijn op de waarde van de constante na. Dat is niet verbazingwekkend, want de constante kan iedere waarde hebben. Hij verdwijnt immers bij het differenti¨eren. Als we de twee functies grafisch met elkaar vergelijken dan ligt de functie f (x) = − 12 cos2 (x) een half lager dan de functie 12 sin2 (x). Zie daarvoor onderstaande grafiek.

Inderdaad blijkt bij nadere bestudering de factor 21 het verschil te maken. De functies zijn beide primitieve functies van f (x) = sin(x) cos(x). voorbeeld 4 De substitutiemethode is ook heel handig om te gebruiken bij bepaalde 3 In de eenheidscirkel, waar de overliggende zijde van de hoek x gelijk is aan sin(x), de aanliggende zijde aan cos(x) en de hypotenusa gelijk is aan 1 zorgt Pythagoras’ a2 + b2 = c2 dan voor de rest.

118


integralen. Laten we daar opnieuw f (x) = sin(x) cos(x) voor nemen. We willen nu de integraal op het interval 0 → 21 π berekenen. Dat is namelijk een praktische toepassing van integralen: het berekenen van de oppervlakte onder een grafiek tussen twee waarden. We schrijven de berekening nu iets korter. We stellen: sin(x) = u → d(u) = d(sin(x)) = cos(x) Nu volgt dat als x van 0 naar 12 π loopt, sin(x) = u loopt van 0 tot 1. ˆ

1 2π

ˆ

1

sin(x) cos(x) =

0

udu 0

ˆ

1

udu = [ 21 u2 ]10

0

Geen noodzaak sin(x) weer in te vullen, want de uitkomst F (b) − F (a) berekenen is natuurlijk simpel: [ 12 u2 ]10 =

1 2

−0=

1 2

voorbeeld 5 Zijn de substitutiemethode en partieel integreren altijd te gebruiken? Dit is helaas niet het geval; er zitten beperkingen aan. Als dx en du niet van elkaar te scheiden zijn, werkt de substitutie niet. Maar zelfs als we dat probleem uit de weg kunnen helpen kan het nog mis gaan. Een voorbeeld waarin we kiezen voor een verraderlijk simpele integraal: ˆ  cos x2 dx De oplossing lijkt voor de hand te liggen. We substitueren x2 = u en derhalve geldt du = d(x2 ) = 2xdx. Nu volgt dat dx = Nu gaat

du 2x

ˆ cos(u)

du 2x

ons niet verder helpen. Het kwadraat zit ons in de weg. Als dit er niet was, zou de x verdwijnen. Laten we daarom een andere benadering 1 √ kiezen: x2 = u dus x = u ofwel u 2 . Nu geldt 1

dx = 12 u− 2 du 119


Dit lijkt wel goed te gaan. We substitueren: ˆ ˆ 1  cos x2 dx = cos(u) 12 u− 2 du Dit brengt ons tot

ˆ 1 2

1

u− 2 cos(u)du (1)

Laten we nu opnieuw substitueren, waarbij 1

t = u− 2 zodat

3

dt = − 21 u− 2 en dv = cos(u)du zodat v = sin(u) We kunnen de integraal nu schrijven als ˆ 1 tdv 2 of volgens de regel voor partieel integreren ˆ ˆ t · dv = t · v − dt · v We substitueren 1 2

of 1 2

  ˆ 1 3 u− 2 sin(u) − − 12 u− 2 sin(u)du



1 −2

u

ˆ sin(u) +

1 2

3 −2

u

 sin(u)du (2)

We vergelijken de integraal uit (1) met deze van (2) en zien dat de volgende integratiestap heeft plaatsgevonden: ˆ ˆ 1 3 u− 2 cos(u)du → u− 2 sin(u)du Het laat zich raden waar dit op uitdraait: de functies cos en sin blijven alterneren terwijl de exponent telkens met 1 wordt vermeerderd. Substitutie werkt hier dus niet. Er is voor deze integraal geen eindige combinatie van functies als resultaat. Ook wel: deze integraal heeft geen oplossing in gesloten vorm. 120


Het betekent dat deze integraal niet uit kan worden gedrukt als een combinatie van elementaire functies. De integraal kan echter wel worden opgelost door de functie uit te drukken als een alternerende somreeks, een bijzondere vorm van een zogenoemde Taylorreeks: de Maclaurinreeks. In het hoofdstuk over de identiteit van Euler (paragraaf 24.5.1 op pagina 161) zullen we terugkomen op de Taylor- en Maclaurinreeks.4

4 De

 functie cos x2 kan inderdaad geschreven worden als Maclaurinreeks. Deze reeks is een bijzonder geval van de Taylorreeks, namelijk de reeksontwikkeling rond f (0). De Maclaurinreeks is f (x) =

∞ X

f (n) (0)

n=0

xn n!

Met de Taylor- en Maclaurinreeks kunnen functies benaderd worden rond een specifieke waarde x, en, zoals in het geval van de Maclaurinreeks, rond waarde 0. Nu weten we dat als f (x) = cos(x), dat voor de eerste afgeleide f 1 (x) = − sin(x) geldt en voor de volgende afgeleiden f 2 (x) = − cos(x), f 3 (x) = sin(x), en tenslotte weer f 4 (x) = cos(x). Kijken we nu naar elke afgeleide in x = 0, dan zien we f (0) = 1, f 1 (0) = 0, f 2 (0) = −1, f 3 (0) = 0 en f 4 (0) = 1. Gebruiken we deze waarden om de Maclaurinreeks te bepalen, dan zien we dat alle oneven termen wegvallen en de overige termen alterneren van positief naar negatief (zie ook pagina 163): cos(x) = 1 −

x2 x4 x6 x8 x10 + − + − + .... 2! 4! 6! 8! 10!

Dit schrijven we in sigmanotatie als cos(x) =

∞ X

(−1)n

n=0

Voor cos

x2



x2n (2n)!

geldt dan na substitutie ∞ X  x4n cos x2 = (−1)n (2n)! n=0

Nu is integreren eenvoudig: ˆ X ˆ ∞ ∞ ∞ X X x4n (−1)n (−1)n x4n+1 (−1)n dx = x4n dx = +C (2n)! (2n)! (2n)! 4n + 1 n=0 n=0 n=0 Deze integraal wordt ook wel een Fresnelintegraal genoemd. Twee Fresnelintegralen zijn ˆ x  C(x) = cos t2 ˆ

en

0 x

S(x) =

sin t2



0

Deze spelen een belangrijke rol in de optica. Zoals te zien is dienen deze integralen ge¨ evalueerd te worden over het interval {0, x}. Evalueren we de integraal van 0 tot x dan zien we dat de ondergrens wegvalt (deze is gelijk aan 0) en de waarde voor de bovengrens x overblijft.

121


Wie met goniometrische functies werkt, komt snel in aanraking met dit soort problemen. Maar niet altijd. Soms loopt het toch goed af. We kennen inmiddels ˆ sin(x) cos(x)dx We weten dat we deze integraal met behulp van substitutie kunnen aanpakken. Nu negeren we die kennis even, en zonder deze kennis vrezen we opnieuw het ergste: sin(x) en cos(x) zijn respectievelijk elkaars afgeleide en primitieve functie. Kans is dat we opnieuw geen oplossing in gesloten vorm kunnen vinden. We gokken het er toch op en kiezen de volgende uitgangspunten voor partieel integreren: u = sin(x) u0 = cos(x) en v 0 = cos(x) v = sin(x) Met partieel integreren bepalen we nu ˆ ˆ sin(x) cos(x)dx = sin(x) · sin(x) − cos(x) sin(x)dx Dit lijkt weer niet goed te gaan tot we ons realiseren dat hier staat ˆ 2 sin(x) cos(x)dx = sin2 (x) Er geldt dus

ˆ sin(x) cos(x)dx =

1 2

sin2 (x) + C

en daarmee is de oplossing nog eens korter en eenvoudiger dan met substitutie.

19.7.3

Breuksplitsen

Het hulpmiddel breuksplitsen kan zeer behulpzaam zijn bij integreren. Nemen we de volgende integraal. ˆ 1 dx x2 − 2x − 3 We zien dat we de noemer kunnen ontbinden in factoren: ˆ 1 dx (x − 3)(x + 1)

122


Laten we even terugkijken naar de regels voor breuksplitsing. Stel, we hebben de som van twee breuken waar we de noemer gelijk van willen maken: A B A(x + 1) B(x − 3) + = + x−3 x+1 (x − 3)(x + 1) (x − 3)(x + 1) Dat geeft ons A(x + 1) + B(x − 3) Ax + A + Bx − 3B = (x − 3)(x + 1) (x − 3)(x + 1) Nu herschikken we de termen (A + B)x + (A − 3B) (x − 3)(x + 1) We weten nu dat de teller gelijk dient te zijn aan 1 (zie oorspronkelijke teller). Aangezien er geen product van x in de teller staat betekent dat voor (A + B)x moet gelden A + B = 0. De constante komt voor rekening van (A − 3B) = 1. Nu rekenen we uit A = −B en A = 1 + 3B ofwel 1 + 3B = −B, en 4B = −1. Dus: B = − 14 en A = 14 . We kijken nu weer terug naar ons uitgangspunt: B A(x + 1) B(x − 3) A + = + x−3 x+1 (x − 3)(x + 1) (x − 3)(x + 1) waarmee we nu weten dat 1 1 1 = − (x − 3)(x + 1) 4(x − 3) 4(x + 1) Nu kunnen we snel integreren met behulp van de somregel. ˆ  ˆ 1 1 1 dx − dx = 41 (ln |x − 3| − ln |x + 1|) + C 4 x−3 x+1

19.7.4

Functies herleiden

Dit hoofdstuk beoogt geen vademecum van alle mogelijke primitieven te zijn, noch van alle bestaande uitzonderingen. Zoals eerder gezegd is het verstandig een aantal primitieven uit het hoofd te leren. Daardoor is het mogelijk bepaalde oplossingsrichtingen makkelijker te vinden. Door patronen te herkennen en functies lateraal te bezien is het mogelijk functies aan te pakken die op het eerste gezicht niet primitiveerbaar lijken. Daarvan zullen we drie voorbeelden bekijken. voorbeeld 1 We beschouwen de functie f (x) = sin2 (x) 123


ˆ

en dus

sin2 (x)dx Wie hier het hoofd over breekt zal zien dat een directe aanpak met substitutie niet werkt. Wel is het goed om te bedenken dat we hier met een goniometrische functies te maken hebben. Ook al zijn we aan het primitiveren, de regels voor goniometrische functies blijven onverkort van kracht. Voor goniometrische functies zijn talloze identiteiten te formuleren. Denk maar aan het simpele tan(x) dat als quoti¨ent van sin(x) en cos(x) kan worden geschreven. In dit geval niet zo nuttig. Er is geen quoti¨entregel voor integreren en het gaat hier bovendien over een kwadraat van een goniometrische functie. Een andere identiteit is sin2 (x) + cos2 (x) ≡ 1, een voortvloeisel uit de stelling van Pythagoras (zie noot 3 onderaan pagina 118). Keren we nu even terug naar pagina 80 en bekijken we hoe we daar de afgeleide van sin(x) berekenden met behulp van een aantal ondersteunende bewijzen aangaande de som en het verschil van goniometrische functies van samengestelde hoeken. We toonden daar aan hoe we sin(a + b) en sin(a − b) uitschrijven. Op dezelfde manier zijn cos(a + b) en cos(a − b) af te leiden. Wij kiezen hier voor cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) Laten we bekijken wat er gebeurt in het geval dat a = b = x. Indien we de formule uitwerken cos(x + x) = cos(x) cos(x) − sin(x) sin(x) blijkt cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) Ook wisten we dat sin2 (x) + cos2 (x) = 1 Deze wijsheden kunnen we op allerlei manieren met elkaar combineren. Ik laat de stappen zien zonder verder commentaar, uitgaande van de bovenstaande resultaten. 2 sin2 (x) + cos(2x) = 2 sin2 (x) + cos2 (x) − sin2 (x) 2 sin2 (x) + cos(2x) = sin2 (x) + cos2 (x) = 1 2 sin2 (x) = 1 − cos(2x) 1 − cos(2x) 2 Nu zijn we uitgekomen bij een alternatieve functie zonder kwadraat. Willen we sin2 (x) integreren dan kunnen we dit dus oplossen door ˆ ( 12 − 12 cos(2x))dx sin2 (x) =

124


uit te rekenen. Dat levert geen problemen op. We brengen de factor buiten de integraal en splitsen in  ˆ ˆ 1 1dx − cos(2x)dx 2 1 2

ˆ

 x−

 cos(2x)dx

ˆ

Laten we nu

cos(2x)dx aanpakken met substitutie,waarbij 2x = u Nu geldt du = 2dx dus dx = 21 du Substitutie levert op ˆ

ˆ cos(u) 12 du =

1 2

cos(u)du

hetgeen leidt tot 1 2

sin(u) =

1 2

sin(2x)

Nemen we deze twee samen en voegen we de constante toe dan krijgen we als primitieve functie 1 2

(x − sin(2x)) + c

voorbeeld 2 Het is de moeite waard om even terug te keren naar paragraaf 16.5.6 op pagina 95. Daarna keren we terug en kijken naar de integraal ˆ dx x2 + 4x  Dit kan geen afgeleide van ln x2 + 4x zijn, omdat er in de teller de afgeleide 2x + 4 ontbreekt. We kijken of deze integraal te herleiden is tot een andere bekende functie. Daartoe complementeren we in de noemer het merkwaardig product door er 4 bij op te tellen en tegelijkertijd 4 van af te trekken. We krijgen dan ˆ dx x2 + 4x + 4 − 4 125


