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Planimetría

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial del Estado Mérida “Kléber Ramírez”

MÓDULO INSTRUCCIONAL DE TOPOGRAFÍA I

Ing. M.Sc. JESUS M. SANCHEZ

EJIDO - VENEZUELA 2016

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INDICE CONTENIDO PREFACIO...…………………………………………………………………………... INSTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL MODULO………….…… RECOMENDACIONES PARA LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE…….……

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CONTENIDO A DESARROLLAR EN EL MÓDULO INSTRUCCIONAL UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS Forma y dimensiones de la tierra, Cartografía……………………………... Cartografía……………………………………………………………………... Superficie de Nivel…………………………………………………………….. Coordenadas Geográficas de un punto…………………………………….. Geodesia y Topografía……………………………………………………….. División de la Topografía……………………………………………………... Levantamientos Topográficos……………………………………………….. Sistema de representación usado en Topografía………………………...

15 16 18 19 20 21 22 24

UNIDAD II: ESCALAS Tipos de Escalas y Conversión de Escalas…………………………………

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UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA Formulas básicas para la resolución de triángulos, Calculo de áreas y Perímetros………………………………………………………………………

45

UNIDAD IV: TEORÍA DE ERRORES Tipos de Errores, Calculo estadístico de los errores en la medición…….

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UNIDAD V: SISTEMAS DE MEDICION Sistema de Medición Métrico y Angular……………………………………..

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UNIDAD VI: PLANIMETRÍA Medición de ángulos………………………………………………………….. Medición indirecta de distancias…………………………………………….. Sistema de coordenadas usadas en topografía……………………………

77 83 91

UNIDAD VII: POLIGONALES Poligonales Cerradas y Abiertas……………………………………………..

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UNIDAD VIII: ÁREAS Ó SUPERFICIES Áreas por Coordenadas Cartesianas y Áreas por Coordenadas Polares Área con la utilización del Planímetro y por el conteo de cuadros………

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PREFACIO No es difícil comprender la importancia de la topografía para el profesional de la Construcción Civil, principalmente por dos aspectos:

1. Es la primera materia en la cual tiene oportunidad de desarrollar una labor profesional. 2. Aunque no tenga como ideal llegar a ser un Topógrafo, si es muy útil dominar la materia como primer paso al éxito en la mayoría de las ramas de su competencia, así como también, en profesiones afines y complementarias.

En cuanto a las Obras Civiles, en las diferentes obras, tales como: La construcción de obras urbanas (Edificaciones), desarrollo de vías férreas, carreteras, autopistas, presas de tierra ó de concreto, muros de contención de gaviones, de concreto armado ó ciclópeo, torrenteras, líneas de acueducto, aguas negras, tendidos eléctricos y donde se requiera según el Proyectista.

En Minería, la Topografía servirá para determinar las características de la superficie terrestre: realizando los planos con las posiciones relativas y las cotas de los puntos en trabajos a cielo abierto y subterráneos. Así como, evaluar la situación y cantidad de mineral que puede obtenerse, proyectar y controlar la dirección, pendiente y extensión de nuevos trabajos. Igualmente estimación de formaciones geológicas.

La Topografía servirá para determinar el estado actual de la superficie del terreno, para poder proyectar el tipo de infraestructura que se desea ejecutar, para luego, en el proceso de construcción dar seguimiento en todos los movimientos de tierra que se ejecuten, bien sea, manualmente o por medio de maquinaria pesada.

Como es de notar, el conocer la topografía del terreno es de suma importancia ya que para la planificación, proyección y construcción de las diferentes obras civiles se necesita de levantamientos topográficos, antes, durante y después de las mismas.

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La labor de un topógrafo, es dinámica y activa, que se debe realizar en la mayoría de las veces al aire libre, en el campo, sin muchas comodidades, es decir, no es una profesión como cualquier otra. Sin embargo, el trabajo de campo es enriquecedor, donde se debe tratar con todo tipo de gente, desde los representantes de los entes públicos y privados, el ingeniero, o el contratista hasta con las personas más humildes.

Es una profesión que demanda de una buena condición física, gusto por el trabajo de campo, buena capacidad de análisis y de observación, buena memoria para recordar las formas del relieve al momento de la elaboración de los planos, buen sentido de orientación, habilidades de liderazgo para el trabajo en equipo, habilidades manuales para el manejo de los aparatos de medición y con vocación para el estudio de las matemáticas y una buena dosis de paciencia al momento de la elaboración de los planos o de los cálculos para el replanteo de las obras.

Este Módulo, se ha concebido como un texto-guía instruccional que responde al contenido programático de la asignatura de Topografía I, en las carreras de Construcción Civil y Geociencias que se imparten en el La Universidad Politécnica Territorial del Estado Mérida (UPTM). El Módulo comprende ocho (8) Unidades cada una dando cumplimiento a sus objetivos generales y específicos.

El Módulo esta diseñado, de manera tal, que permite aprender a un ritmo acorde a las motivaciones, necesidades e intereses, por tal razón, para el mejor uso del mismo, debe realizar un análisis detallado del mismo en su contenido, puesto que las estrategias de aprendizaje han sido estructuradas de tal forma, que estimulan la autoinstrucción, facilitando el logro de los aprendizajes.

Los contenidos se han desarrollado presentando primero las definiciones o teoremas objeto de estudio, dando luego el suficiente número de ejemplos que van de lo más sencillo a lo más complejo, con la finalidad de facilitar la comprensión y aprendizaje de los objetivos, y por último se asignan ejercicios para ser resueltos individualmente por el participante; luego verificados con las respuestas. 4


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INSTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL MÓDULO

Se quiere que con el uso de este Módulo Instruccional, se logre reducir la clase pasiva - presencial, estimular el autoestudio, incentivar la participación del alumno en el proceso de enseñanza y aprendizaje con alto grado de responsabilidad, así como, dinamizar la reforma de los planes de estudio con mecanismos flexibles.

A continuación, se presentan algunas sugerencias con la intención de ayudar el logro del éxito en los objetivos de las unidades de aprendizaje. Para ello, antes de iniciar los trabajos con el Módulo analice y reflexione el algoritmo propuesto para el desarrollo del mismo el cual puede apreciarse en el Gráfico Nº 1 que se inserta en la siguiente página.

Es recomendable formar grupos de estudio y no olvidar que el facilitador será su apoyo en todo el proceso y desarrollo del Módulo Instruccional, así que, consúltelo cada vez que lo requiera y por su parte, debe cumplir con los ejercicios asignados, siguiendo las indicaciones didácticas de cada lectura. Para ello siga los pasos siguientes:

1. Lea cuidadosamente la introducción para cerciorarse de los aspectos fundamentales del Módulo.

2. La información se

presenta en forma secuencial jerarquizada, es decir, que

debe ser respetada. Por eso no salte información, cumpla con las instrucciones a medida que se presente.

3. Estudie la secuencia del flujograma.

4. Reflexione sobre el objetivo general y los objetivos específicos de cada unidad, Analizando detenidamente el contenido de información que se presenta para cada objetivo específico.

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5. Revise la estructura y contenido de cada unidad haciendo una lectura de títulos y subtítulos, esto le proporcionará una visión general del material que esta por estudiar.

6. Realice una primera lectura general de la unidad que pretende abordar, sin preocuparse por no comprender todo el contenido. La segunda lectura debe ser de mayor detenimiento y en forma analítica, con el fin de entender dicho contenido

7. Realice los ejercicios o asignaciones planteadas para el logro de los objetivos propuestos, antes de responder la autoevaluación.

8. Responda individualmente y sin ayuda del material el instrumento de autoevaluación, e internalícelo como un elemento más del aprendizaje.

9. Autoevalúe su trabajo, verificando las respuestas, si los resultados no son satisfactorios, revise nuevamente el material y complete la información mediante la bibliografía recomendada.

10. No olvide revisar otros textos para ampliar conocimientos y organícese en grupos de estudio.

11. Cuando exista alguna dificultad en el logro de los objetivos, aclare las dudas con su grupo de estudio y asista regularmente a las reuniones con el facilitador, previo estudio del Módulo. Para lograr una mejor comprensión del tema, se recomienda no pasar a otro punto si no domina el anterior.

12. Prepárese para la evaluación de la unidad a realizar por parte del facilitador.

13. Si el resultado es satisfactorio, ha cumplido con lo exigido en el aprendizaje de esta unidad y puede avanzar a la siguiente. 6


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FLUJOGRAMA DE SECUENCIA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE CADA UNIDAD ENTRADA Lee y analiza los objetivos que en forma secuencial comprende cada unidad de aprendizaje

NO

Las Comprende Autoevalúese nuevamente Si

Lee detalladamente el contenido de información del Módulo y busca la bibliografía recomendada

Realiza los ejercicios sugeridos

Realiza las actividades propuestas para el logro de los objetivos de manera objetiva

Consulta con el facilitador

Autoevalúese comprobando las respuestas de manera objetiva con las que aparecen al final de la autoevaluación

Lograste los objetivos en su totalidad

Revisa los objetivos en que fallaste y efectúa nuevamente las actividades de aprendizaje

NO

Si Si

Salida, avanza a la siguiente Unidad

Lograste todas las Unidades

Felicitaciones Gráfico Nº 1

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RECOMENDACIONES PARA LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE

Las concepciones sobre el aprendizaje y sobre los roles que deben adoptar los estudiantes en estos procesos, han evolucionado desde considerar el aprendizaje como una adquisición de conocimientos automáticos (adiestramiento) o adquisición y reproducción de datos informativos (transmitidos por un profesor), a ser entendido como una construcción o representación mental de significados (el estudiante es un procesador activo de la información con la que genera conocimientos que le permiten conocer y transformar la realidad, además de desarrollar sus capacidades). En cualquier caso hoy en día aprender, no significa ya solamente memorizar la información, es necesario también: - Conocer la información disponible y seleccionarla (hay mucha a nuestro alcance: clases presénciales, libros, Internet, prensa,...) en función de las necesidades del momento. - Analizarla y organizarla; interpretarla y comprenderla - Sintetizar los nuevos conocimientos e integrarlos con los saberes previos para lograr su "apropiación" e integración en los esquemas de conocimiento de cada uno. - Aplicarla considerar relaciones con situaciones conocidas y posibles aplicaciones. En algunos casos valorarla, evaluarla. FACTORES QUE FAVORECEN LOS APRENDIZAJES - La aptitud y el compromiso: Las aptitudes intervienen de modo decisivo en la adquisición de conocimientos: la disposición, la curiosidad, el interés por la búsqueda de la verdad, la implicación en la tarea… son factores que favorecen el aprendizaje. En la formación de ese vínculo interviene ante todo la vocación del estudiante y el facilitador, esto implica que si no se es consciente ni consecuente con la magnitud y responsabilidad que se exige y si se limita a cumplir un horario y desarrollar unos objetivos planteados a priori, perdiendo la perspectiva en toda su integralidad, difícilmente podrá aceptar y manejar el desafío que supone la obtención de los aprendizajes. 8


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Las aptitudes, además de contenidos concretos de enseñanza, impregnan la totalidad del proceso educativo y ocupan un papel central en todo el acto de aprendizaje. Las aptitudes guían los procesos perceptivos y cognitivos que conducen al aprendizaje de cualquier tipo de contenido educativo, ya sea conceptual, procedimental o actitudinal. - Motivación: A veces los estudiantes no aprenden porque no están motivados y por ello no estudian, pero otras veces no están motivados precisamente porque no aprenden, ya que utilizan estrategias de aprendizaje inadecuadas que les impiden experimentar la sensación de "saber que se sabe aprender" (de gran poder motivador). Hay alumnos que solamente utilizan estrategias de memorización (de conceptos, modelos de problemas...) en vez de intentar comprender la información y elaborar conocimiento, buscar relaciones entre los conceptos y con otros conocimientos anteriores, organizar el conocimiento alrededor de conceptos importantes, pensar en contextos en los que pueda ser transferible lo que está aprendiendo, aplicar los nuevos conocimientos a situaciones prácticas... - Actividad: para comprender lo aprendido, lo mejor es hacer algo con ella, tratar de asociar los nuevos contenidos a los conocimientos anteriores: cuando los nuevos conocimientos originan un conflicto con los esquemas cognitivos previos, se hace necesaria una reestructuración conciliadora que lleva a un nuevo equilibrio con unos esquemas más flexibles y complejos. - Complementar: Con Investigaciones y otras actividades en grupo (con aceptación de responsabilidades, discusión en pequeños grupos.) que permitan explorar nuevos conocimientos, estimulen el desarrollo del pensamiento de orden superior, la aplicación y reflexión del propio conocimiento, compartir el conocimiento con los demás y considerar la diversidad como un valor. Los estudiantes aprenden mejor cuando deben tomar decisiones sobre su experiencia educativa en el contexto de una secuencia de aprendizaje organizada y en situaciones que exijan la colaboración para alcanzar un objetivo común.

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EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA DE TOPOGRAFÍA I DURANTE EL DESARROLLO DE ESTE MÓDULO INSTRUCCIONAL

Esta referida al logro de los objetivos propuestos, para lo cual usted deberá realizar todas y cada una de las actividades que se le presentan. Por lo tanto, la evaluación se realizara durante todo el proceso instruccional el cual comprende: problemas resueltos, autoevaluación de cada unidad y evaluación presencial.

1. Problemas resueltos: Estos se encuentran intercalados a medida que se desarrollan los temas objeto del aprendizaje, y tienen como fin ayudarle a comprender los principios básicos y facilitarle el logro de la competencia prevista. 2. Autoevaluación de cada unidad: Tienen por objeto consolidar y organizar su aprendizaje, complementarlo y enriquecerlo. 3. Evaluación presencial: Se realizará a través de cuatro (4) pruebas que cubrirá el 100% de los objetivos de cada una de las unidades. Estas pruebas serán realizadas en el lugar y fecha que determine el facilitador que dicte la asignatura de Topografía I. El curso se considera aprobado si se logra el 60% mínimo total de los objetivos.

El proceso de evaluación, está centrado en la identificación de las competencias que poseen los estudiantes tanto en el momento actual, como en las competencias que van a requerir para su desempeño eficaz en el mediano plazo. Estas competencias, consisten en determinar características individuales que se pueden medir o contrastar de modo confiable y que se pueda demostrar que éstas características los diferencian de una manera significativa en el desempeño eficaz de su función. La evaluación pretende medir y contrastar:

Habilidades,

Aptitudes y Conocimientos.

Al mismo tiempo, permite determinar qué necesidades concretas de formación tiene cada uno de los estudiantes, hacer el análisis y ejecutar acciones pertinentes, que permitirán hacer con carácter preventivo un mejor aprendizaje con correcciones pertinentes mientras se imparte la acción formativa y no al finalizar ésta.

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En el proceso se integran los siguientes elementos a ser evaluados: 

Saber: Conjunto de conocimientos que posee el estudiante.

Saber hacer: Conjunto de habilidades y destrezas que posee el estudiante

Hacer: Capacidad para poner en práctica el conjunto de comportamientos, en función de las demandas específicas de la situación.

Saber estar: Capacidad de integrarse y adaptarse con el grupo de estudio.

Querer hacer: Mostrar el interés y la motivación para poner en juego el saber, el saber hacer, el hacer y el saber estar.

En este sentido, una competencia no es un conocimiento, una habilidad o una actividad aislada, sino la unión integrada y armónica de todos estos aspectos en el desempeño de una actividad laboral concreta. En el desarrollo del proceso de evaluación, el candidato a ser evaluado (Estudiante) debe conocer: 

¿Cuándo se realizará la evaluación?

¿Quién realizará la evaluación?

¿Qué aspectos serán evaluados?

¿Cómo se realizará la evaluación?

Se deberá emitir el juicio de competente o aún no competente al estudiante que está siendo evaluado. El juicio de competente significa que el estudiante cuenta con los conocimientos, actitudes, destrezas y habilidades suficientes para proseguir en las demás unidades de estudio de la asignatura o a otra del pensum correspondiente. El juicio de aún no competente, no significa la descalificación del estudiante sino que es un referente para orientarlo en materia de formación necesaria para alcanzar las exigencias requeridas. Es importante señalar que el proceso de evaluación está considerado dentro de los lineamientos institucionales del Programa de Calidad Educativos de la Institución, al ser considerado el medio que garantiza la calidad en el proceso de aprendizaje-enseñanza, por lo que se considera necesaria la voluntad y participación de todos los involucrados en este proceso. 11


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CONTENIDO A DESARROLLAR EN EL MÓDULO INSTRUCCIONAL UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS 1. Forma y dimensiones de la tierra, Cartografía. 2. Superficie de Nivel. 3. Coordenadas Geográficas de un punto. 4. Geodesia y Topografía. 5. División de la Topografía, Levantamientos Topográficos. 6. Sistema de representación usado en Topografía.

UNIDAD II: ESCALAS 1. Tipos de Escalas y Conversión de Escalas. UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA 1. Formulas básicas para la resolución de triángulos, Calculo de áreas y Perímetros

UNIDAD IV: TEORÍA DE ERRORES 1. Tipos de Errores, Calculo estadístico de los errores en la medición.

UNIDAD V: SISTEMAS DE MEDICION 1. Sistema de Medición Métrico y Angular. UNIDAD VI: PLANIMETRÍA 1. Medición de ángulos, Medición indirecta de distancias. 2. Sistema de coordenadas usadas en topografía.

UNIDAD VII: POLIGONALES 1. Poligonales Cerradas y Abiertas.

UNIDAD VIII: ÁREAS Ó SUPERFICIES 1. Áreas por Coordenadas Cartesianas y Áreas por Coordenadas Polares. 2. Área con la utilización del Planímetro y por el conteo de cuadros.

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UNIDAD I CONCEPTOS BÁSICOS Con el fin de alcanzar un léxico mínimo y contar con un lenguaje común de topografía, es necesario partir de las definiciones básicas, algunas clasificaciones y divisiones. Esta Unidad tendrá un carácter introductorio y servirá como táctica para romper el hielo antes de entrar en materia. Se pretende dar una visión global de la asignatura para familiarizar al estudiante con los fundamentos de esta disciplina y a la vez aprender algunos elementos conceptuales mínimos que le faciliten la comprensión y asimilación de los temas siguientes. La lectura de este unidad dejará inicialmente algunas inquietudes y dudas, posiblemente alguna falsa interpretación, pero se espera que una vez finalizado el curso y al volver a leer este unidad, se tendrá una mejor comprensión, asociación y asimilación de todos los tópicos presentados. OBJETIVO GENERAL: Comprender el escenario en que se desenvuelve la topografía y las disciplinas afines, y su aplicación general en el campo de las obras de edificación, civiles e industriales, se estará en capacidad de definir en forma correcta todos los aspectos básicos que involucran la Topografía.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Definir los aspectos que involucran la Topografía. 2. Establecer diferencias entre Topografía y Geodesia, tomando en cuenta su campo de acción. 3. Señalar en forma sencilla cual es la importancia y aplicación de la Topografía. 4. Identificar con exactitud las partes de la Topografía. 5. Describir en forma correcta las fases de un levantamiento topográfico. 6. Describir en forma correcta la forma de representación en Topografía.

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD I

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. (1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M.; Charfolè J. F. Martín J.; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca). 5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 1. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

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CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD I

FORMA Y DIMENSIONES DE LA TIERRA La Tierra, es un “Esferoide” achatado de revolución, y su estudio como cuerpo que vaga en el infinito, pertenece a la Astronomía, correspondiendo a la Geodesia la determinación de su forma y dimensiones en gran escala y a la Topografía cuando se trata de áreas en pequeñas dimensiones.

La superficie de la Tierra, tiene la forma de un elipsoide de revolución, que es la figura que engendra una elipse de poca excentricidad girando alrededor de su eje menor; de allí la consideración de dos ejes: El Eje Polar y el Eje Ecuatorial. De éstos dos el primero es de menor longitud con aproximación de b = 6.356.079 mts el semieje mayor de la elipse es de a = 6.377.379 mts. Para las extensiones pequeñas de la Tierra se considera la parte correspondiente del elipsoide como si perteneciera a una esfera, y se toma el radio R = 6.379.000 mts.

Para los efectos topográficos sólo realizaremos levantamientos planos en la cual se desprecia la verdadera forma de la Tierra y en donde se considera ésta como un plano. Entonces, conforme a ésta suposición, tomaremos como base de nuestro estudio las siguientes hipótesis:

1. La línea que une dos puntos cualesquiera sobre la superficie terrestre, será una línea recta y no un arco de círculo 2. Los ángulos de los polígonos son ángulos planos y no esféricos. 3. Las direcciones de la plomada en dos puntos cualesquiera diferentes, serán paralelas. 4. La superficie imaginaria de referencia, es una superficie plana, tomándose ésta como de partida para determinar las alturas. La representación de los Relieves (prominencias, profundidades, laderas, etc.) del terreno vendrá dada por signos, de tal manera que puedan identificarse con facilidad los accidentes hidrográficos y orográficos, vías de comunicación, construcciones, etc.

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LIMITES DEL CAMPO TOPOGRAFICO La topografía estudia la medición de terrenos en superficies reducidas pudiéndose no tomar en cuenta la curvatura de la tierra siendo el error de poca consideración, así: en la medición de la longitud de un arco de la tierra de 18 Km el error cometido es de tan solo 15 mm y en un triángulo equilátero de 30 Km de lado sólo se cometerá un error de un segundo ( 1” ) de exceso esférico, los teodolitos empleados en operaciones topográficas pueden llegar a apreciaciones de 1”, es evidente que tendremos que asumir para el campo topográfico angular y planimétrico, el valor de 30 Km que determina el error angular menor de 1”.

CARTOGRAFÍA Es la ciencia y arte de expresar gráficamente, a través de planos y cartas la superficie terrestre y sus diversos rasgos. Por lo tanto los trabajos cartográficos integran esa rama de la topografía que comprende todas las actividades conducentes a la elaboración de planos topográficos y cartas náuticas.

PLANOS Un plano es la representación del terreno por medio de signos convencionales, de tal manera que puedan identificarse con facilidad los accidentes hidrográficos y orográficos, vías de comunicación, construcciones, etc. CARTA – MAPAS En general, una representación cualquiera de la superficie terrestre se conoce con el nombre genérico de Carta. Éstas pueden clasificarse en dos aspectos:

A.- Según la extensión representada: 1. Mapas Geográficos o Cartas Generales: Son documentos gráficos que representan grandes extensiones de la superficie terrestre, no siendo posible contener detalles pequeños. Se limitan a representar cadenas de montañas, los principales cursos de aguas, vías de comunicación de importancia, así como el emplazamiento de las poblaciones principales. 16


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En este se representan extensiones de la superficie terrestre como las de un Continente ó un País. Cuando en él está representada la superficie total del globo se denomina MAPA-MUNDI, si abarca la superficie total, pero proyectada en forma circular, se denomina PLANISFERIO. 2. Cartas Corográficas: Son las que representa una extensión menor del terreno, pero un poco más detallada; por ejemplo un Municipio. 3. Cartas Topográficas o Planos Topográficos: Son documentos gráficos que utiliza la topografía, para representar pequeñas extensiones de terreno, con detalles en general muy minuciosos. En éstos planos se emplean los signos convencionales para los accidentes, ya que por pequeños, no alcanzan a tener representación a escala. 4. Croquis Topográficos: Son documentos que acompañan a ciertos informes topográficos y se caracterizan por ser sencillos, sin requerir su elaboración gran precisión.

B.- Según el uso a que están destinadas, las Cartas se dividen en: 1. Cartas Hidrográficas: Las que detallan la distribución de las aguas, tanto retenidas como corrientes, afluentes, nacientes, etc. 2. Cartas Orográficas: Las que describen los accidentes del terreno, detallando las cadenas de montañas, regiones volcánicas, valles y en fin todas las elevaciones que existen en la región representada. 3. Cartas Itinerarias: Proporcionan el conjunto de las vías de comunicación (vías férreas, carreteras, etc.), indicando el kilometraje, vialidad y condiciones de tráfico. 4. Cartas de Navegación. Empleada por la marina y la aviación, incluyendo las rutas respectivas. 5. Cartas de Comunicaciones: En las que están indicados todos los medios de comunicación, tales como: Teléfono, etc.

El dibujo topográfico propiamente dicho, abarca la confección de planos (Mapas), en los cuales están representados las formas y accidentes de un terreno. 17


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Pero es de gran significación, hacer la distinción entre Mapas Planimétricos y Mapas Topográficos

En el Mapa Planimétrico, están

representados

los

accidentes

naturales

y

artificiales del terreno, tales como: ríos, lagos, linderos, edificios, caminos, etc. y en el Mapa Topográfico, además de esto se representa el relieve del terreno, es decir, prominencias, profundidades, laderas, etc.

SUPERFICIE DE NIVEL Se llama así a una superficie imaginaria esferoidal, en donde cada uno de sus elementos es normal a la dirección de la plomada, si consideramos eliminadas todas las irregularidades de la superficie terrestre. Una superficie de ésta clase se conoce como “Nivel Medio del Mar”, y es la superficie de referencia para las nivelaciones y mediciones topográficas.

