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2011 MATEMATICAS II

M.C. Ana María Perales Chío M.C. José Hernández Pacheco

Enero de 2011.


CONTENIDO UNIDAD I......................................................................................................................... 6 LOS ANGULOS ........................................................................................................... 6 SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULOS ..................................................................... 6 Sistema Sexagesimal ............................................................................................... 6 Resolución de problemas que impliquen grados decimales y sexagesimales. ......... 7 Ejercicios: ................................................................................................................. 7 Sistema Circular ....................................................................................................... 8 Resolución de problemas que impliquen radianes ................................................... 8 Ejercicios: ................................................................................................................. 8 CLASIFICACION DE LOS ANGULOS ......................................................................... 9 Actividad: ................................................................................................................ 11 Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida. ........................................... 11 Actividad ................................................................................................................. 12 Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. .................................................................................................................. 14 Ángulos entre paralelas cortadas por una secante ................................................. 16 Actividad ................................................................................................................. 21 Actividad ................................................................................................................. 22 Actividad ................................................................................................................. 23 UNIDAD II...................................................................................................................... 24 TRIANGULOS ............................................................................................................ 24 CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS..................................... 25 Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados ..................... 25 Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores. ................................................................................................................................ 26 Actividad1 ............................................................................................................... 27 Actividad ................................................................................................................. 28 PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOS .............................. 28 Principales teoremas aplicables en los triángulos .................................................. 28 Teorema de los ángulos interiores ............................................................................. 28

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Actividad ................................................................................................................. 30 Actividad: ................................................................................................................ 31 Actividad ................................................................................................................. 32 PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS .......................................... 35 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO............................................... 39 Mediatriz ................................................................................................................. 39 Actividad ................................................................................................................. 39 Alturas y ortocentro ................................................................................................. 41 Bisectrices e incentro .............................................................................................. 42 Medianas y baricentro............................................................................................. 42 Recta de Euler ........................................................................................................ 44 Actividad ................................................................................................................. 44 Actividad ................................................................................................................. 44 CONGRUENCIA Y SEMEJANZA .............................................................................. 45 Construcción de figuras congruentes ..................................................................... 45 Construcción de figuras semejantes ....................................................................... 46 TEOREMA BASICO DE PROPORCIONALIDAD....................................................... 47 Resolución de problemas que impliquen la congruencia y semejanza ................... 50 Actividad ................................................................................................................. 50 Actividad ................................................................................................................. 51 Actividad ................................................................................................................. 52 Teorema de Pitágoras ............................................................................................ 53 Resolución de problemas y ejercicios ..................................................................... 54 Actividad: 1 Resolución de problemas .................................................................... 56 Actividad ................................................................................................................. 57 UNIDAD III..................................................................................................................... 59 LA TRIGONOMETRIA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONES ................................ 59 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ...................................................................... 60 Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. ........................................... 60 Funciones trigonométricos directas o elementales. ................................................ 60 Actividad ................................................................................................................. 65

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Actividad ................................................................................................................. 66 Actividad ................................................................................................................. 70 Actividad ................................................................................................................. 71 RESOLUCION DE TRAINGULOS RECTANGULOS .................................................... 73 Actividad ................................................................................................................. 74 Resoluciรณn de problemas diversos ......................................................................... 79 Actividad ................................................................................................................. 79 Actividad ................................................................................................................. 79 UNIDAD IV .................................................................................................................... 81 TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALITICA ........................................... 81 PERIMETRO Y AREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMETRICAS .......... 81 Actividad ................................................................................................................. 85 COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA ........................................................................................................ 86 Actividad ................................................................................................................. 86 PUNTO MEDIO ...................................................................................................... 87 Actividad ................................................................................................................. 89 Actividad ................................................................................................................. 90 Punto de intersecciรณn ............................................................................................. 91 Puntos en cualquier posiciรณn .................................................................................. 92 Angulo de intersecciรณn y pendiente de una recta ................................................... 93 Conceptualizaciรณn .................................................................................................. 94 Actividad ................................................................................................................. 94 Angulo entre dos rectas .......................................................................................... 96 Actividad ................................................................................................................. 98 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ........................................................... 99 Actividad ............................................................................................................... 103 UNIDAD V ................................................................................................................... 104 LINEA RECTA ......................................................................................................... 104 FORMACION DE LA ECUACION DE LA RECTA ................................................ 105 Actividad ............................................................................................................... 108

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Actividad ............................................................................................................... 108 FORMA EN FUNCION DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN ...... 109 Actividad ............................................................................................................... 110 FORMA SIMETRICA ............................................................................................ 110 Forma segmentaria de la ecuaci贸n de la recta (Ecuaci贸n sim茅trica) .................... 110 Actividad ............................................................................................................... 112 DISTANCIA DE UN PUNTO EN UNA RECTA ..................................................... 113 Caracter铆sticas de la recta .................................................................................... 115 Actividad ............................................................................................................... 116 Enlaces externos...................................................................................................... 117

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UNIDAD I LOS ANGULOS

UNIDAD DE COMPETENCIA Construye e interpreta relaciones entre ángulos y figuras geométricas, a través del análisis de las relaciones de sus elementos, para construir modelos geométricos y resolver problemas, mediante el trabajo colaborativo y la participación propositiva en un clima de respeto y diálogo. Los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se medían y se distribuían las distintas parcelas para ser asignadas a los agricultores. Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las medidas del año anterior. Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya antigüedad supera los 5,000 años.

SITUACION DIDACTICA ¿Sabías qué los ángulos son esenciales en el movimiento de Tú cuerpo y para Tú supervivencia? Investiga que tipo de ángulos se forman en el momento de caminar, al momento de introducir alimento a tu boca, al escribir, etc. SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULOS Existen 2 sistemas fundamentales para la medición de ángulos, en nuestro curso veremos el sexagesimal y el cíclico. Sistema Sexagesimal: la unidad de medida en este sistema, es el grado (°) que equivale a 1 360 parte de la circunferencia.

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a) Concepto de grado, minuto y segundo. Cada grado se divide a su vez en 60 partes iguales llamadas minutos (’) y cada minuto se divide también en 60 partes iguales llamadas segundos (’’), por lo tanto un grado es igual a 3600 segundos. 1 grado=

1 = 1° 360

1 minuto =

1 = 1’ 60

1 segundo =

1' = 1’’ 60

1 grado= 3600 segundo 1° = 3600’’ Resolución de problemas que impliquen grados decimales y sexagesimales. Ejemplo: Transformar a decimales: Ejemplo: 135°20’ 15’’= 135.3375° +.3375+.25 60=.25 135.3375 60= 0.3375 Ejercicios:Transforma a decimales los siguientes ángulos

1) 112°20’ 2) 138°14’ 3) 170°40’

4) 240°25’15’’ 5) 260°40’20’’ 6) 12°12’20’’

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Sistema Circular Medida cíclica o circular es el ángulo central de una circunferencia cualquiera cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a la de su radio, la unidad de medida es el radian. a)

Radian: El ángulo formado al tomar el radio y extenderlo sobre la circunferencia.

1 radian=

1 revoluciones 2

1 revolución = 2 Ángulo en Grados Ángulo en Radianes

1°=

 180

360°

180°

90°

60°

45°

30°

15°

10°

2

 3

4

6

 12

 18

 180

2

radianes

1°= 0.017453 radianes

o bien o bien

1 radian =

180

grados

1 radian= 57.2956°= 57.3°

Resolución de problemas que impliquen radianes

Ejercicios: Expresar a radianes cada uno de los siguientes ángulos: A= 75° _________ radianes B= 37.24° _________ radianes C= 58°25’= ________ radianes D= 25.29°= ________ radianes

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E= 115.23°= ________ radianes F= 112.33°= ________ radianes G= 138.23°= ________ radianes H= 170.66°= ________ radianes I= 139.3375°= _______ radianes J= 240.42°=

________ radianes

L= 12.20°=

________ radianes

CLASIFICACION DE LOS ANGULOS

Definición: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto. Las rectas son los lados del ángulo y el punto donde se cortan se llama vértice, y se representan por tres letras mayúsculas, o bien por una minúscula dentro de rectas.

a <A

<a

A ф

<

C B

<CBA

Modo de medir un ángulo.

