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LAS MATEMÁTICAS Y LA REALIDAD

A pesar de parecer una disciplina infalible e incluso dogmática, la matemática, su significado, su aplicabilidad al mundo real, su esencia y su origen han sido tema de debate intenso en todos los tiempos. Los grandes matemáticos han reflexionado siempre sobre lo que la matemática es y significa. Hemos seleccionado unas reflexiones de famosísimos matemáticos de todos los tiempos en las que trasmiten su preocupaciones y sus convencimientos sobre estos temas. Verás que en el debate aparece la pregunta de siempre de si el mundo es como es, o si es así sólo porque es como lo percibimos.

por Lolita Brain

“EN CUALQUIER TEORÍA PARTICULAR SÓLO HAY DE CIENCIA REAL LO QUE HAYA DE MATEMÁTICAS”. INMANUEL KANT (1724-1804) “Surge aquí un enigma que ha inquietado a los cien-

Descartes, a pesar de ser un hombre muy piadoso, aquí niega la idea de que Dios pueda intervenir constantemente en el funcionamiento del mundo, dotando de valor su p remo l a i nvari abi l i d ad d e l as l e yes naturales.

tíficos de todas las épocas. ¿Cómo es posible que las matemáticas, un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, se acomode tan extraordinariamente a los objetos de la realidad física? ¿Puede la razón humana, sin la experiencia, descubrir mediante el pensamiento puro propiedades de las cosas reales?” y añadía a continuación, en una de sus más célebres frases sobre la ciencia:

“EN

LA MEDIDA EN QUE LAS PROPOSICIONES DE LAS

MATEMÁTICAS DAN CUENTA DE LA REALIDAD, NO SON CIERTAS; Y EN LA MEDIDA EN QUE SON CIERTAS, NO DESCRIBEN LA REALIDAD... PERO ES CIERTO, POR OTRA PARTE, QUE LAS MATEMÁTICAS EN GENERAL, Y LA GEOMETRÍA EN PARTICULAR, DEBEN SU EXISTENCIA A NUESTRA NECESIDAD DE APRENDER COSAS ACERCA DE LAS PROPIEDADES DE LOS OBJETOS REALES”.

ALBERT EINSTEIN (1879 -1955) EN ASPECTOS DE LA RELATIVIDAD (1921).

“HAY

8

“NO

MUNDO

INHERENTE A LA

LA NATURALEZA DE LA MISMA FORMA QUE

DIOS

ESTABLECIÓ ESTAS LEYES EN

UN SOBERANO DICTA LEYES EN SU REINO.

QUE SE REFLEJA

Y

EN

NUESTRAS

TAD CUANTO MENOS CONOCIDO FAMI-

MENTES BAJO LA

LIARMENTE ES POR SUS SÚBDITOS, ASÍ

IMAGEN DE SIM-

DEZA DE

TEMÁTICAS.

ÉSTA ES LA RA-

OS

LOS FENÓMENOS

ME -

DIANTE UNA COMBINACIÓN DE OBSERVACIONES Y ANÁLISIS MATEMÁTICO.

UNA Y OTRA VEZ EN LA HISTORIA DE LA FÍSICA ESTA CONVICCIÓN, O DEBERÍA DECIR ESTE SUEÑO, DE ARMONÍA EN LA NATURALEZA HA CONSEGUIDO LOGROS MÁS ALLÁ DE

H E R M A N N W EYL

DIRÁN QUE, SI

DIOS

ESTABLECIÓ

ESTAS VERDADES, PODRÍA CAMBIARLAS, LO MISMO QUE UN REY CAMBIA SUS

DE LA NATURA DECIBLES

DIOS COMO INCOMPRENSIBLE Y

NO PENSAMOS QUE CARECEMOS DE REY.

ZÓN POR LA QUE

LEZA SON PRE -

ASÍ COMO UN REY TIENE MÁS MAJES-

NOSOTROS TAMBIÉN JUZGAMOS LA GRAN-

PLES LEYES MA-

NUESTRAS EXPECTATIVAS ”.

TEMA PROCLAMAR POR DOQUIER

QUE

NATURALEZA,

AULA

DE EL

UNA AR -

MONÍA OCULTA,

LEYES; A LO QUE RESPONDERÉIS QUE,

NEWTON

POR

WILLIAM BLAKE

“CUANDO ESCRIBÍ MI TRATADO SOBRE NUESTRO SISTEMA, TENÍA PUESTA LA ESPERANZA EN QUE TALES PRINCIPIOS AYUDARAN A LOS HOMBRES A CREER EN DIOS; Y NADA ME REGOCIJA MÁS QUE ENCONTRARLOS ÚTILES PARA ESTOS PROPÓSITOS”.

SIR ISAAC NEWTON (1643 1727) EN CARTA AL REVERENDO RICHARD BENTLEY.

EFECTIVAMENTE,

ES

POSIBLE

VOLUNTAD PUEDE CAMBIAR.

SI

PERO

SU YO

CONSIDERO ESAS VERDADES COMO ETERNAS E INMUTABLES LEYES”.

RENÉ DES(1596 - 1650) CARTA AL PADRE MARIN MERSENNE (1630)

CARTES

(1885 - 1955). “PODEMOS CONSIDERAR EL ESTADO

“CARECEMOS

EN NUESTRO

PRESENTE DEL UNIVERSO

DEBEMOS OLVIDAR JAMÁS QUE

[...]

VIMIENTO DE LOS GRANDES

CONOCIMIENTO DEL ESPACIO,

COMO EL EFECTO DE SU

DE LA COMPLETA CONVICCIÓN

PASADO Y LA CAUSA

DE LA NECESIDAD DE NUES-

DE SU FUTURO. UNA

TRA GEOMETRÍA (Y TAMBIÉN

INTELIGENCIA QUE

DE SU ABSOLUTA VERDAD ),

EN UN MOMENTO

ESTE TIPO NADA

QUE ES COMÚN A LAS MATE-

DADO CONOCIE-

PODRÍA SER IN -

MÁTICAS PURAS ; DEBEMOS

RA TODAS LAS

CIERTO, Y EL FU-

AÑADIR HUMILDEMENTE, QUE

FUERZAS QUE

TURO, EXACTA-

SI EL NÚMERO ES EXCLUSIVA-

ANIMAN

MENTE LO MIS-

MENTE UN PRODUCTO DE

NATURALEZA

MO

NUESTRA MENTE, EL ESPACIO

Y LAS POSI -

PASADO, ESTA-

LA

CUERPOS DEL UNIVERSO Y EL DE LOS MÁS LIGEROS ÁTOMOS : PARA UNA INTELIGENCIA DE

QUE

EL

TIENE UNA REALIDAD FUERA

CIONES MU -

RÍA PRESENTE

DE ELLA Y NO PODEMOS PRES-

TUAS DE LOS

ANTE

CRIBIR COMPLETAMENTE SUS

SERES QUE LA

OJOS”.

LEYES”. C. FRIEDRICH GAUSS

COMPONEN. SI

( 1 7 7 7 - 1 8 5 5 ) DE U N A C A R TA AL FÍSICO BESSEL, 1830.

GENCIA FUERA

ESTA

INTELI -

LO SUFICIENTE -

“NO

SAR EN UNA ÚNICA FÓRMULA EL MO-

TODAS LAS CONSTRUCCIONES

MATEMÁTICAS, NO SON MÁS QUE NUESTRAS PROPIAS CREACIONES”.

C. FRIEDRICH GAUSS (CARTA A BESSEL, 1811).

MENTE PODEROSA COMO PARA SOMETER TODOS LOS DATOS AL ANÁLISIS, PODRÍA CONDEN-

SUS

PIERRESIMON LAPLACE (1749 -1827), padre de la química, y agnóstico, rechazaba cualquier creencia en Dios como matemático y arquitecto del universo. lolitabrain@hotmail.com


¿MAGIA MATEMÁTICA O LÓGICA NUMÉRICA?

La aritmética con números naturales no sólo nos sirve para contar, también la diversión parece estar entre los números. A medio camino entre la magia y la realidad, no es difícil penetrar en la mente de un amigo y, con sencillas operaciones, conseguir desvelar el misterio de un número que el otro habrá pensado y que, como no, pensará que sólo en su mente está. Te proponemos cinco juegos de adivinación que Harry Potter nos desveló.

por Lolita Brain

LA MAGIA DEL SIETE, EL ONCE Y EL TRECE LA RESPUESTA ME DA Sólo de tres cifras un número debes pensar. Sin darle la vuelta a su lado pondrás. Múltiplo de siete siempre resultará. Así que con la calculadora dividirlo por siete exactamente siempre podrás. De nuevo por once dividirlo podrás sin que resto alguno quede al final. Por último, más difícil, entre trece dividirás nada quedará de resto y aun es más, el cociente que tengas el número original será.

325 325325 325325 7 0 46475 1111 0 4225 0

13 325

NI TU ZAPATO NI TU EDAD TIENEN SECRETOS PARA MÍ

HARRY POTTER ADIVINA LA EDAD DE TU MADRE Y EL NÚMERO DE HERMANOS La edad de tu madre has de multiplicar por diez. Fácil es, pues sólo un cero añadir deberás. (520) El número de tus hermanos, donde has de incluirte tú, sólo por nueve multiplicar habrás de.(27) Resta del primer cálculo el segundo, que seguro que menor será. (520-27=493) Al decirme este número la respuesta me darás: 49+3=52 es la edad de tu madre y tú, tres hermanos tendrás. ¿A que sí?

APUESTO DRACO, QUE ADIVINO TU PENSAMIENTO Draco, piensa dos dígitos que desees. Voy a adivinarlos si tú te dejas. Para ello multiplica por dos el primero de los dos números que has pensado y súmale ocho al resultado.

Si eres capaz Draco, cosa que dudo, suma el segundo número que pensaste y resta 40. Dime el resultado.

Toma el número de tu calzado y que multiplicarlo por dos tendrás. Suma tres al resultado. Para multiplicar el resultado por 500 quizá una calculadora tendrás que utilizar. Si tu edad conoces, súmala al número anterior. Extraña resta te obligo a realizar, pues 2.620 tendrás que quitar. Dime el resultado, que seguro que cinco cifras tendrá. Si 1.120 sumo a tu número, la magia de los números la respuesta deseada me proporcionará. Pues a la izquierda tu calzado estará. Un cero en el centro resultado habrá. Y a la derecha sólo tu edad quedará.

42x2=84 84+3=87 87x500=43500 43500+17=43517 43517-2620=40897 40897+1120=42017

HARRY POTTER ADIVINA TODOS LOS CÁLCULOS QUE TÚ REALIZAS Un número no capicúa por pensar empezarás. No me lo digas pues adivinar tus cuentas voy a. Cambia el orden de sus cifras para que vuelto del revés sea ahora. Uno más grande que el otro será. Resta del mayor el que sea más pequeño de los dos. Una vuelta más, al resultado anterior tendrás que dar. Derecha a izquierda, izquierda a derecha. El del centro en su sitio deberá estar. Los dos invertidos anteriores sumarlos tendrás. Mi magia me dirá qué resultado obtendrás: ¡Harry se cree muy listo! pues 1.089 siempre sacarás. (es 20 mi resultado) Ahora por cinco este número lo has de Qué sencillo, multiplicar (...seguro me salió 100 que le sale 100, pero Harry seguro pero él no lo que no lo sabe) sabe

Harry, he obtenido 63, y como puedes ver, por supuesto que sé calcular.

Mi querido Draco: ¡los números que tú pensaste son el seis y el tres! ¿A que sí? www.lolitabrain.com


VERDAD Y TRUCO EN LOS ACERTIJOS

LA DESAPARICIÓN DEL CUADRADO

U

aul Curry, ciudadano neoyorquino, inventó un curioso problema de geometría. Tomando un cuadrado de cartulina como el de la primera figura de la derecha, propuso que se recortaran las piezas según se indica. Reorganizando las mismas partes, pero ahora según la segunda figura, se obtiene un nuevo cuadrado al que le falta un pequeño cuadradito azul. ¿Dónde ha ido a parar dicho cuadrado? ¿Hay truco o es verdad esta ‘desintegración’ de parte del cuadrado?

BEN-IBRAH, EL INGENIOSO AMANTE

C

uenta una vieja leyenda que Yusuf, emir de Damasco, deseaba impedir la boda de su hija Shafila con Ben-Ibrah, un pobre comerciante del que ella estaba perdidamente enamorada. Yusuf se negaba repetidamente a la petición de Shafila, pero ante su insistencia convino en darle una oportunidad. De este modo les propuso que él escribiría en dos trozos de pergamino las palabras ‘boda’ y ‘destierro’. Ben-Ibrah escogería del turbante del emir uno de los dos pergaminos. Su destino quedaría marcado por la palabra del trozo que escogiera al azar. Yusuf, que no iba a

consentir que su hija se saliera con la suya, escribió en ambos la palabra ‘destierro’. Pero el comerciante, que aunque pobre, no era ingenuo, imaginó la treta del emir. Claro, no podía decirlo y dejarle en evidencia delante de su corte, y por otro lado, sólo deseaba su boda con Shafila. La prueba se realizó y al cabo de unos días, Ben-Ibrah y Shafila disfrutaban felices de una maravillosa fiesta de boda. ¿Qué pudo hacer el comerciante para escapar de la trampa de Yusuf?

-Mi querida Shafila, tu padre mostrará a todos el trozo que él tiene. ¡Alá ha querido que nos casemos! Para no quedar como un tramposo, el emir no tuvo más remedio que mostrar el pergamino que quedaba en su turbante, que él bien sabía que tenía escrita la palabra ‘destierro’. Por tanto, Ben-Ibrah sólo pudo haber elegido el que tenía escrito ‘boda’.

Ben-Ibrah pensó: “Seguro que el emir ha escrito en ambos pergaminos la palabra ‘destierro”. Pero si lo digo en público quedará como un tramposo y me hará desterrar igualmente por haberle ofendido”. Así que no podía tomar un trozo y mostrarlo. Tomó uno de los pedazos, lo leyó para sí y acto seguido, gritando de júbilo a Shafila, lo rompió en mil pedazos.

SIN TIEMPO PARA ESTUDIAR

A

lberto, un mal estudiante de E.S.O., fue inquirido por sus padres para que les explicara a qué eran debidos los malos resultados en sus evaluaciones. Alberto, que era más listo de lo que sus padres imaginaban, les contestó: “Mirad, el problema es que no me queda tiempo para estudiar. Si hacemos cuentas sobre el tiempo que invierto en algunas actividades, lo comprenderéis. Duermo ocho horas diarias, lo que suponen 122 días al año; no hay clases los sábados ni domingos, que hacen un total de 104 jornadas; y en verano hay vacaciones a lo largo de 60 días. Necesito tres horas diarias para comer, lo que suponen más de 45 días completos al año, y si ponemos dos horas para ocio, me dan algo más de 30 jornadas. Total, estas actividades suman 361 días en un año. Como veis, el problema es que no me queda tiempo ni para ir a la escuela. Los padres de Alberto quedaron boquiabiertos, preguntándose ¿cómo es posible que vaya a clase si el pobrecillo no tiene tiempo?

El truco del engaño consiste en que algunas de las actividades que menciona Alberto se solapan en el tiempo y se cuentan dos veces en el cómputo total. Por ejemplo, de los 122 días al año que duerme, buena parte de ellos corresponden a su periodo de vacaciones; durante estos días también duerme y come, etc. Así, Alberto contabiliza varias veces los días, motivo por el que no le queda tiempo para ir al colegio.

El menor número posible de trozos que han de efectuarse en la barra de plata son cinco. Han de medir exactamente 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros cada uno. Ellos le bastarán para poder pagar a su casera los 31 días de marzo. Por ejemplo, el día 17 le entregará los trozos de 1+2+4+8 y la casera le devolverá la parte de 16 cm del día anterior. Este procedimiento se basa en el sistema de numeración binario que usan los ordenadores.

MUNDO

P

Al cambiar de lugar las piezas 2 y 3, cada uno de los cuadrados pequeños que se han cortado se hacen un poco más altos que anchos. Así, el cuadrado final no es realmente perfecto. Su altura se ha incrementado para aumentar en superficie tanto como el cuadradito azul que aparentemente ha desaparecido.

8

AULA

por Lolita Brain

EL BUSCADOR DE PLATA n empobrecido buscador de plata, sólo tenía una barra de este metal de 31 cm. Ante la exigencia de su casera de no darle más crédito y de tener que pagar cada día el precio de la renta, el minero le propuso lo siguiente. Como estaban en marzo, cortaría la barra en 31 trocitos. Cada día le daría uno a la casera y al llegar al 31, si tenía el dinero de la renta, ella le devolvería la barra de plata en pedazos. Hacer los 31 trozos era muy laborioso, por lo que el minero pensó que podría solucionar su problema con menos cortes. Por ejemplo, podría hacer 2 cortes de 1 cm y otro de 2. Los dos primeros días entregaría una de las partes de 1 cm y el tercero daría a la casera la de 3 cm, que le devolvería los dos de 1 cm. Se preguntó entonces, ¿cuál será el mínimo número de cortes que deberé realizar a la barra?

DE EL

Los divertimentos de lógica encierran algunas veces profundos conceptos o necesitan de métodos especiales para resolverlos. Otros, en cambio, sólo encierran un engaño en sus palabras. Hemos seleccionado cinco problemas de lógica: dos contienen un truco y no son ciertos, uno es un modélico ejemplo de pensamiento lateral que da la vuelta al problema suscitado. El problema del minero de plata encierra la aritmética binaria y por último reseñamos un ejemplo de la reorganización geométrica. ¡Que te gusten y los resuelvas!

EL LÓGICO SARGENTO McCORMITT

E

l exigente y lógico teniente de artillería británico Smith siempre ponía a prueba a sus subordinados. En una ocasión, habiendo caído enfermos algunos de los soldados de un batallón, sólo 17 se presentaron a la habitual revista matutina. A Smith sólo se le ocurrió increpar al sargento McCormitt: - ¡Forme a estos soldados en cuatro filas de cinco personas cada una! - Pero señor, si son sólo 17. No es

posible -le contestó el sargento. -Usted estudió geometría en la Academia. Cumpla mis órdenes o se atendrá a las consecuencias -le respondió el teniente malhumorado. McCormitt se quedó pensativo un rato y al final, respondió: - A sus órdenes mi teniente. Y en un instante formó a los 17 soldados según las órdenes recibidas. ¿Cómo organizó McCormitt a su batallón para cumplir las órdenes de Smith? www.lolitabrain.com


PON TU INGENIO A TRABAJAR

Después del agotamiento mental que tendrás tras los exámenes, nada mejor para relajarse que resolver unos curiosos problemas lógicos que pongan a prueba tu ingenio. Te presentamos versiones de algunos problemas famosos. Por ejemplo, el dilema del granjero es una versión de una respuesta contundente que proporcionó Lincoln a un adversario político. Las copas de Poirot son un modelo que se utiliza en muchas situaciones reales. Además te proponemos dos cuestiones clásicas con cerillas y monedas y una típica de relojes, similar a otras con jarras que seguro conoces. Que te diviertas.

por Lolita Brain

LOS HUEVOS COCIDOS

UN CLÁSICO CON CERILLAS

isponemos de dos relojes de arena que miden 11 y 7 minutos cada uno. Con ellos debemos realizar una cocción perfecta de un huevo, que se cocina en 15 minutos exactamente. ¿Cómo puede hacerse?

on tan sólo seis cerillas, debes ser capaz de construir ocho triángulos equiláteros, es decir, con tres lados iguales cada uno. Los ocho triángulos no tienen por qué tener las mismas dimensiones.

D

C

Sólo tienes que componer una estrella de David formando dos triángulos con las seis cerillas e invirtiendo uno. Tendrás así seis triángulos pequeños, las puntas de la estrella, y dos grandes. Todos ellos son equiláteros aunque dos, de distinto tamaño.

Y UN CLÁSICO CON MONEDAS

n cierta ocasión, el famoso detective belga creado por Agatha Christie, Hercules Poirot, fue llamado para dilucidar un envenenamiento ocurrido en el transcurso de una fiesta. Al parecer, el asesino colocó el veneno en la última copa de la que bebió Sir John de Lancaster. Con la confusión de su repentina muerte, nadie podía asegurar cuál era esa trágica copa, en la que pudieran hallarse huellas del asesino. Hacer examinar todas y cada una de las copas era un proceso muy costoso además de lento. Con la inteligencia que le caracteriza, Poirot contó las copas que había en el salón y dijo escuetamente al anfitrión: - Sir Harris, tenga la amabilidad de escoger una copa cualquiera de las que están a su alrededor y llevémosla a analizar. - Pero así desperdiciaremos un análisis -replicó Sir Harris. - Le puedo asegurar que no haremos ni uno más ni uno menos de los que hay que hacer: analizando exactamente ocho copas sabremos de la que bebió Sir John. Unas horas y ocho análisis después, Poirot volvió con la copa envenenada en su mano. Si en el salón había entre 100 y 200 copas, ¿cómo pudo Poirot con sólo ocho pruebas encontrar la copa que mató a Sir John? y, ¿cuántas copas había, para que el primer análisis se pudiera hacer con cualquiera de ellas?

E

Basta con colocar una moneda cualquiera sobre la que está en su diagonal. De este modo tendremos un esquema triangular en el que hay dos filas y cada una tiene tres monedas.

Se vuelven los dos relojes a la vez que se pone el huevo en el agua. Cuando el reloj de siete minutos ha acabado, se le da la vuelta de nuevo hasta que termine el de 11 minutos. En este momento han transcurrido 11 minutos... ¡pero el reloj de siete minutos tiene abajo otros cuatro! Le damos la vuelta y cuando acabe, los huevos estarán cocidos pues habrán pasado exactamente 11+ 4 minutos.

LAS COPAS ENVENENADAS DE POIROT

L

as cuatro monedas de la imagen forman un cuadrado. Moviendo sólo una de sitio, ¿podrías hacer dos hileras con tres monedas cada una?

LA PARADOJA DE LINCOLN n granjero tiene 30 cerdos, 20 caballos y 50 vacas. Si llamamos vacas a los caballos, ¿cuántas vacas tendrá este granjero?

U

2 =128 y 2 =256, cuando Poirot contó las copas supo al instante que sólo necesitaba ocho pruebas como máximo. Por otra parte, si había 129 copas, Poirot pensó: necesitaré un examen de una copa cualquiera y luego si ésta no tiene el veneno, al quedarme 128 copas, realizaré los otros siete análisis. 7

El granjero tendrá exactamente las mismas 50 vacas. Por mucho que llame vacas a los caballos, estos no van a dejar de serlo. La pregunta está tomada de una anécdota de Abraham Lincoln, el presidente abolicionista de los Estados Unidos. Se cuenta que al estar discutiendo con un ciudadano partidario de la esclavitud, éste le dijo que la esclavitud no era esclavitud sino proteccionismo. Lincoln le replicó: - Y si decimos que el rabo de un perro es una pata y no un rabo ¿convendría usted que los perros tendrían cinco patas? Imagino que no, puesto que cambiar el nombre de las cosas no cambia las cosas. Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

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El modo más rápido de encontrar la copa envenenada es por el procedimiento de división binaria. Se hacen dos grupos, cada uno con la mitad de todas las copas. Se mezcla de modo separado parte del contenido de todas las copas de cada mitad, de modo que el veneno estará en una de las dos mezclas. Se analiza una de las mezclas resultantes. Si se encuentra el veneno en ella se repite el proceso en esa mitad de las copas volviendo a separarlas en dos mitades. Si no se encuentra, el veneno estará en la otra mitad. Sabiendo que


PENSAR TAMBIÉN ES ENTRETENIDO

Te proponemos esta semana unos sencillos problemas que necesitarán de tu ingenio para que los resuelvas. Dos de ellos, el del zumo y el de los triángulos son de sentido común. El problema del cubo hace uso de una sencilla propiedad de los cuadrados para su solución. La respuesta al enigma del marido que se adelanta en su vuelta a casa es algo más difícil pero solo necesita que pienses detenidamente en el recorrido propuesto, y por último, el problema del autobús sólo necesita de tu observación. Que te diviertas.

por Lolita Brain

LOS REFRESCOS Y EL CAMARERO ADIVINO

DEL TRABAJO A CASA

L

R

oberto sale de la oficina todos los días a las 17:30. Tras acercarse a la estación de tren a pie, coge el tren de las 18:00 y llega a la estación de Alcalá donde vive, a las 18:30. Su esposa Ana sale todas las tardes de su casa en coche y llega a la estación exactamente a las 18:30, hora a la que recoge a Roberto del tren para llevarle a casa.Un día Roberto sale antes de la oficina y decide tomar el tren de las 17:30 que llega a la estación de Alcalá a las 18:00. Al llegar Ana no está en la estación y decide echarse a andar al encuentro de su mujer. Ana como es normal, sale de casa a la misma hora que todos los días. En un punto del camino encuentra a Roberto caminando, le recoge, da media vuelta y se dirigen a casa a la que llegan 10 minutos antes que cualquier día. Si los trenes son complementamente puntuales ¿Cuánto tiempo estuvo andando Roberto hasta que le encontró su esposa?

uis se acerca a la cafetería de su instituto y pide un zumo de tomate. El camarero le pregunta “¿Normal o especial?”. “¿Cuál es la diferencia entre ellas?”, le responde Luis. “El normal cuesta 90 céntimos y el especial 1 euro” le responde de nuevo el camarero. “Entonces tomaré uno especial” le contesta Luis dejando una moneda de 1 euro sobre el mostrador.De pronto entra en el bar Beatriz y dice: “Un zumo de tomate, por favor”, mientras deja un euro sobre la barra. El camarero sin dudarlo le pone un refresco especial sin preguntarle nada. ¿Cómo pudo saber el camarero que Beatriz quería un refresco especial?

Llamemos A al punto de encuentro. El ahorro de los 10 minutos proceden exclusivamente del trayecto que va desde el punto A hasta la estación y de la estación a A, pues el resto del camino -de casa al punto A- lo realiza como todos los días.Suponiendo que se invierte lo mismo de A a la estación que de la estación a A, desde el punto de encuentro a la estación se invierten 5 minutos.Como Ana llega todos los días puntualmente a las 6:30 a la estación, ha tenido que recoger a su marido a las 6:25. Por tanto Roberto ha estado andando 25 minutos.

Es muy fácil: Beatriz sacó de su bolsillo tres monedas de 25 céntimos, dos de 10 céntimos y una de 5 céntimos, que en total sumaban la cantidad de 1 euro. Si hubiera querido un refresco normal de 90 céntimos habría dejado sobre el mostrador la cantidad exacta ya que disponí a de cambio suficiente.

LA MITAD DEL CUBO 8

AULA D MUNDO

Al menos hay dos formas de resolver el enigma. Uno es trazar con cuidado las diagonales de una de las caras del cubo. Una vez hallado el centro del cuadrado de un cara, si éste se encuentra alineado con la superficie libre del líquido éste estará lleno exactamente hasta la mitad. Si el centro queda por debajo del agua estará lleno más de la mitad y si queda por encima del líquido estaría lleno menos de la mitad. Se puede conseguir el mismo efecto sin más que girar 45º el cubo en lugar de dibujando las diagonales.

DIVIDIENDO TRIÁNGULOS

E

n la siguiente figura hay exactamente dieciseis triángulos idénticos. Te pedimos que averigues en cuántas partes iguales hay que dividir el rectángulo para que en cada una de ellas haya exactamente el mismo número de triángulos.

LOS NUEVOS AUTOBUSES

E

n la parada del autobús, Laura observa a contraluz los nuevos autobuses de turismo para jovenes que ha estrenado el Ayuntamiento de Madrid. Al observar detenidamente lo que ve, se siente incapaz de averiguar hacia qué lugar se mueve. ¿Puedes decirle si se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha? ¿Por qué? Lo que es seguro es que al autobús tiene alguna puerta, pero Laura no aprecia ninguna como se ve en la foto. Por tanto la puerta ha de estar del otro lado del autobús, la que no se ve. Puesto que en Madrid se conduce por la derecha, el autobús se dirige hacia la izquierda.

Basta con dividir el rectángulo en dos partes como los de la figura. Nadie dijo que los triángulos tuvieran que ser ¡todos iguales!.

DE EL

os hombres están frente a un cubo de metacrilato relleno con cierta cantidad de agua. Se preguntan cómo averiguar sin utilizar instrumentos de medidas, si el cubo está lleno exactamente a la mitad de su capacidad o si bien está a menos de la mitad o a más. ¿Puedes ayudarles a resolver su problema?

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¿ENIGMAS O LÓGICA? H

P A T I N A D O R E S

arry y Potter son dos patinadores sobre hielo. Entrenan en un circuito circular. Un día, empiezan a patinar en el mismo momento y desde el mismo punto, Harry en el sentido de las agujas del reloj y Potter en el sentido opuesto. Justo al mediodía vuelven a coincidir en el punto de inicio: Harry ha dado 11 vueltas completas mientras que Potter sólo ha completado 7 vueltas. ¿Cuántas veces se cruzaron?

C R U Z A D O S

R

Y

TODOS UNOS MENTIROSOS!

E

S O F I S T A S

C

omo todo el mundo sabe, entre los ejecutivos de Wall Street hay dos clases de personas: los RETÓRICOS que sólo hacen preguntas cuya respuesta ya saben y los SOFISTAS que sólo hacen preguntas cuya respuesta no saben.

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AULA

Tres brokers se encuentran en la calle. No se conocen de antes, pero saben que trabajan en Wall Street. Se escucha la siguiente conversación entre ellos: —¿Entre nosotros tres hay algún retórico? —pregunta el primero. —¿Usted es retórico? —dice el segundo, dirigiéndose al tercero. —¿Entre nosotros tres hay algún sofista? —pregunta el tercero.

MUNDO

n un congreso de economistas se han reunido 100 personas. De pronto el que tiene la palabra les increpa a todos: “¡Sois todos unos mentirosos!”. Del asombrado auditorio se alza otra voz que dice “Sí, todos mentís”. Una tercera voz se oye emitiendo el mismo mensaje...Así hasta que todos los asistentes ha repetido la misma frase acusatoria a todos los demás. Si sabemos que todos los economistas están hechos de tal pasta que, o bien siempre dicen la verdad o siempre mienten ¿Cuántos economistas veraces hay en el congreso, si es que hay alguno?

¿Puede saberse de qué clase es cada uno?

C

U A D R A N G U L A R

D E

F Ú T B O L

uatro equipos participan de un torneo cuadrangular de fútbol, jugando una vez contra cada rival. Al final del torneo, cada equipo metió exactamente tres goles y cada equipo ganó una cantidad diferente de partidos. ¿Cuáles fueron los resultados de los partidos?

C

SANDWICH DE NAIPES En total suman 30, luego si los divides en dos conjuntos iguales sumarían 15 cada uno. Si no lo consigues, uno sumará más de 15 y otro menos de 15 con lo que el jugador que obtuvo el 4, 5 y 6 sabe que ha ganado. ¿Pueden obtenerse 15 puntos con tres cartas del conjunto 1, 2, 3, 7, 8, 9? Evidentemente no: Si tomas dos cartas del grupo de las mas altas, que suman al menos 15, al tomar otra más te has pasado. Si tomas dos cartas del grupo de las mas bajas, al tomar otra del otro grupo no llegas a los 15. Si recibes 4, 5 y 6, que suman 15, con las cartas 1, 2, 3, 7, 8, 9 sólo pueden formarse conjuntos que pierden.

l Sandwich es un juego de naipes para tres personas. Se separan las cartas del 1 al 9 de un palo de la baraja, y luego se reparten entre los tres jugadores. En secreto, cada uno suma sus tres naipes, y gana el que tenga la suma que esté justo en el medio. El tahúr recibe sus tres cartas y sin ver las de sus rivales sabe inmediatamente que ya ganó la partida. ¿Qué cartas recibió?

Por lo tanto, recibió las cartas 4, 5 y 6.

E

Los resultados de los partidos fueron: A1—B0 A1—C0 A1—D0 B1— C0 B2—D1 C3—D2

EL

De este modo, A gana tres partidos, B gana dos, C gana uno y D no gana ninguno, y cada uno hizo tres goles.

El primero puede ser indistintamente retórico o sofista. Si es retórico, sabía de antemano que había un retórico, él mismo.Y si es sofista, como no conocía a los demás no sabía de antemano la respuesta. El segundo es sofista, porque no puede saber de antemano qué es el tercero. El tercero es retórico, porque ya sabe que el segundo es sofista por la deducción anterior. Por lo tanto sólo se puede deducir la especie de los dos últimos, pero no del primero.

DE EL

E T Ó R I C O S

¡S O I S

Evidentemente no todos pueden ser mentirosos, ya que todos paradójicamente estarían diciendo la verdad al referirse a los demás como mentirosos. Por lo tanto uno por lo menos es veraz. Y efectivamente al ser uno veraz, todos los demás son mentirosos porque al acusarlo a él de mentiroso mienten, solo él dice la verdad al acusar a los demás de mentirosos.

O S

por Lolita Brain

La primera vez que se cruzan, entre los dos recorren una vuelta completa. No importa cuánto recorrió cada uno; lo que importa es que suman una vuelta exacta entre ambos. La segunda vez que se cruzan, entre ambos recorren dos vueltas exactas. La tercera vez que se cruzan, entre ambos recorren tres vueltas exactas. Y así. sucesivas. Entonces, la cantidad de veces que se cruzan es equivalente a la cantidad de vueltas completas que dan entre los dos. Como uno dio 11 vueltas y el otro 7, entre los dos dan 18 vueltas. Por lo tanto, se cruzan 18 veces. (O 17, si no consideramos como cruce al último encuentro.)

L

Como cada año, al llegar estas fechas navideñas en las que estarás cansado de estudiar y de preparar los examénes, te regalamos unos cuantos problemas de ingenio para que los resuelvas con tus compañeros. Esta vez hemos escogido una selección de enigmas caracterizada por el modo en el que se resuelven: casi todos tienen varios casos posibles y es suficiente coger lápiz y pápel y estudiarlos. Tambien te ayudará hacer suposiciones: que pasaría si... De modo que ponte a ello para que no se duerman tus neuronas.

lolitabrain@hotmail.com


10 . 12 . 99

EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

Seguro que si te preguntaran cuál es el concepto matemático más simple, tú responderías que el número. Sin embargo, no es tan sencillo como parece. De hecho, el hombre tardó bastante en asimilarlo y los sistemas para simbolizar cantidades no fueron siempre los mismos que ahora.

AULA.7

Aunque no lo sepas, 2.000 años a.C. los babilonios inventaron un sistema de representación para los números similar al nuestro y... ¡al de los ordenadores! El cero por ejemplo, no se conoció hasta el siglo VI en La India. En esta página te contamos el porqué de cómo contamos

por Lolita Brain

LOS NUMEROS... ¡VAYA HISTORIA!

E

l sistema de numeración egipcio data de hace unos 5.000 años, es decir, alrededor del 3.000 a.C., y nos ha llegado a través de papiros como el de Ahmes -o de Rhind(Museo Británico de Londres) o el de Moscú. Este sistema estaba basado en el número 10 y en él se disponían de símbolos especiales para el 1, 10, 100, 1000... Estos símbolos se repetían tantas veces como indicaran las centenas, decenas, etc. Por supuesto, no conocían el cero, pues la nada no necesitaba símbolo. Los números se escribían de derecha a izquierda o al revés. Estaban acostumbrados a usar números grandes para su época, como atestigua una maza real conservada en Oxford de más de 5.000 años de antigüedad. En ella se recogen las cifras de 120.000 prisioneros y 1.422.000 cabras capturadas como parte del botín de una campaña militar. ¿COMO REPRESENTAMOS LOS NUMEROS? El sistema arábigo de numeración, que realmente era hindú y es el que utilizamos, es posicional como el de los babilonios pero decimal. Esto quiere decir tres cosas: 1.- Hay un símbolo especial para los 10 primeros números (0, 1, 2, 3,...9); 2.- Cada número tiene un valor determinado por el lugar que ocupa (cada 2 de 222 tiene un valor distinto: 2 ó 20 ó 200); 3.- El sistema numera en base al 10, es decir, cada posición representa 100 10 1 una potencia de 10 (decenas =10, 1 1 1 =1x100+1x10+1x1=111 centenas = 100, millares =1000, etc.) 4

2

EL IMPERIO BABILONICO, en el Oriente Medio, desarrolló un sistema de escritura en tablillas de barro sobre las que hacían muescas con un palo: la escritura cuneiforme. Muchas de ellas registran desde operaciones numéricas ordinarias a cálculos astronómicos. Los babilonios son los creadores de un sistema de representación de los números similar al nuestro: el posicional. Ellos se dieron cuenta de que el mismo símbolo que representaba un número (1, 2, 3, etc.) podía tener distinto valor según el lugar que ocupara. Los números del 1 al 59 se representaban de modo similar al que lo hacían los egipcios: tenían un símbolo para el 1 (una muesca vertical) y otro para el 10 ( una muesca como un paréntesis), y los repetían hasta obtener el número deseado. Los restantes dígitos

(desde el 60) los descomponían en múltiplos de 60, de 3.600 y así sucesivamente. Los números tenían un valor u otro según la posición en que estuvieran colocados. No conocían el cero y, por lo tanto, dos doses juntos podían representar 22 ó 202 ambiguamente. Esta fue su principal limitación.

2x60+6 100+20+6 BABILONICO. Cuneiforme. Posicional de base 60. Sin 0. Cada cifra pesa las potencias de 60. 600=1 601=10 602=3.600...

1

1 1 1 =1x4+1x2+1x1=7

EN LA TECNOLOGIA DIGITAL, los números se representan también en un sistema posicional, pero como en el ordenador (en la RAM o en el disco) sólo se distinguen dos estados (apagado y encendido o, lo que es lo mismo, on y off). El problema que surgió fue cómo poder representar los 10 primeros números cada uno de los cuales tiene un símbolo diferente, disponiendo de sólo dos estados. La solución fue simple: se utilizó un sistema binario en el que las distintas posiciones, lejos de valer 10, 100, 1.000, valen 2, 4, 8, 16, etc. Por supuesto, sólo existen dos dígitos: el 1 y el 0. Claro que así, los números son más largos de escribir.

EGIPCIO. Jeroglífico. Decimal iterativo no posicional. No conocian el 0.

1x100+2x10+6x1

126 La primera referencia a un sistema decimal posicional apareció en el Aryabhatiya (hacia 499), obra de Aryabhata, uno de los grandes matemáticos hindúes del siglo VI. Sin embargo, la primera cifra escrita en este sistema que nos ha llegado es una inscripción fechada en el año 595, en la que aparece escrito el año 346 en dicho sistema. Sólo 200 años después es cuando tenemos referencia del cero por primera vez. Fueron pues los hindúes los que, por un lado, asignaron un símbolo distinto a cada número del 1 al 9, y observaron que el valor de estos símbolos podía cambiar sólo por la posición relativa que ocuparan. Además fueron conscientes de la necesidad de asignar un símbolo al vacío (cunga), que así es como denominaron al cero. Había nacido el que, aún hoy, es nuestro sistema de numeración.

ARABIGO. Occidental. Posicional de base 10. (decimal). Con 0. Base 10: cada cifra pesa las potencias de 10. 100=1 101=10 102=100 103=1.000 104=10.000...

126

100+20+6

CXXVI ROMANO. Aditivo capitular. No usaban el cero.

1x64+1 1x32+1 1x16+1 1x8+1 1x4+1 1x2+0 0x1

1111110

BINARIO. Posicional de base 2 (binario): cada cifra pesa las potencias de 2. 20=1 21=2 22=4 23=8 24=16...

EL SISTEMA DE NUMERACION ROMANO otorga símbolos distintos a algunas cantidades especiales (1=I, 5=V, 10=X, 50=L, 100 =C, 500=D, 1.000=M) y representa los restantes números por adición (11=10 +1, XI=X+I) o sustracción (9=10-1; IX= X-I). Los cálculos con este sistema de numeración son especialmente complicados y dificultan el desarrollo de la aritmética. TUS PREGUNTAS POR LA RED:

www.dailan.com/verenet/lolitabrain CORREO ELECTRONICO : lolitabrain@hotmail.com


TANTA HISTORIA PARA NADA

Una de las preguntas más comunes acerca de las matemáticas es: ¿quién inventó el cero?, reconociendo en ella que, si bien los inventores de los restantes números deben ser importantes, la particularidad del cero hace resaltar a su inventor. Y la respuesta a esa pregunta es muy sencilla: nadie en particular, porque cada número no fue inventado por una persona. Son las culturas las que han realizado estos avances, influidas por muchos acontecimientos.

por Lolita Brain L

El sistema de notación posicional de los babilonios requería una muesca especial que distinguiera 34 de 304. Sin embargo, por esas fechas el contexto señalaba la diferencia entre esas cantidades.

‘Retrato de gentil hombre’ . Anónimo . Detalle.

700 A.C.

A pesar de que los griegos no utilizaron el sistema posicional de numeración y, por tanto, no necesitaron el cero, los astrónomos comenzaron a utilizar una “o” como

marca en algunas columnas “vacias”. Ptolomeo, en su Almagesto, también utilizó este recurso. Pero no se trata de un uso posicional y no trascendió su uso.

8

AULA

500

MUNDO

El indio Aryabhata ingenia un sistema de numeración posicional sin cero. Llama kha a la posición y más tarde este será el nombre indio para el cero

650

Los indios BRAHMAGUPTA, MAHAVIRA y BHASKARA son los primeros en pensar el cero como número. Respondieron, a veces con ideas equivocadas, a preguntas como ¿cómo obtener cero? ¿qué sucede cuando se suma cero a una cantidad? Y, ¿cuándo se multiplica un número positivo por un negativo?

¿QUIÉN TENÍA RAZÓN? BRAHMAGUPTA era de la opinión de que cero dividido por cero, es cero. MAHAVIRA decía, en cambio, que un número permanece inalterado cuando se divide por cero . BHASKARA, por su parte, pensaba que una canti dad dividida por cero, es una cantidad infinita.

665

Primer registro fechado de la escritura del cero en India: en un problema sobre un jardín en Gwalior, cerca de Nueva Delhi aperecen inscritos los números 270 y 50 tal y como lo haríamos hoy

876

850

1200

L

a evolución del conocimiento a partir de la introducción del cero se aceleró aunque hay que recordar, por ejemplo, que Cardano, en el siglo XVI, resolvió la ecuación cúbica ¡sin usar el cero! Sencillamente no era parte de las matematicas de su tiempo. Es posible que su uso le hubiera facilitado el trabajo.

D E L

A diferencia de otros números, al CERO le corresponde un doble significado. CIFRA POSICIONAL : indica en las escrituras posicionales la ausencia de decenas o unidades o centenas. Permite distinguir 205 de 25 CANTIDAD: representa la asuencia de cantidad, el vacío o la nada. Responde al fenómeno de “sustraer un todo” de sí mismo

En las tablillas de KISH (Irak), los babilonios marcaban el cero posicional con dos o tres muescas. Así, para diferenciar 34 de 304 escribían 3”4. Nunca lo utilizaban al final de modo que escribían 3”4 pero no 34”.

“De 0 a 9” (fragmento) Jasper Jonhns hacia 1930

La civilización maya, que floreció entre 250 y 900, desarrolló un sistema posicional por repetición (I, II, III, IIII...), de base 20, con un símbolo para el cero. El aislamiento y la rápida desaparición de esta olvidada cultura hizo que su uso no trascendiera.

E

s conocida la labor de transmisión de los árabes de los conocimientos indios a Occidente. La obra de Al-Khawarizmi Sobre el arte hindú del cálculo describe el sistema hindú basado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Es el primer libro, escrito en el actual Irak, en que se usa el cero como indicador de posición. Ibn Ezra en el siglo XII, escribió tres tratados que transmitieron el saber indio y el sistema decimal. Él llamaba al cero galgal (círculo o rueda) Leonardo de Pisa, Fibonacci, fue el primero en traer esas ideas a Europa. En su obra Liber Abaci, describía el sistema decimal y el cálculo con él. Sin embargo,

el uso del cero era algo confuso, refiriéndose a él como “signo” o como “número”. El Occidente medieval, sin embargo, necesitó mucho tiempo para digerir estos cambios.

NINGUNO DE LOS TRES. 0/0 y n/0 son dos operaciones no definidas. Bhaskara por su parte aventura un concepto infinitesimal al sugerir n/0 = infinito.

DE EL

S I G N I F I C A D O S

C E R O

1.700 A.C.

130

O S

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PSICOANALISIS A LOS NUMEROS (II)

S

EL

iete es un número mágico: al obtenerse de la adición del 3 (la DIVINIDAD) con el 4 (lo TERRENAL) representa la TOTALIDAD. Los pecados capitales del catolicismo son siete. Siete son los brazos del Menorah, y siete los días de la semana. Para la filosofía hindú, los chakras son siete estadios de la espiritualidad humana localizados a lo largo del cuerpo.

MENO -

RAH, BAJO ESTAS LÍNEAS , ES EL CANDELABRO QUE UTILIZAN LOS

Tal y como te prometimos, continuamos contándote la psicología de la familia cardinal. Hoy es el turno del divino siete, del indispensable 10, del divisible 60 y del ascético nueve. Como verás, están todos cargados de simbologías religiosas y algunos como el 40, tienen un protagonismo inusual en la Biblia, en la que los números pares son los indiscutibles protagonistas. En cambio, en algunas religiones orientales, como el hinduismo, son los impares los que organizan la pureza del espíritu y los que marcan los estados del alma hasta alcanzar la pureza plena. Como te dijimos, el extraño cero, más que número antinúmero, tiene una historia tan extensa y particular, que le dedicaremos una próxima entrega.

JUDÍOS EN SUS SERVICIOS SAGRADOS. LAS FORMAS EN

“U” REPRESENTAN LA SABIDURÍA , LA FUERZA Y LA BELLE-

por Lolita Brain

LOS

SIE -

TE PECADOS CAPITALES SON LA CONTRAPAR -

l ocho es el primer número cúbico (2x2x2 = 8) y por eso siempre le ha rodeado un halo de perfección. Especialmente para los chinos, cuya vida se gobierna con este número: los dientes salen a los 8 meses y se caen a los 8 años, a los “dos veces ocho” (16) años el niño se convierte en hombre y a los 64 (8x8) se pierde la fertilidad. Para los budistas simboliza los caminos para alcanzar la iluminación

E

El nueve, siendo tres veces tres, representa la máxima perfección. En especial para las religiones escandinavas: ODÍN permaneció colgado en el árbol Yggdrasil nueve días para alcanzar la sabiduría. En Occidente, la

E

l 10 se obtiene de la suma 1+2+3+4 , y por eso representa la TOTALIDAD y la visión EXHAUSTIVA. Por ejemplo, la obe- diencia del pueblo de Israel a la voluntad de YAHVEH se expresó en los DIEZ MANDAMIENTOS. Para los pitagóricos significaba la plenitud. Tradicionalmente se ha representado por un triángulo con 10 puntos.

TIDA DE LAS TRES

tradición afirma que son nueve las esferas celestiales e infernales (como se puede leer en La Divina Comedia) Para los taoístas, en su mayoría chinos, simboliza la plenitud, es el número del YINGYANG.

La cúspide está reservada para el UNO, el principio activo. En segundo lugar están los dos principios de los que dependerá el resto, que proceden directamente del Uno. Los tres órdenes –terrenal, celestial e nfernal– ocupan el siguiente nivel. Por último, la Tierra se refleja en el cuarto: cuatro elementos, cuatro estaciones.

VIRTUDES TEOLÓGICAS Y LAS CUATRO CAR-

LOS

LOS TEMPLOS HINDUISTAS TIENEN FORMA DE PAGODA, CON TECHOS ESCALONADOS EN TANTOS TEJADOS COMO SEA EL NIVEL ESPIRITUAL DEL TEMPLO.

EN LA FOTO PUEDES VER

UNA PAGODA DE 9 NIVELES, QUE REPRESENTA EL CIELO, JUNTO A OTRA DE

11, LA PLENITUD O EL NIRVANA.

E

s un número que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en la Biblia. Moisés pasó 40 días y 40 noches en el Monte Sinaí. Jesucristo pasó 40 días de penitencia

CHAKRAS SON CENTROS DE ENERGÍA SITUADOS EN EL CUERPO HUMANO. PROVIENEN DE UNA PALABRA SÁNSCRITA QUE SIGNIFICA RUEDA O VÉRTICE Y HACEN REFERENCIA A LOS SIETE CENTROS DE ENERGÍA QUE COMPONEN NUESTRO SISTEMA NERVIOSO. LOS PODEMOS ENCONTRAR SITUADOS EN LA BASE DE LA COLUMNA VERTEBRAL, EN LOS GENITALES, EN EL ESTÓMAGO, EN EL PECHO, EN LA GARGANTA, EN LA FRENTE Y EN LA CABEZA.

en el desierto. El Diluvio Universal duró 40 días. Los grandes reyes judíos Salomón y David reinaron 40 años, los mismos que el pueblo judío estuvo errante en el desierto.

E

l número 60 es de los que más cabalmente han sido adoptados históricamente. Su gran virtud es que posee una enorme cantidad de divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 lo que le convierte en el campeón de los divisores, y por tanto un candidato a medir lo que había que dividir muchas veces: el tiempo. Así lo entendieron los babilonios hace nada menos que unos 5.000 años. Hasta la fecha.

l 12, obtenido como cuatro veces (número femenino) tres (masculino), representa el orden espiritual y terrenal. Además, como es divisor de 60, medidor universal del tiempo, es uno de los números más temporales que existen: 12 son los meses del año, las horas del día, 12 las de la noche. 12 son las constelaciones del zodiaco. Y está repleto de simbología judeocristiana: 12 fueron los discípulos, 12 las tribus de Israel, 12 son los días de la Navidad. ¡Ah! Y los Caballeros de la Tabla Redonda también eran 12.

E

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AULA

DE EL

MUNDO


PSICOANALISIS A LOS NUMEROS (I)

n la mayoría de las culturas, el número tres simboliza lo ACABADO y CULMINADO. Es, por ello, un número sagrado para muchas religiones que representan la divinidad como tríada, manifestando la PERFECCIÓN, la COMPLEJIDAD y la COMPLEMENTARIDAD, lo que significa EQUILIBRIO. Así los cristianos creen en la Santísima Trinidad (Dios Padre, Hijo y Espíritu Santo), mientras que para los hinduístas la divinidad es expresada en Brahma, Shiva y Vishnú, quienes mantienen la vida en un eterno retorno. El tres, obtenido con el 1 y el 2, se asocia a la vida y la experiencia: es nacimiento, ser y muerte o presente, pasado y futuro. Neptuno usa un tridente, Shiva lleva un tridente, Satanás se representa con un tridente: el poder.

E

Uno, dos, tres, cuatro... Todos conocemos los números de contar, que son indispensables para la vida del hombre. Pero a lo largo de la Historia, y por múltiples causas, los números se han impregnado de significados religiosos, esotéricos, místicos o estéticos. Así, muchísimas religiones han dotado a lo divino de tres principios, y el universo ha estado asociado al cuatro; el siete es un número mágico y el seis es diabólico. Sea por superstición, por tradición o por la persistencia de pensamientos perennes, el caso es que cada número está asociado a ideas que no han cambiado a lo largo de los tiempos. Conoce la personalidad de los números en ésta y la siguiente lámina. ¡Ah! El cero, como es muy especial, tiene una historia muy, muy larga... y la más singular, así que le dedicaremos la lámina que se merece.

por Lolita Brain no es lo PRIMITIVO por excelencia. De él provienen los demás números, que se obtienen a partir de él por adición. Símbolo del principio activo, del ser en estado puro, también simboliza la VERTICALIDAD del hombre que lo convierte en nexo entre la tierra y el cielo. Además es el primer ORDINAL , de modo que se asocia a lo mejor, a la victoria...

U

Es el dos el número de la discordia y a la vez el del equilibrio. Es la esencia de la pluralidad. En unas civilizaciones ha representado la dualidad como oposición (blan-

inco es el centro de la serie natural 1-2-34-5-6-7-8-9. Expresa unidad dinámica y energía radiante. El hombre con los brazos abiertos es pentagonal. Los dedos son cinco, como los sentidos. Para los hindúes, es el número de Shiva, y los pitagóricos usaban como símbolo el pentagrama. Para los mayas representa al Dios del Maíz, los musulmanes rezan cinco veces al día, y cinco son los lugares santos del Islam.

C

co-negro, vidamuerte), mientras que, en otras, esas mismas parejas han simbolizado la complementaridad: el Ying y el Yang de los taoístas. Representa la dualidad.

l cuatro, asociado al cuadrado (la estabilidad) y la cruz, es el símbolo del Universo creado y estable. Según la tradición, cuatro son los elementos esenciales que componen el universo: aire, fuego, tierra y agua. Cuatro son también los puntos cardinales. Y cuatro son los humores corporales de Empédocles: flemático, sanguíneo, colérico y melancólico. Las fases de la Luna y las estaciones del año también son cuatro.