ˆ

of

dx (x + 2)2 − 4

Nu substitueren we u=x+2 du = dx ˆ

dus

du −4

u2

Dit doet ons denken aan de afgeleide artanh0 (x) =

1 1 − x2

In ons geval moet u viermaal zo groot worden om de −4 kwijt te raken. We substitueren opnieuw: u = 2v du = 2dv ˆ

dus

dv = (2v)2 − 4

ˆ

2dv 4v 2 − 4

Dit vereenvoudigen we en brengen de constante uit de integraal: ˆ ˆ dv dv 1 1 = − 2 2 v2 − 1 1 − v2 Dit is gelijk aan − 12 artanh(v) + C Na terugplaatsen via v = 12 u =

x+2 2

volgt   x+2 F (x) = − 12 artanh +C 2

voorbeeld 3 Kan omvormen of vereenvoudigen (naar een andere, gelijk(waardig)e vergelijking) altijd? Laten we een waarschuwing opnemen. De functie is f (x) =

2x2 − 2x − 12 x−3

Stel nu voor dat we deze functie willen integreren. Hoe berekenen we simpel de primitieve functie? Het is duidelijk dat deze breuk is te vereenvoudigen. Immers f (x) =

(2x + 4)(x − 3) 2x2 − 2x − 12 = = 2x + 4 x−3 x−3 126


Dit ziet er verleidelijk uit. De primitieve functie is snel te vinden als ˆ (2x + 4)dx = x2 + 4x + c Toch hebben we hier een probleem. Kijk naar de originele functie en bereken f (3). Dat gaat niet goed: we komen uit op 00 . In een later hoofdstuk (paragraaf 22.3 op pagina 144) zullen we berekenen dat lim f (x) = 10

x→3

maar een limiet is geen functiewaarde. De grafiek vertoont in co¨ordinaat (3, 10) een gat, en dat dichten we door de vereenvoudiging. In de primitieve functie x2 + 4x + c heeft F (3) gewoon een waarde. Zou dat wel kloppen? Voor f (3) geldt f (x) =

2x2 − 2x − 12 6= 2x + 4 x−3

We zullen dus wat degelijk handwerk toe moeten passen om te controleren of die vereenvoudiging toegestaan is. Allereerst splitsen we de integraal in drie enkelvoudige breuken. ˆ ˆ ˆ 2x2 2x 12 dx − dx − dx x−3 x−3 x−3 Nu substitueren we volgens beproefd recept: u=x−3 du = 1dx dx = du dus

ˆ

2x2 du − u

ˆ

2x du − u

ˆ

12 du u

Daar lijken we op het eerste gezicht niet verder mee te komen. Echter, we stelden u=x−3 dus x=u+3 Hetgeen we kunnen gebruiken in de uitwerking. We substitueren verder met ˆ ˆ ˆ 2(u + 3) 12 2(u + 3)2 du − du − du u u u ! ˆ ˆ ˆ (u + 3)2 (u + 3) 6 2 du − du − du u u u 127


Uitwerken geeft ˆ 2

u2 + 6u + 9 du − u

ˆ

u+3 du − 6 u

ˆ

! 1 du u

We vervolgen stug onze weg met ˆ 2

u2 du + u

ˆ

6u du + u

ˆ

9 du − u

ˆ

u+3 du − 6 u

ˆ

! 1 du u

Vereenvoudigen levert ˆ 2

ˆ udu +

ˆ 6du + 9

1 du − u

ˆ

ˆ 1du − 3

1 du − 6 u

ˆ

! 1 du u

voor zover we in dit stadium over vereenvoudigen kunnen spreken. Opletten is wellicht een beter woord. Alle elementen zijn nu te integreren: ! 2

1 2 2u

+ 6u + 9 ln |u| − u − 3 ln |u| − 6 ln |u|

of u2 + 12u + 18 ln |u| − 2u − 6 ln |u| − 12 ln |u| Zoals eerder vermeld: denk erom dat u = |u|, want indien u ≤ 0 dan bestaat ln(u) niet. We houden nu over u2 + 10u We vervangen u weer door (x-3) en krijgen (x − 3)2 + 10(x − 3) = x2 + 4x − 21 We hadden in het begin gesteld dat ˆ (2x + 4)dx = x2 + 4x + c

Het ziet er naar uit dat we al deze moeite voor niets hebben gedaan. Maar dat valt nog maar te bezien. Laten we een paar stappen terug gaan en kijken naar het tussenresultaat u2 + 12u + 18 ln |u| − 2u − 6 ln |u| − 12 ln |u| Als we hier nu u = x − 3. substitueren krijgen we (x − 3)2 + 12(x − 3) + 18 ln |x − 3| − 2(x − 3) − 6 ln |x − 3| − 12 ln |x − 3| 128


Kijken we naar de integrand F (3) dan kunnen we niet anders dan vaststellen dat ln(0) ongedefinieerd is. Hoe lossen we dit op? De functie 2 f (x) = 2x −2x−12 is niet continu, omdat er een ’gat’ in de grafiek bij x−3 (3,10) zit. Wat kunnen we nu werkelijk zeggen over de mogelijkheid deze functie te vereenvoudigen? We komen hier in paragraaf 19.8 op terug, maar eerst kijken we nog naar een ander praktisch hulpmiddel bij integreren. Daartoe keren we kort terug naar de basisschool.

19.7.5

Staartdeling

We hebben ontbinden in factoren al vele malen besproken, zoals in de hoofdstukken 6 en 7. Er valt soms iets uit te rekenen en soms is met enig gezond verstand naar de factoren te zoeken. Maar zodra er hogere machten aan te pas komen wordt dat al gauw moeilijk of bewerkelijk. Is er echter sprake van een quoti¨ent, dan is het de moeite waard om te kijken of de noemer uit de teller gedeeld kan worden, zodat integreren eenvoudiger wordt. Daarbij nogmaals de waarschuwing dat dit kan leiden tot het includeren van functiewaarden die in de oorspronkelijke, nietvereenvoudigde functie niet bestaan. We kijken weer naar 2x2 − 2x − 12 x−3 Dit is uiteraard een deling. En iedereen die op de basisschool staartdelingen heeft gemaakt, kan dat nog steeds: x − 3/2x2 − 2x − 12\2x + 4 2x2 − 6x 4x − 12 4x − 12 0 Veel voorbeelden zijn gekozen om netjes uit te komen, maar de wiskundige werkelijkheid bestaat vaker uit vuile handen dan uit gemanicuurde nagels. Het komt lang niet altijd mooi uit. Als dat het geval is, voeg dan factoren of constanten toe en trek deze dan direct weer van de som af, bijvoorbeeld 2x2 + 3 = 2x2 + 6 − 3. Vaak blijft dan nog een niet deelbare c . Dan is integreren (met in rest over in de vorm van (bijvoorbeeld) x−3 dit geval substitutie) desalniettemin een stuk eenvoudiger geworden; in dit geval wordt de laatste, resterende breuk c · ln(x − 3).

19.8

Oneigenlijke integralen

We keren nu terug naar het probleem van de functie met een ’gat’ in de grafiek, en dus een ontbrekende integrand. 129


Een integraal waar de integrand in een of meer punten niet bestaat, of die een niet-eindig integratie-interval heeft noemen we een oneigenlijke integraal . Een integraal van het type ˆ

ˆ

+∞

b

of −∞

a

noemen we een oneigenlijke integraal van de eerste soort of type I, een integraal ’met een gat’ (of met meer gaten) zoals ons voorbeeld ˆ b 2 2x − 2x − 12 voor a < 3 < b x−3 a noemen we een oneigenlijke integraal van de tweede soort of type II. Wat heeft dit nu voor feitelijke consequenties? Aan veel van dit soort integralen kunnen we, ondanks deze beperkingen, toch een waarde toekennen. Kort terugkerend naar de definitie van een integraal valt te stellen dat er voor de bovenstaande functie op zijn domein bij x = (3) een rechthoek met de hoogte f (3) en de infinitesimale breedte dx niet bestaat. Dit ruikt naar een limietsituatie. Preciezer gesteld: indien de boven- en onderlimiet bestaan is het probleem eenvoudig op te lossen door de integraal te splitsen, de limieten te berekenen en de deelsommen bij elkaar op te tellen. Als we stellen dat een dergelijke functie ge¨ıntegreerd moet worden over een interval [a, b] waar een waarde c bestaat waar de integrand niet gedefinieerd is, dan splitsen en sommeren we de integraal als volgt en berekenen we de deellimieten: ˆ b ˆ c ˆ b f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx a

c↑b

c↓a

a

c

Als deze limieten bestaan kunnen de twee intervallen gewoon bij elkaar opgeteld worden. We moeten ons nog afvragen wat dit betekent dit voor onze oneigenlijke integraal van de tweede soort ˆ b 2 2x − 2x − 12 x−3 a Het is eenvoudig vast te stellen dat de limiet van links en de limiet van rechts allebei bestaan5 en gelijk zijn aan 0. Daarmee kan de integraal 5 Keren

we in ons voorbeeld terug naar de primitieve functie u2 + 12u + 18 ln |u| − 2u − 6 ln |u| − 12 ln |u|, dan substitueren we nu u = ∆x In dit geval vallen de factoren

130


gesplitst worden tussen a en 3 en 3 en b, en vervolgens gesommeerd. Berekenen we nu de bepaalde integraal, dan krijgen we [F (x)]3a + [F (x)]b3 = (0 − F (a)) + (F (b) − 0) −F (a) + F (b) = F (b) − F (a) = [F (x)]ba Praktisch gezien valt te stellen dat een functie integreerbaar is op een interval als hij in hooguit een aftelbaar aantal punten op dat interval nietcontinu is. Denk aan de definities van een continue functie: als a en b dicht bij elkaar liggen, dan liggen ook f (a) en f (b) dicht bij elkaar. Wat populair gesteld: er zitten geen rare knikken of overgangen in de grafiek. Dat is hier het geval. Met het inzicht dat we verkregen hebben van deze specifieke functie berekenen we de integraal over een interval dat x = 3 bevat dus gewoon als F (x) = [x2 + 4x]ba

19.9

Meervoudige integralen

We hebben gezien dat de integraal in principe de functie van de (al dan niet begrensde) oppervlakte onder een grafiek beschrijft. Dit is een toepassing in twee dimensies: hoogte en breedte. Het is uiteraard ook mogelijk in meer dan twee dimensies de ruimte onder een grafiek te berekenen. We spreken dan uiteraard niet van oppervlakte maar van inhoud . Zoals we integreren in twee dimensies kunnen voorstellen als het sommeren van een oneindig aantal rechthoekjes met hoogte f (x) en breedte dx, zo kunnen we ons het integreren in drie dimensies voorstellen als het optellen van een oneindig aantal plakken met een breedte dx die de oppervlakte onder de grafiek van f(x) uitmaken. Daar we de functie die deze oppervlakte beschrijft vaak als F (x) omschrijven, kunnen we de som van al die ’functieplakken’ daarmee beschrijven als de integraal van de functie F (x), namelijk als ˆ F (x)dx ˆ

Omdat F (x)dx =

f (x)dx

schrijven we de integraal van de inhoud als een meervoudige integraal ¨ f (x)dx 18 ln |∆x| − 6 ln |∆x| − 12 ln |∆x| wel correct tegen elkaar weg, daar ∆x > 0. Daarmee wordt de resterende primitieve functie dus weer u2 + 10u. Substitueer nu x − 3 voor u en we krijgen limx↑3 = limx↓3 x2 + 4x − 21 = 0

131


Het is op deze manier mogelijk naar twee variabelen te integreren: eerst naar dx en vervolgens bijvoorbeeld naar dy ¨ f (x, y)dxdy Uit bovenstaande omschrijving blijkt dat het daarmee ook in het algemeen mogelijk is functies te integreren die van meer variabelen afhangen. We komen hier nog op terug, maar een goed voorbeeld is de vergelijking van een cirkel, bijvoorbeeld x2 + y 2 = c √ hetgeen een cirkel voorstelt met een straal van c. De algemene aanpak is eerst naar dx te integreren en de y als constante te beschouwen en vervolgens het eindresultaat naar dy te integreren en de x als constante te beschouwen. Hier een uitgewerkt voorbeeld van de de meervoudige integraal ¨ (x2 + y 2 )dxdy De berekening is in dit geval redelijk rechttoe-rechtaan. We berekenen eerst ˆ (x2 + y 2 )dx = 13 x3 + y 2 x + C en vervolgens berekenen we ˆ  2 1 3 1 3 1 3 3 x + y x + C dy = 3 x y + 3 y x + Cy + c De constanten kunnen hier verschillend zijn, daarom worden ze achtereenvolgens geschreven als c en C. Het levert ons het resultaat op ¨ (x2 + y 2 )dxdy = 31 x3 y + 13 xy 3 + Cy + c Om terug te keren naar het opschalen van oppervlakte naar inhoud: het is mogelijk om drievoudig te integreren, dat zou bijvoorbeeld kunnen gaan over een variabele die de soortelijk massa van een stof bepaald. Men berekent dan eerst de oppervlakte van het platte vlak, daarna de som van alle platte vlakken en daarna de som van de massa van alle platte vlakken. Er kan wat dat betreft zelfs uitgebreid worden in hogere dimensies. Denk maar eens aan het berekenen van het volume van een zogenoemde tesseract of hyperkubus, een vierdimensionale kubus. De idee achter meervoudige integralen is vrij simpel, de uitwerking vaak lastig, daar het een flinke rekendiscipline vraagt.

132


19.10

Tot slot

Integreren en differenti¨eren vormen samen de infinitesimaalrekening, de wiskunde van (en met) de infinitesimalen. Er is welhaast geen belangrijker onderdeel te vinden in de wiskunde. Maar ook in talloze andere disciplines, van natuurkunde tot economie, kortom in elke discipline waar gerekend wordt is de infinitesimaalrekening van enorm belang. De uitleg in dit hoofdstuk en in het hoofdstuk over differenti¨eren probeert aan te geven welk idee er achter infinitesimaalrekening schuil gaat en op welke principes het steunt. En dat is alleen nog maar het begin. Zoals al gezegd: Wie kan differenti¨eren en integreren kan de wereld naar zijn hand zetten.