90º

Superficie de Nivel MERIDIANO: Se llama así, a la circunferencia determinada por la intersección de una superficie de nivel con un plano que pasa por los polos (N; S) de la Tierra y por otro punto cualquiera de ella. PARALELOS: Se llama así, a la intersección de un plano perpendicular al eje polar, con la superficie de nivel, siendo ésta intersección menor a medida que se aleja del Ecuador. ECUADOR: El Círculo máximo que pasa por el Ecuador y que es perpendicular al eje polar se denomina Plano Ecuatorial. Divide al Globo terrestre en dos hemisferios llamados: Boreal, que contiene el Polo Norte ó Ártico y el Austral, que contiene el Polo Sur ó Antártico.

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COORDENADAS GEOGRÁFICAS DE UN PUNTO: Longitud y Latitud

LONGITUD: Es el ángulo diedro formado por el Meridiano de origen, en éste caso el Meridiano de GRENWICH y el Meridiano que contiene el Pto A. La longitud puede ser Este y Oeste, varía entre 0 y 180. Ejemplo: Long A: 80º Este.

LATITUD: Es el ángulo formado por la perpendicular a la superficie terrestre en el Pto A y su proyección sobre el plano del Ecuador. Puede ser Norte o Sur y varía entre 0 y 90. Ejemplo: Latitud A: 58º Norte. P.N .

Punto A

Meridianos

Paralelos

Plano Ecuatorial

Eje Polar

P.S .. COORDENADAS U.T.M. DE UN PUNTO: (Universal Transverse Mercartor) Este sistema nos determina las coordenadas Norte, Este y Cota (N, E, Z) en valores métricos siendo este el sistema de proyección que actualmente se utiliza con carácter universal, lo cual permite la interconexión de cualquier trabajo cartográfico sin ambigüedades. Por convenio se ha considerado el origen de una zona UTM al punto donde se cruzan el meridiano central con el plano de la zona del ecuador tomándose el meridiano de origen o cero el meridiano de Greenwich.

Ejemplo Coordenadas U.T.M. del Pto A: (Norte: 953426; E = 265412; Z = 1610,00)

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La Geodesia y la Topografía son dos disciplinas que se ocupan de lo mismo pero a diferente escala. GEODESIA Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la forma y dimensiones de la tierra en grandes extensiones, y como fin inmediato, la medición de toda la superficie del Elipsoide terrestre. Esta ciencia considera la curvatura de la Tierra. Es utilizada por ejemplo para confeccionar la carta geográfica de un país, para establecer fronteras y límites internos, para la determinación de líneas de navegación en ríos y lagos, etc. TOPOGRAFÍA Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de puntos sobre la Superficie de la Tierra y debajo de la misma en pequeñas dimensiones, efectuándola por medio de medidas según sus tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser dos distancias y una elevación, ó una distancia su dirección y una elevación. Para distancias y elevaciones se emplea unidades de longitud y para direcciones se emplea unidades de arco (grados). DIFERENCIAS ENTRE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA La diferencia está en los métodos, procedimientos de medición y cálculo que emplea cada una de éstas ciencias, la Topografía realiza sus trabajos en porciones relativamente pequeñas de la superficie considerándola como plana, mientras que la Geodesia toma en cuenta la curvatura terrestre, pues sus mediciones son sobre extensiones muy grandes: Poblados, Estados, Países, Continentes y la Tierra misma. PARTES DE LA TOPOGRAFÍA En las mediciones topográficas, por la pequeñez de la parte medida, no influye para nada la curvatura de la superficie terrestre; es decir, que dentro de cada región o zona de terreno, puede considerarse la superficie como un plano horizontal. 20


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Ahora bien, el topógrafo se encuentra no con un plano horizontal, sino con la superficie verdadera del terreno, y ha de representar éste en proyección sobre un plano, ó hallar la diferencia de nivel entre sus distintos puntos, por ejemplo refiriendo su altura al nivel del mar. A la primera operación se llama PLANIMETRÍA, y a la segunda NIVELACION conocidas como las partes de la topografía, y corresponden a mediciones horizontales y verticales respectivamente. Se considera plano a un Área de 55 Km2. Claro está que en topografía, todas las mediciones llevan consigo errores inevitables, y uno de los problemas más importantes que se presentan es el de determinar la influencia que éstos errores pueden tener en la operación que se traten, compensarlos en lo posible y calcular los que aun así subsistan.

DIVISIÓN DE LA TOPOGRAFÍA La Topografía puede dividirse en dos grandes ramas que son: A) PLANIMETRÍA: Es la representación en proyección, sobre un plano horizontal imaginario de la superficie verdadera del terreno, denominadas coordenadas Norte y Este (N, E). Podemos resumir sus aplicaciones así: 1. Determinación de áreas, distancias y direcciones. 2. Parcelación o participación de terrenos 3. Determinación de linderos, vías de comunicación, etc.

B) ALTIMETRÍA: Es el complemento de la planimetría en donde se toma en cuenta las diferencias de nivel que existen entre los diferentes puntos del terreno., ya que para llevar a cabo en la ejecución de un levantamiento topográfico, es necesaria la posición de cada punto así como determinar su elevación, denominada Cota (Z)

TAQUIMETRÍA Estudia los métodos y procedimientos de medición y representación gráfica de los elementos que componen las cadenas planimetrías y altimétricas simultáneamente. 21


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LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS Se denomina así, la serie de mediciones mediante el cual se determinan las posiciones de los diferentes puntos del terreno efectuadas en campo que complementadas con los cálculos de oficina nos permiten dibujar el plano con todos sus detalles. A ésta representación gráfica se le denomina PLANO ó CARTA TOPOGRÁFICA, en donde se mostrará el tipo de vegetación, utilizando símbolos convencionales, así como las distancias horizontales entre los rasgos con sus elevaciones claro tomando como base un datum conocido. En los levantamientos topográficos se hace uso de diferentes métodos y en éstos, las herramientas principales utilizadas son el Teodolito, el nivel de Ingeniero y la cinta métrica. Teodolito, Las raíces de la palabra tienen su origen de las voces griegas: THEAO, mirar y HODOS, camino. La terminación probablemente se deba a una adición o una degeneración de la palabra. En conclusión, en un levantamiento topográfico (Planimétrico y Altimétrico) deben realizarse las siguientes operaciones: 1. Ubicar la posición de ciertos puntos fundamentales por medio de ángulos y distancias, en un plano horizontal. 2. Determinación de las alturas de esos puntos mediante la nivelación. 3. Establecimiento de un número suficiente de puntos, tanto en Planimetría como en Altimetría, para la confección del plano. 4. Determinación de los detalles, ya sean naturales o artificiales.

TIPOS DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS 1. Levantamientos de terrenos en general: Linderos, medir y dividir superficies, proyectar obras y construcción, etc. 2. Topografía de Vías de Comunicación: Para estudiar y construir carreteras, canales, líneas de transmisión, acueductos.

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3. Topografía de Minas: Tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. 4. Levantamiento Catastrales: En las áreas Urbanas, para fijar linderos ó estudiar obras Urbanas. 5. Levantamientos Aéreos: Se hacen por medio de la fotografía. La Fotogrametría es quien la estudia.

ETAPAS BÁSICAS EN UN LEVANTAMIENTO 

El trabajo de Campo

El trabajo de Oficina (cálculos):

A) El trabajo de Campo: En todo levantamiento topográfico habrá necesidad de ir al terreno, con el fin de recopilar datos requeridos para la elaboración del plano correspondiente, cumpliendo una serie de fases: 1. Comprobar si el instrumento está en perfectas condiciones o en caso negativo hacer las correcciones necesarias y preparar el equipo complementario. 2. Una vez en el terreno, localizar o definir por medio de estacas o señales de carácter permanente los puntos que van a servir de base al trabajo u otros fines posteriores. 3. Medición de distancias entre puntos, así como también las mediciones angulares (horizontales o verticales) necesarias para llevar a cabo el proyecto. 4. Anotación de todos los datos en las “Libretas o Carteras” que se llevaran para tal efecto, como también un croquis previo del terreno hecho “a ojo”. Antes de ir al campo, el topógrafo debe estudiar con detenimiento el plan de operaciones, tomando en cuenta la forma en que han de llevarse a feliz término; es decir, se debe elaborar una secuencia de lo que ha de realizarse. Después se procede a elaborar una lista del equipo para el trabajo de campo. La rapidez con que se haga el levantamiento no será prueba evidente que los resultados sean satisfactorios; ya podemos imaginar que la celeridad en el trabajo debe 23


Planimetría

ser directamente proporcional a la experiencia adquirida en el manejo de los aparatos; pero si éste trabajo ha sido previamente planeado y no se ha procedido con esmero y honestidad en las operaciones, no se podrá confiar plenamente en su resultado.

Se debe tener bastante iniciativa y sortear los problemas rápidamente cuando éstos se presenten. El topógrafo antes de retirarse del campo debe revisar con detenimiento sus anotaciones por si se presentara alguna irregularidad en las mismas y así poderla corregir efectuando de nuevo éstas medidas para que no se le presenten éstos problemas en los cálculos de oficina.

B) El trabajo de Oficina (cálculos): También es factor de eficiencia, las condiciones de rapidez y exactitud con que hace los cálculos; para ello es menester, conocimientos completos de aritmética, geometría, álgebra y trigonometría.

SISTEMA DE REPRESENTACIÓN USADO EN TOPOGRAFÍA Es el llamado Sistema Acotado, que consiste en proyectar ortogonalmente sobre un plano los puntos clave del terreno; es decir, donde el terreno cambia de pendientes.

El acotado es un sistema de representación en el cual se utiliza solamente proyección horizontal ( N ; E ) y la tercera coordenada ( Z ) o cota del punto no se representa gráficamente como se hace por ejemplo en el sistema Diédrico, sino que se indica con un número al lado del punto. Denominándose Plano Acotado.

A (100,00)

C (101,20)

Plano Acotado

B (95,40)

A’ (100,00) B’ (95,40)

C’ (101,20)

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Planimetría

COTA (Z): Es la altura de un punto referida a un Plano de referencia. (msnm) DISTANCIA NATURAL (DN): Es la distancia medida por encima del terreno. DISTANCIA TOPOGRÁFICA (DT): (Reducida) Es la proyección horizontal de la Distancia natural. Todo el tiempo trabajamos con Distancia Topográfica. DESNIVEL (AB): Diferencia entre sus cotas. A DT = DN Cos 

DN AB

AB = DN  Sen   DT

B

REPLANTEO: Operación contraria al Levantamiento Topográfico, aquí va del plano al terreno. Los procedimientos para determinar las posiciones de puntos sobre la superficie de la tierra vienen dados por medio de medidas según sus tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: 

Dos distancias y Una elevación (N12, E12, Z2 )

Una distancia, Una dirección y Una elevación. (D12, 12, Z2)

N

N

2(Z2)

2(Z2) 12 D12

N12

1

E12

E

1

E

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Planimetría

AUTOEVALUACION Nº 1 1) Cuál es el objetivo de la Topografía.

2) Nombrar la clasificación de las cartas según el uso a que estén destinadas.

3) Cuál es la importancia de la Topografía en su carrera afín.

4) Que se representa en el Mapa Planimétrico y en el Topográfico.

5) Breve explicación de la forma y dimensiones de la tierra.

6) A que se denomina Superficie de Nivel.

7) Definición de Cartografía.

8) División de la Topografía.

9) Nombrar la clasificación de las Cartas ó Mapas según la extensión

10) Operaciones a realizar en un Levantamiento Topográfico.

11) A que se denominan Cartas Topográficas.

12) A que se denomina Croquis Topográficos.

13) Diferencia entre Geodesia y Topografía.

14) Hipótesis a tomar en cuenta al considerar la tierra como plana.

15) Cuál es el sistema de representación usado en Topografía y en que consiste.

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Planimetría

REPUESTAS A LA AUTOEVALUACION Nº 1

1) Cuál es el objetivo de la topografía. Determinar las posiciones de los puntos sobre la superficie de la tierra por medio de medidas según ángulos y distancias. 2) Nombrar la clasificación de las cartas según el uso a que estén destinadas -

Cartas Hidrográficas

-

Cartas Orográficas

-

Cartas Itinerarias

-

Cartas de Navegación

-

Cartas de Comunicaciones

3) Cuál es la importancia de la Topografía en su carrera afín. -

Es la primera materia que brinda la oportunidad de desenvolverse en el campo laboral.

-

Es la materia que sirve de apoyo para el desarrollo en cualquier campo laboral.

4) Que se representa en el Mapa Planimétrico y en el Topográfico. Mapa Planimétrico: representa los accidentes naturales y artificiales del terreno: ríos, linderos, edificios, caminos, etc. Mapa Topográfico: además de lo anterior se representa el relieve del terreno: prominencias, profundidades, laderas, etc. 5) Breve explicación de la forma y dimensiones de la tierra. La tierra es un esferoide achatado de revolución, se contemplan dos ejes el Polar y el Ecuatorial se estima que el R = 6.379.000 mts 6) A que se denomina Superficie de Nivel. Es una superficie plana, imaginaria de referencia que se toma de partida para determinar alturas. 7) Definición de Cartografía. Es la ciencia y arte de expresar gráficamente, a través de los planos y cartas la superficie terrestre.

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Planimetría

8) División de la Topografía. -

Planimetría

-

Altimetría

-

Taquimetría

9) Nombrar la clasificación de las Cartas ó Mapas según la extensión - Cartas Geográficas ó Generales -

Cartas Corográficas

-

Cartas Topográficas

-

Croquis Topográficos

10) Operaciones a realizar en un Levantamiento Topográfico. Trabajo de Campo y el de Oficina. 11) A que se denominan Cartas Topográficas. Son documentos gráficos que utiliza la Topografía, para representar pequeñas extensiones de terreno. 12) A que se denomina Croquis Topográficos. Son documentos que acompañan a ciertos informes topográficos sin ninguna precisión y se caracterizan por ser sencillos. 13) Diferencia entre Geodesia y Topografía. La diferencia está en los métodos y procedimientos de medición y cálculo. La Geodesia los realiza sobre grandes extensiones de tierra tomando en cuenta la forma de la tierra y la Topografía los realiza en pequeñas extensiones considerando la tierra como plana. 14) Hipótesis a tomar en cuenta al considerar la tierra como plana. La línea que une dos puntos será una línea recta y no un arco. Los ángulos son ángulos planos y no esféricos. La dirección de la plomada en dos puntos cualesquiera diferentes serán paralelas. - La superficie imaginaria de referencia, es una superficie plana. 15) Cuál es el sistema de representación usado en Topografía y en que consiste. -

Es el conocido como Sistema Acotado, que consiste en proyectar ortogonalmente sobre un plano los puntos clave del terreno.

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Planimetría

UNIDAD II ESCALAS

Para dibujar los resultados de cualquier levantamiento topográfico en un plano, es necesario utilizar el concepto de escala, la cual representa la relación entre la longitud en el plano y la longitud correspondiente en el terreno. Para expresar el valor de la escala de un plano o dibujo se puede hacer, en forma gráfica o por fracciones representativas. La escala puede ser de ampliación o de reducción. En topografía normalmente se utilizan escalas de reducción, debido a que las dimensiones medidas en los levantamientos son mucho mayores que el tamaño del papel donde se va a dibujar el objeto medido, pero tienen el inconveniente que no se pueden representar los detalles. En mediciones de objetos diminutos, si se emplean escala de ampliación o de aumento, son bien detallados pero no se pueden representar muchos objetos en el mismo plano. Las escalas grandes son utilizadas por arquitectos para representación de detalles como puertas, ventanas y detalles constructivos especiales.

OBJETIVO GENERAL:

Interpretar y utilizar correctamente los principios básicos del concepto de Escala en las representaciones Topográficas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Tener un concepto claro del significado de Escala Topográfica su uso y sus diferentes formas de presentación.

2. Adiestrarse en la resolución de diferentes problemas referentes a escalas.

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Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD II

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. ( 1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolè J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca).

5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 2. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

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Planimetría

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD II

ESCALAS La Topografía tiene por objetivo la representación de los accidentes del terreno sobre un plano, de acuerdo con una relación fija llamada escala. Existiendo para ello dos tipos o formas de hacerlo, así tenemos:

ESCALAS NUMÉRICAS Es la relación constante (ME) entre las distancias longitudinales medidas en los planos o mapas ( l ) con las reales del terreno ( L ). Se expresa como E = 1:ME en donde se ME conoce como Modulo Escalar.

E= l/L

;

E: 1:30.000

PLANO 1cm 1cm

TERRENO 30.000 cm 300 mts

La Escala o relación debe figurar en cada plano para evitar acotaciones innecesarias en los mismos y se eligen de acuerdo con:  La extensión del terreno a representar.  El grado de detalle que se deseé.  Atendiendo a los instructivos de Empresas o dependencias Oficiales.  Y en último caso, a gusto del topógrafo.  Así, para la localización y proyecto de carreteras se emplea la escala de 1:2000; para terrenos muy extensos 1:50000; para construcciones urbanas se emplean escalas de 1:50, 1:100; para detalles 1:20, 1:10.

Aunque la relación se expresa invariablemente en números, es conveniente incluir la escala gráfica, sobre todo, cuando los planos se reducen o amplían en forma fotostática, fotográficamente o por cualquier otro procedimiento.

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Planimetría

ESCALA GRÁFICA Es una línea recta construida sobre el borde de los planos subdividida en distancias, que corresponden a determinado número de unidades en el terreno.

Para efecto de construir una escala gráfica, empezaremos por escoger una longitud representativa (por ejemplo: 1cm, equivalen a 5 kilómetros). Ubicamos en el primer extremo de una recta indefinida la cifra 0, y a partir de éste punto, tomaremos la longitud de 1 cm. escribiendo enseguida la cifra 5; a continuación se vuelve a tomar la misma longitud, una, dos, tres veces, etc. y colocando en esas subdivisiones las cifras 10, 15, 20, etc. seguida la última de la letra Km. (representativa de kilómetros). También se tomará a partir del origen y en sentido contrario otra magnitud igual a las anteriores, que se subdividirá en 10 partes iguales este segmento se llama Apéndice o Talón de la Escala, se representa como en la forma que ilustra la figura..

Esc:

-5

0

5

1: 500.000

10

15

20

25 Km

La figura, es una escala gráfica, en donde 1 cms. (0,01 mts.), representan 5 Km.

La equivalencia de la escala gráfica a numérica es fácil hallarla. Así, en el ejemplo anterior tendremos que: Sí

1 cm.

Equivalen a

(5 km.) Es decir 5.000 mts. ;

En ambos lados se debe tener la misma unidad de medida es decir cms. Con cms. Así que si llevamos la expresión de la derecha a centímetros tenemos que: 5.000 mts  100 cms X = ----------------------------- = 500.000 cms. 1 mt Luego la escala numérica será E: 1:500.000

32


Planimetría

Es decir, 1 cms en el mapa equivale a 500.000 cms en el terreno, o sea 5 Km.

A continuación se dan algunas formas de indicar escalas gráficas: Esc: 1: 2.500

Esc: 1: 500 -5

0

5

10

15

20 mts

-25

0

50

100 mts.

Esc: 1: 25.000 0,5 0

0,5

1,0 Km

La temperatura y la humedad son relativamente factores que inciden para que el papel en que se confeccionan los planos se alargue ó encoja; de allí que las escalas numéricas estén sometidas a error, por lo que se aconseja indicar en los dibujos, tanto la escala gráfica como la numérica; así mismo como los mapas se reducen o amplían a diferentes tamaños, sólo queda efectiva la escala gráfica, sin olvidar que la escala numérica es la escala original a la cual se dibuja el plano.

La escala gráfica se sitúa en un lugar destacado del plano y generalmente se hace cerca del título, para que pueda verse con facilidad. Por otro lado su magnitud está en relación con el fin para el cual se ha de dibujar como también con la calidad y extensión de la zona mostrada.

Se debe procurar elegirla en tal forma que la determinación de detalles se haga con la precisión exigida.

CLASIFICACION DE LAS ESCALAS La Escala viene expresada por la relación 1: ME (por ejemplo: E = 1:500), es decir que en función de la variación del Módulo Escalar (ME) se presenta la clasificación de las escalas en: Grande, Mediana y pequeñas.

Dependiendo del grado de detalle que se requiere para la elaboración de los planos.

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Planimetría

Así, mientras menor es el ME mayor será el grado de detalle. Los intervalos de escala en el sistema métrico son los siguientes:

Escala Grande: Desde 1:1

hasta

1:1000

Escala mediana: Desde 1:1000

hasta

1:10000

Escala pequeña Desde 1:10000 en adelante Aclaremos términos tales como:

COPIA: Copiamos cuando representamos gráficamente un objeto del mismo tamaño que el original. Entonces se ha utilizado una escala uno a uno y escribimos 1: 1

AMPLIACIÓN: Cuando se representa gráficamente un objeto con un tamaño mayor que el original. Por ejemplo, si el objeto se representa por el doble del original hemos utilizado una escala 2: 1 (dos unidades de medidas de la representación equivalen a una unidad de medida de la original).

REDUCCIÓN: Cuando se representa gráficamente un objeto con un tamaño menor que el original 1: 2. Recordemos siempre que la primera unidad representa el dibujo y la segunda el objeto real.

Las escalas más utilizadas en dibujo técnico son: 1:500; 1:100; 1:75; 1:50; 1:25; 1:20. Todas estas escalas se pueden utilizar mediante un instrumento para dibujo llamado “ESCALIMETRO”; que es el instrumento más utilizado en la confección de planos por ser muy práctico ya que, contiene varias escalas dispuestas sobre sus tres caras y posee la ventaja de contener 6 escalas en el menor volumen posible.

CONVERSIONES DE ESCALA Si designamos por Vr (Valor real) las dimensiones de un objeto o pieza y por Vg (Valor gráfico) las dimensiones del objeto dibujado, la relación por cociente entre Vr y Vg nos da el valor de la escala E; es decir: 34


Planimetría

ME =

Vr

Vr = ME  Vg

Vg

Vg =

Vr ME

Cuando se utiliza la escala de reducción el Valor real Vr se representa siempre por la unidad (Vr =1), por ejemplo, si la escala E = 1:100 el 1 representa el Valor real y el 100 significa la centésima parte del valor que representa el valor gráfico.

PROBLEMAS RESUELTOS:

1.- Encontrar la escala utilizada para representar un cuadrado de 30 mts de lado mediante el dibujo de un cuadrado de 20 cm de lado: POR FÓRMULAS

POR REGLA DE TRES: 20 cm 30 mts  100 20 cm 3.000 cm.

Vr = 30 mts = 3.000 cm Vg = 20 cm ME =

Vr Vg

=

Dividimos a ambos lados entre 20

3.000 cm

= 150

20 cm

1 cm  150 cms Lo que indica que la Escala será: Esc: 1: 150

Por tanto la Esc: 1:150

2.- Encontrar la escala utilizada para representar una carretera de 3 Km mediante un segmento de 1,5 cm. Vr = 3 Km = 300.000 cm ME =

Vr Vg

=

300.000 cm 1,5 cm

=

; 200.000

Vg = 1,5 cm La escala utilizada = 1: 200.000

3.- Encontrar el Valor real de un rectángulo representado a escala de ampliación 1: 500 si su valor gráfico es de 3 cm2. Esc = 1: 500

;

Vg = 3

cm2

Papel 1 cm 1 cm 1 cm2 3 cm2

Terreno 500 cm 5 mts 25 m2 X X = 75 m2

35


PlanimetrĂ­a

4.- Se tiene una parcela cuyas dimensiones son 15 mts de frente por 20 mts de fondo. Si esa parcela la queremos dibujar sobre un plano a Escala 1: 250 cuĂĄles serĂĄn las medidas sobre el plano de dicha parcela. POR REGLA DE TRES: 1 cm ď‚Ž 1 cm ď‚Ž X cm ďƒ&#x; 1 cm ď‚Ž 1 cm ď‚Ž X cm ďƒ&#x;

POR FĂ“RMULAS

250 cm 2,5 mts 15 mts ďƒž X = 6 cm De ancho 250 cm 2,5 mts 20 mts ďƒž X = 8 cm De fondo

ME =

Vr

Vg =

Vg

Vr ME

Vr = 15 mts. = 1500 cms Vg = 1500/250 = 6 cm. Vg = 2000/250 = 8 cm

5.- El årea de una parcela es de 25.000 m2, lo único que se sabe es que el largo es igual a 2 veces el ancho, si queremos dibujar sobre un plano a Escala 1: 10.000 se pide 1.- Medidas de la parcela sobre el terreno. 2.- à rea de la parcela sobre el mapa. 3.- Medidas de la parcela sobre el plano. Datos: A = 25.000 m2 l =2a E = 1: 10.000 A=al

SoluciĂłn:

Implica que: A = 2  a2 √25.000 √đ??´ a= = 2 2

= 111,80 mts.

l = 2  a = 223,60 mts Sabemos que por formulas: AT = A p 

AT = Ă rea del terreno Ap = Ă rea sobre el Plano S2 = MĂłdulo Escalar al cuadrado

S2

AT 25.000 m2 Ap = ------- = --------------- ďƒž Ap = 2,5 m2 S2 (100) 2 ME =

Vr Vg

Vg =

Vr ME

DĂłnde:

la = 111,80  100/10.000 = 1,118 cm en plano lf = 223,60  100/10.000 = 2,236 cm en plano 36


Planimetría

6.- Tenemos un terreno que medido en un plano a Escala 1: 500 presentan las siguientes medidas: Ancho = 1,8 cm y por Fondo = 3,0 cm. Debemos dibujarlo en otro plano pero a escala 1:125 Para ello se tiene la siguiente fórmula: Dg = Distancia grande Sg = Módulo Escalar de la escala grande Dp = Distancia pequeña Sp = Módulo Escalar de la escala pequeña

Dg  Sg = Dp  Sp

Dg =

Dp  Sp

1,8  500

Sg

125

= 7,2 cm

;

Dg =

3,0  500 125

= 12,0 cm

7.- El frente de una casa mide 10 mts se representa en un plano con una longitud de 20 mm ¿cuál es la escala del plano? 1 cm.  10 mm X  20 mm

 X = 2 cms.  ME =

Vr Vg

=

Vr = 10 mts. ; Vg = 2 cm. 10100 2

= 500

 E = 1: 500

8.- Cuantas unidades en el terreno representan 8 unidades medidas sobre un plano hecho a escala E = 1: 370

ME =

Vr

Vg

Vr = 370  8 = 2.960 Unidades

9.- En el campo Topográfico ó en el terreno, una línea tiene un Valor Verdadero de 29,70 mts. Se quiere dibujar esa línea en Escala 1: 700 ¿Qué longitud debo determinar para dibujar la línea correspondiente?