Los ángulos suelen medirse en sentido positivo (en sentido contrario a las manecillas del reloj) o negativos (en sentido de las manecillas del reloj) con un instrumento llamado transportador. -

9


+ -70°

<

= -70°

Angulo (+) de 48°

a 48°

< a = -48°

Angulo (-) de 140° b

c

-140° 40°

< b = -140° < c = 40° Angulo (+) de 60°

a

< a = 60°

60°

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Actividad:Consultar la clasificación de los ángulos según su amplitud Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.

Ángulo Nulo. Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nulo, o sea de 0°.

a) Ángulo Agudo. Es el ángulo promedio por dos semirrectas con amplitud mayor de 0° y menor de 90°

b) Ángulo Recto. Un ángulo recto es de amplitud igual a 90°. Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

c) Ángulo Obtuso. Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 90° menor a 180°.

y

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d) Ángulo llano, extendido o colineal. El ángulo llano tiene una amplitud equivalente a 180°

Ángulo completo o Perigonal. Un ángulo Perigonal tiene una amplitud igual a 360°.

Ángulo Cóncavo. Es aquel que mide más de 180° y menos de 360°.

Ángulo Convexo. Es aquel que mide más de 0° y menos de 180°

Actividad: traza los ángulos siguientes: 1) Angulo PQR 75° 2) Ángulo A 40° 3) Ángulo M 115° 4) Ángulo π 135°

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5) テ]gulo QPR 2.-Con un transportador medir los siguientes テ。ngulos hasta el grado mテ。s prテウximo y anotar la medida de cada uno:

A A

A

A

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Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a ángulos.

(Adyacentes, vértice)

otros

complementarios, suplementarios, conjugados, opuestos por el

a) Los ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, y los otros dos están situados a una y otra parte del lado común.

C

B

O

A < AOB < BOA

b) Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el vértice común y los lados de uno son la prolongación del otro. En dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios.

c a

b d

c) Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 90°

50° 40°

b a

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d) Ángulos Suplementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 180°

105°

75° b

a

d.) Ángulos conjugados: conjugados externos e internos: Son dos ángulos externos a las rectas y del mismo lado de la transversal. También se les conoce como colaterales externos.

Son dos ángulos internos a las dos rectas y del mismo lado de la transversal. También se les conoce como colaterales internos.

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Ángulos entre paralelas cortadas por una secante (Correspondientes alternos, internos, externos y opuestos por el vértice) Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman 8 ángulos (cuatro internos y cuatro externos):

Ángulos Internos: 2, 3, 5, 8 Ángulos Externos: 1, 4, 6, 7

a) Ángulos Correspondientes: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo) y tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales. 1 es correspondiente al

5

2 es correspondiente al

6

3 es correspondiente al

7

4 es correspondiente al

8

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b) Ángulos Alternos Internos: son dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos) y además son iguales: 2 es alterno interno al

8

3 es alterno interno al

5

c)

Ángulos Alternos Externos: son los ángulos situados a uno y a otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos) y además son congruentes:

1 es alterno externo al

7

4 es alterno externo al

d) Ángulos Colaterales Internos: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos) y son suplementarios (su suma es igual a 180°):

2 es colateral interno al

5

3 es colateral interno al

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e) Ángulos Colaterales Externos: son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos) y son suplementarios:

1 es colateral externo al

6

4 es colateral externo al

7

f) Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el vértice común y los lados de uno son la prolongación del otro. En dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios.

c a

b d

g) Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común y un vértice común.

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Ejemplos: D

1.- En las siguientes figuras: C

35°

< ABC = 115° < ABD = 35° < DBC = 80°

A B

D C < ABC = 20° <ABD = 90° < DBC = 70°

70°

B

A

< AOC = 75° = m < COB = 105°___ = n n

m = 75° A

B

Ejercicios: Resolver los siguientes problemas Felipe está construyendo dos rampas como la que se ve en la figura. Si se coloca una sobre la otra tendrán ángulos de elevación de 12° y 4x de grado respectivamente, y la suma de los ángulos es de 68°. ¿Podrás ayudarle a encontrar la elevación de las rampas?

68° 4x 12°

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En la siguiente figura L₁ // L₂ además que la medida del <BFD = 115°, encontrar la medida de los demás ángulos. C

D

115° A

B

ℓ₁

G

H ℓ₂

En la figura la recta L₁ // L₂, además las líneas G y E son transversales y el ángulo 12, mide 85° y el ángulo 14, 35° y el ángulo 16, 120°.

<1 __60°__ <2 _______ <3 __145°_ <4 ______ <5 ______ <6 __60°__ <7 ______ <8 ______

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En la ciudad de Tijuana, se planea construir un camino que atraviese las vías del tren como se muestra en la figura si el ángulo 1 mide 72° encuentra la medida del <4

Vías del tren °

4

72° 1

Actividad: Calcular el valor de x y de y en cada uno de los casos, y fundamentar las relaciones establecidas.

a)

b)

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Actividad:En las siguientes figuras, determinar los รกngulos que se piden:

1)

2)

3)

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Actividad: para la próxima clase: investigar sobre el triangulo, definición, clasificación de acuerdo a sus lados, clasificación de acuerdo a sus ángulos, líneas de un triangulo.

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UNIDAD II TRIANGULOS

UNIDAD DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos geométricos relacionados con los triángulos, a través del análisis de sus principales características y propiedades, para resolver problemas reales o hipotéticos, fomentando el trabajo colaborativo y la participación autónoma y respetuosa.

SITUACION DIDACTICA En la arquitectura e ingeniería utiliza en la construcción de sus estructuras, figuras triangulares. ¿Sabes porque razón?

*Triángulo: es una superficie trilateral, es decir, tiene 3 ángulos y por lo tanto 3 vértices. Se

designa

por

el

símbolo para singular y

para plural.

Para nombrarlo se designan tres letras mayúsculas en los vértices, o bien, con un número romano colocado en el centro d la figura:

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CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados.

Triángulo Equilátero: Es aquel cuyos lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60°).

Triángulo Isósceles: Son aquellos que tienen dos lados de la misma longitud y uno desigual.

Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo en el que todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida).

En cualquier triángulo la suma de dos de sus lados, cualquiera que estos sean, siempre será mayor que la medida del tercer lado

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Clasificación de los triángulos de interiores.

acuerdo a la medida de sus

ángulos

(Triangulo rectángulo, Oblicuángulos, acutángulo, obtusángulo)

Triángulo Rectángulo: es el que tiene un ángulo recto, o sea que mide 90°; el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos:

Triángulo Oblicuángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso (es un ángulo que mide más de 90°) y los otros dos agudos (menores de 90°)

Los triángulos acutángulos son aquellos en los cuales sus tres ángulos interiores miden menos de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

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Ejemplo: 1.-calcula los lados y los ángulos faltantes en cada triangulo de acuerdo a su clasificación a) Triangulo equilátero ∟A= 60° ∟B= 60° ∟C= 60°

Lado a = 10cm Lado c= 10cm B

b) triangulo Isósceles ∟A= 70° ∟B= 40°

15cm 40 °

∟C= 70° Lado c = 15 cm A

180°-40° = 140°/2 = 70°

C 10cm

Actividad1: Realiza un paisaje en collage donde se muestren los triángulos estudiados. (Puedes usar recortes de revista, hojas de colores usando tu ingenio y creatividad. 2,- Construye un triangulo equilátero Toma tres hojas de papel cuadradas y alinéalas como se indica en la siguiente figura. Marca con un punto G con lápiz. G

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3.- Haz un doblez desde R pasando por G y desde E pasando por G. el triangulo GER E R es un triangulo equilátero. Actividad: 4- Construye un triangulo isósceles. 5.- Construye un triangulo escaleno.

PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOS

Principales teoremas aplicables en los triángulos Teorema de los ángulos interiores

“La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a 180° Teorema de los ángulos interiores: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos, o sea de 180°. Demostración:

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Ejemplo: I- Encontrar el o los ángulos faltantes.

<C = 180°- (40°+50°) = 90° <C = 90°

2.- Encuentra el valor de los ángulos internos 2X + 3X + 4X = 180°

2X = 2 (20°) = 40°

9X= 180°

3X = 3 (20°) = 60°

X= 180°

4X = 4 (20°) = 80°

9 X= 20°

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Actividad: Encuentra el valor de los รกngulos interiores.