133


Hoofdstuk 20

Het binomium van Newton 20.1

Inleiding

Het uitwerken van het merkwaardig product (x + y)2 is voor de meeste mensen geen ingewikkelde opgave. Het simpelweg uitschrijven van de macht in zijn componenten en het zorgvuldig vermenigvuldigen van alle losse onderdelen leidt al snel tot een oplossing: (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y = x2 + 2xy + y 2 Ook voor enkele hogere machten is dit nog wel te doen, maar wat als we (x + y)23 willen uitrekenen? Het zou prettig zijn als we een algemene formule hadden waarmee we dit soort kunstjes kunnen vereenvoudigen. Omdat het hier over wiskunde gaat is duidelijk dat voor merkwaardige producten zo’n kunstje bestaat: het binomium van Newton of de binomiaalstelling. Deze formule ziet er als volgt uit: n   X n n−k k n (x + y) = x y k k=0

 n

In deze vergelijking komt k voor. Dit is de binomiaalco¨effici¨ent, en deze wordt uitgesproken als n boven k . De binomiaalco¨effici¨ent is gedefinieerd als   n n! = k k!(n − k)! Bij het uitwerken van de binomiaalco¨effici¨ent hoeven niet de complete faculteiten te worden uitgerekend; immers, een groot deel van de termen  vallen tegen elkaar weg. Neem als voorbeeld 54 . Werken we deze uit

134


dan krijgen we 5! 1·2·3·4·5 = 4!(5 − 4)! 1·2·3·4·1 Er is weinig wiskundig inzicht nodig om te zien dat het hier gaat over 5 Verder volgt uit 1 = 5 omdat we veel tegen elkaar kunnen wegstrepen.   dedefinitievan de binomiaalco¨effici¨ent dat 54 = 51 of meer algemeen n n k = n−k . Voor de volledigheid moet vermeld worden dat de afspraak is dat 0! = 1.

20.2

Driehoek van Pascal

Wat stelt een binomiaalco¨effici¨ent eigenlijk voor? Daarvoor kijken we kort naar de driehoek van Pascal . Kijken we nauwkeurig, dan zien we dat ieder getal op de volgende rij de som is van de getallen die links en rechts boven dit getal staan. Aan de randen is dat natuurlijk links of rechts: 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Wat stellen de individuele getallen in de driehoek voor? Ze geven het aantal unieke kortste paden aan die van boven naar het unieke getal af te leggen zijn. De 20 midden onderaan geeft dus aan: er zijn 20 manieren om van de bovenste 1 naar deze 20 te komen, en al deze wegen zijn even lang. Het is de moeite waard deze driehoek zelf uit te tekenen en te controleren dat dit inderdaad juist is. Voor de 1 geheel linksonder geldt: er is slechts ´e´en weg om van de bovenste 1 naar deze 1 te komen, namelijk langs alle andere enen aan de linkerkant. Iedere afwijking van deze weg is langer. Uit de driehoek kunnen we twee zaken afleiden. Allereerst geldt dat de mogelijke wegen per rij opgeteld van boven naar beneden machten van 2 zijn. Rij 1 is 20 = 1, rij 2 is 21 = 2 en voor de rijen daaronder geldt achtereenvolgens dat de som van de wegen is 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32 en 26 = 64. Ook vallen de kortste paden te beschrijven als binomiaalco¨effici¨enten. Wie van de 1 naar de  meest linker 1 wil, gaat 6 stappen naar  beneden   en 0 naar rechts: 60 . Voor de andere korte paden geldt 61 , 62 , 63 ,      6 6 en 66 . Deze symmetrie maakt ons ook duidelijk dat 60 = 66 , 4 , 5    6 6 6 6 1 = 5 en 2 = 4 . 135


20.3

Bewijs door inductie

De driehoek van Pascal geeft ons een eenvoudig handvat dat leidt tot de binomiaalstelling. Wie immers (x + y)n uitschrijft, zoekt ook alle kortste paden bijeen. Een voorbeeld: (x + y)3 . Laten we dit uitschrijven: (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) = (xx + xy + yx + yy)(x + y) = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy We zien hier dat er slechts ´e´en ’kortste weg’ is (in drie stappen) van de eerste naar de derde x en van de eerste naar de derde y. Er zijn echter drie verschillende wegen die (in drie stappen) langs de verschillende factoren x en y lopen: xxy, xyx en yxx alsmede xyy yxy en yyx. We kunnen hier dus schrijven dat:         3 3 3 3 (x + y)3 = xxx + xxy + xyy + yyy 0 1 2 3 hetgeen zich laat uitschrijven als x3 y 0 + 3x2 y 1 + 3x1 y 2 + x0 y 3 We zien hier al in dit specifieke geval dat geldt als n = 3 en k = 0:         n n k n n n n n−(k+1) k+1 n−(k+2) k+2 (x+y) = x y + x y + x y + xn−(k+3) y k+3 k k+1 k+2 k+3 hetgeen we kunnen veralgemeniseren naar n   X n k=0

k

xn−k y k

Zou dit nu voor elke n gelden? Laten we daarom eens beginnen met n = 0. We werken uit: (x + y)0 = 1 Als we dit nu in onze formule substitueren krijgen we: 0   X 0 k=0

0

x0−0 y 0

Laten we nu eens aannemen dat dit in het algemeen geldt voor n. Wat gebeurt er dan bij n + 1? Dit betekent dat we vermenigvuldigen met (x + y): (x + y) ·

n   X n k=0

136

k

xn−k y k


ofwel

n   X n n−k k x· x y k

! y·

+

k=o

n   X n k=o

k

! x

n−k k

y

Dit is gelijk aan n   n   X n n+1−k k X n n−k k+1 x y + x y k k

k=o

k=o

We kijken nu naar het rechter lid van deze som. Als we deze nu van k = 1 naar n = 1 laten lopen krijgen we dezelfde vergelijking als we k + 1 vervangen door k en n − k door n − (k − 1) ofwel n + 1 − k. Uiteraard volgt hieruit dat de k in de binomiaalco¨effici¨ent vervangen wordt door k − 1. Dan wordt de som met het gemodificeerde rechter lid  n   n+1  X n n+1−k k X n x y + xn+1−k y k k k−1

k=o

k=1

De rekenregels van binomiaalco¨effici¨enten zegt ons dat       n n n+1 + = k k+1 k+1 en dus

      n n n+1 + = k k−1 k

De som wordt dus

n+1 X k=0

 n + 1 n+1−k k x y k

hetgeen we bewijzen wilde. In principe geldt dit bewijs voor ∀n ∈ N. Newton heeft bewezen dat het binomium ook geldt voor ∀n ∈ R.

20.4

Voorbeeld

Tot slot nog een voorbeeld voor een hogere macht, n = 5. (x + y)5             5 5−0 0 5 5−1 1 5 5−2 2 5 5−3 3 5 5−4 4 5 5−5 5 x y + x y + x y + x y + x y + x y 0 1 2 3 4 5             5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 5 5 4 x + x y+ x y + x y + xy + y 0 1 2 3 4 5 (x + y)5 = x5 + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5 137


138


Variabele Verhalen

139


140


Hoofdstuk 21

Waarom 1 6= 2 21.1

Inleiding

Ook al voordat Internet bestond werden mensen overspoeld met een gevarieerd palet aan onzin. Dat ging over topologisch amateurisme als “ik pas in mijn jas, mijn jas past in mijn koffer, dus ik pas in mijn koffer” tot aan meetkundige zotheid in de trant van “als ik een stap neem, moet ik eerst de helft nemen, dan de helft van de helft enzovoorts. De stap kan ik dus nooit voltooien”. De wiskunde van dat laatste verhaal hebben we al behandeld in het hoofdstuk over rijen en reeksen, en wordt nog eens uitgebreid in het hoofdstuk over Zeno, Achilles en de schildpad besproken. Het verhaal waar het hier over gaat is wat korter. Het zou gaan om een bewijs dat 1 = 2. We zijn benieuwd: laten we eens zien hoe dat in zijn werk gaat.

21.2

’Bewijs’

Stel: x = y. Dan geldt natuurlijk ook x2 = xy Laten we nu eens van beide zijden van het gelijkteken y 2 aftrekken: x2 − y 2 = xy − y 2 Ontbinden in factoren en buiten haakjes halen levert op (x + y)(x − y) = y(x − y) Nu delen we (x − y) uit beide delen en houden over x+y =y 141


waaruit volgt 2y = y dus hiermee zou aangetoond zijn dat 2=1

21.3

Vergelijkingen en delen door nul

Het is duidelijk dat de vergelijking 2y = y niet gelijk is aan 2 = 1. Er is hier gewoon sprake van een vergelijking. 2y = y betekent y = 0 en derhalve geldt ook dat x = 0. En dan klopt het hele verhaal van voor tot achter. Belangrijker echter is dat er in de vierde stap door (x − y) wordt gedeeld. Daar x = y betekent dit dat we door nul delen. We zullen in hoofdstuk 22 duidelijk uitleggen dat delen door nul leidt tot ofwel onbepaalde ofwel ongedefinieerde uitkomsten. Kortom: ”delen door nul is flauwekul”.

21.4

Tot slot

Dit is een rekentruc van het kaliber ”neem je verjaardag in gedachten, vermenigvuldig hem met vier, deel hem door twee en dan nog een keer”. Dan krijg je inderdaad weer je verjaardag. Het opvoeren van deze truc op feesten en partijen wordt dus niet aanbevolen bij mensen die een paar jaar middelbare school achter de rug hebben. Tenzij ze vergeetachtig of dronken zijn.

142


Hoofdstuk 22

Nul en flauwekul 22.1

Inleiding

Op de middelbare school leerde ik de onvergetelijke wijsheid ’delen door nul is flauwekul’. Een wijsheid die ter harte kan worden genomen. Maar waarom is de uitspraak correct? En zijn er verschillende vormen van flauwekul? We kijken daarom naar een aantal consequenties van het delen door nul, namelijk voor 00 en meer algemeen (of als x 6= 0) voor x0 .

22.2

Kunnen we fini¨ eren?

x 0

en

0 0

uitrekenen of de-

Het zou zomaar kunnen dat we een definitie voor ´e´en van deze twee of zelfs beide delingen kunnen bedenken. Zo is de afspraak dat voor x 6= 0 geldt xx = 1. Waarom zou dat eigenlijk niet voor 00 kunnen gelden? Laten we eens kijken. We stellen nu het volgende voor: 0 =r 0 Op basis van de rekenregels mogen we nu kruislings vermenigvuldigen, zoals ab = dc gelijk is aan a · d = b · c. Laten we onze deling eens onderhanden nemen: 0 r = 0 1 Dit levert op r·0=1·0 of r·0=0 Dat levert warempel een valide vergelijking op als r = 1. Maar het probleem is natuurlijk direct duidelijk: de bovenstaande vergelijking geldt 143


voor elke willekeurige waarde die je voor r kunt bedenken. Met andere woorden: de deling 00 levert ieder antwoord op en is daarom onbepaald . En wat kunnen we zeggen over x0 ? Omdat we al een uitspraak over 0 0 hebben gedaan, kan hier niet anders gelden dan x 6= 0. Laten we dezelfde strategie volgen: x =r 0 r x = 0 1 dus r·0=1·x daaruit volgt x = r · 0 en dat is gelijk aan x = 0 Ook hier gaan we het schip in, omdat we met de expliciete voorwaarde x 6= 0 zijn begonnen, maar prompt uitkomen op x = 0. Zodra we in de wiskunde iets tegenkomen dat in tegenspraak met zichzelf is, dan valt er niets te defini¨eren. x0 is daarom niet ’onbepaald’ maar ongedefinieerd . Is er toch nog een beetje verschil in flauwekul.

22.3

Een andere benadering: limieten

Laten we het probleem 00 eens van een andere kant benaderen. Stel voor dat we zeer dicht naar de nul toegaan en dan kijken wat er gebeurt. Wellicht kan zo’n limietberekening iets opleveren. We proberen dan eigenlijk het volgende te berekenen: x lim x→0 x Als we nu een willekeurig aantal zeer kleine en steeds kleiner wordende gelijke getallen invullen, dan komen we telkens op 1 uit. Dus toch? Maar laten we eens naar deze limiet kijken: 0 x→0 x lim

Nu kun je invullen wat je wilt, de uitkomst zal altijd 0 zijn. De limiet kan natuurlijk niet zowel 0 als 1 zijn. En het kan nog erger. We kijken opnieuw naar deze, inmiddels goed bekende, functie: f (x) =

2x2 − 2x − 12 x−3

De oplossing voor f (3) = 00 . Zou de limietberekening hier 0 of 1 opleveren? De vergelijking is natuurlijk eenvoudig te ontbinden in (2x+4)(x−3) . x−3 Door het wegstrepen van x − 3 zien we dat de limiet naar 2x + 4 gaat. 144


Ook mogen we hier de regel van l’Hˆopital toepassen (zie hoofdstuk 18 op pagina 100). Maar laten we het eens preciezer berekenen door een heel klein beetje aan 3 toe te voegen, namelijk ∆x. We substitueren dan 3 + ∆x voor 3. Vervolgens berekenen we de limiet voor ∆x → 0, zodat niemand ons van half werk kan beschuldigen. We vullen nu in: 2(3 + ∆x)2 − 2(3 + ∆x) − 12 ∆x→0 3 + ∆x − 3 lim

Wie alles stug buiten haakjes werkt en factoren tegen elkaar weg streept, komt tot de conclusie dat er maar heel weinig in de teller overblijft, en in de noemer nog minder: 2∆x2 + 10∆x ∆x→0 ∆x lim

Dit is zelfs nog verder te vereenvoudigen, en levert lim 2∆x + 10 = 10

∆x→0

op. Kortom, in drie voorbeelden is de waarde van veranderd. Het oordeel onbepaald blijft staan.

22.4

0 0

drie keer van grootte

Laatste poging: naar oneindig?