Vg =

Vr ME

=

2970 700

= 4,24 cms. ó también.

1 cms  700 cms  7,00 mts X cms.  29,70 mts

 X = 4,24 cms.

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Planimetría

10.- en un plano hecho a Escala 1: 750, se midió una superficie de (4 cms)(2 cms.) ¿Calcular la superficie en el terreno? Área sobre el plano AP = 4  2 = 8 cms2  A rea en el terreno AT = AP  S2 AT = 8 (750)2 = 4.500.000 cm2 Sabemos que 1 cm2  0,0001 mts2  450 mts2 También: 1 cm

 750 cms  7,5 mts., si elevamos a ambos lados al cuadrado

1 cms2  56,25 mts2 8 cms2  x mts2

x = 450 mts2

será entonces

11.- Una parcela tiene 50.000 mts2 , queremos dibujarla en un plano a escala 1: 2000 ; lo único que se conoce es el ancho de la parcela que es 6 veces el largo. Se pregunta:    

Área de la parcela en el plano Medidas de la parcela en el terreno (ancho y largo) Medidas de la parcela en el plano (ancho y largo) A escala 1: 3.750, cuáles serán en el plano las medidas de la parcela. (Ancho y largo)

1 cm  20 mts 1 cms2  400 mts2 X cms2  50.000 mts2

 X = 125 cms2

(Área de la parcela en el plano)

Sabemos que: AT = AP  S2 ; por tanto AP = AT/S2 = 50.000 / (20) 2 = 125 cm2 A = Largo  Ancho  50.000 = 6 a2 1 cms X1 cms X2 cms

 20 mts  91,29 mts  547,72 mts

 a = 91,29 mts y b = 547,71 mts

X1 = 4,56 cms X2 = 27,39 cms

==  A = 4,5627,39 = 124,90

Para pasarla a una nueva escala tenemos que: Dg Sg = Dp Sp  Dp = ( 91,29  50.000) / 3.750 = 1.217,20 mts. Dp = (547,71  50.000) / 3.750 = 7.302,80 mts. (En Terreno) Dp = ( 4,56  50.000) / 3.750 Dp = (27,39  50.000) / 3.750

= 60,80 mts. = 365,20 mts. (En el Plano)

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Planimetría

12.- En un determinado trabajo de topografía se escogió como área mínima de trabajo 0,75 cm2. El área de mínima en el terreno es de 15.000 mts 2 ¿Cuál es la escala del mapa? S2 = AT / AP = 15.000 ⁄0,75

 S = 20.000

 Esc. 1: 20.000

13.- Construir un eclímetro a Escala 1: 175; si se dispone únicamente de una regla graduada en cms. Determinar además en que posición se debe colocar una distancia de 10 mts. Sobre la regla. Tenemos que: 1 cms  1,75 mts

10 0

3,5

7

10,5

12 mts

Los 10 mts se deben colar a los 10 ⁄1,75 = 5,71 cms.

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Planimetría

AUTOEVALUACION Nº 2

Responder y resolver las situaciones planteadas a continuación:

1) Cuales son los diferentes tipos de Escalas.

2) Definición de escala grafica

3) Que Escala Grafica Utilizaría para dibujar un Levantamiento topográfico en donde, las medidas hechas fueron largo 42 mts. Ancho 9 mts. Si cuento con un Papel de 60 cms por 20 cms.

4) Definición de Escala Numérica.

5) Dibujar la Escala grafica que sea equivalente a la Escala Numérica Indicada. Esc: 1: 2500 6) Encontrar el Valor real de un trapecio representado a escala ampliación 1: 25 si su valor grafico es de 8,0 cms2

7) Un terreno tiene 2,5 Has. Queremos dibujarlo en un plano a Escala 1: 2000. Lo único que conocemos es el largo del terreno que es 3 veces el ancho. Se pide: a. Área del terreno en el plano b. Medidas del terreno en el Campo

8) Nos encontramos que en un Plano hecho a Escala 1: 8000 las dimensiones de un Triangulo tienen por base 15 cms. y por altura 7 cms. Queremos saber cuál es el área verdadera y además queremos pasar este dibujo a Escala 1: 500 cuales serán las dimensiones a ser llevadas al nuevo plano.

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Planimetría

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACION Nº 2 1) Cuales son los diferentes tipos de Escalas - Las numéricas y las Graficas

2) Definición de escala grafica Es una línea recta construida sobre el borde de los planos subdividida en distancias, que corresponden a determinado número de unidades en el terreno

3) Que Escala Grafica Utilizaría para dibujar un Levantamiento topográfico en donde, las medidas hechas fueron largo 42 mts. y Ancho 9 mts. Si cuento con un Papel de 60 cms por 20 cms.

ME =

Vr

ME =

Vg

4200

= 70 a tomar  Esc: 1: 70

60

Esc. 1: 70 0

0,7

2,1 mts

1,4

4) Definición de Escala Numérica. Es la relación constante entre las distancias medidas en los Planos con las reales del en el terreno. 5) Dibujar la Escala grafica que sea equivalente a la Escala Numérica Indicada. Esc: 1: 2.500

Esc. 1: 2.500 -25

0

25

50

75

100 mts

6) Encontrar el Valor real de un trapecio representado a escala ampliación 1: 25 si su valor grafico es de 8,0 cms2 Si la Esc. 1: 25 nos indica que: 1 cm : 0,25 mt 1 cm2 : 0,0625 mt2 8,0 cm2  Vr.

Implica que: Vr = 8,0 cm2  0,0625 mt2 = 0,500 mt2

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PlanimetrĂ­a

7) Un terreno tiene 2,5 Has. Queremos dibujarlo en un plano a Escala 1: 2000. Lo Ăşnico que conocemos es el largo del terreno que es 3 veces el ancho. Se pide: 1. Ă rea del terreno en el plano 2. Medidas del terreno en el campo Primero recordar que 1 Has (HectĂĄreas) es equivalente a 10.000 Mts2

SoluciĂłn:

A=al

Implica que: A = 3a2 ďƒ¨ a =

√đ??´ √25.000 = 3 3 a = 91,28 mts l = 273,86 mts

Sabemos que por formulas: AT = AP 

AT = Ă rea del terreno AP = Ă rea sobre el plano S2 = MĂłdulo Escalar al cuadrado

S2

AT 25.000 m2 AP = ------- = ----------------- ďƒž AP = 62,50 m2 S2 (20) 2

8) Nos encontramos que en un Plano hecho a Escala 1: 8000 las dimensiones de un Triangulo tienen por base 15 cms. y por altura 7 cms. Queremos saber cuĂĄl es el ĂĄrea verdadera y ademĂĄs queremos pasar este dibujo a Escala 1: 500 cuales serĂĄn las nuevas dimensiones a ser llevadas al nuevo plano.

A=

(157) 2

= 52,5 cm2

ME1 D1= ME2 D2 ME1 = 8000 ; ME2 = 500

Esc. 1: 8000 1 cm : 80 mt 1 cm2 : 6400 mt2 52,5 cm2 ďƒž 336.000 mt2

D1’ = 15 (800015) D1’ = = 240 cm 500 D2’ = D2’ =

7 (80007) 500

= 112 cm

42


Planimetría

UNIDAD III TRIGONOMETRIA

La Trigonometría, es una parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos, cuyo conocimiento es fundamental para el dominio de la técnica o disciplina topográfica, por dicho motivo preparamos esta unidad para que sirva de repaso para estudiantes de la asignatura de topografía. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. OBJETIVO GENERAL: Comprender y aplicar las propiedades referidas a los argumentos trigonométricos, así como los teoremas fundamentales básicos de la trigonometría en la solución de problemas en representaciones Topográficas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Manejar con soltura las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno y tangente), representarlas y conocer su naturaleza periódica. 2. Relacionar todas las funciones trigonométricas conceptual y operativamente. 3. Conoce la aplicación de la Trigonometría a situaciones reales (cuestiones topográficas y cuestiones físicas).

43


Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD III

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. ( 1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolé J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca). 5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 3.

8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

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PlanimetrĂ­a

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD III TRIGONOMETRĂ?A: La TrigonometrĂ­a, hace posible el cĂĄlculo de las relaciones que existen entre las longitudes de los lados de un triĂĄngulo y las magnitudes de sus ĂĄngulos. Es un eslabĂłn entre la mediciĂłn de una lĂ­nea recta y una mediciĂłn angular; tiene muchos usos y es esencial en cĂĄlculos de topografĂ­a.

ANGULO: El concepto trigonomĂŠtrico de ĂĄngulo es fundamental en el estudio de la trigonometrĂ­a, Un ĂĄngulo trigonomĂŠtrico ( ď Ą ) es la figura que se forma cuando una lĂ­nea o raya gira de alguna posiciĂłn inicial OA a una posiciĂłn final OB. B Lado Final Altura

ď Ą O

6

A Lado Inicial

Base

Ă REA DE TRIANGULOS

8

đ??›ď‚ˇđ??Ą

A=

A=

đ?&#x;?

68 2

= 24 m2

Cuando lo que conocemos son sus lados: a, b y c. ď ˘ b

c ď Ą

ď ¤

A = √đ??Źď‚ˇ(đ??Ź – đ??š )(đ??Ź – đ??›)(đ??Ź – đ??œ)

;

s=

(đ??š + đ??› + đ??œ) đ?&#x;?

ď —

a EN GENERAL: SerĂĄ el promedio de dos lados adyacentes multiplicado por el Seno del ĂĄngulo que los une. đ??šď‚ˇđ??œ đ??šď‚ˇđ??› đ??›ď‚ˇđ??œ A=  Sen ď ¤ A=  Sen ď Ą A=  Sen ď ˘ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? Ă ngulos interiores de un triĂĄngulo:

ď Ą + ď ˘ + ď ¤ = 180ď‚° ďƒ¨ ď ¤ = 180Âş - ď Ą - ď ˘

Ă ngulos exteriores de un triĂĄngulo: ď — = 180Âş - ď ¤

ďƒ¨ ď — = 180Âş - (180Âş - ď Ą - ď ˘) ď —= ď Ą + ď ˘

45


PlanimetrĂ­a

RESOLUCIĂ“N DE TRIĂ NGULOS

RECTĂ NGULOS: Uno de sus ĂĄngulos es de 90Âş Sen ď Ą = a / c Cos ď Ą = b / c Tg ď Ą = a / b

ď Ą c

PitĂĄgoras c2 = a2 + b2

b ď ˘

PerĂ­metro = a + b + c

90Âş

a A= Recordar que:

1 Csc ď Ą = --------Sen ď Ą

đ??›ď‚ˇđ??Ą đ?&#x;?

1 Sec ď Ą = --------Cos ď Ą

1 Ctg ď Ą = --------Tg ď Ą

OBLICUANGULOS: Los polĂ­gonos que no poseen ningĂşn ĂĄngulo recto Ăł del poliedro en el que ninguno de los ĂĄngulos de sus caras es recto.

ď ˘

c ď Ąď€

Ley de los senos a b c -------- = -------- = -------Sen ď Ą Sen ď ˘ Sen ď ¤

a ď ¤

Ley de los cosenos = b2 + c2 – 2bc  Cos ď Ąď€ b2 = a2 + c2 – 2ac  Cos ď ˘ c2 = a2 + b2 – 2ab  Cos ď ¤

a2

Para calcular los ĂĄngulos del Triangulo

b

Sen ď Ąď€Żď€˛ď€ ď€˝ď€ âˆš

(S−b)(S−c)

S(S−a)

bc

bc

ď€ ď€ ď€ ď€ ď€ ď€ťď€ ď€ ď€ Cos ď Ąď€Żď€˛ď€ ď€˝ď€ ď€ âˆš

ď€ ď€  S=

(a + b +c) 2

a ď Ą a

b

ď€ ď Ąď€ ď€˝ď€ ď€ ď€˛ď‚ˇArcsen(

đ?’ƒ đ?&#x;?đ??š

)

46

ď€ ď€ ď€ ď€ 


Planimetría

PROBLEMAS RESUELTOS PARTE A: Calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras:

B 10 mt 30º10´

30º30´

A D

tg 30º10´ = 10 / AD  AD = 10 / 0,58 = 17,20 tg 30º30´= 10/ DC  DC = 10 / 0,59 = 16,98  AC = 34,18 Sen 30º10´= 10 / AB  AB = 10/ 0,503 = 19,90 Sen 30º30´= 10/ BC  BC = 10/ 0,508 = 19,70 C ABC = 39,60 AREA = (34,18  10)/2 = 170,90 mts2 PERIMETRO ( 39,60 + 34,18) = 73,78 mts.

tg 40º20´= 100/AD  AD = 100 / 0,85 = 117,78 Sen40º20´= 100/BD  BD = 100 / 0,65 = 154,50

B

= 180º - 40º20´ = 139º40’  = 180º - 139º40º - 16º40´ = 23º40´

100 mts

154,50 Sen 16º40´

16º40`

40º20`

A

D

C

=

DC Sen 23º40`

=

BC Sen 139º40´

DC = 154,500,40 / 0,29 = 213,10 BC = 154,500,65 / 0,29 = 122,15

AREA = ( 117,78 + 213,10 )100/2 = 16.544 mts2 PERI. = 117,78 + 213,10 + 122,15 + 100 = 553,03 mts.

B A resolver: 55º10’

200 mts

42º30’

A

C D

47


PlanimetrĂ­a

PARTE B: Para TriĂĄngulos RectĂĄngulos, es decir un ĂĄngulo interno es de 90Âş 1.- Determinar el Valor de los ĂĄngulos internos, el PerĂ­metro y el ĂĄrea de las siguientes figuras. A.) Cos ď Ą = 2

ď ˘

√12 ď Ą 3

B.)

3

= 0,87 ďƒ¨ ď Ą = Arcos 0,87 = 30Âş

√12

ď ˘ = 180 – (30Âş + 90Âş) = 60Âş PerĂ­metro = 3 + 2 + ďƒ–12 = 8,46 mts. Ă rea

(32)

=

2

= 3 mts2

2 ď ˘

Sen ď Ą =

2 √10

= 0,63 ďƒ¨ ď Ą = Arcos 0,63 = 39Âş,2

ď ˘ = 180 – (39Âş,2 + 90Âş) = 50Âş,77 √10

4 ď Ą

PerĂ­metro = 4 + 2 + √10 = 9,16 mts. Ă rea

(42)

=

2

= 4 mts2

2.- Calcular X en la Figura A.)

2

Cos 30Âş =

đ?‘‹ 20

; X = 20  Cos 30º = 17,32

X 20 30Âş

B.)

X

42

Sen 60Âş =

đ?‘‹ 42

; X = 42  Sen 60º =36,37

60Âş

48


Planimetrรญa

3.- Calcular el Perรญmetro y el รrea de las siguientes figuras. A.) 28 Sen 30ยบ = ๏ƒจ X = 28 / Sen 30ยบ = 56 ๐‘‹ 28

Y

๏ƒจ Y = X๏‚ทCos 30ยบ = 48,50 ๐‘‹ Perรญmetro = 28 + 56 + 48,50 = 132,50 mts. (48,50๏‚ท28) รrea = = 679 mts2 2

X

Cos 30ยบ

30ยบ Y

=

B.) 5โˆš2

X

45ยบ

30ยบ Sen 45ยบ = h / 5โˆš2 ๏ƒจ h = 5โˆš2 ๏‚ท Sen 45ยบ = 5,00

5โˆš2 45ยบ 60ยบ

X Cos 45ยบ = a / 5โˆš2 ๏ƒจ a = 5โˆš2 ๏‚ท Cos 45ยบ = 5,00

45ยบ

h

a

30ยบ

Sen 30ยบ = h / X

๏ƒจ X = 5 / Sen 30ยบ

= 10,00

Cos 30ยบ = b / X

๏ƒจ b = 10๏‚ทCos 30ยบ

= 8,66

b

Perรญmetro = 5โˆš2 + 10,00 + 8,66 + 5,00 = ( 5,00 + 8,66 ) ๏‚ท5 / 2

รrea

= 30,73 = 34,15

C.)

100

100 X

30ยบ

X

45ยบ

30ยบ

b

45ยบ

a Cos 30ยบ = a / 100 ๏ƒจ a = 100๏‚ทCos 30ยบ = Sen 30ยบ = b / 100 ๏ƒจ b = 100๏‚ทSen 30ยบ = Perรญmetro = 50,00 + 86,60 + 100 รrea

= (86,60๏‚ท50,00) / 2

86,60 mts 50,00 mts

= 242,60 mts. = 2.165,00 mts2

49


Planimetría

D.) 6√2

12

45º

30º

Cos 45º = a / 6√2 a = 6√2Cos 45º = 6,00 62

12 a

45º

Cos 30º = b / 12

b = 12Cos 30º

= 10,39

30º Perímetro = (6,00 + 10,39 + 12,00 + 6√2) = 36,88

a

b Área = ( 6,00 + 10,39 ) 6,00 / 2 = 49,17 mts2

PARTE C: Para Triángulos Oblicuángulos 1.- Calcular el Perímetro de las siguientes figuras A.)  = 180º - (37º + 67º) = 76º a  b Por Teorema de los Senos 37º 67º a 53 Sen 67º 53 --------- = ----------  a = 53  --------- = 50,28 Sen 67º Sen 76º Sen 76º b 53 Sen 37º --------- = ----------  a = 53 ---------- = 32,87 Sen 37º Sen 76º Sen 76º Perímetro = ( 53 + 50,28 + 32,87 ) = 136,15 mts B.) Por Teorema de los Cósenos 10 X2 = ( 10)2 + ( 12 )2 – 21012 Cos 30º X 30º 12

X = √( 10)2 + ( 12 )2 – 21012Cos 30º X = 6,01 Perímetro = 12,00 + 10,00 + 6,01 = 28,00 mts. 50


Planimetría

C.)

 = 180º - (65º + 32º) = 83º 110 65º 

Por Teorema de los Senos X

X 112 Sen 83º --------- = ----------  X = 112  --------- = 122,66 Sen 83º Sen 65º Sen 65º

32º 112

Perímetro = (112 + 110 + 122,66 )

= 344,66 mts

D.) 100

30º

100

75º

45º

30º 105º

45º

60º

75º

X

45º

Y X 100 Sen30º --------- = ----------  X = 100  ---------- = Sen 30º Sen 45º Sen 45º

70,71 mts

Y 100 Sen105º ---------- = ----------  X = 100  ---------- = 136,60 mts Sen 105º Sen 45º Sen 45º Perímetro = (100,00 + 70,71 + 136,60) = 307,31 mts.

E.)

Por Teorema de los Cósenos X2 =

60º 100

150

X =  ( 100)2 + (50 )2 – 210050 Cos 30º

X

X = 61,97 mts

30º

50

(100)2 + ( 50 )2 – 210050Cos 30º

Y

Y2 = (150)2 + (61,97)2 – 215061,97 Cos 30º Y =  (150)2 + (61,97 )2 – 215061,97 Cos 30º Y = 101,19 mts. Perímetro = 101,19 + 50,00 + 100,00 + 150,00 = 401,19 mts

51


PlanimetrĂ­a

F.) En el TriĂĄngulo, el lado Y = 2X, calcular el PerĂ­metro y el Ă rea Sen ď Ą = X

đ?‘‹ đ?‘Œ

; Sen ď Ą =

đ?‘‹ 2đ?‘‹

=

1 2

ďƒ¨ ď Ą = Arcsen 0,5 = 30Âş

Y ď Ą

Cos 30Âş =

100

ďƒ¨ Y=

đ?‘Œ

100 Cos 30Âş

= 115,47

100 đ?‘‹

ďƒ¨ X = 115,47Sen 30Âş = 57,74 115,47 PerĂ­metro = 57,74 + 115,47 + 100,00 = 273,21 mts. Ă rea = (100,00  57,74 ) / 2 = 2.887,00 mts2 Sen 30Âş =

PARTE D: Problemas propuestos a resolver. A.) Hallar el ĂĄrea del triĂĄngulo ABD D C 90Âş

90Âş

BC = √2 30Âş

Resp. - Area = 2 mts2

45Âş

A

B

B.) Hallar DE sabiendo que AD = BE y que BC = 4mts A

B

Resp.- 2,93 mts 60

30

C

E D C.) En el triĂĄngulo rectĂĄngulo de la figura, BD es bisectriz del triĂĄngulo CBA. Sabemos que BD = AD = 10 mts. Hallar AB B B ď Ą

ď Ą

ď Ą

A D C A D C Por ser BD bisectriz los dos triĂĄngulos serĂĄn iguales. Y como AD = BD el TriĂĄngulo ABD es IsĂłsceles. Por lo tanto los ĂĄngulos opuestos a los lados iguales son iguales, es decir: ď Ą + 2ď Ą = 90Âş ďƒ¨ 3ď Ą = 90Âş ďƒ¨ ď Ą = 30Âş Cos ď Ą = BC / BD ďƒ¨ Cos 30Âş = BC / 10 ďƒ¨ BC = 10Cos 30Âş = 8,66 Sen ď Ą = BC / AB ďƒ¨ Sen 30Âş = 8,66 / AB ďƒ¨ AB = 8,66 / Sen 30Âş = 17,32

52


Planimetría

AUTOEVALUACION Nº 3 1) Encontrar el Área de la siguiente figura B

10 mts 42º30´

A

C

2) Encontrar el Área de la siguiente figura que está en Escala 1:75 AB = 2 AC BC = 10 mts. B

 A

C

3) Encontrar el área y el perímetro de la siguiente figura.

A

CB = 40 mts.

45º C

30º B

53


Planimetría

4) Encontrar el área de siguiente figura.

40 mts A

B

C

45º

15º

D

5) Encontrar el área y el perímetro de la siguiente figura. A

AC = 600 mts

45º D

30º C

B

54


Planimetría

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACION Nº 3 1) Encontrar el Área de la siguiente figura B

 AB = 10/Sen 42º30´

Sen 42º30´ = 10 / AB 10 mts 42º30´

Cos 42º30´ = AC / 14,80  AC = 14,80Cos 42º30´ = 10,91 = (10,91  14,80) / 2 = 80,73 mts2

Área

A

= 14,80

C

2) Encontrar el Área de la siguiente figura que está en Escala 1:75 AB = 2 AC Cos  = AC/AB = AC / 2AC = ½

BC = 10 mts. B

  = Arcos (1/2)   = 60°  tg 60° = 10/AC ;  AC = 5,77  Area = (5,7710)/2 = 28,85 mts2

 A

C

3) Encontrar el área y el perímetro de la siguiente figura.

A

CB = 40 mts.

 =180° - 45° - 30° = 105° 40

Sen 105°

AC =

45º C

=

30º B

A=

0,50 0,97

AC Sen 30°

 40 = 20,62

(4020,62) 2

= 412,37 mts2

55


PlanimetrĂ­a

4) Encontrar el ĂĄrea de siguiente figura. ď ˘1 =180° - 45° = 135° ď ˘2 =180° - 135° - 15° = 30°

40 mts A

B

C DC =

45Âş

ď ˘1

ď ˘2 AD =

ď ˘3

(Sen 135°  40)

= 109,28

Sen 15° (Sen 30°  109,28) Sen 90°

= 54,64

ď ˘3 =180° - 45°- 90° = 45°

15Âş

A=

D A=

đ??šď‚ˇđ??› đ?&#x;?