E

l ser dos veces 3, el seis es el número del EQUILIBRIO y la RECIPROCIDAD. En la Biblia, su uso es contradictorio: es el tiempo que tardó Dios en crear el mundo, proporcionando el ritmo de seis como bueno; sin embargo, en el Apocalipsis se usa como el número del Anticristo con el que éste será marcado (con 666). El hexágono, representación geométrica del seis, se obtiene como dos triángulos entrelazados, que representa para los hinduístas la unión de los contrarios, la armonía creadora. Para los judíos, es su símbolo, la estrella de David.

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AULA

DE EL

MUNDO


PERFECTOS, AMIGOS Y GEMELOS

L

os DIVISORES PROPIOS de un número dado nos proporcionan las partes en las que, de modo exacto, puede partirse dicho número. Por ejemplo, los divisores propios del 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, y por tanto este número se puede partir en 2, 3, 4 o 6 partes iguales sin que sobre ni falte. Observa que, en la vida real, cuando componemos las partes en las que hemos dividido un todo, obtenemos el total. ¿Pasará lo mismo con los números? Pues NO. Si tomamos el 12, por ejemplo, y sumamos sus divisores, resulta 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, que es mayor que 12. Decimos que 12 es un número ABUNDANTE (como el 18 o el 20). En cambio, si comenzamos con el 10, cuyos divisores propios son 1, 2 y 5, al sumarlos obtenemos 1 + 2 + 5 = 8, que es menor que 10. Decimos que 10 es DEFICIENTE (como el 4, 8 o 9 ). Pero ¿y si hubiéramos tomado el 6? Veamos: el 6 se divide propiamente por 1, 2 y 3. Realizando la suma de antes obtenemos 1 + 2 + 3 = 6. ¡El mismo número que de partida! Estos son los números PERFECTOS, algo así como los top-models de los números.

Aunque conocemos desde la más tierna edad la clasificación de los números como pares e impares, y más adelante estudiamos en el colegio otros tipos de números especiales, como los primos, lo cierto es que las categorías en las que se clasifican los números enteros son numerosas y atienden a diversos criterios, siendo los que tienen relación con los divisores -su número y valorde las más interesantes. Aparecen entonces los números perfectos, los primos gemelos, los números amigos y muchos más. Hoy nos daremos un baño por este universo de los elementos de las Matemáticas: los números naturales y enteros.

por Lolita Brain

E

n el mundo de los números, no sólo hay amigos y perfectos. Los gemelos también se encuentran y con unos lazos familiares muy estrechos. Para que dos números sean GEMELOS, han de ser primos y además diferenciarse en dos unidades. Por ello se llaman también PRIMOS GEMELOS. ¿Por qué los denominamos así? Porque la diferencia entre dos números primos es siempre mayor o igual que dos (¡excepto el 2 y el 3!). Por ejemplo, 3 y 5 son primos gemelos, y también las parejas 5 y 7, 17 y 19, 29 y 31,101 y 103. Pero pueden encontrarse parejas de gemelos muy grandes, como 1.000.000.061 y 1.000.000.063, lo cual no deja de ser sorprendente ya que los números primos escasean cuando aumentan. Se ha conjeturado que existen infinitas parejas de primos gemelos, pero este término no ha sido probado todavía.

R

especto de la divisibilidad, el 60 es uno de los números más divisibles que existen: se puede dividir por 1,2,3, 4,5,6,10,12,15,20,30 y 60. ¡Nada menos que 12 divisores! Muchos más que el 100 y que otros números mayores. Por ello con gran acierto los mesopotamios lo escogieron como base para su numeración. Y para medir el tiempo.

C

uenta la leyenda que al ser preguntado qué es un amigo, Pitágoras respondió: “El que es el otro yo mismo, como son 220 y 284”. Enigmática respuesta numérica como era del gusto de Pitágoras..., pero ¿qué les sucede de especial a 220 y 284? Muy sencillo, si sumas los divisores propios de 220, esto es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, se obtiene ¡284! Pero aún hay más, si haces lo mismo con 284 y sumas sus divisores 1 + 2 + 4 + 71 + 142 se obtiene ¡220! ¿Se puede pedir más comunión a dos amigos? Estos son los números AMISTOSOS más pequeños que existen.

L O S

P E R F E C T O S

Como hemos visto, el 6 es un número la potencia 23=8), entonces al multiperfecto y además es el más pequeño plicarla por la que existe. A partir de potencia anterior aquí los matemáticos del 2 (en este caso, se pusieron a la busca y 22=4) obtenemos captura de los siguiensiempre un número tes perfectos, comprenperfecto (observa diendo muy pronto que que 4x7=28 es person números muy escafecto). Otro ejemsos y muy difíciles de plo, 25=32, 32-1=31, encontrar. Los siguienque es primo. Según tes perfectos son 28, Euclides, al multi496 y 8128. plicar la potencia Por otra parte, no se ha anterior de 2, encontrado ningún 24=16, por 31 se PERFECTO IMPAR y es obtiene 496, ¡que posible que no exista, también es perfecto! pero es algo que no Dos mil años más sabemos a ciencia ciertarde, otro genio ta, por eso, al decir perque ya conoces, fecto solemos referirLeonard Euler, nos a los numeros perdemostró que todos fectos pares. Fue, cómo los números perfecno, EUCLIDES el que tos pares se obtieestudió los números Euclides fragmento de “La Escuela nen de la misma perfectos exhaustiva- de Atenas” (hacia 1510) Rafael forma. de Sanzio (1483-1520) mente en el LIBRO VIII En la actualidad, se de sus Elementos. Fiel 39 números n-1 n (2 -1) es PERFECTO si conocen a su sagacidad, 2 perfectos, la mayoEuclides postuló que si ría de ellos calcula2n-1 es PRIMO el número anterior a dos con potentes una potencia de 2 es ordenadores, ya que muchos de ellos primo (por ejemplo, 7 es el anterior a ocupan cientos de páginas.

Hasta la fecha se conocen aproximadamente 1.000 parejas de números amigos, aunque su hallazgo ha sido tarea de miles de años. Desde los pitagóricos, hubo que esperar hasta 1636 para que René Descartes P i e r r e (1596 -1650) Fermat encontrara la siguiente pareja de amigos: 17.296 y 18.416, algo alejados de 220 y 284. Fermat y Descartes redescubrieron una fórmula para calcular números amigos que ya era conocida por un astrónomo árabe en el siglo IX. Descartes, usando dicha fór-

mula, encontró a la pareja amistosa 9.363.584 y 9.437.056. El gran Euler tuvo un gazapo en sus cálculos cuando construyó una tabla con 64 parejas de amigos, de los que más tarde se demostraría que una pareja era de falsos amigos. Resulta Pierre Fermat muy (1601 -1665) curioso que en 1867 un joven italiano de 16 años, desconocido científicamente, NICOLÁS PAGANINI encontró que 1.184 y 1.210 eran amigos... los siguientes a 220 y 284 y se les pasó a todos los matemáticos.

Leonard Euler (1707 -1783)

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AULA

DE EL

MUNDO


CAPICUAS Y PA L I N D R O M O S

LA

U

por Lolita Brain

L

os números capicúas, ya sabes, los que son iguales de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, no presentan nada especial bajo el prisma de las Matemáticas. No mantienen regularidad alguna ni contienen ningún secreto y son mucho más pobres que los números perfectos o los primos. Sin embargo su estudio está lleno de conjeturas. Es decir, se sabe cómo se comportan en algunas situaciones pero no se tiene ni idea de qué sucede en todos los casos.

L

P R I M E R

C A P I C U A

?

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Este número podría ser el primer capicúa que esté documentado. En la obra Ganitasarasamgraha (hacia 850 d.C.) del matemático indio Mahaviracharya, aparece este número como resultado de unos cálculos, y lo define como ekadishadantani kramena hinani, es decir, la cantidad “QUE COMIENZA POR UNO Y AUMENTA HASTA SEIS, PARA A CONTINUACIÓN DISMINUIR ORDENADAMENTE...”. Históricamente, lo más importante es que este documento nos dice que, antes de mediados del siglo IX, los indios ya conocían la notación posicional. Los sistemas anteriores de numeración no podían producir capicúas.

698.896

12=1 11 2=121 111 2=12.321 1.111 2=1.234.321 11.111 2=123.454.321 111.111 2=12.345.654.321 ... 1.111.111 2=12.345.678.987.654.321

número tiene tres particularidades: es resultado de hacer el cuadrado de 836, 8362=698.896, que es el mayor número Edeste tres cifras, cuyo cuadrado da de resultado un capicúa. Además cualquier otro número que sea un cuadrado y además capicúa, es siempre mayor que él. Fíjate además que si le das la vuelta también es capicúa: 968.869

P

A L I N D R O M O S

95 + 59 144 +441 585

na de las más famosas conjeturas sobre los números capicúas aparece en textos hacia 1930, pero es de origen desconocido. Afirma que, partiendo de un número entero cualquiera, se le da la vuelta a sus cifras y se suma con él. Si el resultado inicial no es capicúa, se repite el proceso con el nuevo número. La conjetura asegura que, de este modo, en un número de pasos finitos se encuentra un número capicúa. Aunque su veracidad es más o menos aceptada, en 1967, el matemático californiano Charles Trigg, encontró que en los primeros 10.000 números hay 249 que tras repetir el proceso nada menos que 100 veces no aparece un capicúa. En 1975, Harry Saal tomó el 196, el menor de los números encontrados por Trigg y tras repetir 237.310 iteraciones no encontró un capicúa. Salvo las 249 excepciones, los enteros menores de 10.000 producen capicúa antes de 24 pasos. Es más, sólo 89 y 98 necesitan las 24 iteraciones. Hoy en día, Trigg piensa que es falsa.

El año que acaba de comenzar, 2002, será el último capicúa que vivamos los que leemos este suplemento. El anterior fue 1991. Por eso, hoy vamos a contarte unas cuantas curiosidades sobre estos números. Y como, además, existe la propiedad capicúa para los textos y las imágenes, te hablaremos también de las expresiones palindrómicas o los palíndromos.

¿ E

CONJETURA CAPICUA

V I S U A L E S

L

os REPETUNOS son números formados sólo con la cifra uno. Cuando se elevan al cuadrado aparecen números capicúas con la brillantez de ir encontrando sucesivamente todos los números desde el uno hasta el nueve. Sin embargo, a partir del repetuno 111.111.111 no aparecen más capicúas.

T

ambién existen imágenes palindrómicas. Son aquellas que tienen dos sentidos, cuando se las ve en una po-

sición y cuando se les da la vuelta o un giro. Te mostramos dos ejemplos: el caballo-rana y la joven-vieja.

U

n PALÍNDROMO (del griego PALIN de nuevo y DROMOS carrera, andar) es una palabra (Ana) o una frase (Amo la pacífica paloma) que se lee igual de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes famosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el país de las maravillas. Te dejamos una pequeña muestra de algunos en castellano. Dábale arroz a la zorra el abad A cavar a Caravaca A sor Adela, Pepa le da rosa. A ti la sal y la salita A tu rival, la viruta. Abusón, acá no suba ¿Acaso repelen leperos acá? Adán no cede con Eva, Yavé no cede con nada. Al amanecer asaré cena mala. Anás usó tu auto, Susana Arena mala me da de mala manera. Así Mario oirá misa. Isaac no ronca así.

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AULA

DE EL

MUNDO

Lavan esa base naval. Ni nicotina ni tocinín Nota épica: nací peatón. O sacáis ropa por si acaso. Oír a Darío. Oiré la voz noble del bonzo Valerio ¡Oro! ... ¡Ya hay oro! Otro poseso José soportó ¿Pirata me mata?... R.I.P.! Raja barómetro por temor a bajar. Roba la lona, no la labor. Roza las alas al azor. Yo de lo mínimo le doy lolitabrain@hotmail.com


LA MAGIA DE LOS CUADRADOS I

Los mires por donde los mires, siempre suman lo mismo. Esta es la filosofía de los cuadrados mágicos, una construcción matemática antiquísima cuyos orígenes se remontan al 2200 a.C., cuando el emperador chino Yu creyó ver en el caparazón de una tortuga el cuadrado mágico más antiguo del que tenemos referencia, el lo-shu. En estos días en los que el sudoku hace furor entre todos, conviene hacer un poco de historia y hablar de estos objetos matemáticos íntimamente relacionados con el pasatiempo más de moda. La próxima semana seguiremos hablando de ellos.

por Lolita Brain

¿QUÉ ES UN CUADRADO MÁGICO? EL CUADRADO MÁS MÁGICO Y MÁS FAMOSO

A

lberto Durero, el gran pintor y teórico del arte renacentista, es el autor del primer cuadrado mágico conocido en el arte occidental. El grabado, repleto de metáforas matemáticas, contiene un fascinante cuadrado mágico en el que casi todas las formas suman la constante 34. Veámoslo.

U

n cuadrado mágico es un cuadrado subdividido en n filas y n columnas que dan lugar a n2 casillas, en cada una de las cuales hay un número distinto. Es mágico en el sentido de que los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales principales suman la misma cantidad, que se suele denominar constante mágica. El orden de un cuadrado mágico es el número de filas o de columnas. Así hablamos de cuadrados de orden 3, de orden 4, etcétera. El orden de un cuadrado determina muchas de sus propiedades.

La constante mágica del cuadrado es 34. Filas, columnas y diagonales suman por tanto 34.

Las cuatro esquinas suman también 34.

Los cuatro cuadrados menores del cuadrado principal también suman 34.

El cuadrado central también suma 34.

Las casillas de los extremos de las filas centrales suman 34. También las de las columnas centrales.

Las dos casillas inferiores del centro aúnan 1514, que es la fecha de ejecución del grabado.

MELANCOLÍA (1514)

Y TAMBIÉN EN LA SAGRADA FAMILIA CUADRADO MÁGICO IMPAR DE 3 Y CONSTANTE 51.

ORDEN

E

n la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia de Barcelona, obra de J. Subirachs, aparece un cuadrado mágico de orden 4 con constante 33, la edad de Cristo. Es el mismo que el de Durero pero invertido de arriba a abajo y se ha restado una unidad al 11, 12, 15 y 16, con lo que se repiten el 10 y el 14.

En la obra de Cornelius Agripa, ‘De occulta Philosophia libri tres’, de 1533, aparecen cuadrados mágicos de orden 3 y de orden 9. La imagen la Tabula Saturni de dicha obra presenta un cuadrado de orden 3 y de constante 15.

CUADRADO DE ORDEN 4 Y CONSTANTE 68.

TÚ TAMBIÉN PUEDES CONSTRUIR UN CUADRADO MÁGICO DE CUALQUIER ORDEN IMPAR

P

ara generar un cuadrado de orden impar, pero sólo de este orden, se utiliza el método de Simon de La Loubère publicado en 1691, llamado también el método siamés, un sistema ya conocido por los astrólogos orientales. Para ello nos imaginamos un cuadrado de orden 5 cuyos lados están unidos, el superior con el inferior y el derecho con el izquierdo. El método consiste en ir colocando números consecutivos en los cuadrados que resultan de moverse a la casilla superior derecha de la que nos encontremos, de modo que cuando en un desplazamiento nos salgamos por arriba del cuadrado, nos dirigiremos abajo, y si nos salimos por la derecha, iremos a la izquierda.

1

2

3

4

1.- Colocamos el 1 en la casilla central superior. Nos movemos a la de arriba y a la derecha para poner el 2. Como nos salimos del cuadrado lo llevamos a la fila inferior. 2.- Desde el 2, volvemos a ir arriba y a la derecha. Situamos el 3. 3.- Cuando intentamos poner el 4, nos salimos del cuadrado por la derecha. Se coloca entonces a la izquierda 4.- Ubicamos el 5 y cuando vamos a poner el 6, la casilla está ocupada por el 1. Situamos el 6 bajo el último número, el 5.

5

6

7

5.- Seguimos colocando el 7 y el 8. Como el 9 cae en una casilla superior, lo llevamos a la fila inferior. Al poner el 10, sale por la derecha y lo mandamos a la columna de la izquierda. 6.- De nuevo, al intentar situar el 11, la casilla que le corresponde está ocupada por el 6, y por tanto lo colocamos bajo el 10. 7.- Ubicamos sin problemas el 12, 13, 14 y 15. 8.- Al poner el 16, éste cae en la esquina superior derecha. Deberíamos situarlo donde está el 11. Y por tanto lo colocamos bajo el último número escrito, el 15. Ahora te toca a ti continuar con los restantes números hasta el 25. Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

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LA MAGIA DE LOS CUADRADOS Y II

En la última entrega de este curso continuamos explorando esas mágicas creaciones matemáticas denominadas cuadrados mágicos. Si la pasada semana te enseñamos a crear tus propios cuadrados de orden impar, hoy te mostraremos como construir cuadrados de orden par. También te contamos qué son los cuadrados latinos, cuál es su origen y qué utilidad tienen más allá de ser parientes próximos de los sudokus. Nos despedimos de este modo por este curso que esperamos haya servido para acercarte las Matemáticas a tu universo.

por Lolita Brain

CÓMO HACER UN CUADRADO MÁGICO PAR

EL SUIZO UNIVERSAL

E

L

xiste un procedimiento para crear un cuadrado mágico de orden par tal que sus filas o columnas sean múltiplos de 4. Se denomina el método de las X y consigue crear cuadrados de orden 4, 8, 12, 16... Es muy sencillo y te permitirá asombrar a tus amigos. Veámoslo con un cuadrado 8x8.

os cuadrados latinos son una invención del irrepetible suizo Euler. Son creaciones ligeramente más sencillas que los cuadrados mágicos, ya que en ellos, si bien también se parte de una configuración cudradada diviBILLETE DE 10 FRANCOS SUIZOS EN HONOR A dida en casillas, sólo se exige LEONHARD EULER (1707- 1783) que en cada fila y en cada columna exista un elemento tomado de entre dos categorías sin que se repita ninguna. El primer problema propuesto al respecto proviene de Euler, quien propuso en 1782 el problema de los oficiales.

UN CUADRADO LATINO 4X4

E Desde la esquina superior izquierda, escribe por orden cada uno de los números del 1 al 64. Divide el cuadrado de 64 casillas en cuatro cuadrados menores. Traza las diagonales de cada cuadrado como en el dibujo.

s muy sencillo entender los cuadrados latinos. Para ello hazte con el 1, 2, 3 y el 4 de cada uno de los palos de una baraja de cartas. El juego consiste en disponer los 16 naipes en un cuadrado de modo que no coincidan en cada fila ni en cada columna dos cartas del mismo palo o dos del mismo número. ¿Te atreves? Euler demostró que era posible hacerlo.

EL PROBLEMA DE LOS OFICIALES

E Los números que no han sido tocados por las diagonales deben permanecer en la misma casilla. En cambio, las casillas por las que pasan las diagonales se han de intercambiar con sus simétricas respecto del centro del cuadrado. Así el 1 y el 64 intercambian su posición, lo mismo que hacen el 14 y el 51. Observa la figura en la que los elementos intercambiados se han marcado con el mismo color. El resultado es un cuadrado mágico en el que filas, columnas y diagonales suman 260.

ADEMÁS DE PASATIEMPOS SON ÚTILES

M

ás allá de ser un mero divertimento, los cuadrados latinos tienen utilidad en la vida práctica. Imagina un campo agrícola en el que ha de probarse la eficiencia de cuatro abonos distintos sobre cuatro tipos de trigo. Para ello se divide la parcela en 16 cuadrantes y en cada uno se planta un tipo de trigo, de modo que no coincida en filas y columnas el mismo tipo de semilla. Se evita así la influencia de la propia tierra en la experiencia. Hecho esto, se mezclan del mismo modo los cuatro tipos de abono de forma que a cada cuadrante con cada tipo de semilla se le administre un tipo distinto de abono. La configuración óptima para el experimento es la de un cuadrado latino de orden 4. En realidad son dos cuadrados, el de las semillas y el de los abonos entremezclados.

l problema de los 36 oficiales es muy sencillo de plantear pero no de solucionar. Supongamos un desfile militar en el que participan 36 oficiales de seis regimientos distintos y con seis graduaciones diferentes. El problema que propuso Euler lanza la siguiente pregunta: ¿será posible disponerlos en formación cuadrada de modo que en cada fila y en cada columna haya un oficial de cada regimiento y de cada graduación?

PERO EULER SE EQUIVOCÓ

E

uler difícilmente se equivocaba. Su formalismo y su rigor creó escuela en el mundo matemático... pero nadie es infalible. Leonhard demostró que siempre se puede construir un cuadrado latino que tenga orden impar o que sea múltiplo de cuatro, lo que él denominaba “par de EL CUADRADO DE ORDEN 10 DE PARKER clase par”. Pero él fue incapaz de crear un cuadrado de orden 6, lo que le llevó a afirmar que “No dudo concluir que es imposible hallar un cuadrado completo de 36 casillas ni en hacer extensiva tal imposibilidad a los casos n = 10, n = 14, etcétera.”. Es decir, supuso que no existían cuadrados de orden par que no fueran múltiplos de 4. Como en 1901 Gaston Tarry demostró que no se podía crear un cuadrado latino de orden 6, la conjetura de Euler parecía fortalecerse. Pero en 1959 Bose, Shrikande y Parker, de la Universidad de California, hallaron un cuadrado grecolatino de orden 10, eso sí, con la ayuda de una potente computadora SWAC. Además probaron que salvo para el orden 6, la conjetura de Euler era falsa. Euler, por una vez, se había equivocado. Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


...UN0, DOS, TRES...INFINITO

D

La idea de infinito ha sido siempre uno de los temas de mayor discusión en el seno de las Matemáticas... y no sólo en ellas. La Filosofía ya desde los remotos tiempos de la Grecia clásica discutió sobre el concepto de infinito, su significado y su existencia. Ya ZENÓN DE ELÉA, 400 años antes de Cristo, sembró el pensamiento con curiosas paradojas que tienen como eje central el infinito. Hasta finales del siglo XIX, no se abordó con rigor matemático el análisis de lo que significaba este concepto. Se encontraron sorpresas inimaginables que dividieron el mundo de las Matemáticas. Hablamos de la obra de George Cantor.

urante siglos los griegos exploraron el apeiron -lo ilimitado- y su presencia en el universo. Demócrito, Epicuro y sobre todo Lucrecio, fueron defensores de la existencia de lo infinito. Lucrecio llegó a hablar de “un número ilimitado de mundos infinitos”. Aristóteles definió un infinito en potencia, que se piensa como algo finito en continua expansión, pero que no se puede alcanzar. En cambio, entiende que no puede existir realmente un infinito en acto, que pueda ser pensado, ya que al ser inconcluso -no acaba nunca- no puede definirse.

EL TODO Y LAS PARTES La máxima que mejor recoge la distinción aristotélica sobre lo finito y lo infinito es aquella que afirma que “EL TODO ES MÁS GRANDE QUE LAS PARTES”. Semejante intuición permaneció aceptada por todos los hombres. Es un asunto de sentido común. En efecto, un grano de arena es menor que el montón en el que se encuentra, dos manzanas son menos que el cesto de manzanas... una mano es menor que todo el cuerpo. Tras Cantor y Dedeking las cosas ya no iban a ser iguales. Sorprendentemente, observaron que en los conjuntos infinitos existen “partes” contenidas en ellos con tantos elementos como “todo” el conjunto. Esta propiedad es tan difícil de asumir que adoptaron esta propiedad como la definición de lo que significa que un conjunto tenga cardinal infinito. ¿Raro? Mucho. En los diagramas que acompañan este texto puedes comprobar que, si el todo es el conjunto de los números de contar (1,2,3,4...) y que es infinito, el subconjunto de los PARES o los IMPARES o los PRIMOS es tan numeroso como todo el conjunto. Por supuesto, si un conjunto es finito es válida la máxima aristotélica. Sin embargo, ésta era sólo la primera de las sorpresas que deparaban estas ideas a Cantor. En la próxima lámina te desvelaremos la continuación de su viaje por el infinito y más allá...

por Lolita Brain

G

eorge Cantor (1845 San Petersburgo, Rusia -1918 Halle, Alemania) es el padre de la Teoría de Conjuntos, denominada intuitiva. Tras desarrollar los conceptos que hoy usamos sobre los conjuntos, se interesó por el número de elementos de éstos, lo que se llama la CARDINALIDAD del conjunto. Y comenzó a estudiar los conjuntos con infinitos elementos hasta desarrollar la Teoría de los Números Transfinitos, una de las teorías más desafiantes para el pensamiento humano, comparable al desafío intelectual de las Geometrías no Euclídeas -en relación al espacio- o de la Relatividad -en relación con el tiempo y el espacio-. Su teoría desafiaba el concepto de infinito.

RICHARD DEDEKING 1831 Alemania - 1916 Alemania

R

ichard Dedeking, un matemático solitario y tímido, pero muy riguroso, fue el padre de los números tal y como los conocemos hoy, creando una teoría que construye los números naturales, y con ellos todos los demás. Amigo de Cantor, con el que se carteó durante 27 años, es el primer autor -junto a éste- en pasar del infinito en potencia aristotélico al infinito en acto. Ambos encontraron el modo de definir el infinito.

C

antor y Dedeking razonaron del modo siguiente: si para contar conjuntos finitos utilizo el emparejamiento, ¿por qué no utilizar este mecanismo con los conjuntos infinitos? De este modo, razona Cantor, si me siento entre dos montones de arena, y tomo con cada mano un grano de cada montón, por muchos granos que haya, si acabo antes el montón de la izquierda que el de la derecha, esto vendrá a decirnos que ese montón tenía menos granos que el otro. Pero si acabo los dos montones a la vez, por fuerza no podremos afirmar sino que los dos montones tenían igual número de granos de arena. Cantor y Dedeking llamarían a este emparejamiento una CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA entre los montones de arena. Hoy lo llamamos igual.

Y

lo primero que hizo Cantor fue fijarse en el CONJUNTO INFINITO del que se tiene la primera intuición: el conjunto de los números naturales o enteros positivos, es decir, los números de contar 1, 2, 3, 4, ... Todos entendemos que este conjunto es infinito. Cada número tiene su sucesor. Es su esencia. Cantor afirmó que no existe ningún conjunto infinito con menos elementos que éste. Dicho de otro modo, los números de contar son el conjunto infinito más pequeño. Al número de sus elementos le llamó ALEF CERO (Alef es la primera letra del alfabeto hebreo).

0

ALEF CERO

C

N

antor comenzó entonces a estudiar algunas partes subconjuntos- del conjunto de los naturales. Por ejemplo, los números PARES (2, 4, 6, 8 ...) están contenidos en los NÚMEROS DE CONTAR (1,2,3,4...). Todos estaríamos tentados a decir que los pares son exactamente la mitad. Sin embargo no es así. Es facilísimo ver en el diagrama cómo cada número de contar se puede emparejar con un número par, su doble. Y cada par tiene su pareja, su mitad. Como en los granos de arena, ambos conjuntos -por extraño que nos parezca- tienen los mismos elementos. ¿Cuántos? Alef-cero elementos.

O

L

O

>>>En un conjunto infinito, hay partes tan numerosas como el mismo. >>> Los números de contar, los enteros (positivos y negativos), las fracciones, los números pares, los números cuadrados, los primos, etc. tienen todos ellos la misma cantidad de elementos: el número transfinito ALEF-CERO. >>>Para saber si un conjunto

O

L

V

I

D

E

S

tiene ALEF-CERO elementos hay que emparejar cada uno de sus elementos con un número natural de modo que no quede ninguno sin pareja. >>> Cuando un conjunto tiene ALEFCERO elementos, se dice que es NUMERABLE. >>>Hay conjuntos infinitos con más elementos que ALEF-CERO. lolitabrain@hotmail.com

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AULA

DE EL

MUNDO


H A S TA E L I N F I N I T O Y MAS ALLA

L A

H I P Ó T E S I S

D E L

C O N T I N U O

Probablemente el más grande de los hallazgos de Cantor fue que los infinitos no son únicos. Los números reales eran más numerosos que los naturales, y a Cantor le asaltó la pregunta de si ¿habrá algún conjunto que teniendo más elementos que los naturales, sea menos numeroso que los puntos del plano? O dicho de otro modo, ¿será el infinito de los puntos de una recta el siguiente infinito al de los números de contar, o habrá entre ellos otro número infinito?, ¿será el CONTINUO el siguiente número a ALEF CERO? Cantor pensó que así era, que tras el menor de los infinitos que conocemos -ALEF CERO- venía el continuo, por lo que decidió llamarlo tambien ALEF UNO. Pero esto era sólo una hipótesis. Ni Cantor, ni nadie tras él, ha conseguido probar que las cosas sean así. Ni tampoco se ha probado lo contrario. La conjetura de Cantor se denomiHIPÓTESIS DEL CONTINUO”. na “H

Habíamos dejado en nuestra última lámina a Cantor y Dedeking explorando el infinito. Nos habían contado la diferencia esencial entre un conjunto infinito y otro finito. En los conjuntos infinitos, el todo no siempre es mayor que sus partes. Son conjuntos tales que, por lo menos, contienen un subconjunto con tantos elementos como él mismo. Además nos enseñaron un procedimiento para saber si dos conjuntos infinitos son o no iguales. Resultados asombrosos que rompen nuestra intuición: por ejemplo, todos sabemos que la mitad de los números son pares, y la otra mitad impares... Sin embargo, siendo infinitos son tan numerosos como todos los números juntos, pares e impares. Prepárate porque esto no ha hecho sino empezar. Abróchate el cinturón y sumérgete en el infinito...

por Lolita Brain

A

l renombrado HOTEL A LEF C ERO , de NÚMEROLAND, llegaron para asistir a un congreso todos los habitantes de la ciudad SEGMENTO UNITARIO, los señores PUNTO. Pequeñísimos habitantes del segmento de longitud 1, el que va desde la marca 0 hasta la marca 1 de una regla. Eran unos respetables ciudadanos que se jactaban de existir casi desde siempre, aunque solían referirse a Euclides como el gran fundador de la cultura del segmento. Y por supuesto, eran infinitos. Eran tan numerosos, sociables y vivían tan unidos que les llamaban el CONTINUO. El gerente del hotel, el señor ORDINAL,

dispuso que se habilitara una habitación para cada uno de los señores PUNTO que iban a llegar. El señor ORDINAL estaba muy orgulloso de regentar un hotel con infinitas habitaciones. Aún recordaba cuando alojó a todos los señores ENTEROS, y más sonada fue la ocasión en la que, ante el estupor de todos, consiguió hospedar a todos los RACIONALES, aristócratas de NÚMEROLAND. El joven y osado botones del hotel, de nombre CANTOR, se acercó al SR. ORDINAL y le espetó: - Disculpe SR. ORDINAL, pero creo que no va a ser posible alojar a todos los señores PUNTO... - ¡Cómo que no! se apresuró a atajar el SR. ORDINAL. ¿Acaso no sabe us-

ted que nuestro hotel dispone de infinitas habitaciones? ¡Exactamente ALEF CERO! -recalcó. - Sí, ya se... pero las cosas no son tan simples... ¡no sabe usted cuán numerosos son los habitantes de la ciudad de SEGMENTO UNITARIO! Pero si me permite le convenceré de lo que digo. - Adelante, adelante... si así se queda usted satisfecho... le escucho. - Veamos -comenzó a decir Cantor con voz solemne y satisfecha- como usted bien sabe, cada habitante de la ciudad SEGMENTO UNITARIO tiene un número identificativo que se le asigna cuando nace y le diferencia de sus conciudadanos. - Así es en efecto... - ...Y usted también sabrá que, con lo raros y disciplinados que son los señores PUNTO, todos sus códigos de identificación siguen el mismo patrón, son de la forma 0,d1d2d3d4.... ya sabe, decimales del tipo “cero y coma” y una lista sin fin de decimales. - Sí, ya se, ellos le llaman su Nombre Decimal. - Pues bien, usted dice que puede alojarlos a todos ¿no es así? - ¡En efecto! - Bien, imaginemos que usted tiene razón y que ya tiene alojado a cada señor P UNTO en su habitación correspondiente... - ¡Ve cómo al final me da la razón!, replicó entusiasmado el SR. ORDINAL. - ¡No tan deprisa!.. Sólo he dicho imaginemos... En realidad le voy a demostrar que eso no es p o s i b l e . Estará conmigo en que, si encuentro el Número Decimal de algún señor Punto que no

puede estar hospedado en ninguna habitación... me dará la razón. - ¡Por supuesto! Pero estoy seguro de que no podrá probarme eso. - ¿Podría traer la lista de las habitaciones, para saber qué P UNTO está alojado en cada habitación? - Aquí la tengo. -Dígame el DNI del señor PUNTO alojado en la habitación 1. - Sí, déjeme mirar... es el 0.468211532.... - Vale, vale. Su primer dígito decimal es el 4. Dígame un número distinto del 4, por favor. El SR. ORDINAL le dijo el 6 y Cantor anotó en su libreta 0.6. - Ahora déme el DNI del huésped de la habitación 2. - Es el 0.1563315... - Su segundo dígito es el 5, SR. ORDINAL. Escoja un número distinto de 5. - El 4 por ejemplo. Y Cantor anotó ahora 0.64. - Ahora vayamos a la habitación nº 3. - Sí, ya se... Ahí se ha alojado el SR. PUNTO con número decimal 0.56847216.... Y su tercera cifra es el 8, que usted quiere que la cambie, por ejemplo por el 2... - En efecto. Veo que entiende por dónde voy -decía Cantor mientras anotaba 0.642... Estará usted conmigo que este procedimiento podemos realizarlo habitación tras habitación. Y en cada una de ellas cambiaremos en el DNI del correspondiente SR. PUNTO, el decimal que ocupa la misma posición que el número de la habitación en la que se encuentra... Pues ya he terminado. -¿Cómo que ya ha terminado? ¿Qué tiene esto que ver con mis huéspedes? -preguntó irritado el SR. ORDI-

< 0

< 1

NAL. - Muy sencillo. Según lo visto, podemos fabricar el DNI de un SR. PUNTO 0.642... que no está en la habitación nº1 porque su primer decimal es distinto del huésped allí instalado. Tampoco puede ser el del SR. PUNTO que ocupa la habitación nº 2 porque son distintos en el segundo decimal, ni puede ser el Sr. de la habitación nº 3, ni el de la 4 por la misma razón, ni el de... ¡ninguna! El SR. PUNTO identificado con el 0.642... que fabricamos, no es ninguno de los huéspedes que usted tiene alojados, y en cambio, es ciertamente un SR. PUNTO de la ciudad del SEGMENTO UNITARIO. Por lo tanto HAY MÁS SEÑORES PUNTO QUE HABITACIONES TIENE SU HOTEL. - De modo que... - Sí, de modo, SR. ORDINAL, que por muy infinito que sea el número de habitaciones de su hotel, deberá en-

... < 2

viar un fax urgente al SEGMENTO UNITARIO para lamentar la imposibilidad de acomodarles a todos... - En mis ALEF-CERO habitaciones ¿por lo menos a la mitad? ¿podría alojar a la mitad de los SRS. PUNTO? - Imposible. Ni con dos, ni con tres hoteles iguales podría alojar a los habitantes de SEGMENTO UNITARIO... de tantos como son... - ¡Increíble! Y pensar en lo pequeña que es su ciudad, apenas un centímetro de una recta. lolitabrain@hotmail.com

56

AULA

DE EL

MUNDO


SUMANDO EL INFINITO

A lo largo de estas páginas ya nos hemos acostumbrado a descubrir aspectos de la Matemática que aún nos sorprenden hoy. La intuición nos resulta a menudo suficiente para comprender el mundo en el que vivimos y solemos resistirnos a cualquier interferencia con ella. La Matemática nos enseña que lo que debería ser y lo que es no siempre coinciden y que el precio a pagar por no aceptar los lugares donde nos lleva la lógica, el rigor y el formalismo de la Matemática es muy caro. No es fácil aceptar unas partes de esta disciplina que nos ayudan a entender el Universo y no aceptar otras. Hoy te hablaremos del control del infinito que los matemáticos han aprendido a tener en aras de mejorar nuestra vida.

por Lolita Brain

ZENÓN DE ELEA, UN VISIONARIO LAS PARADOJAS

AQUILES Y LA TORTUGA

Z

quiles el de los pies ligeros compite en una carrera con una tortuga. Como él es mucho más rápido, le da una cierta ventaja. Zenón argumenta que Aquiles no alcanzará nunca a la tortuga. Cuando el griego llega a la posición que ocupa inicialmente el quelonio, éste se ha desplazado un cierto espacio. Cuando Aquiles llega a esta segunda posición, la tortuga habrá avanzado a un tercer punto, que cuando es alcanzado por el veloz guerrero ya no estará ocupado por la tortuga. Siguiendo este razonamiento ad infinitum, Zenón pretende demostrar que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga y por tanto no ganará la carrera.

enón de Elea (s. V a.C.) es una controvertida figura de nuestra filosofía occidental. Discípulo de Parménides, sus famosas paradojas, hoy en día falsas, han llegado intactas hasta nosotros como un manifiesto de que el movimiento va en contra de la doxá (la opinión común). A través de sus argumentos lógicos, y usando las ideas pitagóricas de un espacio compuesto de cúmulos de puntos discretos, trató de demostrar la imposibilidad del movimiento.

Z

enón propuso en sencillos argumentos profundas ideas que conectan con la continuidad de nuestro espacio o con la imposibilidad de resultados finitos a través de procesos infinitos. Expuso sus teorías en cuatro famosos argumentos. En la Dicotomía y en Aquiles sostiene que la subdivisión continua del espacio imposibilita el movimiento. En la Flecha y en Estadio, algo más difíciles de tratar, prueba que el movimiento es imposible si subdividimos el tiempo y el espacio en indivisibles.

A

A

B

AQUILES DA DE VENTAJA A LA TORTUGA LA DISTANCIA AB

B

A PERO CUANDO ESTÁ EN

LA PARADOJA DE LA DICOTOMÍA

L

a paradoja de la Dicotomía es similar a la de Aquiles pero utiliza la subdivisión de modo regresivo, en lugar de progresivo. Zenón nos dice que si un corredor desea llegar del punto A al B, necesariamente tendrá que alcanzar previamente el punto C

A

E

D

AQUILES LLEGA A B, LA TORTUGA YA

C...

que se halle exactamente en la mitad del recorrido. Pero para llegar a ese punto C deberá recorrer antes el espacio que separe A de D, punto que se encuentra en la mitad de AC. Y para alcanzarlo, deberá llegar previamente a E, situado en la mitad de AD.

Este razonamiento lleva a pensar a Zenón que el corredor deberá recorrer infinitas posiciones para alcanzar la meta, lo que no es posible que realice ya que no se pueden recorrer infinitos espacios en un tiempo finito.

B

C

¿EN QUÉ SE EQUIVOCABA ZENÓN?

L

E

l problema con sus paradojas, es que Zenón se encontraba incómodo con la suma de infinitos términos numéricos. Su principal argumento era que si sumamos infinitas cantidades, independientemente de cómo fueran éstas, debemos obtener una cantidad infinita. Si esta consideración fuera cierta, el problema propuesto de Aquiles y la tortuga le daría la razón, y Aquiles perdería la carrera. Pero la realidad nos informa de que Aquiles, obviamente, adelanta a la tortuga en su carrera. ¿Cómo negar por tanto lo que parece un sólido argumento propuesto por Zenón? Cuando el cálculo de infinitesimales entra en juego, cuando el límite de una suma se observa como consistente en el mundo de la Matemática, la razón y la intuición se abrazan para quitar a Zenón la razón. Pero no lo olvidemos, fueron necesarios siglos de pensamiento para conseguirlo. La Matemática mostró -y demostró- que sumar infinitas cantidades puede ser un proceso de resultado finito.

C

LEWIS CARROLL (1832-1898)

a fascinación por el mundo de las paradojas de Zenón y la incertidumbre lógica que encierran, cautivó a Charles L. Dodgson, Lewis Carroll, a escribir varios atrevidos cuentos inspirados en la paradoja de Aquiles, en los que una liebre y una tortuga discuten de temas de lógica. Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


LA IRRACIONALIDAD MATEMÁTICA LOS NÚMEROS RACIONALES

L

os números racionales obtienen su denominación de la idea de los griegos clásicos, influidos por la filosofía de los pitagóricos, de que el universo era reducible a números y a las relaciones entre ellos. Pensaban que la realidad se podía explicar a través de las relaciones exactas entre segmentos. Los números racionales se expresan por fracciones, con números decimales con finitas cifras o con infinitos dígitos decimales aunque periódicos.

3 5 1 3

Fracción

Fracción

0,6 Decimal exacto

Generalmente asociamos las Matemáticas con la exactitud, la precisión y la razón. Pero pocos saben que, al igual que todas las ciencias, es una aproximación a la realidad. Es más, uno de los fundamentos de la Matemática, la cuantificación de la realidad y por tanto la teoría de los números, se desarrolla sobre entidades, algunas de las cuales son imposibles de conocer completamente. Se trata de un tipo de números denominados nada menos que irracionales sin los que sería impensable entender lo más simple de nuestro Universo. La magia de la Matemática permite manipular objetos que sabe que nunca podrá conocer por entero.

por Lolita Brain

¿QUÉ SIGNIFICA SER IRRACIONAL?

U

n número es irracional si es decimal y tiene infinitas cifras decimales sin que exista un patrón o forma periódica en ellas. De este modo no nos es posible conocer dichos números, puesto que sería necesario invertir un tiempo infinito en conocer sus interminables cifras. A pesar de ello, los matemáticos son capaces de trabajar con estos números, y los ingenieros y los físicos pueden utilizarlos tomando sólo una parte de sus cifras.

Este número es decimal. Sabemos reconocer el patrón con el que se forma su parte decimal pero resulta obvio que sus cifras decimales no obedecen a un periodo que se repita constantemente. Es un número irracional.

El famosísimo número PI es un número irracional. Manifiesta la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En la dirección de Internet http://webs.adam.es/rllorens/pi.htm puedes encontrar las 16.000 primeras cifras decimales de este omnipresente número.

EL LADO Y LA DIAGONAL DEL CUADRADO

0,333...

L

Decimal periódico

LA IRONÍA DEL DESTINO

L

a estrella de cinco puntas obtenida a partir de un pentágono, el pentángulo, fue el símbolo de los pitagóricos. Los adeptos a dicha escuela filosófica lo llevaban colgado del cuello. Irónicamente, esta f i g u r a contiene múltiples veces un famoso número irracional: FI=1,618..., que relaciona el lado del pentágono con el de la estrella.

PITÁGORAS (h. 582-h. 500 a.C.)

os pitagóricos se dieron cuenta del hecho de que si construimos un cuadrado cuyo lado es la unidad, su diagonal mide ‘raíz cuadrada de 2’ y este número era irracional. Expresaron esto diciendo que el lado del cuadrado y su diagonal son segmentos inconmensurables. ¿Qué significa esto? Que si utilizamos como patrón de medida el segmento del lado de ese cuadrado e intentamos medir con él la diagonal, nunca acabaremos el proceso, es decir, que siempre quedará una pequeña parte de la diagonal sin medir. Habitualmente sospechamos que con cualquier segmento podemos acabar por medir cualquier otra parte dada, pero como vemos, esto no es siempre cierto.

¿SON EXCEPCIONALES LOS IRRACIONALES?

P

PI Y LA CIRCUNFERENCIA

or extraños que puedan parecer estos números, resulta que son más abundantes que ningún otro tipo de números. No sólo son infinitos sino que su nivel de infinitud es superior a la infinitud de los números de contar. Esto quiere decir que no podemos contarlos. Tampoco tienen un sucesor.

I

gual que sucede entre el lado del cuadrado y su diagonal, parece que la Naturaleza se empeña en que las relaciones entre los objetos sean ‘irracionales’. La circunferencia es una de las figuras geométricas más elementales. Sabemos que su longitud es PI veces su diámetro y calculamos longitudes de circunferencias todos los días. El significado de esto es que si cortamos una circunferencia y la extendemos sobre dicho segmento podemos llevar PI veces el diámetro. Pero como PI es irracional, sus infinitas cifras decimales nos dicen que nunca acabaremos el proceso de llevar sobre la circunferencia ‘trozos’ cada vez más pequeños del diámetro. Siempre nos sobrará una pequeña porción sin medir. La circunferencia y su diámetro son segmentos inconmensurables. El diámetro cabe PI veces en su longitud. www.lolitabrain.com


‘PI’, UN CAPRICHO DE LA NATURALEZA

La pasada semana presentamos un conjunto de números muy especiales: los irracionales. De entre ellos, el conocido pi es uno de sus más importantes representantes. Siendo irracional, pi es un número con infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón periódico y que por tanto será desconocido eternamente. Su carácter mágico pero a la vez omnipresente en la Matemática lo convierten en excepcional. Son los caprichos de la Naturaleza los que ataron para siempre a la perfecta, la circunferencia, con un perfecto desconocido, pi.

por Lolita Brain

¿QUÉ ES ‘PI’?

MÉTODOS DE CÁLCULO DE ‘PI’

P

Para calcular el valor de pi se han utilizado múltiples métodos, unos más geométricos y otros sencillamente curiosos. Te exponemos algunos de ellos.

i representa la constante universal que existe entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Es por lo tanto el factor por el que hay que multiplicar la longitud del diámetro de una circunferencia para calcular su longitud.

FÓRMULA DE WALLIS

J

ohn Wallis (1616 1703) encontró el valor de pi a través de un producto con infinitos factores que multiplica los pares por un lado y por el otro los impares.

FÓRMULA DE LEIBNIZ

L

eibniz (1646 - 1716) encontró una bonita expresión de pi como suma de infinitos números -lo que se denomina serie numérica-. En ésta de Leibniz se alternan sumando y restando, los inversos de los números impares. No es una serie que se acerque a pi deprisa, lo que quiere decir que se han de sumar muchos términos para que el valor de pi obtenido contenga muchas cifras decimales coincidentes con las de pi.

La famosa fórmula para calcular el área de un círculo, debida a Arquímedes (Área círculo = Pi x Radio x Radio) nos dice que pi es también la relación que existe entre el área del círculo -en rojo en la imagen- y el cuadrado construido sobre uno de sus radios -en verde en la figura-.

‘PI’ A LO LARGO DE LA HISTORIA

‘PI’ Y LOS PRIMOS

La necesidad de calcular la longitud de una circunferencia fue primordial para todas las civilizaciones, ya que esta figura se ve envuelta en múltiples aplicaciones cotidianas . De ahí que a lo largo de la historia los distintos pueblos hayan encontrado distintos valores de pi que usaban para los cálculos geométricos más elementales.

Aunque aparentemente los números primos y pi no deberían tener nada en común, un producto curioso permite calcular pi utilizando la serie de los números sucesivos...

1650 a.C.

Egipto

s. III a.C.

La Biblia

215 a.C.

Arquímedes

s. III d.C.

Wang Fan

s. XV d.C.

Al-Kashi

1949

ENIAC

En el Papiro Rhind, el escriba Ahmes calcula el área de un círculo de diámetro 9 usando pi = 3,1405.

En el Libro de los Reyes se citan las dimensiones de un cilindro de fundición con un valor de pi igual a 3.

CALCULANDO COMO ARQUÍMEDES

E

l método que siguió Arquímedes para calcular una excelente aproximación de pi se basa en utilizar las áreas de ciertos polígonos regulares inscritos en un círculo. Las áreas de estos polígonos se aproximan al área del círculo y esto permite calcular, y por tanto conocer, con mayor precisión a pi. Arquímedes utilizó la serie de polígonos de 6, 12, 24, 48 y... 96 lados.

En Sobre la medida el círculo, el gigante de Siracusa, Arquímedes calculó pi con un valor entre 3,1412 y 3,1428. Un éxito histórico.

Este matemático chino acotó el valor de pi entre 3,1410 y 3,1427 que, aun siendo muy bueno, no lo es tanto como el de Arquímedes.

ARQUÍMEDES DE SIRACUSA (287 - 212 a.C.)

Usando un polígono inscrito de nada menos que ¡2.832! lados, este matemático que vivió en Samarcanda obtuvo pi con 17 cifras decimales. La moderna computadora ENIAC, que ocupaba una habitación, invirtió 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras de pi.

GHIYATH AL-DIN JAMSHID MAS'UD AL-KASHI (1380 - 1429)

Además de estos polígonos inscritos se tienen que utilizar los polígonos exteriores al círculo con el mismo número de lados. De este modo calculamos pi por exceso.

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ESE MISTERIOSO NÚMERO PI

Si hay un número que permanece unido a cada uno de nosotros desde la infancia es el misterioso tres catorce dieciséis que aprendimos a escribir de niños en nuestra primera fórmula auténtica: la que calculaba la longitud de la rueda de una bicicleta. El misterioso número estaba bautizado con una letra griega, quizá la primera de nuestra vida, equivalente a la p. Hablamos del número PI, uno de los más omnipresentes de toda la Matemática. Su relación con la circunferencia es la responsable de su ubicuidad, desde la Geometría hasta la Estadística.

por Lolita Brain

PERO ¿ QUÉ ES PI?

E

n la escuela aprendemos que la longitud de la curva más primitiva y regular que existe, la circunferencia, es la longitud de su diámetro multiplicada por PI; o que la superficie de un terreno circular contiene PI veces al cuadrado del radio. ¿Y todo esto qué significa? Sencillamente, que si trazas una circunferencia con radio 1 m., el área limitada mide PI m2. Semejante y poco intuitivo número ha sido

conocido desde siempre, ya que la circunferencia interesó y ha sido objeto de persecución a lo largo de los siglos.Y es que PI, para ser tan común, goza de atributos muy particulares: es irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, o dicho de otro modo, siempre será un desconocido; y además es trascendente, pero eso es otra historia muy compleja.

PI EN LA SAGRADA BIBLIA En el Libro de los Reyes (s. III a.C.) de la Biblia se recoge el pasaje:

ARQUÍMEDES Y PI

Reyes 1.7.23. Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del uno al otro lado, redondo, y de cinco codos de alto, y ceñíalo en derredor un cordón de treinta codos. Si lo piensas bien, el valor que se utiliza para PI es de 3, seguramente de origen egipcio. En el Talmud judío se sigue considerando el mismo valor de PI, hecho asombroso si tenemos en cuenta que se escribió a partir del siglo III d.C., y por tanto varios siglos despues de Arquímedes.

LOS EGIPCIOS Y PI 8

AULA

DE EL

MUNDO

A PI EN CHINA

P

ara los egipcios, la motivación del conocimiento del área del círculo era la construcción de silos de forma cilíndrica para guardar el grano. Eso les llevó inicialmente a estimar PI como 3, aunque se conocen mejores aproximaciones egipcias, como la tradicional de los e s c r i b a s PI=256/81=3’1605, bastante exacta. Otro valor más tardío es PI=3+1/7=3’1428. En el problema 48 del Papiro Rhind, en la imagen, el escriba Ahmes nos explica cómo calcular el área de un círculo con diámetro de nueve unidades. En su solución se usa 3’1405.

E

n el ‘Chiu Chang Suan Ching’, ‘Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático’, del siglo II a.C., se utiliza PI con el grosero valor de 3, que permaneció en uso mucho tiempo en China. Hay que remontarse al 130 d.C. para encontrar como valor de PI la Raíz de 10=3’1622. A mediados del siglo tercero, el astrónomo Wang Fan estimó PI como 157/50= 3’14 exacto, y acotó que PI estaba entre 3’141024 y 3’142704, acotación que, aunque muy buena, es peor que la que dio Arquímedes 500 años antes.

PI, PROTAGONISTA DEL CINE

E

EL PI ANALÍTICO

C

rquímedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y un después tanto en la búsqueda de una aproximación del valor de PI como en la comprensión del significado de esta constante. Hacia el 215 a.C. escribió ‘Sobre la medida del círculo’, en la que utilizando la reducción al absurdo y el método de exhaución de Eudoxo llega a calcular ¡sin calculadora! una aproximación de un círculo por un polígono de nada menos que 96 lados, y concluye que PI está entre 6.336/2.017 y 29.376/9.347, es decir, entre 3’1412989 y 3’1428265, la mejor aproximación de su tiempo y una de las mejores de toda la historia.

on el desarrollo del álgebra francés y la aparición del ANÁLISIS a lo largo de los siglos XVII y XVIII, se encontraron fórmulas asombrosas con sumas o productos de infinitos números que proporcionan más y más decimales de PI conforme se usan más sumandos o factores.

l siempre inteligentísimo y brillante Mr. Spock, de la serie futurista ‘Star Trek’, consiguió salvar a la tripulación de la maldad de una diabólica computadora. Spock le ordenó que calculara el valor de PI y como PI es irracional la computadora se quedó presa de un proceso sin fin. Mientras ella calculaba... ellos escapaban.

FRANçOISE VIÈTE (1540-1603)

JOHN WALLIS (1616-1703)

GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716)

La fórmula de Viète, aun siendo algo más difícil de calcular que sus compañeras, tiene el mérito de haber sido descubierta antes de las primeras ideas del análisis matemático de Wallis o de Leibniz.

La fórmula de Wallis es muy fácil de calcular. Se multiplican los números pares consecutivos y se divide por los impares, repetidos dos veces.

