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Bloque IV: Funciones Tema 1: Conceptos Básicos de Funciones ( 1º Bachillerato)

J. Gómez-García http://mateatocha.wordpress.com

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Tema 1: Conceptos Básicos de Funciones Introducción El proceso de asignación está presente de forma continua en nuestra vida diaria: asignamos a cada persona un número de DNI (Documento Nacional de Identidad), a cada ciudad su altitud, a cada cuadrado su perímetro, ...

Del mismo modo, si se examina el movimiento del índice de precios al consumo de los alimentos (fig. 1), se puede encontrar una gráfica en la cual aparecen reflejados sus valores cada cierto intervalo de tiempo.

Figura 1: Evolución del precio de los alimentos

Todas estas situaciones se pueden formalizar, dando lugar al concepto matemático de función.

En esta unidad se hace un estudio de dicho concepto y de sus propiedades, que pueden deducirse mediante la interpretación de las gráficas correspondientes.

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Función Real, R, de variable Real, R.

Figura 2: Representación mediante diagramas de Venn de la definición de una función. (Fuente de la imagen)

Def. 1: "Entendemos por función real, la relación entre dos variables de forma que cada valor de la variable independiente, x, le hace corresponder un único valor de la variable dependiente, y." (fig. 2)

Def. 2: "Una función de variable real f es una relación que asigna a cada número real x (variable independiente) de un cierto conjunto de R, que se llama dominio, un único real y (variable dependiente).

Se representa por y = f(x) para todo valor x perteneciente al conjunto de los número reales. Se dice que y es la imagen de x.

Obs. 1: Si la relación establece que a algún elemento de x le corresponde más de un valor de y no sería función.

Obs. 2: Para conocer una función es necesario conocer entre otras características, el dominio, dom f(x), y el recorrido, rec f(x), también llamado imagen, Im f(x).

Para entenderlo mejor pincha aquí

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Operaciones con funciones Dadas dos funciones, f y g, se definen las operaciones:

Obs. 1: En general, la composición no es conmutativa (video 1b)

Video 1:: a) Video de operaciones con funciones (suma, resta, multiplicación, división, composición); b) Video de composición de dos funciones: f ° g, g ° f

Función inversa Def.: La función inversa de una función f es otra función, f -1, tal que para cualquier valor x de su dominio se cumple que: si f(x)=b, entonces f -1(b) = x (fig. 3 a y b). En el video 2 se muestra como se dibuja la función inversa de una dada. Obs.: No debes confundir la función inversa, f -1(x), con la función [f(x)]-1 = 1/f(x).

a)

b)

Figura 3: a) Diagramas de Venn donde se expresa visualmente que representa la función inversa. (Fuente de la imagen); b) Representación gráfica donde g(x) = f-1(x) (Fuente de la imagen)

Video 2: Funciones inversa

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Dominio y Recorrido

Figura 4: Representación gráfica donde se observa la diferencia entre dominio y recorrido, también llamado rango. (Fuente de la imagen)

Def. 1: "El dominio de una función es el conjunto de valores Reales que puede tomar la variable independiente, x, para que la función, f(x), exista." (fig. 4) Def. 2: "El dominio de una función y = f(x) es el conjunto de valores reales, x, para los que el valor f(x) está bien definido." Obs. 1: Es decir, el dominio son todos los valores de x para los que f(x) está definida. Obs. 2: El dominio se representa como un conjunto o intervalo llamado: dom f(x).

Def. 3: "El recorrido de una función es el conjunto de valor Reales que toma la variable dependiente, y, en la función, f(x)." (fig. 4) Def. 4: "El conjunto de todas las posibles imágenes o valores que toma la función se llama recorrido, imagen, rango o contradominio" Obs. 3: El recorrido se representa como un conjunto o intervalo llamado: rec f(x)= Im f(x).

Video 3: Ejemplo de cálculo de dominios de funciones algebráicas

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Funciones Algebraicas Def.: "Las funciones algebráicas son aquellas en las que la variable independiente, x, se ve afectada por operaciones algebraicas (+, -, ·, /, potencia, raíz, ...)" Tipos de funciones algebraicas son: • • • •

Funciones polinómicas Funciones racionales Funciones irracionales Funciones a trozos, formadas por polinómicas, racionales o irracionales.