 Sen ď Ą

109,28  54,64  Sen 45° 2

= 2.111,09 mt2

5) Encontrar el ĂĄrea y el perĂ­metro de la siguiente figura.

A

ď ˘1 =180° - 45° = 135°

AC = 600 mts

ď ˘2 =180° - 135° - 30° = 15° ď ˘3 ď ˘2

ď ˘3 =180° - 45°- 90 = 45° DA =

45Âş D

DB =

ď ˘1 30Âş

C

B AB =

(Sen 45°  600) Sen 90° (Sen 60°  426,26 Sen 30° (Sen 90°  426,26 Sen 30°

= 424,26

= 738,31

= 848,52

PerĂ­metro = 2.011,09 mts A=

(424,26  738,31) 2

= 156.617,70 mts2

56


Planimetría

UNIDAD IV TEORÍA DE ERRORES Todas las operaciones en topografía están sujetas a las imperfecciones propias de los aparatos, dispositivos o elementos, a la capacidad propia de los operadores de los mismos y a las condiciones atmosféricas; por lo tanto ninguna medida en topografía es exacta en el sentido de la palabra. No hay que confundir los errores con las equivocaciones. Mientras que los errores siempre están presentes en toda medición debido a las limitaciones aludidas, las equivocaciones son faltas graves ocasionadas por descuido, distracción, cansancio o falta de conocimientos. El equivocarse es de humanos, pero en topografía se debe minimizar o eliminar, ya que esto implica la repetición de los trabajos de campo, lo cual incrementa el tiempo y los costos, afectando la eficiencia y la economía.

OBJETIVO GENERAL:

Conocer adecuadamente el procedimiento para reducir los Errores en las mediciones Topográficas de distancia y ángulos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Definir correctamente el concepto de Error y su aplicación en la Topografía. 2. Definir los conceptos de Tolerancia, Precisión, exactitud y Discrepancia. 3. Explicar en forma clara y sencilla los diferentes tipos de errores que se cometen al realizar mediciones de ángulos y distancias. 4. Analizar estadísticamente los errores cometidos en las mediciones.

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Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD IV

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. ( 1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolé J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca).

5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 4. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

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Planimetría

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD IV

ERRORES Es necesario conocer los tipos y la magnitud de los errores posibles y la manera como se propagan para buscar reducirlos a un nivel razonable que no tenga incidencias nefastas desde el punto de vista práctico. Los errores deben quedar por debajo de los errores permisibles, aceptables o tolerables para poder garantizar los resultados los cuales deben cumplir un cierto grado de precisión especificado. El error es la discrepancia entre la medición obtenida en campo y el valor real de la magnitud. En todas las medidas que se hagan siempre se cometerán errores que no son posibles eliminar por mucho cuidado y destreza que tengan los encargados de ejecutarlas, estos obedecen a tres causas principales:

1. Errores Instrumentales: Debido a las imperfecciones de los instrumentos. 2. Errores Personales: Por las limitaciones de los sentidos como la vista y el tacto. 3. Errores Naturales: Debidos a las variaciones del clima (lluvia, diferencia de temperatura, viento, etc.).

TIPÓS DE ERRORES

A) ERRORES GROSEROS Son errores cometidos por distracción del operador como golpes al instrumento, anotaciones mal hechas en la libreta. Son fáciles de detectar y se corrigen simplemente repitiendo la medición.

B) ERRORES SISTEMÁTICOS Estos errores son los que, en igualdad de condiciones, se repiten siempre con el mismo signo (positivo o negativo) determinados por una causa fija. La magnitud de estos errores es constante, como cuando se hacen medidas con una cinta que tenga una longitud mayor o menor que su valor nominal. Los errores sistemáticos más comunes son los siguientes: 59


Planimetría

1. Por no tener la cinta la longitud exacta; éste error es negativo cuando es más corta y positivo cuando es más grande. 2. El error por catenaria es siempre positivo y consiste en el alargamiento que sufre el longímetro (cinta métrica) por la curva vertical debida a su propio peso. 3. Falta de horizontalidad del longímetro; éste error es negativo y se elimina si se tiene cuidado de ponerlo horizontal, lo que se consigue con la práctica. 4. La falta de alineación es siempre negativa y, para eliminarlo, hay que cuidar la alineación del ayudante de adelante. 5. En terrenos cubiertos de maleza, el longímetro presenta sinuosidades que dan lugar a un error negativo y que se elimina limpiando bien el terreno tensando el longímetro y no midiendo en contacto directo con el terreno. 6. Una temperatura alta produce un error positivo y, en cambio, una temperatura baja produce un error negativo. Los errores por temperatura se tienen en cuenta solamente en medidas muy precisas.

C) ERRORES ACCIDENTALES Estos siempre están presentes en cualquier medición y tienen como fuente causas múltiples, no actúan en un solo sentido, las mediciones de una misma magnitud oscilan en un intervalo. Para su corrección se realizan cálculos estadísticos.

Éstos errores, también denominados fortuitos, se deben a una combinación de causas que el observador ó los encargados de ejecutar las medidas, no pueden eliminar por más cuidado y pericia que se tenga. Los errores accidentales de la misma naturaleza pueden tener signo positivo ó negativo y, en una serie de medidas tienden a compensarse. Los errores accidentales más comunes son los siguientes:

60


Planimetría

1. Al presionar para clavar los jalones en el suelo, pueden desalojarse en un sentido u otro y, el error puede ser positivo o negativo. 2. Las variaciones de tensión dan origen a errores de signo positivo o negativo. 3. Falta de apreciación de las fracciones del longímetro.

AHORA: Como los dos errores primeros son fáciles de eliminar con un simple cuidado en el trabajo tanto en el campo como en la oficina, y teniendo el equipo completamente calibrado. Nos ocuparemos de estudiar sólo los errores accidentales, conocido simplemente como ERRORES.

Pero antes conviene definir los siguientes términos:  PRECISION: Es el grado de perfección o afinación de los instrumentos empleados y los procedimientos aplicados.  EXACTITUD: Es la aproximación a la verdad o grado de perfección a la que hay que procurar llegar en toda medida.  DISCREPANCIA: Es la diferencia entre las mediciones de una misma cantidad.  EQUIVOCACIONES: Son las falsas determinaciones de los valores y no deben confundirse con los errores. Son frecuentes cuando no se tiene el cuidado de comprobar las observaciones ó se procede con negligencia y así, anotar una cantidad por otra como escribir 96% en lugar de 69%, cuando sin cerciorarse del sentido de las escalas se lee 500 en lugar de 5000, etc,.

CALCULO ESTADÍSTICO DE LOS ERRORES EN LA MEDICION Cuando conocemos el Valor Verdadero ( VV ) de una medición sea ángulo ó distancia y se han realizado varias mediciones de un mismo tramo o de un ángulo, tenemos que:

61


PlanimetrĂ­a

PARA CADA MEDICION El ERROR REAL ES: Ei = Mi – VV Y la media de estos errores se conoce como: i=n

ďƒĽ ď‚˝ Ei ď‚˝ i=1

ERROR ARITMÉTICO: M’ = --------------N Se prefiere la fórmula propuesta por Gauss: Ya que se elimina el problema de los signos, y los errores mayores inciden con mayor peso. i=n

ďƒĽ (Ei)2 i=1

ERROR MEDIO CUADRĂ TICO: M = ď‚ą

------------N

M ERROR MEDIO DE LA MEDIA: MM = ď‚ą ------√đ?‘ Pero recordemos que el Valor Verdadero ( VV ) generalmente es incĂłgnito, por tanto debemos operar con el Valor Probable ( VP ). i=n

ďƒĽ Xi x1 + x2 + ‌xn i=1 ERROR PROBABLE: VP = ------------------ = ----------N N Por no conocer el VV tendremos que operar con los errores aparentes. EA1 = VP – X1 EA2 = VP – X2 . . . . EAN = VP – XN ----------- -------------------i=n

ď‚ą ďƒĽ EA =

i=n

N  VP - ďƒĽ Xi

i=1

i=1

En funciĂłn de los errores aparentes ( EA ) asumiremos las siguientes expresiones: i=n

i=n

ďƒĽ ď‚˝Eiď‚˝ i=1

M’ = --------------N

i=n

ďƒĽ ( EA )2

ďƒĽ ( EA )2

i=1

;

M=ď‚ą

--------------N–1

;

M MM = ď‚ą -------- = ď‚ą √đ?‘

i=1

--------------(N – 1)  N

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Planimetría

PROBLEMAS RESUELTOS: 1.- Se midió un ángulo 5 veces con los siguientes resultados: Vi EA = VP – Vi -18´´ 12040´20´´ +12´´ 12039´50´´ -08´´ 12040´10´´ +02´´ 12040´00´´ +12´´ 12039´50´´  = 60320´10´´  = 0,0  EA = 52

ERROR ARITMÉTICO

( EA )2 324 144 64 4 144  = 680

60320´10´´ VP = -----------------5 VP = 12040´02´´

M=

ERROR MEDIO CUAD.

680 √5−1

=  13´´,04

ERROR MED. DE LA MEDIA 13´´,04

EA =

52 5

= 10´´,4

;

EC = 13´´,04

;

EM = ----------- = 5´´,83 √5

2.- Se conoce exactamente la longitud de una alineación igual a V V =200,00 cm, dos operadores hicieron medidas de ella con los siguientes resultados. ¿Determinar cuál de los dos operadores trabajó con mayor precisión? Vi 200,06 199,00 199,60 200,04

EC1 = √

EA = VV -VI -0,06 -1,00 +0,40 -0,04

1,1652 4

= 0,54

EA2 0,0036 1,0000 0,1600 0,0016  =1,1652

VI 200,00 199,80 200,00 201,40

EC2 =

EA 0,00 -0,20 0,00 -1,40

2 4

EA2 0,00 0,04 0,00 1,96  = 2,00

= 0,707

Conclusión: Se podría decir que el Primero trabajó con mayor exactitud porque el Error Cuadrático es menor. 63


Planimetría

AUTOEVALUACION Nº 4

1) Como se corrigen los errores accidentales. 2) Causas que producen los diferentes tipos de errores. 3) A que se denomina precisión. 4) A que se denomina Discrepancia. 5) Definición de errores accidentales. 6) Nombrar los diferentes tipos de errores. 7) Explicar el Error que se comete por falta de horizontalidad de la cinta métrica. 8) Como se corrigen los errores groseros. 9) Como se corrigen los errores sistemáticos 10) A que se denomina Exactitud. 11) Supongamos que se hicieron las siguientes mediciones de cierta distancia para lo que se permite una Tolerancia Lineal de 0,07 determinar el grado de discrepancia en la misma: M1 =200,01 ;

M2 =200,05 ;

M3 =199,95 ;

M4 =199,98 ;

M5 = 200,00

12) Se está comprobando el grado de exactitud en la medición del ángulo entre dos alineaciones para la que se permite una Tolerancia Angular de 40” obteniéndose las siguientes lecturas en el Goniómetro. Encontrar el Error Medio de la Media A1 = 77º23´30”;

A2 = 77º23´23”;

A3 = 77º22´47”;

A4 = 77º24´02”

13) Se midió un ángulo tres veces arrojando los siguientes resultados L1 = 107º14´13”;

L2 = 107º14´56”;

L3 = 107º12´01”

Encontrar El error medio de la media. 64


Planimetría

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACION Nº 4 1) Como se corrigen los errores accidentales. Por tener como fuente causas múltiples se corrigen haciendo cálculos estadísticos. 2) Causas que producen los diferentes tipos de errores. -

Imperfecciones de los instrumentos

-

Errores personales

-

Errores naturales: variaciones del clima

3) A que se denomina precisión. Es el grado de perfección o afinación de los instrumentos y los procedimientos aplicados. 4) A que se denomina Discrepancia. Es la diferencia entre las mediciones de una misma cantidad 5) Definición de errores accidentales. Estos errores están presentes en cualquier medición y tienen como fuente causas múltiples no se pueden eliminar por más cuidado que se tenga. 6) Nombrar los diferentes tipos de errores. Errores Groseros, Errores Sistemáticos y Errores Accidentales 7) Explicar el Error que se comete por falta de horizontalidad de la cinta métrica. Es el conocido como el error por catenaria debido al propio peso de la cinta.

8) Como se corrigen los errores groseros. Repitiendo la medición 9) Como se corrigen los errores sistemáticos Calibrando los equipos

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Planimetría

10) A que se denomina Exactitud. Es la aproximación a la verdad 11) Supongamos que se hicieron las siguientes mediciones de cierta distancia para lo que se permite una Tolerancia Lineal de 0,07 determinar el grado de discrepancia en la misma: M1 = 200,01; M2 = 200,05; M3 = 199,95; M4 = 199,98; M5 = 200,00 Pto 1 2 3 4 5  Vp

Mi Er = Vp - Mi 200,01 - 0,012 200,05 - 0,052 199,95 + 0,048 199,98 + 0,018 200,00 - 0,002 999,99 0,000 999,99/5 = 199,998

(Er)2 0,000144 0,002704 0,002304 0,000324 0,000004 0,005476

EM =  √

0,005476 (5−1)

= 0,037

VP = 199,998  0,037

12) Se está comprobando el grado de exactitud en la medición del ángulo entre dos alineaciones para la que se permite una Tolerancia Angular de 40” Obteniéndose las siguientes lecturas en el Goniómetro. Encontrar el Error Medio de la Media A1 = 77º23´30”; A2 = 77º23´23”; A3 = 77º22´47”; A4 = 77º24´02”

Pto Mi Er = Vp - Mi 1 77º23’30” - 0,001250 2 77º23’23” + 0,000694 3 77º22’47” + 0,010694 4 77º24’02” - 0,010139  309°33’42’’ Vp 309°33’42’’/4 = 77°23’25,5’’

(Er)2 0,00021920 0,00000156 EM =  √ (4−1) 0,00000048 0,00011436 = 0,00854789 0,00010280 = 00°00’30,77’’ 0,00021920 VP= 77°23’25,5’’  30,77’’

13) Se midió un ángulo tres veces arrojando los siguientes resultados L1 = 107º14’13”; L2 = 107º14’56”; L3 = 107º12’01” Encontrar El error medio de la media. Pto 1 2 3  Vp

Mi Er = Vp - Mi 107º14’13” 0,008241 107º14’56” 0,020185 107º12’01” 0,028426 321°41’10” 321°41’10”/3 =107°13’43,30”

(Er)2 0,000068 0,000401 0,000808 0,001277

EM = √

0,001277 (3−1)

= 0,02527

EM = 00°01’30,96’’ VP = 107°13’43,30’’ 00°01’30,96’’ 66


Planimetría

UNIDAD V SISTEMAS DE MEDICIÓN Las aplicaciones de topografía incluyen la medición o determinación de longitudes, elevaciones, áreas, volúmenes y ángulos, los cuales requieren la utilización de un sistema de unidades consistentes. Las distancias horizontales y/o inclinadas se miden de manera directa con cintas de acero, estas se usan cada vez menos y solo para distancias muy cortas. Ahora, de manera indirecta se utilizan los medidores electrónicos de distancias en virtud de su precisión y rapidez, También hay métodos indirectos y rápidos para la medición de estas distancias, conocidos como taquimétricos o estadimétricos. Para la medición de elevaciones se utilizan los niveles de topografía, que permiten determinar las diferencias de altura entre puntos consecutivos. La medición de ángulos horizontales y verticales se mide con teodolitos, que posibilitan la lectura de ángulos con altas precisiones y fracciones muy pequeñas de grado.

OBJETIVO GENERAL: Comprender las aplicaciones de topografía que incluyen la medición de ángulos y distancias para la determinación de: longitudes, áreas, volúmenes. Los cuales requieren la utilización de un sistema de unidades apropiado. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Describir con exactitud cada uno de los Sistemas de Medición de ángulos y distancias utilizados en Topografía. 2. Relacionar todos los sistemas de medición angular entre sí.

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Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD V

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. ( 1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolé J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca).

5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 5. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

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Planimetría

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD V

SISTEMA MÉTRICO Se dice del sistema derivado del metro ( mts ), establecido en Francia en el s.XVIII y empleado en la mayoría de los Países, en ciencia, comercio e industria. Sus múltiplos se obtienen como potencias de 10, y sus unidades fundamentales son el metro ( Longitud ), el segundo ( tiempo ) y el kilogramo ( masa ).

SISTEMA ANGLOSAJON Se dice de las unidades utilizadas en los países del Reino Unido y adoptado en EEUU y en otros países de habla inglesa en las que se emplea las pulgadas ( in ), pies ( ft ), millas ( mi ), yardas ( Yr ), hectáreas ( ha ).

UNIDADES DE MEDICIÓN DE LONGITUD Las unidades lineales se utilizan para la medición de longitudes y elevaciones (distancias horizontales o inclinadas y distancias verticales) utilizan el sistema métrico conocido como el sistema internacional de unidades.

SISTEMA MÉTRICO Kilómetro (Km) Hectómetro (Hm) Decámetro (Dm) Metro (mt) Metro (mt) Decímetro (dm) Centímetro (cm) Milímetro (mm) Micrón () Mile – Milla (mi) Foot – Pie ( ft ) Inch – Pulgada ( ´´ ) ( in )

EQUIVALENCIA MÉTRICA 1.000 mts = 10 Hm 100 mts = 10 Dm 10 mts 1 mt = 10 dm 100 cm = 1.000 mm 0,1 mts = 10 cm 0,01 mts = 10 mm 0,001 mts = 1.000 0,000001 mts = 0,001 mm 1.609,34 mts 30,48 cm 2,54 cm

EQUIVALENCIA INGLESA 0,62137 Millas 109,361 Yardas 10,936 Yardas 1,0936 Yardas 39,37 Pulgadas 3,937 Pulgadas 0,3937 Pulgadas 0,03937 Pulgadas 0,03937 mil 1,760 Yardas

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Planimetría

UNIDADES DE MEDICIÓN DE SUPERFICIE Las unidades de área se usan para medir superficies y se expresan en metros cuadrados ( m2 ). Sin embargo, en nuestro medio, en las medidas de agrimensura para las áreas de lotes y parcelas, normalmente se emplea la hectárea ( ha ). Para grandes extensiones se usa el kilómetro cuadrado ( Km2 ). La hectárea es equivalente a un cuadrado de 100 metros de lado ó 10.000 m2. Como un kilómetro cuadrado equivale a un cuadrado de 1000 metros de lado, se deduce que un kilómetro cuadrado equivale a 100 hectáreas. Entonces:

SISTEMA METRICO 10.000 m2 Kilómetro cuadrado (Km2)

EQUIVALENCIA MÉTRICA 100 mts ● 100 mts 1.000.000 mt2

EQUIVALENCIA INGLESA 1 hectárea ( 1 ha ) 100 Ha

UNIDADES DE MEDICIÓN DE VOLUMEN La unidad de volumen es el metro cúbico ( m3 ). Los volúmenes se utilizan para la cuantificación de los movimientos de tierra en las explanaciones que se requieren hacer para la construcción de proyectos u obras de ingeniería. Igualmente la producción de los equipos que ejecutan los movimientos de tierra o transportan el material excavado se expresa normalmente en m3/hora, aunque en los manuales de rendimientos de los equipos americanos de movimientos de tierras, los volúmenes vienen en yardas cúbicas, se puede hacer fácilmente la equivalencia, mediante el factor de conversión respectivo (1 yarda cúbica = 0.7646 m3). Para los aforos de caudales en pequeñas corrientes se suele emplear como unidad de volumen, el litro o decímetro cúbico. Un metro cúbico es equivalente a mil litros.

SISTEMA METRICO Metro Cúbico ( mt3 )

EQUIVALENCIA MÉTRICA 1.000 lts

EQUIVALENCIA INGLESA 1,3079 Yarda Cúbica

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Planimetría

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Los sistemas de medidas relativos a ángulos comúnmente empleados en topografía son los siguientes: A) SISTEMA SEXAGESIMAL

360 = 0

La Circunferencia está dividida en 360 grados, cada grado en 60 minutos (60’), y cada minuto en 60 segundos (60”) y los segundos en décimas.

270

Ejemplo: 156º13’45”

90

180

B) SISTEMA CENTECIMAL La Circunferencia está dividida en 400G Grados, cada grado en 100 minutos (100C), y cada minuto en 100 segundos (100CC)

400G = 0G 300G

100G

Ejemplo: 367G98c64cc 200G C) SISTEMA SEXADECIMAL En éste sistema la Circunferencia se encuentra dividida en 360 pero las fracciones de grado se expresan en decimales.

Es el sistema operativo de las máquinas

calculadoras, además siempre es una transformación previa, cuando se hacen transformaciones de un sistema a otro. Ejemplo: 156º,2292

D) SISTEMA ANALITICO La unidad de medida es el radian (  ), que definimos como el ángulo al centro que subtiende un arco ( L ); igual al Radio ( R ). Ahora si queremos expresar la circunferencia en radianes, ésta consistirá en ver cuantas veces el Radio entra en la circunferencia. Y por geometría sabemos que el viene dado por la relación 2, por lo tanto en una circunferencia se tendrán 2 Radianes. El símbolo (  ) es equivalente a usar la letra ( A )

2 = 0 R 

3 4

L  2

Ejem: 2,3562 también podría expresarse como 2A,3562. A ). 71


Planimetría

CONVERSIONES RELATIVAS

Tenemos que:

 g A ---------- = ---------- = -------360 400g 2

PROBLEMAS RESUELTOS: 1.- Transformar: 9437´57´´ a Centesimal  g ---------- = ----------  360 400g

400g g = ----------  9437’57” = 105g 14c 72cc 360°

2.- Transformar: 105g 14c 72cc a Sexagesimal  g ---------- = ----------  360 400g

°

360° = ----------  105,1472 400g

A

2 = ----------  1547’37” = 360

=

9437’57”

3.- Transformar: 1547’37” a Analítico  A ---------- = ----------  360 2

0A,2756

4.- Transformar: 0A,2756 a Sexagesimal  A ---------- = ----------  360 2

360  = ----------  0,2756 2

= 1547’37”

5- Transformar: 45g87c 63cc a Analítico g A ---------- = ----------  400g 2

A

2 = ----------  45g87c 63cc = 0A,7206 400g

6.- Transformar: 0A,2756 a Sexagesimal g A ---------- = ----------  400g 2

400g g = ----------  0,7206 2

= 45g87c 63cc

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Planimetría

AUTOEVALUACION Nº 5 Resolver los siguientes problemas referidos a sistemas de medición 1.- Transformar al sistema métrico: a.- 1,25 Ha

a

m2

b.- 2,75 Km2

a

m2

c.- 0,25 Hm2

a

cm2

Propuestos: d.-

0,008 m2

a mm2

e.- 2,75 ●105 cm2

a

Hm2

f.-

3,78 pulg

a

mts

g.-

750

yardas a

Km

h.-

280

ft

a

cm

2.- Transformar en el sistema de medición angular: 2.1.- Al sistema Centesimal y Analítico: a.1.- 143g14c06cc b.1.- 254º58’19” b.2.- 254º58’19” c.1.- 125º56’29”,35 c.2.- 125º56’29”,35 2.2.- Al sistema sexagesimal y Analítico: a.1.- 143g14c06cc a.2.- 143g14c06cc b.1.- 07g25c99 cc,97 b.2.- 07g25c99 cc,97 2.3.- Al sistema Sexagesimal y Centesimal: a.1.- 2ρ,25 a.2.- 2ρ,25

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Planimetría

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACION Nº 5 1.- Transformar al sistema métrico: a.- 1,25 Ha a m2  1,25 Ha ● 10.000 m2 / Ha = 12.500 m2 b.- 2,75 Km2 a

m2

 1 km  1.000 m 1 km2  106 m2 2,75 km2  X X = 2,75 km2●106 m2 /km2 = 2,75●106 m2

c.- 0,25 Hm2 a cm2

 1 Hm  100 mts ● 100 cm/mt = 10.000 cms 1 Hm2  108 cms2 0,25 Hm2  X X = 0,25 Hm2 108 cm2 /Hm2 = 25●106 cm2

2.- Transformar en el sistema de medición angular: Tenemos que:

 g A ---------- = ---------- = -------360 400g 2

2.1.- Al sistema Centesimal y Analítico: a.1- 143g14c06cc  2/400g

= 2 ρ,2485

b.1.- 254º58’19”  400g / 360º

= 283g30c21cc

b.2.- 254º58’19”  2/ 360º

= 4 ρ,4501

c.1.- 125º56’29”,35  400g / 360º = 139g93c50cc c.2.- 125º56’29”,35  2/ 360º

= 2 ρ,1981

2.2.- Al sistema Sexagesimal y Analítico: a.1.- 143g14c06cc  360º/ 400g

= 128º49’35”,54

a.2.- 143g14c06cc  2/400g

= 2 ρ,2484

b.1.- 07g25c99cc,97  360º /400g

= 6º32’02”,39

b.2.- 07g25c99cc,97  2/400g

= 0ρ,1140

2.3.- Al sistema Sexagesimal y Centesimal: a.1.- 2ρ,25  360º /2 = 128º54’55,81 A.2.- 2ρ,25  400g /2 =143g23c94cc,4

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Planimetría

UNIDAD VI PLANIMETRÍA La planimetría sólo tiene en cuenta la proyección del terreno sobre un plano horizontal imaginario (vista en planta); esta proyección se denomina base productiva y es la que se considera cuando se miden distancias horizontales y se calcula el área de un terreno. Aquí no se toman en cuenta las diferencias relativas de las elevaciones entre los diferentes puntos del terreno. La ubicación de los diferentes puntos sobre la superficie de la tierra se hace mediante la medición de ángulos y distancias a partir de puntos y líneas de referencia proyectadas sobre un plano horizontal. El conjunto de líneas que unen los puntos observados se denomina Poligonal Base y es la que conforma la red fundamental o esqueleto del levantamiento, a partir de la cual se referencia la posición de todos los detalles o accidentes naturales y/o artificiales de interés. La poligonal base puede ser abierta o cerrada según los requerimientos del levantamiento topográfico. Como resultado de los trabajos de planimetría se obtienen los planos en proyección horizontal.