Dat delen door nul naar oneindig (∞) doet gaan is bij veel mensen een geliefde stelling. Nu hebben we al gezien dat x0 ertoe leidt dat x tegelijkertijd wel en niet gelijk is aan 0. Maar wat nu als we toch eens proberen 0 zeer dicht te benaderen? We berekenen dan voor x 6= 0 lim

r→0

x r

Laten we eerst kijken wat er gebeurt als x positief is. Hoe dichter we bij 0 komen, hoe kleiner de noemer en hoe groter de breuk: deze gaat inderdaad naar ∞. En als x negatief is dan gaat de breuk bij het naderen van 0 in de noemer naar −∞. Dat lijkt eenduidig. Helaas is ook hier een probleem. Van welke richting gaan we naar 0? Van de positieve kant of de negatieve kant? Dan volgen deze twee limieten: x lim r↓0 r x lim r↑0 r Als x positief is dan wordt eerste limiet (de limiet van boven of rechterlimiet) steeds groter richting +∞. Maar de tweede limiet (de limiet van onder of linkerlimiet) gaat, omdat de noemer negatief is, onverstoorbaar 145


naar −∞. Als x negatief is draaien de uitkomsten zich gewoon om: de rechterlimiet gaat dan richting −∞ en de linkerlimiet richting +∞. Ook hier is de uitkomst zowel het een als het ander: +∞ en tegelijkertijd −∞. Conclusie: ongedefinieerd is weer bevestigd.

22.5

Tot slot

Delen door nul is een veelvoud aan flauwekul.

146


Hoofdstuk 23

Zeno’s wedstrijd als wiskundige paradox 23.1

Inleiding

Bijna iedereen kent het verhaal van de schildpad die Achilles uitdaagde voor een hardloopwedstrijd. Het verhaal is verzonnen door Zeno van Eleia en wordt meestal als breinbreker gebruikt op feestjes en partijen. Vrijwel niemand zal de goede oplossing kunnen bedenken, en het is nog maar de vraag of onze goede oplossingen ook de goede oplossing van Zeno en zijn Griekse medefilosofen zou zijn. Nog veel minder mensen kennen de achtergrond van deze paradox(en).

23.2

Zeno van Eleia

Zeno van Eleia leefde in de vijfde eeuw voor Christus in het zuiden van Itali¨e, dat in die tijd Grieks was. Er is weinig over hem bekend; slechts Plato spreekt kort van hem. Zeno was een aanhanger van het Eleianisme van de filosoof Parmenides. Er werd gefluisterd dat Zeno in zijn jonge jaren zeer liefdevolle banden onderhield met Parmenides, maar dat terzijde. Dit is een wiskundetraktaat, geen roddelrubriek. Parmenides was van mening dat alles wat wij om ons heen zagen een illusie was. Die illusie ontsprong uit wat hij ’het ene’ noemde, iets dat statisch en onveranderlijk was. Alle beweging die wij zagen was een projectie van het ene. Zijn tegenstanders gingen echter uit van het ’vele’: de natuur was opgebouwd uit een oneindig aantal onderdelen, die samen de realiteit vormden. In werkelijkheid was de discussie nog veel gecompliceerder, want de oude Grieken stonden niet voor niets bekend als bijzonder vaardige filosofen. Maar laten we het bij deze uitleg houden.

147


Zeno nu verdedigde zijn leermeester tegen alle aanvallen. Hij bracht daarbij een aantal zeer intelligente paradoxen in stelling, die wij heden ten dage nog kennen als ’paradoxen van Zeno’. Waarom waren het paradoxen, schijnbare tegenstellingen? Niet omdat Zeno zijn gehoor wilde trakteren op een verjaardagsdialoog waar slechts weinigen op te wachten zitten. Hij wilde de tegenstanders van Parmenides duidelijk maken dat hun idee (alles is opgebouwd uit ’het vele’) tot bizarre inconsequenties zou leiden. Bekend zijn de paradoxen van Achilles en de schildpad, de vliegende pijl, de dichotomie en de twee lopers in het stadion. Ik beperk me tot de eerste, die in feite een versie van de dichotomie is. Het meest opmerkelijke is dat het meer dan 2000 jaar heeft geduurd voor de wiskunde en natuurkunde de problemen behoorlijk hebben kunnen oplossen. Dat gebeurde in de 17e eeuw door de natuurkundige oplossingen van Newton over beweging (de vliegende pijl, de twee lopers) en als gevolg van de ontwikkeling van integraalrekening door Newton en Leibniz (Achilles en de schildpad en de dichotomie). Nogmaals, het is de vraag of Zeno de antwoorden geaccepteerd zou hebben, want de filosofie van de Grieken bevatte talloze diepere lagen die wij enigszins zijn kwijtgeraakt. Zelfs nu zijn er nog mensen die de oplossing in twijfel trekken: een groter compliment kan Zeno niet krijgen. Maar wat de paradoxen betreft ben ik overtuigd van het gelijk van het ’tegenbewijs’. Veel mensen stellen dat dit probleem niet wiskundig maar filosofisch is. Dat kan waar zijn, maar Zeno maakte - zonder dat hij dat zich waarschijnlijk realiseerde - van zijn problemen mathematische constructies. En daarom mag de wiskunde claimen de oplossing te bieden. Een oplossing die heel simpel is. De korte of de lange versie? Uitstekend, de lange versie.

23.3

Achilles en de schildpad

Achilles werd uitgedaagd door de schildpad voor een hardloopwedstrijd. Achilles accepteerde met de woorden dat de schildpad kansloos was. De schildpad erkende dat hij veel langzamer liep, en dat Achilles hem dus bij de start best een voorsprong kon gunnen. Achilles zag hierin geen bezwaar en ging akkoord. De schildpad stelde vervolgens triomfantelijk vast dat hij de wedstrijd al had gewonnen. Immers, Achilles kon weliswaar de voorsprong met gemak overbruggen, maar in de tussentijd zou de schildpad alweer verder zijn gelopen. Daarop moest Achilles dit nieuwe verschil weer overbruggen. Daar weer aan het eind gekomen was de schildpad inmiddels w´e´er verder. Dit spel zou zich oneindig herhalen en Achilles, zo beweerde de schildpad, kon weliswaar steeds dichterbij komen maar hem nooit inhalen en voorbijlopen. Achilles zag het probleem en gaf zijn verlies toe. De schildpad had, zonder een meter te lopen, de wedstrijd gewonnen. Omdat iedereen wel begreep dat de schildpad gewoon voorbij gelopen 148


zou worden was het volgens Zeno duidelijk dat de theoretici van het ’vele’ het fout hadden en de Eleianisten het bij het rechte eind hadden. Immers, als zijn tegenstanders gelijk zouden hebben zou Achilles nooit de schildpad inhalen. Daar hij dit wel zou doen was dit het bewijs van de onzin van de theorie van de tegenstanders. Die tegenstanders hadden geen weerwoord. Maar had Zeno daarmee gelijk? Geenszins, maar briljant was zijn argumentatie wel.

23.4

Rijen en reeksen

23.4.1

De rekenkundige rij

Om Zeno van repliek te dienen moeten we eerst weten wat rijen en reeksen in de wiskunde zijn. Rijen en reeksen worden ook beschreven in hoofdstuk 10 op pagina 45. Om niet terug te hoeven bladeren herhalen we de uitleg hier in een wat meer beschrijvende vorm. Een rij is een verzameling getallen met elementen waartussen een onderlinge relatie bestaat. Die rij kan bijvoorbeeld 1,4,7,10,13,16 zijn. We zien dat deze rij ontstaat door elk voorgaand getal met 3 te vermeerderen. De som van deze getallen is: Sn = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 51 Sn betekent ’de som van n factoren’. In deze som zijn dit er 6. n is hier dus gelijk aan 6. Bovenstaand voorbeeld is een zogenoemde parti¨ele som van een rekenkundige rij. Bij ieder voorgaand getal wordt een vast getal opgeteld, dat het volgende getal oplevert. Stel voor dat we 3 blijven toevoegen tot we een oneindig aantal factoren hebben,dan noemen we deze rij een reeks, en schrijven hem als ∞ X

(a + 3n) als n ∈ N

n=0

P Hier staat: we berekenen de som (de grote Griekse letter sigma is het somteken) van alle getallen die als volgt tot stand komen: het eerste getal a wordt vermeerderd met 3 · n, waarbij n achtereenvolgens elk opeenvolgend getal van de verzameling van natuurlijke getallen is - tot in het oneindige (schrijf ’oneindig’ als het teken ∞, het zogenoemde lemniscaat). De verzameling natuurlijke getallen (N) bestaat uit alle gehele, positieve getallen vanaf 0. Als we dat invullen (met a = 1) en uitschrijven staat er dus (1 + 0) + (1 + 3) + (1 + 6) + (1 + 9) + (1 + 12) + (1 + 15) + .. enzovoort; en dat is ook wat bovenaan de pagina voor de eerste zes cijfers uitgeschreven staat. Zonder dat verder te bewijzen ziet het er naar uit dat deze som oneindig groot is. Deze reeks noemen we daarom divergent. Een oneindige reeks die een eindig antwoord oplevert, omdat hij nooit boven een bepaalde waarde uitkomt en deze oneindig dicht nadert, noemen we convergent. 149


23.4.2

De meetkundige rij

Er zijn veel soorten rijen en reeksen met vaak zeer fraaie namen: meetkundig, harmonisch, hyperharmonisch, alternerend, binomiaalreeks, taylorreeks, enzovoort. Een veel voorkomende rij is de eerstgenoemde, de meetkundige rij. Deze rij bestaat uit een opeenvolgend aantal getallen waarvan elk element met een vast product vermenigvuldigd wordt om het volgende getal te krijgen. De oneindige optelling van deze rij heet de meetkundige reeks. Officieel zeggen we dat het quoti¨ent (de deling) van twee opeenvolgende termen een constante is (de zogenoemde reden, zie hieronder). Voorbeeld van een meetkundige rij is 1,3,9,27,81,243. Hierbij wordt elk getal achtereenvolgens met 3 vermenigvuldigd. De bijbehorende parti¨ele som is dan ook: Sn = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 Ook in dit geval zijn er weer n = 6 termen. Willen we deze rij tot in het oneindige doorzetten, dan hebben we weer een reeks en luidt de omschrijving conform de bovenstaande formulering ∞ X

3n als n ∈ N

n=0

Hier staat dat het eerste getal 1 wordt vermenigvuldigd met 3, dan met 3· 3, dan met 3·3·3, dan met 3·3·3·3 en ga zo maar door. (Het puntje tussen de drie¨en is het door wiskundigen gebruikte vermenigvuldigingsteken; 3 · 3 = 3 x 3) Deze vermenigvuldigingen korten we af omdat het machten van drie zijn. Eerst 3, dan het kwadraat, dan de derdemacht, dan de vierde macht enzovoort. Dat schrijven we als 31 , 32 , 33 , 34 . 31 is de eerste macht van 3 en is een ingewikkelde manier om 3 te schrijven. Je hebt ook 30 , de nulde macht. De nulde macht is voor ieder getal gelijk aan 1. Dat is de reden dat we hier (opnieuw) met 0 beginnen. Immers, het eerste getal van de som is 1.De nulde macht 30 is natuurlijk per definitie gelijk aan 1. Met deze formulering kunnen we de som van een meetkundige rij in algemene termen uitschrijven. We noemen dan de eerste term in de rij a en het product waarmee a vermenigvuldigd wordt r. Deze letter is de afkorting van reden. Men zegt: de reden van de reeks is ... in ons voorbeeld 3. De parti¨ele som kun je dus schrijven als Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ..... + arn−1 In de laatste term is de exponent van de reden ´e´en minder dan het totaal aantal termen n. Immers, alle termen worden vermenigvuldigd met een macht van de reden, behalve de eerste a. Je zou kunnen zeggen dat deze a met r0 wordt vermenigvuldigd, maar dat vermelden is ongebruikelijk, omdat r0 volgens de definitie 1 is, ongeacht de waarde van r. Nu gaan we weer een oneindig aantal termen optellen. We schrijven dit weer als 150


een enkelvoudige som in de inmiddels bekende vorm, de reeks ∞ X

arn als n ∈ N

n=0

23.5

Limieten

Maar hoe bereken je nu een som met een oneindig aantal factoren? Daar hebben de wiskundigen in de loop der jaren (bijna 2000 jaar na Zeno) een oplossing voor bedacht. Dit noemden zij limietberekening. Als je de bovenstaande som met de factor 3 erin zou willen optellen tot het zesde getal, bereik je eigenlijk een finish, een limiet. Dat schrijven we als volgt: lim

n→6

n X

3n als n ∈ N

n=0

Omdat we in de rest van dit verhaal alleen maar uitgaan van n als natuurlijk getal zullen we de toevoeging als n ∈ N verder weglaten. Natuurlijk zijn we niet beperkt in het aantal termen dat we bij elkaar willen optellen, al zijn het er oneindig veel. Dat hoeft niet speciaal tot oneindig grote antwoorden te leiden. Integendeel, sommige reeksen bewegen in de richting van heel normale waarden. Andere reeksen groeien echter alleen maar door. Als n → ∞ en dat geen eindig antwoord oplevert, dan zegt men dat de reeks divergeert. Is er wel een eindig antwoord, dan convergeert de reeks.