Funciones Polinómicas Las funciones polinómicas con aquellas funciones que vienen expresadas por un polinomio: f(x) = P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 para cualquier valor de n que sea un número natural, y todos los coeficientes a i sean cualquier número real, con an ≠ 0. Obs. 1: Siempre es posible obtener una imagen, y, perteneciente a los Reales, para cualquier valor que tome la variable independiente, x . Por tanto, en todas las funciones polinómicas:

dom f(x) = R

Tipos de Funciones Polinómicas Función Lineal: Está definida por una función polinómica de primer grado f(x) = ax + b, donde a es la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen, es decir, el punto de corte de la recta con el eje y es (x,y)=(0,b)

Figura 5: Representación gráfica de tres funciones afines. (Fuente de la imagen). Obsérvense como los puntos de corte con el eje y, coincide con el valor b de la ecuación explífica.

La variación entre dos valores de la variable y es siempre proporcional a la variación entre los valores correspondientes de x.

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Función Cuadrática: (fig. 6, video 4) Está definida por una función polinómica de 2º grado del tipo: f(x) = a·x2 + b·x + c,

donde su representación gráfica es una parábola con vértice en:

Figura 6: Representación gráfica de la función cuadrática: f(x)= x 2 -2x - 3. (Fuente de la imagen)

Video 4: Representación de la función cuadrática f(x)=2x-x 2.

Si quieres saber más sobre esta función pincha aquí.

Función Polinómica de 3er grado (fig. 7) : Está definida por una función del tipo: f(x) = a·x3 + b·x2 + c·x + d,

que dependiendo del valor del coeficiente del término de tercer grado, a, y del discriminante, Δ = 4p3 + 27q2 se pueden representar según se muestra en la figura 7. Cuyo polinomio se puede descomponer en varios factores que también dependen del discriminante de la manera siguiente:  Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.  Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.  Si Δ < 0 existen tres raíces reales

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Figura 7: Tipos de funciones polinómicas de 3er grado, en función del coeficiente del término director, a, y del discriminante Δ = 4p3 + 27q2. (Fuente de la imagen)

Funciones Racionales Las funciones racionales son aquellas que su expresión es el cociente de dos polinomios: f(x) = P(x) / Q(x) Obs. 1: Puede hallar la imagen de cualquier x, excepto de aquellos que anulan el denominador. Obs. 2: El dominio de este tipo de funciones es todos los reales menos aquellos valores de la variables independiente, x, que hacen que el denominador se anule (e.d. sea cero).

Figura 8: Ejemplo de función racional f(x) = (x3-2x) / (2x2-10) (Fuente de la imagen)

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Funciones Irracionales Def.: "Una función irracional es aquellas que en su expresión, la variable independiente, x, aparece bajo el signo radical.". Por ejemplo, la que se muestra en la figura 9:

Obs. 1: La función f(x) existe (e.d. tiene un valor Real, R) dependiendo de la paridad del índice radical: • •

Si n es par, entonces Si n es impar, entonces dom

dom

f ( x) = { x ∈ ℜ /( g ( x) ≥ 0}

f (x) = ℜ

Figura 9: Ejemplo de función irracional con índice par (Fuente de la imagen)

Sin embargo, no tenemos que olvidarnos que se pueden combinar funciones racionales con irracionales o viceversa (video 5).

Video 5: Cálculo del dominio de funciones donde se combinan irracionales con racionales.

Funciones Exponenciales Este tipo de funciones sirven para describir fenómenos de crecimiento o decrecimiento, como, por ejemplo, el crecimiento de la población humana o el decrecimiento radiactivo. Una función exponencial, en su versión más simplificada, adopta la forma f(x) = a x, donde la base a es un número real positivo. Su comportamiento depende fundamentalmente del valor de la base.

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Figura 10: Representación gráfica de funciones exponenciales.(Fuente de la imagen) Obsérvese la variación existente según sea el valor de a.

Funciones Logarítmicas Teniendo en cuenta la relación: log a x = y ↔ ay = x, es fácil deducir que la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Las funciones logarítmicas, al igual que las exponenciales, están presentes en muchos procesos biológicos; así, el grado de pigmentación de la mosca tse-tse, en función de la humedad de la atmósfera en la que formaron la pupa o capullo, sigue una función logarítmica.