La fórmula de Leibniz es sencilla: basta con sumar y restar alternativamente fracciones con los impares en el denominador. Luego se multiplica por cuatro.

Con fórmulas similares a éstas y el uso de computadores fue posible calcular un número anteriormente inimaginable de cifras de PI. Sus primeros 100.265 decimales se obtuvieron en 1961 en un IBM 7090. William Shanks pasará a la historia como el más perseverante calculador de cifras de PI. Pasó 20 años calculando sus primeros 707 decimales. Pero en 1945 la computadora ENIAC descubrió que había cometido un error en el dígito 528 y... en todos los siguientes. En 1949 el ENIAC invirtió 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras de PI. www.lolitabrain.com


Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, Fi, también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en

popularidad y aplicaciones. Fi esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibionacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas....y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte. ¿Qué lo hace tan repetidamente recurrente?

por Lolita Brain

EL NÚMERO DE ORO

A

unque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, FI (la sexta letra del abacedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos por ejémplo el Partenón, y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la media geo-

métrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento. El valor numérico de FI es de 1,618.... FI es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periódico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (como nos pasa con PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la mayoria de sus aplicaciones.

EL PARTENÓN

de Atenas es la construcción arquitectónica por excelencia que utiliza el número de oro para organizar su estructura. El diagrama muestra el análisis armónico del mismo.

¿QUÉ MIDE EL NÚMERO DE ORO?

Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea doble que la menor, o cuatro veces la menor etc. Ahora bien, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que guardan el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial entre Fi=1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.

segmento mayor segmento menor

=

segmento total

SI MIDES UNA tarjeta de crédito cualquiera, comprobarás que la relación entre su largo y su ancho es aproximadamente de FI. Esto es asi porque de todos los rectángulos posibles es el más agradable a la percepción. Las dimensiones estándares de las fotos también suelen ser

segmento mayor

EL CRECIMIENTO DE LAS CARACOLAS también tiene relación con el número áureo. En el diagrama adjunto puedes ver como la curva que define una caracola, una espiral logarítmica, se puede construir a partir de un cuadrado áureo, colocando un cuadrado a continuación del rectángulo anterior. Al crecer con esta curva como esquema el caracol crece mucho (geométricamente) por simple adición (aritméticamente) manteniendo a la vez la misma proporción entre sus partes. LEONARDO DA VINCI realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particu-

lar, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.

LA ESTRELLA PENTAGONAL era según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el irracional FI como puedes ver en la figura, donde QN, NP y QP estan en proporción áurea.

EN EL CUERPO HUMANO el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también


EL RECTÁNGULO DIVINO

La semana pasada te presentamos unos de esos números que “aparecen” sin cesar en el arte proporcionando armonía a las composisiciones. Pero no acaba ahí la presencia del NÚMERO DE ORO (FI). En el mundo natural podemos encontrar formas de seres o modelos de crecimiento que responden a un sistema armónico áureo. Detrás de ello se encuentra la presencia de la figura más simple que manifiesta esa armonía: el rectángulo áureo, módulo básico de construcción de arquitectos y pintores. Veamos algunas de sus propiedades.

por Lolita Brain CUANDO se trabaja con la proporción áurea siempre la construcción fundamental es la de un RECTÁNGULO ÁUREO . Es aquél en el que la relación entre el lado mayor ( AM ) y el menor ( AC ) es Fi=1,618.... Para construirlo geométricamente debes seguir tres pasos:

1.- Dibuja en primer lugar un cuadrado (ABCD) cuyo lado sea igual al menor de los lados del rec tángulo áureo que construiremos. 2.- Encuentra el punto medio del lado CD (O). 3.- Con un compás traza un arco con centro en O y radio OB.

D

os figuras geométricas se denominan SEMEJANTES si son iguales aunque de distinto tamaño y posición. Así cuando haces una fotocopia reducida estás generando una figura semejante al original. Si no cambia la posición, sino sólo el tamaño, se llaman figuras HOMOTÉTICAS. Esto es muy importante en la arquitectura ya que a menudo las partes de una fachada reproducen proporciones de toda ella. La escultura, la música, la poesía y la pintura también usan este modelo de analogía armónica. El modelo del Partenón de la foto te ayudará a entender esto. El rectángulo de toda la fachada se descompone en rectángulos semejantes y cuadrados. Todos ellos tienen relación con el rectángulo áureo. Parte de la armonía que el edificio nos transmite descansa en esa regularidad, que inconscientemente percibimos.

8

AULA

DE EL

MUNDO

El punto N donde el arco corta al lado CN una vez prolongado, es el vértice correspondiente al rectángulo áureo ACNM .

Una forma muy sencilla de construir un rectángu lo semejente a otro dado es la siguiente: 1.- Dibuja la diagonal ( AB ) del rectángulo de partida (ABCD ). 2.-Desde cualquiera de los otros vértices traza una perpendicular a ella que

d

D

a

A

D

e todos los rectángulos, el rectángulo áureo es el único que tiene una propiedad muy interesante. Su gnomon es un cuadrado. Por lo tanto, si sobre el lado mayor de un rectángulo áureo construimos un cuadrado, obtenemos otro rectángulo áureo. Además sus áreas están en la proporción FI2. En esta propiedad descansa una de las razones por las que aparece en la naturaleza como modelo de crecimiento la proporción áurea: caracolas, piñas, filotaxia, estrellas de mar...

C º 90

B

cortará en d al otro lado. 3.-El segmento paralelo al lado CB que pasa por d nos proporciona el rectángulo semejante al original ( aBCd ). Se divide así el rectángulo inicial en otros dos : uno semejante ( aBCd ) y otro (AadD ).

EL RECTÁNGULO RESTANTE SE LLAMA GNOMON ¿QUÉ SIGNIFICADO TIENE ? P UES ES LA SUPERFICIE MÍNIMA QUE AÑADIDA AL RECTÁNGULO RECÍPROCO PROPORCIONA UNA FIGURA SEMEJANTE. DEL RECTÁNGULO RECÍPROCO .

EL RECTÁNGULO INTERIOR Y SEMEJAN TE SE DENOMINA RECÍPROCO.

SEMEJANTES

Puedes averiguar muy facilmente si un rectángulo es un rectángulo áureo. Para ello basta con colocar dos copias del rectángulo en cuestión tal como indica la figura, trazar la diagonal AC y prolongarla. Si dicha diagonal pasa por N, tenemos un rectángulo áureo. ¿Has probado con una tarjeta de crédito o con el D.N.I.?

PASO 1

PASO 3

PASO 2

Estos diagramas muestran el modo de crecimiento gnomónico. A partir de un rectángul o á u r e o , ( P ASO 1 ) añadimos un cua drado y obtenemos un segundo rectáng u l o á u r e o ( P ASO 2). Procediendo de igual modo tantas veces como sea preciso obtenemos rectángulos cuyas áreas están en proporción geométri ca, obtenido como simple adición. ¿No te suena a los logaritmos?

A

PASO 4

lberto Durero (1471 - 1528) utilizó la geometría en su arte. Inventor de la perspectiva, también creó la “ESPIRAL DE D URERO ”. A partir del diagrama anterior (Paso 4) uniendo los vértices alternos con arcos de circunferencia se forma una espiral, que no es exactamente la que algunos moluscos muestran. Pero casi. La espiral de los nautilus, suelen ser ESPIRALES LOGARÍTMICAS, una de las curvas más particulares que conocemos.

ALBERTO DURERO

lolitabrain@hotmail.com


UN RECTÁNGULO MUY ESPECIAL I

De todos los rectángulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se trata del rectángulo áureo o de oro. Se denomina así porque la razón que existe entre su lado mayor y el menor es un número muy especial denominado número de oro o razón áurea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el único con la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonal tiene asimismo una propiedad particular. Y además se encuentra en innumerables obras artísticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantástico que todas las tarjetas de crédito son rectángulos de oro.

por Lolita Brain

EL NÚMERO DE ORO el mismo modo que el número PI encierra una presencia ubicua en las matemáticas, hay otro número muy relacionado con la geometría que está íntimamente ligado al arte. Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea triple que la menor, como en el diagrama. En este caso se cumple que:

D

parte mayor parte menor

=

3 unid.

segmento total

1 unid.

parte mayor

=

Ahora bien, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que haya entre el segmento total y la mayor de las partes sea igual a la que mantienen las dos partes entre sí. Decimos que ambas partes se hallan en proporción áurea (La Divina Proporción desde el Renacimiento) y su valor es el denominado número de oro, FI=1,618... Un número, que como PI, tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Siempre que la razón de dos magnitudes sea el número FI, decimos que están en proporción áurea.

A

4 unid.

(AB) parte menor (BC)

3 unid.

parte mayor

A

ara dibujar un rectángulo áureo no necesitamos ningún instrumento de medida. Si conoces el ancho del rectángulo que quieres construir te bastará con seguir los siguientes pasos para dibujarlo.

parte mayor

(AC) (AB)

EL RECTÁNGULO DE LAS TARJETAS

El segmento AB es el alto del rectángulo.

B

=

segmento total

= 1,61803...

ASÍ SE CONSTRUYE UN RECTÁNGULO ÁUREO

P

C

B

as tarjetas de crédito son todas iguales en forma y tamaño. Si las mides comprobarás que sus lados miden 8,5 y 5,3 cm respectivamente. Si efectúas la división de esas dos medidas obtienes

L

8,5 cm. 1.- Primero dibuja dos cuadrados con el ancho AB que queremos que tenga el rectángulo. Dibújalos uno junto al otro.

2.- Traza la diagonal del rectángulo que has obtenido con los dos cuadrados.

5,3 cm.

C

3.- Por el extremo inferior derecho traza una perpendicular a la diagonal anterior (en puntos) que proporciona el punto C.

4.- El rectángulo que pasa por C (en naranja) es el rectángulo áureo que queríamos dibujar. ¡Fácil!

C

¿CÓMO SABER SI UN RECTÁNGULO ES ÁUREO? uedes averiguar muy fácilmente si un rectángulo es áureo. Para ello basta con colocar dos copias del rectángulo en cuestión, tal como indica la figura. Traza la diagonal AC y prolóngala. Si dicha diagonal pasa por N, tenemos un rectángulo áureo. Puedes probar también con un documento nacional de identidad y comprobarás que también es de oro.

P

1,6, que es casi el número FI. Cuando en un rectángulo sus lados están en esta razón se dice que es un rectángulo áureo o de oro. Veremos que sin necesidad de medir los rectángulos podemos saber si son o no áureos.

N

Esta propiedad no la tienen todos los rectángulos. Observa el de la figura. Cuando unimos los vértices de dos copias del mismo rectángulo, esta recta corta en cuatro puntos a los rectángulos, en lugar de hacerlo en sólo tres.

A

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


UN RECTÁNGULO MUY ESPECIAL Y II

En la teoría del arte hay un vocablo, euritmia, que expresa un híbrido entre tres principios fundamentales del diseño: la armonía, la proporción y el movimiento. El rectángulo áureo del que hablamos la pasada semana es un paradigma de estructura compositiva con euritmia. Ha sido utilizado como esquema compositivo a lo largo de todos los tiempos y en todas las artes. La catedral de Notre Dame, el Partenón de Atenas, ‘El sacramento de la última cena’ de Dalí o la Venus de Milo son sólo algunos ejemplos de obras de arte que comparten el uso de la proporción áurea como elemento compositivo.

por Lolita Brain

LA GRAN PIRÁMIDE Y EL NÚMERO DE ORO uchas son las propiedades geométricas atribuidas a la Gran Pirámide de Gizeh, la Pirámide de Kéops. Una de ellas es que está levantada sobre un triángulo que mantiene la proporción áurea. Con más precisión, la relación que existe entre la mitad de la base y la altura de los lados es precisamente Φ.

M

= 1,61803...

B

(AB) mitad lado (AC) apotema

= 186,369 =1, 61804... 115,182

bserva que calculada la apotema de la pirámide ‘a’ con el Teorema de Pitágoras, en el triángulo que trazamos al seccionar transversalmente la Gran Pirámide, se obtiene como cociente -razón- el número Φ con cuatro cifras decimales exactas.

O

C

A

íjate también en La Geometría tiene dos tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras, el que si dividimos otro la Sección Áurea. El primero puede ser todas las medidas considerado una medida de oro, la segundel triángulo anterior da una joya preciosa. por la mitad del lado, JOHANNES KEPLER

F

es decir, por 115,182, obtenemos un triángulo cuyos lados miden 1, Φ y 1,2720, que es exactamente la raíz cuadrada de Φ. A este triángulo se le denomina Triángulo de Kepler.

EN LA ARQUITECTURA MODERNA a Torre CN de Toronto, con sus 553,3 metros de altura, es la torre de comunicaciones más alta del mundo y fue construida entre 1973 y 1975. Tiene, a 342 metros del suelo, una plataforma de observación, controles de radio y un restaurante que la separa en dos secciones. Dichas secciones no son arbitrarias sino que dividen a la torre según la proporción áurea.

L

FI TAMBIÉN ESTÁ EN LA PINTURA a pintura ha utilizado profusamente el rectángulo áureo como esquema compositivo básico, sobre todo a partir del Renacimiento, como hicieron Durero o Leonardo da Vinci. Pero también en épocas modernas. Si observas El baño en Asnières de Seurat, el horizonte corta el cuadro longitudinalmente por la sección áurea de la altura del lienzo. Eso proporciona un rectángulo áureo con la sien del bañista sentado. Este rectángulo se utiliza a continuación (en la imagen son los rectángulos coloreados) como un módulo donde se enmarcan las restantes figuras del lienzo.

L

AC BC DA = BC AB = AB = 1,61804...

D

Y DALÍ LO UTILIZÓ

A B

n El sacramento de la última cena, Dalí dispuso la obra en un lienzo que era un rectángulo de oro. La mesa se encuentra en la sección áurea de la altura del lienzo. Del mismo modo, los apóstoles están de espaldas en las secciones áureas del ancho del lienzo. Además, las ventanas del fondo son parte de un dodecaedro, que es un poliedro formado por pentágonos en el que Φ se encuentra en muchas de sus proporciones.

E

C Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


Solemos asociar la belleza a algo que no es posible cuantificar objetivamente. Nos parece que las cosas son hermosas exclusivamente en función de nuestra subjetividad, que nos hace ver la realidad más o menos bonita. Pero, aunque para gustos se hicieron los colores y aceptamos sin más el gusto de cualquier persona, el hecho es que en general determinados rostros, edificios, plazas o composiciones nos resultan especialmente hermosas. Las relaciones entre las partes y el todo nos sugieren un mayor equilibrio y, por ende, una mayor belleza. Detrás de estas consideraciones está la idea de proporción.

LA DIVINA PROPORCIÓN = Q

parte mayor parte menor

U É

M I D E

=

por Lolita Brain

= 1.618033...

segmento total parte mayor

E L

N Ú M E R O

D E

Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio).

O R O

S

upón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas: por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor. Ahora bien, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que haya entre el segmento inicial y la mayor de las partes, sea igual a la que mantienen las dos partes entre sí. Decimos que ambas partes se hayan en proporción áurea (La Divina Proporción desde el Renacimiento) y su valor es el denominado NÚMERO DE ORO, FI=1,618.... Un número, que como PI, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

L

a reconocida belleza de EL PARTENÓN de La Acrópolis ateniense se debe en buena parte al uso de la proporción aúrea en sus dimensiones. Es uno de los primeros ejemplos arquitectónicos en los que las relaciones entre sus elementos se hallan en dicha relación. Los griegos, desarrollaron sus matemáticas sobre bases geométricas y toda ella está expresada en términos de razones y proporciones entre segmentos. Encontraron en las matemáticas una manera de crear armonía en las artes.

8

AULA

DE EL

E N EL R E T R A T O DE LA J O V E N H ELEN WILLS SE HAN DIBUJADO LAS LÍNEAS QUE

MUNDO

SE

ESTUDIAN

PARA

UN

A R M Ó N I C O DEL R O S T R O .

A

ANÁLISIS

LA DERECHA ,

L O S S E G M E N T O S C O N EL M I S M O C O L O R IDENTIFICAN LAS MEDIDAS QUE SE HALLAN

LA ARMONÍA DE UN ROSTRO, uno de los elementos que nos conducen a ver más o menos belleza en él, tiene una estrecha relación con las proporciones que percibimos en él. La armonía del rostro se analiza geométricamente mi diendo las distancias entre la frente y la barbilla, entre los ojos y la boca, entre la nariz y el mentón..., y comparándolas entre sí. La repetición de patrones entre estas medidas y el valor de dicho patrón, es determinante a la hora

EN PROPORCIÓN ÁUREA.

POR

L O N G I T U D DE S U S R O S T R O VECES SU ANCHURA

(FD) ES FI NARIZ (DE).

FRENTE SU

(CB),

EJEMPLO , ES

LA FI

TAMBIÉN

SU

(AB)

VECES EL TAMAÑO DE

de decidir qué rostro es más ar monioso. Estudios recientes de cirujanos plásticos, demuestran estadísticamente, que aquellos rostros en los que estas relaciones entre las medidas de la cara obedecen a la proporción áurea son aquellos que nos producen una mayor sensación de belleza.

E

N EL PENTAGRAMA, la estrella

de cinco puntas formada con las diagonales de un pentágono, aparece en la proporción áurea en multitud de relaciones entre sus segmentos. Por ejemplo, si AG mide 1 unidad, la diagonal MG mide FI unidades (1.618...), MG es FI veces MF, MF es Fi veces MN. Los pitagóricos tenían al pentagrama como símbolo. No es difícil imaginar por qué. Podemos encontrar manifestaciones de la proporción áurea en el arte en cualquier época. Por ejemplo, LEDA ATÓMICA, una obra de Salvador Dalí de 1949, utiliza un esquema compositivo basado en la Divina Proporción. Toda la composición se enmarca en un círculo en el que un pentagrama organiza el espacio.

E

l famosísimo dibujo de Leonardo da Vinci sirvió para ilustrar el libro LA DIVINA PROPORCIÓN del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuáles han deben ser las proporciones de las creaciones artísticas. Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja una circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo, que ha de coincidir en un cuerpo

armonioso, con ocho cabezas, y además la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo recto con el tronco. En este hombre armónicamente perfecto para Pacioli, el cociente entre la altura del hombre, el lado del cuadrado, y la distancia del ombligo a la punta de la mano, el radio de la circunferencia, es el número áureo. Por supuesto este canon no es el único que han utilizado los artistas, pero sí uno de los más usados. Y a ti, ¿te parece armonioso? lolitabrain@hotmail.com


LAS PROPORCIONES EN EL HOMBRE

Volvemos hoy a un tema que hemos tratado varias veces en estos años, desde distintos puntos de vista. Se trata de las relaciones que existen entre las dimensiones de diferentes partes de nuestro cuerpo. El concepto de proporción, que pertenece a la Geometría más pura y que cultivaron los griegos en su época clásica, pasó al dominio de la arquitectura, de la pintura y de la escultura bajo el prisma de lo que podríamos llamar la ciencia artística o el arte geométrico. Esto sucedía en el Renacimiento. Pero sus premisas tenían mucho que ver con nuestro cuerpo.

por Lolita Brain

¿QUÉ SON LAS PROPORCIONES?

LOS DEDOS Y LA PROPORCIÓN ÁUREA

H

abitualmente hablamos en términos de “este cuerpo está bien proporcionado” o que “esta fachada mantiene unas proporciones hermosas”. ¿Qué queremos decir con ello? Sencillamente nos referimos a las relaciones que mantienen las dimensiones de las distintas partes. No se trata de las dimensiones en absoluto, sino a la correspondencia que existe entre ellas. Por ejemplo, una persona puede ser muy alta pero estar bien proporcionada o por el contrario tener unas piernas muy largas en relación con el cuerpo, aunque sea pequeña. Las proporciones se perciben con la vista y son en este sentido subjetivas, pero la geometría nos permite cuantificarlas.

¿QUÉ ES LA RAZÓN ÁUREA?

C

Los bebés están desproporcionados por el gran tamaño de su cabeza.

L

os griegos pensaron sobre cuál comparar la mayor de las porciones sería el modo más armónico de con la menor. De este modo, la sendividir un segmento cualquiera sación que obtendríamos al mirar el todo y la en dos partes desigua- A C B parte mayor sería la misles. Y estima que al maron que longitud AC comparar la mejor de longitud AB los dos seglas formas = longitud CB mentos. Y posibles longitud AC esta es la sería aquella en la que al comparar el segmen- razón áurea, cuyo valor es 1,618 y to completo con la mayor de las par- al que se le puso de nombre FI (la tes resultara el mismo valor que al letra f griega).

omo es obvio, las dimensiones de los dedos de cada persona son distintas. Unas personas tienen dedos largos y otras, cortos, incluso con independencia de su estatura. Pero en cambio, nuestros dedos, los de prácticamente todas las pesonas, obedecen a un patrón de proporciones muy similar. La longitud de las falanges se hallan en proporción áurea. ¿Qué quiere decir esto? Que si dividimos la longitud de la primera falange de cada dedo de nuestras manos entre la longitud de la segunda, nos resultará un valor muy parecido a 1,6. Y si hacemos lo mismo con el segundo y el tercer hueso sucede lo mismo.

8

AULA

DE EL

MUNDO

EL ANÁLISIS ARMÓNICO

E

l análisis armónico de un rostro es un estudio de las proporciones que existen entre distintas medidas de la cara de una persona. Para ello se toman como referencias algunos puntos importantes del rostro y se dividen las dimensiones correspondientes. Así es primordial comparar la longitud de una cara con su ancho, o la distancia que separa la nariz de la barbilla con la que hay entre ésta y los ojos. Las siguientes imágenes te proponen comparar una serie estándar de medidas que de siempre se han utilizado para estudiar la armonía de una cara. En este ejemplo, si tú mismo tomas la medidas sobre las imágenes, comprobarás que siempre resulta el valor de FI=1,6. Este retrato es modelo de un rostro en proporción áurea. Pero no todas las caras son tan armónicas.

Las medidas de la imagen se han tomado de una radiografía auténtica. Observa lo similares que son los cocientes al valor 1,6. (Medidas en centímetros)

ANALIZA TU ROSTR0

T Comparar el largo de la cara con su ancho. Valores superiores a 1,6 proporciona rostros alargados

Esta proporción determina el tamaño de la frente en relación con la parte superior de la cabeza.

Con esta comparación se establece la amplitud del segmento inferior del rostro.

Esta razón mide el tamaño de la nariz en contraste con la frente.

Aquí la nariz se compara con la parte central de la cara.

Por último relacionamos la mandíbula con el tercio inferior del rostro.

ú también puedes hacer un análisis armónico de tu rostro y saber si responde o no a la proporción áurea. Para ello necesitas sólo una cámara digital, una impresora y una regla. Procede como te indicamos a continuación: 1.- Realiza una foto de primer plano de tu cara con la cámara. Procura aparecer en posición recta respecto de la horizontal y en el mismo plano con la cámara. Toma de referencia las imágenes de esta lámina. 2.- Imprime la fotografía. 3.- Ayudándote de la regla, toma las medidas que se reflejan en las seis imágenes de la lámina con la mayor precisión que puedas. 4.- En cada imagen, divide la mayor de las longitudes entre la menor. Cuanto más se parezcan tus cocientes al valor de FI=1’618, mayor será el parecido de tu rostro a uno armónico. Por el contrario, si los valores son mayores o menores, querrá decir que tu rostro es alargado o ancho, que tu frente es amplia o que tu nariz es larga. Pero no lo olvides, no es una cuestión de belleza absoluta, sino sólo un canon de belleza de todos los posibles.

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EL HOMBRE MÁS FAMOSO

Pocas imágenes perduran tanto a lo largo de la historia como la que estudiamos hoy. La proporción en la figura humana influyó notablemente tanto en Arquitectura, con la finalidad de crear espacios para uso del hombre, como en Pintura y Escultura, para representar adecuadamente el cuerpo humano. La finalidad de tales normas es concretar todas las proporciones de una misma obra, resolviendo el problema de las relaciones entre las partes y el todo de los edificios. Vitrubio creó un modelo que consiste en considerar la altura como módulo y las otras partes del cuerpo como submúltiplos de esa unidad.

VITRUBIO, UN TEÓRICO DE LA ARQUITECTURA

EL CANON DE LEONARDO

M

eonardo da Vinci (1452 - 1519) fue también un entusiasta de las proporciones y un magnífico geómetra. Adaptó las ideas de Vitrubio para crear una de las imágenes más famosas de la historia: El Hombre de Vitrubio, que dibujó en 1492 en Venecia. En él aparece una interpretación armónica del cuerpo humano basada en la proporción áurea. Es decir, el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia de su dibujo se hallan en la relación de FI=1,618. O bien, el ombligo divide la altura de su hombre en proporción áurea: hay la misma razón entre la altura y el ombligo como entre éste y el resto del cuerpo.

arcus Vitruvius (h. 46 a.C. 30 d.C.) fue un genial arquitecto romano que en su obra Los diez libros de Arquitectura expresó sus hipótesis sobre la armonía y las proporciones que debían regir la arquitectura. En su opinión, el hombre debería ser el que proporcionara la armonía de todas las construcciones arquitectónicas. Desarrolló modelos para las proporciones de capiteles, columnas, basas, ventanas y paramentos, usando la proporción áurea.

EL CANON DE VITRUBIO

E

8

AULA

DE EL

MUNDO

por Lolita Brain

n dicha obra, Vitrubio escribía las siguientes palabras que definen su hipótesis de la armonía del cuerpo humano: "... y también el ombligo es el punto central natural del cuerpo humano, ya que si un hombre se echa sobre la espalda, con las manos y los pies extendidos, y coloca la punta de un compás en su ombligo, los dedos de las manos y los de los pies tocarán la circunferencia del círculo que así trazamos".

L

HALLA EL OMBLIGO CON COMPÁS Prolonga el lado izquierdo del cuadrado. (verde) Encuentra el punto medio de la altura (M). Traza la diagonal del rectángulo inferior en que ha quedado dividido el cuadrado. (azul) Con centro en el punto medio de la altura, traza un arco cuyo radio es la diagonal anterior. (azul) Este arco corta en Q al segmento prolongado. Con centro en B y radio hasta BQ, traza un arco (rojo) que corta al cuadrado en O.

Y continúa: "Y de la misma forma que el cuerpo humano nos da un círculo que lo rodea, también podemos hallar un cuadrado donde igualmente esté encerrado el cuerpo humano. Porque si medimos la distancia desde las plantas de los pies hasta la punta de la cabeza y luego aplicamos esta misma medida a los brazos extendidos, encontraremos que la anchura es igual a la longitud, como en el caso de superficies planas que son perfectamente cuadradas".

O estará a la altura del ombligo.

“Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza verás que el centro de los miembros extendidos se halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero". L EONARDO DA VINCI.

EL MODELO ARITMÉTICO DE LEONARDO

P

ero el canon de Leonardo es también aritmético. Esto significa que toma una parte del cuerpo como unidad y las restantes se obtienen como múltiplos de ella. Él tomó como unidad la medida de la mano hasta la muñeca. Esta idea aritmética fue desarrollada por el arquitecto y escultor Alberti (1404-1472), quien en su tratado Sobre la pintura establece alternativamente el sistema armónico de Vitrubio y el aritmético. Alberti tomó como módulo en pintura la cabeza humana y en escultura, el pie.

La cara es tan amplia como la mano

LAS ÚLTIMAS INVESTIGACIONES

El ombligo es el centro del cuerpo

R

ecientemente, el arquitecto C. Calvimonte, así como los estudiosos K. Schröer y K. Irle, sostienen la existencia de un círculo oculto en la imagen de Leonardo. Ese círculo viene dado por el punto en que el círculo corta al cuadrado (R) y su área es la misma que la del cuadrado de Leonardo. Proponen un mecanismo para aproximar la circulatura de un cuadrado.

Los genitales parten el cuerpo en dos mitades iguales

El cuerpo es tan alto como ocho manos. Esquema de módulos reflejado en el dibujo de Leonardo. La unidad es la mano. Los números indican las veces que las distintas medidas contienen a dicha unidad.

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LEONARDO DA VINCI

Este prolífico italiano del Renacimiento abarcó gran parte de los conocimientos de su época y dominó numerosas ramas diferentes del saber (el arte, la ingeniería, la biología, la música, la escritura, la filosofía...), de manera que anticipó muchos avances científicos y significó una innovación en el campo de la pintura, aunque pocos de sus inventos llegaron a realizarse en la práctica.

¿QUIÉN ERA?

SUS OBRAS La obra pictórica de Leonardo es muy escasa. Él mismo no se definía como pintor, sino como ingeniero y arquitecto, incluso como escultor. El signo que caracterizó a este artista

Nació en 1452 en Vinci y se crio en Florencia, donde estuvo de aprendiz en el taller de Verrocchio (una de las figuras más importantes de la época en pintura y escultura). Poco se conoce de la vida personal de este artista, inventor y descubridor; se sabe que Leonardo permaneció soltero y sin hijos, y que fue denunciado con la acusación de homosexualidad.

fue el abandono sistemático de los proyectos que se le encargaban. A pesar de ello, sus obras han determinado la evolución del arte en siglos posteriores.

La última cena Trabajó en esta obra de 1495 a 1497. En ella experimentó con óleo sobre yeso seco, lo que provocó problemas técnicos que condujeron a su rápido deterioro. Desde entonces se ha intentado restaurarla.

¿EL PRIMER ‘AUTOMÓVIL’?

El hombre de Vitruvio

Se trataba de un carro de madera impulsado por la fuerza de unos muelles. Éstos estaban situados en la parte baja del prototipo y permitían a este aparato recorrer varios metros al accionar una manivela. Se cree que Leonardo lo diseñó para impresionar a los grandes personajes de la época en fiestas y reuniones y no como un simple medio de transporte.

Engranaje horizontal

Ruedas con levas en forma de pétalos

Leonardo realizó una visión del hombre como centro del universo al quedar inscrito en un círculo y un cuadrado (base de lo clásico). En este estudio anatómico, donde vincula el cuerpo humano con la arquitectura y la naturaleza, busca la proporcionalidad del organismo, el canon clásico o ideal de belleza. Se inspiró para ello en el arquitecto Marco Vitruvio Polión.

Manivela

Barras de dirección

El misterio de la Monna Lisa

Chasis de madera Rueda trasera

Rueda delantera

OTROS PROYECTOS DE LEONARDO

Plano original del ‘automóvil’ creado por Leonardo

El auto acorazado de Da Vinci, según su diseño

CRONOLOGÍA DE SU VIDA 1452 Nació en esta fecha en Anchiano, cerca de Vinci (Italia). A su nombre de pila se le añadió el de la localidad de nacimiento, sin emplear el nombre de su padre, lo que hace pensar que era hijo ilegítimo.

ITALIA Vinci

Florencia Roma

Un arma de guerra muy poderosa: la catapulta

Pintada entre 1503-06 y conocida también con el nombre de La Gioconda, es el retrato más famoso de toda la Historia y el único de los que pintó Leonardo que se ha conservado. Se han barajado varias hipótesis sobre el misterio de su sonrisa y su identidad, incluida la teoría de que es un autorretrato.

Una máquina voladora. ¿El primer helicóptero?

Proyectiles con formas muy adelantadas para la época

1476

1513

1519

Se va a Florencia, donde aprende en el taller de Verrocchio todas las técnicas artísticas. Más tarde, en 1482, se marcha a Milán, donde pasará 17 años trabajando en proyectos de todo tipo, incluidos los científicos.

Volvió a Florencia y de nuevo a Milán. En 1513 se muda a Roma, donde permanecerá hasta 1516. Consciente de que no puede competir con Miguel Ángel acepta la invitación de Francisco I de Francia y se traslada allí.

Pasó sus últimos años en el Castillo de Cloux (Francia), donde murió a los 66 años de edad. De acuerdo a sus deseos, 60 mendigos siguieron su ataúd y fue enterrado en la Iglesia de San Valentín en Amboise.

Infografía: 5W Infographic

Textos: Virginia Gómez / EL MUNDO


MATEMÁTICAS CON ARTE

Mirábamos la semana pasada el oficio de matemático en el Cinquecento renacentista italiano. En ese periodo, las conexiones entre el arte y las matemáticas se hicieron especialmente fecundas, fomentadas por el redescubrimiento de las ideas platónicas, la incorporación del neoplatonismo al pensamiento y, sobre todo, a los contactos entre artistas y matemáticos, que gracias a la ayuda de los mecenas pudieron dedicarse a investigar, difundir y aplicar las viejas teorías geométricas de la Grecia Clásica a la arquitectura, la perspectiva o el diseño tipográfico. La matemática era garante de la bondad de las ideas.

por Lolita Brain

U

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AULA

DE EL

MUNDO

n amplio debate de la época versó sobre la consideración de la pintura; los pintores de entonces luchan porque sea considerada como un arte y no como una actividad artesanal ejercida por personas virtuosas de las herramientas, artesanos a fin de cuentas. El famosísimo Leonardo da Vinci, hombre polifacético del Renacimiento, consideró que la pintura debería entenderse como un conocimiento científico basado en la experimentación y fundamentado en sólidos conocimientos teóricos, rescatados muchos de ellos de las matemáticas. En su ‘Tratado de la Pintura’ (1498), da Vinci compara ésta con la música, la escultura o la poesía. Para él la pintura descansa sobre el dibujo y ‘Autorretrato’. Leonardo da éste sobre la geoVinci. Codex de Urbino. metría. Pintar está reservado a unos pocos privilegiados ya que obliga a representar en un plano la realidad tridimensional, lo que conlleva un proceso mental similar al de la abstracción geométrica. En cambio, la escultura es para él un arte sencillo que se alcanza sólo con la observación y la copia del modelo, sin intervención de la mente.

‘Cuerpo de 72 bases’. Modelo dibujado por Leonardo da Vinci para la ‘Divina Proporcione’ de su amigo Luca Pacioli ‘Leonardo presenta El Pensador a Ludovico, el Moro, Duque de Milán’ (Francesco Podesti - 1846)

L

Los poliedros fueron del máximo interés para pintores por cuanto su dibujo en perspectiva era básico para aprender a utilizar esta técnica. Por supuesto sus connotaciones místicas, sus formas equilibradas y su relación con la proporción áurea los hicieron merecedores de la atención del mundo artístico y geométrico. Luca Pacioli describe en su ‘Divina Proporción’ (1498) su construcción con regla y compás así como las relaciones métricas que hay entre ellos. En el fondo era la Geometría de Euclides elevada a conocimiento casi divino.

udovico Sforza, ‘el Moro’, fue duque de Milán y relevante mecenas de la época. Acogió a Leonardo da Vinci, quien en agradecimiento diseñó la escultura ecuestre del Duque y que iba a ser la más grande jamás creada. Nunca llegó a fundirse. Ludovico congregaba en su corte -como hacían los príncipes, duques y demás nobles italianos- a los más afamados científicos y artistas de la época en una sana competición por tener bajo su protección a la élite cultural. Como recompensa los libros eran a menudo dedicados a ellos.

Leonardo da Vinci. ‘Tratado de la Pintura’. Proemio

L

El conocimiento científico de las proporciones humanas se convierte en una necesidad del artista. Al interés despertado por la teoría de las proporciones matemáticas y la aplicación que de ellas hace Vitrubio, los artistas del momento están contagiados por la idea de la perfección universal y absoluta que necesariamente está relacionada con la métrica de las distintas partes del cuerpo humano. Del mismo modo que las proporciones entre las dimensiones de cada parte de una columna arquitectónica es objeto de estudio de los matemáticos -Luca Pacioli- y de los artistas -Leonardo da Vinci-, el hombre y la mujer para ser hermosos deben ser armónicos. Y dicha armonía se alcanza por su conformidad con determinadas proporciones. Alberto Durero junto a Leonardo da Vinci son dos de los grandes estudiosos de la proporción de los cuerpos. Técnica y belleza se unen Estudio de las proa través de la geomeporciones del hombre. tría. Tomado del libro de Alberto Durero ‘Los cuatro libros de la simetría de las partes del cuerpo humano’ (1532-1534)

a caligrafía es otra de las áreas donde el arte y las matemáticas se dan la mano. Con la difusión de la recién inventada imprenta y de los grabados, el diseño de tipos para las prensas, lejos de ser un mero oficio artesanal, es un terreno donde la proporción y la geometría se utilizan para dar armonía y justificar las formas de las letras. Luca Pacioli, Leonardo da Vinci o Alberto Durero son tres artistas-matemáticos que en sus obras incluyen partes dedicadas a la descripción de las formas de las letras. El círculo, el cuadrado y la proporción son los elementos formales utilizados. Junto a cada letra del alfabeto, el autor escribía la descripción de la misma.

Esta letra A se obtiene del círculo y de su cuadrado. El brazo de la derecha debe ser grueso como una novena parte de la altura. El brazo izquierdo debe ser la mitad del brazo grueso. El brazo del medio debe ser la tercera parte del brazo grueso. [...] El brazo del medio debe estar algo más bajo que el cruce central. Luca Pacioli, ‘Divina Proporción’ (ed. 1509)

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EL ARTE DE CALCULAR

Calcular no siempre ha sido una tarea tan sencilla como la de pulsar un botón y ver cómo una máquina nos da la respuesta a ese resultado buscado. El poder efectuar cálculos precisos y de modo eficiente fue tan importante que esta actividad se denominaba el arte del cálculo. Durante buena parte del siglo XVI, los matemáticos -y no sólo ellosrealizaron enormes avances tanto en los algoritmos de cálculo como en su mecanización. Multiplicar, dividir o efectuar una raíz cuadrada podía ser una labor de titanes. De entre todos ellos una persona destaca por sus contribuciones: John Napier.

por Lolita Brain

A

J

OHN NAPIER (1550- 1619) Baunque la gran invención de Napier fue la de los rón de Merchiston, una lologaritmos, tema que merece un tratamiento calidad cercana a Edimburgo, independiente, hoy examinamos una de sus inla capital de Escocia. Su padre teresantes contribuciones a la mecanización de los Archibald Napier fue un noble cálculos. En su época el instrumento de cálculo utimuy importante en su época. Inlizado era el ábaco. Con él pueden efectuarse sumas, gresó en la Universidad de Saint productos y un largo etcétera de operaciones. Pero Andrews -una de las más antisu manipulación no es fácil y sí muy tedioguas del Reino Unido- aunque sa . La mente inquieta y utilista de Napier no llegó a finalizar su graingenió, para su propio uso, unas taduación, marchando de blillas numeradas que tenían unos viaje por Europa. Aunque números inscritos en ellas con las es conocido por sus conque efectuaba multiplicaciones. Se tribuciones a las matesolían confeccionar con marfil de máticas, su profundo modo que se popularizaron tras sentido religioso le conla muerte de Napier, con el nomvirtió en un protestanbre de HUESOS DE NAPIER. Extraño te ferviente preocupado principalmente por la nombre para un instrumento. Se deteología. Su libro de 1593 cidió finalmente a publicar su consEl descubrimiento Completo de la Revelación de San Juan, trucción y uso en su libro Rabdologiae en el que atacaba ferozmente al Papa, fue siempre para él la JOHN NAPIER en 1617, según él mismo nos dice, anigran obra de su vida. Las matemáticas y sus invenciones eran una (1550 - 1619) mado por sus colegas que quedaban fasdistracción en medio de sus preocupaciones teológicas. cinados cuando él les mostraba su uso.

4 4x1= 1 4x2= 8

8

AULA DE EL

MUNDO

JUEGO

DE

HUESOS

DE

NAPIER

DEL SIGLO

XVIII

EN MADERA

Los huesos de Napier se construían como un juego de diez varillas oblongas en cada una de cuyas caras laterales se inscribían las tiras de los múltiplos de los primeros nueve números. Pero se emparejaban por complementos a 9, es decir, las parejas de cada varilla sumaban 9. Por ejemplo en la quinta varilla estaban inscritos los múltiplos del 1, 2, 8 y 7. Si observas 1+7=2+8 (son com plementarios) . Además se inscribían inverti dos: el 2 y el 1 boca arriba y el 7 y el 8 boca abajo. Estos refinamientos mejoraban su uso.

Cada varilla está numerada. En cada una de sus caras se dispo nen en cuadra dos los múltiplos de cada uno de los primeros nú meros 0, 1, 2... hasta el 9. Las cifras de las dece nas se colocan en la diagonal superior y las unida des en la inferior.

4x9= 36

0 0 8 1 2 2 2 2

0

0

0 0

6

0

0

0

8

3 2 3 6

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

2

1

0 0

0

4

1

0 0

4

1

0

2

4

0 0 0

4 5 6 7

0

1 1 1

8

0 2 4

6

1 1 2

6

2 5 8 1

8

2 2 2

4

6 0 4 8

0

2 3 3

2

0 5 0 5

2

3 3 4

0

4 0 6 2

4

3 4 4

8

En primer lugar selecciona mos las varillas de las cifras del multiplicando: 2, 5 y 8.

0 4 6 1 Después seleccionaremos las filas co rrespondientes a las cifras del multipli cador: 1, 7 y 9.

8

2

Por último basta realizar las SUMAS de las casillas dia gonales que coinciden (arrastrando las decenas si fuera necesario) El resultado es 46.182 leído de izquierda a derecha.

5 2 9

8 2

4 3 4 4 5

2 0 8 6

6

7 3 4 4 6

4

5 8 3 2

8 2

0

6

7

7 3

0

9 1

6

6

1 0

Si colocáramos un juego completo de varillas una junto a otra aparecería la tabla superior. Esta disposición de los múltiplos de los primeros diez números, para formar una tabla de multiplicar, fue inventada en India y posteriormente utilizada por los árabes, persas y chinos a finales de la Edad Media. En Europa se introdujo por Italia a lo largo del siglo XIV. Era el llamado método de multiplicación de la GELOSÍA. Napier lo que hizo fue mecanizar la gelosía para facilitar su uso

J

Veamos cómo se efectuaría una multiplicación con los Huesos de Na pier. Si quisiéramos calcular 258 por 179 procederíamos del modo:

8

6 4

0

0

2 1

2

9

8 1

5

5 5

0

0

2 8

2

8

7 1

4

4 6

0

0

1 5

2

7

6 1

4

3 7

0

0

1 2

1

6

5 1

3

2 8

2

0

1 9

1

5

4 0

2

1 9

0

8

1

0

0

0 6

0

4

3 0

0 3

0

0 2

0

0

3

OHN NAPIER no sólo creó muy relevante en la época en los huesos en su interés la que estaba naciendo el por mejorar los álgebra que hoy procedimientos de conocemos: por pricálculo. Más allá de mera vez Vieta utililos logaritmos creó zaba letras para una máquina de calrepresentar las cular que ampliaba ecuaciones, la notalas posibilidades de ción decimal -con sus huesos y a la que punto y comallamó “Multiplicatioempezaba a usarse, nis Promptuarium”. FRANCOIS ¨VIÈTE los exponentes Con este instrumento, (1540 - 1603) comenzaban a cauNapier consiguió sar preocupación solucionar el princientre los matemátipal inconveniente del cos. Napier además uso de los huesos: al recopiló la trigonocalcular con ellos, metría de su tiemhabía que anotar las po, especialmente resultados intermela trigonometría dios; con el prompesférica. Schickard consiguió tuario desarrolló las ideas automatizar todo el WILHELM SCHICKARD de los huesos inventando la primera cálculo algebraico. (1592 - 1635) máquina automátiAdemás introdujo cambios en la notación mate- ca que realizaba cuarto operaciones. mática, un tema

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ARTIFICIO NUMÉRICO

La pasada semana conocimos a John Napier y sus huesos. Pero apuntábamos que es su invención de los LOGARITMOS lo que ha dado a Napier un lugar en la Historia. Sin duda, uno de los pocos términos matemáticos que se han incorporado al lenguaje común es el término logaritmo. Temidos por los estudiantes de muchas generaciones, los logaritmos tienen ese sabor a lo auténticamente difícil de las matemáticas. Lo inaudito es que nacieron justo con el propósito de ayudar específicamente a los astrónomos, aunque, indirectamente, a toda persona que tuviera que realizar cálculos.

por Lolita Brain

J

OHN N APIER , Barón de Merchiston (1550- 1619) fue una mente inquieta preocupada, entre muchas cuestiones, por inventar mecanismos que facilitaran la tediosa tarea de realizar cálculos. En su época, las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de raíces cuadradas y cúbicas eran todo un reto para el calculista. Especialmente en una época en la que la astronomía necesitaba expresar el universo con números precisos: registrar pocisiones de astros y calcular otras, obtener distancias a partir de ángulos medidos, etc., problemas estos que resolvía la teoría de la TRIGONO-

Napier calculó los logaritmos de los cer ca de 2.000 números, empleando seguramente sus huesos. Este duro trabajo de cálculo lo realizó con una precisión ex quisita para su época. Sólo un error en una tabla intermedia hizo que los valores que calculó tuvieran no siete cifras de preci sión -como era su intención- sino sólo seis.

pero que era necesario calcular. Napier, interesado en la astronomía, estaba familiarizado con sus problemas y desde 1594 estuvo ingeniando una estrategia que permitiera convertir las multiplicaciones en productos, las divisones en restas. Hasta que en 1614, tres años antes de su muerte y tras casi 20 largos años de trabajo calculístico, publicó una gran obra: Mirifici Logarithmorim Canonis Descriptio (Descripción de la Regla de los Maravillosos Logaritmos). Los logaritmos acababan de entrar en la Historia del hombre. Póstumamente se publicó su Constructio, libro en el que explicó cómo construir las tablas de logaritmos.

METRÍA,

El modo en que Napier imaginó los logaritmos no se parece en absoluto a cómo hoy los definimos y cono cemos. Las limitaciones de las matemáticas de la épo ca de Napier y su modus operandi para inventarlos, le convierte en un brillante matemático, y a su invento en algo sencillamente genial. Veamos lo que ingenió.

Imagina un patinador que llevara velocidad constante, de modo que a intervalos iguales de tiempo, recorriera la misma distancia. No tiene meta, sólo corre y corre.

Napier no utilizó en sus logaritmos el famoso número e del que ya te hemos hablado. Ni siquiera lo conocía. Tampoco utilizó para definir sus logaritmos n a d a p a r e c i d o a e x p o n e n t e s y bases (como en 23). Estas ideas se forjaron en su época. Los logaritmos de Napier no son exactamente los mismos que los nuestros. La palagra logaritmo significa “número de la razón”. A Napier le gustaba llamarlos ” números artificiales”.

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AULA DE EL

MUNDO

Imagina el patinador azul en un punto P que se halle a una distancia cualquiera (x) de la meta. Habrá un punto Q en el que el patinador de rojo se hallará en ese instante. Napier llamó LOGARITMO DE X a la distancia Y que separa el punto Q de la salida.

Diriamos que la dis tancia que ha recorrido el patinador de rojo, es el logharitmo de Napier de la dis tancia que le falta recorrer al patinador de azul

En cambio, el patinador de pantalón azul comienza a moverse con la misma velocidad que el de pantalón rojo, pero su velocidad DECRECE PROPORCIONALMENTE a la distancia que le separa de la meta, que se encuentra a 107 unidades de distancia. En cada instante de la carrera, las posiciones de los patinadores se diferencian más. Recuerda que el patinador de azul patina más despacio cuanto más se acerca a la meta.

¿Y QUÉ TIENEN ESOS NÚMEROS DE MARAVILLOSOS? Hasta aquí, el imagi nar esa relación entre dos tipos de movi miento, si bien es muy avanzada para su tiempo, no nos dice mucho de la utilidad del invento. Verás su funcionamiento para calcular una multiplicación.

TABLA

LOGARITMO

+ TABLA

LOGARITMO

Tabla

Para extraer raíces cuadradas sólo era preciso dividir en tre dos, y para cal cular una temida raíz cúbica, sólo había que dividir por tres. El poder cal cular operaciones complicadas con sólo sumar y restar a través de los logaritmos los convirtió en un inapreciable instrumento para la Ciencia.

JO O S T B ÜRGI

El suizo Bürgi inventó de modo independiente los lo garitmos, pero lo hizo siete años después que Napier. Además no explicó su trabajo y sus tablas no tuvieron mucha difusión, dado lo extendido del invento de Napier. Pero él también los inventó. lolitabrain@hotmail.com


EL COMPLEJO

i

A

unque resulta difícil precisar al primer matemático que se ocupó de estos números, suele darse este honor a NICOLÁS CARDANO, un influyente algebrista del Renacimiento al que, disputas aparte con Tartaglia, se debe una fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado, es decir, ecuaciones de la forma: x3 + bx 2 + c x + d = 0

A lo largo de la Historia, el hombre ha ido ampliando los tipos de números que utilizaba, según lo demandaban sus necesidades. Así, para contar objetos descubrió los números naturales. Más tarde los chinos comenzaron a usar números negativos y positivos. Cuando se tuvo que contar las partes de un todo aparecieron los números racionales. Ya los griegos se encontraron con cosas que no se podían medir con fracciones. Por eso crearon los números irracionales. No fue hasta el siglo XVI cuando la comunidad matemática observó la necesidad de unos números muy especiales. Tan especiales eran que les llamaron imaginarios, como indicadores de que la realidad no los necesitaba. El tiempo vino a darles el lugar que se merecen.

Es en este contexto en el que por primera vez un discípulo suyo, Bombelli, se encontró con la raíz cuadrada de un número negativo, algo que francamente asustaba a los hombres de la época.¿Por qué? Porque eran entidades sin ningún significado, faltas de realidad

por Lolita Brain La fórmula de Cardano da las soluciones de la ecuación cúbica x3+px2+q=0 . En algunas situaciones, al aplicar la fórmula aparece la raíz cuadrada de un número negativo. Si bien muchos autores decidían que ese caso era raro, imaginario y lo desechaban, otros como Bombelli observaron que si se continuaba con el cálculo como si nada raro hubiera pasado se llegaba a resultados ciertos. Había que perder el miedo a esas raíces de números negativos.

D

escartes, en su obra Geometrie de 1637, trabajó con las raíces cuadradas de números negativos. Se refería a ellos como raíces imaginarias. Leibniz hablaba de la raíz de -1 como “ese anfibio entre ser y no ser”. Sin duda, Leonard Euler fue el primero (¡cómo no!) en atreverse realmente a explorar algebraicamente y sin complejos esos números... “...Somos llevados hacia la idea de números René Descartes que son imposibles por su propia naturaleza (1596 -1650 y que, por tanto, son habitualmente llamados cantidades imaginarias, ya que existen únicamente en la imaginación (...) No obstante, estos números aparecen en nuestra mente, existen en nuestra imaginación y tenemos suficiente idea de ellos;... nada nos impide hacer uso de estos imaginarios y emplearlos en el cálculo”. Euler puso nombre a la raíz cuadrada Abrahan de Moivre de -1. La llamó... i. (1667 -1754) Leonard Euler (1707 -1783)

i= -1 Si te pidieran que encuentres un número que multiplicado por sí mismo dé, por ejemplo, 16, sería fácil: te sirven el +4 y el -4. Pero intenta encontrar uno que dé -1 al hacer su cuadrado. Te costará, porque siempre te da positivo.

L

Fue otro de los grandes, Gauss, quien dio por primera vez una definición coherente de los números complejos y, lo que es más importante, una interpretación geométrica de estos números, tal y como hoy se estudian y utilizan. Le apasionó el Teorema Fundamental del Algebra, que cobra sentido completo con estos números y del que hizo cuatro demostraciones, la última cuando tenía 70 años. Carl Friedrich Gauss (1777 -1855)

Para Gauss, los números complejos son un modelo del plano. Cada número complejo se asocia con un punto del plano, como en un sistema de coordenadas.

as operaciones con lo s números complejos se traducen en transformaciones geométricas. Por ejemplo, cuando se dibujan las potencias de un número complejo de radio menor que 1 aparece una espiral.

E

Por ejemplo, cuando se multiplica un número complejo por i, en realidad se está aplicando un giro de 90º al punto multiplicado.