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Teorema de los ángulos exteriores. Teorema del ángulo exterior: Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

∟α =∟B + ∟C ∟β= ∟A + ∟C ∟ɤ= ∟A + ∟B

Actividad: En papel de colores dibuja un triangulo y después corta los picos del triangulo y únelos para comprobar que formen 180°. Guíate por la siguiente figura.

Teorema del ángulo exterior "La

suma de las medidas de los 3 ángulos externos de un triangulo cualquiera siempre es igual a 360º

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120° +120° +120° = 360°

Actividad: Calcula la medida de los ángulos que se indican

∟l _______ ∟k______ ∟J_______-

2)

p = __________ N= __________ Q= __________

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3) r = __________ s = __________ t = __________ R =__________ S = __________

4) B = __________ C = __________ D = __________ X = __________ X ´ = __________ Y = __________ Y ´= __________ 5) Juan está construyendo un moño formado por dos triángulos como el que se muestra en la figura. Sabemos que los segmentos AB y DE son //, y la medida del < DEC = 78° y la medida del ángulo CDE = 38°. ¿Pedirás ayudar a encontrar las medidas de todos los ángulos que faltan?

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A 38째

D

C

78째 E

B

6)

X = __________ Y = _______

7)

X = __________ Y = __________

8)

A = __________ B = __________ C = __________

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PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles La altura AH relativa al lado desigual del triángulo isósceles es bisectriz del ángulo, por tanto dividirá al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales. 2.- Triángulo isósceles:

En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Ejemplo: 1.- Comprueba que la siguiente figura es un triángulo.

8

7

6

Solución: Comprobando: 6 +7 = 13 > 8 6 + 8 = 14 >7 7 + 8 = 15 > 6 Conclusión: si es un triángulo ya que al sumar las medidas de dos de sus lados, cualquiera que sean, siempre se obtiene una medida mayor que la medida de un tercer lado.

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En todo triángulo, a mayor lado se opone siempre mayor ángulo En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes… Se llama figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra, parecen una sola. El símbolo de congruencia es:

Postulados De Congruencia a) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente dos lados y el ángulo comprendido (l, a, l,

 l, a, l,).

b) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado correspondido (a, l, a,

 a, l, a,).

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c) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados (l, l, l,

 l, l, l,).

1. 2.

Ejercicio 1: Congruencia 1.- En la siguiente figura identificar los cinco pares de triángulos congruentes. Ejemplo:  BJC

 DJC

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2.- Identificar los triรกngulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que lo justifica. a)

b)

c)

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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO Las rectas notables de un triángulo son: Mediatriz Actividad: en geogebra traza un triángulo y con el icono de mediatriz traza la mediatriz en cada uno de los lados del triangulo. 1.-Comenta con tus compañeros que caracteriza a cada línea, y marca el punto de intersección de las mediatrices. 2.- Si mueves uno de los vértices del triangulo y formas diferentes triángulos observa cómo cambia el punto de intersección. Se puede concluir que: la mediatriz es la de recta que pasa por el punto medio de un segmento de recta. Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

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En el caso del triรกngulo rectรกngulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

En el caso de un triรกngulo obtusรกngulo, el circuncentro es exterior al triรกngulo.

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Alturas y ortocentro

Al tur a e s ca d a u na d e la s re c tas pe rpe ndi c ula res t ra za d a s de sd e un vé r ti c e a l l a do opue s to (o su p ro lo nga ció n ).

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

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Bisectrices e incentro La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a . Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado , obteniendo y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que y .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

Medianas y baricentro Mediana. Es cada uno de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Estas se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

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Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de . Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales:.

Consideramos una mediana

. Si es el baricentro se cumple que

Se cumple también que si se dibuja lado siendo: .

, la mediana de la mediana

.

, ésta corta al

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Recta de Euler La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro.

se llama

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: .

Actividad: 1.-En geogebra traza un triangulo y traza la mediana, mediatriz, alturas y bisectrices, 2.-Comenta con tus compañeros que caracteriza a cada línea, y marca sus puntos de intersección. 3.- Si mueves uno de los vértices del triangulo y formas diferentes triángulos observa cómo cambia el punto de intersección. A la línea que une los puntos de intersección se llama Recta de Euler Actividad:2.- Con papel de colores traza y recorta un triangulo rectángulo, en él marcas todas las líneas (altura mediatriz, bisectriz ,mediana y recta de eulker

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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Se llama figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra, parecen una sola. El símbolo de congruencia es:

Construcción de figuras congruentes Postulados De Congruencia a) Dos tri��ngulos son congruentes si tienen respectivamente congruente dos lados y el ángulo comprendido (l, a, l,

 l, a, l,).

b) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado correspondido (a, l, a,

 a, l,

a,).

45


c) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados (l, l, l,

 l, l, l,).

Construcción de figuras semejantes Proporción en triángulos semejantes Ejemplo:

(Triángulo ABC es semejante a Triángulo A´B´C´)

Proporción:

AB BC AC   A´B' B' C ' A' C '

46


TEOREMA BASICO DE PROPORCIONALIDAD

1) Si una recta es paralela a uno de los lados de un triรกngulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales con ocho permutaciones posibles, como lo vimos anteriormente.

2) Dos transversales cualquiera cortadas por tres paralelas, quedan divididas en segmentos proporcionales.

Si AB es paralela a CD como es paralela a

EF , entonces a: b = c: d

47


3) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo.

CD Es la bisectriz del ángulo C es: c: c’ = a: b

Ejemplos:

X: 12 = 28: 14 X = 12 (28) 14 X = 24

X: 28 = 12: 14 X = 28 (12) 14

X = 24

6: 9 = 4: X X = 9 (4) 6

48


X=6 X: 10 = 18: 15 X = 10 (18) 15 X = 12

2X: 3X-1 = 21: 30 2X (30) = 21 (3X-1) 60X = 63X-21 60X-63X = -21 -3X = -21 X = -21

X = -7

3

49


Resolución de problemas que impliquen la congruencia y semejanza

Actividad: Resuelve los siguientes ejercicios.

1.- En la siguiente figura identificar los cinco pares de triángulos congruentes. Ejemplo:

 BJC

 DJC

2.- Identificar los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que lo justifica. a)

b)

50


c)

Actividad: En las siguientes figuras el  I

 II, hallar X y Y.

1)

2)

51


3.-

.

4.-

Actividad: 2.- Biografía de Pitágoras.

52


Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras en sus representaciones: verbal, geométrica y algebraica. El Teorema de Pitágoras establece: que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

X² + Y² = r²

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

53


Resolución de problemas y ejercicios Ejercicios: 1.-En un triángulo rectángulo en donde el ángulo recto es el ángulo c el cateto adyacente es 15 y la hipotenusa 17. Encuentra el cateto opuesto.

Hipotenusa = 17 Cateto ady.

c

b

a Cateto = 15

2-Cuánto mide la altura de un triángulo isósceles si sus lados iguales miden 10 y su base 12.

10

10 h

12

3-Encuentra el área de un triángulo equivalente cuyos lados miden 10.

54


4-En la siguiente figura, si el área del triángulo ABC es de 45cm2, cuál es la longitud del lado DB. C

10 6

A

D

8

7

B

15

5-El anuncio sobre la venta de un monitor para la computadora de 25” esta en promoción y llamó mi atención. Pero al llegar a la tienda y revisar las medidas del monitor resulto que mide 19.5” de ancho y 15.5” de altura. A caso la publicidad me 19.5” engaño. 19.5”

15.5”

15.5”

55


Actividad: 1 Resoluci贸n de problemas

1.y 6

5

2.15

6

3.-

29

3.-

29 y

4.-

y 4

4 20

y

5.30

56


3

8

y

6.-

7.-

y

25

36

Actividad: 2.- aplicación del teorema de Pitágoras

1) A qué altura llega una escalera que mide 10 metros de largo en un muro vertical, si su pie está recargado a 3 metros del muro.

5) Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de setenta y dos metros de altura, se desea poner tirantes de 120 metros para darle mayor estabilidad; se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de la torre. ¿A qué distancia del pie deben colocarse las bases de concreto para sostener dichos tirantes?