23.6

Zeno, Achilles, de schildpad en een convergerende limiet

Een hele verhandeling over wiskunde, maar het helpt ons wel eenvoudig de oplossing te vinden van het probleem waar Zeno ons voor stelde met zijn hardloopwedstrijd tussen Achilles en de schildpad. We mogen aannemen dat de twee hardlopers over de gehele afstand met gelijke snelheid lopen. Er zit dan een vaste verhouding tussen de twee snelheden. Laten we nu eens uitgaan van de veronderstelling dat Achilles de schildpad 900 meter voorsprong wilde geven. Stel nu ook eens dat de schildpad tien keer zo langzaam loopt als Achilles. De getallen mogen anders zijn, de redenatie blijft echter gelijk. Als Achilles nu de eerste 900 meter heeft gelopen, is de schildpad inmiddels 90 meter verder ( 900 10 ). Heeft Achilles die afstand weer overbrugd, dan is de schildpad opnieuw 9 meter uitgelopen ( 90 10 ). Na die 9 meter 9 weer te hebben geslecht, is de schildpad weer 0,90 meter verder ( 10 ), 151


enzovoorts, tot in het oneindige. Laten we dat eens even schrijven als de reeks ∞ X

900 ·

n=0

1 10n

Als we dat tot in het oneindige doorzetten moeten we dus de limiet weten van de reeks. Is deze oneindig groot, dan kan Achilles het vergeten. Als het echter niet het geval is, haalt hij de schildpad gewoon in en gaat hem vervolgens voorbij. Dus: lim

n→∞

n X

900 ·

n=0

1 10n

Gaat Achilles de schildpad inhalen? Nee, zegt Zeno. Wat beweert hij nu eigenlijk? Zeno beweert dat de som van een oneindig aantal factoren een oneindig antwoord zal geven. Hij deelt daarbij de werkelijkheid op in een oneindig aantal onderdelen. Maar zijn die onderdelen eigenlijk wel echt? De werkelijkheid is continu; we zien geen streepjes in de lucht die de werkelijkheid in kleine stukjes verdeelt. Dus Zeno construeert een wiskundig model van de werkelijkheid. En dat is de reden dat we zijn bewering dus met een wiskundig model mogen weerleggen.

23.7

De som van de meetkundige reeks

Hoe berekenen we deze som? Daarvoor gaan we terug naar een eerder genoemde definitie. De hardloopwedstrijd is te formuleren als een meetkundige reeks. Daarvoor gold de algemene formule ∞ X

arn

n=0

en daarvan moeten we de limiet berekenen, dus lim

n X

n→∞

arn

n=0

Wie op de middelbare school heeft opgelet zal met die limiet weinig moeite hebben. Tenzij hij of zij - net als 99 procent van de andere exleerlingen - dat allemaal weer glad vergeten is. Het bewijs is niet ingewikkeld. Laten we de rij eens uitschrijven zoals we dat al eerder hebben gedaan, dus als parti¨ele som tot n. Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ..... + arn−1

152


Nu vermenigvuldigen we elk van de factoren in deze parti¨ele som met de reden r. Dan krijgen we dus: r · Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 ..... + arn−1 + arn Nu zetten we deze twee sommen onder elkaar en berekenen we het verschil. Bij het aftrekken vallen alle termen tussen de a in de bovenste vergelijking en de arn in de onderste vergelijking weg. Alleen de eerste en laatste term blijven over. We krijgen dan een handzame formule: Sn = −r · Sn = Sn − r · Sn =

a

+ ar2 + ar2

+ ar ar

+ ar3 + ar3

+ ... + ...

a

+ arn−1 + arn−1

+arn −arn

Deze formule kunnen we vereenvoudigen door links van het gelijkteken de Sn buiten haakjes te brengen: Sn (1 − r) = a − arn Verdere vereenvoudiging is mogelijk door links en rechts te delen door (1 − r). Links blijft dan Sn over. Dat mag onder ´e´en voorwaarde: r mag niet gelijk zijn aan 1, want dan resulteert een deling door nul, en ”delen door nul is flauwekul”. We krijgen dan voor r 6= 1 het volgende resultaat, dat de algemene formule is voor het berekenen van iedere willekeurige som van een parti¨ele, meetkundige som. (r 6= 1) Sn =

a − arn indien r 6= 1 1−r

Het is de moeite waard om deze breuk te splitsen: Sn =

arn a − 1−r 1−r

Het splitsen heeft twee voordelen. Allereerst is het eerste lid geheel onafhankelijk van n. Dat leidt tot een tweede voordeel als we het tweede lid bekijken. Immers, we willen nu de limiet gaan berekenen voor n → ∞ het oneindig aantal steeds korter wordende afstanden dat Zeno beschreef. Laten we kijken wat er gebeurt met het tweede lid als de absolute waarde van de reden kleiner dan 1 is (|r| < 1). ’Absoluut’ betekent de positieve waarde. Is r negatief, dan is de absolute waarde de positieve waarde. (Deze formulering vindt zijn oorsprong in de vectormeetkunde; hiermee kan de lengte van een vector (’pijl’) worden aangegeven.) Als |r| < 1 en we kijken naar het tweede lid van de vergelijking dan zien we dat, als we de limiet hiervoor berekenen, de teller naar 0 gaat en daarmee de breuk naar 0: arn =0 n→∞ 1 − r lim

153


Immers, wie een getal kleiner dan 1 (bijvoorbeeld een breuk zoals onze 1 10 uit ons rekenvoorbeeld) met zichzelf blijft vermenigvuldigen, maakt het steeds kleiner en uiteindelijk nadert het 0. Dat is bij ons het geval. Wat is de a en de r of reden in deze som? We gebruiken de getallen uit ons voorbeeld. a = 900 (de eerste afstand in 1 , want de schildpad meters die Achilles moest overbruggen) en r = 10 loopt 10 keer zo langzaam als Achilles. We kunnen dus de som van alle onderdelen die Achilles achter de voeten moet krijgen om de schildpad in te halen simpelweg formuleren als: lim

n→∞

a 1−r

Zoals reeds gesteld is de breuk onafhankelijk van n; we hoeven slechts rekening te houden met a = 900 (meter, de eerste voorsprong van de 1 schildpad op Achilles) en r = 10 , de verhouding tussen de snelheid van Achilles en de schildpad). Willen we dus de som berekenen van alle afstanden, dan vullen we in: 10 900 1 = 9 · 900 = 1000 meter. 1 − 10 Kort en goed, na 1000 meter haalt Achilles de schildpad in en loopt hem vervolgens voorbij. Loopt Achilles als een ware atleet 18 km/h (5 m/s) dan haalt hij de schildpad (die dan 1,8 km/h loopt, ook niet mis voor Stoffel) na 200 seconden in, ofwel na 3 minuten en 20 seconden. Deze limiet convergeert dus naar 1000 meter. Meer algemeen: omdat de schildpad altijd langzamer loopt dan Achilles, zal de reden r altijd kleiner zijn dan 1 en elke willekeurige som (met elke willekeurige afstand en elke willekeurige snelheid) altijd eindig zijn.

23.8

Tot slot

Zeno ging uit van de veronderstelling dat de som van een oneindig aantal factoren een oneindig (groot) antwoord oplevert. Dit was niet alleen in de filosofie maar ook in de wiskunde een re¨eel probleem. Onderschat Zeno dus niet. Hij formuleerde idee¨en over oneindigheden die erg relevant waren en zijn. Wij stellen echter vast: die oneindige som heeft wel degelijk een eindig antwoord. De wiskunde is (evenals de filosofie) niet stil blijven staan en heeft nagedacht over oneindigheden. Hoe passen we dit soort oneindige “toestanden” in het wiskundige raamwerk? Voor een aantal mensen zijn de gevonden oplossingen nog steeds moeilijk te bevatten. De wiskunde heeft het opgelost door het systeem te baseren op een aantal zeer strikte 154


regels. Als op basis van die regels fenomenen accuraat verklaard kunnen worden of gebeurtenissen precies voorspeld, dan kun je stellen dat de formele regels intern samenhangend en logisch zijn, en daarom tot samenhangende en logische resultaten zullen leiden. Een voorbeeld. We denken weer aan een limietsituatie. We naderen 1 zo dicht mogelijk, laten we zeggen met behulp van 0, 9999..., ofwel 0, 9, dus voorzien van een oneindig aantal negens. Het lijkt erop dat 0, 9999.... kleiner is dan 1. Maar is dat ook zo? Laten we de rekenregels er eens op toepassen. We stellen 0, 9999.... = x met een oneindig aantal negens achter de komma. We vermenigvuldigen dit getal met 10: 9, 9999.... = 10x Achter de komma bevinden zich nog steeds evenveel negens als in de oorspronkelijke x. Er komt immers geen 0 achter aan de rij bij: de rij is echt voorzien van een oneindig aantal negens. Nu rekenen we het verschil uit tussen de twee getallen: -

9,9999.... 0,9999.... 9

= = =

10x −x 9x

We zien dat 9x = 9 ofwel x = 1, en daarom geldt dat 10x = 10 en x = 1. Meer precies voor onze oplossing: 0, 9999.... = 1. Zo is ook een limietsituatie tot een goed eind te brengen. “Oneindig dicht” bij een getal betekent in de wiskunde “het is gelijk aan het getal”. Hoe zeer Zeno daar ook zijn bedenkingen bij mocht hebben gehad. Mijn voorstel is overigens om op verjaardagen de korte versie van de oplossing te gebruiken: de som van al die afstanden mag dan oneindig veel elementen hebben, de som zelf is eindig. Limietberekening en zo. Laten we Zeno er maar niet meer mee lastig vallen.

155


Hoofdstuk 24

Euler’s Formule en Identiteit 24.1

Inleiding

Euler’s Formule is geen merkwaardig brouwsel en Euler’s Identiteit is geen psychoanalyse. Leonard Euler, het Zwitserse wiskundegenie uit de 18e eeuw dat niet alleen Basel wiskundig onveilig heeft gemaakt, maar ook Sint-Petersburg, is het meest bekend van het getal e. De karakteristieken van dit getal waren al eerder bekend, onder andere bij sommige leden van de contemporaine wiskundefamilie Bernouilli. Euler onderzocht het getal verder en noemde het e “omdat de andere letters op waren”. Kortom, e verwijst volgens Euler niet naar de afkorting van (e)ulers getal. We zullen het maar zo laten. Het getal e zagen we verschijnen bij het fenomeen rente-op-rente en is gedefinieerd als 1 e = lim (1 + )n n→∞ n en bij benadering geldt e ≈ 2, 71828182845905.... De functie ex en de inverse functie ln(x) komen bijzonder vaak voor bij het beschrijven van processen van alledag. Of het nu renteberekening is, temperatuurdaling van vloeistof, bevolkingsgroei volgens Malthus en Verhulst, noem maar op, ex en ln(x) zijn erbij. Het is dus niet verwonderlijk dat de wiskundigen erg intensief naar deze functies en het onderliggende grondtal e keken; wie met deze functies rekent lijkt soms wel eens aan de knoppen van het bestaan te draaien. Voordat we verder ingaan op de betekenis van de twee termen Euler’s Formule en Euler’s Identiteit moeten we eerst nog twee zijsprongen maken naar de imaginaire en complexe getallen, en naar de betekenis van poolco¨ ordinaten. 156


24.2

Complexe getallen

Bij het oplossen van bepaalde vergelijkingen, bijvoorbeeld vergelijkingen die een derdemacht bevatten, bestaat de mogelijkheid uit te komen op wortels uit negatieve getallen. Lang geleden gaf dit veel ergernis, waardoor besloten werd een uitbreiding in te voeren waardoor wortels uit negatieve getallen toch gedefinieerd konden worden. Zo ontstond het getal i, waarvoor geldt i2 = −1 Zo kon bijvoorbeeld de wortel uit −4 worden berekend, immers √ √ −4 = 4i2 = 2i Het getal i en al zijn veelvouden, zowel positief als negatief, noemen we de verzameling imaginaire getallen. De verzameling wordt aangeduid met een verzamelingssymbool I. Waar plaatsen we de imaginaire getallen op de getallenlijn? Van links naar rechts zijn alle plaatsen in beslag genomen door de re¨ele getallen uit de verzameling R. De oplossing kan worden geconstrueerd door de imaginaire getallenlijn loodrecht op de re¨ele getallenlijn te zetten. Beide assen snijden elkaar bij 0. Dat heeft een onverwacht gevolg, daar we nu beschikken over een vlak. In het vlak kunnen re¨ele en imaginaire getallen bij elkaar komen, en worden voorgesteld als vectoren vanuit het punt 0. De onderstaande figuur illustreert dat.

Wie 3 stappen naar rechts gaat en 2i stappen naar boven, komt op het punt 3 + 2i uit, aangegeven door de vector vanuit 0. Dergelijke combinaties van re¨ele en imaginaire getallen heten complexe getallen. Het symbool voor deze verzameling is C. Complexe getallen zijn om dezelfde reden ontstaan als alle andere aanvullende verzamelingen, van N naar Z, van Z naar Q, van Q naar R, van R naar I en (niet helemaal) tenslotte van I naar C en tenslotte naar H. 157


Stel voor dat we in N de vergelijking x + 2 = 4 willen oplossen. Dat is geen probleem, want x = 2 en een element van de verzameling. Maar wat nu als we x+2=0 willen oplossen? Nu hebben we Z nodig voor de oplossing x = −2. We lossen nu 3x + 2 = 0 op in Z. Dat is niet mogelijk. We hebben nu Q nodig waardoor we kunnen oplossen met x = − 32 . We lossen x2 = 2 op in Q. Opnieuw hebben we √ een probleem, tenzij we R introduceren en kunnen oplossen met x = 2. De volgende stappen zijn natuurlijk te verwachten: los x2 = −4 op in R, en we zien onmiddellijk dat we de verzameling I nodig hebben, namelijk x = 2i. En tot slot proberen we x2 −2x+2 = 0 op te lossen in I. Onmiddellijk is duidelijk dat dit niet in I maar wel in C mogelijk is, namelijk x2 − 2x + 2 = 0 voor x = 1 ± i. Op deze wijze worden alle opeenvolgende problemen in de ’kleinere’ verzameling opgelost door toepassing van een oplossing uit de ’grotere’ verzameling. Daarmee zijn de imaginaire en complexe getallen dus een logische volgende stap geweest in de wiskunde. Complexe getallen worden zeer vaak gebruikt in praktische toepassingen. Rekenen met complexe getallen is niet veel anders dan rekenen met gewone getallen. Wie (3 + 2i) + (2 + 4i) uitrekent komt gewoon uit op 5 + 6i, ofwel het met kop en staart aan elkaar leggen van de twee vectoren. Op vermenigvuldigen gaan we in bij het onderdeel poolco¨ordinaten. De laatste uitbreiding van de getallenverzameling gaat van C naar H. Dit zijn de zogenoemde quaternionen. Deze quaternionen zijn een zelfde soort uitbreiding van de complexe getallen als de complexe getallen dat zijn van de re¨ele getallen. Hier gaan we echter niet van een ´e´endimensionale getallen lijn naar een plat vlak, maar van een plat (tweedimensionaal) vlak naar een vierdimensionale ruimte. Quaternionen zijn ook zeer praktisch toepasbaar, Ze worden bijvoorbeeld gebruikt bij het positioneren van lasrobots in de auto-industrie. De verzameling van quaternionen wordt geschreven als H en de getallen worden geschreven als a + bi + cj + dk. Maar laten we ons nu beperken tot het complexe vlak.