Cada operación que se realiza entre dos números complejos (adición, producto etc.) se corresponde con algún movimiento en el plano del punto originario.

l tiempo ha puesto en evidencia la necesidad y utilidad de los números complejos: se usan para estudiar la corriente alterna o el electromagnetismo. Los famosos fractales se obtienen con números complejos. lolitabrain@hotmail.com

57

AULA

DE EL

MUNDO


UNA MEDIDA REVOLUCIONARIA

A menudo imaginamos a la Ciencia como el invento de los científicos, desconectados del mundo real de los vivos, de las inquietudes de las personas normales, sin conexión con la vida cotidiana, con la política, con las relaciones humanas... Pero esto es falso. Los científicos han formado y forman parte de la sociedad desde siempre. La Ciencia ha tomado y toma partido por los hechos de la vida cotidiana, por el mundo que les rodea. La Ciencia siempre se ha visto influida por los movimientos sociales, culturales y políticos. Un caso ejemplar es la invención del metro.

por Lolita Brain

EL PROBLEMA DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

LA REVOLUCIÓN Y LA MEDIDA

P

A

l caos existente en los sistemas de medida reiara todos nosotros, hoy en día es muy fácil el acto de nantes en Francia antes de la Revolución Frantomar una medida. Existen metros en todos los lugacesa (1789) se le unía una circunstancia que a res, pesamos en kilogramos y medimos capacidades los revolucionarios no les gustaba nada. Todas las de líquidos en litros. Todos nos entendemos y nos paremedidas, de una u otra forma, ce una actividad sin grandes requisitos intelectuales ni tenían un origen en la realeza, ya dificultades técnicas. Pero no siempre fueron así las que eran medidas antropométricosas. En el siglo XVIII, en Francia (el ejemplo es extensicas tomadas de los reyes del ble a todas las naciones de la época), en los sistemas de pasado, cuyo origen se remonmedida cotidiataba a Carlomagno. Eran por nos, científicos, tanto medidas que pertenecían agrarios y al Antiguo Régimen, aquel que comerciales LA LIBERTAD GUIANDO AL PUEBLO. DELACROIX (1830) la Revolución quería sustituir. existía el caos. LUIS XVI, Los problemas DEPUESTO POR LA con las medidas REVOLUCIÓN surgían de su diversidad: existían distintos patrones según a Revolución descansaba en tres principios básicos: Igualdad, Libertad y FraterPatrones de medida en la ciudad de diversas nidad. Estos principios marcaron todas Luen. La T para los toneles, las cajas las las reformas emprendidas por la Asampara tejas y ladrillos, y la vara es un regiones, entre diferentes oficios o para medir distintos objetos. Así blea. Y también configuraron la creación alna para tejidos. por ejemplo, existía el alna (unos de un nuevo sistema de medida. Los 90 cm), que se usaba para medir revolucionarios buscaban un sistema de paños, pero sólo en París había tres alnas distintas para tres tipos de telas, pesos y medidas que expresara la igualy había poblaciones en las que llegaron a coexistir hasta trece alnas difedad y la fraternidad de todos los hombres y rentes. Tomar una pinta (casi medio litro) de cerveza en París era beber un que no estuviera atado al régimen absolutista antetercio menos que en Saint-Denis. La libra (casi medio kilo) del panadero rior. Para ello buscaron un mecanismo era más liviana que la del ferretero. Existían medidas para comprar al por de definición de la nueva unidad de medimayor y otras para vender al por menor. Dentro de una ciudad, los mismos da que fuera universal, de todos los homnombres designaban medidas distintas según los gremios, y entre poblabres. Y lo encontraron en la Tierra, el planeciones, las longitudes y pesos de los patrones variaban. Se han llegado a ta habitado por todos los humanos y que catalogar 250.000 unidades de medida diferentes en Francia, que se recono pertenecía a ningún individuo. gían bajo 800 nombres distintos.

¿CÓMO DEFINIR UNA MEDIDA UNIVERSAL?

L

CONDICIONES PARA LA DEFINICIÓN DE METRO

NOMBRES PARA LAS NUEVAS MEDIDAS

L

a comisión formada ad hoc para la definición del nuevo sistema de medidas dispuso las condiciones que debían regir la nueva medida: la ley de 22 de agosto de 1790 sienta las bases de la medición y por ella se decide definir el metro como la diezmillonésima parte de la longitud del cuadrante del meridiano terrestre. Es decir, se mediría un meridiano de la Tierra, según unas condiciones, y su longitud dividida en diez millones de partes proporcionaría la longitud patrón del nuevo sistema métrico.

JEAN C. BORDA (1733-1807)

E

C

ambiar de medidas requería también proporcionar nuevos nombres a las unidades que se crearan. El ciudadano AugusteSavinien Leblond propuso por primera vez, en mayo de 1790, el neologismo metro para la unidad de medida de longitud. La idea de utilizar prefijos griegos (kilo, deci, centi, etc.) para los múltiplos y divisores de las medidas provino de la Comisión de Pesos y Medidas, en mayo de 1793.

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827)

MARIE-JEAN-ANTOINE DE CARITAT MARQUÉS DE CONDORCET (1743-1794)

l 19 de marzo de 1791 una comisión científica integrada por Borda, Lavoisier, Monge, Laplace y Condorcet presenta a la Academia de Ciencias de París un informe en el que sugieren que sea el cuarto de meridiano terrestre la unidad de medida y que su medición se lleve a cabo con arreglo a las siguientes condiciones: se escogería, para ser medido, un arco de meridiano terrestre que se hallara distribuido lo más simetricamente posible a los dos

ANTOINE-LAURENT DE LAVOISIER (1743-1794)

GASPARD MONGE (1746-1818)

lados del paralelo 45º, ya que éste divide un hemisferio terrestre en dos partes iguales. Los extremos del meridiano que se midiera estarían a nivel del mar y deberían tener una amplitud entre 1/9 y 1/10 del cuarto del meridiano. Con estas condiciones se garantizaban las mínimas exigencias para que la medición estuviera sujeta a las menores posibilidades de error. lolitabrain@lolitabrain.com


PESOS Y MEDIDAS

Mediante un conjunto de unidades físicas se establecen los valores de los pesos y las medidas que se utilizan a nivel mundial. De este modo, un Sistema Internacional, derivado del sistema métrico decimal, define de forma universal, unificada y coherente los patrones a emplear. Como excepción, en los países de habla inglesa se emplean otras unidades distintas.

CINTA MÉTRICA Visor Alidada móvil Telescopio Botón para ajustar la imagen verticalmente

Espejo iluminador

Este instrumento se compone de una cinta de acero o de tela reforzada y se emplea para medir longitudes, sobre todo en el caso de distancias cortas. Se encuentra dividido en unidades del sistema métrico decimal (metros y decímetros) y se enrolla en una caja o estuche circular. Estuche

Tornillo micrométrico

Nivelador de la alidada

Botón de ajuste horizontal Tornillo de fijación horizontal Nivelador principal

Bloqueo Gancho

Tornillo nivelador

Magnitud

Unidad

Símbolo

Valor

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS Prefijo

Símbolo

yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

(Y) (Z) (E) (P) (T) (G) (M) (k) (h) (da) (d) (c) (m) (m) (n) (p) (f) (a) (z) (y)

Definición

Valor = 1.000 Z = 1.000 E = 1.000 P = 1.000 T = 1.000 G = 1.000 M = 1.000 k = 1.000 = 100 = 10 = 1/10 = 1/100 = 1/1000 = 1/1.000.000 = 1/1.000.000.000 = 1/1.000.000.000.000 = 1.000 p = 1.000 f = 1.000 a = 1.000 z

Otras unidades

Placa de fijación Botón fijador de nivel principal

TEODOLITO

LONGITUD

Mediante un objeto de precisión de este tipo, que se utiliza en geodesia y topografía, se establecen los ángulos horizontales y verticales incluso en centésimas de segundo de arco.

centímetro

cm

= 1/100 m

metro

m

= 100 cm

kilómetro

km

= 1.000 m

pulgada

in

= 25,4 mm

pie

ft

= 0,3048 m

yarda

yd

= 0,9144 m

milla

Mi

= 1.609,34 m

La longitud expresa cada una de las dimensiones de los cuerpos con una medida. El metro equivale a la longitud recorrida por la luz de láser en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo.

milímetro, decímetro, micrómetro, nanómetro, hectómetro, megámetro, milla náutica, vara, cuadra, legua, versta, braza, cadena...

La extensión de una superficie se expresa en una determinada unidad de medida. Toda porción de superficie tiene dos dimensiones y se mide a través del cuadrado construido sobre la longitud unidad.

área, yarda cuadrada, milla cuadrada, centímetro cuadrado, vara cuadrada, fanega...

8

AULA

DE EL

SUPERFICIE

Rosca

Topes

Tuerca de bloqueo

MUNDO

mm2

= 1/100 cm2

metro c.

m2

= 10.000 cm2

hectárea

ha

= 10.000 m2

milímetro c.

Tambor Husillo

Cuerpo

CALIBRADOR Es un dispositivo mecánico que sirve para medir longitudes pequeñas con cierta precisión. El calibrador se ajusta a la anchura del objeto y puede incorporar una regla con los valores. Esfera

VOLUMEN

Pesa

kilómetro c.

km2

= 100 ha

pulgada c.

in2

= 6,4516 cm2

pie c.

ft2

= 0,0929 m2

acre

A

= 4.046,86 m2

mililitro

ml

= 1/1.000 l

decilitro

dl

= 1/10 l

litro

l

= 1.000 cm3

metro c.

Fiel Astil

BALANZA

MASA

Anilla

Minutero

Botón de inicio de marcha Boton de parada

Segundero Aguja de décimas de segundo

CRONÓMETRO Este reloj de precisión portátil resulta insensible a las influencias externas (diferentes posiciones y temperaturas variadas). El cronómetro indica el tiempo transcurrido en fracciones de segundo.

pinta

pt

= 0,473177 l

galón

gal

= 3,785412 l

gramo

g

= 1/1000 kg

kilogramo

kg

= 1.000 g

t

= 1.000 kg

onza

oz

= 28,3495 g

libra

lb

= 453,5924 g

tonelada m.

Instrumento que consta de un astil móvil y dos platillos, uno para el cuerpo que quiere pesarse y otro para las pesas que sirven de referencia.

TIEMPO

= 1.000 l = 0,01479 l

cucharada

Platillo

Base

m3

stone

= 14 lb

grano

= 65 mg

segundo minuto

s min

= 1/60 min = 60 s

hora

h

= 60 min

día

d

= 24 h

semana

=7d

mes

= 1/12 año

año

= 365,24 d

Fuente: Diccionario Visual OXFORD

El volumen supone la medida del espacio ocupado por un cuerpo geométrico de tres dimensiones. Se expresa con un número en unidades cúbicas: la unidad de volumen se define como un decímetro cúbico.

cuarto galón, decímetro cúbico, centímetro cúbico, milímetro cúbico, onza líquida, yarda cúbica, pie cúbico, pulgada cúbica, bushel, barril de petróleo, barril diario, copa, arroba, fanega, acre-pie, dram, galón áridos...

La masa es una magnitud fundamental que se mide en gramos, sus múltiplos y submúltiplos. El kilogramo es el patrón primario y se define como la masa del cilindro de platino-iridio conservado en París.

miligramo, microgramo, hundredweight, tonelada, quintal, arroba, DINA, newton, avogramo, marc, quarteron, slug, hyl, wey, truss, pennyweight, carat troy, libra catalana, libra navarra, libra de Ávila, gross cwt, net cwt...

El tiempo representa una de las magnitudes fundamentales dentro del mundo físico. El segundo es la unidad de tiempo y se establece a partir de la frecuencia en que un átomo de cesio absorbe energía.

década, lustro, siglo, milisegundo, microsegundo, nanosegundo, blink, shake, wink, unidad atómica, elemental, mes sideral, mes solar medio, mes lunar, año sideral, año solar medio, año Bessel astr., año calendario, año tropical...

Infografía: Francisco A. Anguís Textos: Manuel Irusta / EL MUNDO


GALILEO, KING KONG Y EL ACERO

Mirando la naturaleza parece que el tamaño de las cosas que pueblan el mundo no puede aumentar sin límite. Aunque haya habido animales gigantescos y aún hoy el océano esté poblado de gigantescos mamíferos, parece que debe haber razones suficientes para pensar que un gorila del tamaño de King Kong no puede existir. El tamaño de los seres vivos se rige por muchos parámetros que son diferentes si hablamos de seres pequeños o grandes. El ser grande tiene muchas limitaciones para vivir.

por Lolita Brain

LAS ESCALAS Y LAS DIMENSIONES uando hablamos del tamaño de los seres debemos reflexionar sobre cómo afectan los cambios de dimensión en algunas de sus propiedades geométricas. Podriamos preguntarnos por las modificacióes que sufriría el tamaño de

C

la piel de un elefante si duplicáramos su altura. O el peso que en ese caso tendría el elefante. Lo más importante es apreciar que los cambios en una dimensión, la longitud, afecta gravemente al área y al volumen que determina.

LONGITUD LADO=1 PERÍMETRO=4X1=4 ÁREA DE LA CARA= 12=1 VOLUMEN = 13=1 LONGITUD LADO=3 PERÍMETRO DE LA CARA=4X3=12 ÁREA DE LA CARA= 32=9 VOLUMEN = 33=27

LONGITUD LADO=2 PERÍMETRO DE LA CARA=4X2=8 ÁREA DE LA CARA= 22=4 VOLUMEN = 23=8

Los cubos grandes de la imagen se obtienen del primero al duplicar y triplicar su lado. Mientras el perímetro cambia igual que el factor de escala, el área de las caras aumenta con el cuadrado de ella y el volumen con ¡su cubo!

Y CON LA ESFERA ¿ QUÉ SUCEDE ? on las esferas sucede algo análogo pero en relación con su diámetro o su radio. Así la longitud de un círculo máximo es proporcional al diámetro, la superficie de su cubierta es proporcional al cuadrado del diámetro y su volumen cambia con el cubo del diámetro.

C 8

AULA DE EL

MUNDO

Una pelota de baloncesto tiene un diámetro algo más de cuatro veces el de una de tenis. En cambio, se necesita dieciocho veces más material para confeccionarla . Y en su interior, infladas a la misma presión , cabría casi ochenta veces más aire.

GALILEO GALILEI

(1564 -1642)

GALILEO EL PIONERO Galileo, como en tantas otras ocasiones, fue el primero en pensar en los problemas que la escala traía consigo para los seres vivos. En su Diálogo acerca de dos nuevas ciencias razona que ha de haber un límite en el crecimiento de los seres. Límites resultantes de las fuerzas y resistencias de las estructuras de, por ejemplo, los huesos.

Dibujo de Galileo que muestra un hueso y otro tres veces más largo y proporcionado para que realice la misma función que el pequeño.

EL ACERO Y LA PRESIÓN uando los huesos soportan el peso de un animal se comportan de modo similar al acero. El peso de un cubo de acero se aguanta sobre su base ejerciendo sobre ella una presión que depende del área de la base y del peso del cubo. Cuando se aumenta la escala del cubo en un determinado factor, la presión ejercida lo hace en la misma relación. La capacidad de soporte de los huesos depende de su resistencia a la presión, y ésta del área de su sección.

C

LONGITUD LADO=1 ÁREA DE LA BASE= 12=1 VOLUMEN = 13=1 PESO=8X1=8 KG PRESIÓN SOBRE LA BASE=8/1=8 KG POR CM2

LONGITUD LADO=3 ÁREA DE LA BASE= 32=9 VOLUMEN = 33=27 PESO=8X27=216 KG PRESIÓN SOBRE LA BASE= 216/9=27 KG POR CM2

LA MONTAÑA MÁS ALTA i aplicamos un método similar a las montañas podemos confirmar la idea de Galieo de que hasta las montañas están limitadas en su altura, principalmente por efecto de la gravedad que determina el peso de las pártículas que la forman. Para ello nos imaginaremos la cima del Everest, como un cono de 8.800 metros de altura, uniforme y de granito, roca muy común en las montañas. La base la imaginamos del mismo diámetro. Bajo estos supuestos la masa del monte sería de unas 700.000.000.000.000 toneladas. Esta masa ejerce sobre la hipotética base del monte, una presión de 9 millones de kilogramos por cada metro cuadrado. Y no se derrumba porque el granito tiene uns resistencia mayor. Si continuáramos calculando veríamos que una montaña que midiera el doble estaría en el límite de la resistencia del granito y se derrumbaría bajo su propio peso. Galileo tenía razón. Pero... ¡ En Marte no sucede lo mismo!

S

¿PUEDE EXISTIR KING KONG? amentablemente King Kong no puede existir a menos que deje de ser un gorila. Los huesos del mono no podrían resitir el peso del gigantesco monstruo que quedaría aplastado por su propio peso. Al ser unas veinte veces mayor que un gorila normal, su peso se haría unas 203 =8000 veces mayor. En cambio, la sección de sus huesos solo crecería 202=400 veces.

L

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CÓMO SE MIDE EL TIEMPO

A lo largo de su historia, el hombre ha utilizado diferentes fórmulas (calendarios, relojes, husos horarios, unidades...) para conocer el transcurso del tiempo. En ellas ha establecido diversos periodos basados en fenómenos naturales o en tradiciones religiosas, según los casos. De esta forma, se ha ido evolucionando desde la medición que hacían las civilizaciones antiguas, que carecían de conocimientos muy desarrollados en el tema, a la realizada actualmente, en la que se emplean todos los avances de la ciencia y la tecnología.

EL CALENDARIO

RELOJ DE ARENA

RELOJ DE PESAS

A partir de los principales fenómenos astronómicos (movimientos de la Tierra y apariciones regulares del Sol y la Luna), el hombre establece un sistema de división del tiempo repartido en días, semanas y meses, que le permite organizar su vida.

UNIDAD FUNDAMENTAL Cada minuto de tiempo se divide en 60 partes iguales llamadas segundos, cuya definición ha ido variando a lo largo del siglo XX. Con la introducción de los relojes atómicos, esta unidad fundamental se pudo medir de forma más precisa

RELOJ DE SOL

LOS RELOJES Estos instrumentos, ya sean fijos o portátiles, nos permiten medir el tiempo y conocer la hora por medio de unos indicadores. Existen muchos tipos diferentes que se distinguen por el mecanismo que emplean para su funcionamiento. Algunos relojes se mueven en función del lento descenso de unas pesas. Otros se sirven de la luz del sol o del paso de una determinada cantidad de arena desde una de sus mitades a la otra.

CALENDARIOS DE VARIAS CULTURAS

8

AULA

DE EL

MUNDO

LOS ROMANOS

LOS AZTECAS

LOS MUSULMANES

Julio César reformó el calendario introduciendo un día más cada cuatro años. Con ello, se ajustaba mejor al año astronómico real, que dura algo más de 365 días y está basado en las estaciones que se establecen por la rotación de la Tierra en torno al Sol.

Este pueblo desarrolló un calendario ceremonial (tonalpohualli) compuesto por 20 meses de 13 días, que se aplicaba para adivinaciones, y otro solar (xiuhpohualli) con 18 meses de 20 días, al que se añadían cinco más que traían mala suerte.

El calendario religioso que utilizan los islámicos se calcula a partir de que Mahoma salió desde La Meca a Medina (622). Se compone de ciclos de 30 años y cada uno de ellos viene determinado por la luna (consta de 12 meses lunares) y abarca 354 ó 355 días.

AÑOS LUNARES Originalmente, el mes se medía a partir del giro de la Luna alrededor de la Tierra y sus fases sirven como base para establecer nuestros meses actuales. Los calendarios lunisolares siguen aproximadamente el tiempo que transcurre entre dos lunas nuevas, y los judíos y musulmanes emplean el año lunar.

Infografía: David Calvo Textos: Manuel Irusta / EL MUNDO

28 DÍAS EL HUSO HORARIO La superficie de la Tierra se divide en 24 zonas (husos) que van desde los polos geográficos y que tienen distintas horas legales. Cada uno de ellos se numera de 0 a 23 a partir del meridiano de Greenwich y el duodécimo establece el cambio de día.


MEDIDAS PARA LOS OFICIOS

Muchas tareas asociadas a trabajos poco matemáticos requieren de precisión geométrica. Hablamos, por ejemplo, de la construcción de edificios, una labor en la que la exactitud de las medidas es fundamental para que las viviendas no se vengan abajo. Los egipcios, magníficos constructores, inventaron algunos instrumentos que aún hoy en día utilizamos, o como la escuadra de 90 y la del albañil. Los leñadores también hacen uso de uno de los teoremas más maravillosos que se han descubierto nunca, para que su vida no corra peligro al talar un árbol.

por Lolita Brain

BUSCANDO LA PERPENDICULAR

L

o

a escuadra de 90 es uno de los instrumentos de medición más simple que existe. Tenemos constancia de ella desde el año 1100 a.C., en restos hallados en Tebas, la capital del imperio egipcio. Consiste en dos trozos de madera perfectamente ensamblados, formando un ángulo recto, y que nos permite comprobar si la pared y el techo de una edificación forman ese o mismo ángulo. Este ángulo, como sabes, mide 90 y determina cuándo distintos planos son o no perpendiculares. La perpendicularidad es fundamental en toda construcción ya que en caso contrario las casas y los muebles se desplomarían.

En cambio, si estos dos elementos constructivos están bien ensamblados, ambos lados de la escuadra coinciden con los perfiles de la pared y el techo.

Si el techo y la pared no forman un ángulo recto, al alinear un lado de la escuadra con la pared aparecerá un ángulo (en rojo) entre el instrumento y el techo.

TALES Y LOS LEÑADORES

E

8

AULA

DE EL

l maravilloso e imprescindible Teorema de Tales, siendo uno de los primeros jamás demostrado en Matemáticas, confirma su valía en todas las circunstancias. El leñador que ha de talar un árbol necesita conocer para su propia seguridad, con cierta precisión y bastante rapidez, la altura del tronco que se presta a derribar. Para ello le basta con apuntar con su hacha a la copa del pino y medir la distancia que le separa del pie del árbol. Con el Teorema de Tales, calcula entonces su altura del siguiente modo:

MUNDO

ALTURA=D* Hoja hacha Mango hacha H A=D* p Le basta con añadir a este valor calculado la altura a la que se encuentra su hacha (en azul).

EL NIVEL PARA LA VERTICALIDAD Si el techo es horizontal, la plomada coincidirá con la marca de uno de los lados. En caso contrario, la plomada se desplaza de la escuadra.

PAREDES VERTICALES

L

a escuadra del albañil, inventada por los egipcios y que aún hoy usan los constructores, consiste en una escuadra simple con sus pies cortados en paralelo para que pueda apoyarse en la horizontal. Además lleva sujeta una plomada que marcará siempre la vertical. En el centro de la escuadra hay una marca que se alinea con la plomada cuando está en la vertical. Tiene varios usos muy importantes: determina si los suelos o los techos son horizontales y es un buen complemento para la escuadra simple cuando queremos saber si pared y techo son perpendiculares.

E

ste otro invento egipcio es un nivel vertical. Un interesante instrumento que permite determinar si las paredes son o no verticales. Consta de un tablero con otros dos colocados perpendicularmente al mismo, por los que pasa la cuerda de una plomada. Colocada sobre una pared, la plomada señala la vertical, que coincidirá o no con la que marca la tabla. Si la pared no es vertical, la plomada no caerá de forma paralela a la tabla.

Apoyando la escuadra sobre un suelo horizontal la plomada se alinea con la marca central.

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15 . 05 . 02

EL MUNDO

Miércoles solidario

MERIDIANOS Y PARALELOS

AULA.7

Cualquier mapa se representa mediante una cuadrícula formada por un sistema de líneas imaginarias que recorren la superficie terrestre. Los meridianos, que se extienden de un polo a otro, se numeran de 0º a 180º a partir del de Greenwich (el de origen), tanto hacia el Este como al Oeste. Los paralelos se trazan de Este a Oeste y su recorrido disminuye a medida que se alejan del ecuador, donde se encuentra el identificado con 0º. En los polos se localizan los 90º. Todo el conjunto de líneas se utiliza para fijar la posición de los puntos de la Tierra a través de un sistema de coordenadas que indica lo que se conoce como la latitud y la longitud.

PROPIEDADES GEOMETRICAS EL GLOBO TERRAQUEO

Cuando una superficie esférica se transfiere a un plano, las características geométricas (ángulos, áreas, distancias y direcciones) se distorsionan en función del tipo de proyección

Proyecciones en plano y en cilindro

Mapa que representa la Tierra sobre una superficie esférica. La distorsión de los aspectos geométricos resulta pequeña

PROYECCIONES La superficie esférica de la Tierra debe transformarse en una plana mediante un sistema. La clasificación de la proyección se establece según la figura geométrica capaz de aplanarse que se elija. Aquí os citamos tres tipos diferentes

0º N

90ºW

90ºE

75º

180º

60º

La Antártida en proyección acimutal equidistante

El mapa se construye como si estuviera en un plano tangente o secante a un punto de la superficie de la Tierra. Si conserva las proporciones entre las distancias representadas, en determinadas direcciones, se denomina equidistante

CIRCULO POLAR ARTICO

1.WINKEL Oswald Winkel desarrolló esta proyección policónica en la que la distorsión angular es pequeña

Husos horarios

Este paralelo de la Tierra se sitúa a 66º 33’ al norte del ecuador. Señala el límite meridional del área en la que el Sol no se pone en el horizonte durante el solsticio de verano (21 de junio en el hemisferio norte) y no llega a salir en el de invierno (22 de diciembre). Debido a esto, en el Polo Norte se suceden seis meses seguidos de oscuridad y otros tantos de luz diurna

Cada uno está dividido por un meridiano central y está separado de sus ‘vecinos’ por una longitud de 15º. La hora legal de un punto es la local de su meridiano central, que se obtiene añadiendo a la del meridiano de Greenwich el número de horas correspondientes

90º 60º

30º 0º

30º

60º 90º 120º 150º

Trópico de Cancer Ecuador Trópico de Capricornio Círculo Polar Antártico

150º

120º

90º

60º

30º

30º

60º

90º

120º

150º

180º

2.PLATE CARREE Eratóstenes ideó una proyección cilíndrica con meridianos equidistantes

6.00 TUC

-10 -9 -8 -7

12.00 TUC

-6 -5 -4

-3 -2 -1

0

18.00 TUC

24.00 TUC

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12- -11

3. POLICILINDRICA (MERCATOR)

LEYENDA La lista de signos convencionales explica los símbolos, el sombreado y los colores utilizados en un mapa. Algunos de ellos pueden parecerse a las realidades que representan. La leyenda suele localizarse generalmente en el margen del mapa, en cuadros insertados en él o en su dorso capital de nación

pueblo <25.000 h

autopista

capital autonómica

ciudad millonaria

carretera

capital de provincia

cota

ferrocarril

límite de hielos flotantes

profundidad

río

embalse

otras poblaciones

180º 150º 120º

Círculo Polar Ártico

Línea internacional de cambio de fecha

PROYECCION ACIMUTAL

Este sistema representa los meridianos como líneas paralelas y los paralelos como rectas que se cruzan con ellos en ángulos rectos 150º

120º

90º

60º

30º

30º

60º

90º

120º

150º

180º

límite sin detrminar

frontera internacional

Infografía: Francisco A. Anguís Textos: Manuel Irusta/EL MUNDO


¿ CÓMO SE MIDIÓ EL UNIVERSO?

Algunos días atrás te contábamos cómo el ingenio de Eratóstenes, unido a su capacidad como geómetra, le permitió determinar el tamaño de la Tierra. Pero incluso esta proeza puede parecernos sencilla ya que al fin y al cabo pisamos nuestro planeta. Si pensamos que alrededor de la misma época otros matemáticos griegos fueron capaces de averiguar el tamaño de la Luna o de estimar la distancia que nos separa de nuestro astro rey, el Sol, es posible que nos convenzamos de la capacidad de la Geometría como herramienta imprescindible para la Astronomía.

por Lolita Brain

EL MÉTODO DE ARISTARCO

A

ristarco procedió en dos etapas. En primer lugar determinó que la distancia que separa la Tierra del Sol es 19 veces mayor que la que separa nuestro planeta de la Luna. Aunque hoy sabemos que en realidad esos astros están separados de la Tierra unas 390 veces el uno más que el otro -casi 20 veces la o estimación de Aristarco-, su error fue de algo menos de 3 de arco en su observación. Esto no le quita valía a su método dada la dificultad de observar el Sol y tomar medidas, así como la precariedad de los instrumentos que utilizaba.

ARISTARCO DE SAMOS H. 310 A.C. H. 230 A.C.

UN ATREVIDO GEÓMETRA

A

ristarco de Samos se atrevió a calcular distancias mucho más grandes que las de Eratóstenes. Su primera ocurrencia fue determinar la distancia que separa la Tierra del Sol y de la Luna. Si bien su cálculo fue unas 20 veces menor que el real, su método fue magistral por su sencillez. Pero más allá de su error, sus datos cambiaron la percepción que del Universo tenían sus coetáneos. El Universo era mayor de lo que habían imaginado.

El argumento usado por Aristarco se muestra en la imagen. Él sabía que la Luna brillaba por reflejo de la luz solar sobre su superficie. Observó que cuando la Luna se halla en la mitad de sus cuartos, es decir, cuando la mitad está iluminada y la otra mitad no, el Sol, la Tierra y la Luna forman un triángulo reco tángulo que tiene el ángulo de 90 donde está la Luna. Midió entonces el ánguo lo con el que se observa la Luna y el Sol, obteniendo un valor de 87 y, con unos cálculos hoy sencillos para nosotros pero difíciles en su época, estimó que la Luna estaba 19 veces más cerca que el Sol de nosotros. Pero aún no sabía la distancia que nos separaba del Sol.

LA DISTANCIA AL SOL SEGÚN ARISTARCO

E HIPARCO, REFINADOR DE ARISTARCO

H

HIPARCO DE RODAS 190 A.C. - 120 A.C.

iparco perfeccionó los métodos de Aristarco. Para calcular la distancia a la Luna se sirvió de un eclipse de Sol. Sabía que mientras en Helesponto el eclipse era total, no se veía el Sol, en Alejandría se oscurecían los cuatro quintos de su diámetro. Esto le decía que la distancia MP era los dos quintos del radio de nuestra estrella. Conociendo la distancia entre las dos ciudades de la observación y que los ángulos en Q y en P son rectos, pudo averiguar con mayor precisión la distancia buscada.

l siguiente paso que dio Aristarco fue utilizar la duración media de un eclipse lunar para descubrir, con un difícil método geométrico, que la sombra que proyecta la Tierra es dos veces el diámetro de la Luna. Con esto averiguó que la distancia de nuestro planeta a la Luna era 80 veces mayor que el radio terrestre (en realidad son 60 veces). Como ya se conocía el radio de la Tierra, pudo calcular la distancia a la que se hallaba la Luna y, con ello, la distancia que nos separa del Sol, ya que sabía que estaba 19 veces más lejos que nuestro satélite. Más allá de su precisión, Aristarco fue uno de los primeros astrónomos en utilizar los eclipses como fuente de información. Hoy en día los eclipses siguen siendo un inapreciable instrumento de observación del cielo.

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


TIEMPO Y CLIMATOLOGIA

El tiempo atmosférico se refiere a las condiciones meteorológicas de un lugar en un momento dado. El clima es un concepto diferente y se define como el conjunto de fenómenos –temperatura, presión barométrica, humedad, vientos, precipitaciones– que caracteriza el estado medio de la atmósfera en una zona geográfica a lo largo de un periodo de tiempo dilatado. Para ello, mediante mediciones continuas de los datos meteorológicos, que se prolongan generalmente 30 años, se establecen los valores medios de estos elementos. La climatología es la ciencia que tiene como objeto el análisis de los climas. Cada uno de ellos se corresponde con una formación vegetal y un tipo de suelos característicos.

METEOROLOGIA Esta ciencia estudia el tiempo y nos sirve para registrar, comprender y pronosticar los fenómenos que tienen lugar en la atmósfera. Los mapas de isobaras, líneas que unen puntos de igual presión, representan el estado de la atmósfera en un momento concreto. Nos indican dónde están situados los centros de alta y baja presión y también localizan los tipos de frentes. Estos se producen cuando se ponen en contacto masas de aire de diferente temperatura y originan tormentas y precipitaciones

< 250 mm 250 a 500 mm 500 a 1000 mm 1.000 a 1.500 mm 1.500 a 2.000 mm > 2.000 mm

PRECIPITACIONES El reparto de las precipitaciones sobre forma general, las lluvias aumentan el globo terráqueo se distribuye en en las zonas litorales y con el cinturones latitudinales; además, de incremento de altitud

N

círculo polar ártico rayos solares

aire ártico aire polar

ecuad

aire tropical

or

rotación terrestre

S

frío

círculo polar antártico

corriente de chorro

contraalisios contraalisios

calor corriente de chorro frío

pol ar

ELEMENTOS Y FACTORES DEL CLIMA La forma en que se combinan en cada región los elementos del clima y la intensidad con la que son modificados por los diferentes factores da lugar a los variados tipos de clima. Este comprende los siguientes elementos: la temperatura, la precipitación, la presión atmosférica y la humedad. Los factores que influyen en el clima de un lugar son la latitud, la distancia al mar, la altitud, la orientación, los grandes

100 Km

húm edo fr í o-t em pl ado

Te r m o s f e r a

80

húm edo cál i do-t em pl ado

Mesopausa

Nubes luminiscentes

est epar i o y desér t i co

60

l l uvi oso y t r opi cal

Mesosfera Estratopausa

m ont añoso

40

CLIMAS La Tierra se distribuye en zonas climáticas: en la tropical lluviosa los meses tienen temperaturas superiores a 18ºC, en la húmeda cálido-templada el más caluroso supera los 18ºC y el

más frío oscila entre 0 y 10ºC, en la frío-templada el mes cálido alcanza más de 10ºC y el de menos temperatura está por debajo de 0ºC, y en la polar no se pasan los 10ºC

Estratosfera

Capa de ozono

20 Nivel de las corrientes de chorro Tr o p o s f e r a -140º

-100º

-60º

-20º

Tr o p o p a u s a

0º +20º

accidentes geográficos, las corrientes marinas y la naturaleza de la superficie local. Las diferencias térmicas y de presión en la Tierra provocan unos mecanismos de redistribución. Este fenómeno se conoce como circulación general atmosférica y supone un modelo del movimiento del viento a escala global. Todo ello se modifica por la rotación, las masas de aire y la distribución de mares y continentes

ESTRUCTURA Según la temperatura, la atmósfera se divide en diferentes capas: en la troposfera se produce la mayoría de los fenómenos que configuran el clima; en la estratosfera se localiza la ozonosfera, donde tiene lugar una absorción de radiaciones ultravioletas del Sol; en la mesosfera la temperatura desciende hasta valores mínimos de unos –80ºC; y en la termosfera vuelve a crecer con la altitud, llegando a alcanzar más de 1.000 ºC

CAMBIO CLIMATICO El efecto invernadero supone la elevación de la temperatura en las capas bajas de la atmósfera debido a la presencia de ciertas sustancias. Estos elementos actúan como una pantalla que absorbe el calor procedente de la superficie terrestre. Entre los gases responsables de este fenómeno se encuentran el metano, el vapor de agua, el óxido nitroso, el ozono, los CFCs y, sobre todo, el CO2. El incremento de las emisiones de dióxido de carbono, procedentes principalmente de la utilización masiva de los combustibles fósiles, puede conducir a un cambio climático. Las actividades humanas están alterando el clima, pues producen, además de un calentamiento, un cambio en las precipitaciones y una subida del nivel del mar. Esta alteración climática haría aumentar los casos de malaria, ya que esta enfermedad ganaría una mayor extensión geográfica.

Textos: Manuel Irusta. Infografía: Juan Emilio Serrano / EL MUNDO


AZARQUIEL, ALFONSO X Y LA ASTRONOMÍA

La presencia de los pueblos árabes en la península Ibérica desde el siglo VIII hasta el XV supuso para la civilización occidental un enriquecimiento cultural único. España, que entonces no existía como tal, se convirtió en un lugar privilegiado por el que se tuvo acceso a los clásicos griegos y a la tradición algebrista y astronómica más influyente de la época: la que provenía de Oriente. Figuras clave del pensamiento nacieron y florecieron en Córdoba, Toledo o Sevilla. El rey cristiano Alfonso X el Sabio fue permeable a toda esa influencia.

por Lolita Brain

AZARQUIEL EL ASTRÓNOMO

TRADUCTORES PIRENAICOS

A

E

zarquiel (h. 1030-h. 1100), ‘el de los ojos azules’, era hijo de un herrero toledano, constructor de instrumentos astronómicos. Sin ni siquiera saber leer ni escribir, introdujo por su cuenta una mejora en un instrumento en el que trabajaba su padre. Asombrado, el cadí Ibn Said le ordenó que fuera a su centro de astronomía donde aprendió a observar el cielo, a realizar anotaciones en tablas astronómicas y estudió de las mejores fuentes de la época: Al-Juwarizmi o AlMamud. Cuando Toledo cayó en manos cristianas, huyó a Córdoba, donde se convirtió en uno de los mejores astrónomos no sólo de su época sino también de los que haya dado nunca la península Ibérica.

n el monasterio pirenaico de Santa María de Ripoll existió desde el siglo IX una importante escuela de traductores, donde árabes, judíos y cristianos tradujeron a los clásicos griegos y a los mejores astrónomos de Oriente, casi todos procedentes de la Casa de la Sabiduría de Bagdad.

Las principales obras de Azarquiel son ‘Las Tablas Toledanas’, ‘Tratado de la azafea’, ‘Suma referente al movimiento del Sol’ y ‘Tratado de la lámina de los siete planetas’, en la que aventura que la órbita de Mercurio es elíptica, casi seiscientos años antes que Kepler.

Ripoll

Toledo Córdoba

8

AULA

DE EL

MUNDO

ALFONSO X EL SABIO

A

lfonso X creó en Toledo una importantísima escuela de traductores en la que destacó sobre otros Gerardo de Cremona. El interés del rey por la astrología le llevó a impulsar la astronomía. Interesado también por el ajedrez y los juegos de mesa (‘El libro del Ajedrez’). Su obra es también capital en el derecho (‘Las siete partidas’)y la literatura (‘Las Cantigas de Santa María’).

EL INSTRUMENTO POR EXCELENCIA

E

l astrolabio fue hasta el telescopio el instrumento fundamental para explorar el cielo. Conocido ya por los griegos, servía para determinar la altura de las estrellas, fijar la hora o realizar con precisión calendarios. Azarquiel mejoró notablemente el astrolabio creando la azafea, que permitía simplificar su uso aun cuando se cambiara de latitud.

LAS PARTES DE UN ASTROLABIO El dorso de la madre tenía grabados multitud de datos que permitían realizar los cálculos observados en la madre.

E

l astrolabio -aunque varió mucho con el tiempo- está formado por la madre o círculo fundamental graduado en su borde. Sobre la madre se colocaba la lámina que presentaba un diagrama de distintas líneas astronómicas fundamentales (el zenit, los trópicos, el ecuador celeste). Sobre la lámina, la regla recortaba la eclíptica (trayectoria de la Tierra alrededor del Sol) y otros puntos cardinales. Por último, la alidada era un visor con el que se apuntaba a una determinada estrella para calcular su altura sobre el horizonte. Su principal limitación consistía en que era necesaria una lámina distinta para cada latitud en la que se realizaba la observación.

L

a obra fundamental de Alfonso X en astronomía son las ‘Tablas Alfonsíes’ y los ‘Libros del Saber de Astronomía’, que no son muy originales, ya que compendian las observaciones árabes de la época, muy en especial las de Azarquiel. Curiosamente, esta obra se escribió en la popular lengua romance, y no en latín, y es la primera obra científica en lo que podríamos llamar el germen del castellano. Fue decisiva para llevar la astronomía a Occidente. lolitabrain@lolitabrain.com


EL ALEJANDRINO MÁS GRANDE

La evolución de la humanidad se ha desarrollado a costa de grandes hombres. Hombres cuya forma de entender el mundo ha marcado un antes y un después. Científicos, pensadores, políticos... únicos en su especie, cuyas ideas han marcado hitos en la forma de interaccionar con el mundo. Una de esas personas vivió hace casi 2.500 años en un paraíso dedicado a la cultura: Alejandría. Nos referimos a Euclides, padre de la Geometría, uno de los matemáticos más grandes de la Historia. Baste decir que su gran obra es -junto a la ‘Biblia’- el libro más editado de todos los tiempos.

por Lolita Brain

EUCLIDES, UN DESCONOCIDO DEFINICIONES

E

E

l riguroso método de Euclides le lleva a comenzar siempre por dar precisas definiciones de los objetos matemáticos que posteriormente utiliza en cada uno de los libros de los Elementos. Definir en matemáticas no siempre es fácil y especialmente cuando se trata de decir qué son los objetos más simples. Sus primeras nueve definiciones son las siguientes:

s paradójico que de uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos no sepamos casi nada. Apenas conocemos que vivió hacia el siglo III antes de nuestra era en Alejandría, hoy Egipto. Es posible que estuviera en la Academia platónica y que tuviera acceso a la obra de los matemáticos que se relacionaran con esta institución.

1. Un punto es lo que no tiene partes. 2. Una línea es una longitud sin anchura. 3. Las extremidades de una línea son puntos. 4. Una recta es una línea que yace por igual respecto de todos sus puntos. 5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. 6. Las extremidades de una superficie son líneas. 7. Una superficie plana es una superficie que yace por igual sobre todas las líneas que contiene. 8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran en un plano y no forma línea recta. 9. Y cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo es rectilíneo.

LA ‘ESCUELA DE ATENAS’. RAFAEL SANZIO. 1511

LOS ‘ELEMENTOS’

A

pesar de no saber nada de su vida, el legado de Euclides es inmenso. Entre otras obras, su Elementos, además de recopilar el saber de la matemática previa, aporta sobre todo metodología. A diferencia de otras recopilaciones matemáticas anteriores, los Elementos no compendian sino que proponen estrategias para resolver en principio cualquier problema matemático. Además se fundamenta en el método axiomático, un sistema deductivo de tradición aristotélica y profundamente basado en el rigor de la deducción lógica. Desde su primera edición impresa en 1482 es el libro que más publicaciones ha tenido, excepción hecha de la Biblia.

LOS CINCO POSTULADOS

N

o es casual que Rafael pintara a Euclides sobre una pizarra armado con un compás. Para Euclides, los problemas geométricos deben resolverse manipulando las figuras que representan al objeto geométrico, visualizándolo. Pero esta manipulación debe hacerse según reglas muy precisas que obligan a utilizar sólo la regla y el compás. Este método recibió con el tiempo el nombre de sintético, y a esta geometría, sintética.

S

on los principios fundamentales cuya veracidad se acepta sin demostración por ser considerados obvios. También se denominan axiomas. Euclides fue el primero que fundamentó una parte de las matemáticas con axiomas. Y sólo necesitó cinco. Recogemos los primeros cuatro, al conflictivo Quinto Postulado le dedicaremos la siguiente lámina. 1. Postúlese que se pueda trazar una única recta entre dos puntos distintos cualesquiera. 2. Y que un segmento rectilíneo pueda ser siempre prolongado. 3. Y que haya una única circunferencia con un centro y un radio dados. 4. Y que todos los ángulos rectos sean iguales.

EDICIÓN DE LOS ‘ELEMENTOS’ EN UN INCUNABLE IMPRESO POR

RATDOLT EN 1482. ILUSTRADO CON OBJETOS GEOMÉTRI-

EDICIÓN ESPAÑOLA DE RODRIGO ZAMORANO, DE 1572. USANDO PROBABLEMENTE LA EDICIÓN LATINA DE RATDOLT.

CONTENIDO DE LOS ‘ELEMENTOS’

L

os Elementos se componen de trece libros dedicados no sólo a la geometría. En conjunto contienen 465 proposiciones, todas ellas verdaderas. Es por ello que Einstein dijera de esta obra que “Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento” y que Russell afirmara que “La lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor”.

COS EN EL MARGEN.

LIBRO I. FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA.

LIBRO II. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.

LAS NOCIONES COMUNES

L

as nociones comunes son afirmaciones generales, válidas en todas las ciencias, cuya evidencia las hace generalmente aceptables. Las que Euclides incluye en el Libro I de los Elementos son: 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. 2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales. 3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. 5. El todo es mayor que su parte.

LIBRO V. TEORÍA DE LAS PROPORCIONES ABSTRACLIBRO VI. FIGURAS SEMEJANTES Y PROPORCIONES GEOMÉTRICAS.

LIBRO IX. TEORÍA DE NÚMEROS.

LIBRO III. TEORÍA DE CÍRCULOS.

LIBRO VII. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE NÚMEROS.

LIBRO X. LIBRO CLASIFICACIÓN DE LOS XIII. INCONMENSURABLES. SÓLIDOS REGULALIBRO XI. RES. GEOMETRÍA DE LOS SÓLIDOS.

LIBRO IV. INSCRIBIR Y

LIBRO VIII. PROPORCIONES NUMÉRICAS.

LIBRO XII. MEDIDAS DE LAS FIGURAS.

CIRCUNSCRIBIR FIGURAS.

CONTINUAS

Infografía y textos: Lolita Brain

www.lolitabrain.com


EL EXTRAÑO QUINTO AXIOMA

La pasada semana explicamos la ciclópea labor de Euclides al escribir sus Elementos y cómo en esta obra fue capaz de sentar las bases de la Geometría que aún hoy estudiamos en el colegio, sobre cinco principios básicos que él llamó postulados y que hoy llamamos axiomas. De estos cinco principios obvios que no necesitan demostración alguna, el Quinto Postulado es, en relación con los otros cuatro, muy complicado. En realidad, este axioma fue, 2.000 años después de que lo enunciara el geómetra de Alejandría, protagonista de la ruptura entre la Geometría de Euclides y la No-Euclídea. La respuesta llegó en el siglo XIX y te la contaremos la próxima semana.

por Lolita Brain

EL ‘QUINTO POSTULADO’ SEGÚN EUCLIDES

UNA LARGA Y APASIONANTE HISTORIA

E

L

uclides enunció su ‘Quinto Postulado’ del siguiente modo: “Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos”. Este axioma no era ni tan sencillo como los otros cuatro ni satisfizo a Euclides, ni lo utilizó tanto. Por ejemplo, en las 28 primeras proposiciones de los Elementos no lo utilizó. Sin embargo, resulta intuitivo para todos, ya que viene a decir que existe una única recta paralela a otra que pase por un punto exterior. ¿Acaso nuestra intuición no nos dice eso? Pero el problema es que Euclides nos dice que sólo hay una paralela.

a sospecha de que el Quinto Postulado no era tan evidente hizo que pronto despertara, en comentaristas de su obra y matemáticos, la idea de que, siendo verdadero, era deducible de los restantes cuatro axiomas. Dos cuestiones hacen complicado este axioma. Por un lado, que las rectas son extensibles infinitamente y que por tanto, si dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común. Nos resultará imposible saber si en su infinitud no llegan a tocarse en algún punto. Fue el primer comentador de la obra de Euclides. En su obra ‘Comentarios a Euclides’ proporciona la primera demostración errónea del ‘Quinto Postulado’. Fue el primero en suponer que si dos rectas son paralelas mantienen su distancia constante.

s. V

Proclo

s. X

Gerberto

El que fuera papa Silvestre II creó uno de los primeros centros de enseñanza occidentales, en Reims. En su ‘Geometría’, él también señala que las rectas paralelas

s. XII

8

EQUIVALENTES ENUNCIADOS DEL ‘QUINTO POSTULADO’

A

lo largo de la historia se han proporcionado muchos enunciados que eran completamente equivalentes al Quinto Postulado, es decir, que si se acepta cualquiera de estos postulados se deduce el de Euclides y viceversa. Aquí tienes algunos.

1.- Una recta paralela a una dada dista de ella una longitud constante. Proclo

2.-Existen triángulos semejantes pero no iguales, es decir, triángulos con iguales ángulos pero lados proporcionales. Wallis

3.-Existe al menos un rectángulo, es decir, un cuadrilátero cuyos ángulos son rectos. Saccheri.

4.-Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo también corta al otro lado. Legendre

5.-La suma de los tres ángulos de un triángulo suman o 180 . Legendre

mantienen su distancia constante, es decir, son equidistantes. Él no sabía que afirmar esto era afirmar el ‘Quinto Postulado.

Omar Khayyam

El astrónomo-poeta estudió el problema de las paralelas en su obra ‘La verdad de las paralelas y discusión sobre la famosa duda’. En ella estudia cuadriláteros como el de la imagen y acaba razonando que “la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es lo que en verdad los filósofos creen”.

s. XIII

Nasir al-Din al-Tusi

El astrónomo persa que trabajó para el nieto de Genghis Khan realizó una versión de los ‘Elementos’. En ella demuestra el ‘Quinto Postulado’ diciendo que si un cuadrilátero tiene ángulos rectos en A y D, entonces si B es agudo, el ángulo C debe ser obtuso. Tampoco sabía que esto es equivalente al postulado que creía demostrar. Profesor de la Universidad de Oxford, tradujo al latín los textos de Nasir al-Din. Dio una nueva interpretación del ‘Quinto Postulado’ demostrando que dado un triángulo cualquiera siempre se puede construir otro con iguales ángulos y lados proporcionales. De nuevo, esto es equivalente al famoso postulado.

1663

John Wallis

El jesuita Sac- PORTADA DE EUCLIDES cheri proporcio- AB OMNI NAEVO VINDICAnó un salto cua- TUS. SACCHERI, 1733 litativo en el problema de las paralelas. Supuso que el postulado era falso, esperando encontrar de esta suposición una contradicción. Enseguida vio que en un cuadrilátero como en la figura, los ángulos B y C no pueden ser obtusos. Supuso después que eran agudos y por mucho que se empeñó no encontró contradicción lógica alguna. Su convencimiento intuitivo de la verdad del postulado y lo erróneo de algunas conclusiones a las que llegaba, le hizo desecharlas. En realidad fue el primero en encontrarse con la Geometría No-Euclídea, pero el sentido común le hizo abandonarla.

1697

Girolamo Saccheri

Escribió ‘Die Theorie der Parallellinien’ en la que se preguntó si el ‘Quinto Postulado’ se podía deducir de los restantes o si había que añadir nuevas hipótesis. Probó un resultado de Geometría No-Euclídea según la cual, si los ángulos de un triángulo miden o menos de 180 , entonces, cuanto más crece el triángulo, menos miden sus ángulos.

1766

Johann Lambert

1794

incansableAdrien M. Legendre Estudió mente el problema

de las paralelas desde 1794 hasta 1823. Llegó a resultados similares a los de Saccheri, pero como el texto de éste no era muy conocido, su libro ‘Elements de geométrie’ le proporcionó un lugar en esta historia cuyo desenlace final te contaremos la semana próxima. Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


UNA REVOLUCIÓN MATEMÁTICA

Como vimos la semana pasada, todos los intentos de demostrar el controvertido V Postulado de Euclides resultaron fallidos hasta finales del siglo XVIII. Pero en el siguiente siglo la matemática asistirá a una de sus primeras revoluciones. Tras más de 2.000 años y por primera vez, la indiscutible verdad geométrica de Euclides dejará paso a un sistema geométrico también axiomático, lógicamente impecable pero intuitivamente difícil de asimilar. El hombre, no sin esfuerzos, tuvo que aceptar que hay otros mundos posibles y que como dijo Gauss “la necesidad física de nuestra Geometría Euclídea no puede ser demostrada al menos para la razón humana”.

por Lolita Brain

LA INTUICIÓN DE UN GENIO

Y NACIÓ UNA NUEVA GEOMETRÍA

C

omo en muchas otras situaciones, la respuesta definitiva a las inquietudes de Gauss vinieron simultáneamente de dos personas que no tuvieron contacto. Un húngaro, János Bolyai, hijo de Wolfang Bolyai, amigo personal de Gauss, publicó en 1832 el ensayo de 26 páginas La ciencia del espacio absoluto como apéndice de un libro de su padre, en JÁNOS BOLYAI el que presentó lo que él 1802 - 1860 llamó Geometría Absoluta. Lobachevsky, un oficial ruso y rector de la universidad de Kazan, presentó sus puntos de vista en 1826 al departamento de su universidad, pero no fue tomado realmente en serio. En 1829 publicó el artículo Sobre los fundamentos de la geometría en una revista de Kazan, por lo que no tuvieron mucha difusión hasta que en 1840 publicó su libro en alemán Investigaciones sobre la teoría de las paralelas. Llamó a su geometría Geometría Imaginaria. Ambos autores suponen que el V Postulado es falso y, buscando una contradicción que no NIKOLAI IVANOVICH existe, se convencen de LOBACHEVSKY que una nueva teoría es 1792 - 1856 posible.

arl F. Gauss (1777 -1855) no publicó ningún trabajo definitivo sobre sus ideas acerca de la Geometría No-Euclídea por miedo al ridículo, como él mismo dijo. Sin embargo, con sólo 17 años, le dijo a su amigo Schumacher que pensaba que podía existir una geometría lógica en la que el postulado de las paralelas de Euclides no se cumpliera. Pero él continuó intentando encontrar una demostración del famoso postulado que hiciera compatible lo que él entendía como la geometría de nuestro mundo físico, la euclídea. Desde 1799 se tomó en serio la imposibilidad de demostrar el V Postulado, y comenzó a desarrollar lo que él llamó Geometría Antieuclídea o Astral. Su conclusión fue que era lógicamente posible esta otra geometría, aun cuando equipado con un teodolito se marchó a medir los ángulos del triángulo formado por los picos Brocken, Hohehagen e Inselo berg, buscando medidas que confirmaran que en efecto la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 . o Su suma excedió en 14 este valor, pero el propio error del instrumento le impidió concluir nada.