57


3.-

58


UNIDAD III LA TRIGONOMETRIA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONES

UNIDAD DE COMPETENCIA Selecciona las funciones trigonométricas, a través de la identificación de relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo y oblicuángulo, para resolver problemas que impliquen dichos conceptos, de forma responsable y solidaria al trabajar en grupos colaborativos. El objetivo de estudiar las funciones trigonométricas es que el alumno deduce y calcula las funciones trigonométricas de los ángulos en el plano cartesiano.

La historia de la trigonometría es tan antigua como la historia de la humanidad, se remota a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y babilonia. Fueron los egipcios quienes establecieron las medidas de los ángulos en grados, minutos y segundos.

SITUACION DIDACTICA ¡EL TIRO PENAL PERFECTO!!! ¿En qué parte de la portería debe entrar el balón y a que ángulo de inclinación tiene que golpearlo un jugador?

La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y unos ángulos de los triángulos, y las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de los ángulos. Se divide en dos ramas fundamentales: La trigonometría plana. La trigonometría esférica.

59


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. (Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante). -

.

z = Hipotenusa x = Cateto adyacente

∟ x + ∟ y =90° z

y

Complementario s

Funciones elementales.

z

trigonométricos

y = Cateto opuesto y

x

directas

o

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Razones trigonométricas reciprocas

60


Relación fundamental de la Trigonometría Demostración de la relación sen2∞+Cos2∞=1

2

2

2

h

y CO

∞ CA

x

2

2

2

2

2 2

2

x2 + y 2 = h

Calculo de valores de los grados de 30°, 45° y 60°.

61


30°

30°

60° 2

2

90° 60°

60° 2

30°

2

h

60°

90° 1

45° 1

90°

45° 1

62


GRADOS

SEN

COS

TAN

CSC

SEC

COT

60° 45° 30°

½

Signo de las funciones trigonométricas Para encontrar los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes debemos comenzar por considerar que la distancia de cualquier punto al origen siempre será positiva. II

I

+

+

y

+

+

-

-

III

cuadrante función SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

IV

I

II

III

IV

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

63


II

I

Sen Csc+

Todos +

Ton Cot

Cos + III

Sec

+

IV

Ejemplo: -Determina el signo de las funciones trigonométricas correspondientes a una rotación de 225° 225° -180° 45°

45° III = TAN – COT

SEN COS SEC CSC

+

-

Funciones y cofunciones trigonométrico de un ángulo cualquiera. Consideramos los ángulos ∞, β, ν, δ que en un sistema de coordenadas tienen su lado terminal en el cuadrante I, II, III, IV, respectivamente y tenemos un punto en el lado terminal y su distancia al origen. Función

90°

SEN COS TAN COT SEC CSC

Angulo de referencia. El ángulo de referencia de una rotación es el ángulo formado por el lado del terminal y el eje de las x.

64


Ejemplo: Encuentra el ángulo de referencia del ángulo ∞ = 135

45° Angulo terminal

∞ = 135

Buscar las funciones trigonométricas, de un ángulo de 240° y 240° 1

-x

x

60°

2 -y

Actividad: 1 Resolución de problemas

1.-Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo -1665°

+1 45°

-225°

65


Actividad: Determina en cada cuadrante la ubicación de los siguientes ángulos.

1.<a = 42° <b = 315° <c = -110° <d = 165° <e = 54° <f = 125°

x

2.y <g = 499° <h= 879° <i = -155° <j = 245° <k= 399° <l = 666°

x’

x

y’

3.-

66


CÍRCULO UNITARIO El círculo unitario es aquel cuyo centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas y tiene un radio igual a 1. Es el circulo unitario es una herramienta muy útil en el cálculo de los valores de las funciones trigonométricas, y representa el valor de una función trigonométrica como la longitud de un segmento de recta. Considerando el ángulo ∞ en una posición normal y ubicado en el primer cuadrante del plano cartesiano observamos lo siguiente. F E

∞ 0

G

D

r=1

Ahora observa la siguiente figura, en donde trazamos el siguiente EG perpendicular al eje de las x y las rectas tangentes al círculo en los puntos D y F, que llegan al lado terminal del ángulo ∞.

Sec Csc

Cot F

H

J

E Tan ∞ 0

Sen

Cos G

D

r=1

67


GRAFICOS DE LAS FUNCIONES SEN, COS Y TAN.

A la relación BC/AC se le llama seno

La gráfica de la función seno es A la relación AB/AC se le llama coseno.

La gráfica de la función coseno es A la relación BC/AB se le llama tangente.

La gráfica de la función tangente es A la relación AC/BC se le llama cosecante (es la reciproca del seno).

68


La gráfica de la función cosecante es A la relación AC/AB se le llama secante (es la reciproca del coseno).

La gráfica de la función secante es A la relación AB/BC se le llama cotangente (es la reciproca de la tangente).

La gráfica de la función cotangente es

La propiedad más importante de estas funciones es la periodicidad (sus valores se repiten cada cierto intervalo). ComoDE enUN laSEGMENTO. Naturaleza hay muchos fenómenos FUNCIONES periódicos (el movimiento de los planetas, el movimiento circular, las vibraciones, etc.) estas funciones aparecen muy frecuentemente

69


1-Determina las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal esta en el segundo cuadrante y tiene una tangente de ф = -3/4. (-4,3) 5

y= 3

X= -4

Actividad: Determina las funciones trigonométricas

1. De un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal esta en el tercer cuadrante y el coseno de β =

.

2 -Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∞, cuyo lado terminal esta en el punto A (3, 4). 3-Determinar las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal esta en el tercer cuadrante y tiene un coseno de β=

.

4-Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∞, cuyo lado terminal esta en el punto A (3, 4). 5-Calcular las funciones trigonométricas del ángulo β en posición normal para las coordenadas siguientes: A) (2, -2) B) (-3, 2) C) (12, -5) D) (-24, 7)

70


Actividad: Calcular las funciones trigonométricas faltantes, del ángulo.

Identidades Pitagóricas. La palabra identidad significa que existe una igualdad. Las funciones trigonométricas se pueden simplificar en tres tipos de identidades y son ocho en total: 

Identidades Recíprocas: Sen ф. Csc ф = 1 Cos ф . Sec ф = 1 Tan ф . Cot ф = 1

Identidades de división: Tan ф = Cot ф =

Identidades pitagóricas: 2 2 Sen2ф + Cos2ф = 1 Tan2ф + 1 = Sec2 ф

2

2

1+ cot ф = Csc ф

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

71


Ejemplo: DESPEJES. 2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ejemplo 2.Demostrar que la identidad de

(1 â&#x20AC;&#x201C; Sen x)(Sex-tan x) = Cos x

Elige un lado de la identidad (de preferencia escoge el lado mĂĄs complicado para transformarlo y obtener el otro lado de la identidad)

2

2

72


2

2

RESOLUCION DE TRAINGULOS RECTANGULOS Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6-8 cm, calcular las funciones trigonométricas de los ángulos.

y 6 8

73


1-Encuentra la medida de los ángulos ACB, en el siguiente triángulo si AB = 16 y BC = 10, utilizando las razones trigonométricas. B 10 16 57°59’ A

C

2-Un avión está a un km por encima del nivel del mar, cuando comienza a elevarse en un ángulo, que no varía de 2° durante los siguientes 70km, medidos al nivel del mar. A qué altura estará el avión sobr3e el nivel del mar cuando llegue a los 70km.

h 2°

70km

Actividad: Resolución de problemas

1.-Jorge está parado en la playa de Mocambo, Veracruz, cuando el ángulo de elevación del sol es de 31°, quiere averiguar cuánto mide la sombra que proyecta si mide 1.80m de estatura, podrás ayudarlo a encontrar la longitud de su sombra.

74


2,- Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16°42’.

3.- Una torre de 28.2 metros de altura está situada a la orilla del río, el ángulo de depresión a la orilla opuesta es de 25°12’. Hallar el ancho del río.

4.- Desde lo alto de una torre de 37 metros, los ángulos de depresión de dos objetos situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio son respectivamente de 10°13’ y 15°46’. Hallar la distancia entre los dos objetos.

75


5.- Una escalera alcanza el borde de una ventana que está a 7.8 metros del suelo y forma con la pared un ángulo de 29°15’. Hallar la medida de la escalera.

6.- Una columna de 27 metros de altura proyecta sobre el piso una sombra de 35.1 metros. Hallar el ángulo de inclinación del sol.