Def.: Llamamos función logarítmica de base a a la función f(x) = loga x, donde a es un número real positivo distinto de 1 y el argumento un número positivo (video 6).

Figura 11: Representación gráfica de las funciones logarítmicas. (Fuente de la imagen) Obsérvese la variación existente según sea el valor de a.

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Video 6: Cálculo del dominio de una función logarítmica

Funciones Trigonométricas Muchos fenómenos siguen un comportamiento periódico: los días y las noches, las ondas, los latidos del corazón, etc. La periodicidad es de gran ayuda para su estudio, ya que basta con analizar qué ocurre en un período y luego extender las conclusiones. Las funciones periódicas por excelencia son las trigonométricas, que se definen asignando a cada valor de x en radianes su razón trigonométrica correspondiente: f(x) = sen x; f(x) = cos x; f(x) = tan x.

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Función seno y coseno Estas asignan a cada ángulo, x, en radianes su seno y su coseno, respectivamente. Sus propiedades son muy parecidas. Dominio: dom f (x) = R. Recorrido: rec f(x) = [-1, 1] Periodicidad: T = 2Π Simetría: • •

sen (-x) = - sen (x) → función impar cos (-x) = + cos (x) → función par

Al ser funciones periódicas, no existen sus límites en ±∞.

Figura 12: Funciones seno y coseno: Características básicas y representación gráfica (Fuente de la imagen)

Función tangente Dominio: dom tan (x) = R - {x = π/2 + kπ} Recorrido: rec tan (x) = R. Periodicidad: T = π Simetría: tan (-x) = - tan (x) -> función impar Al ser función periódica, no existen sus límites en ±∞. Existen asíntotas verticales en los puntos x = π/2 + kπ.

Figura 13: Función tangente: Características básicas y representación gráfica (Fuente de la imagen)

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Funciones definidas a trozos Def. 1: "Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica no es única, sino que depende del valor de la variable independiente".

Def. 2: "Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas".

Para dibujar las funciones a trozos tendremos que representar cada una de las partes de las que está compuesta teniendo en cuenta, además, que solo tienen validez en el intervalo en el que están definidas, por ello influye en el cálculo del dominio (video 7).

Figura 14: Representación de las funciones a trozos este objeto de aprendizaje está basado en zirkel (C.a.R.), un applet java creado por el profesor René Grothmann de la facultad de Matemáticas y Geografía de la universidad alemana de Eichstätt, y adaptado y dotado de interactividad mediante javascript por un profesor del instituto andaluz IES Mar Serena.

Video 7: Dominio de una función a trozos.

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Función valor absoluto de una función De manera similar a la definición de valor absoluto de un número, se define también el valor absoluto de una función, con ayuda de una función a trozos (figura 15 y video 8):

Dada la función valor absoluto de esta función cuadrática

que se puede expresar mediante la función a trozos:

Figura 15: Ejemplo de valor absoluto de una función cuadrática, que se puede expresar como una función a trozos. Representación de la función a trozos. (Fuente de la imagen)

Video 8: Cálculo del valor absoluto de una función.

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Función parte entera de x Def.: La parte entera de un número x es el mayor número entero que es menor o igual que x. La función asociada es:

 − 2  −1  f(x) = Entero[x] =  0 1  2  

 si si si

x ∈(−3,−2] x ∈( −2,−1] x ∈( −1,+1) x ∈[ +1,+2) x ∈[ +1,+2)

si si 

Figura 16: Función entero de x, que se puede expresar como una función a trozos.

Este tipo de funciones es muy común en situaciones reales en las que la variable dependiente presenta saltos, como las tarifas de los taxis o de los aparcamientos, que presentan diferentes precios según los tramos.