OBJETIVO GENERAL: Comprender y aplicar los argumentos de Planimetría, así como los teoremas fundamentales básicos en las soluciones de problemas en representaciones topográficas en proyección horizontal.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Explicar el concepto de Planimetría y su aplicación en el campo Topográfico. 2. Definir el concepto de ángulos Horizontales y Verticales. 3. Definir y explicar los distintos métodos de determinar las distancias. 4. Relacionar los conceptos de Coordenadas Polares y Coordenadas Cartesianas en el campo topográfico.

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Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD VI

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. (1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolé J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca).

5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 6. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

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Planimetría

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD VI

PLANIMETRIA La planimetría se basa en la proyección del terreno sobre un plano horizontal, y es la que se considera cuando se habla del área de un terreno.

Los métodos empleados en topografía son estrictamente geométricos y trigonométricos, donde se determinan las líneas rectas y ángulos para formar figuras geométricas para considerar el terreno como un polígono y asó poder calcular su área.

Para lograr este objetivo se fijan puntos sobre los linderos del terreno que conforman el polígono. Estos puntos pueden ser: 1. Puntos instantáneos o momentáneos. 2. Puntos transitorios: deben perdurar mientras se termina el trabajo. 3. Puntos definitivos: Son puntos naturales, ó mojones de concreto de 1010 por 60 cm de profundidad enterrados en el terreno.

MEDICION DE ÁNGULOS

A.- ANGULO HORIZONTAL ENTRE DOS MEDICIONES

 = Ángulo de Posición  = Ángulo Horizontal; es el ángulo determinado por la proyección de las dos direcciones EP’ y EQ’ sobre un plano horizontal

y

cuyas

lecturas

son

materializadas por el círculo graduado horizontal del Teodolito.

77


Planimetría

Para realizar dicha medición del ángulo: 1.- Desde la estación E se colima el primer punto ( P ), a la izquierda y se anota la lectura; Ejemplo: 3015´33´´ 2.- Se rota la alidada (parte móvil del instrumento) en sentido horario hasta colimar el segundo punto ( Q ) y se anota su lectura; ejemplo: 14013´15´´

Lad Lat

P  Q

La figura representa el Circulo Acimutal del Teodolito cuyo centro E está sobre la vertical del punto de estación E´ sobre el terreno.

El ángulo vendrá dado por:  = Lad – Lat = 14013’15” - 3015’33” = 10957’42” NOTA: Los teodolitos que miden ángulos por diferencias de lecturas se llaman teodolitos RIETERADORES y los REPETIDORES son teodolitos equipados con dispositivos que permiten imponer una lectura prefijada. Si cuando hacemos las lecturas de los ángulos resulta la Ladelante <

Lattras debemos

incrementar la de adelante en 360°. Ejemplo: 

Lad = 3719’ y Lat = 34141’

El valor del ángulo será:  = (3719’ + 360) - 34141’ = 5538’ B.- ANGULOS VERTICALES Llamamos Vertical (V – V) del punto E, a la dirección que en ese punto tiene la gravedad (materializada por la plomada). La dirección al centro de la Tierra se llama NADIR y su opuesto ZENIT. Llamamos ángulo vertical, al ángulo que la dirección del punto colimado forma con la vertical ZENIT – NADIR, o con el plano horizontal H – H. Los Teodolitos que miden directamente los ángulos Cenitales su Círculo Vertical tiene el origen de graduaciones al ZENIT. Ahora por encima de la horizontal se llama ángulo de elevaciones; por debajo, ángulo de depresión. 78


Planimetría

1.- Transformar a ángulo de altura lo siguiente. (α+ ó α -) a

b +α -α

a.- 95º15’07”,18  α - = 95º15’07”,18 – 90º = b.- 16º15’07”

 α + = 90º - 16º15´07”

5º15’07”,18

= 73º44’53”

LEY DE PROPAGACIÓN DE LOS ACIMUTES Cuando se trabaja con Poligonales Abiertas ó Cerradas, nosotros mediremos el ángulo de una alineación a otra ( , ,  ). Por tanto debemos calcular el Acimut de cada una de las alineaciones siguientes; Para ello debemos conocer el Acimut inicial

AB así:

N N

DE

E D AB

N

N

BC

A BC  B

CD

AB

C

De la figura tenemos: BC = AB – 

Donde  = 180 - 

 BC = AB +  - 180 CD = BC +  + 180

En forma general: Adelante = Anterior + Ángulo en el vértice (  )  180 Será

Adelante = Anterior +   180

+ 180 Si Anterior + Ángulo en el vértice es menor de 180 - 180 Si Anterior + Ángulo en el vértice es mayor de 180 79


Planimetría

AB = 120

Supongamos:

 = 150

;

;

 = 40

;

 = 110

Tendremos: AB = 120 +  = 150 ------------------270 - 180 ----------BC = 90

BC = 90 +  = 40 ------------------130 + 180 ----------CD = 310

CD = 310 +  = 110 ------------------420 - 180 ----------DE = 240

Entendamos entonces que: El Acimut de una alineación AB, es el ángulo horizontal medido en sentido horario desde la dirección Norte hasta la alineación A – B.

N AB

B AB

N

W

BA

B AB

E A

BA = AB + 180º S

A

Si la alineación de referencia es el Norte Magnético, tendremos el Acimut Magnético ( m ).

N. Magnético N. Geográfico

mAB 

A

GAB

Si tomamos el Norte geográfico, será el Acimut Geográfico ( G ) Por tanto podemos definir a  como el ángulo de

B

DECLINACIÓN MAGNÉTICA:  =

mAB

-

GAB

80


Planimetría

RUMBOS: Es el ángulo horizontal agudo (siempre menor de 90º) que una alineación cualquiera, forma con los ejes Norte ó Sur.

N

N AB

B AB

RAB W

W

A

E

E

RAB

A B

S

S

RAB = AB

RAB = AB - 180

RELACIÓN ENTRE ACIMUTES Y RUMBOS AB

RAB AB

RAB

RAB

I CUADRANTE

AB

AB

RAB

II CUADRANTE

III CUADRANTE

IV CUADRANTE

I CUADRANTE

RAB = AB

 N RAB E

II CUADRANTE

RAB = 180º - AB  S RAB E

III CUADRANTE

RAB = AB - 180º  S RAB W

IV CUADRANTE

RAB = 360º - AB  N RAB W

81


Planimetría

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Transformar a Rumbos los siguientes Azimut. a.- AB = 29º38’59”  I Cuad.  RAB = AB

= 29º38’59”

b.- AB = 216º17’29”  III Cuad.  RAB = AB - 180º = 36º17’29”

2.- Transformar a Azimut los siguientes Rumbos. a.- RAB = S 81º43’43’’ E  II Cuad.  AB = 180º - RAB = 98º16’17’’ b.- RAB = N 75º25’49” W  IV Cuad.  AB = 360º - RAB = 284º34’11”

ÁNGULO EN EL VÉRTICE DE DOS ALINEACIONES Dada dos Alineaciones AB y BC, es el ángulo medido desde una de ellas hasta la otra en sentido horario.

B B

D C

A

C

ÁNGULO DE DEFLEXIÓN DE DOS ALINEACIONES Es igual al ángulo medido desde la prolongación de la primera alineación hasta encontrar la siguiente alineación.

Éstos ángulos pueden ser positivos o negativos según, si al pasar de una alineación a otra lo hacemos en sentido horario o antihorario. Recordando que los ángulos “ + ” son en sentido horario. 82


PlanimetrĂ­a

ď ąBC En forma general: ď ąAB

ď ąCD D

ď ąAB

ď ąAdelante = ď ąAnterior ď&#x201A;ą ď ¤

ď ąBC

+ď ¤B B

- ď ¤C A

C

OPERACIONES DE CAMPO Para desarrollarlas debemos estacionarnos en B, se colima A y se anota la lectura correspondiente para ese momento en el cĂ­rculo horizontal del teodolito. Se da vuelta de campana (con lo cual no se incrementa el valor de la direcciĂłn LA). Se rota la aliada hasta colimar el punto C en sentido horario o antihorario; se tendrĂĄ entonces que: ď ¤ = LC - LA

MEDICIĂ&#x201C;N INDIRECTA DE DISTANCIAS

A.- CON ANGULO DISTANCIOMETRICO VARIABLE Y MIRA HORIZONTAL

tg

SĂ­

ď ˇ 2

=

đ??żâ &#x201E; 2 DAB

L = 2 mts

;

DAB =

;

L 2

ď ˇ

ď&#x201A;ˇ Cotg ( 2 ) ď ˇ

DAB = Ctg ( 2 ) DAB =

1

ď ˇ

tg ( 2 )

La mira es de material Invar lo cuĂĄl asegura la invariabilidad de su longitud.

83


Planimetría

Entonces: 1. La distancia es función solamente del ángulo Distanciométrico. (  ) 2. El ángulo es independiente de la diferencia de altura entre el Teodolito y la mira horizontal. 3. El centro de la mira debe coincidir con el punto B (plomada óptica). 4. El brazo de la mira debe quedar perfectamente horizontal (Nivel esférico). 5. El brazo de la mira debe formar un ángulo recto con la línea Teodolito centro de la mira (para asegurarnos de ello, la mira tiene un colimador). DISTANCIOMETRICO Quiere decir entre las marcas de la mira o de los hilos distanciométricos del objetivo del Teodolito. Hilo Superior

Hilo Inferior B.- CON ÁNGULO DISTANCIOMÉTRICO VARIABLE Y MIRA VERTICAL 1.- Si el Teodolito lo estacionamos con el eje de colimación completamente horizontal. Ls D = k  (Ls - Li) Li

Se toma K  100

M E

DEM

2. Cuando el anteojo quede inclinado. Ls c

D = k  (Ls - Li)  Sen2  D = k  (Ls - Li)  Cos2 

Li

Se toma K  100

  M

E

DEM 84


Planimetría

3. Cuando no se conoce K.

Ls´

Ls´´ Se mide D1 y D2 con cinta métrica H´

Li´

H´´ Li´´

D2 - D1 K = ---------------H´´ - H´

D1 D2

ERRORES POSIBLES 1. La tercera cifra en la lectura de la mira es de apreciación por parte del topógrafo, y un error de 1 milímetro representa 10 cm ya que D  K = 100. 2. Inexactitud en las divisiones de la mira. 3. Variación en su longitud – en las articulaciones de la mira vertical.

Para la determinación del ERROR MEDIO CUADRÁTICO que se comete en la medición de una distancia, se utilizará la siguiente fórmula: D2 (mt) MD (mm) =  ------------40

Implica que:

(50)2 MD = --------- =  400

Implica que:

(150)2 MD = --------- =  56,25 mm 400

Ejemplo: Sí D1 = 50 mts

Sí D2 = 150 mts

6,25 mm

Como es de notar, al aumentar la longitud a medir; el error en su medición aumenta proporcionalmente al cuadrado de la distancia. Por tanto debemos dividir la longitud en tramos parciales.

85


Planimetría

LAS MODALIDADES OPERATIVAS MÁS EMPLEADAS PARA MINIMIZAR ESTOS ERRORES SON:

A) MEDICIÓN EN TRAMOS PARCIALES ( EN SERIE )

El error cometido (ERROR MEDIO CUADRÁTICO) vendrá dado por: D2 (mts) MNd (mm) = -------------400  N3 Ejemplo: Se tiene una longitud de 500 mts. ¿Cuál es el error que se comete si se realiza con una sola medición o si se realiza en 8 mediciones? (500)2 MD (mm) = --------- =  625 mm 400

(500)2 MNd (mm) = --------------- =  27,62 mm 400  83

Conclusión: El Error que se comete es mucho menor, con la particularidad que se tiene que hacer 8 mediciones.

Una fórmula para encontrar el Número de tramos para dividir una distancia (D AB) para que el Error Medio Cuadrático MNd resulte menor que una TOLERANCIA (Error Relativo).

Ejemplo: Si se realiza una medición de distancia con teodolito cuya apreciación Mw =1´´, se requiere una exactitud o Error Relativo de 1/10.000 y la distancia a medir es de 600 mts. ¿En cuántos tramos debemos realizar la medición y calcular el MN  d(mm)?

N =

 3

1 ------ER

2

MW´´ 2 D2  ------------  ----206265 4

86


Planimetría

1 ------ER

2

MW ---------206265

=

2

=

1 -----------1/10.000

2

1´´ ----------206265

2

108  D2 N =  ----------------3 425  108  4

= (10.000)2 = 108

1 ------------425  108

=

=

D2 (mts) -----------3 1700

=

(600)2 ---------3 1700

=

 5,96 mts

Tomaremos N = 6 tramos (600)2 MN  d(mm) = ----------------- =  61,23 mm 400   (6)3

B.- MEDICION CON BASE AUXILIAR A

LDer

LIzq BASE  

E

B

PROCEDIMIENTO: a.- Estacionamos en E y la Mira en A, implica que  b.- Se calcula la Base por DAE = Ctg ( ) 2

 = LDer - LIzq

c.- Se mide el ángulo  d.- Se lleva el Teodolito a B se mide  e.- Se aplica el teorema de los Senos

87


Planimetría

DAB --------

BASE =

Sen  ( Sen )  BASE 

----------

Sen 

DAB =

Sen 

El Error Medio Cuadrático vendrá dado por:

MB (mts) = 

D  √𝐷 Sen 

;

ER =

MB DAB

MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIA CON ÁNGULO DISTANCIOMETRICO VARIABLE Y MIRA VERTICAL

H: Conocida A´ EA´C´: tg 2 = (A´C´)/D

H

A´C´ = D  tg 2 B´ EB´C´: tg 1 = (B´C´)/D

1

B´C´ = D  tg 1 A´C´ - B´C´ = H

2 2

E

1 C´

H = D  (tg 2 - tg 1) E´ H D = -----------------tg 2 - tg 1

D

H D = -------------------Ctg 2 - Ctg 1

88


Planimetría

Ejemplo: Estacionamos en A con un Teodolito situado a 20 mts de un árbol, se ha colimado la base obteniéndose a B = 9820’20” y la parte superior B´ = 9340’10”, se pide encontrar la altura del árbol. B

B´ H = D  (Ctg 2 – Ctg 1) H = 20  (Ctg 9820’20” - Ctg 9340’10”)

H = 1,64 mts

A H

B D = 20 mts

MEDICION DE DISTANCIAS CON TELEMETROS El principio se fundamenta en la solución de un triángulo rectángulo para lo cual conocemos un lado y un ángulo. 1.

P

Trazamos una alineación AB Perpendicular a AP, con una escuadra prisma o teodolito, y medimos una distancia arbitraria (BASE).

 DAP 

Desde B medimos (  ).

2.

BASE

90

B

A BASE

3.

tg  = ----------

Implica que:

DAP =

BASE tg 

DAP

Sí la BASE AB estuviese incorporada al mismo aparato y por consiguiente fuese conocido; sólo necesitaríamos medir un ángulo para determinar la distancia.

Naturalmente siendo la base muy pequeña en comparación a la distancia a medir, es un equipo de muy poca precisión

por eso sólo es utilizada en exploraciones y

reconocimientos. 89


Planimetría

INTERSECCIÓN DE DOS VISUALES DESDE EL COLIMADOR Y EL ANTEOJO P  DAP DAP = BASE  Ctg 

DAP = K  Ctg  A

BASE Colimador

Anteojo

DISTANCIOMETROS ELECTRÓNICOS Basados en el tiempo empleado por un rayo de luz en recorrer la distancia Estación – punto visado – Estación.

Consta, básicamente del aparato propiamente dicho que emite el rayo a un reflector de prisma colocado en el punto a cuya distancia del distanciómetro se quiere medir. Determinan distancias inclinadas, por tanto debemos medir el ángulo vertical para transformar en distancias horizontales.

MEDICION DIRECTA DE DISTANCIAS CON CINTAS MÉTRICAS Son cintas de acero, se construyen de 30, 50 y 100 mts de longitud, su ancho varía de 7,94 a 9,53 mm, su espesor es de 0,25; 0,35 y 0,50 mm. Vienen calibradas por el fabricante a una temperatura patrón ( t ) y Tensión ( To ), y las mediciones deben realizarse lo más horizontal posible.

Las correcciones vienen dadas por: Ct = L  (t - 20)  0,0116

T = Tensión E = 2 106 Kg/cm2

CT =

100 L ES

 (T – To) S = Área de la sección transversal de la cinta en cm2

90


Planimetría

SISTEMA DE COORDENADAS USADOS EN TOPOGRAFIA

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES N Consiste en medir un ángulo desde B

una alineación de referencia (AB) y

AB DAB W

una distancia (DAB) E

A

S

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS N Consiste en proyectar la alineación B

AB sobre unos ejes rectangulares y

AB NAB

asi obtener las proyecciones (NAB; DAB

W

EAB y así facilitar los cálculos y

E EAB

A

representaciones.

S

TRANSFORMACION DE POLARES A CARTECIANAS

EAB = DABSen AB NAB = DABCos AB

Conocidas las Coordenadas del punto A = NA; EA

Podemos conocer las del punto B EB = EA + EAB NB = NA + NAB

Pero recordemos que debemos trabajar con el Rumbo a sabiendas del valor del Acimut y el cuadrante al que corresponde.

91


Planimetría

TRANSFORMACION DE CARTECIANAS A POLARES El AB Depende del DAB =  ( EAB )2 + (NAB)2 =  (EB - EA )2 + ( NB - NA)2

cuadrante en el cual está el RA-B

EA-B tg RA-B = -------NA-B

Implica que:

EA-B RA-B = Arctg. --------NA-B

Indicado en la Pag. 81

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dada las Coordenadas Polares de la alineación AB, (DAB = 135,3 mts;

A-B = 7543’20”)

Se piden las Coordenadas Cartesianas correspondientes al punto B, con relación al punto BM = A de Coordenadas A (N = 430,5 ; E = 215,7). NA-B = 135,3  Cos (75,72)

= 33,37 mts.

EA-B = 135,3  Sen (7543’20”) = 135,3  Sen (75,72) =131,12 mts. NB = NA + NA-B = 430,5 + 33,47

= 463,87 mts.

EB = EA + EA-B = 215,7 + 131,12 = 346,82 mts. 2. Dada las Coordenadas Cartesianas de

B (N = 79,3; E = - 215,5),

se pide

las Coordenadas Polares correspondientes. N B

EB

RA-B = Arctg

EB NB

= Arctg

215,5 79,3

= 69,7973

RA-B NB

W

AB = 360 - 69,7973 ----------------290,2026

A AB

AB = 29012’09”,6

DAB =  (XB)2 + (YB)2 =  (215,3)2 + (79,3)2 = 229,44

92


Planimetría

AUTOEVALUACÓN Nº 6

1) Transformar a Rumbos los siguientes Azimut. a.- AB = 105g13c94cc b.- AB = 5,25

2) Transformar a Azimut los siguientes Rumbos. a.- RAB = N 39º33´26” E b.- RAB = S 19º38’43’’ W

3) De la alineación quebrada (Poligonal) A, B, C, D. Se conoce el Azimut de la alineación BA que es βA = 235º06’17” y los ángulos en los vértices

βB = 139º19’00” y

βC = 215º47’25” ¿Calcular el Rumbo de la alineación RDC, en el Sistema Centesimal? 4) Conocida La distancia natural del terreno: 156,35 mts entre dos puntos A y B y el ángulo de depresión (- ) igual a 15º16’00” ¿ Calcular el desnivel y la distancia topográfica entre ambos puntos?

5) La distancia natural entre dos puntos A y B, es de 235,56 mts. Estacionados en A, colimamos al punto B, utilizando un aparato que lee ángulos Zenitales y leímos en él circulo vertical el ángulo

AB

= 95g16c19cc

¿Calcular el desnivel y la distancia

topográfica entre los puntos A y B?

6) De la alineación A, B, C, D, E, RBA

= S 99g88c77cc W

12g15c48cc

se conoce el Rumbo de la Alineación BA

y los ángulos en los vértices

βC = 128º07’50”

y

βA

= 10º10’10” ;

βB

=

βD = 357º00’00”. Se pide: Calcular el Rumbo de la

Alineación ED ( RED ) en el sistema Centesimal.

93


Planimetría

7) En el levantamiento topográfico de tres alineaciones establecidos por los Vértices A, B, C y D. Se pide Determinar las coordenadas de los puntos C y D. Para lo cual se tienen los siguientes datos: Pto. Norte Este A 340 120

Distancia 100,00

B

230

D A

65

C C D

B

Para el ángulo en el Vértice del punto ” B ” se efectuaron las siguientes lecturas:

EST B

ANGULO HORIZONTAL Lect. Atrás Lec. Adelant. 52º25’32”

0ρ,3914

La DBC = 87500 mm y Angulo horizontal en C  C = 165G17C43CC Para la encontrar la distancia del Punto C al Punto D ( D CD )se Utilizó el Método de la base Auxiliar; Para lo cual se nos Apoyamos en un Punto fuera de dicha Alineación que fue llamado Punto Auxiliar 1. Obteniéndose los siguientes datos: Estación Punto Lectura de la Mira Visado Lect. Sup Lect. Inf 1 D 2,390 1,735

Angulo Zenital 75º45’30”

Se determinaron los Ángulos Horizontales Auxiliares: Est. 1

C

Pto. Vdo. Angulo C 33º14’18” 1 D D 60º12’25” C 1

D

C

C

1

BASE

1

94


Planimetría

RESPUESTA A LA AUTOEVALUACIÓN 6

1) Transformar a Rumbos los siguientes Azimut. a.- AB = 105g13c94cc  360º / 400 g = 94º37’31”  II Cuad.  RAB = 180º - AB = 85º22’28” b.- AB = 5,25  360º / 2 = 300º48’10”,23  IV Cuad.  RAB = 360º - AB = 59º11’49”,77

2) Transformar a Azimut los siguientes Rumbos. a.- RAB = N 39º33’26” E  I Cuad.

 AB = RAB =

39º33’26”

b.- RAB = S 19º38’43’’ W  III Cuad.  AB = 180º + RAB = 199º38’43”

3) De la alineación quebrada (Poligonal) A, B, C, D. Se conoce el Azimut de la alineación BA que es BA = 235º06’17” y los ángulos en los vértices y

βC

= 215º47’25” ¿Calcular el Rumbo de la alineación

RDC,

βB = 139º19’00” en el Sistema

Centesimal? Ley de propagación de los Azimutes

Final = Inicial + Angulo en el vértice + 180º AB

AB = BA - 180º = 235º06’17” -180º = 55º06’17” BC = AB + 139º19’00” – 180º

= 14º25’17”

CD = BC + 215º47’25” – 180º

= 50º12’42”

N AB

 I Cuad. ==> RCD = 50º12’42” = RDC Para llevarlo al sistema centesimal:

B BA AB = BA - 180º

A

RDC = 50º12’42”  400g / 360º = N 55g79c07,4cc E

95


Planimetría

4) Conocida La distancia natural del terreno: 156,35 mts. entre dos puntos A y B y el ángulo de depresión (- ) igual a 15º16’0” ¿ Calcular el desnivel y la distancia topográfica entre ambos puntos? DT = DN  Cos  = 156,35  Cos 15º16’00” = 150,83 mts.  AB = DN  Sen

= 156,35  Sen 15º16’00” = 41,16 mts.

5) La distancia natural entre dos puntos A y B, es de 235,56 mts. Estacionados en A, colimamos al punto B, utilizando un aparato que lee ángulos Zenitales y leímos en él circulo vertical el ángulo

AB

= 95g16c19cc

¿Calcular el desnivel y la distancia

topográfica entre los puntos A y B?

Transformar el ángulo

 95g16c19cc  360º / 400g = 85º38’44”

Llevarlo a ángulo de elevación: 90º - 85º38’44” = 4º21’15,4” DT = DN  Cos  = 235,56  Cos 4º21’15”,4

= 234,88 mts.