LA NECESIDAD DE UN MODELO

LA PSEUDOESFERA

E

eltrami encontró el modelo en una superficie de dos dimensiones inmersa en un espacio tridimensional euclídeo. La superficie que cumplía los axiomas era la pseudoesfera. Esta superficie se obtiene por la rotación de la curva tractrix de la que ya te hemos hablado. Es una superficie de curvatura constante, como la esfera, pero negativa, es decir, se curva hacia dentro.

s importante destacar que ni Bolyai ni Lobachevsky probaron que su nueva geometría era consistente, es decir, que no contenía ninguna contradicción lógica. Pero lo cierto es que tampoco nadie hizo lo propio con la teoría de Euclides. Los cientos de años de utilización de la geometría del alejandrino dejaban fuera de toda sospecha la posi- EUGENIO BELTRAMI 1835 - 1900 bilidad de que fuera inconsistente. La primera persona que puso en paridad ambas teorías fue el italiano Beltrami, quien en 1868 encontró un modelo en el que los axiomas de Bolyai-Lobachevsky se satisfacían. Encontrado un modelo, la consistencia estaba garantizada. Su modelo fue posteriormente completado por Felix Klein.

B

E

¿QUÉ HAY DE NUEVO EN ESTA GEOMETRÍA?

L

a Geometría No-Euclídea coincide completamente en sus fundamentos con la de Euclides, excepto en el V Postulado. La hiperbólica sostiene que por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas paralelas. Todos los teoremas de Euclides en los que este quinto axioma no interviene siguen siendo válidos en la geometría hiperbólica. En cambio, las proposiciones de Euclides en las que interviene este postulado no son verdaderas en la geometría hiperbólica. Por ejemplo, ahora los ángulos de un o triángulo no miden 180 , el área de un cuadrado no es su lado al cuadrado, y un círculo no tiene de superficie PI por el cuadrado de su radio.

EL MODELO DE POINCARÉ l matemático y físico francés construyó un original modelo para la Geometría Hiperbólica del plano llamado Modelo de Poincaré. Si consideramos una circunferencia C, los punJULES HENRI tos de ese plano serían POINCARÉ todos los puntos interio1854 - 1912 res a dicha circunferencia sin considerar el borde. Las rectas de dicho plano son los arcos interiores de las circunferencias que cortan perpendicularmente a la circunferencia C y los diámetros de C. Observa que en este modelo las rectas no son rectas sino arcos. Pero en él se pueden trazar triángulos, paralelas, hacer simetrías, etc. Es un modelo artificial de geometría en el que no se cumple el V Postulado de Euclides.

C

Rectas del ‘Modelo de Poincaré’

La existencia de estos modelos es una prueba de la independencia lógica de los axiomas, es decir, el V Postulado no puede demostrarse a partir de los otros. Esto no quiere decir que el espacio que nos rodea no sea euclídeo, sino sólo que, desde el punto de vista lógico, tiene igual coherencia la Geometría Euclídea que la No-Euclídea. Nuestra vida cotidiana es euclídea pero el espacio relativista no.

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GEOMETRÍA DE CHICLE

Cuando hablamos de geometría enseguida nos vienen a la memoria cuerpos geométricos, medidas y cálculos sobre ellas. Se nos hace difícil poder imaginar una geometría en la que no se mida y en la que los números están prácticamente desterrados. Pero esa geometría existe, no es un ejercicio de imaginación. En realidad acabó siendo tan diferente a la geometría habitual que se denominó Topología, que viene a significar algo así como el estudio de los lugares. En ella no importa si dos figuras tienen o no el mismo tamaño o la misma forma para que sean estudiadas como una sola.

por Lolita Brain

L

LEONARD EULER (1707-1783)

as primeras menciones históricas a una geometría sin medidas, procede de Leibnitz quien la llamó Analysis Situs (geometría de posición). Sin embargo quien realmente propuso topológicamente -y resolvió- el primer problema topológico de la historia fue el suizo Euler en un artículo de 1726. En él resolvió el famoso problema de Los puentes de Köninsgberg. Posteriormente encontró la valiosísima Fórmula de Euler entre otros resultados.

LOS PUENTES DE

Fórmula de Euler

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KÖNINSBERG

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8

AULA

DE EL

a ciudad alemana de Köningsberg es muy peculiar: tiene dos islas centrales sobre el río Pregel que se unen a tierra firme por siete puentes. El problema sugiere la siguiente pregunta: ¿Es posible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo puente? A pesar de que la pregunta parece trivial, no lo es en absoluto. Euler se dio cuenta de que aunque parece un problema de geometría, por ningún lado intervienen distancias, longitudes o medidas. Observó que lo importante era la relación existente entre los puntos y los caminos.

a famosísima FÓRMULA DE EULER, nació del estudio que realizó éste de los poliedros. Resulta curioso que habiendo sido estudiados casi al completo por Arquímedes, nadie hubiera caído en el resultado. La fórmula da una relación entre el número de vértices, aristas y caras de los poliedros. Después se demostró que sirve para muchos más cuerpos y que este valor depende del género topológico de la figura DODECAEDRO CARAS (12) + VÉRTICES (20)= ARISTAS (30)+2 partir de un esquema de los puentes, Euler estudió el gráfico adjunto, en el que los puentes son vértices de un NUDO, y los caminos son SEGMENTOS DE CUERDA. Así el a solución de Euler es negativa: NO es problema pasaposible cruzar los siete puentes sin paba a ser de sar alguna vez dos veces por el mismo puntos y puente. De hecho su solución es mucho segmenmás general, ya que afirma que en todo t o s . grafo en el que haya algún vértice en el Había que confluyan un número impar de ca nacido la minos, no podrá recorrerse sin pasar dos Teoría de veces por el mismo sitio. Grafos.

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L

U

no de los aspectos que estudia la topología es el INTERIOR y el EXTERIOR de los cuerpos. Por ejemplo, si trazas una circunferencia, ésta divide el plano en dos partes: una interior y otra exterior a la curva. Para pasar de un lado al otro, es necesario cruzar la circunferencia. Sin embargo en multitud de ocasiones la intuición nos engaña. Por ejemplo, todos diríamos que un chaleco está dentro de una chaqueta, y que sin quitarse la chaqueta, es imposible deshacerse del chaleco. ¿Seguro? Echa un vistazo a la secuencia de la izquierda. Como ves el hábil mago, demuestra lo que la topología ya sabía: que el chaleco nunca estuvo en el interior de la chaqueta.

MUNDO

F

I G U R A S

H O M E O M O R F A S

O R I E N T A C I Ó N

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Una de las ideas fundamentales de la topología es la idea de figuras HOMEOMORFAS. La idea intuitiva es sencilla. Puesto que esta rama de las matemáticas estudia una geometría en la que lo importante son las posisiciones relativas entre los puntos de los cuerpos, es claro que si imaginamos los objetos geométricos fabricados con plastilina, las deformaciones que hagamos con ellos -por estiramiento o compactamiento pero sin rotura- generan nuevos cuerpos en los que los puntos que estaban próximos entre sí siguen estándolo. Para la topología esos cuerpos son iguales y se les denomina homeomorfos.

tro de los problemas que estudia la topología es el de la orientación de los espacios. La orientación topológica recoge la misma idea que tenemos todos: habla de izquierda y derecha o arriba y abajo. Pero en topología se estudian cuerpos asombrosos en los que la derecha puede convertirse en la izquierda: por ejemplo la Cinta de Möbius de la derecha es un espacio en el que una manopla diestra, tras recorrer la cinta completamente, se convierte en una manopla izquierda ¡sólo por cambiar de sitio en la cinta!. Asombroso. lolitabrain@hotmail.com


SU MAJESTAD EL TRIANGULO

P

IERRE FERMAT (1601-1665), de quién te hemos hablado en varias ocasiones, discurrió el siguiente problema. Comenzando con un triángulo, dibuja un punto cualquiera P, en su interior. Desde él puedes trazar un segmento que lo una a cada vértice del triángulo (a, b, c). Y podemos sumar las longitudes de esos tres segmentos (a+b+c). Fermat se preguntó ¿Cuál será el punto que debemos escoger para que la suma esos tres segmentos sea la menor posible? Fermat demostró que ese punto, llamado PUNTO DE FERMAT, se obtiene del siguiente modo: levanta un triángulo equilátero sobre cada lado del triángulo inicial. Une cada vértice externo de estos triángulos, con el vértice opuesto del triángulo incial. El punto en el que se cortan esos tres segmentos, es el Punto de Fermat, y es áquel en el que la suma a+b+c es mínima.

Es, en esencia, la figura plana más sencilla que existe. El triángulo pasa por ser el origen de casi todo lo plano y, por extensión, de lo espacial. Por eso, si hay una figura que haya sido estudiada hasta la saciedad, ésa es el triángulo. Teoremas referidos a ellos se cuentan a cientos, y es que es raro no toparse con uno de frente. Por ser famosos los triángulos, hasta un sector de los números decidió formar el grupo de los autollamados números triangulares. Son tan diferentes unos de otros, y simultaneamente tan parecidos, que se afanan por encontrar su propia identidad. Así los triángulos rectángulos se ufanan de ser los únicos triángulos pitagóricos, y aunque las excelencias de la belleza se hayan ido para los equiláteros, los obtusángulos no dejan de reivindicar su personalidad.

por Lolita Brain ¿PUEDE CONSTRUIRSE

E L

T E O R E M A

D E

N A P O L E Ó N

SIEMPRE UN TRIÁNGULO?

Una de las cuestiones más simples sobre el mundo de los triángulos, aunque suele pasar desapercibida, es la siguiente: Con tres segmentos cualesquiera, ¿se puede construir siempre un triángulo ? La geometría nos da la respuesta precisa a esta cuestión, enunciando que: Tres segmentos pueden formar un triángulo si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1.- La suma de la longitud de dos lados ha de ser mayor que la longitud del tercero. 2.- La diferencia de la longitud de dos lados ha de ser menor que la longitud del tercero. Si tres segmentos cumplen estas dos propiedades, se podrá construir un triángulo con ellos. Si no, no será posible.

apoleón Bonaparte es proNbablemente muy conocido para ti. Pero es casi seguro que no tienes ni idea de que es –aunque este extremo no está debidamente confirmado– autor de nada menos que de un teorema sobre... triángulos: el TEOREMA DE NAPOLEÓN, que te contamos a continuación.

Partimos de un triángulo cualquiera. Puedes dibujar tres puntos y unirlos por segmentos.

Une l o s tres BA-

Encuentra el

RICENTROS en-

BARICENTRO de cada

contrados. Napoleón afirma que este triángulo es equilátero aunque el de partida no lo sea.

triángulo uniendo cada vértice con la mitad del lado opuesto.

L A

H

S o b r e cada lado, levanta un triángulo equilátero (con los tres lados iguales). Cada lado medirá lo mismo que el correspondiente lado de partida.

F Ó R M U L A

D E

H E R Ó N

ERÓN DE ALEJANDRÍA (sobre 10 - sobre 75) , también

conocido por Hero, fue un brillante geómetra que vivió en Alejandría, Egipto. Además de obtener importantes resultados sobre Geometría e Hidrodinámica, es muy famoso por haber proporcionado una fórmula sencilla para calcular la superficie de un triángulo conociendo la longitud de sus lados.

E

l TRIÁNGULO DE SIERPINSKI, un WACLACK SIERPINSKI matemático polaco, es un con(1882-1969) junto geométrico que se basa en el triángulo y que es un fracnueve. Se continúa el proceso tal de los llamados deterministantas veces como se desee. tas. Se puede construir de la siEl conjunto de Sierpinski guiente forma. son los puntos que esComienza con un triángulo tán en todos los equilátero. Encuentra el triángulos así punto medio de cada formados. lado. Borra el triángulo que queda en el centro. Con cada uno de los tres triángulos que has obtenido, repite el proceso para borrar otros tres triángulos, y lolitabrain@hotmail.com crear

T

odos conocemos la fórmula para calcular el área de un triángulo que afirma que ésta es igual a la mitad de la base por la altura. Sin embargo, en la práctica, muchas veces los datos de los que se dispone son las longitudes de los lados y no la altura del triángulo, que se ha de calcular con el Teorema de Pitágoras, por ejemplo.

59

AULA

DE EL

MUNDO

H

con sólo sus lados. Para ello calculamos el PERÍMETRO del triángulo sumando las longitudes de los tres lados. Su mitad es lo que se llama el SEMIPERÍMETRO (S). Ahora, resta10 Cm 8 Cm mos al semiperímetro cada uno de los lados (Sa, S-b y S-c). Multiplicamos los cuatro números obtenidos (S, S-a, S12 Cm 15 - 8 = 7 b. S-c). El área S= 8+10+12=15 15 - 10 = 5 del triángulo 15 - 12 = 3 es la raíz cua2 drada de este 15 X 7 X 3 X 5 =1575 resultado. ¡No lo olvides! erón encontró y demostró, su fórmula que permite conocer al área de un triángulo

AREA =

1575 = 39,6 Cm


LOS CENTROS DEL TRIÁNGULO LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO

En Geometría, la figura más simple imaginable es el triángulo. Y como tal, es sin duda el rey de los polígonos. Casi todo es reducible a triángulos, de modo que es una de las herramientas más poderosas de la Geometría y, por tanto, conocerlos ha sido y sigue siendo muy interesante. Gracias a los triángulos pudimos medir la Tierra, calculamos la distancia a Marte o sencillamente, articulamos una grúa.

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LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO

EL TRIÁNGULO ÓRTICO Si unimos los puntos RPQ, en los que las alturas cortan a cada uno de los lados, obtenemos otro triángulo. El triángulo órtico. Este polígono tiene una propiedad muy importante: es el menor camino para ir desde uno de los lados a los otros dos. Por ello, si el triángulo fuera especular, un rayo emitido desde R se reflejaría continuamente por el camino RPQ-RPQ-RPQ...

Las mediatrices pasan por el punto medio (T ) de cada lado (AB) y además son perpendiculares a él. Todos los puntos de una mediatriz están a la misma distancia de los vértices del lado correspondiente. Estas rectas se cortan en el circuncentro (O). Como O dista lo mismo de A que de B (está en la mediatriz de AB) y está a la misma distancia de A que de C (está en la mediatriz de AC) es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por A, B y C, y contiene al triángulo.

Si trazamos una recta perpendicular a un lado de un triángulo (AB) que pase por el vértice opuesto (C), tenemos una altura. Mide la distancia que separa a un vértice del lado opuesto y será fundamental para calcular el área del triángulo. Trazadas las tres alturas de un triángulo, éstas se cortan en un punto denominado ortocentro, que no siempre está en su interior.

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LAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO

AULA

DE EL

MUNDO

Si trazamos rectas que unan cada vértice (A) con el PUNTO MEDIO de cada lado opuesto (X), obtenemos las medianas. Observa que si el triángulo es equilátero, sus tres medianas son sus ejes de simetría. Las tres medianas se cortan en un punto muy importante llamado baricentro o centroide (G).

EL BARICENTRO COMO CENTRO DE MASAS Cuando se trazan las medianas, el triángulo original queda dividido en cuatro triángulos menores y semejantes. El triángulo central se llama auxiliar. Sus medianas son las mismas que las del inicial. Este proceso se puede repetir infinitamente para crear una colección de triángulos semejantes encajados unos en otros. Todos tienen un único punto en común: el baricentro del primer triángulo.

El baricentro es el centro del triángulo. También se denomina centro de masas y tiene importancia en dinámica. Por ejemplo, un triángulo soportado sobre su baricentro permanece estable. Es su centro de equilibrio.

La razón es que una mediana divide en dos partes iguales a todas las rectas paralelas al lado correspondiente. Así, cada mediana es como una hoja de afeitar que diseccionara al triángulo. De este modo, el baricentro debe ser el punto de equilibrio.

LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS En todo triángulo está definida una circunferencia muy especial. Pasa nada menos que por nueve puntos particulares:

LA RECTA DE EULER Algunas veces lo más sencillo permanece oculto durante siglos. Si bien el triángulo y sus centros se estudian desde que existe la matemática, fue el genial Leonard Euler (1713 -1789) el primero en darse cuenta de que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están en la misma recta: la recta de Euler.

Los tres vértices del triángulo auxiliar XYZ. Los tres vértices del triángulo órtico PQR. Los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro y los vértices (HA, HB y HC). Su centro N es el circuncentro del triángulo órtico. www.lolitabrain.com


EL EQUILIBRADO BARICENTRO

La Matemática y la Física van de la mano muchas veces. Cuando estudiamos el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de la gravedad, o nos interesa estudiar el modo en que se producen las rotaciones, o si queremos conocer el comportamiento en el equilibrio mecánico de los objetos, estas dos disciplinas son íntimas: la geometría de los cuerpos determina su comportamiento en estos fenómenos. Uno de estos conceptos geométricos de las figuras es el baricentro, un punto que sustituye teóricamente toda una masa distribuida en un volumen y nos permite considerar el cuerpo como un solo punto.

por Lolita Brain

EL BARICENTRO

E

La gravedad nos permite localizar el baricentro ya que también es el llamado CENTRO DE GRAVEDAD (C.G.) o punto que resume toda la fuerza gravitatoria sobre un objeto,

l triángulo es el polígono más sencillo que existe. De sus muchos puntos notables, el baricentro es fundamental. Se trata de un punto interior en el que puede suponerse que se halla toda la masa del triángulo. Se obtiene como punto en el que se cortan las MEDIANAS del triángulo, que son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Es su centro de equilibrio.

sea o no triángulo. Para localizarlo basta con colgar de un hilo un triángulo de cartón, madera u otro material, de cada uno de sus vértices. Trazamos las

rectas verticales cuando esté en equilibrio y obtenemos las medianas. Su punto de corte es el baricentro.

Cuanto más cerca del apoyo se encuentre el C.G. más estable es el equilibrio. Las gimnastas lo consiguen bajando las piernas.

EQUILIBRIOS INVEROSÍMILES

E

l equilibrio estable de un cuerpo depende de la posición relativa que exista entre el C.G. y el punto, línea o plano sobre el que se apoya u oscila el cuerpo. Si el centro de gravedad queda por debajo del punto de apoyo entonces el sistema está en equilibrio. La bicicleta de la imagen tiene un gran peso sujetado inferiormente a ella. Con ello se consigue que el C.G. del sistema quede por debajo de la cuerda sobre la que la bicicleta se mantiene en equilibrio. El sistema de tenedores de la imagen de la izquierda está en equilibrio porque su C.G. está por debajo del punto de contacto con el palillo en el que se sustenta.

UN PUNTO PARA UN CUERPO

T

odos sabemos que cuando un objeto cae bajo la acción de la gravedad describe una parábola. Sin embargo cuando el cuerpo no es de forma esférica es difícil ver dicha parábola. Y es que el cuerpo no la describe, quien lo hace es su centro de gravedad. El cuerpo del saltador de trampolín se tuerce sobre su eje, pero si resaltamos su centro de gravedad veremos que las distintas posiciones dibujan una parábola. La maza del malabarista o de la majorette, cuando es lanzada al aire y se deja caer libremente, también debería describir una parábola. En cambio lo que vemos es una sucesión de giros sobre su eje en su caída. Pero si marcamos su centro de gravedad, su centro geométrico en este caso, y realizamos múltiples exposiciones fotográficas de la caída, comprobaremos que

el C.G. describe una parábola como si toda la maza estuviera concentrada en dicho punto. De este modo, para estudiar el movimiento de objetos complejos, nos limitamos a estudiar el movimiento del C.G. del sistema. lolitabrain@lolitabrain.com


COMPROBAR SIN FORMULAR

Uno de los procesos más importantes de las matemáticas es probar la verdad de los teoremas que enuncia. Demostrar se convierte así en la principal tarea de los matemáticos. De hecho, el reconocimiento de los grandes matemáticos se debe, a menudo, a sus pruebas de los teoremas que se han resistido incluso siglos enteros. Pero con frecuencia es posible confirmar la evidencia de grandes principios sin necesidad de un aparato formal importante. Se suele decir entonces que se ha comprobado una verdad, pero no que se ha demostrado. Para muchos, estas comprobaciones son más que suficientes.

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¿QUÉ DICE EL TEOREMA?

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

hipotenusa l teorema se aplica sólo a unas figuras muy particulares del plano: los triángulos rectángulos, que son aquellos que tienen un ángulo recto, es decir, dos lados perpendiculares llamados catetos. El tercero de los lados se denomina hipotenusa y es el cateto mayor de los tres. Estos tres segmentos encierran una prodigiosa relación que ya era conocida antes de Pitágoras por egipcios, babilonios y chinos, aunque en casos particulares. Fue el griego el primero que observó la generalidad entre todos los triángulos rectángulos.

S

E

PITÁGORAS DE SAMOS (S. VI A.C.)

D

e este teorema existen más de un millar de demostraciones distintas. Algunas sencillas y otras harto complicadas. Pero hay una colección de ellas que utilizan lo que podemos llamar la técnica de las tijeras y el papel. Se trata de partir los cuadrados construidos sobre los catetos y comprobar que con los trozos obtenidos podemos completar el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Es por tanto un asunto de resolver un puzle.

EL PUZLE DE OZANAM

O

EN ESTE EJEMPLO ES MUY SENCILLO DE

E

¿CÓMO PROBARLO?

zanam, matemático del siglo XIX y gran divulgador de esta ciencia, obtuvo un sencillo puzle con el que demostrar el Teorema de Pitágoras. Se trata de construir el esquema del teorema y trazar el simétrico del cuadrado sobre la hipotenusa respecto de esta mis-

cateto

in duda alguna, el Teorema de Pitágoras es probablemente el más conocido por todos. Lo aprendemos en la escuela y lo recordamos a lo largo de toda la vida. Aunque olvidemos muchas nociones de matemáticas pertenece a nuestro acervo cultural. Y es que es un teorema que por elemental no deja de ser importante. Todo lo contrario: su universalidad y su gran valor utilitario lo convierte en un resultado imprescindible. Recordemos en primer lugar lo que nos dice el teorema y luego juguemos a ser matemáticos comprobando su veracidad.

ma, obteniendo las particiones numeradas del 1 al 5 en los cuadrados menores. Comprobar la veracidad del teorema de Pitágoras es sólo cuestión de recortar las cinco piezas numeradas y conseguir cubrir con ellas todo el cuadrado superior.

Frédéric Ozanam (1813 - 1853)

l teorema se explica sencillamente con la imagen adjunta. Si construimos tres cuadrados, uno sobre cada lado de cualquier triángulo rectángulo, se verifica que el área del cuadrado grande, construido sobre la hipotenusa, es idéntica a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados pequeños levantados sobre los catetos. Esto tan simple nos permite, entre otras cosas, calcular la longitud de un segmento inclinado si podemos medir los dos lados perpendiculares.

COMPROBAR YA QUE LOS RESPECTIVOS CUADRADOS TIENEN 9, 16 Y 25 CUADRADITOS PEQUEÑOS Y POR TANTO ES FÁCIL VER QUE:

25 = 16 +9. PERO ¿Y EN OTRAS SITUACIONES?

EL CUADRADO MAYOR ES IGUAL QUE LA SUMA DE LOS CUADRADOS MÁS PEQUEÑOS.

EL PUZLE DE PERIGAL

P

erigal diseñó otra demostración del teorema que nos ocupa aún más sencilla que la de Ozanam. Su idea consiste en trazar, por el centro del cuadrado sobre el mayor de los catetos, una recta perpendicular y otra paralela a la hipotenusa. Eso divide el cuadrado en los cuatro trapezoides numerados 2, 3, 4 y 5. Con ellos más el cuadrado levantado sobre el menor de los catetos -el 1 en la figura- se puede componer el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Es decir, la suma de los cuadrados levantados sobre los catetos equivale al de la hipotenusa.

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5 4

SOLUCIÓN DEL PUZLE DE PERIGAL SOLUCIÓN AL PUZLE DE OZANAM

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CON UN BASTÓN, BASTA

Hoy en día estamos acostumbrados a disponer de precisos y complejos instrumentos de medida. Pero no siempre fue así. Si repasamos la capacidad instrumental de los matemáticos de hace más de dos mil años, comprobaremos que sus herramientas de medida eran rudimentarias. Sin embargo, babilonios, egipcios y griegos llevaron a cabo mediciones que aún hoy nos asombran. Dos ejemplos muy significativos son los de Eratóstenes y Tales, quienes con tan sólo un bastón y mucha geometría fueron capaces de calcular con gran precisión medidas que hoy nos siguen asombrando.

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EL MÉTODO DE ERATÓSTENES

E

ERATÓSTENES DE CIRENE (275 -194 A.C.)

UNA LECCIÓN DE INGENIO

A

unque Aristóteles y Arquímedes habían dado algunos valores poco afortunados del tamaño de la Tierra, Eratóstenes de Cirene, hacia el año 240 a.C., realizó la primera medida precisa de la longitud de la circunferencia terrestre. Como director de la Biblioteca de Alejandría tuvo acceso a mucha información para poder resolver este problema. Pero sobre todo, su método es un modelo de ingenio que aún hoy nos asombra. Su experimento sigue siendo considerado hoy como uno de los 10 mejores de toda la Historia. Necesitó poco más que una estaca para calcular la longitud de la Tierra. Su medida fue esencialmente la que es, unos 40.000 km.

ratóstenes, por supuesto, suponía que la Tierra era redonda. Sabía que todos los años al mediodía del solsticio de verano, cuando comienza esta estación, el Sol iluminaba el interior de un pozo en Syena, en la actual Assuan, Egipto. Esto le hizo pensar que los rayos del Sol eran perpendiculares al suelo en ese momento y en ese lugar. En cambio, en Alejandría, que se encontraba de Syena a 50 jornadas a camello (de 100 estadios cada uno, es decir, a unos 760 km de distancia), los obeliscos sí arrojaban sombra al mediodía del solsticio. Supuso que los rayos del Sol son paralelos y clavó una estaca en Alejandría dicho mediodía. Midió el ángulo que formaba la sombra que arrojaba y lo estimó en unas 50 veces menor que una vuelta completa de circunferencia (unos 7 o 12’). Concluyó entonces que la longitud de la circunferencia de la Tierra era 50 veces la distancia que separaba Syena y Alejandría... o sea 39.000 km ¡Sencillamente genial!

A pesar de la exactitud de su cálculo, éste contiene algunos pequeños errores de medición: Alejandría y Syena no están en el mismo meridiano y están algo más cerca que la distancia utilizada por Eratóstenes. Además, Syena no está exactamente en el Trópico de Cáncer, y por tanto, el Sol no incidiría perpendicularmente en el solsticio de verano. Por último, el ángulo de la sombra en Alejandría es algo menor que 7o 12’.

De este modo se cumple que el número de veces que el palo es mayor o menor que su sombra

LONGITUD DEL PALO LONGITUD DE SU SOMBRA coincide con las veces que la altura de la pirámide es mayor o menor que su sombra.

ALTURA DE LA PIRÁMIDE LONGITUD DE SU SOMBRA Midiendo entonces la longitud del bastón, la de su sombra y la sombra de la Gran Pirámide, la altura de ésta se obtiene con el sencillo cálculo:

TALES, SU BASTÓN Y LA PIRÁMIDE

T

L. DEL PALO A. DE LA PIRÁMIDE =

ales de Mileto, uno de los Siete Sabios de Grecia, sabía que dos triángulos rectángulos con ángulos iguales son semejantes. Es decir, uno de ellos se obtiene del otro por ampliación, como al fotocopiar imágenes. En este caso la relación de tamaño que existe entre los catetos, los lados perpendiculares, de cada uno de ellos es la misma. Con esto, ingenió un sencillo método para determinar la altura de la Gran Pirámide de Kéops. Clavó un bastón en el suelo y observó que el triángulo que forma la altura de la pirámide y su sombra era semejante al formado por el bastón y la suya. En la imagen los triángulos ABC y MNP.

L. DE SU SOMBRA

X

(L. SOMBRA PIRÁMIDE)

que le proporcionó un admirable resultado aproximado de 152 metros en lugar de los 146 m que mide en realidad hoy, aunque la altura de la pirámide ha variado con el tiempo.

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TRIÁNGULOS CON INGENIO

La geometría elemental unida al ingenio constituye una herramienta extremadamente útil, especialmente para poder tomar medidas. En los orígenes de la filosofía griega, Thales de Mileto ingenió un procedimiento sencillísimo para determinar la distancia de un barco a la costa sirviéndose de una escuadra, Eratóstenes de Cirene calculó el radio de la Tierra con poco más que un bastón y Euclides de Alejandría averiguaba la altura de las torres con un espejo. Es una cuestión de economía de medios e inteligencia.

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EUPALINOS, UN INGENIERO INTELIGENTE acia el año 550 a C. el tirano POLYCRATES regidor de la ciudad de Samos (al sur de la península italiana), encargó al ingeniero EUPALINOS la construcción de un tunel que atravesara el monte Kastron a cuyos pies se desplegaba la ciudad. El tunel conectaría con un manantial asegurando así el suministro de agua. Para acelerar su construcción POLYCRATES obligó a realizar la obra comenzando por las dos bocas simultaneramente, lo que suponía un serio reto. EUPALINOS construyó un tunel de 1.036 metros de longitud. Las dos ramas que debían juntarse en el centro se desviaron menos de 1%. Asombroso.

H

LA DISTANCIA DE UN BARCO A LA ORILLA

LA SOLUCIÓN DE EUPALINOS ERÓN, famoso matemático del siglo I, sugirió el siguiente procedimiento como el seguido por EUPALINOS. El problema de geometría consistía en, una vez fijados los puntos de las bocas A y B, determinar la dirección de excavado que viene determinada por la dirección de la recta que los une.

H

HALES DE MILETO (hacia 640 - 560 a. C.)es considerado uno de los primeros filósofos y matemáticos de Occidente. Su famoso Teorema de Thales fue siempre una herramienta prodigiosa. Con sólo una escuadra de madera y algunas medidas sencillas Thales era capaz de determinar la distancia a la que se encontraba un barco en la lejanía.

EUPALINOS unió los puntos A y B con una línea poligonal exterior APQRB trazada de modo que los ángulos en P, Q y R fueran rectos. Imaginó asimismo las paralelas por A y B a los lados PQ y RQ para obtener el punto T.

T

8

AULA

SE COLOCABA EN UNA Y

APUNTABA

CON

Por último prolongando el segmento AB hasta que corte a las rectas PQ y RQ obtuvo los puntos A1 y B1. Utilizando la semejanza de triángulos y midiendo los lados del perímetro externo dibujado, es muy fácil calcular las distancias x e y. Y conociéndolas situar sobre el terreno los puntos A1 y B1 es tarea sencilla. Problema resuelto.

LA

ESCUADRA A LA PROA DEL BARCO.

MUNDO

A

C

B C Los triángulos ABC y AQP son semejantes lo que permite calcular la longitud del lado QP que es la distancia buscada.

ALTURA A LA LINEA DE TIERRA

DE EL

THALES TORRE

LA

LÍNEA VISUAL DETERMINA EL

TRIÁNGULO DE VÉRTICES

ABC

SOBRE LA ESCUADRA.

P

Q

LÍNEA DE TIERRA

EUCLIDES, LOS ESPEJOS Y LAS ALTURAS LA

ALTURA DE LA TORRE SE CALCULA MULTIPLICANDO LA ALTURA DE LOS OJOS AB ) POR LA DISTANCIA DEL PIE DE LA (A TORRE AL REFLEJO DE LA CRUZ EN EL OC). DESPUÉS SE DIVIDE ENTRE ESPEJO (O LA DISTANCIA DEL REFLEJO AL PIE DE OB). EUCLIDES (O

Euclides de Alejandría ingenió un sencillo procedimiento para medir la altura de un objeto, como una torre, cuyo pie es accesible.

C OMO

EUCLIDES EL RAYO REFLEJADO Y EL

INCIDENTE

FORMAN

EL

ÁNGULO , LOS TRIÁNGULOS

MISMO

OCD

SE MOVÍA HASTA

VER LA CÚSPIDE DE LA TORRE EN EL ESPEJO.

Y

OAB SON SEMEJANTES.

SE

COLOCA UN ESPEJO ENTRE

LA TORRE Y EL OBSERVADOR

El cálculo final de Thales para hallar la distancia de la costa al barco es:

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BANDERAS DEL MUNDO

Mediante estas representaciones, normalmente rectangulares, se identifican los colores, los escudos y los símbolos de cada país. Las banderas existen desde hace mucho tiempo, pues se conocen evidencias del antiguo Egipto y de la época de las doce tribus de Israel. En un principio, tenían un sentido militar que representaba a las dinastías de las casas reales, pero con la creación de las naciones se fueron configurando en su forma actual, que heredaba ciertos elementos de las anteriores. En el caso de España, Carlos III adoptó para sus naves una enseña de tres franjas horizontales con los colores y las dimensiones de la actual.

AFGANISTÁN

ALBANIA

ALEMANIA

ANDORRA

ANGOLA

ANTIGUA Y BARBUDA

ARABIA SAUDÍ

ARGELIA

ARGENTINA

ARMENIA

AUSTRALIA

AUSTRIA

AZERBAIJÁN

BAHAMAS

BAHRAYN

BANGLA DESH

BARBADOS

BÉLGICA

BELICE

BENÍN

BHUTÁN

BIELORRUSIA

BIRMANIA

BOLIVIA

BOSNIA-HERZEGOVINA

BOTSWANA

BRASIL

BRUNEI

BULGARIA

BURKINA FASO

BURUNDI

CABO VERDE

CAMBOYA

CAMERÚN

CANADÁ

CENTROAFRICANA (REP.)

CHAD

CHECA (REP.)

CHILE

CHINA

CHIPRE

COLOMBIA

COMORES

CONGO (REP. DEL)

CONGO (REP. DEM. DEL)

COREA (REP. DE)

COREA (REP. DE. POP.DE)

COSTA DE MARFIL

COSTA RICA

CROACIA

CUBA

DINAMARCA

DJIBOUTI

DOMINICA

DOMINICANA (REP.)

ECUADOR

EGIPTO

EL SALVADOR

EMIRATOS ÁRABES (UNIÓN)

ERITREA

ESLOVAQUIA

ESLOVENIA

ESPAÑA

ESTADOS UNIDOS

ESTONIA

ETIOPÍA

FIDJI

FILIPINAS

FINLANDIA

FRANCIA

GABÓN

GAMBIA

GEORGIA

GHANA

GRANADA

GRECIA

GUATEMALA

GUINEA

GUINEA-BISSAU

GUINEA ECUATORIAL

GUYANA

HAITÍ

HONDURAS

HUNGRÍA

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INDONESIA

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KAZAJISTÁN

KENYA

KIRGUIZISTÁN

KIRIBATI

KUWAYT

LAOS

LESOTHO

LETONIA

LÍBANO

LIBERIA

LIBIA

LIECHTENSTEIN

LITUANIA

LUXEMBURGO

MACEDONIA

MADAGASCAR

MALAWI

MALAYSIA

MALDIVAS

MALÍ

MALTA

MARRUECOS

MARSHALL

MAURICIO

MAURITANIA

MÉXICO

MICRONESIA (EST. FED. DE)

MOLDAVIA

MÓNACO

MONGOLIA

MOZAMBIQUE

NAMIBIA

NAURU

NEPAL

NICARAGUA

NÍGER

NIGERIA

NORUEGA

NUEVA ZELANDA

OMÁN

PAÍSES BAJOS

PAKISTÁN

PALAOS

PANAMÁ

PAPÚA Y NUEVA GUINEA

PARAGUAY

PERÚ

POLONIA

PORTUGAL

QATAR

REINO UNIDO

RUANDA

RUMANÍA

RUSIA

SAINT KITTS-NEVIS

SALOMÓN

SAMOA

SAN MARINO

S. VICENTE Y LAS GRANADINAS

SANTA LUCÍA

SANTO TOMÉ Y PRÍNCIPE

SENEGAL

SERBIA Y MONTENEGRO

SEYCHELLES

SIERRA LEONA

SINGAPUR

SIRIA

SOMALIA

SRI LANKA

SUDÁFRICA (REP. DE)

SUDÁN

SUECIA

SUIZA

SURINAM

SWAZILANDIA

TADZHIKISTÁN

TAILANDIA

TAIWÁN

TANZANIA

TIMOR ORIENTAL

TOGO

TONGA

TRINIDAD Y TOBAGO

TÚNEZ

TURKMENISTÁN

TURQUÍA

TUVALU

UCRANIA

UGANDA

URUGUAY

UZBEKISTÁN

VANUATU

VATICANO (CIUDAD DEL)

VENEZUELA

VIETNAM

YEMEN

ZAMBIA

ZIMBABWE

UNIÓN EUROPEA

ONU

UNESCO

MEDIA LUNA ROJA

CRUZ ROJA

8

AULA

DE EL

MUNDO

Texto: Manuel Irusta/ EL MUNDO


Las señalizaciones se dividen en varios tipos. Entre ellos, las señales verticales, que figuran en esta lámina, reglamentan o advierten peligros, o informan acerca de direcciones y destinos. Son esenciales en lugares donde existen regulaciones especiales y los peligros no son evidentes.

SEÑALES DE TRAFICO

PRECAUCION ST OP

PROHIBIDO

Señales triangulares con orla roja, fondo blanco y símbolos en negro

ADVERTENCIA DE PELIGRO

Intersección con prioridad

Indica la proximidad y la naturaleza de un peligro difícil de ser percibido a tiempo, para comportarse como procede

Paso a nivel sin barreras de más de una vía férrea

Deben hallarse señalizadas, de día y de noche

OBLIGACION

Señales circulares con fondo blanco o azul, marco rojo y figuras de varios colores

Otros peligros

OBRAS

Circulación prohibida

Señales circulares de fondo azul, con orla, texto y símbolos blancos

Circulación prohibida

Intersección con prioridad sobre vía a la derecha

Intersección con prioridad sobre incorporación por la izquierda

Intersección con prioridad de la derecha

Semáforos

Cruce de tranvía

Curva peligrosa hacia la izquierda

Curvas peligrosas hacia la derecha

Resalto

Badén

Bajada peligrosa

Estrechamiento de calzada por la derecha

Obras

Proyección de gravilla

Paso para peatones

Prioridad en sentido contrario

Entrada prohibida

STOP 8

AULA

DE EL

MUNDO

Cercanía de un paso a nivel o puente móvil Ceda el paso

Detención obligatoria

Prioridad respecto al sentido contrario

Entrada prohibida a peatones

Prohibición de pasar sin detenerse

Limitación de peso

Adelantamiento prohibido

Velocidad máxima

Estacionamiento prohibido los días pares

Paso obligatorio

Velocidad mínima

Calzada sin salida

Autopista

Fin de prioridad

Paso de uno a dos carriles de circulación

Bifurcación a la izquierda

Fin de vía rápida

Estacionamiento reservado para taxis

Velocidad máxima aconsejada

Puesto de socorro

REGLAMENTACION Establecen las obligaciones, limitaciones o prohibiciones especiales que deben observar los usuarios de la vía Clases: • de prioridad • de prohibición de entrada • de restricción de paso • otras de prohibición o restricción • de obligación • de fin de prohibición o restricción

Estacionamiento prohibido

INDICACION Facilitan al usuario de la vía ciertas informaciones que puedan serle de utilidad Clases: • de indicaciones generales • de carriles • de servicio • de orientación • paneles complementarios • otras señales

FIN DE LA PROHIBICION Señal normalmente de fondo blanco y cruzada por líneas diagonales Señales de fin de prohibiciones

1

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10 m

150 m

3 4

4 , 25 k m

5

60 Fin de la limitación de la velocidad

Fin de la prohibición de advertencias acústicas

6

STOP 150 m

PANELES COMPLEMENTARIOS Se colocan debajo o en la parte inferior de la propia señal y precisan su significado 1- Distancia al comienzo del peligro o prescripción 2- Extensión de la prohibición a un lado 3- Longitud del tramo peligroso o sujeto a prescripción 4- Aplicación de prohibición o prescripción 5- Itinerario con prioridad 6- Preseñalización de detención obligatoria

Fin de carril

Peligro de incendio

Señales de uso específico en poblado

Lugares de la red viaria

Autopistas Diseño Gráfico: Francisco A. Anguís Textos: Manuel Irusta / EL MUNDO


CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Hace semanas hablamos en estas páginas de la concavidad y la convexidad en relación con una obra de Escher. Hoy vamos a definir con el rigor de las matemáticas estos dos conceptos que forman parte del lenguaje común: las cucharas, los tubos, los ojos, las cuevas... son objetos a los que referimos la propiedad de ser cóncavos o convexos. Los dos conceptos están íntimamente ligados y son relativos al punto de vista que se tome. Según la geometría, comemos con la región convexa de la cuchara y las órbitas de los ojos son convexas como lo es la cueva en la que nos adentramos. Comúnmente, sin embargo, solemos referirnos a dichas partes como cóncavas.

por Lolita Brain

POLÍGONOS CONVEXOS

UNIDOS PARA SIEMPRE

a primera noción que tenemos de concavidad y convexidad se refiere a las figuras planas, y dentro de ellas a los polígonos por ser éstos los objetos planos más sencillos. En principio, lo convexo se identifica con aquellas figuras que se expanden hacia afuera. En matemáticas, un polígono es convexo si las rectas que trazamos sobre sus lados dejan a todo el polígono en uno de los dos semiplanos. Pero podemos definir la convexidad sin hacer alusión al plano que contiene. Observa la figura de la derecha: si unimos cualquier pareja de puntos del polígono convexo con segmentos, los segmentos AB o BC se encuentran dentro del polígono.

óncavo y convexo son conceptos complementarios y por ello el uno sin el otro carecen de sentido. Cuando tenemos una figura cóncava, automáticamente disponemos de su complementaria que será convexa, y viceversa. Todo depende del punto de vista adoptado. El polígono blanco es convexo pero el exterior, de color rojo, es una región cóncava.

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POLIEDROS CÓNCAVOS os polígonos son cóncavos si tienen entrantes. Esto se ejemplifica en matemáticas del siguiente modo. Observa que si trazas rectas por los lados del polígono, algunas le dejan dentro de un semiplano (el verde en la imagen). Pero si escogemos otro lado, ahora una parte del polígono está en el semiplano verde y otra parte, en el rojo. Observa que al unir dos puntos interiores A y B, el segmento que los enlaza está contenido en el polígono, pero si la elección es B y C, una parte del segmento sale de la figura.

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POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD PARA SUPERFICIES CURVAS

e pueden extender estas nociones a regiones tridimensionales del espacio. Los poliedros también pueden ser cóncavos o convexos. En este caso lo que hacemos es trazar planos que contengan a cada cara. Si el poliedro queda en el mismo semiespacio, es convexo, como sucede en el prisma verde. En caso contrario, el poliedro es cóncavo, como le pasa al de color naranja. Observa también que en el poliedro convexo, la región interna se puede comunicar por segmentos que siempre están en el interior. En cambio, en el poliedro cóncavo, algunos puntos no pueden unirse por segmentos sin que éstos salgan del interior del poliedro.

uando las regiones que deseamos caracterizar como cóncavas o convexas no son poliédricas, tenemos que acudir a la caracterización de las regiones en función de los caminos rectos que unen sus puntos, como en el caso de los polígonos. Tomemos un cilindro como ejemplo. En la imagen de la izquierda, dos hormigas se hallan en el espacio exterior del cilindro. Si quieren ir una al encuentro de la otra por cualquier camino recto como el pintado en rojo, observamos que el segmento AB se halla en el interior del cilindro, es decir, se sale de la región en la que están las hormigas: el exterior es por tanto cóncavo. En cambio, en la figura de la derecha, las dos hormigas están en el interior del cilindro. Ahora, cualquier camino recto que tomen las hormigas (AB) se encontrará siempre dentro. Por tanto, el interior del cilindro es convexo.

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Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


C U R VA S Y R E C TA S : UN ROMANCE

Cuando pensamos en superficies curvadas imaginamos, en general, figuras bien distintas de las rectas. Imaginamos láminas que se torsionan en el espacio y que dificilmente pueden parecerse a lo recto. En muchas ocasiones no es posible trazar ninguna recta sobre una superficie: el caso de la esfera es el más sencillo. Sin embargo, hay muchísimas superficies que están constituidas por infinitas rectas. Es decir, por cada punto de la superficie pasa al menos una recta que está contenida en ella. Veamos algo sobre este tema.

por Lolita Brain

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onge se ayudaba especialmente de la generación de las superficies. Así él habla de superficies cilíndricas, cónicas, regladas, desarrollables o de revolución. El cilindro por ejemplo, puede considerarse como el resultado de hacer mover una recta por una circunferencia, o también como una circunferencia que se mueve a lo largo de una recta. Observa que las GENERATRICES del cilindro, las rectas , están contenidas en el cilindro. Se dice que es una superficie REGLA DA CILÍNDRICA. Como además se puede obtener haciendo rotar la recta generatriz se dice que es de R E V O L U C I Ó N . Aún hay más: el plano tangente a lo largo de una generatriz no cambia y por eso se llama DESARROLLABLE.

l francés Monge matema- forma de geometría, estudia tizó el arte del dibujo geo- las superficies acercándose a métrico sisellas a través tematizando los del plano tanconocimientos gente a las que, de algún mismas. Las modo, se utilipropiedades zaban fundade la superfimentando la cie –en general las que se GEOMETRÍA DESderivan de su CRIPTIVA. La carcurvatura– se tografía y la estudian loconstrucción de calmente alrefortificaciones dedor de un fueron dos camG ASPARD MONGE punto a través pos de aplica(1746- 1818) de la información. Además es uno de los padres de la ción proporcionada por su plano tangente. GEOMETRÍA DIFERENCIAL. Esta

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l genial arquitecto español, Fisac es autor de la recientemente desaparecida Pagoda. Un emblemático edificio de la arquitectura española de los años 60 que utilizó en esta particular obra como elemento estructural una superficie reglada que no es desarrollable: el HELICOIDE.

El hiperboloide de una hoja, cuya forma puedes reconocer en las papeleras de alambre o en las chimeneas de las centrales atómicas, es una superficie REGLADA (contiene infinitas rectas), de R E V O L U C I Ó N ( s e o b t i e n e haciendo girar una recta que se cruza con el eje). Pero NO ES DESARROLLABLE : el plano tangente a lo lar go de una generatriz (las rectas) cambia.

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AULA

DE EL

MIGUEL FISAC

MUNDO

Si miramos con atención la Pagoda, veremos que su estruc tura está formada por un prisma, por cada planta co n la peculia ridad de que a cada planta se le propor -

ciona una torsión de 45º. De esta manera surge el perfil en estrella característico del edificio. Para enlazar cada dos plantas se utilizan las rectas generatrices de un helicoide.

Las superficies regladas son muy importantes en arquitectura ya que permiten crear estructuras curvas con rectas. Así las vigas de hierro que se utilizan en la construcción sólo deben colocarse en lugar de las rectas que generan la superficie. Se garantiza el equilibrio y se simplifica la estructura.

HELICOIDES os helicoides se generan también como superficies regladas. En el diagrama se aprecia una hélice en verde junto a su eje rojo. Si unimos cada punto de la hélice con otro del eje manteniendo la recta horizontal (rectas naranjas) la superficie genera da es una escalera de caracol ¡sin peldaños, claro! Así po demos apreciar que el heli coide es una superficie re glada, cuyas generatrices son

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las rectas así trazadas. Sin embargo no es desarrollable. Si observas la figura de la derecha. en ella se ha traza do una generatriz y sobre ella tres puntos. En cada uno de ellos el plano tangente gira haciéndose más verti cal cuanto más cerca está del eje. ¿Entiendes ahora por qué en una escalera de ca racol es más sencillo subir por la parte externa que por la interior?

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LA CURVA CICLISTA ...Y MUCHO MÁS

Las curvas han sido siempre objeto de deseo de los matemáticos... y no sólo de ellos. Todo el mundo se ha sentido atraído por esas líneas caprichosas que recuerdan objetos cotidianos y se hallan inmersas en el imaginario colectivo. Más asombroso es reconocer que son entidades geométricas y analíticas que los matemáticos estudian, les asignan ecuaciones y de las que saben poco menos que todo. Estudiadas desde la antigüedad, no es sino hasta el desarrollo del Análisis Infinitesimal cuando pudimos aprehender todos sus secretos. La cicloide es la solución a algunos de los retos más difíciles de una de las épocas más brillantes de la matemática.

por Lolita Brain

EL MOVIMIENTO DE UNA RUEDA i sobre la llanta de la rueda de una bicicleta haces una marca con una tiza y comienzas a pedalear, la marca ‘dibujará’ una curva al unísono de tu desplazamiento. Si pudieramos visualizarla con una serie de fotogramas, aparecería la cicloide, curva estudiada por Bouvelles en 1501, por Mersenne y Galileo en 1599, por Roberval en 1634, y por Torricelli en 1644, entre otros muchos. Por increíble que parezca no era conocida por los griegos, maestros de las curvas y la geometría. El dibujo te muestra como se genera: suponiendo que la rueda realiza un giro completo en cuatro segundos, girará un cuarto de vuelta en cada segundo. En ese intervalo, el punto A pasa a la posición A1 y el B, a la B1. Suponiendo que la rueda no desliza, la distancia de A a B1 será la misma que el arco de circunferencia AB.

LA TAUTÓCRONA DE HUYGENS l magistral físico y matemático Huygens demostró en 1659 que la cicloide era también una curva tautócrona. Esto quiere decir que si dejamos deslizar una canica por una rampa con forma de cicloide, el tiempo que tardará en llegar a su punto más bajo (o) es el mismo independientemente del punto del que se deje caer (m n o p) ¡Asombroso! En esto contradijo a Galileo y su péndulo y lo utilizó para crear su famoso y preciso reloj de péndulo.

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CHRISTIAAN HUYGENS (1629-1695)

Y ASÍ SURGE LA CICLOIDE 8

Si continuamos moviéndonos en la bicicleta, podremos ver la forma completa de la cicloide, como te mostramos en la imagen. Tras un periodo de cuatro segundos, el punto A habrá pasado a convertirse en el A4, habiendo dado la rueda una vuelta completa. De igual modo, el punto B pasará a estar en la posición B4 y así sucesivamente. Roberval y Torricelli demostraron que la longitud de un arco de cicloide, la distancia entre A y A4, es cuatro veces la longitud del diámetro de la rueda.

AULA

DE EL

MUNDO

EL CONCURSO DE LA BRAQUISTÓCRONA

JACOB BERNOULLI (1654-1705) GALILEO GALILEI (1564-1642)

EL ERROR DE GALILEO El primero en interesarse por el problema de la braquistócrona fue Galileo. Solucionó primero el caso de una trayectoria lineal, después en un camino quebrado y por último aventuró que un trayecto curvilíneo braquistócrono era el arco de circunferencia. Fue un error. Aun así, el tiempo le reconocería su labor.

En junio de 1696, Johann Bernoulli “los más grandes agudos matemáretó a la comunidad científica a resol- ticos del mundo entero” la ampliación de la convocatoria. ver el problema de la braCinco soluciones llegaquistócrona antes de la ron. Una era la de llegada del nuevo año. Johann. Las restantes le Por entonces él ya conorodean. El ‘Acta Eroditocía una solución. En rum’ de mayo de 1697 fecha, sólo Gottfried publicó todas las solucioLeibniz entregó una solunes. Una era anónima, en ción correcta. La compelatín y decididamente titividad reinante entre el breve. Johann reconoció Análisis del continente en ella a Newton dicienfrente al británico llevó a do: “por las garras se Johann, bajo inspiración conoce al león”. de Gottfried, a anunciar a JOHANN BERNOULLI (1667-1748)

GOTTFRIED W. LEIBNIZ (1646-1716)

BRAQUISTÓCRONA: es la trayectoria más rápida para caer bajo la gravedad de un punto A a otro B situado a menor altura. Es la cicloide.

GUILLAUME DE L'HÔPITAL (1661-1704)

“Antes de terminar debo alzar mi voz una vez más como símbolo de admiración por la identidad entre la tautócrona de Huygens y mi braquistócrona.[...] La naturaleza tiene tendencia a actuar del modo más simple y así, la misma curva sirve para dos funciones distintas”. Johannes Bernoulli. Acta Eroditorum 1697.

SIR ISAAC NEWTON (1643-1727)

lolitabrain@lolitabrain.com


TIRANDO DEL TREN SURGE UNA GEOMETRÍA

La pasada semana conocimos a la cicloide. Vimos que era una curva muy especial que se dibuja mecánicamente al moverse una rueda. Hoy te traemos otra importantísima curva que también se genera de un modo mecánico. Nació de la imaginación de Huygens en 1692, quien le puso de nombre tractriz o tractrix. Después, Leibniz y los Bernoulli siguieron estudiando sus propiedades en profundidad. A finales del siglo XIX, Beltrami encontró una aplicación insospechada de ella en la seudoesfera.

por Lolita Brain

ASÍ SE GENERA LA TRACTRIZ

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n modo mecánico y sencillo de generar la tractriz es como sigue: si alguien tira de un tren de juguete al que lleva sujeto por una cadena tensa y comienza a caminar por el borde de una acera rectilínea, el trenecito de juguete se desplazará tal y como ves en el diagrama. El juguete dibujará una tractriz.