24.3

Poolco¨ ordinaten

Laten we eens kijken naar de eigenschappen van de vector die 1 aangeeft in het complexe vlak. Deze ligt plat op de x-as, vanuit het punt (0, 0) naar het punt (1, 0). Dit is in de volgende figuur links getekend. De vector heeft dus een lengte van 1. Laten we nu 1 volgens de gewone rekenregels vermenigvuldigen met het imaginaire getal i. De uitkomst is natuurlijk i. We zien de rode vector recht omhoog staan in de richting 158


van i. Wie i opnieuw vermenigvuldigt met i komt op i2 uit, ofwel −1. De vector wijst nu in de richting van −1. Nogmaals vermenigvuldigen met i brengt ons bij −i uit, loodrecht naar beneden. En nog een laatste keer vermenigvuldigen brengt de vector weer op zijn oorspronkelijke plaats, immers, −i · i = −i2 = 1.

Wie de getallen in het complexe vlak dus vermenigvuldigt, ziet dat ze onder invloed van de imaginaire component een draaiing maken. Dit is rechtsboven weergegeven. Kortom, vermenigvuldigen met een imaginair getal is draaien over een hoek. Wie twee vectoren met i of een veelvoud van i vermenigvuldigt telt de hoeken bij elkaar op. Onder invloed van de re¨ele component is vermenigvuldigen natuurlijk hetzelfde als optellen: de lengte van de vector wordt ’kop-staart’ verlengd. Deze bewerking heet draaivermenigvuldigen, waarbij de hoeken die de vectoren in het complexe vlak met elkaar maken moeten worden opgeteld, en de lengte van de vectoren (de re¨ele component Re) met elkaar moeten vermenigvuldigd. De vectoren hebben hun oorsprong in 0, 0, de pool. We kunnen echter nog meer zeggen over de lengte van de vector r en de hoek die de vector maakt met de re¨ele as. Daarvoor kijken we naar de volgende illustratie.

159


De cirkel is de eenheidscirkel. De lengte van de vector is derhalve r · 1 = r. Kijken we nu naar de lengte van de re¨ele component, dan is deze uiteraard r · cos θ. De lengte van de imaginaire component is r · i sin θ. De vector is dus weer te geven als r(cos θ + i sin θ) Deze notatie gaat dus niet uit van cartesiaanse co¨ordinaten, maar van co¨ ordinaten vanuit de pool (0, 0i) naar punt z = (a, bi), inclusief de draaiing over een bepaalde hoek θ. Op deze wijze worden complexe getallen als poolco¨ ordinaten weergegeven. Voor alle punten waarvoor geldt dat r(cos2 θ + i sin2 θ) = 1 geldt natuurlijk dat r = 1. Deze punten liggen derhalve op de eenheidscirkel. Gewapend met deze kennis kunnen we nu overstappen naar de formule van Euler, en Euler’s identiteit.

24.4

Afleiding formule

Laat z een imaginair getal zijn, dus z ∈ I. Dan kan ez worden geschreven als ez = ea+ib Dan geldt ea+ib = ea · eib Nu is eib ∈ C dus te schrijven als eib = x + iy Dan kunnen we deze vergelijking ook schrijven als eib e−ib = (x + iy)(x − iy) ofwel e0 = 1 = x2 + y 2 160


Als nu eib = x+iy en x2 +y 2 = 1 dan betekent dit dat eib op de eenheidscirkel ligt. Daaruit volgt dat we eib kunnen schrijven als poolco¨ordinaten: eib = cos θ + i sin θ Wat is nu de verhouding tussen b en θ? We maken hier wellicht een beetje dubieuze sprong. We kijken namelijk naar de afgeleiden van beide functies en behandelen deze zoals we functies in R behandelen. Het is de vraag of ze op dezelfde wijze aangepakt mogen worden in C, maar we strijken over ons hart en doen het gewoon. Als f (b) = eib dan is f 0 (x) = ieib ln e = ieib en als f (θ) = cos θ + i sin θ dan is f 0 (θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ) We zien dat voor beide functies en hun afgeleide geldt f 0 (x) = if (x) De functies veranderen dus op dezelfde wijze. Omdat f (0) voor beide functies gelijk is, namelijk 1, betekent dit dat, daar de functies dezelfde stijging vertonen, de functiegrafieken aan elkaar gelijk moeten zijn. Derhalve moet gelden eiθ = cos θ + i sin θ Voor θ = π geldt dan eiπ + 1 = 0 ook wel Euler’s identiteit genoemd, volgens velen de mooiste wiskundige formule, omdat deze zowel e, π, i, 1 als 0 bevat.

24.5

Afleiding met de Taylorreeks

24.5.1

Brook Taylor, trillende snaren en de Taylorreeks

Taylor was een 18e-eeuwse Engelse wiskundige. Zijn voornaam was nu eens geen George, John of Isaac, maar Brook. Een welkome afwisseling. Brook Taylor deed onderzoek naar trillingen van snaren. Hoe kon je die goed beschrijven? Op basis hiervan kunnen we gevoegelijk aannemen dat Taylor zich druk heeft gemaakt over de goniometrische functies sin(x) en cos(x), gezien de perfecte visualisatie van een trillende snaar. Het alternerende gedrag van de sinus/cosinusfunctie laat zich ook beschrijven als 161


een alternerende machtreeks die naar Taylor is genoemd, de Taylorreeks. Voeg daar nog eens de afgeleide functies aan toe en we hebben al snel drie functies in het vizier: de eerdergenoemde sin(x) en cos(x), maar ook de functie ex . De eerste twee vanwege het alternerende karakter, en het feit dat de afgeleiden van deze functies eindeloos in elkaar kunnen worden uitgedrukt: sin(x) → cos(x) → − sin(x) → − cos(x) → sin(x) enzovoort. Met betrekking tot de functie ex kunnen we er onmiddellijk het zwijgen toe doen (maar dat doen we uiteraard niet): deze functie zien we gedurende zijn lange leven tijdens het differenti¨eren nooit veranderen: f (x) = ex , f 0 (x) = ex , f 00 (x) = ex , f 000 (x) = ex , f 0000 (x) = ex enzovoort. Laten we deze afgeleiden in het volgende verhaal vervangen door f (1) , f (2) , f (3) , f (4) enzovoort, om het iets handzamer te maken. Maar de uitkomst blijft hetzelfde, ex wordt nooit ouder en trekt nooit andere kleren aan.

24.5.2

De analytische functies sin(x), cos(x) en ex

Elke functie die oneindig differentieerbaar op zijn domein is, wordt een analytische functie genoemd. Als het gaat om een complexe functie wordt merkwaardig genoeg de benaming holomorf gebruikt. De functies sin(x), cos(x) en ex zijn dus analytische functies, en met een complexe component holomorf. De reeks waarmee Brook Taylor beroemd werd, de Taylorreeks, is in staat een oneindig vaak differentieerbare functie te omschrijven als een machtreeks, waarmee de afgeleide van een waarde a kan worden benaderd. De reeks is voor deze waarde a te omschrijven als f (x) = f (a) +

f (2) (a) f (3) (a) f (1) (a) (x − a) + (x − a)2 + (x − a)3 + ... 1! 2! 3!

Daarmee wordt de uiteindelijke omschrijving f (x) =

∞ X f (n) a (x − a)n n! n=0

waarbij f (n) a de n-de afgeleide is van de functie f (x) in het punt a. Hierbij is f (a) in de eerste omschrijving natuurlijk de afgeleide van de nulde orde, ofwel de functie zelf. Denk erom: 0! = 1. Als het bijzondere geval a = 0 geldt, dan spreekt men van een Maclaurinreeks, die al een keer in het hoofdstuk over rijen en reeksen genoemd is. We kunnen nu de drie functies sin(x), cos(x) en ex benaderen met en uitschrijven als een Taylorreeks. Als eerste nemen we de functie sin(x) 162


onder handen. We kijken naar de ontwikkeling van de functies rond a = 0; we spreken hier dus officieel van een maclaurinreeks. Daarin geldt: a = 0 zodat x − a = x. Omdat sin(0) = 0 en − sin(0) eveneens, blijven in ons voorbeeld alleen de even factoren over; de eerste, derde, vijfde, en iedere verdere oneven factor is 0. Denk erom: de oneven factoren zijn de even machten, de even factoren zijn de oneven machten: sin(x) =

− cos(0) 3 cos(0) 5 − cos(0) 7 cos(0) x+ x + x + x + ... 1! 3! 5! 7!

ofwel x−

x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!

Voor cos(x) geldt natuurlijk precies het omgekeerde: Alle even termen bevatten nu ± sin(0) en vallen dus weg. We blijven achter met de oneven termen, dus de even machten: cos(0) +

− cos(0) 2 cos(0) 4 − cos(0) 6 x + x + x + ... 2! 4! 6!

ofwel 1−

x4 x6 x2 + − + ... 2! 4! 6!

Als laatste komt ex aan de beurt. Deze functie uitschrijven is simpel: e0 +

e0 e0 e0 e0 e0 e0 e0 x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + ... 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

ofwel 1+x+

24.5.3

x2 x3 x4 x5 x6 x7 + + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6! 7!

Van analytisch naar holomorf

We hebben nu achtereenvolgens de Maclaurinreeksen van drie functies bepaald: x5 x7 x3 + − + ... sin(x) = x − 3! 5! 7! x2 x4 x6 cos(x) = 1 − + − + ... 2! 4! 6! x2 x3 x4 x5 x6 x7 ex = 1 + x + + + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6! 7! Wie deze drie in deze volgorde bekijkt, ziet al snel overeenkomsten. De de eerste twee functies bevatten (op wat min-tekens na) bij elkaar de termen van de derde functie. Met plus en min valt te manipuleren, en 163


wel met het getal i, waarvan we weten dat i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 en we kunnen doorgaan tot in het oneindige. We denken onmiddellijk terug aan onze poolco¨ordinaten: cos θ + i sin θ Laten we eens kijken wat er gebeurt als we ex vervangen door eiθ . eiθ = 1 + iθ +

(iθ)2 (iθ)3 (iθ)4 (iθ)5 (iθ)6 (iθ)7 + + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6! 7!

We werken nu de machten uit en krijgen eiθ = 1 + iθ +

−iθ3 θ4 iθ5 −θ6 −iθ7 −θ2 + + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6! 7!

Nu groeperen we alle re¨ele delen aan de linkerkant en alle imaginaire delen aan de rechterkant: eiθ = (1 +

−θ2 θ4 −θ6 −iθ3 iθ5 −iθ7 + + + ...) + (iθ + + + + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7!

Nu even de mintekens nog op orde: eiθ = (1 −

θ2 θ4 θ6 iθ3 iθ5 iθ7 + − + ...) + (iθ − + − + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7!

en tot slot de i buiten haakjes: eiθ = (1 −

θ4 θ6 θ3 θ5 θ7 θ2 + − + ...) + i(θ − + − + ...) 2! 4! 6! 3! 5! 7!

en het is duidelijk dat eiθ = cos θ + i sin θ

24.6

Bonus: meer complexe schrijfwijzes

Er is een extra voordeel aan Euler’s formule. We weten nu tevens dat complexe getallen te schrijven zijn op verschillende manieren, namelijk z = x + iy z = r(cos θ + i sin θ) z = reiθ Nog een extra reden om Euler’s formule prachtig te vinden.

164


Hoofdstuk 25

Riemann en zeta 25.1

inleiding

Op Internet, meer precies op het YouTube-kanaal van Numberphile is een filmpje te vinden waarin wordt aangetoond dat de som van alle 1 natuurlijke getallen − 12 is. Het filmpje maakte veel reacties los. Zo zouden de opstellers een ondeugdelijke bewijsvoering hebben gevolgd en de probleemstelling simplificeren. Uiteraard zijn de makers van de sommen in het filmpje wis- en natuurkundigen. Ze wisten welke vereenvoudiging ze toepasten en dat deze niet helemaal zuiver op de graat was. In een aantal even interessante vervolgvideo’s hebben ze het probleem overigens zorgvuldig uitgelegd. Het ging hen dan ook voornamelijk om het effect, en dat was niet alleen vermakelijk, maar ook verontrustend. De som van positieve, gehele getallen is een negatieve breuk? Daarom is het zo’n prima filmpje: het zet mensen aan tot nadenken over wiskunde. Missie geslaagd. In dit Wiskundige Varia wordt ook gestrooid met dubieuze simplificaties. Tot nog toe heeft niemand daar over geklaagd. Laten we er daarom gewoon mee doorgaan en eens kijken of we chocola kunnen maken van het bovenstaande verhaal.

25.2

De YouTube-oplossing

In het filmpje wordt de oplossing bereikt door te manipuleren met drie reeksen: S= S1 = S2 =

1 1 1

+2 -1 -2

+3 +1 +3

+4 -1 -4

+5 +1 +5

+6 -1 -6

165

+7 +1 +7

+8 -1 -8

+... +... +...