Ley de los Senos y Cosenos

La ley de los senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a él, en todo triángulo es constante. Su fórmula matemática es:

Donde A, B, C son los ángulos del triángulo, y a, b, c son las longitudes de los lados.

76


Resolver un triángulo significa obtener la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos internos. No todos los problemas de resolución de triángulos oblicuángulos se pueden resolver con la ley de los senos, a veces es conveniente aplicar la ley de los cosenos, dependiendo de los datos que proporciona el problema. En general cuando nos proporcionan dos ángulos y un lado o dos lados y un ángulo utilizamos la ley de los senos.

La ley de los cosenos se utiliza cuando nos proporcionan dos lados y el ángulo que forman dichos lados o tres lados. Su fórmula matemática es: a2 = b2 + c2- 2bc cos A b2 = a2 + c2 -2ac cos B La solución de un triángulo oblicuángulo se puede realizar si se conocen tres elementos, siempre y cuando no sean los tres ángulos, y se presentan cuatro casos diferentes de soluciones: a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos. b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. c) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. d) Cuando se conocen los tres lados. Ejemplo: 1 Resolver el triángulo ABC si sabemos que a = 4.75, B = 75°, C = 45° B a a = 4.75

A = 60°

b = 5.3

B = 75°

c = 3.88

C = 45°

c

C

b A

77


a2 = b2 +c2 – 2bc Cos A 2bc Cos A + a2 = b2 + c2

b2=a2+c2 – 2ac cos B 2ac cos B+b2= a2+c2

B

2.-Encuentra la medida del ángulo ABC en el triángulo ABC si sabemos que el lado a = 2, b = 3, c = 4.

a

c

A

b a= 2 b=3 c=4

C

A= 28°57’ B= 46°34’ C= 104°29’

78


3.-Resolver el triángulo ABC si sabemos que A= 60°, B= 45° y a= 4. C= 179°60’-(28°57’+46°34’) c= 104°29’

B a

c

A

C = 180-(60°+45°)=75°

C

b a= 4 A= 60° b=3 .27 B= 45° c=4.46 C= 75°

Resolución de problemas diversos

Actividad: Utilizando la ley correspondiente resuelve el triángulo oblicuángulo si sabemos que:

1- A = 120° 2- B = 30°

C=30° C=135°

3- f = 3 g=5 4- g = 5 h=7 5- f=3, g=4, H=60°.

c=10 h=6 F = 120°

Actividad: En cada caso, encuentra los datos faltantes del triángulo oblicuángulo (Realiza el dibujo correspondiente).

1) a = 74

A  6342' B  3452'

79


2) b = 82

3) b = 678

4) c = 246

5) c = 931

6) a = 59

B  5142' C  10917' A  3610' ' C  4435'

B  3856' C  5725'

B  4057' C  12929'

A  3529'46' ' B  4957'

a  36 7) b  45 c  30

a  156 8) b  123 c  143

a  86 9) b  65 c  70

a  22 10) b  36 c  29

80


UNIDAD IV TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALITICA UNIDAD DE COMPETENCIA Construir e interpretar modelos relacionados con segmentos, ángulos, rectas y polígonos en el plano cartesiano, a través del análisis de las relaciones de sus elementos, para argumentar sus propiedades y resolver problemas (reales o hipotéticos), mediante el trabajo colaborativo y muestras de solidaridad, honestidad y responsabilidad.

SITUACION DIDACTICA ¿Cuál es la probabilidad de que un integrante del equipo de básquetbol entre a formar parte del cuadro base?

PERIMETRO Y AREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMETRICAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si consideramos un segmento de línea determinado por A y B dividido en diez partes iguales, su distancia será AB= 10 unidades, si a partir de A contamos 6 divisiones y colocamos otra letra C, AC será 6 partes. ¿Cuántas unidades tiene la distancia BC? BC será igual a AB- AC, esto es 10-6=4,

BC= 4

De otra manera si X2 = 10 y X1 =6 BC= (X2 - X1) Al colocar dos puntos en el sistema de coordenadas rectangulares su ubicación será P(X1 – X1) y Q(X2 – X2). La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:

¿Cuántas unidades tiene la distancia BC? BC será igual a AB- AC, esto es 10-6=4 BC= 4

81


De otra manera si X2 = 10 y X1 =6 BC= (X2 - X1) Al colocar dos puntos en el sistema de coordenadas rectangulares su ubicación será P(X1 – X1) y Q(X2 – X2). Si desea encontrar la distancia que hay entre ellos, observando la figura siguiente puede hallarse la relación necesitada. Demostración Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1y P2 denotada por d =

está dada por: (1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta

Figura 1 Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero:

;

82


y

Luego,

La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras. Ejemplo:1 Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades

83


1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo Situamos los puntos A (-2, -3), B (-1, 3), C (4, -2) y D (5, 4) en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:

Así pues, d(A, C) = d(C, D) = d (D, B) = d (B, A), es decir, los cuatro lados del cuadrilátero ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo. 2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo rectángulo Situemos los puntos A (2, -5), B (0, 3) y C (-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

84


Vamos a demostrar que el triángulo es rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:

Comparamos

d

(B,

A)²

y

y

d(C,

B)²

+

d(A,

C)². .

d(B, A)² = d(C, B)² + d(A, C)², por tanto, el triángulo tiene un ángulo recto en C de acuerdo con el teorema de Pitágoras. para calcular el área de un triangulo que se conocen las coordenadas de los vértices por determinantes se puede calcular con la formula: A = ½( x1y2 + x2y3 + x3y1-x3y2 - x2y1 – x1y3)

Actividad: Resolución de problemas 1.- Distancia entre P(2,1) y Q(6,5) 2.- Distancia entre L(-2,3) y M( ,-5) 3.- Distancia entre S(-1,3) y T(-3,-2) 4.- Demostrar que los puntos D(2,-2) E(-8,4) y F(5,3), son los vértices de un triangulo rectángulo. Se hace una grafica con los datos conocidos. 5.- Si es un triangulo rectángulo se debe satisfacer el teorema de Pitágoras sabiendo que el lado mayor siempre es la hipotenusa.

85


COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Las fórmulas son:

y

Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento con extremos A (2,5) y B (8,-1)

A (2,5) B (8,-1) r= ⅓

P= (3.5, 3.5)

Cuando la relación r es negativa, el punto Q se encuentra fuera del segmento de recta pero la referencia siempre será el punto numerado con (X1 – Y1).

Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1- Encontrar las coordenadas del punto Q(x, y) que divide al segmento determinado por los puntos P (2,1) y R (7,6) en una relación r = ¼.

86


2- Encontrar las coordenadas del punto Q(x,y), que divide al segmento de recta determinado por L(-4,-1) y M(6,4) en una relación r = 2/3 3- Si se divide al segmento LM en cinco partes iguales la distancia LQ abarca dos y QM abarca tres, por la relación r dos a tres. 4- En cualquier caso si cambiamos el orden dado a los puntos extremos cambia la posición del punto Q que divide el segmento en dos partes pero la referencia será el punto que se numero con uno (x, y). 5- Dada una relación r= -2/5, encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento determinado por A (1,1) y B (4.-2) en la razón anterior. 6- Efectúe los siguientes ejercicios encontrando las coordenadas del punto que divide un segmento de recta en las relaciones dadas: a) P (-3, 1)

R (5, 5)

b) S (8, 1)

T (5,-4)

c) ß (-2,-3)

N (5, 2)

r = 1/3 r = -2/7 r = 2/1

PUNTO MEDIO

Las fórmulas son:

y

Este es uno de los temas más simples de la Geometría Analítica, tan sencillo y tan lógico que puedes preguntarle a un bebe de preescolar cuál es la mitad de una cuerda estirada -en forma semejante a una recta- y seguro que te indicará el punto medio, sin embargo ¡no hay de otra! ¡veámoslo! El punto medio es la mitad de la recta que se forma entre dos puntos. Así de fácil. Tienes dos puntos en un sistema rectilíneo (una sola dimensión) y quieres encontrar el punto que está colocado exactamente a la mitad entre los dos, a este punto se le llama: Punto Medio.

87


Veamos un “raro” ejemplo para no fomentar el aburrimiento. Sean dos bebes sumamente molestos porque nadie les da su chupón.