AULA

DE EL

MUNDO

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1

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sta es la imagen de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, según el movimiento se realice hacia la izquierda o hacia la derecha. La recta en rojo se denomina asíntota de la tractriz, ya que la curva se aproxima a ella pero nunca llega a contactarla. En el caso del tren de juguete, la asíntota sería la acera por la que se desplaza la persona que tira de él. Esta curva se hizo famosa por el problema propuesto por Leibniz: ¿Cuál será la curva que dibuje un reloj de bolsillo sobre una mesa, cuando, manteniendo tensa su cadena, se desplaza el otro de sus extremos por una recta?

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TÚ TAMBIÉN PUEDES HACERLO

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i quieres dibujar mecánicamente una tractriz, sólo necesitas cinta adhesiva, una chincheta con cabeza grande, un bolígrafo, una tira de cartón con dos agujeros, uno en cada uno de sus extremos, y una hoja de papel (imagen 1). Coloca la hoja de papel en la que se dibujará la tractriz sobre una mesa, cuidando de ajustar sus bordes con la hoja. Sujétala a la mesa con cinta adhesiva. Coloca la tira de cartón perpendicularmente sobre el papel.

Pincha la chincheta en uno de sus agujeros e introduce el bolígrafo en el otro (imagen 2). Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitir que se separe del borde de la mesa. Al hacerlo, no presiones con el bolígrafo, déjalo deslizar suavemente según mueves la chincheta (imagen 3). Conforme deslizas la chincheta, ésta arrastrará la tira de papel y el bolígrafo dibujará en la hoja una tractriz (imagen 4).

LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA

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a catenaria y la tractriz están íntimamente ligadas. Se dice que la tractriz es la evoluta de la catenaria: si en cada punto de la tractriz trazas su tangente y una recta perpendicular a ella, la llamada normal, la curva que envuelve esas normales es una catenaria. Al revés, si por cada punto P de la catenaria trazas su tangente y sobre ella llevas la distancia que separa a P del vértice de la catenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la catenaria.

LA SEUDOESFERA DE BELTRAMI

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esde que Lobachevski demostrara que la Geometría Euclídea, en la que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 , no era la única posible, sino que perfectamente podía existir la Geometría Hiperbólica en la que los tres ángulos de un triángulo suman menos de 180 , los matemáticos se pusieron a buscar modelos reales en los que la nueva geometría ‘funcionara’. No fue un camino fácil. El italiano Beltrami encontró, en 1868, que la seudoesfera era un espacio para la geometría hiperbólica. Más tarde, Klein encontró otro EUGENIO BELTRAMI modelo. (1835-1900) o

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i hacemos girar una tractriz alrededor de su asíntota, obtenemos una superficie de revolución que tiene curvatura negativa (se curva hacia adentro) en todos sus puntos. Es la seudoesfera.

AL CORTAR UNA CADENA

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i colgamos una cadena por sus extremos, la forma que adopta es de una catenaria. Cortando la cadena por el punto inferior, su punto medio, el extremo de cada brazo de la misma dibujará precisamente una tractriz. Ello se produce porque la tractriz es la evoluta de la catenaria. La asíntota de la tractriz es por tanto la máxima altura que la cadena no alcanza cuando se corta.

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NO ES PERFECTA PERO ES ÚTIL

Los matemáticos acostumbran a estudiar conceptos que aparentemente son inútiles. Sus estudios se quedan dormidos en bibliotecas durante siglos esperando una oportunidad para despertar. Uno de los casos más famosos y brillantes es el estudio de las curvas planas que aparecen cuando se corta un cono con un plano. Tres siglos antes de nuestra era, APOLONIO DE PÉRGAMO escribió Las Cónicas: una reflexión completa y exacta de todas estas curvas. Objetos poco útiles para su tiempo y los siglos venideros, permanecieron dormidos hasta el siglo XVII, cuando Galileo y Kepler los despertaron.

por Lolita Brain

LA ELIPSE as curvas que llamamos CÓNICAS surgen al cortar un cono con un plano. Según la inclinación y posición del plano, la curva que resulta es diferente. Son tan importantes que tienen nombres propios: las más famosas son la CIRCUNFERENCIA, la PARÁBOLA, la HIPÉRBOLA y la ELIPSE. El diagrama muestra cómo se construye una elipse: se debe cortar el cono con un plano inclinado respecto de la base del cono. El borde que aperece recortado en el cono es nuestra curva.

LA CONSTRUCCIÓN DEL JARDINERO

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no de los procedimientos más fáciles para dibujar una elipse es el llamado del jardinero. Clava dos chinchetas sobre un papel. Ata a cada chincheta cada punta de un hilo de cuerda fina. Con un lápiz tensa el hilo. Mueve el lápiz si dejar de mantener el hilo en tensión. Se dibujará sobre el papel una elipse. Los jardineros las dibujan así con estacas en lugar de chinchetas, para dar forma elíptica a los parterres y jardines.

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PLANO QUE CORTA AL CONO

CONO DE DOS HOJAS

ELIPSE

RAYOS DE LUZ

LAS SOMBRAS Y LA ELIPSE

PROPIEDAD FUNDAMENTAL 8

AULA DE EL

ELIPSE

Veamos la propiedad fundamental de una elipse. Para ello marca dos puntos en un plano separados por ejemplo 4 centímetros. Les llamaremos los FOCOS de la elipse. Escoje ahora un número mayor que 4, pongamos 10. La figura que resulta de coleccionar todos los puntos cuyas distancias a los focos es 10 es una elipse.

MUNDO

SÓLO CON PAPEL Y DOBLECES Un método muy curioso para dibujar una elipse utiliza sólo dobleces en un papel. Para ello, recorta un disco de papel del tamaño que quieras. Marca en él cualquier punto que no sea su centro. Ahora sólo tienes que doblar el disco de papel de forma que su borde toque el punto que has señalado. Marca bien cada doblez, y repite esta operación muchas veces. Los dobleces dibujan una elipse en el disco.

a sombra que arroja una esfera iluminada es una elipse, obtenida a partir del cono de luz que la envuelve y que tiene su vértice en el punto de luz. La esfera contacta con la sombra en uno de los focos. El otro foco sería el punto de contacto con una esfera colocada bajo el plano y envuelta por los rayos luminosos.

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EL BILLAR ELÍPTICO P P

LA ELIPSE, LA ASTRONOMÍA Y LA FÍSICA ASTA EL SIGLO XVII, las cónicas eran conocidas y apreciadas a través de la obra de APOLONIO DE PÉRGAMO. Pero no fue hasta el siglo XVII cuando GALILEO GALILEI (1564-1642) probó que los proyectiles se mueven según trayectorias parabólicas. JOHANNES KEPLER (15711630) por su parte explicó con elipses el movimiento de los planetas alrededor del Sol, zanjando un debate de siglos. Su PRIMERA LEY publicada en su ASTRONOMIA NOVA, afirma que los planetas se mueven alrededor del Sol según trayectorias elipticas, en las que el Sol está en un foco. Pero nunca pudo explicar por qué. éso sería labor de Isaac Newton.

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Vamos a jugar al billar en una mesa muy especial con forma de elipse, lo que nos proporcionará sorpresas inimaginables. Nuestra mesa además es tan especial que no tiene rozamiento, con lo que la bola no dejará de moverse. Las propiedades especiales de esta mesa de billar, proceden de las propiedades de los focos de la elipse. Si la bola se coloca en un foco y se dispara, rebotará y pasará por el otro foco. Estará eternamente rebotando de un foco al otro. A los pocos rebotes, sin embargo, la trayectoria se confunde con el eje longitudinal.

Si la bola no se coloca en un foco, y se dispara de modo que no pase entre los focos, la bola rebotará eternamente dibujando un polígono tangente a otra elipse más pequeña pero con los mismos focos.

Si la bola no se coloca en un foco, y se dispara de modo que pase entre los focos, la bola rebotará eternamente acercándose a ellos pero sin rebasar una hipérbola con los mismos focos

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ESFERAS TRIANGULARES

La esfera es, sin duda alguna, un paradigma del simbolismo de la perfección. Posee propiedades únicas y asombrosas. Una de ellas es la de ser una SUPERFICIE MINIMAL. Quiere esto decir que la superficie que la limita es la menor posible de cuantas formas imaginemos para contener un volumen fijado. Piensa en los edificios: su envoltura es muy costosa. Está formada por las paredes exteriores, los acristalamientos, las bóvedas etc. Por otra parte, lo más valioso de un edificio es su tamaño, su volumen. En este sentido, la esfera sería la forma ideal para un edificio: su revestimiento sería el de menor superficie para un edificio de tamaño y volumen equivalente.

por Lolita Brain

La estructura de una esfera geodésica se obtiene a partir del ICOSAEDRO. Como sabes es un poliedro de veinte caras triangulares. Es el poliedro regular más parecido a una esfera. En cada vértice del icosaedro coinciden cinco triángulos. Si realizamos un corte adecuado en cada vértice, podemos obtener un pentágono regu lar. Además, por cada cara triangular del icosaedro aparece un nuevo hexágono. El nuevo poliedro resultante tiene doce pentágonos y veinte hexágonos. Se llama ICOSAEDRO TRUNCADO y es un poliedro semirregular o arquimediano. Reconocerás en este poliedro a un balón de fútbol. Ya tenemos la esencia de la esfera geodésica.

A

unque el primer domo geodésico se construyó en 1922 para el edificio Zeiss de Alemania, el siempre sorprendente arquitecto y filósofo estadounidense BUCKMISNTER FULLER asombró al mundo en la Exposición Internacional de 1967, celebrada en Montreal, la Expo 67, con su diseño para el pabellón de los Estados Unidos. Era una esfera geodésica de dimensiones colosales: 76 metros de diámetro. Pero Fuller ya había trabajado en los años cuarenta como parte de lo que él llamaba geometría energética-sinergética. Una combinación particular de elementos estructurales que aúnan de un modo especial sus esfuerzos para obtener un conjunto mejor que su suma.

Buckmisnter Fuller (1746- 1818)

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AULA E

DE EL

MUNDO

l carácter místico de la esfera siempre ha sido un acicate para los arquitectos: las cúpulas son la solución habitual en la Historia de la Arquitectura. Rematar una crucería o una torre con una cúpula semiesférica ha sido desde la Roma Imperial una constante formal. Y un serio problema para los arquitectos e ingenieros. Por ello, ha sido un reto encontrar una estructura arquitectónica factible que permitiera crear edificios con forma esférica. Esa estructura son las llamadas esferas, o domos, geodésicas. Es una estructura poliédrica -no esférica- que tiene propiedades

muy especiales: su estructura permite que todos los nodos -los vértices- soporten la misma carga, y por tanto el peso de la estructura se distribuye igualitariamente por toda ella, aumentando su resistencia y su equilibrio. Además presenta propiedades de economía de recursos para su revestimiento. Y por si fuera poco es factible realizar modelos desmontables, lo que las convierte es estructuras ideales para edificios temporales como los de las Expos. Además, como viviendas minimizan las pérdidas de calor y son muy resistentes a las inclemencias atmosféricas.

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os balones de fútbol han de ser estructuras esféricas y resistentes a las patadas. Como ya sabrás, la estructura general de ellos se forma a partir de un icosaedro truncado, formado por hexágonos y pentágonos. A partir de este poliedro, se realiza una división de cada hexágono en seis triángulos iguales, y de cada pentágono en cinco triángulos. A esto se le llama TRIANGULAR una superficie. Con cada uno de los triángulos obtenidos se realiza la misma operación, subdiviendo cada uno en otros cuatro triángulos. Así, cada hexágono se divide en 24 triángulos y cada pentágono en 20. Esta estructura resultante es la esfera geodésica por Triangulación excelencia, ya que de los hexágonos hay otros tipos. de un balón

UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO

QUE HAGA BISAGRA CON OTROS DOS PUEDE PLEGARSE EN UNA TIENDA DE CAMPAÑA DE TRES LADOS CUYA BASE ES UN CUARTO TRIÁNGULO LA APARICIÓN INADVERTIDA DE ESTE CUARTO TRIÁNGULO ES UNA DEMOSTRACIÓN DE SINERGIA , ES DECIR ,

EL

COMPORTAMIENTO

GLOBAL DE UN SISTEMA NO PREDECIBLE POR SUS PARTES

ES DECIR

1+2 =4

DE LA “I NTRODUCCIÓN A LA GEOME TRÍA

ENERGÉTICO -SINÉRGICA ”.

BUCKMISNTER FULLER

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Los átomos de carbono pueden agruparse p r e s e n t a n d o d i v e r sas estructuras espaciales. Si forma el diamante crea estructuras tetraédricas, si es en grafito lo hace hexagonalmente en láminas. En 1985, los científicos Curl, Kroto y Smalley encon traron un agregado del carbono formado por 60 átomos, el C60, que tejía una estructura casi esférica de 70nm de diámetro (1nm=10 -9 m). Analizado en detalle resultó que los átomos del carbono ocu -

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paban los vértices de un ¡icosaedro truncado! Al encontrar también agregados de 70 átomos de carbono con forma elip s oi dal , s e hi ci er on es t u dios para determinar si estructuras con más de 60 vértices proporcionaban soluciones mejores de aproxi mación a lo esférico. No fue así. El sesenta es especialmente rentable . Al C 60 le pusie ron de nombre BUCK MINSTERFULLERENO, en honor a Buckmisnter Fuller. Con el tiempo, la molécula se denomina FULLERENOS. lolitabrain@hotmail.com


26 . 11 . 99

EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

Una antena parabólica, el faro de un coche o la chimenea de una central nuclear. Todos estos objetos tienen formas muy características. Y no son fruto del capricho de los ingenieros. Muy al contrario, están perfectamente estudiados para que su funcionamiento sea

AULA 7

el más eficiente. Estas superficies se denominan cuádricas y los científicos las conocen a la perfección. Poseen unas propiedades especiales que las convierten en candidatas perfectas para dar forma a objetos comunes. Comprobarás que estás rodeado de parabólides...

por Lolita Brain

EL ESQUELETO DE LAS COSAS

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upón que tienes un espejo con la forma de la superficie de la ilustración: todos los rayos que entran en la dirección del eje representado al reflejarse se concentran en un mismo punto que llamamos foco. Esto hace que los ingenieros hayan diseñado múltiples objetos con esta forma. Se llama paraboloide de revolución (un miembro de la familia de los paraboloides elípticos) porque se construye girando una parábola, la curva que describe el balón de fútbol cuando saca el portero.2 Los mate2 máticos lo representan con la ecuación: z = x + y (en su forma fácil). Gracias a ello, un ordenador puede dibujarla o se puede calcular cuánto pesará un radar o dónde se debe colocar la bombilla del faro de un coche.

LOS FAROS de los vehículos, tienen forma de parabólide, de modo que los rayos de luz emitidos por la bombilla se reflejan y se emiten concentrados, aumentando su intensidad luminosa. La bombilla se coloca en el foco.

LOS TELESCOPIOS reflectantes , como el inventado por Newton, tienen un espejo cóncavo cuya superficie es un paraboloide de revolución. Todos los rayos que partan de un cuerpo celeste y lleguen paralelos a su eje se concentran en un solo punto permitiendo ser observados con mayor precisión.

El nombre de antena parabólica proviene de la curva de la que se obtiene su forma: la parábola.

LOS PROGRAMAS DE ORDENADOR de animación en 3D modelan objetos utilizando las ecuaciones de estas superficies para generar imágenes de síntesis. Los programas de dibujo vectorial también. En la foto ves un paraboloide hiperbólico o silla de montar. Su ecuación es z = x2 - y 2. LOS RADARES y las antenas parabólicas están diseñados con la misma forma porque su fin es esencialmente el mismo: recoger las señales electromagnéticas. De ahí su forma de parabólide de revolución. Las ondas que reciben se reflejan en la superficie de la antena y se concentran en un mismo punto, que es el foco del parabólide. En ese preciso punto se coloca un sensor con el que se puede recoger la radiación recibida con mayor intensidad al haberse concentrado toda en un solo punto.

EN LA RED http://www.dailan.com/verenet/lolitabrain lolita brain@hotmail.com http://www.vitalsoft.org.mx/Prometeo/ejemplos/mja3D.html http://www.frontiernet.net/~~imagingquads.html/


LA MÁGICA CINTA DE MÖBIUS

Las construcciones más simples contienen a veces las singularidades más sorprendentes. Una de las superficies más sencillas que se puede fabricar es la llamada Cinta de Möbius. Pero en su simplicidad se halla su magia. Contra lo que nuestra intución diría, es una superficie que sólo tiene una cara y en la que no es posible la orientación: la derecha se convierte en izquierda y viceversa. Es una de las estructuras más delirantes de la Topología, la Geometría sin medidas, en la que un cuadrado es idéntico a un círculo y una rosquilla no se distingue de una taza.

por Lolita Brain

LOS INVENTORES DE LA CINTA

ASÍ SE CONSTRUYE UNA CINTA DE MÖBIUS

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AUGUST FERDINAND MÖBIUS 1790-1868

a conocida como Cinta de Möbius debe su nombre a su inventor, el matemático y astrónomo August Möbius, que fue alumno de Gauss, y que en 1858 la construyó y estudió. Sin embargo, este objeto matemático fue analizado años antes por el también matemático alemán Johann Listing. De hecho, éste JOHANN BENEDICT LISTING publicó sus resultados antes 1808 -1882 que lo hiciera Möbius. Paradojas de la historia.

Recorta una tira de papel alargada. Marcaremos sus vértices como A, B, A’, y B’. Si doblamos la tira de modo que coincidan los vértices A con A’ y B con B’, y los pegamos, obtendremos una cinta cilíndrica normal.

LA CINTA DE MÖBIUS TIENE UNA ÚNICA CARA

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a Cinta de Möbius tiene una sola cara. Aunque aparentemente tenga dos, es fácil comprobar que no es así: toma un lápiz, comienza a trazar una línea siguiendo la cinta y comprobarás que encuentra el punto de partida sin necesidad de cruzar su borde. El grabado de Escher que reproducimos manifiesta esta propiedad: una hormiga que comenzara a andar por la cinta la recorrería completamente volviendo al punto de partida.

Pero si antes de unir los vértices hacemos una torsión a la tira de modo que A se una con B’ y A’ con B, obtendremos una Cinta de Möbius.

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LA CINTA DE MÖBIUS NO ES ORIENTABLE

AULA

DE EL

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na de las propiedades más interesantes de la cinta de Möbius es que no es orientable. Esto significa que no se pueden definir conceptos como derecha o izquierda, arriba o abajo. Y no se puede hacer porque al mover un objeto sobre su superficie, lo que era diestro se convierte en zurdo.

MUNDO

Möbius Strip I, 1961. Xilografía de M.C. ESCHER

Möbius Strip II, 1963. Xilografía de M.C. ESCHER

¿QUÉ PASA CUANDO SE CORTA UNA CINTA DE MÖBIUS?

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uando se corta una cinta de Möbius por su centro a todo su largo, se obtienen resultados fantásticos y muy distintos de lo que sucede cuando se corta una tira cilíndrica normal. Si cortas longitudinalmente un anillo con tijera, obtendrás dos anillos de menor ancho. No es así con la cinta.

Puedes comprobar lo que decimos si construyes una cinta de Möbius con plástico transparente o papel cebolla. Dibuja una manopla, por ejemplo diestra, y repite su figura trasladándola a lo largo de la cinta. Cuando retorne al punto de partida, la manopla habrá cambiado y será zurda. ¡Pero esto no es problema! Un habitante que viviera en la cinta (claro está, sería un ser plano) también cambiaría su estructura, y su mano diestra se convertiría en zurda junto con la manopla.

MÁS MAGIA CON LAS TIJERAS

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i pintas una banda central en una cinta de Möbius (en rojo en la figura) y la cortas por su borde, obtendrás una nueva cinta de Möbius roja anudada a otra blanca que tiene dos torsiones.

Al cortar la cinta por su centro (la línea de puntos rojos) se obtiene una única tira con dos torsiones y no dos anillos como cabría esperar.

NUEVA MÖBIUS TORSIÓN 1

TORSIÓN 2

CINTA

CINTA CON DOS TORSIONES CORTA POR EL BORDE DE LA BANDA ROJA

www.lolitabrain.com

DE


EL ARTISTA DE LA MATEMÁTICA

Maurits Cornelis Escher es sin duda alguna el dibujante que más ha hecho por la creación de mundos artísticos fundamentados en ideas de la austera Matemática. Sin conocimientos específicos de Matemática, este holandés nacido en 1898 puso en combinación la razón geométrica con la libertad artística para crear mundos imposibles. Dibujante extraordinario, su obra es mayoritariamente gráfica, especialmente el grabado sobre madera, la xilografía y litografía. Si vas a La Haya, en su Central de Correos verás una de sus mejores y mayores creaciones: Metamorfosis.

por Lolita Brain “EN MATEMÁTICAS NO OBTUVE NUNCA NI SIQUIERA UN SUFICIENTE. LO CURIOSO ES QUE, POR LO QUE PARECE, ME VENGO OCUPANDO DE MATEMÁTICAS SIN DARME BIEN CUENTA DE ELLO. NO, EN LA ESCUELA FUI UN CHICO SIMPÁTICO Y TONTO. ¡QUIÉN SE IBA A IMAGINAR QUE LOS MATEMÁTICOS IBAN A ILUSTRAR SUS LIBROS CON MIS DIBUJOS, QUE ME CODEARÍA CON HOMBRES TAN ERUDITOS COMO SI FUERAN MIS COLEGAS Y HERMANOS! ¡Y ELLOS NO PUEDEN CREER QUE YO NO ENTIENDA NI UNA PALABRA DE LO QUE DICEN!” M.C. ESCHER

UN HUMILDE CREADOR ersona de gran modestia, Escher decía de sí mismo que “no era un buen dibujante” refiriéndose al hecho de que siempre necesitaba modelos para dibujar, manifestando su escasa disposición imaginativa. Su obra se compone de paisajes y algunas acuarelas anteriores a 1937. Posteriormente trabajó sobre todo el ‘MANO CON ESFERA grabado, dejando más de 70 REFLEJANTE’, 1935 piezas inspiradas en temas matemáticos. Estuvo preocupado por tres temas fundamentales: la estructura del espacio, la del plano y la representación plana de los objetos tridimensionales. Falleció en 1972 en el norte de Holanda.

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LA PARTICIÓN DEL PLANO n sus visitas a La Alhambra (1926 y 1936), quedó impresionado por la riqueza de los mosaicos nazaríes, es decir, por la diversidad de las particiones periódicas del plano. Realizó bocetos de todos los mosaicos que encontró allí y que son todos los posibles, transformándolos en animales y seres extraños con los que formar el plano. Generó con este método composiciones en las que el fondo y el primer plano se intercambian sin solución de continuidad. Estos temas los utilizó en metamorfosis, ciclos, series infinitas y decoraciones para múltiples cajas que diseñó.

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‘MANOS DIBUJANDO’, 1948

‘GALERÍA DE GRABADOS’, 1956

CREADOR DE CONTROVERSIAS En Manos dibujando, Escher se adentra en el terreno de la lógica. Su dibujo es la imagen de las sentencias autorreferentes como la que dice “Todo lo que yo digo es falso”. ¿Cuál de las dos manos se empezó a dibujar primero? En Galería de grabados representa una galería en la que un cuadro retrata a la misma galería en la que está colgado y así infinitamente; es una imagen autorreferenciada.

EL USO DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS u pasión por los objetos matemáticos le llevó a utilizar profusamente los poliedros, por los que sentía una debilidad manifiesta. Pero también se interesó por nuevos modelos matemáticos, entre los que destaca su admiración por la famosa Cinta de Möbius y por los nudos, ambos muy de moda en el universo matemático de comienzos del siglo XX.

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2 ‘EL SOL Y LA LUNA’, 1948

‘ESTUDIO SISTEMÁTICO’, 1936

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1.- ‘GRAVITACIÓN’, 1952 2.- ‘CINTA DE MÖBIUS’, 1961 3.- ‘NUDOS’, 1965

METAMORFOSIS

RETRATO DEL INFINITO

as metamorfosis juegan un importante papel en su obra creada entre 1937 y 1945. En ellas transforma de modo continuo figuras planas en objetos tridimensionales, objetos matemáticos en animales y pájaros, etcétera; y todo ello de modo cíclico: se acaba donde se comienza. Sus famosos lagartos los utilizó en el ciclo Reptiles, en el que el mundo plano cobra vida al transformarse en el tridimensional de un modo continuo.

mpresionado por un dibujo que reproducía el modelo de geometría hiperbólica de Poincaré, encontró la inspiración para desarrollar imágenes con el infinito como tema. En Límite Circular III (1959), las líneas maestras no son sino las rectas del modelo geométrico que inventó Poincaré. Escher llenó de vida ese modelo inanimado.

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‘METAMORFOSIS II’,1939-40

‘REPTILES’, 1943

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


La concavidad y la convexidad son dos términos que habitualmente utilizamos. Pero son conceptos relativos. Escher, del que hablamos la pasada semana, lo sabía y lo utilizó oportunamente en la litografía que vamos a examinar. Estos términos están bien definidos en matemáticas, aunque en algunas ocasiones también generan ambigüedad. Pero no hace falta acudir al formalismo matemático para apreciar el problema que plantean a nuestra percepción. Con sólo cambiar la posición de un objeto, o sus sombras o remarcar unas líneas en lugar de otras, lo que nos parece cóncavo pasa a ser convexo y viceversa.

LA MAGIA DE LA MIRADA

por Lolita Brain

CÓNCAVO Y CONVEXO

DEPENDE DE CÓMO LO MIRES

ste grabado de M.C. Escher es una de sus creaciones en las que el autor busca crear en el espectador un auténtico shock. El grabado representa un escenario aparentemente sencillo, casi simétrico respecto de la vertical central. Sin embargo un mínimo examen nos envolverá en la confusión. Si lo observamos detenidamente veremos que abajo se transforma en arriba y fuera pasa a ser dentro. Es un espacio imposible.

stas dos imágenes son exactamente la misma. Corresponden a la superficie lunar, y la única diferencia que hay entre ellas es que están giradas o 180 una respecto de la otra. Sin duda, en la de la izquierda verás dos montículos concavos que salen de la superficie, mientras que en la de la derecha observas con nitidez dos cráteres que se meten hacia el interior.

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CONVEXO Y CÓNCAVO, litografía 1955

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¿QUÉ ESCONDE EL GRABADO? ara entender el grabado de Escher tenemos que recorrer su escenario de izquierda a derecha. Así comprobamos que la señora que lleva la cesta puede bajar las escaleras hasta llegar al rellano, pero si continúa subiendo por los siguientes peldaños ¡se caerá al vacío! porque la escalera es una

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bóveda. Del mismo modo el trompetista de la izquierda podría saltar por la ventana y estaría sobre una bóveda, pero el que toca la trompeta a la derecha, si saltase por la ventana, caería también al vacío. Para estudiarlo mejor hemos partido en tres zonas el grabado.

EL TROMPETISTA SALTARÍA SOBRE LA BÓVEDA

EL TROMPETISTA SALTARÍA AL VACÍO

EL HOMBRE SE SIENTA SOBRE LA

PERO LA

SUPERFICIE

CERÁMICA CUELGA DEL MISMO PLANO

LA BÓVEDA SE LA BÓVEDA SE

VE DESDE SU INTERIOR

VE DESDE SU EXTERIOR

l sector izquierdo presenta un punto de vista superior. La bóveda del templete se observa desde el tejado, la señora baja por un puente sobre un lago y un señor dormita apoyado sobre una pared. Las columnas no van hacia fuera sino que están horadadas en la fachada. El dibujo no presenta problemas.

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LA VENTANA

LA VENTANA SE

SE APRECIA

APRECIA DESDE

DESDE ARRIBA

ABAJO

LA CONCHA

LA CONCHA

SE PUEDE

TAMBIÉN SE

VER COMO

PUEDE VER COMO UN

UNA FUENTE

PLAFÓN

CONVEXA

CÓNCAVO QUE

VACÍA

CUELGA DEL TECHO

a zona central es la que más perturba nuestra percepción. Conviven simultáneamente una parte convexa (imagen de la izquierda) con una cóncava (a la derecha) que se mezclan en el centro del grabado.

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el mismo modo, el lado derecho es normal, aunque está visto desde abajo. Vemos el suelo al que sube el señor de la escalera desde abajo, se aprecia la columna y la bóveda desde su parte inferior y la bandera aparece colgada razonablemente bajo la arcada. Observa que las columnas salen hacia fuera.

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Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


DIBUJAR PARA ENGAÑAR

Tenemos la idea de que entre realidad y representación existe una correspondencia biunívoca: todo lo que dibujamos corresponde a un objeto en la realidad. Nada más alejado de la verdad. Si algo existe podemos representarlo, pero hay múltiples ejemplos de representaciones que no tienen correlato en la realidad. Dibujos, grabados y hasta fotografías nos pueden presentar objetos que son sencillamente imposibles de crear físicamente. M.C. Escher fue un estudioso de estas anomalías de la representación. Con el estudio de algunos de sus modelos terminamos esta serie de láminas dedicadas a su obra.

por Lolita Brain

UN PALACIO DESCONCERTANTE

LA ESTRUCTURA ES LO QUE ENGAÑA

l grabado Belvedere es uno de los espacios más inquietantes de los creados por Escher. Se trata de un hermoso palacete de dos plantas con columnas, rodeado por un hermoso paisaje campestre. Una mirada minuciosa al mismo nos hará caer en la cuenta de lo extraño que es, hasta preguntarnos ¿existe realmente tal palacete? Si observamos la escalera por la que sube el duende, nos damos cuenta de que su parte superior está apoyada en la fachada de la planta superior, mientras que la escalera se sujeta en el interior de la estancia de la primera planta. Es decir, la escalera atraviesa de dentro a fuera el edificio. Si ahora observamos las columnas, apreciamos que sólo las de los extremos izquierdo y derecho son normales. Las restantes unen la barandilla exterior con los arcos posteriores y viceversa, atravesando por tanto el palacio.

na mirada a la estructura del palacete de Belvedere nos explica por qué la figura es imposible. El edificio está compuesto por dos prismas rectos, uno para cada una de las plantas. Estos poliedros se cruzan formando un ángulo de 90 grados. Uno de los prismas está orientado según la mirada del rico comerciante a la derecha de la planta inferior, mientras que el prisma superior se orienta según la mirada de la señora que se asoma en la planta de arriba.

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LA ESCALERA SE APOYA EN LA FACHADA.

ESTAS COLUMNAS SON CORRECTAS.

ESTA COLUMNA TIENE EL CAPITEL EN LA PARTE ALEJADA AL ESPECTADOR... ...PERO EL PLINTO ESTÁ EN LA BARANDILLA ANTERIOR.

LA ESCALERA SE APOYA DENTRO DEL PALACETE.

‘BELVEDERE’, litografía 1958

ESCHER NOS EXPLICA EL ENGAÑO na costumbre de Escher es proporcionar al espectador información del problema de sus construcciones. En este caso, al pie del Belvedere, un joven sostiene un objeto imposible en sus manos: una jaula imposible. Por tanto, ¿es real este personaje y su juego? Ciertamente no, porque tal jaula no puede construirse. Al pie del joven, un papel con un dibujo nos indica cómo puede dibujarse tal estructura aunque no exista.

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A la derecha tienes una fotografía de la jaula imposible realizada por el Dr. Cochran. Te preguntarás entonces: si existe la foto ¿cómo es que no existe el objeto? El cubo imposible no es tal cubo. El fotógrafo, como Escher, capta al objeto desde una perspectiva determinada para que parezca real, pero está construido con partes disjuntas.

Si quieres saber cómo es realmente el Belvedere entra en la página siguiente de la web oficial de Escher, http://www.mcescher.com/Downloads/downloads.htm en la que una animación te desvelará lo que no podemos explicarte con una imagen estática: cómo está construido el palacete.

DOS MUNDOS REALES PARA CREAR UNA ILUSIÓN

MÁS CREACIONES IMPOSIBLES

omo en el grabado que discutimos la pasada lámina, Cóncavo y convexo, el Belvedere tiene dos partes cuya realidad es indiscutible: las plantas superior e inferior del templete son completamente normales. Si cortamos el grabado y prolongamos las columnas o trazamos unos arcos, comprobamos que está perfectamente construido. Es la unión de las dos plantas la que hace que el templo deje de existir. Aunque podamos dibujarlo no podríamos construirlo.

n la obra Cascada, Escher trabaja el mismo concepto que en Belvedere. Utiliza en este caso otro objeto imposible, el Tribar de Penrose como estructura de una cascada con movimiento imposible. Tal cascada tampoco se puede construir. Es sólo que el punto de vista nos hace creer que es real.

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‘TRIBAR DE PENROSE’

‘CASCADA’, litografía 1961

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


CRISTALES

CRISTALOGRAFIA F Ca 0

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Describe la geometría y estructura interna que toman los cuerpos al cristalizar. Los minerales poseen una composición química definida y una estructura cristalina determinada que se repite indefinidamente. Si su aspecto presenta formas de poliedros geométricos más o menos regulares, entonces constituye un cristal. En las masas minerales que no son cristales no se distinguen exteriormente los elementos de simetría.

PLANOS DE SIMETRIA Este elemento geométrico divide a la celda fundamental de un mineral, unidad cuya repetición da la materia cristalina, en dos partes simétricas (como la sal gema en la figura central de abajo)

CRISTAL CUBICO DE LA SAL DE GEMA Este mineral se cristaliza en cubos de color blanco o transparente. Refleja los elementos de simetría que regulan la disposición interna. Se pueden observar las caras, las aristas y los vértices del poliedro

SIMETRIA CRISTALINA Las partículas que forman la materia cristalina adoptan una ordenación sistemática. De esta manera aparecen elementos geométricos, como son ejes (figura de la izquierda), planos (figura central) y centro de simetría Singonía

ESPECTRO DE LA LUZ BLANCA Cuando un haz incide sobre una cara de un prisma triangular se obtienen siete franjas de distintos colores: rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, añil y violeta. Estos componen el denominado espectro de la luz visible. Este fenómeno se conoce como dispersión de la luz. Si se reúnen con un segundo prisma se obtiene de nuevo luz blanca

LENTES

Constantes Poliedro cristalográficas fundamental

Sistema

Característica simétrica

Regular

α=β=γ=90° a=b=c

Regular

3 ejes cuaternarios 4 ejes ternarios

Tetragonal

α=β=γ=90° a=b≠c

Tetragonal

1 eje cuaternario

Hexagonal

α=β=90°, γ=120° a=b≠c

Hexagonal

1 eje senario

Romboédrica

α=β=γ≠90° a=b=c

Romboédrico

1 eje ternario

Rómbica

α=γ=90°≠β a≠b≠c α=γ=90°≠β a≠b≠c

Digonal

1 eje binario

Monoclínica Triclínica

[α≠β≠γ]≠90° a≠b≠c

Triclínico

No tiene eje

Son piezas de vidrio o de plástico transparente con una superficie curva que cambian la dirección de la luz (la refractan)

SISTEMA REGULAR C

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Llamado también cúbico, se compone de cinco clases cristalinas en función de sus simetrías: holoédrica, hemiédrica, dividida en enantiomórfica, hemimórfica y paramórfica y, por último, la tetartoédrica

LENTE CONVERGENTE Concentra los rayos de luz que la atraviesa en un punto llamado foco. Se utiliza para hacer lupas, microscopios, máquinas de fotografiar y gafas para las personas hipermétropes

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Cubo Octaedro Rombodocaedro Tetrahexaedro Trapezoedro Trioctaedro Hexaoctaedro Icositetraedro pentagonal

9101112131415-

Tetraedro Tritetraedro Dodecaedro trap. Heatetraedro Dodecaedro pent. Diploedro Dodecaedro pentagonal tetartoédrico

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POLARIZACION ROTATORIA C

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LENTE DIVERGENTE Dispersa los rayos paralelos de un haz de luz que pasa a través de ella. Las gafas de las personas miopes llevan este tipo de lente. La cóncava, más gruesa en los bordes que en el centro, se comporta como divergente

Ciertos cristales, como el cuarzo, poseen esta propiedad. Consiste en que hacen girar el plano de vibración de la luz cuando un rayo polarizado los atraviesa en la dirección del eje óptico. El ángulo girado depende del espesor del cristal y permanece constante para una misma especie mineral cuando los grosores son iguales. En los demás cristales no sufre variación alguna y continúa vibrando según el mismo plano. El microscopio petrográfico o de polarización estudia las propiedades ópticas de los cristales. Consta de todas las partes de un modelo ordinario, y además, de un sistema de polarización que transforma la luz natural en polarizada y de otro que analiza la que sale de la lámina cristalina. Textos: Manuel Irusta Infografía: F.A. Anguís / EL MUNDO


JEROGLÍFICOS DESCIFRADOS

Las principales fuentes de las matemáticas egipcias de que disponemos son el Papiro Rhind y el Papiro de Moscú, escritos entre los años 2060 y 1580 a.C. en alfabeto hierático, una versión cursiva del más antiguo sistema de escritura egipcio: el jeroglífico, utilizado sobre todo en monumentos y tumbas. En otra época, los jeroglíficos fueron un misterio para lingüistas y arqueólogos. Aún hoy perdura ese significado en la palabra. Un joven políglota francés enamorado de Egipto los descifraría en 1822, años antes de pisar tierra egipcia.

por Lolita Brain

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ara JEAN-FRANÇOIS CHAMPOLLION (1790-1832) descifrar los enigmáticos jeroglíficos fue una promesa de juventud, un empeño vital. Quedó fascinado desde los siete años por el antiguo Imperio Egipcio, cuando su hermano no pudo participar en la campaña de Egipto de Napoleón. Más tarde, a la edad de 11 años tuvo el privilegio de conocer al eminente matemático y científico francés Fourier y éste le enseñó su colección de antigüedades egipcias. Al ver por primera vez papiros y estelas labradas en piedra y escritas en jeroglífico, Jean-François preguntó a Fourier: – ¿Se sabe leer esto? A lo que Fourier respondió negativamente. – ¡Yo lo leeré algún día! -gritó muy seriamente Champollion.Y ésa fue la promesa a la que dedicó toda su vida. Con éxito. Pero no hay que olvidar que Champollion había aprendido a leer él solo, a la edad de cinco años, y con 11 era aficionado al griego y al latín, y comenzaba a estudiar hebreo. Con 13 estudió árabe, sirio, caldeo y copto, con el único propósito de acercarse al objetivo que persigue. Más aún, continuó con el chino antiguo buscando similitudes con los textos egipcios más antiguos y se introdujo en los dialectos más recónditos en busca de pistas. A los 17 años era un experto en egiptología y con dieciocho se encontró con lo que sería la perla de su vida: la Piedra Rosetta

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DE EL

MUNDO

En un óvalo -cartouche- de la Piedra Rosetta aparece una inscripción que Champollion atribuye al significado Ptolomeo. Era usual que los reyes aparecieran en cartouches. En el obelisco File hallado por Belzoni y que fue llevado a Inglaterra en 1815, contiene texto en griego también junto a jeroglíficos. En él aparecen dos cartouches, uno refiriéndose a Ptolomeo y otro a Cleopatra.

hampollion descifró los jeroglíficos a partir de la famosa Piedra Rosetta aparecida fortuitamente en 1799 en las obras de una fortificación a siete kilómetros de Rosetta, a orillas del Nilo. Es una losa basáltica muy pulida, del tamaño de un tablero de mesa pequeño, que contiene tres series de inscripciones en una de sus caras. En ellas aparecen 14 líneas en jeroglífico, 22 en demótico –una lengua egipcia de uso común– y 54 líneas en ¡griego! El griego se podía leer y tra-

ducir y por tanto era posible un camino para descifrar los jeroglíficos. El texto es una dedicatoria de los sacerdotes de Menfis a Ptolomeo V en 196 a.C. en tono de alabanza. Pero los esfuerzos por descifrar el texto jeroglífico fracasaron. Todos se empeñaban en explicar cada símbolo como una idea siguiendo al griego HORAPOLO (s. IV a.C.) y sus interpretaciones. Todo era en vano. Champollion imaginó que los dibujos representaban sonidos traducibles a letras y que por tanto se podían asignar. Y descifró los jeroglíficos.

Una vez numerados los dibujos presentes en ambos cartouches, el primer símbolo de Ptolemaios y el quinto de Kleopatra coinciden. Supongamos que es la P. Lo mismo sucede con el cuarto y el segundo que podemos sustituir por L.

Si es cierto que representan las letras de los nombres griegos, el tercer símbolo de Ptolemaios coincide con el cuarto de Kleopatra y debe ser una vocal similar a la O.

Notas de Champollion de sus estudios del cartouche de Kleopatra del obelisco hallado cerca de File.

La genialidad de Champollion fue establecer una comparación sencilla entre los jeroglíficos y las letras griegas, separándose así de la tradición.

Como entre la P y la O hay una T, que aparece también en el jeroglifico de Kleopatra, podemos suponer que representa una T. Eso significa que en Kleopatra aparece una T al final que no tiene correspondencia. Sin embargo Champollion había observado que la mano era un símbolo usado a veces para escribir Kleopatra. Podemos asumir que el símbolo anterior a la mano en Kleopatra es una vocal similar a A y que el primer símbolo es K.

La pluma debe ser una vocal similar a la E y cuando aparece repetida en Ptolemaios debe leerse como una I. Y el símbolo anterior, el quinto, la M. Sólo faltaría una O precediendo la S final de Ptolemaios. Champollion dedujo que los egipcios no tenian sonido para esa O final. Al final tradujo por Ptolomis.

Una arqueóloga contemporánea de Champollion había observado que el símbolo undécimo de Kleopatra aparecía siempre al final de los nombres de los dioses. Así lo entendió Champollion que tradujo la inscripción como “Kleopatra divina”, dando al símbolo octavo la representación de la R.

Su ‘GRAMMAIRE EGYPTIENNE’ apareció en 1836 publicada póstumamente. www.lolitabrain.com


Que las matemáticas son un galimatías para muchísima gente no es ninguna novedad. Entre las muchas razones que podríamos aducir en ese sentido, se encuentra el formulismo de sus expresiones: si no conocemos la simbología en la que están escritas las matemáticas es muy difícil que podamos entenderlas. Pero lejos de ser una manía de los matemáticos o de responder a un interés por ocultar sus conocimientos, la simbología o nomenclatura con la que se expresan ha evolucionado a lo largo del tiempo, buscando siempre claridad y universalidad. En algunas ocasiones, una determinada simbología ha ayudado al avance de sus conocimientos.

UN UNIVERSO DE SÍMBOLOS

por Lolita Brain

SÍMBOLOS PARA ENTENDERNOS

LA SUMA

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NICOLÁS DE ORESME (1323-1382) fue probablemente el primero en usar la cruz (+) para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. Anteriormente + se escribía et, en latín y. Después también se usó p (plus).

el mismo modo que el lenguaje está escrito con letras, las matemáticas se escriben con símbolos. Éstos no las convierten en crípticas; muy al contrario, el uso de una simbología matemática común para todos los científicos ha aportado a la Ciencia la universalidad que ésta necesita para crecer. La adopción de 10 dígitos para los números fue una de las primeras simbologías acertadamente escogidas. Disponer de símbolos comunes para representar las operaciones entre ellos fue fundamental para que todos los matemáticos se entendieran.

LA MULTIPLICACIÓN El punto (·) para simbolizar el producto fue introducido por GOTTFRIED W. LEIBNIZ (16461716). El 29 de julio de 1698 escribió una carta a su amigo Johann Bernoulli en la que le explicaba:

PRIMER TEXTO IMPRESO DE LOS SÍMBOLOS + Y - EN LA OBRA DE JOHANNES WIDMAN BEHENNDE VND HÜPSCHE RECHNUNG. EDICIÓN AUGSBURG DE 1526

LA DIVISIÓN

“No me gusta la x para simbolizar el producto porque se confunde con la variable x; [...] a menudo simplifico el producto de dos magnitudes mediante un punto entre ellas como en ZC·LM. Sin embargo, para designar la razón entre ellas utilizo los dos puntos (:) que también uso para la división.”

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a división ha sufrido múltiples cambios en su simbología a lo largo de la historia debido, entre otras razones, a sus distintos significados: división entera (con resto), división decimal, razón de magnitudes, etcétera.

PÁGINA DEL TEXTO DE RAHN EN EL QUE APARECEN

El paréntesis de cierre (y al revés) fue utilizado por MICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica integra, completada en 1540 y publicada en 1544 en Nuremberg. Observa que escribe la división 12:6 al revés.

IMPRESOS MÚLTIPLES SÍMBOLOS ALGEBRAICOS Y POR PRIMERA VEZ

La X para representar el producto de dos cantidades fue usada por primera vez por WILLIAM OUGHTRED (1574-1660) en su obra Clavis Mathematicae.

raíz cuadrada

+ (plus)

÷

raíz cuadrada paréntesis

Nuestros comunes dos puntos se usaron en 1633 en el texto titulado Aritmética de Johnson en dos volúmenes. Aunque para escribir fracciones Johnson también usaba el paréntesis. Así para escribir 2/3 notaba 2:3). Leibniz empleó los dos puntos tanto para fracciones como para divisiones, en el año 1684, en su Acta Eruditorum.

El símbolo ÷ se utilizó por primera vez como representación para la división por JOHANN RAHN, también conocido por Rhonius, en su obra de 1659 Teutsche Algebra.

El asterisco para representar la multiplicación proviene de J OHANN R AHN (1622-1676), quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Algebra.

A

nterior a la Summa de Arithmetica, de LUCA PACCIOLI, en la que se fundamentan muchas expresiones complejas entre operaciones, en 1484 NICOLAS CHUQUET (1445?-1500?), en su libro Le Triparty en la Science des Nombres, escribe entre otras expresiones la que aparece sobre el texto. Observa la diferencia entre nuestro modo actual y el suyo, y cómo nosotros no necesitamos del paréntesis. Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


06 . 06 . 02

EL MUNDO

Jueves científico

EL PARAISO DE LOS SIMBOLOS

D

Que las Matemáticas son un galimatías para muchísima gente no es ninguna novedad. Entre las muchas razones que podríamos aducir en ese sentido, se encuentra el formulismo de su expresión: si no conocemos la simbología en la que están escritas las Matemáticas es muy dificil que podamos entenderlas. Pero lejos de ser una manía de los matemáticos, la simbología o la nomenclatura, o como queramos denominarlo, de esta ciencia ha evolucionado a lo largo del tiempo buscando siempre claridad y universalidad.

por Lolita Brain

L

a división ha sufrido múltiples cambios en su simbología a lo largo de la Historia debido, entre otras razones, a sus distintos significados: división entera (con resto), división decimal, razón de magnitudes, etc.

E

PRIMER TEXTO IMPRESO DE LOS SÍMBOLOS + Y - EN LA OBRA DE JOHANNES WIDMAN BEHENNDE VND HÜPSCHE RECHNUNG. Edición Augsburg de 1526

esde niños, igual que para leer es preciso conocer las letras y las maneras en que se combinan, al acercarnos por primera vez a las Matemáticas debemos aprender como se representan los conceptos más esenciales de ella: los números. Pero aprendemos enseguida, que la utilidad de los números radica en sus combinaciones algebraicas: podemos sumarlos, restarlos , multiplicarlos y dividirlos . Por ello los símbolos que expresan estas operaciones son los primeros que conocemos. Sin embargo símbolos tan sencillos como la cruz para la adición o el aspa para la multiplicación no siempre se usaron así.

l paréntesis de cierre (y al revés) fué utilizado por MICHAEL STIFEL (1487-1567 ) en su Arithmetica integra, completada en 1540 y publicada en 1544 en Nuernberg.

Nuestros comunes dos puntos se usaron en 1633 en el texto titulado Aritmética de Johnson en dos volúmenes (1633). Aunque para escribir fracciones Johnson usaba el paréntesis. Así para escribir 2/3 notaba 2:3) Leibniz usó los dos puntos tanto para fracciones como para divisiones en 1684 en el Acta Eruditorum

÷ se utilizó por primera vez como símbolo de división por JOHANN RAHN (o Rhonius) (16221676) en 1659 en su obra Teutsche Algebra

El punto (·) para simbolizar el producto fue introducido por GOTTFRIED W. LEIBNIZ (1646-1716). El 29 de julio de 1698 escribió una carta a su amigo Johann Bernoulli en la que explicaba: “No me gusta la x para simbolizar el producto porque se confunde con la variable x; [...] a menudo simplifico el producto de dos magnitudes mediante un punto entre ellas como en ZC·LM. Sin embargo para designar la razón entre ellas utilizo los dos puntos (:) que tambien uso para la división.”

A finales del siglo XIX JAMES B. THOMSON en su Complete Graded Arithmeticen utiliza la expresión inferior para nuestra división entera mostrada arriba.

PÁGINA DEL TEXTO DE RAHN EN EL QUE APARECEN IMPRESOS MÚLTIPLES SÍMBOLOS ALGEBRAICOS Y POR PRIMERA VEZ ÷

L

a Summa de Arithmetica, Geometria Proportioni et Proportionalita de Luca Pacioli de 1523 es, junto al Liber Abaci de FIBONACCI, uno de los pilares algebraicos de nuestra civilización. En él entre otras muchas ideas, aparecen las ecuaciones y las operaciones elementales en una escritura muy avanzada para la época aunque lejana a nuestro simbolismo. Este libro fue capital para el progreso y desarrollo en Occidente de las matemáticas arábiga y oriental. Sobre todo utiliza la notación sincopada ...pero ésa es otra historia.

AULA.7

RAIZ

+ (PLUS)

NICOLÁS DE ORESME (1323-1382) es probablemente el primero en usar + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre1356 y 1361. Anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. Después también se usó p (plus).

La X para representar el producto de dos cantidades fue usado por primera vez por WILLIAM OUGHTRED (1574-1660) en el Clavis Mathematicae.

El asterisco para representar la multiplicación proviene de JOHANN RAHN (1622-1676) quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Algebra.

A

RAIZ PARÉNTESIS

nterior a la Summa de Arithmetica, en 1484 NICOLAS CHUQUET (1445?1500?) en su Le Triparty en la Science des Nombres escribe entre otras, la expresión superior. ¿Sabes lo que significa?

lolitabrain@hotmail.com


EL PADRE DEL ÁLGEBRA

Si por alguna razón la matemática es conocida, si existe algún concepto matemático que goce de general conocimiento y respeto, ése es el de ecuación. El término en sí recoje tantas y tan distintas acepciones que han cambiado a lo largo de la Historia que resulta imposible poder englobar todo lo que se dice y se ha dicho sobre las ecuaciones en una sóla definición. En el origen de su tratamiento sistemático se haya una palabra mágica: el álgebra. Símbolo de generalidad y abstracción y por ello, de utilidad.

por Lolita Brain

EL PADRE DEL ÁLGEBRA

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

l ÁLGEBRA es el corazón de la matemática. Salpìca todos sus rincones. En su origen, nace como respuesta a la necesidad de resolver ecuaciones sistematicamente. Es decir, cómo la búsqeuda de mecanismos que permitan solucionar problemas que aparecen una y otra vez bajo la misma forma, y a los que se debe proporcionar idénticas procedimientos de resolución. AlKhwarizmi fue un brillante astrónomo y bibliotecario de la Casa de la Sabiduria y del Observatorio Astronómico de Bagdad. Su brillantez reside en reconocer la similitud formal de múltiples fenómenos y dar solución común a ellos.

a definición de ecuación puede ser tan simple como una igualdad en la que algunos términos son desconocidos. Resolver la ecuación significa por tanto, encontrar los valores de esos términos desconocidos. Sin embargo hay tantos tipos de ecuaciones que esta definición no basta, aunque es perfectamente válida para la época de Al-Khwarizmi. Desde tiempos de los babilonios, el hombre se planteó problemas cotidianos en los que debía encontrarse algún valor númerico . El álgebra aparece cuando esos problemas particulares se estudian con una visión generalista. Hasta bien entrado el siglo XVI, las ecuaciones tenían un significado geométrico heredado de los griegos.

E

ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI (HACIA 780 - 850)

OTRO CASO

La ecuación anterior se interpreta geometricamete del siguiente modo: un cuadrado de lado desconocido, x, tiene una superficie que mide x2. Un rectángulo que tul-Kwarizmi clasifica las ecuaciones de segundo grado en seis viera un lado como el del cuadrado, x, y el otro de 10 unidades tendría de área de tipos distintos. Estudia cada caso de modo separado. Aun- 10x. Así pues las áreas de esas dos figuras debe resultar igual a 39. El problema es que nosotros no las catalogamos de igual forma, se hizo así determinar el lado del cuadrado original. hasta el siglo XVI.

A

10

x2

8

AULA DE EL

L

9

x

10x

LA SOLUCIÓN

l-Kwarizmi utiliza hábiles métodos geometrícos para encontrar la solución. Cada forma de ecuación requiere una técnica distinta para su solución. No se consideran las cantidades negativas. Recuerda que los negativos no llegarán hasta muy avanzado el siglo XVI

A

Partimo de la versión geométrica de la ecuación, distinta de la anterior.

MUNDO

Dividimos el rectángulo 10x en dos partes iguales.

Obtenemos de una mitad el cuadrado amarillo x2. Formamos un cuadrado agregando el rectángulo azul y el cuadrado naranja a la otra mitad.