We zien direct dat we deze rijen kunnen schrijven als S=

∞ X

n

n=1

ofwel de som van alle natuurlijke getallen; S1 =

∞ X

−1n−1

n=1

en S2 =

∞ X

n(−1)n−1

n=1

Nu kijken we eerst naar rij S1 . Deze alterneert tot in het oneindige tussen −1 en 1. De video stelt simpelweg dat voor S1 het volgende geldt: 1 − S1 = 1 − (1 + 1 − 1 + 1 − +1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...) en uitgewerkt levert dit natuurlijk weer de oorspronkelijke reeks op: 1 − S1 = S1 Daaruit volgt dat 2S1 = 1 en dus S1 = 21 . Op zich al een opmerkelijk antwoord. Daar blijft het echter niet bij. De volgende stap is het manipuleren van reeks S2 , waarop we de tweede reeks een positie ten opzichte van de eerste reeks naar rechts verschuiven. Dat mag, vanwege de associatieve eigenschap van optellen. S2 = +S2 = 2S2 =

1

-2 1 -1

1

+3 -2 +1

-4 +3 -1

+5 -4 +1

-6 +5 -1

+7 -6 +1

-8 +7 -1

+... +... +...

Hieruit blijkt dat 2S2 = S1 . Dat leidt onvermijdelijk tot S2 = 14 . Daarmee is opmerkelijk antwoord twee een feit, want het is zonder meer duidelijk dat de reeks S2 helemaal niet convergeert, maar divergeert. Immers, de parti¨ele sommen alterneren in de richting van respectievelijk −∞ en +∞. De laatste stap bestaat nu uit het berekenen van het verschil tussen S en S2 . S= −S2 = S − S2 =

1 1

+2 -2 4

+3 +3

+4 -4 +8

+5 +5

+6 -6 +12

+7 +7

Deze uitkomst is te herschrijven als S − S2 = 4(1 + 2 + 3 + 4 + ...)

166

+8 -8 +16

+... +... +...


ofwel S − S2 = 4S Daaruit volgt dat 3S = −S2 of S = − 13 S2 . Daar S2 =

1 4

volgt dat

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... = − 31 ·

1 4

1 = − 12

25.3

Oneindig veel problemen

We tellen hier oneindige reeksen bij elkaar op. Wat betekent dat eigenlijk, oneindig plus oneindig? Zijn alle oneindigheden aan elkaar gelijk? Zoals we zagen is de kardinaliteit (zie pag. 44) van alle natuurlijke getallen, ℵ0 kleiner dan de kardinaliteit ℵ1 van de re¨ele getallen, zelfs als deze slechts tussen 0 en 1 ligt. Met welke oneindigheden hebben we hier van doen? Het ziet er naar uit dat vanuit dit perspectief de methode niet correct is. En ander probleem duikt op indien ergens in de rij een 0 wordt toegevoegd de som niet verandert maar de optellingen helemaal mislopen: ∞ X

n 6= 1 + 2 + 3 + 4 + 0 + 5 + 6 + ...

n=1

Een laatste poging: wat nu als we stellen dat we hier naar een benadering kijken: als we de reeksen keurig laten groeien zoals we bedoeld hebben, geldt dan niet voor elk van de nieuwe parti¨ele sommen het antwoord dat we gevonden hebben? Maar ook dat is niet juist. Kijken we naar een parti¨ele som van 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... ofwel Sk =

k X

−1n−1

n=1

We kiezen bijvoorbeeld k = 6. Dan geldt S6 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 We komen nu uit op S6 = 0. Laten we nu eens de redenering van de video volgen en stellen 1 − S6 = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1) Nu geldt 1 − S6 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 6= S6 en ons hele bouwwerk stort in.

25.4

Grandi, Ces` aro en Abel

Toch lijkt het antwoord S1 = 21 enige logica te bevatten. Kijken we nogmaals naar deze rij. Het is een gewone meetkundige reeks met als 167


eerste term 1 en als reden −1. We weten wat de som van een meetkundige reeksPis (zie pagina 49 in het hoofdstuk over rijen en reeksen). Op basis ∞ van n=1 −1n−1 kunnen we stellen dat de parti¨ele limiet kan worden geschreven als 1 lim = 12 n→∞ 1 − (−1) Het tweede gedeelte van de limiet moduleert daar omheen: −(−1n ) = ± 21 n→∞ 2 lim

We zouden dus kunnen schrijven dat de som gelijk is aan

1 2

(mod 1).

Vanaf de 18e eeuw hebben wiskundigen zich druk bezig gehouden met deze reeks. Hij is genoemd naar de Italiaanse geestelijke Guido Grandi, die er voor het eerst zijn tanden op stuk beet. In de tweede helft van de 19e eeuw beschreef de Italiaanse wiskundige Ernesto Ces`aro de som met behulp van wat we tegenwoordig Ces` aro-sommatie noemen. Hij keek naar de groei van de parti¨ele sommen en berekende deze limiet: n

1 X k−1 −1 lim n→∞ n k=1

Om dit inzichtelijk te maken kijken we naar een andere (in dit geval convergerende) som, namelijk ∞ X

2−n

n=1

We zagen al eerder (zie o.a. hoofdstuk 23) dat dit uit te schrijven is als 1 2

+

1 4

+

1 8

+

1 16

+

1 32

+ ...

Kijken we naar de parti¨ele sommen, dan zien we deze naar 1 toe gaan: 1 3 7 15 31 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ...

enzovoort. We kunnen echter ook kijken naar de groei van de parti¨ele sommen met behulp van Ces`aro-sommatie door het rekenkundig gemiddelde te berekenen van de reeks van parti¨ele sommen. Tel iedere parti¨ele som op bij de vorige en deel hem door het totale aantal sommen tot dan toe. Kijk daarbij naar de bovenstaande definitie. Dit leidt tot de volgende rij: 1 2

1

,

1 2

+ 34 , 2

1 2

+

3 4

3

+

7 8

,

1 2

+

3 4

+ 78 + 4

15 16

,

1 2

enzovoort. Stug doorrekenen levert ons 1 5 17 49 129 2 , 8 , 24 , 64 , 160 , ...

168

+

3 4

+

7 8

+ 5

15 16

+

31 32

, ...


of in decimalen 0.5, 0.625, 0.708333..., 0.765625, 0.80625 en ook deze rij zien we naar 1 convergeren. Laten we nu kijken wat dit betekent voor de Grandireeks. We berekenen n 1 X k−1 lim −1 n→∞ n k=1

De Ces` aro-som ontwikkelt zich als volgt: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ...

We zien hier de Ces` aro-som duidelijk naar 21 toe gaan. Zonder het bewijs voor de Ces` aro-sommatie hier te tonen blijkt dat de limiet van de parti¨ele sommen geschreven kan worden als n

1 X k−1 −1 = n→∞ n lim

1 2

k=1

In strikte zin betekent dit dat de Grandireeks 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + .... =

1 2

In de klassieke zin van het woord is de Grandireeks niet divergerend, daar hij altijd blijft alterneren tussen 0 en 1. Met behulp van onze intu¨ıtie en Ces` aro-sommatie hebben we deze reeks toch een bepaalde waarde kunnen toekennen, zij het op basis van de parti¨ele sommen. Zonder verder bewijs te leveren geldt voor de somreeks 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + .... dat deze niet met behulp van Ces`aro-sommatie te berekenen is. Hiervoor wordt een Abel-sommatie gebruikt, naar de 18e -eeuwse Noorse wiskundige Niels Henrik Abel, die ooit foeterde dat divergerende reeksen “een uitvinding van de duivel” waren. Desalniettemin kunnen we met zijn hulp ook aan deze somreeks een waarde toekennen, namelijk 41 . De vraag is nu: zijn dergelijke ingrepen ook voorhanden voor de som van de natuurlijke getallen? Daartoe gaan we naar Zwitserland en Duitsland, en kijken we naar Leonard Euler en Bernhard Riemann.

25.5

Riemann, priemgetallen en de Rieman Zeta functie

De Duitser Bernhard Riemann was een groot wiskundige. Helaas is hij niet oud geworden. In 1866 stierf hij aan tbc, nog net geen 40 jaar oud. 169


Toch heeft hij een indrukwekkende erfenis achtergelaten. Ondanks zijn korte leven is hij ´e´en van de grootste wiskundigen geweest die Europa ooit heeft voortgebracht. Bernhard Riemann hield zich bezig met priemgetallen, en meer in het bijzonder met de verdeling van deze getalsoort. In zijn zoektocht bouwde hij verder op het werk van Leonard Euler, de Zwitserse wiskundige die een eeuw eerder leefde. Euler vond uit dat er een overeenkomst was tussen een somreeks en een productreeks van priemgetallen: X 1 = ns

Y (p)riem

1 1 − p−s

voor n ≥ 1. Het linkerlid verwijst daarbij naar de zogenoemde zetafunctie: ∞ X 1 ζ(s) = ns n=1 Deze zeta-functie is zo te zien een (hyper)harmonische reeks. Wat heeft dat te maken met de eenvoudige rekenkundige reeks ∞ X

n

n=1

die de som van de natuurlijke getallen weergeeft?

25.6

De som van natuurlijke getallen en de zetafunctie

De som van de natuurlijke getallen laat zich schrijven als ∞ X

n = 1 + 2 + 3 + 4 + ....

n=1

En de zetafunctie is ζ(s) =

∞ X 1 s n n=1

Bekijken we de functie echter voor s = −1 dan zien we dat ζ(−1) =

∞ X 1 −1 n n=1

ofwel

1 1 1 1 + −1 −1 + −1 + ... = 1 + 2 + 3 + 4 + ... 1−1 2 3 4 Kortom, de som van de natuurlijke getallen is ook uit te schrijven met de zetafunctie. Er is echter een probleem. De zeta-functie is gedefinieerd 170


voor getallen groter dan 1. Nauwkeuriger geformuleerd: de functie in deze vorm is gedefinieerd voor complexe getallen waarvan het re¨ele deel groter is dan 1, dus R(s) > 1. Immers, alle getallen kleiner dan s = 1 leiden tot divergente reeksen. Riemann en anderen wilden echter toch uitzoeken hoe de functie zich gedroeg buiten zijn domein, daar dit informatie zou kunnen opleveren over de verdeling van alle priemgetallen.

25.7

Analytische voortzetting, functionaalvergelijkingen en regularisatie

Riemann moest dus een vergelijking formuleren die de eigenschappen behield van de oorspronkelijke functie (zoals onderlinge hoeken tussen de functielijnen en differentieerbaarheid), maar toch hanteerbare antwoorden opleverden, zoals een functiewaarde (of projectie) van bijvoorbeeld −1. Willen we dit probleem oplossen, dan komen we in een tak van de wiskunde terecht die analytische voortzetting wordt genoemd. Vergelijkingen die daaruit resulteren worden functionaalvergelijkingen genoemd.

25.7.1

Een voorbeeld

Laten we een eenvoudig voorbeeld bekijken. Stel voor we hebben de som ∞ X

2n = 20 + 21 + 22 + 23 .... = 1 + 2 + 4 + 8 + ...

n=0

Deze meetkundige reeks divergeert. Immers, de reden is groter dan 1, namelijk 2. Nu kijken we naar deze functie: f (x) = 1 + 2x + 4x2 + 8x3 + .... Wanneer |2x| < 1 dan convergeert deze reeks. Voor x ∈ {− 12 , 12 } kunnen we dus stellen dat ∞ X (2x)n n=0

convergeert. We beperken daarom het domein tot dit interval. Voor waarden buiten dit interval kunnen we geen eindige waarden verkrijgen. Als we het domein zouden uitbreiden naar bijvoorbeeld 1 dan krijgen we als 1 + 2 + 4 + 8.... Een divergerende reeks die gelijk is aan P∞uitkomst n 2 . n=0 Er zijn nu twee manieren om de som (of functiewaardes) van

171

P∞

n n=0 (2x)


te berekenen. Voor het interval x ∈ {− 21 , 12 } geldt de algemene somregel voor meetkundige reeksen (zie pagina 49) Sn =

1 1 − 2x

Er valt ons nu iets op. Ook al valt x = 1 niet in het domein, we zien onmiddellijk dat er wel een waarde te defini¨eren valt, namelijk −1. Laten we eerst kijken naar een alternatieve oplossing. De tweede manier om iets te zeggen over de functiewaardes is om de functie te herschrijven als f (x) = 1 + 2x(1 + 2x + 4x2 + ...) ofwel f (x) = 1 + 2x · f (x) Kortom, een soort alternatieve sigmanotatie waarbij de functie in zijn eigen staart tevoorschijn komt. We lossen nu op door te delen: 1 2x f (x) = + f (x) f (x) f (x) 1=

1 + 2x f (x)

1 − 2x =

1 f (x)

1 1 − 2x Dit is een functionaalvergelijking en uiteraard levert dit hetzelfde resultaat op. Ook op deze wijze kunnen we weer de eerder genoemde waarde krijgen voor f (1), namelijk f (x) =

1 = −1 1 − 2x

Nu is het door deze overeenkomst verleidelijk een waarde toe te kennen aan de oorspronkelijke divergerende reeks en te stellen dat ∞ X

2n = −1

n=0

In eerste instantie is dat echter niet het geval. De bedoeling is niet of we de som van alle machten van 2 kunnen uitdrukken als −1, maar of 1 de uitkomst van de functionaalvergelijking f (x) = 1−2x zodanige eigenschappen heeft dat we hem kunnen vergelijken met de originele functie 172


f (x) = 1 + 2x(1 + 2x + 4x2 + ...). Als deze functies zich op gelijke wijze gedragen kunnen we bekijken hoe de oorspronkelijke functie zich buiten zijn domein zou gedragen als de continu¨ıteit behouden blijft. Als we dit bijvoorbeeld bekijken voor x = 1 dan kunnen we zeggen dat het punt x = 1 buiten het domein geprojecteerd wordt op -of gekoppeld wordt aan- punt −1. Merkwaardig genoeg blijkt deze oplossing ook een bepaalde betekenis in de fysieke wereld P∞ te hebben voor bepaalde situaties waar de (divergerende) som n=0 2n opduikt. Dit specifieke proces van het zoeken van eindige oplossingen voor oneindigheden heeft dus praktisch nut en wordt ook wel regularisatie genoemd. Op deze wijze is in bepaalde zin een eindige waarde toe te kennen aan een divergerende somreeks.