 AB = DN Sen  = 235,56  Sen 4º21’15”,4 = 16,51 mts.

6) De la alineación A, B, C, D, E,

se conoce el Rumbo de la Alineación BA

RBA = S 99g88c77cc W y los ángulos en los vértices

βC = 128º07’50”

y

= 12g15c48cc

βD = 357º00’00”. Se pide: Calcular el Rumbo de la Alineación ED

(RED) en el sistema Centesimal. N

βA = 10º10’10” ; βB

Adelante = Anterior +   180

N

RBA = AB = 99g88c77cc  360º /400g AB

=

89º53’56”

BC = AB + 12g15c48cc  360º /400g + 180º = 280º50’17”,55 CD = BC + 128º07’50” – 180º

RBA

= 228º58’07”

DE = CD + 357º00’00” – 180º = 225º58’07”  III Cuad.

A

 RDE = DE - 180º = 45º58’O7”,5 = RED S

S 96


Planimetría

7) En el levantamiento topográfico de tres alineaciones establecidos por los Vértices A, B, C y D. Se pide Determinar las coordenadas de los puntos C y D. 1.- PRIMERO DETERMINEMOS TOS LOS ÁNGULOS DE LOS VÉRTICES Para B = 0a,3914 - 52º25’32” = (0,3914360) / 2 - 52º25’32” + 360°= 330°00’00’’ Para C = 165G17C43CC  (360/400) = 148°39’25’’ 2.- CALCULO DEL ACIMUT INICIAL Y FINAL N AB AB = 180º + RAB W

A

E RAB

120 − 65

AB

= 180º + Arctg.

AB

= 206º33’54’’

BC = 356º33’54’’

+ B

= 330°00’00’’ ---------------53633’ 54’’ - 180

+ C = 148°39’25’’ --------------50513’19’’ - 180

= 35633’54’’

CD = 32513’19’’

B S BC

340 − 230

= 206º33’54’’

3.-CALCULO DE LAS DISTANCIAS DBC = 87500 mm = 87,50 mts Para DCD por el Método de la Base Auxiliar a.- D1D = k(Ls - Li)  Sen2  = 100(2,390 – 1,735) Sen2 (75º45’30”) = 61,54 mts b.- Se mide el ángulo 1 =33º14’18” ;Se lleva el Teodolito a C se mide C = 60º12’25” DCD -------Sen C

BASE = ---------Sen 1

DCD =

Sen (60º12’25”) Sen (33º14’18”)

 61,54 = 97,43 mts

4.- CALCULO DE LAS COORDENADAS EC = EB + EB-C = EB + DBC Sen BC = 65,00 - 87,50Sen 35633’54’’ = 59,76 NC = NB + NB-C = NB + DBC Cos BC = 230,00 + 87,50Cos 35633’54’’ = 317,34 ED = EC + EC-D = EC + DCD Sen CD = 59,76 - 97,43Sen 32513’19’’ = 4,18 ND = NC + NC-D = NC + DCD Cos CD = 317,34 97,43Cos 32513’19’’ = 397,37 97


Planimetría

UNIDAD VII POLIGONALES Las poligonales, son hoy en día, el principal elemento utilizado en los trabajos topográficos y trabajos catastrales; ya que este, es el procedimiento geométrico que nos permite realizar un levantamiento topográfico, mediante el uso de figuras llamadas polígonos, sin dejar de lado la forma triangular. Y es mediante el uso de polígonos o poligonales, que nos aseguramos de una buena representación cartográfica de la zona a levantar, sin desestimar la precisión y exactitud con que se debe trabajar.

La finalidad de una poligonal es calcular, principalmente las coordenadas de cada uno de los vértices que la componen, siendo los parámetros que la definen el azimut y la distancia. Así, según el método que se utilice estaremos en condiciones de definir un tipo de poligonal en particular es decir: abierta o cerrada.

OBJETIVO GENERAL:

Comprender los pasos a seguir en el levantamiento, calculo, corrección y dibujo de una poligonal tanto cerrada como abierta.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

1. Definir el concepto de Poligonal, su importancia y aplicación dentro de la Topografía.

2. Calcular en base al tipo de poligonal, cada uno de los elementos estructurales que la componen

98


Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD VII

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. ( 1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolé J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca).

5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 7. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

99


Planimetría

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD VII

1.- POLIGONALES Y SU IMPORTANCIA 1.1.- DEFINICIÓN Una Poligonal está conformada por una serie de líneas rectas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se han determinado a partir de mediciones en el campo. El trazo de una poligonal es uno de los procedimientos fundamentales más utilizados en la práctica para determinar las posiciones relativas de puntos en el terreno. Comprende la operación de establecer las estaciones de la misma y hacer las mediciones necesarias. 1.2.- TIPOS DE POLIGONALES Las poligonales pueden ser abiertas o cerradas, para lo cual se debe obtener para cada vértice sus respectivas coordenadas y cota. En una poligonal cerrada, las líneas regresan al punto de partida formando así un polígono cerrado, su empleo más útil es para la determinación de áreas de terrenos. Una poligonal abierta, consiste en una serie de líneas unidas, pero que no regresan al punto de partida. Se usan en los levantamientos para vías terrestres. Básicamente existen dos arquetipos de poligonal, siendo la primera, la poligonal acimutal, consistente en que a cada estación o vértice se le deberá medir el azimut hacia la próxima estación, siempre en el mismo sentido de avance, ya sea este en sentido horario o en sentido antihorario, luego la segunda, es la poligonación con cero atrás, que consiste en medir el azimut en un solo vértice de la poligonal, y medir los ángulos horizontales interiores con sentido de avance antihorario o los ángulos horizontales exteriores con sentido de avance horario, para seguir a posteriori con el cálculo de todos los azimutes en función de dichos ángulos .

1.3.- IMPORTANCIA Y APLICACIONES En cuanto a las aplicaciones en Topografía, las poligonales nos permitirán delimitar las superficies del terreno, bien sea en establecimientos de sus perímetros y el

100


Planimetría

consecuente de su área, así como el trazo de los ejes de vías de Comunicación, Aguas blancas y negras, tendidos eléctricos, etc.

Para lo cual y a fin de evitar la acumulación y propagación de errores en las mediciones, se debe medir cuidadosamente los lados y ángulos para determinar con precisión cada uno de las coordenadas de los puntos de dicho conjunto y así proceder a la elaboración del dibujo y planos respectivos , para ello es necesario considerar el conjunto de puntos (Naturales o Artificiales), que al unirse entre sí determinan alineaciones rectas y como hemos venido diciendo, si están entrelazadas por sus extremos formaran un polígono.

2.- ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE LAS POLIGONALES En el levantamiento de los detalles, las poligonales deben seguir los accidentes del terreno (cambios de relieve), formando líneas rectas entre cada vértice para lo cual en la elección de los mismos estos deben estar cada uno en posición adecuada teniendo cuidado de que dos vértices consecutivos resulten visibles entre sí para hacer visual con los instrumentos.

Lo primordial es el establecimiento de los puntos situando estacas en cada vértice que definan las alineaciones de la poligonal, seleccionando estos puntos en forma tal que permitan cubrir completamente el área que se trata de levantar o configurar..

Una vez establecido los puntos, para el levantamiento de las poligonales se procederá al trabajo de campo con el equipo requerido según lo planificado previamente en la oficina, se procederá a la búsqueda de los datos necesarios midiendo sucesivamente todos los ángulos y sus lados, al mismo tiempo han de dibujarse en un croquis lo más claro posible todos y cada uno de los puntos que se levanten.

Es necesario hacer la medición de ángulos interiores o ángulos exteriores y siempre en un mismo sentido es decir horario o antihorario. Para proceder después en la oficina al cálculo de distancias, ángulos, acimut, rumbos, proyecciones y coordenadas definitivas. 101


PlanimetrĂ­a

Tomando en cuenta que existen tolerancias (Lineales y Angulares), se compensarĂĄn los errores permisibles que generalmente siempre existirĂĄn. Para finalmente originar el plano a escala que se requiere.

3.-

CALCULO DE POLIGONALES

3.1.- POLIGONAL CERRADA

Esquema de Calculo Parte Angular 1.- Calculo de los ĂĄngulos 2.- Error de Cierre Angular 3.- Tolerancia Angular 4.- CompensaciĂłn de los Ă ngulos 5.- Calculo de los Acimutes

Parte lineal 6.- Calculo de las Proyecciones 7.- Error de Cierre Lineal 8.- Tolerancia Lineal 9.- CompensaciĂłn de las Proyecciones 10.- Calculo de las Coordenadas 11.- CĂĄlculo del Ă rea de la poligonal

PROBLEMA RESUELTO Calcular las coordenadas compensadas y el ĂĄrea de la siguiente poligonal. Realice el plano a Escala 1: 1000

Pto. Distanc. A

Angulo COORDENADAS Horizontal NORTE ESTE 86Âş56â&#x20AC;&#x2122;20â&#x20AC;? 1.040,82 1.340,16

38,20 162Âş00â&#x20AC;&#x2122;10â&#x20AC;?

B 53,40 C

119Âş25â&#x20AC;&#x2122;14â&#x20AC;? 96,20 74Âş49â&#x20AC;&#x2122;34â&#x20AC;?

D 102,75

96Âş48â&#x20AC;&#x2122;32`â&#x20AC;?

E 104,20 A

DATOS

ď ąAB

= 113Âş13â&#x20AC;&#x2122;24â&#x20AC;?

Se utilizĂł un Teodolito Wild T1-A Con ApreciaciĂłn = 20â&#x20AC;? TA = 20â&#x20AC;?â&#x2014;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A; TL = 0,10 Los ĂĄngulos Horizontales son internos

102


PlanimetrĂ­a

PROCEDIMIENTO DE CĂ LCULO

1.- CALCULO DE LOS ANGULOS HORIZONTALES El ĂĄngulo vendrĂ­a dado por: ď ˘i

=

Lad

â&#x20AC;&#x201C;

Lat

; pero en este caso se estĂĄn dando

directamente.

2.- ERROR DE CIERRE ANGULAR ď &#x201C; Ă ngulos Internos â&#x20AC;&#x201C; (N â&#x20AC;&#x201C; 2) ď&#x201A;ˇ 180Âş = ď &#x201C; Ă ngulos (ď ˘i)

CondiciĂłn angular:

ď &#x201C; Ă ngulos Externos â&#x20AC;&#x201C; (N + 2) ď&#x201A;ˇ180Âş = ď &#x201C; Ă ngulos (ď ˘ i) Para nuestros efectos: (Ă ngulos internos) ď &#x201C; Ă ngulos internos = 539Âş59â&#x20AC;&#x2122;50â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; (N - 2) ď&#x201A;ˇ 180Âş

= 540Âş00â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; EA =

- 10â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;

3.- TOLERANCIA ANGULAR TA =

20â&#x20AC;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A; = 20â&#x20AC;? ď&#x201A;ˇâ&#x2C6;&#x161;5 = 44â&#x20AC;&#x2122;,77 > E A , Estamos bien OK.

4.- COMPESACION DE LOS ANGULOS CA =

â&#x2C6;&#x2019;đ??&#x201E;đ??&#x20AC; đ?&#x2018;ľ

=

â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;Âş) đ?&#x;&#x201C;

= + 2â&#x20AC;? ; Se le suma dos segundos (2â&#x20AC;?) a cada ĂĄngulo.

5.- CALCULO DE LOS ACIMUTES Recordemos que el Acimut Inicial es dato ď ąAB = 113Âş13â&#x20AC;&#x2122;24â&#x20AC;? Los Azimutes siguientes se encontrarĂĄn por medio de la Ley de PropagaciĂłn de los mismos: ď ą Lado = ď ą Lado Anterior + Angulo VĂŠrtice (ď ˘) ď&#x201A;ą 180Âş ď ąBC = ď ąAB + (ď ˘B ) ď&#x201A;ą 180Âş = 113Âş13â&#x20AC;&#x2122;10â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; + 86Âş56â&#x20AC;&#x2122;22â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; 180Âş = 95Âş13â&#x20AC;&#x2122;36â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; 103


Planimetría

6.- CALCULO DE LAS PROYECCIONES Para la proyección Este (E) y Oeste (W);

E AB = DAB  Sen AB

Para la proyección Norte (N) y

N AB = DAB  Cos AB

Sur (S);

E AB = 38,20  Sen 113º13’24’’ = - 15,06 mts NAB = 38,20  Cos 113º13’24’’ = + 35,10 mts 7.- ERROR DE CIERRE LINEAL  Proy. ( E ) -  Proy. ( W ) =  EE ; EE = 142,97 - 143,01 = - 0,04 ; EL =  (EN)2 + (EE) 2

 Proy. ( N ) -  Proy. ( S ) =  EN EN = 113,39 - 113,35 = + 0,04

=  (0,04)2 + (0,04) 2

= 0,0566

8.- TOLERANCIA LINEAL TL = 0,10 > EL Estamos bien OK 9.- COMPENSACIÓN DE LAS PROYECCIONES Siempre será con la misma fórmula tanto para el Norte y Este.

PARA EL NORTE CNAB =

− (+ 0,04) 394,75

 38,20 = - 0,003;

NAB = - 15,06 - 0,003 = - 15,063 mts. ;

Cparcial

- EL = ---------  DP  Dist.

PARA EL ESTE CEAB =

− (− 0,04) 394,75

38,20 = + 0,003

EAB = 35,10 + 0,003 = 35,103 mts

10.- CALCULO DE LAS COORDENADAS NB = NA + NAB ; NB = 1.040,820 - 15,063 = 1.025,757 mts EB = EA + EAB ; EB = 1.340,160 + 35,103 = 1.375,263 mts 104


Planimetría

11.- CALCULO DEL AREA

EN 1.374.678,501 1.403.994,994 1.571.324,225 1.682.276,933 1.442.877,316 7.475.151,969

NORTE 1.040,820 1.025,757 1.020,892 1.100,022 1,134,261 1.040,820

ESTE 1.340,160 1.375,263 1.428,448 1.483,148 1.386,289 1.340,160

NE 1.431.401,235 1.465.240,535 1.514.133,928 1.524.948,398 1.520.091,221 7.455.815,317 2A = 1.336,652 A = 668,326 m2

105


Planimetrรญa

86ยบ56โ€™20โ€

A

162ยบ00โ€™10ยดโ€

B

119ยบ25โ€™14ยดโ€

C

+ 2โ€

+ 2โ€

+ 2โ€

(๏ขi) Angulo Corregido

Estaciรณn

Angulo Leรญdo

Correcciรณn Angular

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CรLCULO DE POLIGONALES CERRADA PROYECCIONES ACIMUT

( ๏ฑ )

96ยบ48โ€™32โ€

E

+ 2โ€

+ 2โ€

+ N

S

Corr

+ E

W

Corr

86ยบ56โ€™22โ€ A

COORDE.

N

E

1.040,820 1.340,160

113ยบ13โ€™24โ€

38,20

15,06

0,003

4,86

0,005

35,10

+ 0,003

53,18

+ 0,005

54,69

+ 0,010

15,063

35,103

162ยบ00โ€™12โ€ B

1.025,757 1.375,263

95ยบ13โ€™36โ€

53,40

4,865

53,185

119ยบ25โ€™16โ€ C

1.020,892 1.428,448

34ยบ38โ€™52โ€ 74ยบ49โ€™34โ€

D

Dist.

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

96,20 79,14

0,010

102,75 34,25

0,011

104,20

0,011

79,130

54,700

74ยบ49โ€™36โ€ D

1.100,022 1.483,148

289ยบ28โ€™28โ€

96,87

+ 0,011

46,14

+ 0,011

34,239

96,859

96ยบ48โ€™34โ€ E

1.134,261 1.386,289

206ยบ17โ€™02โ€

93,43

93,441

46,129 1.040,82 1.340,160

๏“๏ขi = 539ยบ59โ€™50โ€ (n-2) ๏‚ท180ยบ = 540ยบ EA = - 10โ€ TA = 20โ€โˆš5 = 44โ€ CA =

CA =

โˆ’ ๐ธ๐ด ๐‘ 10" 5

= + 2โ€

Sumatoria

394,75

๏ขi = Lad โ€“ Lat ๏ฑADEL = ๏ฑATR + Angulo Vรฉrtice (๏ข) ๏‚ฑ 180ยบ D12 = 100 ๏‚ท (LSup - LInf ) ๏‚ทSen2 (๏ชv) ๏„N12 = D12 ๏‚ท Cos ๏ฑ12 ๏„E12 = D12 ๏‚ท Sen ๏ฑ12

113,39

113,35

EN = + 0,04

142,97

143,01

EE = - 0,04

EL = ๏ƒ– (0 ,04 )2+ (0 ,04 )2 = 0,0566 TL = 0,10 (Dato) Como vemos la TL > EL ok. CpN =

38,20 = 0,003

CpE =

53,40 = 0,005

โˆ’ 0,04 394,75

96,20 = 0,010 102,75 = 0,011 104,20 = 0,011

38,20 = 0,003 53,40 = 0,005

+ 0,04 394,75

96,20 = 0,010 102,75 = 0,011 104,20 = 0,011

106


1500

1460

1420

1380

1340

Planimetría

1160

1160

1120

1120

D N

A = 668,326

mts2

1080

1080 AB

1040 A

1040

B

C

1500

1460

1420

1380

1000

1340

1000

Esc.1: 100 107


Planimetría

3.2.- POLIGONALES ABIERTAS F ( EF ; NF) A ( EA ; NA ) C E ( EE ; NE ) B ( EB ; NB )

D

Se conocen siempre las Coordenadas Cartesianas de dos Vértices al comienzo y dos al final de la poligonal ó el acimut inicial y final, en campo se tomas las medidas de las distancias entre vértices y los ángulos entre las alineaciones. En caso de conocer las Coordenadas Cartesianas, encontramos los azimutes por: EAB Tg RAB =

EAB implica que:

RAB = Arctg.

NAB

NAB

Recordando que el Acimut depende del Rumbo y del cuadrante en donde este la alineación obtenemos por esta fórmula el i (AB), y el f

(EF) , luego la Corrección

Angular vendrá por: Teoricamente: EF

= AB + B + C + D + E - 4180º EF - AB = i - N180º

Esquema de Calculo Parte Angular 1.- Calculo de los ángulos Horizontales 2.- Calculo del Acimut Inicial y Final 3.- Error de Cierre Angular 4.- Tolerancia Angular 5.- Corrección Angular 6.- Determinación de los Acimut

Parte lineal 7.- Calculo de las Proyecciones 8.- Error de Cierre Lineal 9.- Tolerancia Lineal 10.- Compensación de las Proyecciones 11.- Calculo de las Coordenadas

108


PlanimetrĂ­a

PROBLEMA DE POLIGONAL ABIERTA La poligonal abierta BCDE, ha sido enlazada por sus vĂŠrtices extremos B y E de coordenadas conocidas, a los vĂŠrtices A y F cuyas coordenadas tambiĂŠn se conocen. SegĂşn los datos suministrados, se pide: Calcular las coordenadas de los vĂŠrtices C y D y dibujar el plano a Escala 1: 10000 Pto.

Dist.

A B

Angulo Horizontal

COORDENADAS NORTE ESTE 1.000,0000 1.000,0000 875,0000 300,0000

333Âş40â&#x20AC;&#x2122;51â&#x20AC;?

TOLERANCIAS

TA = 10â&#x20AC;?ď&#x201A;ˇ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;

243,168 TL = 1â &#x201E;4.500

208Âş20â&#x20AC;&#x2122;03â&#x20AC;?

C 945,697

254Âş06â&#x20AC;&#x2122;48â&#x20AC;?

D 167,134

57´º41â&#x20AC;&#x2122;24â&#x20AC;?

E F

1.000,0000 1.500,0000 1.300,0000 1.700,0000

PROCEDIMIENTO DE CĂ LCULO 1.- CALCULO DE LOS Ă NGULOS HORIZONTALES El ĂĄngulo vendrĂ­a dado por: ď ˘i

=

Lad â&#x20AC;&#x201C; Lat

; pero en este caso se estĂĄn dando

directamente. 2.- CALCULO DEL ACIMUT INICIAL Y FINAL N ď ąi W

A

E

ď ąi = 180Âş + Arctg.

300â&#x2C6;&#x2019;1000 875â&#x2C6;&#x2019;1000

= 259Âş52â&#x20AC;&#x2122;31â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;,18

B S N F ď ąf ď ąf = W

E

Arctg.

1700â&#x2C6;&#x2019;1500 1300â&#x2C6;&#x2019;1000

= 33Âş41â&#x20AC;&#x2122;24â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;,24

E

109


Planimetrรญa

3.- ERROR DE CIERRE ANGULAR ๏ฑAB

= 259ยบ 52โ€™31โ€ (CONTROL) ๏ฑCD + ๏ขD + ๏ขB = 333ยบ40โ€™51โ€ - 180 - 540 = 540ยบ ๏ฑDE ๏ฑBC = 53ยบ33โ€™22โ€ + ๏ขE + ๏ขC = 208ยบ20โ€™03โ€ - 180 - 180 = 180ยบ ๏ฑEF ๏ฑCD = 81ยบ53โ€™25โ€ EL ACIMUT FINAL CONTROL ๏ฑEF EA De igual manera utilizando la formula

= 81ยบ53โ€™25โ€ = 254ยบ06โ€™48โ€ = 180ยบ = 156ยบ00โ€™13โ€ = 57ยบ41โ€™24โ€ = 180ยบ = 33ยบ41โ€™37โ€(CALCULADO) = 33ยบ41โ€™24โ€ = + 00ยบ00โ€™13โ€

๏ฑEF - ๏ฑAB = ๏“๏ขi - N๏‚ท180ยบ

๏“๏ขi - N๏‚ท180ยบ = 853ยบ49ยด06ยดยด - 720ยบ = 133ยบ49โ€™06โ€ ๏ฑEF - ๏ฑAB = 33ยบ41โ€™24โ€ - 259ยบ 52โ€™31โ€ = - 226ยบ11โ€™06โ€ + 360ยบ = 133ยบ48โ€™53โ€ La diferencia es = + 00ยบ00โ€™13โ€ 4.- TOLERANCIA ANGULAR T A = 10โ€๏‚ท โˆš๐‘› = 10โ€๏‚ท โˆš4 = 20โ€ > E A OK (Continuar)

5.- CORRECCION ANGULAR C A = - E A / N = โˆ’ (13โ€™โ€™) โ„4 = 3โ€,25; Se le resta al primero 4โ€™โ€™ y a los restantes 3โ€

6.- DETERMINACIร“N DE LOS ACIMUT ๏ฑLado = ๏ฑLado Anterior + Angulo Vรฉrtice (๏ข) ๏‚ฑ 180ยบ ๏ฑBC = ๏ฑAB + (๏ขB ) ๏‚ฑ 180ยบ = 259ยบ52โ€™31โ€™โ€™ + 333ยบ40โ€™47โ€™โ€™ - 540ยบ = 53ยบ33โ€™18โ€™โ€™,93

7.- CALCULO DE LAS PROYECCIONES Sur (S);

๏„NBC = DBC ๏‚ทCos ๏ฑBC

Para la proyecciรณn Este (E) y Oeste (W);

๏„EBC = DBC ๏‚ทSen ๏ฑBC

Para la proyecciรณn Norte (N) y

๏„NBC = 243,168 ๏‚ท Cos 53ยบ33โ€™18โ€ = 144,454 mts ๏„EBC = 243,168 ๏‚ท Sen 53ยบ33โ€™18โ€

= 195,611 mts 110


PlanimetrĂ­a

8.- ERROR DE CIERRE LINEAL ď &#x201E;N - (NE - NB) ď &#x201E;E - (EE - EB )

= ď&#x201A;ą EN ;

125,209 - (1.000,000 â&#x20AC;&#x201C; 875,000)

= + 0,209

= ď&#x201A;ą EE ; 1.199,823 - (1.500,000 - 300,000) = - 0,177

EL = ď&#x192;&#x2013; (EN)2 + (EE) 2

= ď&#x192;&#x2013; (0,209)2 + (0,177) 2

= 0,2739

ERL = (0,2739/0,2739) / (1.355,999/0,2739) = 1 / 4950,71

9.- TOLERANCIA LINEAL TL = đ?&#x;?â &#x201E;đ?&#x;&#x201C;. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; > EL Estamos bien OK 10.- COMPENSACIĂ&#x201C;N DE LAS PROYECCIONES

Siempre serĂĄ con la misma fĂłrmula: Tanto para la proyecciĂłn Norte como para la Este

PARA EL NORTE

Cparcial

- EL = --------- ď&#x201A;ˇ DP ď &#x201C; Dist.