Uno está a 3 Mts. del chupón y el Otro está a 2 Mts. de él pero en la dirección contraria. Tú quieres tranquilizarlos y les hablas colocándote exactamente en el punto medio entre ambos. ¿Cuál es la coordenada en la que estás? 1. ¡¡¡OBVIOOO!!!Seguro que contarás los segmentos y concluirás que el punto medio está exactamente entre el chupón y el uno positivo, o dicho de otra manera estás en el Punto Medio cuya coordenada es: 0.5, o bien ½. Pero bueno… construyamos una regla que pueda servir tanto para este caso como para aquellos en donde sea muy lento contar “rayitas” es decir, cuando los puntos se encuentren más alejados uno del otro. Te doy tres minutos para construirla… Calcular el Punto Medio de una recta es bastante sencillo, así se trate de un sistema bidimensional. En este caso simplemente forma un triángulo rectángulo –igual que debes haberlo hecho en otras ocasiones- y proyecta los catetos hacia cada uno de los ejes. Veamos un ejemplo. Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dos autos, dos galaxias) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen a tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y se acomoda exactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos. ¿Cuáles son las coordenadas del dichoso lugar (Punto medio) en donde se colocó la última hormiguita?

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Evidentemente la “casa” de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahí colocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano. Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos ejes simplemente calculamos el Punto Medio para cada caso. Aplicando la fórmula X =(x1+x2)/2 = (-3+1)/2 = -2/2 = -1 Y =(y1+y2)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 = .5 Entonces las coordenadas del Punto Medio son: P.m. (-1, 0.5) Cms. ¿Complicado? Si en lugar de los dos puntos extremos tuvieras un Punto medio y un punto extremo y quieres determinar el otro punto extremo solo aplica las siguientes fórmulas: X1=(2)(Pmx)-X2 y Y1=(2)(Pmy)-Y2 obtenidas a partir de un simple despeje de las fórmulas para el punto medio y con ello obtendrás el punto en cuestión, por ejemplo: Hallar las coordenadas de un punto extremo de un segmento que tiene su punto medio en: (4, 2) y el otro extremo es: (9, 5) Solución. X=(2)(4)-9=8-9=-1 Y=(2)(2)-5=4-5=-1 Por lo tanto, las coordenadas del otro punto extremo del segmento son: (-1, -1) Bien, te dejo algunos ejercicios para que practiques solo por divertirte… Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

Dos objetos están colocados en las siguientes coordenadas. P1(-2,3); P2(6,9) P1(2,-3); P2(4,3) P1(-1,6); P2(7,3)

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P1(-6,0); P2(2, 4) P1(0,4); P2(2, 7) P1(8,2); P2(2, 3) P1(0,0); P2(4, 4) P1(-2,2); P2(2, 2) P1(6, 4); P2(-6, 5) Únelos y encuentra en todos los casos el Punto Medio, aplicando las fórmulas utilizadas para resolver el problema de las hormiguitas.

Determine el área de un triángulo formado por los puntos medios de los lados de un triángulo ABC cuyos vértices son los puntos: A (5,0), B (1,6), C (9,4). →D (3,3) →E (5,5) →F (7,2)

Area=

Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1.- Encontrar el punto medio Q(x,y) del segmento de recta, que determinan los puntos P (2,3) y R(7,5) 2.- Encuentre el punto medio entre los puntos L(-y,-3) y M(-2,5) y haga su gráfica.

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Punto de intersección

¿Podemos determinar el punto de intersección de dos rectas? Si, es bastante fácil determinar donde se cruzan dos rectas. Cuando decimos que dos rectas se cruzan queremos decir que tienen un punto en común. Este punto verifica las ecuaciones de ambas rectas. El problema reside en encontrar ese punto. Supongamos que tenemos las ecuaciones de dos rectas: Recta 1: recta 2: Si existe un punto (xi, yi) compartido por ambas rectas, entonces las ecuaciones:

serán ciertas. Despejando yi tenemos:

de donde podemos extraer el valor de xi:

Llevando este valor a la ecuación de la recta 1 o 2 tenemos:

Por lo tanto, el punto de intersección tendrá por coordenadas:

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Es importante señalar que dos rectas paralelas tendrán la misma pendiente. Ya que tales rectas no se intersecan, no es extraño comprobar en la expresión anterior que los denominadores se anulan, impidiendo la solución del problema. Puntos en cualquier posición Para poder ubicar un punto en un espacio de dos dimensiones se necesita un sistema de referencia y en y en este caso el utilizado se llama SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. Este sistema consta de dos líneas perpendiculares que se cruzan, llamándose cada una EJE COORDENADO. Al cruzarse ambos ejes dividen al plano en cuatro partes iguales que se llaman cuadrantes. Uno de los ejes debe ser horizontal, determinándose como EJE DE LAS ABCISAS, sus sistemas se determinan por X´X. El eje vertical se llama EJE DE LAS ORDENADAS y se indica por Y´Y. Al punto donde se cruzan ambos ejes se llama ORIGEN. A la derecha del origen y sobre el eje de las abscisas se tiene el sentido positivo (+) y a la izquierda el sentido negativo (-). Así mismo sobre el eje vertical o de las ordenadas y partiendo del origen está el sentido positivo (+) y hacia abajo el negativo (-). Cada eje se divide en espacios iguales que reciben el nombre de unidades. Para determinar un punto en este sistema se necesitan dos cantidades, que determinan las unidades sobre cada eje. NOTACION PUNTO K(X, Y)

Ejemplo: Localizar A (3,5) B (-4,2) C (2,-3) D (5,-2)

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Angulo de intersección y pendiente de una recta Su fórmula es: Calcular la pendiente de la recta que pasa por el origen y que tiene un ángulo de inclinación de 60°

Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por los puntos A (5,3) y B (-2,-5).

La pendiente de una línea recta es positiva cuando el ángulo de inclinación está entre 0 y 90°, y es negativa cuando está entre 90 y 180°

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Conceptualización Euclides en su tratado denominado Los elementos establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta: Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2). Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3). Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4). Pendiente: Se va a llamar así a la longitud del ángulo de inclinación alfa y se va a indicar con m. Segmento: es la porción de recta comprendida entre dos puntos denominados extremos. Distancia: es el valor absoluto de un número a y de representa como a y simboliza la distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Su resultado siempre es positivo

Aplicación de fórmulas

Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1.- Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P (3,2) y R (3,-4) con el eje X X´.

Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P (3,2) y R (3,-4) con el eje X X´ 2.-Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos A (-2,3) y B (1,-3) con el eje de las abscisas. 3.- encuentra la ecuación de la recta que pasa por: a) (2, -4) y tiene m= 5

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b) (9, 8) y (3, 9) c) (1, -8) y tiene pendiente m= 1/3 d) (4, 3) y (1/2 -2/9) 4.- En las siguientes ecuaciones de la recta identifica los valores de m y b a) 3x + 8y – 9 = 0 b) x – y + 8 = 0 c) 3x – 4y = 0 5.- Convierte las siguientes ecuaciones en su forma simétrica y grafícalas. a) – 10x – 7y + 35 = 0 b) 8x – 3y + 24 = 0 c) 9x – 6y + 18 = 0 d) – 4x y – 4 = 0 6.- Convierte en su forma general las siguientes ecuaciones. a)

Y = 2x – 8

b)

y = - 4x + 7

7.- Una empresa produce cierta cantidad de refrigeradores por mes, de acuerdo con la siguiente tabla: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre diciembre

Cantidad 80 90 100 110 120 150

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a) Traza la grafica que representa la producción en el primer semestre. b) ¿Qué cantidad debería producirse en Junio para que se comporte como una función lineal? c) ¿Cuántos refrigeradores esperaríamos producir de julio a Diciembre? d) ¿Qué ecuación representa este enento?

Angulo entre dos rectas De dónde sacó don René la fórmula: Tg(a)=(m2-m1)/(1+m2m1) ¿La soñó, o le cayó una manzana y le nació la idea como a Newton?

En realidad no es complicado saber cómo llegó don René a la fórmula anterior, solo se basó en los conocimientos de “Fulano de tal” su antecesor, cuando inventó la identidad: TgΘ = Tg(α2–α1) = [tgα2–tgα1]/[1+tgα2 tgα1]

A la cual llegaremos partiendo de nuestro problema particular con la relación: Ángulo a = ángulo b menos ángulo c, o expresado con literales:

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a = b – c.