25.7.2

Regularisatie van de zeta-functie

Ook de zetafunctie kan worden geregulariseerd met behulp van functionaalvergelijkingen. Hier komt Bernhard Riemann weer om de hoek kijken. Hij formuleerde met behulp van analytische voortzetting de zogenoemde Riemann-functionaalvergelijking voor waarden tussen 0 en 1  πs  Γ(1 − s)ζ(1 − s) ζ(s) = 2s π s−1 sin 2 Bijna aan het eind staat de Gammafunctie. Dit is, niet verbazingwekkend, een functie die gerelateerd is aan kansberekening1 . Het gaat immers nog steeds voornamelijk om de verdeling van priemgetallen. De gammafunctie is voor positieve gehele getallen gelijk aan de faculteit van dat getal en heeft als definitie Γ(n) = (n − 1)! voor n ≥ 1 ∧ n ∈ N

Laten we nu eens kijken wat er gebeurt als we op zoek gaan naar s = −1:   −π −1 −2 ζ(−1) = 2 π sin Γ(2)ζ(2) 2 Dat is te doen. We hebben nu rechts van het gelijkteken te maken met de ’eenvoudige’ versie van zowel de gammafunctie als de Riemannzetafunctie: ∞ X 1 1 · −1 · 1! · 2 2π 2 n n=1 1 De

Gammafunctie is een analytische voortzetting van de faculteitsfunctie n!. Voor re¨ ele en complexe getallen luidt de functie ˆ ∞ Γ(n) = tn−1 e−t dt voor n < 1 0

zodat ook faculteiten van niet-gehele getallen kunnen worden berekend. Uiteraard heeft ook hier Euler weer mee van doen gehad.

173


Er is nu wel een lastige vraag bijgekomen; wat is de waarde van ζ(2)? Ook hier hoeven we gelukkig niet te wanhopen, want Euler heeft reeds lang geleden aangetoond dat het volgende geldt: ∞ X π2 1 = n2 6 n=1

Dit is de oplossing van het zogenoemde Basel-probleem. Nu zijn we compleet, want 1 1 π2 π2 =− − 2· =− 2π 6 12π 2 12 dus ∞ X 1 n = − 12 n=1

Het zoeken naar vergelijkingen die het functiebereik hog verder uitbreiden heeft nog andere functionaalvergelijkingen opgeleverd, zoals deze functionaalvergelijking die een waarde kan geven aan de Riemann zetafunctie voor het gehele complexe vlak (met uitzondering van 1, waar de zetafunctie ongedefinieerd is). Deze vergelijking kan er uit zien als:   ∞ n X 1 1 X k n ζ(s) = (−1) (k + 1)−s k 1 − 21−s n=0 2n + 1 k=0

Werken we dit uit voor s = −1 dan krijgen we ζ(−1) = − 13

∞ X δ0n − nδ1n 2n+1 n=0

We nemen de uitwerking - met de geheimzinnige notatie2 δ0n − nδ1n zonder om te kijken voor waar aan en zien dat ζ(−1) = − 31 ( 211 −

25.8

1 22 )

1 = − 12

Een merkwaardige uitkomst?

Het proces van regularisatie van divergerende reeksen levert, zoals voorgaand verhaal duidelijk maakt, regelmatig merkwaardige antwoorden op. De som van alle positieve, gehele getallen levert een negatieve breuk op. De som van alle positieve tweede machten levert −1 op. De som van alle positieve derdemachten levert een klein positief getal op dat dicht 1 ) en ver van oneindig af zit. bij nul ( 120 2δ 0n en δ1n zijn zogenoemde Kroneckerdelta’s, voor te stellen als een speciaal soort tensoren. Tensoren zijn een veralgemenisering van scalairen (getallen die producten van vectoren zijn), vectoren en matrices uit de lineaire algebra. Kroneckerdelta’s worden gebruikt in formules waar indices aan elkaar gelijk √ zijn of van elkaar verschillen. Een index is terug te vinden in notaties als An , Bn of n x waar n de index is.

174


Veel mensen zullen daarom de vraag stellen wat deze antwoorden te betekenen hebben. Misschien is dat niet de goede vraag. Een betere vraag zou kunnen zijn of deze geregulariseerde antwoorden ook nuttig en praktisch toepasbaar zijn. Het lijkt voor de hand liggend dat dit zo is; immers, de vraag naar regularisatie van divergerende reeksen is ergens vandaan gekomen. Wie alle natuurlijke getallen bij elkaar wil optellen en eeuwig bezig blijft 1 uitkomen. Wie op het moment dat het heelal zijn zal nooit bij − 12 laatste adem uitblaast nog aan het tellen is, zal geen fractie dichterbij het antwoord zijn gekomen dan dat hij over tien tellen vanaf nu is: het antwoord blijft net zo hard voor de teller uit lopen als de teller zelf. De belangrijkste vraag is welke praktijk nu precies vraagt om het zoeken naar eindige antwoorden op oneindige sommen. Het antwoord is de natuur zelf. In de natuur komen geen oneindigheden voor: alles is eindig. Als de werking van de natuur echter beschreven wordt binnen het wiskundige raamwerk komen we regelmatig oneindigheden tegen. Een voorbeeld hiervan hebben we eerder in dit hoofdstuk bekeken, en kunnen we voorstellen als het nemen van een stap. Een stap bestaat uit een oneindig aantal gedeeltes, bijvoorbeeld de helft, plus de helft van de helft, enzovoort: ∞ X 1 = n 2 n=1

1 2

+

1 4

+

1 8

+

1 16

+ ...

Deze som, hoewel voorzien van een oneindig aantal factoren, heeft desalniettemin een eindig antwoord. De voorbeelden in dit hoofdstuk leren ons dat deze oneinigheden te temmen zijn. In het bovenstaande voorbeeld doet de wiskunde dat met behulp van het begrip limiet, waardoor de waarde van deze convergerende reeks uit te drukken is als 1. Dat is tevens in overeenstemming met onze fysieke waarneming. Immers, de ruimte tussen een stap is niet discreet maar continu en de lengte is eindig en niet oneindig. Hetzelfde kunnen we zien zodra divergerende reeksen worden geregulariseerd. De antwoorden zijn consistent binnen het wiskundige raamwerk en geven daarom relevante antwoorden. De reeks

∞ X

1 s = − 12

n=1

is dus strikt genomen de vergelijking 1 ζ(−1) = − 12 P∞ maar toch komt deze som in relatie tot n=1 s in de natuurkunde met enige regelmaat terug. In de video’s van Numberphile worden daar twee

175


voorbeelden van gegeven: het proefondervindelijk aangetoonde Casimireffect (twee metalen platen met hoogvacu¨ um daartussen trekken elkaar aan als gevolg van kwantumeffecten) en de nog niet-experimenteel bevestigde snaartheorie. Ook hier geldt blijkbaar: door het wiskundige raamwerk consistent uit te breiden zijn er oplossingen te vinden die in overeenstemming zijn met onze fysieke waarneming.

25.9

Tot slot

Wie ooit op een verjaardagspartijtje komt waar wiskundigen en theoretische fysici aanwezig zijn, doet er misschien verstandig aan dit artikel niet te citeren. Toch heeft het hopelijk iets meer duidelijk gemaakt over geregulariseerde, eindige antwoorden op ongeregulariseerde, oneindige sommen.

176


Alfabetische index Abel, Niels Henrik, 169 Abelsommatie, 169 Achilles, 147 afgeleide functie, 54 aftelbaar, 44, 131 alef, 44, 167 alternerende reeks, 51 analytische functie, 162 analytische voortzetting, 171 arc, 92 arccos, 87 arcosh, 92 arcsin, 87 arctan, 87 areaal, 92 arsinh, 92 artanh, 92 associatief, 12 axioma, 13

Cauchy, 102 Ces`aro, Ernesto, 168 Ces`arosommatie, 168 cirkel, 132 commutatief, 12, 48 complex getal, 157 complexe getallen, 157 constante, 111, 112 continue functie, 60 convergentie, 46 cos, 78, 84 cosh, 90 cosinusregel, 20, 21 cot, 86 coth, 91 csc, 86 csch, 91

balk, 18 Basel-probleem, 51, 174 Bernouilli familie, 51, 156 Jacob, 55 bijectie, 40, 41, 86 binomiaalco¨effici¨ent, 134 binomiaalreeks, 51 binomiaalstelling, 134 breuksplitsen, 122 buigpunt, 99 buigraaklijn, 99

diagonaalstelling, 44 differenti¨eren, 52 expliciet, 70 impliciet, 70 partieel, 75 differentiaal, 53 differentiaalquoti¨ent, 68, 71 Dirichletreeks, 51 discriminant, 33 distributief, 12 divergentie, 46 domein, 43 domeinelementen, 54 draaivermenigvuldigen, 159

Cantor, Georg, 44 Casimireffect, 176

ex , 66, 162 e, getal, 55, 156 177


integratie, herleiden met staartdeling, 129 integratie, lateraal denken, 123 integreren, 104 integreren, partieel, 114 interval, 111 inverse, 36 inverse functie, 41 inverse relatie, 40

eenheidscirkel, 81 Eleanisme, 147 Euler formule, 156 identiteit, 156, 161 Leonard, 51, 156, 170 exponenti¨ele functie, 36 Fibonaccireeks, 51 Fourierreeks, 51 Fresnelintegraal, 121 functie, continu, 131 functionaalvergelijking, 171

kardinaliteit, 44, 167 kettingregel, 58, 70 kortste pad, 135 kruislings vermenigvuldigen, 23 kubus, 18 kwadratische vergelijkingen, 29

gammafunctie, 173 gehele getallen, 157 Grandi, Guido, 168 Grandireeks, 168

Leibniz, 106, 148 lemniscaat, oneindigheidsteken, 46 limiet, 46, 175 limiet van boven, rechterlimiet, 145 limiet van onder, linkerlimiet, 145 limietberekening, 151 logaritme, 36 exponent, 36 grondtal, 36 hoofdeigenschap, 37 macht, 36 overgangsformule, 39 lokaal minimum, maximum, 97 loodlijn, 15

HË&#x2020; opital,lâ&#x20AC;&#x2122;, 100, 145 harmonische rij en reeks, 49 hoek scherp, 20 stomp, 20 holomorf, 162 hyperharmonische rij en reeks, 49 hypotenusa, 17, 18 imaginair getal, 157 imaginaire getallen, 157 inductie, 136 infinitesimaal, 52, 104 infinitesimaalrekening, 52, 104 inhoud, 131 inproduct definitie, 22 insluitstelling, 83, 108 integraal, 107 integraal, bepaald, 111 integraal, meervoudig, 131 integraal, onbepaald, 111 integraal, oneigelijk type I, 130 type II, 130 integraal, oplossing gesloten vorm, 120

machtreeks, 51, 162 machtregel, 68 Maclaurinreeks, 51, 121, 162 Malthus, 156 meetkundige reeks, 49, 152 meetkundige rij, 48, 150 merkwaardig product, 23, 134 middelwaardestelling, 102 n boven k, 134 natuurlijke getallen, 157 natuurlijke getallen, som, 165 178


natuurlijke logaritme, 55 Newton, 148 Newton, binomium van, 134 norm, 22 nul, delen door, 142, 143 nulpunten, 35 Numberphile, 165

reden, 48 reeks, 45 reeks, convergerend, 151 reeks, divergerend, 151 rekenkundige rij, 47 rente-op-rente, 55, 156 richtingsco¨effici¨ent, 54, 70, 98, 107 Riemann, Bernhard, 169 rij, 45, 149 Rolle, 102

onbepaald, 100, 144 oneindigheden, natuur, 175 ongedefinieerd, 101, 144 ontbinden in factoren, 29, 30, 34 oppervlakte, 106, 131 oppervlakte driehoek, 14 opvolgerfunctie, 13

scalair, 22 sec, 86 sech, 91 sigma, 46 sin, 78, 84 sinh, 90 snaartheorie, 176 somregularisatie, 173 zetafunctie, 173 somteken, 46 substitutie, 61, 113, 115, 116, 118

paradox, 148 parallellogram, 15 Parmenides, 147 parti¨ele som, 46, 48 Pascal, driehoek van, 135 Peano, Guiseppe, 13 perfect kwadraat, 32 Plato, 147 poolco¨ ordinaten, 160, 164 priemgetallen, 51, 170 primitieve functie, 110 primitiveren, 113 productreeks, 51 productregel, 64, 70 Pythagoras, stelling van, 17, 21

tan, 78, 85 tanh, 90 Taylor, Brook, 161 Taylorreeks, 51, 121, 162 tesseract, hyperkubus, 19, 132 vector, 22, 158 Verhulst, 156 verzamelingen, 40, 157 volgorde van bewerking, 13

quaternionen, 157 quoti¨entregel, 65 raaklijn, 71, 75 raakruimte, 75 raakvlak, 75 rationele getallen, 157 re¨ele getallen, 157 reciproque functie, 86

wortelformule, 33 YouTube, 165 Zeno van Eleia, 147, 152, 154 zeta-functie, 170

179


Colofon c Jeroen I.M. van Dorp Wiskundige Varia Dit document is geschreven in en gecompileerd met Tex Writer, een LATEX editor en compiler voor de iPad. Daarnaast is er geredigeerd met Texmaker onder zowel Windows als Linux (Mint). De illustraties en grafieken zijn gemaakt met TouchDraw, een vector-based tekenprogramma voor de iPad; PocketCas Pro, een grafisch calculatorprogramma -eveneens voor de iPad- dat grotendeels gebaseerd is op de functionaliteit van de TI-89 calculator, en de iPad-app GoodGrapher Pro. Een bijzonder woord van dank aan alle LATEX -gebruikers op forums, in instituutshandleidingen en op wikiâ&#x20AC;&#x2122;s voor het aanreiken van de vele praktische oplossingen die nodig zijn bij een correct gebruik van LATEX en een een goed werkende opmaak. De meest recente versie van dit document kan altijd gedownload worden op www.vandorp.info

180



Wiskundige varia