PASO 1 Dividimos el rectángulo en cuatro partes iguales manteniendo el lado de medida x. Se coloca alrededor del cuadrado cuyo lado desconocemos. La figura de la derecha debe tener por tanto un área de 39 unidades cuadradas (u2).

PASO 2 Si observamos la igualdad entre las áreas de las diferentes figuras en las que descompusimos el diagrama inicial, ya casi tenemos la solución.

25/4

25/4

25/4

25/4

Podemos completar la figura anterior con cuatro cuadrados de lado 5/2. Así podemos poner: CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 CUADRADOS PEQUEÑOS CUADRADO PEQUEÑO = (5/2) X (5/2) = 25 /4 U2. CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 X 25/4 U2= 64 U2

Basta observar que el cuadrado naranja tiene de lado 5 -X ( 5 menos el valor buscado). Es sencillo ver que x ha de valer 1.

entonces ya hemos completado el cuadrado y LADO CUADRADO GRANDE = 8 (8 X8 =64) LADO CUADRADO GRANDE = X + 5/2 + 5/2 = X + 5. SOLUCIÓN: X = 3

AL-JABR Y AL-MUQABALA

AL-JABR proviene de jabr que significa restaurar, insertar. Los médicos que reparaban los huesos se llamaban algebristas. En las ecuaciones se corresponde con lo que nostros denominamos “pasar al otro miembro”. Nuestra palabra ÁLGEBRA proviene de éste término.

a principal obra de Al-Kwarizmi se titula AL-MUJTASAR FI HISAB AL-JABR WA’L-MUQABALA. Ambos términos son de dificil traducción y corresponden a los dos mecanismos que utiliza el autor para resolver las ecuaciones, y que se corresponden con las técnicas que hoy utilizamos nosotros. En sus páginas se estudian las soluciones de los seis tipos distintos de ecuaciones de segundo grado que él consideró.

L

MUQABALA significa comparación y se relaciona con nuestra técnica de “agrupar términos semejantes”.

-

AL-KHWARIZMI, AL-MUJTASAR AL-JABR WA’L-MUQABALA. FUE TRADUCIDO AL POR R OBERTO DE C HESTER EN T OLEDO EN

PÁGINA

DEL TEXTO DE

FI HISAB LATÍN

1145 www.lolitabrain.com


POESÍA, ÁLGEBRA Y ESPIONAJE

Vista desde el presente, la historia pasada se aparece a menudo caprichosa. También en la de la Matemática. La historia de la solución de la ecuación de tercer grado, la cúbica, es una de las más apasionantes. A comienzos del siglo XVI, los matemáticos se hallaban inmersos en un problema desde hacía ya siglos: si bien las ecuaciones de grado uno y dos estaban completamente resueltas desde Al-Khwarizmi, nadie era capaz de resolver la de grado tres. Hoy, la hazaña de aquellos matemáticos permanece en el olvido aunque sus fórmulas, que no se estudian en la escuela, son tan eficaces como entonces.

por Lolita Brain

LOS DOS PROTAGONISTAS

EL POETA ALGEBRISTA

U

GHIYATH AL-DIN ABU'L-FATH UMAR IBN IBRAHIM AL-NISABURI AL-KHAYYAM (hacia 1048-1131)

na vez más, la memoria de las ecuaciones se remonta al Oriente, a la mítica ciudad de Samarcanda, a la que Omar Khayyan llega en 1070 procedente de Nishapur, al norte del actual Irán. Poeta, astrónomo y matemático, su obra ‘Tratado sobre las demostraciones en álgebra’ estudia geométricamente las ecuaciones cúbicas proponiendo métodos para su resolución. Pero sus sistemas necesitaban, para llegar a ser efectivos, de herramientas matemáticas de las que desafortunadamente no se disponía entonces. En cualquier caso, sus soluciones, además de correctas, son herederas de la más fascinante tradición geométrica de los griegos y aúnan álgebra y geometría.

N

uestra historia aconteció en la Italia renacentista del siglo XVI. Desde hacía casi tres siglos, las matemáticas se enseñan en las Escuelas de Ábaco, donde sobre todo se impartía álgebra, y en especial las técnicas para resolver ecuaciones. Aunque las ecuaciones de primer grado (como 3x=14 ) ya las resolvían los egipcios y los babilonios. Desde finales del siglo VIII ya se solu2 cionaba la ecuación de segundo grado (como x +2x=8). Sin embargo, la ecua3 ción cúbica (como x +3x=14) se había resistido durante cientos de años a todos los matemáticos que la estudiaron. No será hasta 1505 cuando Del Ferro encuentre la solución. Niccolò Fontana,Tartaglia el tartamudo, también la encontró independientemente en 1535. Cardano y su alumno Ludovico Ferrari (1522-1565) profundizaron en las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

NICCOLO FONTANA TARTAGLIA (1499-1557)

8

AULA

DE EL

MUNDO

LA FÓRMULA DE LA DISCORDIA

Como poeta, Khayyam fue descubierto en Occidente en el siglo XIX, cuando Edward Fitzgerald tradujo su texto ‘Robaiyyat’. Más tarde, G. K. Chesterton daría un gran impulso a su labor literaria.

cipione del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia, descubrió, hacia 1505, la fórmula que aún hoy se emplea para solucionar una ecuación de tercer grado, pero no comunicó a nadie su descubrimiento, sin duda para usarlo en las disputas públicas y así ganar fama. Sólo en su lecho de muerte informa de su fórmula a su yerno Annibale della Nave y a su alumno Antonio María del Fiore.

La famosa fórmula descubierta por Del Ferro y Tartaglia que resuelve la ecuación de tercer grado 3 x +px= q es la siguiente. Observa que las soluciones aparecen como resultado de operaciones entre los

entado por la fórmula mágica, Del Fiore reta a Tartaglia, reputado matemático veneciano, a una disputa pública en la que cada uno debe solucionar los problemas que le propone el otro. Del Fiore, conocedor del valor de su fórmula, propone a Tartaglia problemas que sólo se pueden resolver con una ecuación de tercer grado. Tartaglia la encuentra el 12 de febrero de 1535, y derrota públicamente a Del Fiore.

S

T

GEROLAMO CARDANO (1501-1576)

ardano, famosísimo matemático y doctor del norte de Italia, al saber que Tartaglia ha descubierto la fórmula, le pide que se la cuente en un encuentro, el 25 de marzo de 1539. Cardano, en un solemne juramento, se compromete a no hacer públicos sus descubrimientos, con lo que Tartaglia accede, comunicándole su método operativo en un poema. Estaba presente también el joven de 17 años, Ludovico Ferrari, ayudante de Cardano, nuestro sexto protagonista.

C

ardano y Ferrari estudiaron la fórmula pero la mantuvieron en secreto. En 1542, casi en actitud detectivesca, deciden visitar a Annibale della Nave y, revisando los papeles de Del Ferro, encuentran ¡la fórmula que Tartaglia había descubierto! Cardano podría publicar en su ‘Ars Magna’ la importantísima fórmula sin faltar al juramento hecho a Tartaglia. Así lo hizo, escribiendo

C

“[...] mi amigo Niccolo Tartaglia resolvió el mismo caso [...] y movido por mis ruegos, me la confió a mí.” artaglia, muy ofendido, escribe en 1546 ‘Questi et inmventioni diverse’, en la que relata su versión de los hechos y reproduce su correspondencia con Cardano, dando comienzo un tenaz intercambio de cartas y carteles públicos entre Tartaglia y ¡Ferrari!, que salió en defensa de su maestro Cardano, quien se mantuvo al margen de esta polémica. La historia termina el 10 de agosto de 1548 como comenzó: en una disputa pública en Milán entre un tartamudo y cansado Tartaglia y Ferrari, un joven elocuente y brillante matemático que además jugaba en casa. La disputa no acabó. Tartaglia abandonó humillado, perdiendo bastante de su fama. Cardano no asistió.

T

¿POR QUÉ LA INCÓGNITA ES LA X?

Los árabes llamaban a la incógnita shay (cosa). En muchas traducciones se escribía latinizada como xay y de ahí, al abreviar, quedó x. En Italia, shay se tradujo como cosa y a los que resolvían ecuaciones se les llamó cosistas, quienes escribían la x como co. www.lolitabrain.com


¿ QUÉ ES UN GRUPO? I

Habitualmente, cuando pensamos en el Álgebra lo hacemos en relación con la resolución de ecuaciones y la manipulación de letras y números. La famosa letra x es la reina de esta vasta área de las matemáticas. Pero en realidad las manipulaciones algebraicas que realizamos con estas letras (x, y, z, etcétera) no nos causan grandes problemas porque son básicamente representaciones de números, y su manipulación es resultado de las operaciones con números. Pero existe un tipo de Álgebra denominada abstracta en la que los elementos que se manipulan ni tienen por qué ser números ni suelen serlo. Constituye una de las áreas más ambiciosas de la Matemática por ser aplicable a infinidad de entidades abstractas. Los grupos son la primera teoría surgida en ella.

por Lolita Brain

LA SUPERTEORÍA DE MATEMÁTICAS

¿QUÉ ES UN GRUPO?

LOS CREADORES DE LA TEORÍA DE GRUPOS

E

U

L

ddington decía a comienzos del siglo XX que para entender el misterio de lo desconocido del universo eran necesarias unas supermatemáticas en las que las operaciones deberían ser tan desconocidas como las cantidades sobre las que operasen. Él hablaba también de la necesidad de un supermatemático que no supiera lo que realmente estaba haciendo cuando realizara esas operaciones. Para él, esas supermatemáticas eran la Teoría de Grupos.

UN SENCILLO EJEMPLO

ARTHUR STANLEY EDDINGTON 1882 - 1944

n grupo es un sistema de elementos, ya sea finito o infinito, en el que existe alguna regla que permite combinarlos, operarlos, entre sí. Además, el resultado de estas combinaciones ha de proporcionar siempre elementos del mismo conjunto. En realidad, para que tal sistema sea un grupo, se exigen dos condiciones más que exploraremos en la siguiente lámina.

a Teoría de Grupos surgió a mediados del siglo XIX de la mano de dos creativos matemáticos: el malogrado francés Galois y el noruego Abel. Llegaron a la concepción de esta estructura estudiando la forma de resolver ecuaciones de quinto grado. De este modo, el Álgebra Abstracta nació del Álgebra Clásica.

NIELS HENRIK ABEL 1802 - 1829

EVARISTE GALOIS 1811 - 1832

I

maginemos tres naipes, sota, caballo y rey, extraídos de una baraja. A partir de una posición de estas tres cartas podemos construir otras ordenaciones de ellas barajándolas de muchas formas. Podemos dejarlas como están, o podemos cambiar la primera con la última, o intercambiar la segunda con la tercera. Sin embargo, por complicada que sea la forma de barajar las tres cartas, todas ellas se pueden obtener por combinación de alguna de las seis manipulaciones que mostramos en el diagrama adjunto. En él se describen los resultados de realizar seis transformaciones básicas sobre la sota, el caballo y el rey. Este es un grupo en el que sólo hay seis elementos que llamamos x1, x2, x3, x4, x5 y x6.

acción de no barajar las cartas

X2:

acción de intercambiar la segunda y la tercera carta

X5:

X1:

X4:

resultado de intercambiar la primera y la segunda carta

X3:

efecto de cambiar la sota con el rey

resultado de cambiar la sota con el X6: efecto de cambiar la primera con la caballo, seguido de intercambiar ésta con segunda carta, seguido de intercambiar el rey. la primera con la tercera.

¿CÓMO OPERAMOS ESTAS TRANSFORMACIONES?

V

eamos en primer lugar que podemos definir una manera de operar entre sí estas formas de barajar los tres naipes y que al efectuar dicha operación obtenemos alguno de los seis elementos de este grupo. Operar dos de estos elementos, por ejemplo x2 con x3, supone aplicar la transformación x2 a una ordenación de las tres cartas y aplicar al resultado la transformación x3. Es fácil comprobar que obtenemos el mismo resultado que aplicando únicamente la transformación x6. Decimos entonces que:

D

el mismo modo podemos realizar varias transformaciones, una detrás de la otra, y así comprobaríamos que operar x2 con x3 y después x4 produce el mismo resultado que aplicar directamente x3.

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


¿ QUÉ ES UN GRUPO? Y II

La semana pasada nos introdujimos en el mundo del Álgebra Abstracta comenzando a estudiar una de sus más sencillas estructuras: los grupos. Para ello estudiamos el caso particular de las distintas formas de barajar tres cartas de una baraja y nos convencimos de la existencia de una operación interna entre unas formas simples de mezclar las cartas. Continuamos esta semana explorando algunas características de esta simple pero ambiciosa estructura algebraica.

por Lolita Brain

RESUMEN DE NUESTRO GRUPO

EL GRUPO DE PERMUTACIONES

S

odo conjunto de transformaciones obtenidas al permutar cartas, letras o símbolos como el ejemplo de las cartas que hemos desarrollado son casos de un grupo general denominado grupo de permutaciones. El número de cartas o símbolos que se permutan se denomina orden del grupo. En nuestro ejemplo, el grupo está formado por seis elementos x1, x2, x3,x4, x5, x6 que se obtienen de intercambiar tres cartas. Se dice entonces que es un grupo de orden 3.

i consideramos las seis formas simples de barajar tres cartas de una baraja, que se ilustran en la imagen, (denominadas x1...x6) y establecemos como producto de ellas la operación de aplicar una mezcla a continuación de otra, observamos que siempre obtenemos un nuevo miembro de esta colección de seis transformaciones entre cartas. Estos seis elementos son lo que denominamos un grupo.

X1: acción de no barajar

las cartas

X4: acción de intercam-

biar la segunda y la tercera carta

X2: resultado de inter-

cambiar la primera y la segunda carta

X5: resultado de cambiar

la sota con el caballo, seguido de intercambiar aquélla con el rey

T

X3: efecto de cambiar la

sota con el rey

X6: efecto de cambiar la

primera con la segunda carta, seguido de intercambiar la primera con la tercera

LA TABLA DE UN GRUPO

UN GRUPO NUMÉRICO

D

E

xisten muchos ejemplos de conjuntos con operaciones que tienen estructura de grupo, algunos de los cuales son ampliamente conocidos por todos. Entre ellos, los conjuntos de números más sencillos, los números de contar o las fracciones son grupos.

e hecho podemos resumir todas las posibles combinaciones entre estas seis formas de barajar las tres cartas en la tabla adjunta. Es la que se denomina Tabla de un Grupo, que nos informa de los resultados que obtenemos al combinar cualquiera de los elementos que lo constituyen. Seguro que recuerdas la tabla de sumar con la que aprendiste a sumar enteros. Lo que hacías era aprender la tabla de un grupo: el de los números de contar con la suma.

El conjunto de los números enteros, los números de contar y los negativos con la operación de la suma es un grupo. Su elemento neutro es el 0.

UN GRUPO ES ASOCIATIVO

L

os grupos, además de tener una ley de composición interna, deben cumplir la propiedad asociativa. Esta propiedad obliga a que el resultado de aplicar varias transformaciones seguidas no dependa del orden en que se apliquen.

UN ÉXITO DE LA TEORÍA DE GRUPOS

E

Lo más asombroso es que los nazaríes que construyeron la Alhambra y que no conocían la teoría de Fedorov realizaron mosaicos para decorar las paredes del palacio de todos los 17 grupos que, 400 años después, el ruso catalogara como los únicos posibles.

UN GRUPO TIENE ELEMENTO NEUTRO

E

n todo grupo debe existir un elemento singular, llamado elemento neutro, que tiene la propiedad especial de no hacer nada, es decir, que operado con cualquier elemento lo deja invariante. En nuestro ejemplo de las distintas formas de barajar tres cartas, el elemento x1 que deja igual el mazo de cartas es el neutro.

n 1891, el cristalógrafo y geómetra ruso E.S. Fedorov enunció su famoso Teorema de Fedorov de clasificación de grupos cristalográficos planos en el que proporcionó una asombrosa aplicación de la teoría de grupos. En él demostró que sólo existen 17 estructuras básicas posibles para obtener mosaicos periódicos que decoren el plano. Estas decoraciones resultan de combinar cuatro movimientos simples: TRASLACIÓN. La nueva loseta que añadimos es una loseta anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo. ROTACIÓN. La nueva loseta se obtiene por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto. REFLEXIÓN. Cada nueva loseta es la imagen especular de otra, con un eje de simetría dado. SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión. Cada uno de los 17 modos posibles recibe una denominación que procede de la cristalografía.

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EL PROBLEMA DEL INSPECTOR DE RUTAS

En un artículo de 1726, el genial Leonhard Euler propuso -y resolvió- el primer problema topológico de la historia: el de ‘Los puentes de Königsberg’. Aparentemente era un reto geométrico, pero él observó que las distancias no eran relevantes en él. Nació así la Topología, que es la ‘geometría de posición’ como la había bautizado Leibniz. La Teoría de Grafos es una parte esencial de ella y estudia los ‘caminos’ en una red. Es fundamental en el diseño de redes eléctricas, en el enrutamiento de Internet e incluso para la geometría de las moléculas.

por Lolita Brain

EL INSPECTOR DE CARRETERAS Y SU PROBLEMA

LA SOLUCIÓN

NO SIEMPRE HAY UNA SOLUCIÓN

I

Para resolver este tipo de problemas, lo primero que hacemos es construir un diagrama simple de la situación real. Las ciudades se convierten en nodos y las 3 carreteras en segmentos rectos o arcos. Para el caso propuesto, la solución es pasar por las ciudades en el orden numérico indicado.

N

maginemos un inspector de carreteras cuyo trabajo consiste en viajar por las vías que comunican una serie de ciudades para determinar desperfectos, el estado del firme o la colocación de las señales viales. Es evidente que para optimizar su tiempo y economizar kilómetros, su máximo interés reside en disponer de una ruta que le permita revisar un determinado sistema de carreteras sin pasar dos veces por la misma vía. En su trabajo, irá de una ciudad a otra intentando pasar una sola vez por cada vía: ¿podrá hacerlo así en cualquier red de carreteras?

2

1

o todos los sistemas de carreteras tienen una solución a nuestro problema. Existen configuraciones de redes en las que obligatoriamente nuestro inspector deberá pasar al menos dos veces por un mismo tramo para realizar la inspección.

b 4

6

8

AULA

DE EL

5

a

EL GRADO DE UNA CIUDAD CÓMO ENCONTRAR LA SOLUCIÓN GENERAL

En este caso es inevitable pasar dos veces por la carretera que lleva al nodo a o al b

Busquemos una ruta que solucione el problema del inspector de carreteras para la siguiente red que tiene todas sus ciudades de grado par y por tanto solución.

MUNDO

El grado de una ciudad, o de un nodo, es el número de caminos que llegan o salen de él. Así, el orden de la ciudad de la imagen es dos. Nos interesa distinguir si el grado de una ciudad de una red es par o impar. Esto va a determinar cuándo el problema del inspector de rutas tiene o no solución.

ALGUNOS RESULTADOS IMPORTANTES RESULTADO 1 Si una ciudad tiene grado impar, el inspector debe necesariamente comenzar o finalizar su trayecto en ella.

RESULTADO 2 Si hay más de dos ciudades de grado impar en una red, el problema del inspector no tiene solución.

RESULTADO 3 No puede existir una red de carreteras que tenga una sola ciudad de grado impar. Si tiene una, por lo menos existe otra.

1

Comenzamos por cualquier ciudad y realizamos cualquier circuito. Por ejemplo el marcado en verde.

A partir de cualquier ciudad del camino anterior cubrimos otra parte del recorrido.

RESULTADO 4

2

Si una red de carreteras no tiene ninguna ciudad de grado impar siempre hay una solución para el problema. Además, el inspector puede comenzar por la ciudad que desee y terminará en ese mismo lugar.

10

11

8

6 1

9

7

4

5

3

Estos dos caminos pueden unirse en uno solo que cubre parte del recorrido total.

3 2

Una ruta solución es la marcada por la serie numérica.

4

Repetimos el proceso anterior cubriendo un circuito por el que no hayamos pasado.

L O S P U E N T E S DE

RESULTADO 5 Si una red tiene exactamente dos ciudades de grado impar, el problema del inspector tiene solución siempre que la ruta escogida comience en alguna de esas dos ciudades.

KÖNIGSBERG

L

a ciudad alemana de Königsberg es muy peculiar: tiene dos islas centrales sobre el río Pregel que se unen a tierra firme por siete puentes. El problema sugiere la siguiente pregunta: ¿es posible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por ninguno de ellos? A pesar de que la pregunta parece trivial, no lo es en absoluto. Euler observó que aunque parece un problema de geometría, no intervienen distancias, longitudes o medidas. Observó que lo importante era la relación existente entre los puntos y los caminos.

La solución de Euler al problema de los puentes es negativa: no es posible cruzar los siete puentes sin pasar dos veces por alguno de ellos. Del mapa de los puentes pasamos al esquema superior y de él podemos obtener la red de la derecha. En ella hay cuatro nodos de grado impar, y por tanto, sobre ella, no tiene solución el problema del inspector de carreteras.

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APLICACIONES DE CONJUNTOS ¿CÓMO SE REPRESENTA UNA RELACIÓN?

Las relaciones entre objetos o entidades son base fundamental de nuestro mundo. Cuando decimos que una persona tiene los ojos azules, que el número de lados que tiene un pentágono son cinco, o cuando asociamos a un país su número de habitantes, estamos estableciendo relaciones entre conjuntos con elementos distintos. Los matemáticos se preocuparon de encontrar un modelo, una teoría que pudiera representar estas conexiones entre objetos y atributos. A estas estructuras se las denominó correspondencias, que son la base de las funciones, sin las que la matemática no sería lo que es.

por Lolita Brain

P

ara representar la correspondencia entre tres actrices y su color de ojos, los matemáticos construyen lo que llaman el PRODUCTO CARTESIANO del conjunto A= {Cameron Diaz, Jennifer Connelly, Liv Tyler} y el de O={ojos azules, ojos verdes}, que se representa con el siguiente diagrama que recoge todos los posibles emparejamientos entre ellos.

)( ,

( ,

) ( ,

) JOHN VENN (1834 - 1923)

Azules

Verdes

)( ,

( , Cameron Diaz

) ( ,

Jennifer Connelly

)

Liv Tyler

Sobre el diagrama del producto cartesiano, seleccionamos (en verde) los pares que establecen la relación que se desea expresar: a cada actriz le asociamos el color de sus ojos. Esta es la correspondencia Actriz-color de ojos según el formalismo de la teoría de conjuntos.

8

AULA Actriz-ojos =

DE EL

MUNDO

{( ,

), ( ,

CON DIAGRAMAS DE VENN

O

tra forma de representar una correspondencia es con diagramas de Euler-Venn. Los conjuntos se representan con óvalos que contienen los elementos y se trazan flechas que unen los elementos que están relacionados. En este caso, la correspondencia establece la relación tiene el color de ojos... en el seno del conjunto de actrices.

ACTRICES

) ,( ,

)}

VENN Y LA LÓGICA

E

xisten muchas formas de acercarse al concepto de función en matemáticas. Nosotros vamos a utilizar una que entronca con lo que se denominó matemáticas modernas y que sin ser la que históricamente aconteció, si es una formulación moderna que involucra conjuntos, elementos y relaciones. Fue desarrollada por los padres de la lógica moderna, los británicos Boole y Venn, a medio camino entre la lógica y las matemáticas.

Si asociamos los ojos con las actrices no tenemos una APLICACIÓN porque los ojos azules están en correspondencia con dos actrices.

Si incluimos a Audrey Tautou, ella no tiene IMAGEN asociada, pues sus ojos son negros. Tampoco tenemos una APLICACIÓN. Es una CORRESPONDENCIA.

Inyectiva (pero no sobreyectiva)

Sobreyectiva (pero no inyectiva)

OJOS

Elemento imagen de Cameron Diaz y Liv Tyler

Elemento imagen de Jennifer Connelly

Conjunto original

Conjunto final

De todas las correspondencias, las que nos interesan son aquellas en las que todos los elementos iniciales tienen una pareja en el conjunto final y sólo una. Son las APLICACIONES.

Las dos correspondencias siguientes son aplicaciones diferentes. En una, a elementos distinos se les asocian imágenes distintas. Es una INYECCIÓN. En la otra, todos los elementos del conjunto final tienen alguna pareja del conjunto inicial. Es una SOBREYECCIÓN.

Cameron y Jennifer tienen ojos difrentes

Los ojos negros no tienen pareja

Cameron y Liv tienen ojos azules

Todos los ojos tienen pareja

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¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

Veíamos la semana pasada el modelo que los matemáticos utilizan para representar las relaciones entre entidades: las aplicaciones. Muy en especial, las aplicaciones que establecen relaciones entre números son capitales para poder entender nuestras matemáticas y la forma en que son útiles para explicar el mundo. Es importante recordar que, entre otras, las ciencias físicas y químicas estudian los cambios de las magnitudes: la cambiante posición de un móvil a lo largo del tiempo, la variación de temperatura de un cuerpo que se enfría, etc. Todos los cambios se representan en matemáticas a través de las funciones.

por Lolita Brain

¿QUÉ ESTUDIAMOS DE UN FENÓMENO FÍSICO?

UN EJEMPLO CALÓRICO

L

o primero que hemos de tener en cuenta es que la ciencia estudia los fenómenos que cambian, o si se quiere, los cambios que sufren los fenómenos. Aquello que es inmutable se puede definir, pero sin cambio no hay análisis. Sin embargo, los procesos del Universo, de la materia o de la energía que varían, en general con el transcurso del tiempo, AUGUSTIN CAUCHY son los que preocupan a los JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1789-1857) (1736-1813) científicos. Y para estudiarlos Cauchy realizó una extraor- se asignan a cada momento o a Lagrange fue un impulsor dinaria labor para sistemati- cada estado el valor de la mag- de la teoría formalizada zar el concepto de función. nitud que se estudia. de funciones escrita en su Pero no es el único.

D

isponemos deo un litro de agua calentado a una cierta temperatura, pongamos 60 C. Conforme pasa el tiempo, el agua irá perdiendo calor y su temperatura descenderá progresivamente hasta estabilio zarse en un valor, supongamos que 20 C al cabo de 50 segundos. A cada instante de tiempo que consideremos oportuno podemos asignarle la temperatura que tiene el agua en dicho momento. En este ejemplo: a) El dominio son los 50 segundos en los que transcurre el fenómeno. b) La imagen es elo conjunto de temperaturas observadas o entre 60 C y 20 C. c) La regla es “la temperatura del agua en cada instante”.

0 segundos o

60 C

‘Mecánica Analítica’.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

C

8

AULA

DE EL

MUNDO

on estas premisas, los matemáticos han construido la idea de función. Este concepto se fue gestando a lo largo de la historia, con la participación de muchos matemáticos y va desde un uso más o menos intuitivo __pero útil__ hasta la generalización de la que hoy hace gala. Con brevedad, una función está constituida por tres objetos: a) Un conjunto de partida llamado dominio (D) b) Un conjunto de llegada llamado imagen (I ) c) Una regla (f) que asigna, a cada elemento del dominio, uno y sólo un elemento del conjunto de imagen.

La imagen del elemento x

20 segundos o

40 C

su doble más 1 se calcula como 50 segundos

UN EJEMPLO MECÁNICO

C

uando un portero de fútbol saca de puerta, el balón asciende hasta una determinada altura y luego comienza a caer. Podemos asignar, a cada instante en el que el balón está volando, la altura a la que se encuentra. Esto es una función en la que: a) El dominio son los segundos que hay en el intervalo de tiempo que tarda el balón en caer al suelo. b) La imagen sería el conjunto de alturas, medidas desde el suelo, a las que se encuentra el balón sucesivamente en su desplazamiento. c) La regla que asocia tiempos (segundos) a alturas (metros) es la altura a la que se halla en cada instante el balón.

o

20 C

Lo que es realmente difícil es encontrar la forma en la que se pierde el calor, es decir, la expresión de la regla que nos permite poder saber cómo transcurre el fenómeno. Esta es y ha sido la labor permanente de los físicos.

LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

S

i pudiéramos tomar una serie de fotografías a alta velocidad del movimiento del balón, obtendríamos lo que se denomina la gráfica de la función. Es la representación en el plano de las distintas parejas (tiempo, altura) que dibuja el movimiento del balón. En este caso, esta gráfica es una curva parabólica, motivo por el que solemos decir que el balón “describe una parábola”.

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LA GEOMETRÍA CON NÚMEROS

A veces las ideas que transforman profundamente las ciencias son tan sencillas que con la vista puesta en el pasado sólo se puede exclamar: “¡Es imposible que no se le ocurriera antes a nadie!” Una de esas ideas revolucionarias es la incorporación de un sistema de coordenadas para estudiar la Geometría. Aunque algunos matemáticos griegos como Apolonio de Pérgamo o Ptolomeo de Alejandría intuyeron de algún modo esta posibilidad, hubo que esperar al fecundo siglo XVII para que se hiciera realidad. Ésta es su historia.

por Lolita Brain

LOS CREADORES

RENÉ DESCARTES

A dos gigantes de la matemática, y no sólo de ella, debemos la creación de la que con el tiempo pasó a llamarse Geometría Analítica y Geometría Algebraica. Ellos son nada menos que el filósofo racionalista por antonomasia, Descartes, y el irrepetible matemático enamorado de los números, Fermat, del que recordaremos tan sólo su famoso ‘Tercer Teorema’, que trajo de cabeza a toda la matemática hasta hace unos pocos años, cuando se demostró su conjetura.

(1596-1650)

¿QUÉ INVENTARON DESCARTES Y FERMAT? Independientemente, ambos dieron un salto cualitativo en la Geometría al comprender que era posible conocer las figuras geométricas estudiando los números y las ecuaciones. Hasta ellos, la Geometría era heredera de la tradición griega, y el Álgebra, de la matemática babilónica y árabe. Con ellos, ambos mundos, el de los números y el de las figuras, intimaron tanto que acabaron por ser la misma cosa.

PIERRE DE FERMAT

(1601-1665)

SISTEMA DE COORDENADAS

¿ Y AHORA QUÉ HACEMOS?

La idea elemental de Descartes y Fermat fue la siguiente. El plano está compuesto por un conjunto de puntos. Tracemos un par de rectas perpendiculares que se cortarán en un punto que llamaremos origen (O). Llamemos a una de las rectas eje de abscisas (X ) y a la otra, eje de ordenadas (Y ). Por último, tomemos una unidad de distancia sobre cada uno de estos ejes. Ya tenemos un sistema cartesiano de coordenadas.

Una vez que tenemos definido el sistema de coordenadas, las figuras geométricas se convierten en ecuaciones con las incógnitas X e Y.

¿ CÓMO SE UTILIZAN? Hecho esto, cada punto P del plano, una entidad geométrica, queda asociado a una pareja de números, una entidad algebraica: sus coordenadas cartesianas. Para ello, se trazan paralelas a los ejes OX y OY que cortan en los puntos R y S a cada uno de ellos. La distancia que separa a R del origen O es la coordenada X (o abscisa de P) y la correspondiente distancia de S al origen, su coordenada Y (u ordenada).

RECTAS Si observas el diagrama, el punto P se corresponde con la pareja de puntos (2,3), mientras que el punto Q está en correspondencia con la pareja (-3, 2). A partir de estos supuestos, las acciones geométricas con ellos se realizan a través de operaciones con las parejas de números (2,3) y (-3,2).

Estos elementos fundamentales de la Geometría se expresan a través de ecuaciones de primer grado.

Esta ecuación representa a la recta que pasa por el punto (0,3) y tiene una pendiente (inclinación) de 2.

Esta otra ecuación representa a la recta que pasa por el punto (0,-3) y tiene una pendiente de 3, mayor que la anterior.

Si resolvemos este sistema de ecuaciones como se hace en Álgebra, determinaremos el punto en el que se cortan las dos rectas, ¡sin necesidad de dibujar!

MAPA DE LA TIERRA, DE PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA.

ANTECEDENTES Si hemos de buscar antecedentes históricos a los sistemas de coordenadas, debemos recordar a Apolonio de Pérgamo, que en su estudio de las secciones cónicas intuye el uso de números para suplir

a puntos. Y por supuesto, no podemos olvidar al gran astrónomo Ptolomeo, que en su afán de crear un mapa de la Tierra utiliza ideas similares a las de Descartes y Fermat para posicionar puntos terrestres.

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17. 12 . 99

EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

Uno de los fenómenos más comunes de la física es el del movimiento. Hasta tal punto es importante, que el estudio del cómo se mueven los cuerpos constituye una de sus partes fundamentales: la cinemática. Si quisiéramos saber la causa por la que los cuerpos se

AULA.7

mueven de una determinada forma, hablaríamos de la dinámica. De todos los movimientos posibles, hay uno especialmente cotidiano: el que describen los cuerpos cuando se lanzan en La Tierra: el parabólico. Así que demos un paseo parabólico.

por Lolita Brain

CUANDO CAEN LAS COSAS G

ALILEO GALILEI (1564-1642) puede considerarse el padre de la cinemática clásica y del método experimental. Espíritu con grandes dotes intuitivas, rechazaba toda afirmación que no pueda comprobarse experimentalmente. Astrónomo, físico y profesor de matemáticas, dedicó buena parte de su ingenio

C

un objeto al aire en la Tierra, con un impulso vertical (para que ascienda) y otro horizontal (para que avance), el cuerpo describe siempre la misma trayectoria: una parábola. En realidad, no nos parecerá que el objeto describa esa curva. Pero si nos fijamos en un punto especial del UANDO LANZAMOS

a estudiar la caída libre de los cuerpos y el lanzamiento de proyectiles. En su obra “Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos ciencias nuevas” estudia definitivamente el movimiento parabólico: el que describen los proyectiles cuando son lanzados. Defensor del sistema de Copérnico (1473-1543) que afirma que la Tierra gira alrededor del

Sol, la Inquisición romana le condenó a retractarse de estas ideas consideradas heréticas. Son famosas las palabras finales de Galileo en este proceso, “E pur si muove” (y sin embargo se mueve) en una obstinada referencia al movimiento de la Tierra.

E

STA FOTOGRAFÍA muestra en exposiciones múltiples la trayectoria que describe una pelota cuando se lanza al aire. Entre una toma y la siguiente hay 4 décimas de segundo. Como puedes ver, la curva que describe es una parábola. Esto mismo sucede cuando el portero de fútbol saca de puerta, cuando un tenista da un golpe, cuando el jugador de golf realiza un drive, cuando un avión lanza un fardo o una bomba, cuando se dispara un proyectil con un mortero o cuando el jugador de beisbol realiza un buen golpe. Por supuesto, la pelota que lanza el pitcher también describe una parábola. Para que ésto suceda así se debe impulsar el objeto tanto vertical como horizontalmente. Es decir, si sólo dejas caer una pelota desde tu terraza, no describirá una parábola, si no que caerá siguiendo una línea recta. Pero si la impulsas o empujas a la vez que la tiras, sí que trazará esta curva en el aire.

objeto, que los físicos llaman centro de masas, podremos comprobar que este punto sí que describe una parábola. La fotografía superior es una exposición múltiple del movimiento de una maza de ballet lanzada al aire. En color puedes ver la parábola que describe su centro de masas (el punto central).

E

L MOVIMIENTO parabólico de un cuerpo se describe descomponiéndolo en dos movimientos independientes: uno horizontal, en el que no varía la velocidad, (salvo el rozamiento con el aire) y otro vertical en el que la velocidad va descendiendo hasta el punto más alto y luego aumenta hasta tocar el suelo. En el diagrama, puedes ver como la flecha verde es siempre igual, mientras que la azul decrece y luego crece. El movimiento horizontal le llamamos uniforme y el vertical acelerado (por la gravedad de La Tierra)

U

NO DE LOS RESULTADOS más asombrosos relacionados con el movimiento parabólico es el que afirma que, si despreciamos el rozamiento con el aire, el tiempo que tarda una pelota en caer al suelo es el mismo si simplemente la dejo caer o si la impulso horizontalmente. En esta fotografía de múltiples exposiciones puedes comprobarlo: en cada etapa las dos pelotas están a la misma altura, luego llevan la misma velocidad. Este asombroso resultado fue descubierto por Galileo Galilei, y está tan lejos de nuestro sentido común que hasta el propio Descartes dudó de la afirmación del maestro. En 1658 se realizó una prueba experimental que no confirmó exactamente la tesis de Galileo, probablemente por errores de medición. Hoy se sabe que es cierto lo que Galileo postuló.

C

UANDO SE LANZA UN PROYECTIL, éste describe una trayectoria parabólica. El cálculo del alcance nos dirá a qué distancia del disparo caerá el proyectil, lo que es fundamental para acertar o no en el objetivo. La altura máxima que alcance el proyectil es importante si queremos sortear un obstáculo entre el punto de lanzamiento y el objetivo. Estos dos valores dependen de dos parámetros: la velocidad con la que se dispara el proyectil y el ángulo de tiro.

TUS PREGUNTAS POR LA RED:

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DE CAPITALES E INTERESES

Vivimos en una sociedad en la que los temas económicos tienen una importancia capital. Necesitamos el dinero para casi todas nuestras actividades. Desde que el mercantilismo hizo su aparición en la Historia, se crearon dos tipos de relaciones entre los que tenían grandes depósitos monetarios y los que necesitaban del vil metal. Por un lado, quien necesita dinero puede pedirlo prestado a los bancos, debiendo devolver, además del capital adelantado, los intereses o gasto por el riesgo asumido por quien lo presta. De otro, los que disponen de capitales ahorrados lo invierten para generar más.

por Lolita Brain

LOS PORCENTAJES

EL INTERÉS SIMPLE

T

l modo más sencillo de calcular el monto de dinero que se percibe por invertir un capital es el llamado interés simple. Consiste en que el dinero invertido genera un interés, fijado de antemano, en cada periodo de tiempo que transcurre. El beneficio depende del tanto por ciento estipulado, que fija el dinero que se genera cada cien unidades monetarias invertidas. Puede calcularse anualmente, semanalmente, trimestralmente, etcétera, pero la cantidad de beneficio no depende de cuándo se retire. En la imagen te mostramos cómo se calcula lo que producirían 500 euros al 10 por ciento anual. Por cada año se perciben 50 euros de beneficio.

odo proceso de préstamo de dinero conlleva el uso de un tipo de interés que supone la base de cálculo para determinar cuánto produce el dinero que se ha invertido o cuánta cantidad ha de devolverse por el dinero que se recibe en concepto de préstamo. Este tipo es un porcentaje. Indica la cuantía que por cada cien unidades monetarias se ha de devolver o se ha de percibir. Si la base de cálculo se proporciona sobre una unidad y no sobre cien, se llama tanto por uno en lugar de porcentaje.

E

INTERÉS SIMPLE CONTRA INTERÉS COMPUESTO

L

os beneficios del interés compuesto se aprecian en las dos gráficas, que muestran en qué cantidades se convierten 500 euros al 10 por ciento a lo largo de 45 años. Si el interés es simple, la gráfica es una recta, lo que indica que el beneficio es resultado de multiplicar el interés por el número de años. En cambio, la gráfica inferior muestra la variación si el interés es compuesto. La línea responde entonces a un crecimiento exponencial y por tanto, el idéntico capital inicial nos proporciona mucho más beneficio en el mismo intervalo de tiempo.

EL INTERÉS COMPUESTO

E

l modo más habitual de calcular el beneficio de un capital invertido es el interés compuesto. Se diferencia del simple en que cada vez que se calcula el beneficio, pongamos cada año, éste pasa a formar parte del capital, de modo que en el siguiente periodo de cálculo, junto al capital inicial, se dispone de los beneficios. En este caso hay mucha diferencia si los intereses se calculan anualmente, mensualmente, trimestralmente etc. ya que cuantas más ocasiones se calcule el beneficio, más veces se agregará al capital inicial el interés producido. En la imagen puedes ver el proceso de cómo se calculan los intereses que generan 500 euros, al 10 por ciento anual, es decir, cada año se recalcula el beneficio. www.lolitabrain.com


CURVAS PARA LA ARMONÍA

ROBERT HOOKE (1635 -1703)

Como sabemos, una de las obligaciones de la ciencia es la de crear leyes matemáticas que permitan cuantificar un fenómeno natural. En algunas situaciones eso es lo más difícil de todo; a menudo el físico escribe ecuaciones que no se saben resolver, lo que nutre a la matemática de nuevos problemas. Pero en otras ocasiones, el propio fenómeno nos dice cómo son las matemáticas que debemos utilizar al estudiarlo. Es el caso de los movimientos periódicos simples que dibujan maravillosas curvas.

por Lolita Brain

HOOKE UN MAESTRO

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO

L

ay un gran número de fenómenos relacionados con movimientos repetitivos que tienen una importancia vital para la mecánica y la física en general. Un ejemplo cotidiano es el comportamiento de un muelle que, una vez estirado por aplicación de una fuerza, recupera su longitud inicial cuando la fuerza deja de ser aplicada. La elasticidad del muelle proporciona una fuerza recuperadora que le hace oscilar a ambos lados de su punto de equilibrio. Podemos imaginar una situación especial en la que no hubiera rozamientos. En este caso el muelle oscilaría continuamente entre dos puntos de máxima longitud y de mínima compresión.

H

os objetos más sencillos son valiosas herramientas en manos de un buen científico. O pueden ser causa de dolores de cabeza. El fascinante y controvertido Hooke, creador de un microscopio y eterno rival de Newton, se interesó por la mecánica, que en su época ya comenzaba a ser moderna. Él determinó experimentalmente que el estiramiento de un muelle es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él para deformarlo. Y que el factor de proporcionalidad dependía de la elasticidad del muelle. Es la famosa Ley de Hooke.

SU MAJESTAD EL PÉNDULO

E

8

AULA

DE EL

MUNDO

l péndulo es otro grandioso instrumento que tiene un comportamiento análogo al del muelle. Separado de su posición de equilibrio, comienza a oscilar alrededor de la vertical, repitiendo a intervalos iguales el mismo desplazamiento. En este caso la fuerza recuperadora es la atracción gravitatoria de la Tierra. Si idealmente suponemos que no hay rozamiento, el desplazamiento del mazillo del péndulo se realiza entre una amplitud máxima. Para describir adecuadamente un movimiento periódico necesitamos conocer algunos datos importantes de su modo de moverse. La amplitud y la frecuencia son fundamentales.

FUNCIONES PARA LA PERIODICIDAD

E

stamos habituados a ver siempre representados los fenómenos armónicos con curvas con forma de onda . ¿Qué relación guarda el movimiento del muelle o del péndulo con estas curvas? Es muy sencillo: en la figura de arriba se representan algunos momentos del muelle en oscilación sobre un papel milimetrado. El eje horizontal se ha trazado en la posición de equilibrio del muelle, donde mediremos los instantes de tiempo. En el eje vertical calcularemos el desplazamiento del muelle respecto de su equilibrio. Basta con dejar oscilar el muelle y las sucesivas instantáneas de su posición nos dibujan las famosas curvas periódicas. Son conocidas como sinusoides.

LA FRECUENCIA LA AMPLITUD

La frecuencia mide la velocidad de la oscilación en hertzios. Para ello se cuenta el número de veces, por ejemplo en un segundo, que el muelle adopta la misma longitud. El periodo mide la cantidad de tiempo que necesita el muelle para volver a adoptar su posición inicial y multiplicado por la

La amplitud refleja el máximo desplazamiento que sufre el muelle o el mazo del péndulo de su posición de equilibrio. Para el mismo muelle, refleja la intensidad de la fuerza que se ha ejercido sobre él.

Las oscilaciones de estos gráficos tienen la misma frecuencia pero amplitudes distintas. www.lolitabrain.com


16 . 05 . 02

EL MUNDO

Jueves científico

¿CALCULO INFINITESIMAL?

VOLTAIRE

En nuestra última lámina conocimos a Newton y Leibniz, los creadores del CALCULO INFINITESIMAL y descubrimos los detalles que rodearon la polémica de su invención. Una polémica que llegó más allá de la mera anécdota y que influyó determinantemente en el desarrollo posterior de las matemáticas en Inglaterra -defensora a ultranza de los métodos de Newtony la Europa continental, muy especialmente en Alemania, Francia y Suiza, seguidores del cálculo de Leibniz. Por supuesto, ambos eran el mismo cálculo, pero se interpretaban de modos diferentes.

A

TANGENTES SE OBTIENEN EN

CALCULO , TRAZANDO SECANTES Y APROXIMANDO EL PUNTO AL DE TANGENCIA.

PIERRE FERMAT (1601-1665)

RENÉ DESCARTES (1596-1650)

ISAAC BARROW (1630-1677)

C

uando la hormiga se mueve a lo largo de la cuerda, pasa por todos sus puntos. Su movimiento describirá esa curva, y como en cada instante estará en un punto de ella, decimos que su posición es función del tiempo. Si quisiéramos averiguar la velocidad que llevaba en un instante determinado, podríamos proceder calculando la velocidad media que ha llevado entre dos puntos y hacer que esos puntos estén muy cerca. Eso es lo que hicieron de modos diferentes Newton y Leibniz. Encontraron una forma de cálculo casi automático, de modo que, si

se conoce la ecuación de una curva se puede averiguar, con unas reglas que definieron, cuál es su tangente en cualquiera de sus puntos -cuál es la velocidad de la hormiga-. Pero esto fue sólo el principio. Si te fijas bien, lo que conocemos de la realidad, de un fenómeno, son sus cambios y a partir de ellos tratamos de conocer el propio fenómeno. Por ello, lo que se conoce de una curva es cómo cambia. El cálculo infinitesimal nos permite averiguar todo de la curva, o sea del fenómeno

N

D E H XVI - XVII

P O C O

I S T O R I A

C

JOHN WALLIS (1616-1703)

L AS

EN REFERENCIA AL NUEVO CALCULO INFINITESIMAL

U

por Lolita Brain unque estudiemos las curvas, lo que realmente sabemos utilizar en matemáticas son las rectas. La TANGENCIALIDAD es un concepto que de algún modo todos entendemos. Lo asociamos a aquello que mantiene un contacto superficial, se refiere a lo que se toca lo menos posible. Y así es en matemáticas. La tangente a una curva es la recta que más se parece a la curva pegándose a ella, de tal modo que para conocer la curva basta con estudiar sus tangentes. Y de paso calculamos las áreas que encierran.

AULA.7

omo todos los descubrimientos importantes del pensamiento humano no aparecen por arte de magia, ni surgen porque sí, Newton y su manzana es tan sólo una leyenda. Y el cálculo infinitesimal descubierto por Newton y Leibniz es heredero de muchos matemáticos y pensadores. Las curvas han sido hijas predilectas de la Geometría desde los tiempos de la Grecia Clásica. Asociadas al movimiento y a los fenómenos físicos, conocer sus propiedades y disponer de métodos que permitieran calcular, por ejemplo, su longitud, fueron problemas que perduraron durante siglos. Eudoxo y Arquímedes son los pioneros en tratar con partes muy pequeñas. Por otro lado, desde mediados del siglo XVII, comenzaron a surgir ideas que enfocarían los problemas relativos a las curvas de otro modo: la manera analítica a diferencia de la geométrica seguida hasta entonces. René Descartes asoció a cada curva una expresión algebraica, una ecuación o fórmula que la representa formalizando de algún modo las curvas. Pierre Fermat, otro de los grandes de la época, encuentra un método para averiguar en qué puntos una curva se hace máxima o mínima. Y el inglés John Wallis consigue probar que los dos grandes problemas relacionados con las curvas -determinar sus tangentes y calcular el área que encierran- están relacionados. Wallis, brillantemente, prueba que para calcular un área basta conocer las tangentes de otra curva. ¿Por qué tanto esfuerzo sobre los mismos conceptos? En esta época, las curvas se interpretan no sólo como entidades geométricas sino como la traza de un móvil, como la expresión del movimiento de un objeto. Y ello choca con conceptos muy profundos, porque el movimiento es continuo, sin saltos, y el tiempo también es continuo. Y tratar con cantidades tan pequeñas como se quieran -no hay un instante posterior a uno dado, ni hay un punto siguiente a otro- obliga a calcular con infinitas cosas.

E

l nuevo Cálculo permitió resolver problemas afrontados desde hacía mucho tiempo. Para que te hagas una idea de lo que preocupaba por entonces a los matemáticos, basta un ejemplo: encontrar la curva que adopta una cadena al ser colgada por sus extremos. Nadie sabía cuál era. Se había aventurado que era un arco de círculo. Leibniz demostró -en la imagen su demostración- que era una CATENARIA, curva de la que ya te hemos hablado y que se relaciona con los logaritmos. LA PALABRA INFINITESIMAL SE REFIERE A CANTIDADES INFINITAMENTE PEQUEÑAS , PERO TALES QUE SU AGREGADO COMPONE UNA TOTALIDAD . POR EJEMPLO, LEIBNIZ IMAGINABA UNA CURVA COMO FORMADA POR INFINITOS TROZOS RECTOS INFINITAMENTE PEQUEÑOS E INDIVISIBLES. SU AGREGADO FORMARÍA LA CURVA.

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EL CÁLCULO DE VARIACIONES

Maupertuis participó en la expedición al Ártico de principios del XVIII para medir el meridiano terrestre. Fue nombrado presidente de la Real Academia de Berlín por Federico II, en 1746.

AULA

MUNDO

por Lolita Brain

UN PRINCIPIO PARA TODO

LA DISCORDIA DE BERLÍN

N

l matemático y físico Leonard Euler había demostrado en 1744 que el principio de mínima acción permitía deducir el movimiento de los planetas. Estaba convencido de que los fenómenos de la naturaleza obedecían a un principio según el cual, tras los fenómenos del universo se halla una magnitud que se hace máxima o mínima y que eso explica el fenómeno. Lo escribió en un apéndice del primer libro de cálculo de variaciones: “Un método para hallar líneas curvas que gocen de una propiedad máxima o mínima”. Y lo escribió dos años antes que Mau-

acido como un principio metafísico, el francés Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) enunció en 1744 el principio que lleva su nombre: en todo cambio que se produzca en la Naturaleza, la cantidad de acción necesaria para tal cambio ha de ser la mínima posible. Maupertuis cuantificó su ley utilizando ideas de Leibniz en la fórmula: acción= energía x tiempo. Para Maupertuis, esta ley fundamental era manifestación de la sabiduría y de la existencia de Dios. Este principio moral caló profundamente en la física y en la matemática de la época. De algún modo, intervino en el espectacular desarrollo de las técnicas para resolver problemas en los que se busca responder a preguntas sobre qué es lo más alto, lo más rápido o lo más corto: el cálculo de variaciones.

EL CÁLCULO DE VARIACIONES

8 DE EL

A la hora de investigar la Naturaleza, el hombre ha deseado siempre encontrar leyes muy generales y de amplios campos de aplicación, que le permitieran explicar su comportamiento. En ese papel, las matemáticas, pero no sólo ellas, han tenido y tienen mucho que decir. La presencia de formas o de organizaciones repetidas una y otra vez entre animales o minerales, entre estructuras astronómicas o microscópicas, parecen querer decirnos que es posible que esas leyes existan. En el siglo XVIII se halló un principio mecánico al que las matemáticas vendrían a dar soporte y consistencia: el Principio de Maupertuis.

A

la luz del cálculo infinitesimal inventado por Newton y Leibniz, nació el cálculo de variaciones que busca resolver problemas de optimización, como por ejemplo qué curva es la más rápida por la que cae libremente JAKOB BERNOULLI JOSEPH-L. LAGRANGE un objeto o qué camino es el más corto para conectar puntos de ( 1736 - 1813) ( 1654 - 1705) una esfera. Son problemas muy importantes ya que en nuestras vidas constantemente mejoramos a costa de encontrar la forma más aerodinámica para un coche o las dimensiones del brick más económico para embotellar un litro de leche. Los Bernoulli, Euler y Lagrange son los padres de esta teoría matemática que resuelve sistemáticamente estos problemas.

E

pertuis publicara su libro. En éste, el francés mencionó que Euler había aplicado su método, y no reconoció la primacía de Euler en enunciar con mucho más rigor el Principio de Economía. Ante el asombro de todos, Euler admitió públicamente la primacía de Maupertuis. Por aquel entonces, Euler pertenecía a la Academia de Berlín, de la que Maupertuis era su presidente. Pero su actitud le proporcionó tal rechazo que abandonó Berlín en 1753.

LOS ESQUIMALES, SABIOS MATEMÁTICOS

L

os esquimales resolvieron un clásico problema de cálculo de variaciones cientos de años antes que nacieran los Bernoulli. Para ellos más que para otros humanos, la forma de su casa ha de estar bien pensada con el fin de proporcionar la menor superficie (para mantener el calor), y a la vez debe ser lo mayor posible. Los iglús que construyen tienen la forma óptima para esas condiciones. En matemáticas el problema se enunciaría así: averiguar cuál es el área en el espacio que para un volumen dado hace mínima su superficie.