Con qué ángulo se cortan dos rectas? Veámoslo mediante un ejemplo práctico. Dos aviones siguen durante cierto tiempo trayectorias rectilíneas definidas por las siguientes ecuaciones: Y=3X+1 Y=X- 1 Hallar su ángulo de intersección. Si recuerdas ya vimos algo semejante en el (dos caminos que se cruzan) solo que ahí buscábamos el punto de cruce (intersección) entre ambas rectas, en este caso podríamos hacer lo mismo, pero además buscamos el ángulo con que se cruzan ambas trayectorias. Procedamos…

Grafiquemos las dos ecuaciones Graficar es simple, recuerda que solo tienes que asignar valores arbitrarios a X ¿Cuáles? Los que se te pegue la gana. Con esto obtendrás valores para Y. ¡Claro! si asignas un valor a la X por ejemplo de 1,000, entonces tendrás que hacer circo, maroma y teatro para acomodar este valor de X en tu sistema coordenado e igual para el que resulte de Y junto con otros valores pequeños que asignaras X. Las rectas resultantes son las trayectorias de los aviones. Si por el punto de intersección trazas una paralela al eje X, obtendrás los ángulos b, y c. El ángulo a es el que buscamos.

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Analiza los ángulos b y c. Te pregunto ¿el ángulo a se puede obtener a partir de los ángulos b y c? Supongo que concluiste que SÍ, que el ángulo a se puede obtener restando el ángulo c al ángulo b. Pero… ¿y cómo podemos obtener los ángulos b y c? Con las ecuaciones “acomodadas” de la forma Y=mX+b, la pendiente es el número que acompaña a la X, técnicamente llamado: coeficiente de X. Aplicando este criterio tenemos que: Si Y=3X+1 entonces m=3; Si Y=X-1 entonces m=1 Pero también sabemos que m=tg (α), o escrito de otra forma para el ángulo b sería m=tg (b), por lo tanto: b = tg-1(3) = 71.56º, también para la otra ecuación c = tg-1(1) = 45º Bien… ya conocemos los ángulos b y c, solo queda hacer una modesta resta para obtener el ángulo a. Ángulo a = Ángulo b – Ángulo c = 71.56º – 45º = 26.56º ¡¡¡OKKK!!! Pero también existe otra forma de hacerlo utilizando una fórmula inventada por don René Descartes: Tg (a) = (m2-m1)/(1+m2m1) Sustituyendo datos nos queda: Tg a = (3-1)/(1+3×1) = 2/4 = 0.5, entonces: Tg a= 0.5, despejando a queda: a = Tg-1(0.5) = 26.56º ¡¡Exactamente igual!! Si aplicas el primer razonamiento (restando ángulos) debes tener cuidado para interpretar correctamente los ángulos resultantes. Aplicando la fórmula de René Descartes, podrás obviar algunas cosas. Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1.- Calcula el ángulo entre la rectas l1 y l2 ; considera que sus pendientes son: a) m1 = 8 y m2 = 8

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b) a) m1 = 1/8 y m2 = 8 2.- Responde a las siguientes preguntas y justifica tus respuestas. a) ¿Qué ángulo forman dos rectas paralelas? b) ¿Qué ángulo forman dos rectas perpendiculares? 3.- Investiga y realiza un breve resumen sobre el tema de determinantes. ¿Cómo se aplican? y ¿Cómo se resuelven? 4.- Formen equipos de 5 alumnos comenten su investigación y expliquen al terminar una síntesis de los acuerdos y conclusiones a que llegaron, nombren un representante para exponer frente al grupo la información.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Sean l1 y l2 1 2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en 0 dos, 1 2 1– 2 1 2 = 180 1.

.. Se define el ANGULO entrel1 y l2como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1. En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por: 1 1 2 (1) El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene: 1

1

-

2)

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,

(2)

También, 1

1

-

2)

,

(3)

Puesto que m1 1 y m2 escribirlas en la forma:

1

, entonces las igualdades (2) y (3) podemos

(2)’

,

1

2

,

(3)’

1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo) Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2 ii) l1 es perpendicular a l2 (l1

l2)

m1. m2 = -1

Demostración Ver en la siguiente tabla donde aparece ilustrada cada una de las situaciones

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i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2. En efecto, como l1 ||l2 1 2 son iguales por correspondientes y , es decir, m = m . 1 2 1 2 Ahora, si m1= m2, 1 1 1 2 = 0, de donde 1 2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.

ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces

este último valor en (3)’ obtenemos: 0 aquí se deduce que m1. m2 = -1.

Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces

1=

cot

Sustituyendo

, de donde m1. m2 + 1 = 0, y de

y como m2

2

y m1

,

1

se tiene que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 1 1 como 0 0 son ángulos positivos y menores que 180 = 90 , 2 1 2 de 0 1– 2 = 90 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares. Observaciones i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente forma:

l1 || l2

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l1

l2

Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condici贸n necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes

La pendiente de una recta desempe帽a un papel fundamental cuando se comparan dos rectas para saber si son paralelas o perpendiculares. Estas condiciones se conocen como criterios de perpendicularidad y paralelismo. 2 rectas ( y ): a) Son perpendiculares si sus pendientes son iguales, es decir, si . b) Son perpendiculares si la multiplicaci贸n de sus pendientes es igual a -1 o sea o bien . Ejemplo: Una recta pasa por los puntos A (2,3) y B (3,5) y otra pasa por los puntos C (-2,-1) y por D (4,11). Comprueba si son paralelas.

Los resultados son iguales, esto quiere decir que s铆 son paralelas.

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Actividad: realiza lo que se te indica.

1.- Localiza a los siguientes puntos en un plano cartesiano: a) y = - x + 8 b) y = 2x – 9 2.- De los siguientes triángulos encuentra:      a) b) c) d)

El perímetro El área Los ángulos interiores Los puntos medios de sus lados La longitud de las medianas A(2, - 2), B(4, 4), C(-2, 2) A(5, - 1), B(- 7, 1), C(- 1, - 3) A(- 2, - 2), B(2, - 3), C(- 1, 2) A(4, - 8), B(- 2, 6), C(-8, 4)

3.- Calcula el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos: a) (-3, 8), (7, - 2) b) (5, 1), (-3, -3) 4.-Encuentra las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento dado por los puntos. a) P (8, - 3) Q (-9, 7) r = 8/9 b) A (-9, -3) B (0, 4) r = 5/7 c) M (4, 7) N (-4,17) r= 2 5.- Se tiene un pentágono cuyos vértices son: A (-2, 2) B (-3, -2) C (0, -4) D (5, 1) E (2, 3)

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UNIDAD V

LINEA RECTA

UNIDAD DE COMPETENCIA Estructurar los distintos registros de representación (verbal, algebraico, tabular y gráfico), de la ecuación de la recta a través del descubrimiento de las relaciones implícitas a cada uno de los registros mencionados, para aplicar distintas heurísticas en la resolución de un problema, fomentando una actitud crítica y colaborativa entre sus compañeros, para el debate y consenso de ideas. En geometría Euclidiana, la recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos punto; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano. SITUACION DIDACTICA Los datos estadísticos del país arrojaron que el índice de mortalidad es la diabetes, cáncer intrauterino e hipertensión arterial. Investiga con qué porcentaje contribuye tu localidad e infiere tus respuestas con respecto a las demás entidades.

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FORMACION DE LA ECUACION DE LA RECTA Geométricamente, una recta es la distancia más corta entre dos puntos. Gráficamente, puede verse como un conjunto de puntos, uno detrás de otro, tales que si se toman dos de ellos cualquiera y del lugar geométrico, la pendiente es la misma. Analíticamente, es una ecuación de 1er. Grado o lineal con dos variables de la forma . Forma Punto- Pendiente

Cuando la pendiente de una recta es positiva, entonces el ángulo que forma con el eje x es menor a 90°.

Y en caso de que la pendiente sea negativa, entonces el ángulo que la recta forma con el eje x es mayor de 90° aunque nunca llega a los 180°.

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*Nota: si la pendiente es negativa, al expresarla como fracción tú puedes decidir si el signo menos (-) va en el denominador o en el numerador, en ese caso si el denominador es negativo ( ) entonces te moverás hacia la izquierda del punto, y si el numerador es negativo (

), entonces deberás moverte hacia abajo.