PARA EL ESTE

+ (0177) â&#x2C6;&#x2019; (0,209) CN23 = 1.355.999 ď&#x201A;ˇ 243,168 = - 0,0375; CE23 = ď&#x201A;ˇ 243,168 = + 0,0317 1.355.999

ď &#x201E;NBC = 144,454 - 0,0375 = 144,4165 mts. ď &#x201E;EBC = 195,611 + 0,0317 = 195,6427 mts

11.- CALCULO DE LAS COORDENADAS NC = NB + ď &#x201E;NBC ; NC = 875,0000 + 144,4165 = 495,6427 mts EC = EB + ď &#x201E;EBC ; EC = 300,0000 + 195,6427 = 495,6427 mts

111


Planimetrรญa

(๏ขi) Angulo Corregido

Estaciรณn

Angulo Leรญdo

Corre. Angular

E

Pto. Visado

TABLA PARA EL CALCULO DE POLIGONAL ABIERTA PROYECCIONES ACIMUT

( ๏ฑ )

Dist.

+ N

S

Corr

+ E

W

Corr

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

A

A 333ยบ40โ€™51โ€ - 4โ€

B

208ยบ20โ€™03โ€ - 3โ€

195,61

+ 0,032

53ยบ33โ€™18โ€

243,168

144,45

0,038

133,44

0,146

936,24

+ 0,123

67,98

+ 0,022

144,42

945,697

875,00

300,00

1.019,42

495,64

195,64

208ยบ20โ€™00โ€ C 133,30

936,36

254ยบ06โ€™45โ€ D

1.152,71 1.432,00

156ยบ00โ€™03โ€ 57ยบ41โ€™24โ€ - 3โ€

E

E

259ยบ52โ€™31โ€ 333ยบ40ยด47ยดยด B

81ยบ53โ€™18โ€ 254ยบ06โ€™48โ€ - 3โ€

D

N

1.000,00 1.000,00

-

C

COORDE.

167,134

152,69

0,026

57ยบ41โ€™21โ€ E

152,71

68,00 1.000,00 1.500,00

33ยบ41โ€™24โ€ F

1.300,00 1.700,00

F

๏“๏ขi = 853ยบ49โ€™06โ€ EA = 13โ€ TA = 10โ€๏ƒ–4 = 20โ€ EA < TA CA =

CA =

โˆ’ ๐ธ๐ด ๐‘ โˆ’ 13" 4

= - 3,25โ€

Sumatoria

1356,00

๏ขi = Lad โ€“ Lat ๏ฑEF = Arctg. (200 /300 ) = 33ยบ41โ€™24โ€ ๏ฑAB = 180ยบ + Arctg. (700 /125 ) = 259ยบ52โ€™31โ€ (๏ฑf - ๏ฑi ) = - 226ยบ11โ€™07โ€ (๏ฑf - ๏ฑi ) = - 226ยบ11โ€™07โ€ + 360ยบ = 133ยบ48โ€™53โ€ EA = ๏“๏ข i - N๏‚ท180ยบ - (๏ฑf - ๏ฑi ) 853ยบ49โ€™06โ€ - 4๏‚ท180ยบ - (133ยบ48โ€™53โ€) = 13โ€ EA = + 00ยบ00โ€™13โ€

277,90

152,69

๏„N = 125,21 NE โ€“ NB = 125,00 ELN = + 0,21

1199,82

๏„E = 1.199,82 EE โ€“ EB = 1.200,00 ELE = - 0,18

EL = ๏ƒ– (0 ,21 )2+ (0 ,18 )2 = 0,275 ๏ƒž ER =1/ 4937,31 EL > TL ; ok TL = 1โ„4.500 0,038 0,032 โˆ’ 0,21 0,146 CpE = + 0,18 โ€ขDp 0,123 CpN = โ€ขDp 1356,00 1356,00 0,026 0,022

112


1800

1440

1000

200

600

Planimetría

2200

2000

1800

1800

N

N

1400

1400 F f = EF = 33º41’24”

D

C 1000

A

1000 AB = 259º52’31”

E

B

1800

1440

1000

600

600

200

600

Esc: 1:10000 113


PlanimetrĂ­a

AUTOEVALUACION NÂş 7 1) Calcular las coordenadas faltantes de la siguiente poligonal: 2) Pto. Distanc. Angulo COORDENADAS DATOS Horizontal NORTE ESTE 1 253Âş11â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 591,50 119,70 96,80 2 239Âş26â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 12 = 20Âş30â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 90,85 3 254Âş46â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? TA = 3â&#x20AC;&#x2122;ď&#x201A;ˇ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018; 100,10 4 263Âş21â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? TL = 0,05 ď&#x201A;ˇ â&#x2C6;&#x161;Dt 121,85 5 249Âş21â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? Los ĂĄngulos Horizontales son Externos 79,50 1

ď ą

3) Calcular las coordenadas faltantes de la siguiente poligonal: 4) Pto Distanc Ă ngulo COORDENADAS DATOS Horizontale NORTE ESTE s 1 121Âş00â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 45,00 10,00 44,00 2 94Âş18â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 12 = 153Âş15â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 55,85 3 59Âş05â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? TA = 1â&#x20AC;&#x2122;,1ď&#x201A;ˇ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018; 70,21 4 85Âş35â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? TL = 0,003 ď&#x201A;ˇâ&#x2C6;&#x161;Dt + 0,0004ď&#x201A;ˇDt 28,30 1 Los Ă ngulos Horizontales son internos.

ď ą

3) Calcular las coordenadas faltantes de la siguiente poligonal: Pto Distanc Ă ngulos COORDENADAS DATOS Horizontal NORTE ESTE 1 520,18 133,18 145,83 250Âş01â&#x20AC;&#x2122;18â&#x20AC;? 12 = 147Âş58â&#x20AC;&#x2122;48â&#x20AC;? 2 40,23 300Âş23â&#x20AC;&#x2122;11â&#x20AC;? TA = 00Âş08â&#x20AC;&#x2122;13â&#x20AC;? 3 70,84 273Âş15â&#x20AC;&#x2122;46â&#x20AC;? TL = 380,00 mts 4 125,18 256Âş19â&#x20AC;&#x2122;37â&#x20AC;? Los ĂĄngulos Horizontales son externos 1

ď ą

114


PlanimetrĂ­a

4) Encontrar las coordenadas faltantes de la siguiente poligonal: Pto. Dist. Angulo COORDENADAS TOLERANCIAS Horizontal NORTE ESTE 1 218,18 82,76 2 75Âş15â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 184,16 124,76 TA = 6â&#x20AC;&#x2122;ď&#x201A;ˇ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018; + 17,11 57,20 3 284Âş30â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 57,10 TL = 0,11ď&#x201A;ˇ â&#x2C6;&#x161;Dt 4 64Âş50â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 58,15 5 126Âş12â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 53,09 6 252Âş15â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 298,11 171,32 7 338,91 197,32

5) Calcular las coordenadas faltantes de la siguiente poligonal: Pto. Dist Angulo COORDENADAS TOLERANCIAS Horizontal NORTE ESTE 1 1.000,00 1.000,00 2 175Âş37â&#x20AC;&#x2122;48â&#x20AC;? 821,38 931,02 TA = 48â&#x20AC;? 178,75 3 223Âş19â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? TL = 0,3 ď&#x201A;ˇâ&#x2C6;&#x161;Dt 123,21 4 188Âş29â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 140,80 5 191Âş08â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 535,38 646,88 6 505,81 484,50

6) Encontrar las coordenadas faltantes de la siguiente poligonal: Pto. Dist. Angulo COORDENADAS TOLERANCIAS Horizontal NORTE ESTE 1 514,40 404,80 2 105Âş28â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 457,93 459,33 TA = 5â&#x20AC;&#x2122;ď&#x201A;ˇâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018; 66,20 3 262Âş48â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? TL = 0,10 ď&#x201A;ˇâ&#x2C6;&#x161;Dt 53,20 4 225Âş23â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 50,60 5 79Âş53â&#x20AC;&#x2122;00â&#x20AC;? 67,80 6 107Âş07â&#x20AC;&#x2122;58â&#x20AC;? 396,58 607,27 7 465,49 628,12 115


Planimetría

RESPUESTA A LA AUTOEVALUACION 7 1) Se trata de un Poligonal Cerrada

1

253º11’00”

- 1’

(i) Angulo Corregido 253º10’00”

(  )

239º26’00”

-1’

239º25’00”

254º46’00”

-1’

254º45’00”

4

263º21’00”

263º20’00”

249º21’00”

-1’

(n+2) 180º = 1.260º EA = + 5’ TA = 3’√5 = 6’,70 TA > EA ok CA = 5’/5 = - 1’

+ E

W

Corr e

96,80

90,67

+ 0,05

15,91

+ 0,05

33,90

+ 0,07

89,45

+ 0,07

42,83

+ 0,07

90,72

90,85

100,10

90,47

+ 0,05

64,57

+ 0,06

+ 103,33 0,08

121,85

+ 0,04

+ 63,21 0,06

Sumatoria 

79,50

489,10

48,21

15,96

154,79

155,04

EN = - 0,25

166,18

N

E

591,50

119,70

682,22

153,67

968,18

243,19

607,76

286,09

543,25

182,84

591,50

119,70

89,52

90,42

64,51

48,25

COORDENAD

33,97

42,90

103,25

249º20’00” 5 307º20’00”

i = 1.260º05’00”

Corre

4 238º00’00”

5

S

3 154º40’00”

-1’

+ N

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

2 79º55’00”

3

PROYECCIONES

1 20º30’00”

2

Distancia

ACIMUT Estación

Angulo Leído

Corre. Angul

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CÁLCULO DE POLIGONALES CERRADA

63,15

166,54

EE = - 0,36

EL =  (0 ,25 )2 + (0 ,36 )2 = 0,44 TL = 0,05√Dt = 0,05  √489,10 =1,11 Como vemos la TL > EL ok. 96,80 = 0,05 CpE = CpN = 0,25/489,10

90,85 = 0,05 100,10 = 0,05 121,85 = 0,06 79,50 = 0,04

0,44/489,10

96,80 = 0,07 90,85 = 0,07 100,10 = 0,07 121,85 = 0,08 79,50 = 0,06

116


Planimetría

2) Se trata de un Poligonal Cerrada

(i) Angulo Corregido

1

121º00’00”

+ 30”

121º00’30” 1

2

94º18’00”

+ 30”

94º18’30” 2

3

59º05’00”

+ 30”

59º05’30” 3

+ 30”

85º35’30” 4

Distancia

Angulo Leído

Estación

ACIMUT Corrección Angular

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CÁLCULO DE POLIGONALES CERRADA (  )

153º15’00”

55,85

306º39’00” 85º35’00”

70,21

212º14’00” 5

i = 359º58’00” (n-2) 180º = 360º EA = - 2’ = 120” TA = 1’,1√4 = 2’,2 TA > EA ok CA = 120”/4 = + 30”

+ N

44,00

67º33’30”

4

PROYECCIONES S

39,29

21,32

Corre

+ E

Corre

19,80

39,29

51,62

41,91

28,30

W

21,32

56,33

23,94

15,09

5 Sumatoria

198,36

63,23 EN = 0,00

63,23

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

COORDEN AD N E 45,00

10,00

5,71

29,80

23,03

81,42

68,94

25,09

45,00

10,00

19,80

51,62

41,91

56,33

23,94

15,09

71,42 71,42 EE = - 0,00

EL =  (0 ,00 )2 + (0 ,00 )2 = 0,00 TL = 0,003  √Dt + 0,0004Dt TL = 0,003  √198,36 + 0,0004198,36 = 0,05 Como vemos la TL > EL ok. como no hay Error no se produce correcciones

117


Planimetría

3) Se trata de un Poligonal Cerrada

1

2

3

4

250º01’18” 300º23’11” 273º15’46”

256º19’37”

(i)

+ 2”

250º01’20” 1

+ 2”

+ 2”

+ 2”

Estación

Angulo Corregido

(  )

147º58’48”

i = 1.079º59’52”

PROYECCIONES + N

S

+ E

Corre

W

Corre

145,83

+ 123,64 84,62

40,23

+ 1,15 23,35

70,84

+ 70,81 41,11

+ 2,02 16,19

125,18

+ 26,12 72,64

+ 122,43 28,62

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

+ 33,34

77,32

39,02

268º22’01”

40,21

+ 9,20

22,20

29,70

5 Sumatoria 

382,08

0,00

221,72

77,32

(n+2) 180º = 1080º EA = - 00º00’08” TA = 00º08’13” TA > EA ok

EN = - 221,72

CA = 8”/4 = + 2”

Como vemos la TL > EL ok. 145,83 = 84,62 CpE = CpN =

E

520,18

133,18

481,16

243,84

503,36

212,83

473,66

227,00

520,18

133,18

14,17

256º19’39” 4 46,52

N

31,01

273º15’48” 3 181º37’49”

COORDENAD

10,66

300º23’13” 2

257º57’28” 5

Distancia

ACIMUT

Angulo Leído

Corrección Angular

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CÁLCULO DE POLIGONALES CERRADA

93,81

164,66

EE = - 87,34

EL =  (221,72 )2 + (87,34 )2 = 238,30 TL = 380,00

221,72/382,08

40,23 = 23,35 70,84 = 41,11 125,18 = 72,64

87,34/382,08

145,83 = 33,34 40,23 = 9,20 70,84 = 16,19 125,18 = 28,62

118


Planimetría

4) Se trata de una Poligonal abierta

1

(i) Angulo Corregido

(  )

Distancia

ACIMUT Estación

Angulo Leído

Corrección Angular

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CALCULO DE POLIGONAL ABIERTA PROYECCIONES + N

S

Corre

+ E

W

Corre

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

1

COORDENAD.

N

E

218,18

82,76

129º00’27” 2

75º15’00”

+ 8'

75º23’00” 2

184,16 124,76 24º23’27”

3

284º30’00”

+ 5’

64º50’00”

+ 5’

126º12’00”

+ 5’

252º15’00”

+ 5’

44,39

0,36

13,96

0,36

52,23

23,26

57,10

+ 35,91 0,14

58,15

56,45

+ 0,14

40,77

+ 0,13

35,77

44,03

64º55’00” 4

200,62 192,05 56,59

13,60

126º17’00” 5

257,21 205,65 320º10’27”

6

23,62

236,39 148,02

13º53’27” 5

52,09

0,36

284º35’00” 3 128º58’27”

4

57,20

+ 0,14

53,09

34,00 0,33

252º20’00” 6

40,90

34,33 298,11 171,32

32º30’27” 7 i = 803º02’00” EA = - 28’ TA = 6√5 + 17,11 = 30,52

EA < TA CA = 28/5 = + 5’,36

7 12 67 (f EA

= 180º - Arctg. (42,00/34,02 ) = 129º00’27” = Arctg. (26,00/40,80 ) = 32º30’27” - i ) = -96º30’00” + 360º = 263º30’00” = i - N180º - (f - i )

i - N180º = 803º02’00” - 5180º = - 96º58’00” i - N180º = - 96º58’00” + 360º = 263º02’00” EA = 263º02’00” - 263º30’00” = - 00º28’00” EA = - 00º28’00”

338,91 197,32  225,54 149,31 35,91 N = + 113,40

81,97 34,00 E = + 47,97

N6 – N2 = 113,95 E6 – E2 = 46,56 ELN = - 0,55 ELE = + 1,41 EL =  (0 ,55 )2+ (1,41 )2 = + 1,41 TL = 0,11√225,54 = 1,65 TL > EL oK CpN = + 0,55/225,54

57,50 51,10 58,15 53,09

= = = =

+ 0,14 + 0,14 + 0,14 + 0,13

CpE = - 1,41/225,54

57,50 51,10 58,15 53,09

= = = =

- 0,36 - 0,36 - 0,36 - 0,33

119


Planimetría

5) Se trata de una Poligonal abierta

1

Angulo Corregido

(  )

Distancia

ACIMUT

(i)

Estación

Angulo Leído

Corrección Angular

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CALCULO DE POLIGONAL ABIERTA PROYECCIONES + N

S

Corre

+ E

W

Corre

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

1

COORDENAD.

N

E

1.000,00

1.000,00

821,38

931,02

649,47

881,61

587,47

776,28

535,38

646,88

505,81

484,50

201º06’56” 2

175º37’49”

175º37’49” 2 196º44’45”

3

223º19’00”

188º29’00”

191º08’00”

133,21

61,49 0,51

+ 106,77 1,44

140,80

51,50 0,59

+ 131,04 1,64

171,91

49,41

62,00

106,77

188º29’00” 4 248º32’45”

5

+ 51,50 2,09

223º19’00” 3 240º03’45”

4

178,75

171,17 0,74

191º08’00” 5

52,09

131,04

259º40’45” 6 i = 778º33’49” EA = 00º00’00” TA = 48” EA < TA CA = 0/4 = 0

6 284,16 N = - 284,16 NE – NB = - 286,00 ELN = + 1,84 EL =  (1,84 )2+ (5,17 )2

289,31 E = - 289,31 EE – EB = - 284,14 ELE = - 5,17 = 5,49 TL > EL oK

TL = 0,3√442,76 = 6,31 171,17 = - 0,74 CpN = CpE = 61,46 = - 0,51 - 1,84/442,76

51,50 = - 0,59

+ 5,17/442,76

171,17 = + 2,09 61,46 = + 1,44 51,50 = + 1,64

120


Planimetría

6) Se trata de una Poligonal abierta

(i) Angulo Corregido

1

(  )

Distancia

ACIMUT Estación

Angulo Leído

Corrección Angular

E

Punto Visado

TABLA PARA EL CALCULO DE POLIGONAL ABIERTA PROYECCIONES + N

S

Corre

+ E

W

Corre

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

1

COORDEN.

N

E

514,40

404,80

457,93

459,33

489,48

517,36

446,14

548,32

396,23

539,63

396,58

607,27

465,49

628,12

136º00’05” 2

105º28’00”

+ 2’

105º30’00”

2 61º30’05”

3

262º48’00”

+ 2’

262º50’00”

225º23’00”

+ 2’

225º25’00”

79º53’00”

+ 2’

79º55’00”

107º07’58”

+ 2’

107º09’58”

31,08

0,12

31,55

58,03

53,30

43,30 0,04

50,60

49,87 0,03

8,57 0,12

67,80

0,05

0,16

43,34

30,96

49,91

8,69

5 89º40’05”

6

58,18

4 189º45’05”

5

31,59

0,15

3 144º20’05”

4

66,20

0,04

0,39

67,80

6

0,34

67,64

16150’03” 7 i = 780º39’58” EA = - 10’ TA = 5’√5= 11’,18 EA < TA CA = + 10’/5 = + 2’

7 12 67 (f EA

= 180º - Arctg. (54,53/56,47 ) = 136º00’05” = Arctg. (20,85/68,91 ) = 16º50’03” - i ) = - 119º10’02” + 360º = 240º49’58” = i - N180º - (f - i )

i - N180º = 780º39’58” - 5180º = - 119º20’02” i - N180º = - 119º20’02” + 360º = 240º39’58” EA = 240º49’58” - 240º39’58”” = - 00º10’00” EA = - 00º10’00”

 237,90

31,98

93,17

157,06

8,57

N = - 6 1,19

E = + 148,49

N6 – N2 = - 61,35 ELN = + 0,16

E6 – E2 = + 147,94 ELE = 0,55

EL =  (0 ,16 )2+ (0,55 )2 = 0,57 TL = 0,10√237,90 = 1,54 TL > EL oK 66,20 = - 0,04 CpN = CpE = 53,30 = - 0,04 - 0,16/237,90

50,60 = - 0,04 67,80 = - 0,04

- 0,55/237,90

66,20 53,30 50,60 67,80

= - 0,15 = - 0,12 = - 0,12 = - 0,16

121


Planimetría

UNIDAD VIII ÀREA Ò SUPERFICIES Uno de los principales objetivos de los levantamientos topográficos y de carácter indispensable en trabajos o proyectos de ingeniería es la determinación del área de las zonas o parcelas a que el levantamiento se refiere la cual vendrá dada por los cálculos respectivos. Pero de igual manera, estas áreas también pueden encontrarse sobre mapas. Y dependiendo de la escala del mapa y del método o instrumento utilizado, será también la precisión del resultado obtenido. En esta unidad se pretende conocer y aprender los métodos para el cálculo de áreas, establecer el grado de precisión entre los diferentes métodos e interpretar los resultados y su posterior aplicación. OBJETIVO GENERAL:

Desarrollar los diferentes Métodos para calcular el área de cualquier terreno en base a sus coordenadas y la escala del plano en el que se encuentra dibujada.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Adquirir los conocimientos básicos que permitan calcular el área de un terreno por medio de métodos analíticos y gráficos.

122


Planimetría

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DEL OBJETIVO DE LA UNIDAD VIII

1. Identifica y analiza la conducta que se pretende lograr con el objetivo general de esta Unidad.

2. Con la información que adquieras estarás en condiciones de leer para buscar indicadores referentes al tema en estudio.

3. Lee la información que se te presenta en el desarrollo de la unidad, coméntalas con tu grupo de estudio y obtén conclusiones.

4. Completa la información obtenida con la lectura de: Casanova L. Topografía Plana. (2002) Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Vías. Mérida, Venezuela. Torres A. Topografía. (2004) Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá, Colombia. Alcántara D. ( 1998) Topografía. Mc Graw Hill. México. Delgado M. ; Charfolé J. F. Martín J. ; Santos G. (2000) "Problemas resueltos de Topografía" (Ediciones Universidad de Salamanca).

5. Después de leer y analizar la información indicada, realiza las actividades propuestas en la sugerencia didáctica que aparece al final de la lectura.

6. De tener dificultad en algún aspecto consulta con el grupo y/o el facilitador.

7. Autoevalúate, respondiendo los planteamientos señalados en la autoevaluación Nº 8. 8. Verifica tus logros alcanzados, comparando los resultados de la autoevaluación con las respuestas al final de la experiencia de aprendizaje.

123


Planimetría

CONTENIDO DE INFORMACION DE LA UNIDAD VIII ÁREA ó SUPERFICIES

1.- AREAS Antes de entrar en detalles sobre los métodos que se emplean en la medición de áreas, debemos recordar que en Topografía siempre que se hable de la Superficie de un Terreno, se sobrentiende que se trata de la Superficie en Proyección Horizontal de dicho terreno y no la verdadera superficie, pues ésta sufre variaciones por los continuos cambios a que esta sometidos aquellos, mientras que la superficie horizontal es absolutamente invariable; además, la verdadera medida resulta en extremo difícil.

1.1.- COORDENADAS CARTESIANAS

Y

V2 V1

V3 V’1

V’2

V’3

X

A = V’1 V1 V2 V’2 + V’2 V2 V3 V’3 - V’1 V1 V3 V’3 A = ½(Y1 + Y2 )(X2 - X1) + ½(Y2 + Y3 )(X3 - X2 ) - (Y1 + Y3 )(X3 - X1) A = ½(Y1 + Y2 )(X2 - X1) + ½(Y2 + Y3 )(X3 - X2 ) + (Y1 + Y3 )(X1 - X3) Para “n ’’ Vértices n=N

A = ½ 

(Yn + Yn +1 )  (Xn + 1 - Xn)

n=1

Desarrollando el Producto obtenemos la Formula de GAUSS

n=N

A = ½  Yn  (Xn + 1 - Xn – 1 ) n=1

124


Planimetría

Se enuncia como: La semisuma de la sumatoria de los productos de la ordenada de cada uno de los vértices por la diferencia entre la abscisa de vértice “adelante” y la abscisa del vértice “Atrás”. Siempre en sentido horario.

En forma gráfica: AT = ½ ( Pto.

)

COORDENADAS NORTE ESTE

1

N1

E1

A1 = (N1  E2 + N2  E3 + N3  E4 + N4  E1 )

2

N2

E2

A2 = (E1  N2 + E2  N3 + E3  N4 + E4  N1 )

3

N3

E3

AT = ½(A1 - A2)

4

N4

E4

AT = ½  N1  (E2 - E4 ) + N2  (E3 - E1 ) + 

1

N1

E1

Expresión que es igual a la anterior:

+ N3  (E4 - E2 ) + N4  (E1 - E3 ) 

n=N

A = ½  Nn  (En + 1 - En – 1) n=1

Ejemplo: Producto de los cálculos de una poligonal se obtuvieron los siguientes resultados Pto. 1

3  180 ; 120 

COORDENADAS NORTE ESTE 40 40 2  150 ; 20 

2

150

20 4  60 ; 160 

3

180

120

4

60

160

1

40

40

1  40 ; 40 

Por Formula de GAUSS AT =½40 (20 - 160) + 150 (120 – 40) + 180 (160 – 20) + 60 (40 – 120) = 13.400 mt2 125


Planimetría

Por el método Cruzado AT = ½(A1 - A2) AT = ½   (40 20 + 150120 + 180160 + 6040 ) – (40150 + 20180 + 12060 + 16040) AT = ½  26.800 = 13.400 mt2

1.2.- COORDENADAS POLARES A = ½DAC  H

B

H = DBC  Sen  H = DBC  Sen (BC - AC )

H A

DBC A = ½ DAC  DBC  Sen (BC - AC) BC 

DAC AC

C Las fórmulas para el cálculo de Áreas por Coordenadas Polares, consistirá en descomponer el área dada en triángulos, de los cuales se miden los lados que convergen en el punto de estación (Polo) y el ángulo comprendido entre ellos. (Acimut). Se distinguen dos casos, según el polo sea interno ó externo al polígono.