Simetría de una función Def.: Una función es simétrica si para cada punto, A, existe otro, A', equidistante con respecto a un punto o una recta: •

Simetría Puntual: Dado un punto P, como referencia, será A’ el punto simétrico a A si cumple: o d(A,P) = d(A',P), o A,A’,P∈r Simetría Axial: Dado una recta s, como referencia, será A’ el punto simétrico a A si cumple: o d(A,L) = d(A',L), o A,A’∈r, o r⊥L

Simetría puntual

Simetría axial

(fuente de la imagen)

(fuente de la imagen) Figura 17: ejemplos de simetría

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Simetría Impar Def.: Una función f(x) es IMPAR, si para todo x perteneciente al dominio de la función, se cumple f(-x)=-f(x) (video 9). Obs. 1: La simetría IMPAR es un tipo de simetría puntual respecto al punto (0,0)

Figura 18: Ejemplo de función con simetría impar (Fuente de la imagen)

Simetría Par Def.: Una función, f(x), es PAR si para todo punto x que pertenece al dominio de la función, se cumple f(-x)=f(x) (video 9). Obs. 1: La simetría PAR es un tipo de simetría axial. Obs. 2: El eje de simetría es el eje y.

Figura 19: Ejemplo de función con simetría Par (Fuente de la imagen)

Video 9: ¿Tiene simetría par o impar la función f(x)=-x3+x?

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Ceros de la Función Def.: Los CEROS de la FUNCIÓN son los puntos de corte de la función con los ejes x e y (video 10) Para calcular los puntos de corte con el eje x, es decir los ceros en x, debemos resolver la condición: y = 0. Por tanto, sustituye f(x) por 0 y se resuelve la ecuación. Recuerda que debes comprobar si los resultados de la ecuación pertenecen al dominio de la función. Para calcular el punto de corte con el eje y, es decir el cero en x, debemos calcular el valor número de la función para x = 0, si pertenece al dominio de la función. Por tanto, sustituye en f(x): x=0 => f(0) =...

Video 10: Cálculo de los puntos de corte de una función cuadrática

Signos de la función Def.: La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son (a, f(a)) cuando a recorre todos los valores del dominio de f. En el apartado anterior hemos visto lo que Centrémonos en los ceros en x, es decir, donde y = 0.

son

los

puntos

de

corte.

Para determinar el signo de una función debemos resolver inecuaciones del tipo: f(x) > 0, y, f(x) < 0. Sus soluciones serán los signos de la función. Obs.: En resumen es indicar donde la función es positiva (está por encima del eje x) o es negativa (está por debajo del eje x). Y para calcular los signos debemos tener en cuenta los puntos que no pertenecen al dominio, los ceros de la función y los extremos de definición (si es una función a trozos).

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Ejercicio 1:

Resolución a) por F. Santos:

b) por Nuria D:

c) por Raquel A:

d) por María J:

e) por Irene E:

f) por Nuria D.:

g) por Carolina V:

h)

i)

j)

k)

l) por Patricia M:

m) por Nazaret P.:

n) por Elena M.

o) ñ) por Pablo M.:

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Ejercicio 2: Representa gráficamente las siguientes funciones e indica, después de dibujarlas, cuál es su dominio y su recorrido:

Resolución a)

por F. Santos:

b) por Jorge GD:

d) por María J.: e)

g) por Mario R.

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c)

por Silvia F.:

f)

por María Ll.:

por Javier MP:

h) por Nuria D.

i)

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Ejercicio 3:

Resolución

a) por María J.

b) por Silvia F:

e) por Guillermo T:

f) por Irene E.

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c) por María Ll:

g) por Mario R.

d) por Saúl M:

h) por Victor R.

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Ejercicio 4:

Resoluci贸n a) Por Javier M-P

e) por Victor C.

b) por PilarMV

f)

c) por F.Santos:

d) por Pablo M

g) por Silvia F:

h) por Mar铆a

J:

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Ejercicio 5:

Resoluci贸n

a)

Por Alberto M.

b) por Silvia F:

c) por Roberto A:

d) por F. Santos:

e) por Javier M-P:

] f) por Nazaret P.

k) por Isabel A:

g) por Javier MP

h) por Nuria D.

l) por Ivan M

m) por Roberto A

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i) por Raquel A

n) por Hector G:

j) por Alejandro F:

帽) por Nuria D:

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Ejercicio 6: Calcula los signos de las siguientes funciones:

Resolución

a) por Silvia F

b) por Nazaret P

c) por Isabel A

d) por Javier MP

e) por Raquel A

f) por David B

g) por María J

h) por María R

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Conceptos Básicos de Funciones  

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