Las ecuaciones son: para cuando se conoce un punto y m: Y Y para cuando se conocen dos puntos: Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3,2) y B (-1,-4) Y – Y1=

Y2 – Y1

(X – X1)

X2 – X1

Y – 2=

-4 – 2 -1 – 3

(X – 3)

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Y – 2 = -6/-4 (x – 3) Y – 2 = 6/4x – 18/4 Y = 6/4x – 18/4 + 2 Y= 6/4x – 28/4 (5/3,0)

(0,-5/2)

Ejemplo: Los puntos C (-4,-3) y D (2,6) se encuentran sobre una línea recta, encuentre su ecuación. Y – Y1 =Y2 – Y1

(X – X1)

X2 – X1 Y – (-3) = 6 – (-3)

(X – (-4))

2 – (-4) Y + 3 = 9/6 (x + 4) Y= 9/6x 3/6 – 3/1 Y= 9/6x + 18/6 Y = 9/6x + 3

6(y + 3)= 9(x + 4) 6y + 18 = 9x + 36 9x + 6y +18 -36 =0 9x + 6y -18 = 0

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Actividad: Hallar el ángulo que forma la recta que pasa pos dos puntos dados en cada inicio, con el eje de las abscisas y representar los ángulos en cada caso. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y represéntala en una grafica 1. (-2, 4) (5, -1) 2. (5, 4) 3. (-3, -4)

(-1, -3) (5, 1)

Forma general LA ECUACION EN LA FORMA GENERAL (AX + BY + C = 0) La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales. En forma general todos los términos se encuentran en un solo lado, no hay fracciones y esta igualada a cero. Ejemplo:

2x -4y – 10 = 0

La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y):

Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1. La ecuación general de una recta es 2x-3y+6=0. Calcula la pendiente de la recta. 2. Calcula el valor de k para que la ecuación de la recta kx+3y-9=0 tenga por pendiente m=-1.

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FORMA EN FUNCION DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN Cartesianas. Por las propiedades de los puntos que definen a la línea dada, se puede hallar la relación en tres coordenadas x u y de sus punto y expresar la línea por una ecuación que relacionan las coordenadas (x, y) de sus puntos. El caso más simple es aquel en que los puntos trazados están sobre una recta. Si las dos cantidades relacionadas son “X” u “Y”, la relación entre ellas se expresan por una ecuación de primer grado: Y = mx + b donde: y: Es la ordenada de un punto sobre una línea recta x: Es la abscisa del mismo punto m: Es la pendiente de la línea recta b: Ordenada al origen

Ejemplo: La ecuación Y = 3x + 6 representa una línea recta, indicar en una grafica por donde pasa. Procedimiento: 1. Se hace “x” igual a cero y se busca el valor de “y” y= x=0 mx + b y = 3(0) +6

y = 3(0) + 6

y = 0 +6 = 6

y=0+6=6

y(0,6)

se obtiene el punto (0,6) 2. Se hace “y” igual a cero y se despeja el valor de “x” y=0 0 = 3x +6 - 6 = 3x - 6/3 = x = -2

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Se obtiene el punto (-2,0) 3. Se localizan los puntos anteriores sobre los ejes coordenados y se traza la línea recta. Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1.- Identifica por simple observación cuáles son los valores de m y b en las siguientes ecuaciones. a) y = 2x – 8 b) y = -x + 9 c) y = -8x

2.- Encuentra los valores de m y b en las siguientes ecuaciones. a) x – 2y + 8 = 0 b) -4x -8y -7 = 0 c) 5x – 4y = 0 d) 12x – 9y + 8 = 0

FORMA SIMETRICA Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) Así como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le puede llamar . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos y (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes: y Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

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Después se sustituye en la ecuación dos puntos, en este caso (a, 0):

, usando cualquiera de los

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente

:

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos. Ejemplo: 1.- Para encontrar la ecuación general de la recta si se sabe que a = - 2 y b = 8 Sustituyendo en la formula: + =1 + =1 Para convertirla en su forma general multiplicamos toda la ecuación por m.c.d. que es 8 (

+ = 1)8 +

=8

simplificando:

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- 4x + y = 6 La ecuación en su forma general queda: - 4x + y – 6 = 0

Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1.- cambiar a su forma general la ecuación simétrica de la recta

+ =1

Discusión de la forma general Transformación de la recta en su forma general a su forma simétrica 2x – 5y - 10 = 0

Igualamos a 10 2x – 5y = 10 Dividimos toda la ecuación entre 10

2x/10 – 5y/10 = 10 /10 Reduciendo + = 1 de donde sabemos que a= 5 y b = 2 Se grafica

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DISTANCIA DE UN PUNTO EN UNA RECTA ¿Que cómo lo hizo don René Descartes?

¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620 (±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia de un punto a una recta. Es la fórmula que te muestro a continuación.

Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y qué con las dos barritas verticales que encierran al numerador? A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operación. Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…

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Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la forma y=mx+b, a la forma Ax+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Para hacerlo simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual. y=x-2, trasponiendo y reacomodando términos quedaría… -x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2 Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la fórmula quedaría: d= |(-1)(1)+(1)(6)+2| / ±√[(-1)2+(1)2] d = |-1+6+2| / ±√[1+1] d =|7| / ±√2 d = 7 / ±1.4142 d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en unidades de longitud). Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores Distancia de un punto a una Recta Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima, contestarías midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella? Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe ser muy claro en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti al punto más alto de una pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.

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Si el que te pregunta no especificara el lugar de la pared al que quisiera saber la distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto de la pared más cercano a ti. Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a la pared mostrada? Evidentemente la recta dos. Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás, es PERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de medir físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se especificó ningún punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular. Todo lo anterior expresado “matemáticamente” significaría que: La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia. Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza. Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla Conceptualización Euclides también estableció dos postulados relacionados con la línea recta:  

Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado).

Características de la recta

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Haz de rayos Se le llama rayo o semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.2. Algunas de las características de la recta son las siguientes:   

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Aplicación de la formula.

Actividad: Resuelve los siguientes problemas:

1.- Encontrar la ecuación general de la recta paralela a 3x – 4y + 12 = 0 que pasa por el punto (4, -8) 2.- Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a x – 3y +3 = 0 que pasa por el punto (-3, 3) 3.- Encontrar la distancia entre las rectas: a) -4x + 9y – 12 = 0 y -4x + 9y + 8 = 0 b) 5x + 8y + 1 = 0 y

5x + 8y + 4 = 0

c) x + y - 8 = 0 y - x - y + 9 = 0 d) 5x – 8y – 4 = 0 y

-5x + 8y + 4 = 0

3.- Calcula la distancia que hay de la recta a el punto. a) -2x + 5y – 7 = 0

;

(8, 10)

b) 4x + 3y – 9 = 0 ;

(-3, 7)

c) -3x – y + 8 = 0

(5, 1)

;

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4.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y perpendicular a la línea recta indicada en cada caso. a) M (3,1)

y = 3x + 4

b) N(2,-1)

y = - 4/3 – 4

BIBLIOGRAFIA Geometría y Trigonometría, Francisco José Ortiz Campos. Publicaciones Cultural Geometría Plana y del Espacio,J. A. Baldor.Cultural Centroamericana, S. A. Guatemala, C.A. Geometría y Trigonometría, Abelardo Guzmán Herrera.Publicaciones Cultural Geometría Analítica, Paúl R. Rider. Ed.Montaner y Simón, S. A.Barcelona Geometría Analítica, Charles H. Lehman. Ed. Limusa, S.A. de C.V. Geometría Analitica, Frederick H. Steen, Edit. Cultural Geometría Analítica, Elena de Oteyza, Edit. Pearson Geometría Analítica, Miguel A. Martínez Aguilera Edit. Mc. Graw Hill Matemáticas Arturo Méndez Hinojosa editorial Santillana Matemáticas III, Geometría Analítica , Benjamín Garza Olvera, Dirección General de Educación., Sep. ↑www.euclides.org: Los Elementos[1] Weisstein, Eric W. «Ray» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. ↑Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90

Enlaces externos Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática. Wikcionario tiene definiciones para recta. Weisstein, Eric W. «Line» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. La Recta (Español)

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