A.- CUANDO EL POLO ES EXTERNO

1 1 2 3

2

D1 D2 3 D3

P = POLO

A = ½D1D2 Sen (2 - 1 ) + ½ D2  D3  Sen (3 - 2 ) - ½ D3  D1  Sen (3 - 1 ) Para el sumando con signo ( - ), recordemos que: - Sen  = Sen ( -  ) , tendremos: 126


Planimetría

A = ½ D1 D2 Sen (2 - 1 ) + ½D2 D3 Sen (3 - 2 ) + ½ D3  D1 Sen (1 - 3 ) n=N

A = ½   Dn Dn + 1  Sen ( n +1 - n )

Para N Vértices podemos generalizar:

n=1

B.- CUANDO EL POLO ES INTERNO 1 2 3

3

A=

½D1  D2  Sen (2 - 1 ) + ½D2 D3  Sen (3 - 2 ) + ½D1 D3  Sen (360º - 3 ) + 1 ) (360º - 3) + 1) = (1 - 3)

Siendo 2- 3

3-1 Generalizando tenemos:

1-2 2

n=N

1

A = ½  Dn Dn + 1  Sen ( n +1 - n ) n=1

2 Ejemplo: 4 3 2 1

1 3 D1

D2 D3 4

Ver

D4

COORDENAS POLARES

ANGULOS 1 1º 03’ 36’’ 2 3 4 1

29º 22’ 12’’ 55º 43’ 48’’ 90º 57’ 36’’ 1º 03’ 36’’

DISTANC 50,00

❶ Dn Dn + 1

 = ( n +1

❷ - n ) Sen(  )

❶❷

3.335,00

28º 18’ 36’’

0,4745

1.581,46

5.169,25

26º 21’ 36’’

0,4440

2.295,15

5.440,50

35º 13’ 48’’

0,5769

3.138,62

3.510,00

89º 54’ 00’’

0,9999

- 3.509,65

66,70 77,50 70,20 50,00 2A A

3.505,58 1.752,79 mts2 127


Planimetría

Nota: recordemos que cuando se trata del cálculo de áreas por coordenadas polares, uno o varios valores del producto ❶  ❷ pueden dar negativos entonces: Si se trata de polo interno todos los resultados que den negativos se le cambia por positivos, mientras que si se trata de polo externo todos los resultados negativos serán mantenidos con su signo. 1.3.- DETERMINACIÓN DE ÁREAS CON PLANÍMETRO

El Planímetro es un instrumento que permite determinar directamente el área de una figura cerrada, siguiendo el Perímetro y leyendo el resultado en un contador.

Los elementos esenciales son un punto de anclaje llamado Polo (P), un brazo polar, un brazo graduado, con lupa e índice de medición ( T ), y un contador rodante ( R ) cuyas graduaciones se hallan sobre un pequeño tambor.

Para usar el instrumento, el Polo se coloca en una posición conveniente fuera del área y el índice de medición se pone sobre el Perímetro. Entonces se lee el contador para tener una lectura inicial la cual se anota luego el índice de medición se desplaza cuidadosamente a lo largo del Perímetro, hasta llegar al punto inicial y mientras tanto la pieza rodante girará y se deslizara. Al terminar el circuito se anota la lectura final. La diferencia entre las dos lecturas será una medida del área dentro del perímetro recorrido. Deberá hacerse dos o más determinaciones del Área para verificar y asegurar resultados exactos.

Ejemplo.Se usó un Planímetro Polar de brazo fijo para determinar el área de un predio dibujado a Escala 1: 5.000, la lectura inicial en el planímetro fue de 5.678 y la final de 7.215. Si una unidad de las anteriores equivale a 0,1 cm2, halle el área del terreno. A = (7.215 - 5.678)  0,1 = 153,7 cm2 Si la Escala dice: 1: 5.000

128


Planimetría

Indica que:

1 cm en el plano equivale a 5.000 cm en el terreno 1 cm en el plano equivale a 50,00 mt en el terreno 1 cm2 en el plano equivale a 2.500 mt2 en el terreno

Área del terreno = 153,7 cm2  2.500 mt2  1 Ha / 10.000 mt2 = 38,425 Ha 1.3.- DETERMINACIÓN DE ÁREAS POR METODO DE CONTEO DE CUADROS Tanto este método como el anterior se aplican mucho cuando la figura que se forma con el levantamiento Topográfico es irregular presentando figuras como curvas, etc. Por tanto lo más importante es conocer la Escala a la cuál fue dibujada la superficie levantada topográficamente. Para la aplicación de este método se hace necesaria la utilización de papel milimetrado transparente. El cual se coloca encima de la figura para luego contar la cantidad de centímetros cuadrados completos presentes en él y sumarle los incompletos, que por regla general dos incompletos forman uno completo. Siempre se efectúan varios reconteos de los puntos observados para sacarle un promedio de los mismos. Luego multiplique el total de cuadros contados por el número de mt2 asignados de un solo cuadro. Ejemplo: Para cierta figura en Escala 1: 5.000 se obtuvo que: Cuadros

completos = 38

= 38,00

Cuadros incompletos = 45 /2 = 22,50; Lo cual implica un total de: 60,50 cm2 Si la Escala dice: 1: 5.000 Indica que:

1 cm en el plano equivale a 5.000 cm en el terreno 1 cm en el plano equivale a 50,00 mt en el terreno

Elevando ambos miembros al cuadrado 1 cm2 en el plano equivale a 2.500 mt2 en el terreno Por regla de tres: 1 cm2  2.500 mt2 60,50 cm2  X 2 Área del terreno = 60,50 cm  2.500 mt2  1 Ha / 10.000 mt2 = 15,125 Ha 129


Planimetría

AUTOEVALUACION Nº 8

1) Dadas las coordenadas rectangulares calcular la correspondiente área: n=N

Por el método GAUSS, es decir por formula: A = ½ •

Nn• (En + 1 - En - 1)

n=1

COORDEADAS Vértice NORTE ESTE 1 45,00 10,00 2 5,71 29,80 3 27,03 81,42 4 68,94 25,09

2) Calcular la correspondiente área, por el Método de la Multiplicación Cruzada. Vértice 1 2 3 4 5 6

COORDEADAS NORTE ESTE 100,00 100,00 265,69 260,74 427,58 237,35 500,63 222,20 246,98 58,30 111,13 55,28

130


Planimetría

3) Dadas las Coordenadas Polares calcular la correspondiente área: Polo Interno n=N

por formula: A = ½ •

∑ ( Dn • Dn + 1) • Sen ( θn+1 - θn ) n=1

Vértice 1

COORDENADAS DIST. ANGULOS 45,00 10º20’30”

2

65,00

30º28’15”

3

78,25

66º44’03”

4

36,78

89º33’17”

4) Se usó un planímetro polar para determinar el área de una parcela el cual: Se encontraba dibujado a escala Esc. 1: 7.500 La lectura inicial en el planímetro fue de

245

La lectura final en el planímetro fue de 4.520 Sabiendo que una unidad de las anteriores equivale a 0,1 cm 2

131


Planimetría

5) Determinar el área por el método de conteo de cuadros, sabiendo que la gráfica esta Hecha en la siguiente escala: Esc. 1: 8.300

132


Planimetría

RESPUESTA A LA AUTOEVALUACION Nº 8

1) Dadas las coordenadas rectangulares calcular la correspondiente área: n=N

Por el método GAUSS , es decir por formula: A = ½ •

Nn•

( En + 1

- En - 1 )

n=1

4

68,94 25,09 COORDEADAS Vértice NORTE ESTE 1 45,00 10,00 2 5,71 29,80 3 27,03 81,42 4 68,94 25,09 1 45,00 10,00 2•A =

45,00•(29,80 – 25,09) + 5,71•(81,42 – 10,00) + 27,03•(25,09 – 29,80) + 68,94•(10,00 – 81,42)

A = 4.431,25/2 = 2.215,62/10.000 = 0,22 Ha

2) Calcular la correspondiente área, por el Método de la Multiplicación Cruzada. Vértice

E•N

1

COORDEADAS NORTE 100,00

26.569,00 111.824,53 118.824,53 54.878,96 6.478,88 5.228,00 323.466,58

2 3 4 5 6 1

265,69 427,58 500,63 246,98 111,13 100,00

ESTE 100,00 260,74 237,35 222,20 58,30 55,28 100,00

N•E 26.074,60 63.061,52 95.008,28 29.150,00 13.653,05 11.113,00 238.059,85

2A = 323.466,58 – 238.059,85 2A = 85.406,73 A = 42.703,37 / 10.000 = 4,27 Ha 133


Planimetría

3) Dadas las Coordenadas Polares calcular la correspondiente área: Polo Interno n=n

por formula: A = ½ •

∑ ( Dn • Dn + 1) • Sen ( θn+1 - θn ) n=1

Vértice 1 2 3 4 1

COORDENADAS DIST. ANGULOS 45,00 10º20’30” 65,00 78,25 36,78 45,00

❶ ❷ Dn • Dn + 1 ( θn+1 - θn )

(3) Sen ❷

(4 ) ❶• ❷

2.925,00

20º07’45”

0,34

1.006,60

5.086,25

36º15’48”

0,59

3.008,50

2.878,04

22º49’14”

0,39

1.116,24

1.655,10

- 79º12’47”

- 0,98

1.625,85

30º28’15” 66º44’03” 89º33’17” 10º20’30” 2A= A=

6.757,19 3.378,60 0,34 Ha

4) Se usó un planímetro polar para determinar el área de una parcela el cual: Se encontraba dibujado a escala Esc. 1: 7.500 La lectura inicial en el planímetro fue de

245

La lectura final en el planímetro fue de 4.520 Sabiendo que una unidad de las anteriores equivale a 0,1 cm 2 LFinal - LInicial = 4.520 - 245 = 4.275 Vueltas Esc. 1 cm 1 cm

: 7.500 cm :

(1 cm)2 : 1 cm2

• 0,1 cm2 /C.V = 427,5 cm2

75 mts

Elevamos al cuadrado a ambos lados

(75 mts) 2

: 5.625 mts 2

427,5 cm2 

X

se tendrá entonces que:

427,5 cm2 • 5.625 mts 2 2.404.687mts 2 • 1 Has A = --------------------------------- = ------------------------------------- = 240,47 Has. 1 cm2 10.000 mts2 134


Planimetría

5) Determinar el área por el método de conteo de cuadros, sabiendo que la gráfica esta Hecha en la siguiente Esc. 1: 8.300

Conteo de cuadros: Cuadros

completos (

Cuadros incompletos (

) = 99

= 99

) = 40 /2 = 20 ; Lo cual implica un total de : 119 cm2

Si la Escala dice: 1: 8.300

Indica que:

1 cm en el plano equivale a 8.300 cm en el terreno 1 cm en el plano equivale a 83,00 mt en el terreno

Elevando ambos miembros al cuadrado 1 cm2 en el plano equivale a 6.889,00 mt2 en el terreno Área del terreno = 119,00 cm2 6.889,00 mt2  1 Ha / 10.000 mt2 = 81,98Has 135


Planimetría

ANEXOS A.- PROBLEMAS TEÓRICO - PRÁCTICOS EN EL CÁLCULO DE ÁREAS B.- ESQUEMA Y DESCRIPCIÓN DE LAS PARTES DE UN TEODOLITO

136


Planimetría

1.- Encuentre el Área de la siguiente Poligonal Cerrada. B DBC = ? C B = 2,1160

C = 159G

DCD = ?

DAB = 68,20mts  DAtraz = 169°,00

D = ?

D DAdelante = 99°,43

6

E = ?

4,5 A = ?

DNDE = 4300 cm. +  = 15°,78

E A

6

DEA = 294,41 fts. DETERMINACIÓN DE LAS DISTANCIAS

Est. Pto Vdo B C

Lectura Mira Sup Inf 2,390 1,735

Angulo Zenital 62º 45’ 30’’

Est. C

Ls LIzq

Li 

Pto Vdo D

Lectura en la Mira Lect. Izq. Lect. Der. 258°56’44’’ 261º 17’ 28’’ L/2 tg  /2 = --------L = 2 mts DCD D LDer DCD = (L/2) Ctg  /2 /2

Sí L = 2 mts DCD = Ctg /2

 C

1 DCD = ------------tg (/2)

DBC

B C D = k  (Ls - Li)  Sen2  D = k  (Ls - Li)  Cos2  1 DCD = --------------------------------------------- = 48,85 mt Se toma K  100 Tg ( 261°17’28’’ - 258°56’44’’) / 2 DBC = 100(2,390 – 1,735) Sen2 62°45’30’’ = 51,78 mt DDE = 4300 Cos(15°,78) = 4138 = 41,38 mts.

DEA = 294,41 fts.  (0,304 mts/fts) = 89,50 mts

DETERMINACIÓN DE LOS ANGULOS A = 2Arcsen (b/2a) a=6 A a=6

b = 4,5

360°2,1160 B = ------------------2 A = 2Arcsen(4,5/12) B = 121°,24

A = 44°,05

360°159G C = --------------400 C = 143°,10

D = LADE - LATR LADE LATR DEXT

Por Norma i = (n –2) 180 = 99°,43 i = (5 - 2) 180 = 169°,00 = - 69°,57 i = 540°

+360°,00 DEXT = 290°,43 DINT=360°- 290°,43

DINT = 69°,57

Por Calculo i = 377°,96 E = 540° - 377°,96 E = 162°,04

137


PlanimetrĂ­a

1.- Encuentre el Ă rea de la siguiente Poligonal Cerrada. B

C

DBC = 51,78 mt

ď ˘B = 121°,24

ď ˘C = 143°,10 DCD =48,85 mt

A1

A2 ď ˘D = 69°57

DAB = 68,20 mts

D

A3 ď ˘E =162°,04

ď ˘A = 44°,05

DDE = 41,38 mt.

E DEA = 89,50 mts

A Ai = (½ ) ď&#x201A;ˇ b ď&#x201A;ˇ a ď&#x201A;ˇSen ( ď ˘ ) A1 = ( ½ ) ď&#x201A;ˇ 68,20ď&#x201A;ˇ51,78ď&#x201A;ˇSen(121°,24) =ď&#x20AC; 1.509,68 mts2 A2 = (½ ) ď&#x201A;ˇ 48,85ď&#x201A;ˇ41,38ď&#x201A;ˇSen( 69°,57) =

947,13 mts2

Ai = â&#x2C6;&#x161;đ??&#x2019;ď&#x201A;ˇ (đ??&#x2019; â&#x20AC;&#x201C; đ??&#x161;) ď&#x201A;ˇ (đ??&#x2019; â&#x20AC;&#x201C; đ??&#x203A;) ď&#x201A;ˇ (đ??&#x2019; â&#x20AC;&#x201C; đ??&#x153;) S = (½) ď&#x201A;ˇ(a + b +c) a = DAC = ?

La determinamos aplicando la Ley del Coseno

b = DCE = ?

DAC = ď&#x192;&#x2013; (68,20)2 + (51,78)2 - 2ď&#x201A;ˇ68,20ď&#x201A;ˇ51,78ď&#x201A;ˇCos(121°,24)

c = 89,50 mts

DAC = ď&#x192;&#x2013; 7.332,41 + 3.662,93

= 104,86 mts

DCE = ď&#x192;&#x2013; (48,85)2 + (41,38)2 - 2ď&#x201A;ˇ48,85ď&#x201A;ˇ41,38ď&#x201A;ˇCos( 69°,57) DCE = ď&#x192;&#x2013; 4.098,63 â&#x20AC;&#x201C; 1.411,20 =

51,84 mts.

S = (½ ) ď&#x201A;ˇ(89,50 + 104,86 + 51,84) = 123,10 A3 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;, đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; ď&#x201A;ˇ (123,10 â&#x20AC;&#x201C; 89,50) ď&#x201A;ˇ (123,10 â&#x20AC;&#x201C; 104,86) ď&#x201A;ˇ (123,10 â&#x20AC;&#x201C; 51,84) A3 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;, đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;ď&#x201A;ˇ33,60ď&#x201A;ˇ18,24ď&#x201A;ˇ71,26 = 2.318,64 mts2 AT = 1.509,68 + 947,13 + 2.318,64 = 4.775,45 mts2 2.- Encuentre el Ă rea de la siguiente Poligonal Cerrada (Sentido Antihorario) 138


Planimetría

EA = 234°,60

E

DE = 293,36

DDE = 51,78 mt

E = 121°,24

D

D = 143°,10

DCD =48,85 mt CD = 330°,26

DEA = 68,20 mts C = 69°57

C

BC = 80°,69 DBC = 41,38 mts AB = 98°,65 A = 44°,05

B =162°,04

B A

EAdelante = EAtraz

DAB = 89,50 mts

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS CARTECIANAS ESTE NORTE  DEntre ptos Sen AB NAdelante = NAtraz  DEntre ptos  Cos AB

EA = 500,00 EB = 500,00 + 89,50Sen( 98°,65) = 588,48 EC = 588,48 + 41,38Sen( 80°,69) = 629,31 ED = 629,31 - 48,85Sen(330°,26) = 605,08 EE = 605,08 - 51,78Sen (293°,36) = 557,54 EA = 557,54 - 68,20Sen (234°,60) = 501,95 ERROR = 501.96 - 500 = + 1,95

CÁLCULO ESTENORTE ESTE 500,00 294.240,00 588,48 306.184,49 629,31 298.443,61 605,08 298.646,30 557,54 278.090,00 500,00 1.475.604,40

NA = 500,00 NB = 500,00 - 89,50Cos ( 98°,65) = NC = 486,54 + 41,38Cos (80°,69) = ND = 493,23 + 48,85Cos (330°,26) = NE = 535,65 + 51,78Cos (293°,36) = NA = 556,18 - 68,20Cos (234°,60) = ERROR = 516.67 - 500,00 = + 16,67

486,54 493,23 535,65 556,18 516,67

DEL AREA NORTE NORTE ESTE 500,00 486,54 243.270,00 493,23 290.255,99 535,65 337.089,90 556,18 336.533,39 500,00 278.770,00 1.485.919,28 2A 10.314,88 A 5.157,44

3.- Encuentre el Área de la siguiente Poligonal Cerrada (Sentido horario) 139


Planimetría

BC = 113°36

B

CD = 150°,26

DBC = 51,78 mt

C C = 216°,90

B = 238°76 DCD =48,85 mt DE = 260°,69 DAB = 68,20 mts

D EA =278°65

D = 290°,43 DDE = 41,38 mt.

AB = 54°60

E E =197°,96 A

DEA = 89,50 mts

A = 315°95

EAdelante = EAtraz

CALCULO DE LAS COORDENADAS CARTECIANAS ESTE NORTE  DEntre ptos Sen AB NAdelante = NAtraz  DEntre ptos  Cos AB

EA = 500,00 EB = 500,00 + 68,20Sen( 54°,60) = 555,59 EC = 555,59 + 51,78Sen(113°,36) = 603,13 ED = 603,13 + 48,85Sen(150°,26) = 627,36 EE = 627,36 - 41,38Sen (260°,69) = 586,53 EA = 586,53 - 89,50Sen (278°,65) = 498,05 ERROR = 498,05 - 500 = - 1,95

CALCULO ESTENORTE ESTE 500,00 277.795,00 555,59 325.394,67 603,13 325.587,29 627,36 279.516,74 586,53 234.935,00 500,00 1.443.228,70

NA = 500,00 NB = 500,00 + 68,20Cos ( 54°,60) = 539,51 NC = 539,51 - 51,78Cos (113°36) = 518,98 ND = 518,98 - 48,85Cos (150°,26) = 476,56 NE = 476,56 - 41,38Cos (260°,69 = 469,87 NA = 469,87 + 89,50Cos (278°,65) = 483,33 ERROR = 483,33 - 500,00 = - 16,67

DEL AREA NORTE NORTE ESTE 500,00 539,51 269.755,00 518,98 288.340,10 476,56 287.427,63 469,87 294.777,64 500,00 293.265,00 1.433.565,37 2A 9.663,33 A 4.831,67

140


Planimetría

A

B

C

D

E

44°,05

162°,04

69°,57

143°,10

121°,24

i = 540°,OO (n-2) *180º = 540º EA = TA = 20”5 = 44´´ CA=

ACIMUT

Distancia

(i) Angulo Corregido

Estación

Angulo Leído

Corrección Angular

E

PuntoVisad.

TABLA PARA EL CÁLCULO DE POLIGONAL CERRADA (  )

PROYECCIONES + N

S

Corre

+ E

W

Corre

PROYECCIONES CORREGIDAS + + N S E W

COORD.

44°,05 A 98°,65

89,50

80°,69

41,38

330°,26

13,46

4,98

88,48

0,58

18,44

6,69

2,30

40,83

0,27

4,39

48,85

42,42

2,72

24,23

0,32

39,70

24,55

293°,36

51,78

20,53

2,88

47,54

0,34

17,65

47,88

234°,60

68,20

3,79

55,59

0,44

143°,10 D

121°,24 E

299,71

69,64

52,97

129,31

500,00

500,00

481,56

587,90

485,95

628,46

525,65

603,31

543,30

556,03

500,00

500,00

40,56

69°,57 C

E

87,90

162°,04 B

39,51

N

43,30

56,03

127,36

EN = + 16,67 EE = + 1,95 E =  ( 16,67 )2+ ( 1,95 )2 = 16,78 TL =

CpN = 16,67/299,71

89,50 = - 4,98 41,38 = - 2,30 48,85 = - 2,72 51,78 = - 2,88 68,20 = - 3,79

CpE = 1,95/299,71

89,50 = - 0,58 41,38 = - 0,27 48,85 = - 0,32 51,78 = - 0,34 68,20 = - 0,44

CALCULO DEL AREA 240.780,00 285.690,01 330.350,00 327.778,32 278.015,00 1.462.613,33

500,00 481,56 485,95 525,65 543,30 500,00

500,00 587,90 628,46 603,31 556,03 500,00

293.950,00 302.641,20 293.178,49 292.277,17 271.650,00 1.453.696,86 2A 8916,47 A 4.458,24 mts2

141


Planimetría

650

600

500

550

DIBUJO A ESCALA DE LA POLIGONAL CERRADA

550

550 E

N D

500 A

500 C B

650

600

550

450

500

450

ESC: 1: 10 142


PlanimetrĂ­a

143


Planimetría

DESCRIPCIÓN La Base ( 1 ) es la parte fija del instrumento y la que permite el acoplamiento al plato del Trípode

( 2 ) apoyado al suelo por tres patas extensibles ( 2’ ); la Base se apoya al Trípode

por medio de los Tornillos Nivelantes ( 3 ) en número de cuatro en los viejos modelos Keuffel, Toko, etc. y en tres en los modelos más recientes. ( 4 ) y ( 4’ ) son Tornillos de Presión y Tornillo de Coincidencia para la fijación del Circulo a la base. ( 5 ) y ( 5´ ) son Tornillos de Presión y Tornillo de Coincidencia para la fijación del Circulo a la Alidada. ( 6 ) Plomada Óptica, para el centrado óptico del punto de estación E. El correspondiente retículo es, generalmente de la forma indicada ( 6´ ). ( 7 ) Plomada Metálica ó de albañil. ( 8 ) El Circulo Horizontal lleva en su parte extrema ( 8´ = Limbo ) las incisiones de la graduación. ( 9 ) La Alidada es la parte móvil del instrumento que lleva los índices de lectura ( 9´ ) ( 10 ) y ( 11 ) Indican respectivamente: Nivel Tórico del Circulo Horizontal y Nivel tórico del Circulo Vertical. ( 12 ) Circulo Vertical ( 13 ) y ( 13´ ) Indican los Tornillos de Presión y de Coincidencia para la fijación del Anteojo a la Alidada. ( 14 ) Anteojo: generalmente constituido por el objetivo ( 15 ) con relativo sistema de enfoque ( 15´ ) del punto colimado; por el ocular ( 16 ) y relativo dispositivo ( 16´ ) de enfoque del Retículo ( 17 ) El Retículo está constituido por 2 Hilos en cruz y dos rayas Horizontales y cortas, equidistantes del centro, que permiten calcular distancias; por esto se llaman Hilos Distanciometricos, mientras la cruz, tiene la función de centrar, colimar, los puntos, sea horizontalmente que verticalmente. En los aparatos modernos las lecturas son ópticas, es decir, se efectúan a través de un ocular de lectura ( 19 ) puesto al lado del ocular del anteojo. La iluminación de los dos círculos viene asegurada por 2 ventanillas de iluminación. En los teodolitos Reiteradores el Tornillo de Corrimiento (18) asegura el deslizamiento o corrimiento del Circulo Horizontal, ( 21 ) y ( 21´ ) representan los tornillos de presión y de coincidencia para la fijación de la alidada a la base.

144

2 módulo de topografía i (1)  
2 módulo de topografía i (1)  
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