LAS POMPAS DE JABÓN Y LOS RADIOLARIOS

P

ara que puedas apreciar el valor del Principio de Economía te mostramos los dibujos de los esqueletos de la especie Callimitra, unos protozoos radiolarios con esqueleto calcáreo, cuyas formas geométricas nos asombran por fascinantes. El biólogo alemán Haeckel hizo cientos de estos dibujos de sus observaciones. Cuando introducimos una estructura de alambre con forma de tetraedro en jabón líquido, al sacarla comprobamos que se forman unas películas de jabón que envuelven una burbuja central. Resulta que estas formas coinciden con las de los radiolarios. En ambos casos, estas formas son las que consiguen el menor área posible, lo que las convierte en superficies minimales. Esta menor superficie proporciona mayor estabilidad y equilibrio o economía de recursos para su construcción. Son las llamadas superficies de Plateau (1801 -1883).

Dido fundando Cartago. J. Turner. 1815. National Gallery. Londres.

DIDO, LA PIEL DE VACA Y EL PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

L

a princesa fenicia Dido —según se cuenta en la Eneida de Virgilio— hubo de huir de su hermano el rey Pigmalión. Arribó en África, donde se fundaría después Cartago, y pidió a Jarbas de Numidia que le vendiera tierra para poder tener una patria. Jarbas le sugirió que sólo le proporcionaría “la tierra que pudiera ser encerrada en una piel de vaca”. Inteligentemente, Dido hizo cortar en tiras muy finas la piel y fabricó un lar-

go cordel con ellas. Extendiendo la cuerda hasta formar un círculo, consiguió encerrar la mayor cantidad posible de terreno. Dido aún afinó más y extendió el cordel en línea recta paralela a una playa, formando un semicírculo que le dio aún más terreno. Y esto es así porque la circunferencia es, de todas las curvas que midan lo mismo, la que encierra mayor área; es la solución a un problema isoperimétrico. lolitabrain@lolitabrain.com


LOS BERNOULLI

J

el quinto de una familia de 10 hermanos, fue catedrático en Basilea desde 1687 hasta su muerte, en 1705. Fue de los primeros en usar el cálculo diferencial, recientemente descubierto por Newton y Leibniz, respecto del cual adoptó la notación de este último. Fomentó su uso para la resolución de problemas geométricos. Fue el primero en recomendar a Leibniz el término “INTEGRAL”

Pocas veces en la Historia encontramos familias con una vocación tan decidida hacia cualquier rama del saber que las haga valedoras de los mayores méritos. Y mucho menos en Matemáticas. Hubo, sin embargo, una familia de origen holandés que, a raíz de las persecuciones dirigidas contra los protestantes por el Duque de Alba en 1576, huyó a Basilea (Suiza) en 1583. Eran los Bernoulli, una familia de comerciantes de especias y banqueros. El padre, Niklaus (Nicolás), hizo todo lo posible para que sus hijos no se dedicaran a las Matemáticas. Sin embargo, en su familia hubo 11 miembros dedicados a las Matemáticas y a la Física. Tres de ellos ocupan puestos de honor: Jakob, su hermano Johann y el hijo de éste, Daniel.

En el “Arte de la Conjetura”, recopila sus conocimientos sobre las probabilidades. En él aparecen los famosos “NÚMEROS DE BERNOULLI”, sumas de infinitos términos (series) y plantea el interés continuo...y la Ley de los Grandes Números

por Lolita Brain

N

I K L A U S

1623

1708

J

A K O B

(

I

AKOB ,

Hizo inscribir en su tumba una “spira mirabilis” (espiral logarítmica) con el texto “Eaden mutata resurgo” (“aun siendo modificada, surjo de nuevo la misma”)

Lemniscata de Bernoulli

Jakob fue un apasionado de las curvas. Planteó y resolvió el problema de la curva ISÓCRONA e inventó la curva LEMNISCATA DE BERNOULLI . Pero su

)

J

Espiral logarítmica

gran pasión fue la ESPIRAL LOGARÍTMICA : descubrió que las curvas asociadas a ella (su evoluta, su pedal, etc.) vuelven a ser espirales logarítmicas

BERNOULLI ocupó la Cátedra de Matemáticas en Groningen (Holanda) hasta la muerte de su hermano Jakob en 1705, N I K L A U S ( I ) fecha en la que tomó posesión de su cargo en Basilea. Entusiasta de las Matemáticas y aman1716 1662 te de las controversias, mantuvo una rivalidad tenaz con Jakob, quien le adiestró en esta maJ O H A N N ( I ) teria, y con su hijo Daniel, a pesar que fue él 1667 1748 mismo quien le había inculcado el amor por esta ANIEL fue uno de los tres ciencia. Con Jakob mantuvo continuas dispuN I K L A U S ( I I ) hijos de Jotas públicas en diversas publicaciones, siempre motivadas 1687 1759 hann depor el recelo profesional y la atribución de los descubrimientos. dicados a Se sintió muy herido porque Jakob, molesto por la habilidad las Matede su hermano menor con el cálculo diferencial, comentaba N I K L A U S ( I I I ) máticas. siempre con despecho de él “es mi alumno”. También se cuen1726 1695 ta que, en una disputa científica, falsificó la firma de una deCon muCÁTEDRA DE MATEMÁTICAS EN BASILEA mostración realizada por Jakob para atribuirse la victoria. cho, el Pero, sin duda, fue el problema de la BRAQUISmás briD A N I E L ( I ) T O CRONA el que más fama le dio. Publicado en llante. Igual 1782 1700 1696 en la revista de Leibnitz, Acta Eroditorun, que hizo su Johann propuso “encontrar la curva que debepadre con él, Joría seguir un objeto que cayera desde un punto hann trató de convertir a DaJ O H A N N ( I I ) a otro, bajo efecto de la gravedad, para emplear niel en un comerciante e im1790 1710 el menor tiempo posible”. Él copedir que se hiciera matemáCÁTEDRA DE MATEMÁTICAS EN BASILEA nocía la solución, y dio de plazo tico. A los 13 años, Daniel J O H A N N ( I I I ) seis meses a los matemáticos había pasado mucho tiempo 1744 1807 para resolverlo, pero el plazo con su padre y había aprenASTRÓNOMO REAL Y DIRECTOR DE ESTUDIOS MATEMÁTIhubo de ampliarse, ya que no se dido de él Matemáticas, pero COS EN LA ACADEMIA DE BERLIN CON 19 AÑOS recibieron soluciones. Al cabo éste le impuso estudiar MediJ A K O B ( I I ) de un año sólo cuatro respuescina. Así hizo, aunque no 1789 1759 tas se presentaron. Una era de abandonó nunca las MatePROFESOR EN BASILEA, VERONA Y Jakob. Otra, anónima. Johann, máticas. Fue amigo íntimo r el movim o p a d iento SAN PETERSBURGO jerci rápi al leerla, exclamó: "Reconozdel gran Euler, alumno de su Junto a Euler, Daniel do ón e i s e pr co al león por las garras". El aupadre. Ambos tienen el ré- estudió la presión sanguinea. Descubrió un ALA tor era nada menos que Newton. Según el ama de llaves de éste, cord de haber recibido cinco sangriento mecanismo AIRE Newton recibió el problema a las cuatro de la tarde, y lo repremios especiales de la Aca- para medirla que se solvió a las cuatro de la mañana. El CÁLCULO DE VARIACIONES démie des Sciences de París usó durante el XVIII. había nacido. Pero ésa es otra historia. presión ejercida A N T U V O C O N SU PA Cuando en 1738 publipor el aire con movimiento lento DRE una fuerte rivacó la Hydroynamica, lo el asombro de Johann cuando N SU VIAJE a París de 1692, NO DE LOS GRANDES descubrimientos de lidad. En 1734, am- firmó como “Daniel Bercomprobó que L’Hôpital Johann conoció al inDaniel es la conocida como LEY DE BERbos recibieron noulli, hijo de había publicado sus reC O N D E D E fluyente NOULLI, que es el principio por el que los un premio de la Johann” en un sultados en su AnalyL ’ H Ô P I T A L . Tras aviones pueden volar. El principio viene Académie des intento de rese des infiniment en a decir que cuanto mayor sea la velocidad adiestrarle en el cálSciences de Paconciliación 1696. En dicho texto culo diferencial de de un fluído (un gas o un líquido), menor rís por un tracon su padre. aparece la “REGLA DE Leibniz, Johann es la presión que ejerce sobre un objeto inbajo sobre las Sin embargo, L’HÔPITAL”, que toacordó con él que le merso en él. Las alas, en su movimiento y aplicaciones de Johann publicó dos los estudiantes enviaría sus descupor su forma, hacen que el aire superior se las probabilidaun año desde Bachillerato conobrimentos a cambio mueva más rápido y que, por tanto, ejer- de un estipendio. Así des a las órbipués, su Hycen. ¡Pues es de Berdraulica, muy za menor presión que el aire inferior. El lo hicieron, pero cuál fue tas planetarias. noulli! parecido al texaire empuja entonces al ala y favorece el Johann, herido vuelo. También estudió la forma que deporque su hijo fuera un to de su hijo. ¿Plagio o lolitabrain@hotmail.com igual, le echó de casa. colaboración? bería tener el perfil de las alas

1654

1705

D

M

E

U

58

AULA

DE EL

MUNDO

OHANN


ISAAC NEWTON PLUTON

Este matemático, físico y astrónomo inglés nació en 1642 y murió en el año 1727. En 1661 ingresó en la Universidad de Cambridge, donde más tarde ocupó una cátedra. También presidió la Royal Society, sociedad de carácter científico, y la reina Ana le otorgó el título de caballero (1705). Con sus estudios estableció la ley de la gravitación universal y los principios fundamentales de la mecánica clásica. Determinó la masa del Sol, la de los planetas y la causa de las mareas. La unidad de fuerza del Sistema Internacional de Unidades se denomina “newton” (N) en su honor; equivale a la fuerza que ejerce la aceleración de un metro por segundo cada segundo, sobre una masa de un kilogramo.

GRAVITACION UNIVERSAL

NEPTUN O

En 1665, Newton explicó por primera vez la fuerza de gravedad. Parece ser que la caída de una manzana, no se sabe si en su cabeza, le hizo descubrirla. Mediante la ley que enunció, se demostró matemáticamente el curso de los planetas alrededor del Sol, que se explica por la atracción mutua entre los astros. Además, esta relación también se generaliza a toda clase de cuerpos. La fuerza con la que se atraen es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente al cuadrado de sus distancias; y la dirección es la de la línea que los une. La gravitación determina los diversos movimientos y trayectorias de los astros y el hecho de que la Tierra mantenga sobre sí misma a los seres vivos y a los inorgánicos. Es una de las cuatro fuerzas que conocemos en la Naturaleza. El carácter de universal alude a que esta fuerza rige en todo el cosmos

MARTE TIERRA

VENUS SOL MERCU RIO

URANO

SATURN O

JUPITE R

T E L E SCOPIO Newton advirtió que el instrumento tradicional de refracción, que usaba lentes de vidrio, producía un halo de colores falsos alrededor de los astros. Las ondas de los rayos de luz, al ser de diferentes longitudes, se desvían en diversos ángulos al pasar por un vidrio. Por eso, un haz azul se refracta en un ángulo más agudo que uno rojo. Para evitarlo, diseñó un telescopio reflector, de sólo 2,5 centímetros, que concentraba y enfocaba la luz por medio de espejos

O PT ICA

BINOMIO DE NEWTON n n

(a+b) = h=0

n n-h h b a h

Generalizó la fórmula del binomio que lleva su nombre, demostrando que era aplicable a cualquier exponente

MATEMATICAS

Sus investigaciones establecieron que la luz blanca se compone de todos los colores del espectro luminoso. Descubrió los “anillos de Newton”, una serie de franjas que surgen cuando un haz incide sobre una superficie convexa de vidrio situada encima de otra plana. También desarrolló la “teoría corpuscular de la luz”

Descubrió una manera nueva de calcular áreas limitadas por curvas. El lo llamó “cálculo de fluxiones”, y nosotros lo conocemos como cálculo diferencial

TRIDENTE DE NEWTON xy= cx 3 + dx 2 + ex + f

PUBL ICACION E S

En 1672, Newton envió una breve exposición de su teoría de los colores a la Sociedad Real de Londres. Su obra Principios Matemáticos de la Filosofía Natural (1687) desarrolló sus estudios y supone el fundamento de los métodos de la ciencia moderna. En 1704, publicó el “método de fluxiones” y Optica, donde recopiló y extendió sus investigaciones sobre la luz y el color

LAS LEYES DE NEWTON Formuló los tres postulados principales de la dinámica. El primero, conocido como principio de inercia, supone que todo cuerpo continúa en su estado, de reposo o de movimiento uniforme y rectilíneo, si sobre él no actúa ninguna fuerza. El segundo, la ecuación fundamental de la dinámica, establece que si se aplica una fuerza (F) sobre un cuerpo, se produce una aceleración ( a ) proporcional a la fuerza y en la misma dirección de ésta (su expresión es F = m. a , donde m es la masa del cuerpo). El tercero, llamado principio de acción y reacción, afirma que cuando una partícula ejerce una fuerza sobre otra, ésta responde con igual intensidad y dirección sobre aquélla, pero en sentido opuesto. Textos: Manuel Irusta Infografía: Juan Emilio Serrano / EL MUNDO

CICLOIDE

x= r( α -sen α ) y= r(1-cos α )


¿CUÁNTO DURARÁ EL MUNDO?

Lo que aparentemente es sólo un juego puede convertirse en un valioso modelo donde estudiar dificIles temas matemáticos. Un caso estrella es el del juego de las Torres de Hanoi inventado en 1883 por el matemático francés Edouard Lucas. Al abrigo de una preciosa leyenda inventada por Lucas, se hizo muy famoso a finales del siglo XIX. Con el tiempo la computabilidad hizo uso del juego para estudiar nada menos que la eficiencia de algoritmos.

por Lolita Brain

LA LEYENDA

ASÍ SE JUEGA

n Benarés, en la India, cuenta la leyenda que el Dios creador Brahma entregó a los monjes tres vástagos diamantinos sobre una base de bronce. Ensartó entonces 64 discos de oro, todos de dimensiones distintas, en uno de las varillas, dispuestas de modo que el mayor estuviera en la base y los discos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó entonces a los monjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vástagos de modo que en cada traslado sólo un disco dorado fuese movido, y de modo tal que nunca un disco tuviera bajo sí otro de menor tamaño. Al final sentenció: “Cuando hallais acabado la tarea el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo”.

E

n continuación puedes ver una solución de las Torres de Hanoi, para el caso de tres discos. Son necesarios siete movimientos como mínimo para resolver este sencillo caso.

A

Estado inicial. Llevar la torre a un vástago vacío.

¿POR QUÉ ES RECURSIVO ESTE JUEGO? n ara que comprendamos por qué este juego puede resolverse recursivamente, vamos a fijarnos en una Torre de Hanoi con cuatro discos y vamos a solucionarlo utilizando el procedimiento que conocemos para el de 3 discos. De este modo, para resolver una torre de 4, se necesita solucionar la de 3 discos. A su vez la solución de la torre de 3 discos, se reduce a la de 2. Esta es la recursión.

P 8

AULA DE EL

Este es el estado inicial del juego con 4 discos.

MUNDO

Tras siete movimientos conseguimos mover tres discos a otro vástago. La pieza mayor no se ha movido todavía.

7 mvtos.

El primer movimiento es obvio.

¿TENÍA RAZÓN BRAHMA? egún la leyenda, el mundo duraría el tiempo invertido por los monjes en resolver una Torre de Hanoi de 64 discos. Si bien, solucionar el juego no es muy difícil, el número de movimientos necesarios para hacerlo crece exponencialmente conforme aumenta el número de discos. Contemos utilizando la recursividad de la solución.

S

Nº DE DISCOS 1 mvto.

7 mvtos.

El segundo también esta decidido.

Nº MÍNIMO DE MOVIMIENTOS

En un movimiento llevamos el disco mayor al vástago vacío. Con siete movimientos más llevamos la pila de tres discos sobre el disco mayor. El juego ha terminado.

Hacemos sitio para mover el mayor

1=20 2 TORRES DE 1 + 1 MOVIMIENTO DEL DISCO MAYOR

LA RECURSIVIDAD Y LA LÓGICA Cuando desde el primer tercio del siglo XX, los matemáticos se adentraron en la computabilidad y en la automatización del razonamiento, encontraron un tipo especial de funciones, las llamadas FUNCIONES RECURSIVAS PRIMITIVAS a partir de las cuales es posible construir todo el acervo matemático computable. Por supuesto estas funciones son recursivas no sólo por su nombre.

1+1+1=3=22-1

Movemos el disco mayor. ¡Por fin!

2 TORRES DE 2 + 1 MOVIMIENTO DEL DISCO MAYOR

3+1+3=7=23-1 2 TORRES DE 3 + 1 MOVIMIENTO

Ahora volvemos al paso uno.

DEL DISCO MAYOR

7+1+7=15=24-1 KURT GÖDEL (1906 -1978)

Un procedimiento se llama ALGORÍTMICO si puede mecanizarse a través de un conjunto finito de instrucciones elementales y fijados de antemano. Por ejemplo, la forma que inventó Euclides para calcular el máximo común divisor o cómo preparar un plato culinario. El proceso algorítmico se denomina RECURSIVO cuando su ejecución requiere de la repetición similar de pasos, en cada uno de los cuales el procedimiento se llama a sí mismo para ejecutarse pero sobre valores menores de algún parámetro. Es similar a los fenómenos autorreferentes.

2 TORRES DE 4 + 1 MOVIMIENTO DEL DISCO MAYOR

Repetimos el paso dos y ¡ya está!

15+1+15=31=25-1 Si los discos son 64, como en la leyenda, se necesitan 264-1=18.446.744.073.709.551.615 movimientos. Invirtiendo 1 segundo por movimiento y dedicando 24 horas al día se necesitarían casi 6.000 millones de siglos. www.lolitabrain.com


INDEPENDENCIA

A

ÚN

HILBERT

DAVID HILBERT (1862-1943)

ÁTICO S OM E I X

G

H

ilbert es uno de los más profundos matemáticos de todos los tiempos y un promotor de las reformas de comienzos del siglo XX. Formal y audaz, concibió un ambicioso programa de formalización de la matemática en el que el rigor y la precisión fueran sus principios capitales. Revolucionó el I Congreso Mundial de Matemáticos celebrado en París en 1900 con su propuesta de 23 problemas pendientes de la matemática como ejercicio para los matemáticos del siglo XX. Sus problemas eran tan ambiciosos como este: ¿Existirá un proceso mecánico que permita resolver cualquier problema propuesto por las matemáticas? Sus ejercicios conmovieron a la comunidad matemática proporcionándoles inspiración para más de un siglo.

A

por Lolita Brain

EL SISTEM

¿CRISIS? ¿QUÉ CRISIS?

A comienzos del siglo XX, el mundo de las matemáticas, tan seguro de sí mismo durante tantos siglos, comenzó a tambalearse. Un nivel de abstracción nunca antes concebido, nuevos descubrimientos en el seno de las matemáticas que doblegaban el sentido común y la intuición, los significativos avances de la lógica de finales del siglo XIX y otras influencias, llevaron a la comunidad matemática a preguntarse: ¿Qué fiabilidad tiene nuestro bagaje matemático? ¿Hasta dónde podremos llegar? ¿Vamos por el buen camino en la exploración del universo matemático?

COMPLETITUD

L

o peor que te puede pasar al hacer un puzzle es que falte una pieza. Cuando en un sistema formal todas las verdades se pueden demostrar y por tanto saber que son verdades, se dice que es COMPLETO. Sería bonito saber que todo lo que podamos conocer de los números será alcanzable, que es sólo una cuestión de tiempo encontrar las verdades.

8

AULA DE EL

MUNDO

LA BOMBA INESPERADA Kurt Gódel (1906-1978) Uno de los problemas que interesaban en es pecial a Hilbert era si es posible resolver todo problema propuesto en el seno de las matemáticas. Además su programa proponía que se intentara probar que existe un procedimiento por el cual pudiera saberse si una afirmación ma t e m á t i c a p u e d e o n o s e r d e m o s t r a d a , es decir, si un problema dado tiene o no solución. ¡Que equivocado estaba Hilbert! Un joven ingeniero austriaco, KURT GÖDEL , estaba convencido de que Hilbert se equivocaba y en su tesis docto ral conmocionó al mundo de los lógicos y los matemáticos con su famosísimo Teorema de In completitud. Dio con argumentos muy simples y de un modo relativamente sencillo, respuesta a la gran cuestión de Hilbert. Y era tajante: NO, no es posible averiguar si todo lo que se diga en matemáticas es o no verdadero. Es decir, las matemáticas NO eran completas. Había resultados que nunca sabremos si son o no ver daderos. Nunca. A menos que se admitan las contradicciones. Lo que es aún peor. Kurt Gödel con Einstein en Princeton (1950)

Como respuesta a los problemas lógicos que se cuestionaron los matemáticos de esta época, surgieron tres corrientes dentro de las matemáticas que entendían el origen, la fundamentación y los mecanismos válidos de las matemáticas de tres modos muy distintos. Son los INTUICIONISTAS , que no creen que se pueda afirmar nada de c o s a s i n f i n i t a s ; l o s FORMALISTAS , q u e c o n f i a n e n l a l i b e r tad de los sistemas axiomáticos, y los LOGICISTAS que imaginan las matemáticas como una parte de la lógica.

D

isponer de piezas repetidas en un puzzle es una circunstancia inútil. No sirve para nada. En los sistemas axiomáticos se exige que los axiomas sean independientes entre sí y que por tanto si quitamos uno de ellos la teoría no será la misma. Además, eso garantiza que un axioma no se pueda obtener de los restantes.

Q

ué pensarías si en las matemáticas pudiera ser cierto a la vez que 2+2 =4 y que 2+2=5? ¿Confiarías en los restantes resultados que se obtuvieran de sus teorías? Seguro que no. Por ello en un sistema axiomático CONSISTENTE no puede ser verdadera una proposición y la contraria, como decir que “el 4 es par y también es impar “.

I N T U I C I O N I S T A S

cionismo no creía que El intuicionismo se “Si A no es verdad, atribuye al holan entonces NO A ha dés Brouwer, que de ser verdadero”. p i e n s a q u e las No aceptan que ideas matemáti pueda probarse cas aparecen ininada para infinitas cialmente por incosas. Por ejemplo tuición humana ellos no dicen que de tal modo que no “ Todo número par es es posible definirlos por una serie de Luitzen E. Jan Brouwer suma de dos impares”. axiomas. El intui(1881-1966)

F O R M A L I S T A S

mo de que “cual Los formalistas son quier” cosa que la corriente lide cumpla los axio rada por Hilbert. mas se debe conDefienden un siderar un mo modelo de ma delo de la teoría. temáticas en el John von Neu que el sistema mann fue uno de axiómático rigulos seguidores del roso es la base de rigor formalista de todas las teorías. Se llega al extre- John von Neumann Hilbert. (1903-1957) L O G I C I S T A S

dedicaron diez años G O T T L O B F R E G E fue a escribir los Prinel creador de esta corriente de pencipia Matemathisamiento que cae, la culmina pretende redu ción del logiciscir el conoci mo. La TEORÍA miento matemáDE C L A S E S de tico a la lógica Russell surge formal, ausente de para “reparar” los contenidos. B. Ruserrores de la teoría sell y Whitehead de Frege. Bertrand Russell

CONSISTENCIA

D E

E L T E O R E M A C O M P L E T I T U D

Este teorema fue propuesto y demostrado por Kurt Gödel en el año 1931. El teorema, básicamente, esta compuesto de dos partes: En la primera, Gödel establece que cualquier teoría consistente que se base en las matemáticas es incompleta, es decir, contiene proposiciones tales que ni la proposición en sí ni su negación se pueden demostrar. En la segunda, Gödel afirma que tal teoría no puede averiguar su propia consistencia (ausencia de contradicciones). El programa de Hilbert había hecho aguas.

(1903-1957)

lolitabrain@hotmail.com


UN PUZZLE AXIOMÁTICO

Después de más de 2.500 años de crecimiento continuo en su saber, los matemáticos de finales del siglo XIX y comienzos del XX entraron en una fase muy particular de reflexión sobre lo que las matemáticas ‘eran realmente’. Comenzaron una introspección crítica de su saber para determinar qué estructura tenía la matemática, cuáles eran sus fundamentos o cuál era el alcance de este campo del saber. Conozcamos primero la estructura axiomática de la matemática, para conocer posteriormente la crisis de sus fundamentos.

por Lolita Brain

G

OTTLOB FREGE fue el primer matemático que se tomó en serio la necesidad de conocer el alcance lógico de las matemáticas, es decir, quiso conocer la respuesta a la pregunta ¿pueden las matemáticas reducirse a pura lógica? Su empeño lo desarrolló en la formalización de la aritmética, creando una TEORÍA INTUITIVA de conjuntos que, ironías de la

GOTTLOB FREGE (1848-1925)

¿Q

U É

E S

U N A

T E O R Í A

AXIOMÁTICA?

La A X I O M A T I Z A C I Ó N d e u n a teoría fue estudiada por ARISTÓTELES y perfectamente plasmada en la concep ción de la Geometría de EUCLIDES que nos legó en su libro Los Elementos. Según esta forma clásica, una teoría axiomática sobre una realidad es aquella que se organiza alrededor de un conjunto de CONCEPTOS PRIMITIVOS de verdades de

las que se obtienen los restantes conceptos. Además existen los AXIOMAS , unas pocas verdades generales que se aceptan como ver daderas y que no requieren ser demostradas. Todas las afirmaciones de la teoría deben estar basadas en los conceptos y los axiomas y deben deducirse de ellos. Éste era el modelo de teoría axiomática de Frege.

EUCLIDES (FRAGMENTO DE ‘LA ESCUELA DE ATENAS’, DE

8

AULA

DE EL

historia, resultó no ser correcta una vez que Frege la hubo acabado. DAVID HILBERT, de ideas muy contrarias a las de Frege, con el que mantuvo una correpondencia científica muy disputada, fue defensor también de la axiomatización de las matemáticas, aunque su espíritu era más abierto y ambicioso, si bien algo altivo, que el del solitario y huraño Frege.

RAFAEL DE SANZIO)

L

os Elementos de Euclides desarrollan todo el conocimiento geométrico de su época bajo una estructura axiomática, la primera de la historia. Su teoría permaneció casi sin variación hasta finales del siglo XIX. Las reglas de la Geometría fueron durante todo ese tiempo las que se recogieron en su libro. Si imaginamos la geometría -como cualquier otra parte de las matemáticas- como un gran puzzle podemos comprender el papel que juega cada elemento -axiomas, teoremas- en su desarrollo.

DAVID HILBERT (1862-1943)

A

pesar de la aparente rigidez de un sistema axiomático, la libertad de cambiar, eliminar o agregar axiomas es total para el matemático. Otra cosa es que esos cambios permitan generar la teoría sin errores y que tenga un alcance similar al de la teoría original. Una pieza puede cambiar por completo el puzzle final. Esa pieza puede ser el Axioma V de Euclides. De los axiomas de Euclides, el quinto fue siempre controvertido. A pesar de la aparente evidencia que refleja durante siglos, se pensó que podía ser un teorema y no un 1 PARALELA = EUCLIDES axioma, es decir, que se PLANO podía deducir de los restantes y que por tanto era innecesario.

MUNDO

DEFINICIÓN 1. Un punto es lo que no tiene partes.

DEFINICIÓN 12. Un ángulo agudo es el ángulo menor de un recto.

AXIOMA 1. Dados dos puntos cualesquiera se puede trazar una recta que los una.

AXIOMA 1. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

AXIOMA 5. Por un punto exterior a una recta puede trazarse una y sólo una recta paralela a la dada.

Las piezas del puzzle son los axiomas y los conceptos principales las DEFINICIO NES, como las llamaba Eu clides. Observa qué sim ples son.

Los axiomas y de finiciones se ‘mezclan’ para producir otras verdades de la teoría: los TEOREmas.

TEOREMA. Los ángulos de lados paralelos son iguales.

TEOREMA .

En un triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales.

Los teoremas obtenidos se combinan entre sí para producir nuevos teoremas sobre la geometría.

P

A R A

Q U E

AXIOMA: las verdades de una teoría aceptadas sin demostración. TEOREMA: las verdades deducidas a partir de los axiomas y de otros teoremas previos. POSTULADO : sinónimo de axioma. Usado por Euclides.

N O

T E

Algunos teoremas son muy importantes y pasan a engrosar los fundamen tos de la teoría.

L Í E S

CONCEPTO PRIMARIO: los conceptos mínimos para construir la teoría. COROLARIO: una verdad que se deduce trivialmente de un teorema. PROPOSICIÓN : verdad de rango menor que teorema. LEMA: teorema utilizado para demostrar la verdad de otro teorema.

La Geometría pasa a ser el conjunto de verdades -teoremas- que son ciertas a partir de estas reglas de construcción. Toda verdad que se deduzca de estas reglas del juego debe aceptarse como verdadera.

INFINITAS PARALELAS = LOBACHESKY SEUDOESFERA

NINGUNA PARALELA = RIEMANN ESFERA

A

finales del siglo XIX y de modo independiente, Lobachevsky, Bolyai, y Riemann se cuestionaron qué sucedería si de los axiomas de Euclides cambiamos el quinto postulado y mantenemos los restantes. ¿Sería posible que este nuevo sistema de axiomas también explicara la geometría? ¿sería una teoría absurda o, por lo contrario, sólo otra forma de entender la geometría? Sus respuestas fueron asombrosas.

P

ara Bolyai y Lobachesky, el quinto postulado debía formularse diciendo que se pueden trazar infinitas rectas paralelas por ese punto exterior. Para Riemann, el axioma decía que por un punto exterior a una recta no es posible trazar ninguna recta paralela a la dada. Y a patir de estos cambios contrarios a la intuición, desarrollaron teoremas análogos a los deducidos por Euclides... y no se encontró ninguna contradicción. Eran MODELOS correctos de geometría. Es más, encontraron modelos de mundos en los que sus axiomas se cumplían. Para la Geometría Hiperbólica de Lobachesky, el mundo es de forma seudoesférica. Para la Geometría Riemanniana, es una esfera. lolitabrain@hotmail.com


EL SIDA EN NÚMEROS A

Tan sólo hace unos días que el mundo entero ha celebrado el Día Internacional del SIDA. Una fecha en la que la Organización Mundial de la Salud pretende concienciar, una vez más, a la población mundial de la necesidad de la protección contra el SIDA. Los datos siguen siendo muy preocupantes hoy en día y lo que es peor, en un futuro próximo, la tendencia del número de víctimas de esta enfermedad es al alza. Y no sólo en los paises del Tercer Mundo: nuestro país sigue estando a la cabeza de la UE en lo que se refiere a nuevos casos detectados. Aprendamos hoy a leer las gráficas de esta mortífera enfermedad.

l estudiar y recopilar una gran cantidad de datos, como sucede con la epidemia del SIDA, éstos han de organizarse adecudamente para que sean comprensibles al público. Para ello se utilizan distintos modos de representación de los datos. No son caprichosos los modelos escogidos: cada tipo de gráfico muestra los datos de modo diferente resaltando más unos datos que otros. Echémosle un vistazo.

por Lolita Brain

PORCENTAJES

AULA

DE EL

DATOS

En todo análisis de datos es muy importante que distingamos los valores absolutos (fre cuencias absolutas) de los valores porcentuales (Frecuencia relativa). Vemos un ejemplo. Compararemos el número de enefermos de SIDA entre el País X (10.000 casos) y el País

T E N D E N C I A S >> > G R Á F I C O S

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VS

La evolución en el tiempo de una epidemia es fundamental para conocer cómo se desarrollan tanto los sistemas de prevención y cura, como la difusión de los contagios. Responden a preguntas ¿Cuándo creció más la epidemia? ¿Por qué? ¿Ha sido util la administración de medica m ent os ef i caces ? ¿Cuántos casos se espera registrar dentro de x años?

MUNDO

ABSOLUTOS

Y (20.000 casos). ¿Es más la influencia epidémiolgica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la en fermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que : País X tiene 100.000 habitantes País Y tiene 2.000.000 habitantes ¿En qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el País X por que hay 10.000 enfermos entre 100.000 habi tantes, tan sólo un 10%. En cambio en el país Y sólo el 1% está enfermo. Ahora sí podemos comparar los dos datos.

DE LÍNEAS

Observaremos siempre los valores máximos y mínimos de las series del gráfico.

La pendiente (inclinación) de un trazo, mide la velocidad del crecimiento. Cuanto mayor sea la pendiente, mayor será el número de casos registrados en ese periodo. Conjuntando esas informaciones, los datos se resumen en sentendencias del tipo: - Hasta 1994 tanto los nuevos casos de SIDA, como los fa llecidos por la enfermedad, fueron incrementandiose cada año. - En los años 1987-88 y 1993-94 se produjo un aumento considerable de víctimas. - Desde 1998 hasta 1995 la tasa interanual de fallecidos permaneciócasi constante. - A partir de 1994 la tendencia se modifica, esperimentándose por primera vez un decrecimiento de nuevos casos de SIDA. - La tendencia a la baja en los fallecimientos por SIDA no se registra hasta un año después, en 1995-96.

La tendencia de una serie de datos puede ser creciente -aumentan los casos- o decreciente -disminuyen. Se distinguen facilmente en el gráfico según la pendiente sea positiva o negativa.

P O R C E N T A J E S >> > S E C T O R E S C O M P A R A T I V A S >> > B A R R A S

Si queremos representar da tos porcentuales (porcentajes) el procedimiento estándar es el de lo s g r áfico s de s ecto r es : la población total se representa por un círculo (enfermos de SIDA en España en 2001), y cada una de las categorías que observamos (heterosexuales, homosexuales masculinos, homosexuales femeninos) se representa con un sector tan amplio como sea su frecuencia. El diagrama de sectores y el pictograma reflejan los mismos datos ¿No te parece que con los sectores se aprecia el dramático problema de los paises del África Subsahariana?

PICTOGRAMAS Una información valiosísima es la COMPARATIVA del estado de la epidemia entre los distintos países de un entorno (UE, África etc.), entre distintos sexos (hombres, mujeres) o entre diversos grupos sociales caracterizados por diversas propiedades (edad, drogodependencia, sexualidad). Para resaltar las diferencias entre los perfiles de cada población los diagramas de barras son ideales.

Máximo Europa: Suiza, España y Portugal: 0,5%

América del Norte 950.000 Caribe 420.000

Europa oriental y Asia central 1.000.000

Europa occidental 550.000

Asia del Sur y suroriental 5.600.000

Africa del Norte y Oriente Medio 500.000

Asia oriental y Pacífico 1.000.000

Máximo América: Haití: 6,1%

Prevalencia 15-39% 5-15%

Máximo Asia: Camboya: 2,7%

América Latina 1.500.000

Africa Subsahariana 28.500.000

1-5%

TOTAL MUNDIAL:

0´5-1%

40.000.000

0´1-0´5% 0´0-0´1% Sin datos

Máximo Africa: Botsuana: 38,8%

Australia y Nueva Zelanda 15.000

Los pictogramas ayudan a entender la distribución de los casos de SIDA utilizando elementos gráficos que facilitan su comprensión. Por ejemplo se utiliza un mapa coloreado que dis tribuye las frecuencias o en lugar de barras se usan imágenes referidas a los datos. lolitabrain@hotmail.com


E L R E PA R T O DEMOCRÁTICO

Repartir es una operación tan habitual en nuestra vida que se nos olvida la importancia que tiene. Y en algunas situaciones no es tan sencillo como parece. En los sistemas democráticos, repartir el poder de forma alícuota con relación a los deseos de los votantes es fundamental. Sólo si el modo en el que el número de representantes políticos de una población es fiel al número de votos emitidos, los ciudadanos confiarán en el sistema. Se aproximan unas elecciones municipales y autonómicas: es un buen momento para adrentarnos en lo que las Matemáticas aportan a los sistemas representativos

por Lolita Brain

C

ompetir en unas elecciones pasa por tener fijado un mecanismo que determine cómo se pasa del número de votos emitidos al número de escaños que están en juego. Ahora bien, hay muchas formas de realizar repartos. Echemos un vistazo a la tabla de la derecha: figura las intenciones de voto de unos representantes políticos de un Congreso ficticio para votar el presidente de una detrminada comisión. Se han reflejado las seis combinaciones preferidas y el número de compromisarios que las han votado. ¿Qué partido debe ser el ganador? Pues todo depende del sistema de reparto que usemos.

E

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AULA

DE EL

MUNDO

tos, el número de escaños que le correspondería sería:

l principal problema que se plantea al asignar escaños a través de votos es que los concejales, diputados o senadores no pueden partirse en trozos. Ésa sí que es una limitación. En principio, parece justo y proporcional, que si V es el número de votos emitidos en una circunscripción con E escaños, y el partido P ha obtenido N vo-

Escaños =

V x N E

Como puedes imaginar difícilmente de esas divisones surgen números enteros. ¿Qué hacer pues con los resi duos que quedan? ¿Cómo repartir los escaños que sobran entre los distintos partidos? Es lo que se denomina PROBLEMA DEL REPARTO, que es estudiado por lo que se denomina PROGRAMA CIÓN ENTERA.

E

L

M

Éstos son los resultados de las elecciones municipales de 1999 al Ayuntamiento de Sevilla. Supongamos que dicho Ayuntamiento se compone de 17 concejales. ¿Cómo se distribuyen según el Método D’Hondt? El primer paso es realizar la división entera (sin decimales) del número de votos obtenidos por cada partido por 1, 2, 3... sucesivamente hasta 17, que es el número de concejales. Cada uno de estos cocientes es la prioridad de cada partido para el 1er, 2do, 3er, etc. escaño.

É

T

O

D

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D ’ H

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Se proponen cinco modos de realizar la elección. 1.- Mayoría simple. Gana el que más votos obtenga. El vencedor sería el BLOC. 2.- La segunda vuelta. En la primera vuelta se eliminan todos los candidatos menos los dos más votados. El que consiga la mayoría absoluta vence. En este caso ganaría Unió. 3.- Eliminación del perdedor. Se hacen votaciones sucesi vas y en cada una de ellas se elimina al que menos votos haya recibido. Así ganaría IU. 4.- Recuento Borda. A cada candidato se le proporciona una puntuación según el orden de prefencia (5, 4,3, 2 o 1). El vencedor sería el PP. 5.- Método de Condorcet. Todos los candidatos se enfrentan dos a dos y el que gane a todos es el vencedor. Ahora el presidente sería del PSOE.

T

El método que se utiliza en el sistema electoral español para resolver el problema del reparto es el denominado método D’Hondt que ya fue introducido por el presidente estadounidense Jefferson para el reparto de los escaños del Congreso. Funciona asignando una prioridad a cada partido para la obtención de cada escaño. Dicha prioridad la determina el cociente de dividir el número de votos del partido por el escaño cuyo valor se calcula. Los escaños se reparten en orden de estas prioridades. Repartir los escaños es ahora muy fácil. Buscamos en la ta bla la prioridad más alta para el 1er escaño. Correponde al PSOE ya q u e t i ene el mayor coci ent e, de 356.569. El s egu n do escaño va a a parar al PP, ya que tiene la segunda prioridad más alta (216.895). Para el tercer escaño, vuelve a salir elegido el PSOE pues la prior i d a d 176.298 es la siguiente en tamaño. Observa que IU no obtie ne escaño hasta el quinto que se reparte y PA hasta el sexto. Se continúa el proceso hasta que se reparten todos los escaños.

L

os matemáticos Balinski y Young demostraron en 1982 que no es posible encontrar un sistema de asignación perfecto. Esto quiere decir que escojamos el método que sea, siempre podrá decirse que beneficia de algún modo a algún grupo o sector. Por ejemplo, el método D´Hondt favorece en general a los grandes partidos y a las coaliciones. Por ejemplo, en el mismo caso de las elecciones al Ayuntamiento de Sevilla de 1999, si IU y PA hubieran concurrido en coalición, con los mismos votos entre ambos, habrían obtenido un escaño más. Las tablas te muestran los cálculos.

lolitabrain@hotmail.com


3 . 12 . 99

EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

Sin saber cómo, cada día nos aventuramos a predecir el futuro innumerables veces casi sin darnos cuenta de lo arriesgado que es: te apuesto que..., es mas fácil esto que..., es muy probable que ..., aquello es imposible... Son algunas de las expresiones que a diario utilizamos para aventurar lo venidero, inconscientes de la dureza formal de tales afirmaciones. La teoría del azar y su

AULA.7

control, no dominio, lo que llamamos procesos estocásticos o teoría de las probabilidades, nació hace casi 500 años estudiando los juegos de dados. En el siglo XVII, el caballero de Mèré se entretenía proponiendo problemas a Pascal con el fin de explicar algunas de sus numerosas experiencias con los juegos de azar. Ahora queremos entretenerte a ti

por Lolita Brain

TE PUEDE TOCAR A TI....

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os acontecimientos gobernados por el azar nos rodean por todas partes y tratan de desvelar las reglas que rigen los procesos cuyos resultados no se pueden conocer antes de que sucedan, los que llamamos fenomenos aleatorios. Eso nos permite jugar a ser un poco adivinos, estimando y conociendo el comportamiento de estos fenómenos y, por tanto, aventurando su resultado. Desde los juegos de azar a la teoría cuántica del átomo, la teoría de la probabilidad juega un papel fundamental. En los juegos es sencillo ver cómo se mide la probabilidad de un resultado: se cuentan las opciones con las que se gana y se dividen por todos los resultados posibles. El número obtenido mide la tendencia del fenómeno cuando éste se repite. Por eso, al hacer una quiniela, la probabilidad de acertar un pleno de 14 resultados es de una contra 4.782.969. En los casos más sencillos, realizar un cálculo probabilístico es tan fácil como contar... sólo que, a veces, contar es una tarea difícil.

14

3 =4.782.969

¿Cuántas quinielas tendríamos que rellenar para asegurarnos un pleno de 14? Son exactamente 4.782.969 quinielas o apuestas o columnas. Como cada columna cuesta 50 pts. resulta un total de 239.148.450 pesetas. El máximo premio otorgado por las quinielas futbolísticas nunca se ha acercado a tales cifras, resulta claro que es poco rentable asegurarse el pleno de 14. Por otro lado, los resultados deportivos no son causa exclusiva del azar, por lo que las peñas deportivas pronostican y ganan en virtud de otros factores: cronología, fichajes, rendimiento, etc.

315 =14.348.907

nº de quinielas que necesitas jugar para hacer pleno a 14

“En el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números”. Pierre Simon Laplace (1749-1827)

La bono-loto otorga el máximo premio a la coincidencia de los 6 números escogidos del 1 al 49 con la combinación ganadora. Ahora bien, ¿cuánto dinero deberíamos invertir en la bono-loto para asegurarnos un pleno al 6? Para respondernos a esta pregunta, basta con contar todas las posibles combinaciones que pueden resultar ganadoras. Eso supone contar todos los grupos de 6 números que se pueden fabricar con los cuarenta y nueve primeros, ya que cualquiera de ellos puede resultar seleccionado. Ese número es exactamente de 13.983.816 de formas distintas. Como cada apuesta cuesta 50 pesetas, para asegurarnos el premio deberíamos invertir en un sólo sorteo la cantidad de 699.190.800 de pesetas. Dicho de otro modo, podríamos estar durante 258.959 años haciendo cada semana una bono-loto distinta... y ¡quizás no nos tocara nunca!

C49,6 =13.983.816 nº de bono-lotos que debes rellenar para asegurar el pleno de 6

Galileo Galilei (1564-1642) llegó a decir que cuando jugaba con tres dados a la suma de 10 tenía más oportunidades de ganar que cuando jugaba a la suma de 9.

El sorteo de Navidad de la Lotería Nacional premia con 30.000.000 de pesetas el billete galardonado con el primer número del sorteo. Cada billete cuesta 3.000 pesetas y, como en total hay 100.000 números distintos, deberíamos invertir 3.000 x 100.000 = 300.000.000 (¡trescientos millones!) de pesetas para asegurarnos el primer premio. Un negocio poco rentable.

En el mus, un solomillo es una jugada que consiste en tener tres reyes y un as y es sin duda la jugada por excelencia. El cálculo de la probabilidad de esta jugada a primera mano, nos dice que es aproximadamente de 5 ocurrencias sobre 1.000 jugadas. En cambio otra jugada muy famosa y difícil, dúplex de reyes y ases (2 reyes y dos ases) es más probable que suceda: más de 8 veces sobre 1.000 jugadas. Por eso en el mus tiene más puntos un solomillo que un dúplex de reyes ases. El cálculo es sólo aproximado porque no considera el reparto consecutivo ni los descartes.

TUS PREGUNTAS POR LA RED:

www.dailan.com/verenet/lolitabrain CORREO ELECTÓNICO : lolitabrain@hotmail.com


LA SUERTE EN NÚMEROS

La celebración del sorteo de la Lotería de Navidad se ha convertido a lo largo de su dilatada historia en un rito con el que da comienzo la Navidad. Incluso las personas no jugadoras suelen participar en este sorteo. Pero, ¿es realmente esta lotería un juego rentable? Para comprender su rentabilidad podemos realizar distintos cálculos probabilísticos que nos informen de la posibilidad de que un número resulte premiado. El sorteo se realiza por el sistema tradicional, un bombo para números y otro para premios en el que se cuida especialmente la equiprobabilidad de cada número.

por Lolita Brain

NÚMEROS, BILLETES Y DÉCIMOS

LA PROBABILIDAD DEL GORDO

n todo juego es importante conocer la cantidad de elementos que participan del azar y la cantidad de premios que se ofrecen. Veamos cómo se desglosa el sorteo de Navidad en la edición de este año 2006.

uesto que en el bombo se encuentran las bolas de los 85.000 números que participan, y todas tienen la misma probabilidad de obtener el primer premio, participando con un sólo número se dispone de una probabilidad de 1/85.000 de obtener el máximo premio. Esta probabilidad es del orden de 12 a 1.000.000, es decir, muy baja. Expresado de otro modo, si quisiéramos asegurarnos de que nos tocara el gordo, deberíamos comprar un décimo de cada número que participa, es decir, invertir 85.000 x 20 =1.700.000 E, obteniendo en este caso una recompensa de tan solo 530.000 E con los premios importantes. Un mal negocio a todas luces.

E

P

Cada número se emite en 180 series diferentes y numeradas, que compone lo que se llama un billete. Por tanto se emiten nada menos que 15.300.000 billetes.

Cada serie se compone de 10 fracciones, llamadas también décimos. Así que los premios se reparten entre 153.000.000 de décimos.

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ada décimo se pone a la venta al precio de 20 E, o lo que es igual, cada billete cuesta 200 E. Por tanto, el valor de emisión de todo el sorteo de Navidad es de:

85.000 números x 180 series x 200 E = 3.060.000.000 E

de los que se destina para premios el 70%, es decir, 2.142 millones de euros que se reparten entre 24.001.200 décimos que obtienen algún tipo de premio.

85.000 números Inversión 1.700.000 E Ganancia 530.000 E Los premios mayores del sorteo de este año son: 1 primer premio de 3.000.000 E. 1 segundo premio de 1.000.000 E. 1 tercer premio de 500.000 E. 2 cuartos premios de 200.000 E. 8 quintos premios de 50.000 E. Cada uno de estos premios se otorga a todas las series del número premiado.

NO TE DEJES ENGAÑAR lgunas administraciones de lotería parece que están tocadas por el hada de la suerte y, en sucesivos años, en ellas se reparte alguno de los grandes premios. Esto hace pensar al jugador que comprando un número de los que venden estas afortunadas administraciones hay más posibilidad de obtener un premio. No es así. Los números que vende cada administración de lotería son igualmente probables, es decir, el número premiado con el gordo no tiene

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ninguna dependencia con el lugar que lo vende. Lo que ocurre es que estas administraciones, por la demanda originada por su fama, pueden comprar muchas series de muchos números distintos, aumentando la probabilidad de que alguno de ellos salga premiado. Por ejemplo, la Navidad pasada (había 66.000 números), una famosa administración compró nada menos que 5.000 números distintos, lo que le proporcionaba una altísima probabilidad de casi el 8% de obtener el gordo.

EL REINTEGRO l premio del reintegro consiste en la devolución de la cantidad jugada en el sorteo si hay coincidencia entre el número final con el que se juega y el que obtenga el primer premio. Como el número con el primer premio terminará en alguna de las cifras 0, 1, 2,...9 y entre los 85.000 números distintos que participan hay 8.500 números acabados en cada uno de estos dígitos, la probabilidad de obtener el reintegro es de 1 a 10. Como hay 180 billetes que tendrán la misma terminación que el gordo, y cada uno cuesta 200 E, en cada sorteo se devuelven 36.000 E.

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TODAS LAS TERMINACIONES SON EQUIPROBABLES, LO MISMO QUE SUCEDE CON TODOS LOS NÚMEROS DEL SORTEO

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


SAN VALENTÍN MATEMÁTICO

Por fríos que parezcan, el corazón de los matemáticos también siente el amor. Estando en fechas de San Valentín no hemos querido dejar pasar la ocasión de relatarte algunas historias de amor vividas por matemáticos. Si bien es verdad que a lo largo de la Historia los matemáticos no han sido personajes especialmente escandalosos, sino más bien personas tímidas y aisladas, tras rebuscar en las biografías de muchos de ellos hemos localizado algunos casos de soltería empedernida junto a otros esposos prolíficos. También hay historias de engaños y amantes, de homofobia y de apasionados romances. Disfruta de esta breve crónica rosa de las matemáticas.

por Lolita Brain

LA GENIALIDAD DEL JOVEN APAGADA POR AMOR

AMORÍOS, ENGAÑOS Y MATEMÁTICAS

variste Galois es el protagonista de uno de los sucesos más apasionados de la Historia de las matemáticas. Hijo de la Revolución Francesa y defensor de los derechos civiles, es recordado por haber zanjado por completo uno de los problemas más persistentes a lo largo de la Historia: la resolución de las ecuaciones. Su revolucionaria teoría, denominada Teoría de Galois, opera sobre el álgebra abstracta y fue descubierta EVARISTE GALOIS (1811-1832) por él cuando contaba apenas 20 años. A la edad de 21, estando preso y para evitar una epidemia de cólera, fue conducido a un centro hospitalario, donde conoció a Stephanie, hija del doctor Poterin, que le trataba. En seguida se enamoraron, el primer amor de ambos sin duda, tal y como refleja Galois en algunas de sus cartas. Su situación personal era temible: preso, enfermo, luchando por ser aceptado por la Academia, ayudado sólo por el amor de Stephanie. Pero, meses después, ella le dejó para casarse con un profesor de Lengua. Galois, desconsolado, escribe a su amigo Chevalier:

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¿Cómo puedo consolarme cuando, en un mes, he agotado la más rica fuente de felicidad que puede tener el hombre, cuando la he agotado sin felicidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de haberla secado de por vida?

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ERWIN SCHRÖDINGER (1887-1961)

HERMANN WEYL (1885-1955)

No sabemos si la causa de su final fue la ruptura desesperada de Stephanie, pero el caso es que el 29 de abril de 1832 Galois salió de la cárcel y el 30 de mayo escribió tres cartas: a todos los STEPHANIE republicanos, a algunos buenos amigos y a A. Chevalier. En ellas anuncia su muerte al día siguiente en un duelo al que era “imposible negarme” y añade, “víctima de una infame coqueta”. Así fue: la mañana del 30 de mayo Galois moría en un duelo, por las heridas de pistola empuñada por alguien que, aún hoy, se desconoce. Como dejó escrito EVARISTE “...faltan cosas por completar en esta demostración. No tengo tiempo”. Tenía 21 años, pero conquistó la gloria.

ORDENADORES, MANZANAS Y SUICIDIO

chrödinger, padre de la Teoría Cuántica, se casó a los 37 años con Anny Bertel. Hacia 1933, y a pesar de ser católico, decidió abandonar Alemania avergonzado de vivir la persecución de los judíos por los nazis. Schrödinger recibió una solicitud para trabajar en Oxford y pidió de modo inexplicable la asistencia de un colega, Arthur March. Hoy sabemos que Schrödinger sentía tanta atracción por las mujeres como por los átomos y a la sazón la esposa de Arthur era su amante, de la que se habría tenido que separar si no hubiera ofrecido un puesto a su marido en Inglaterra. Aun así, la relación matrimonial de Schrödinger con Anny no era muy dulce: ella estaba acostumbrada a las amantes de él, de las que estaba al corriente... Claro, que ella fue amante durante años de uno de los colaboradores más estrechos de su marido: Weyl. ¡Así, el triángulo amoroso quedaba en el laboratorio!

ARTHUR MARCH (1891-1957)

l que es considerado uno de los padres de la computabilidad, el que Joan Clark, una de sus colegas en Bletchley Park, quien aceptó descifró los códigos de los nazis en la II Guerra Mundial descodificando gustosamente. Turing hubo de retractarse después del ofrecimiento, la máquina Enigma, el que trabajó en el primer centro de cálculo hablándole a su prometida acerca de su condición sexual. Aunque lo automático de Inglaterra con el ordenador Mark I, peor estaba por llegar. En la Navidad de 1951, Turing entabló una relación con el mismo que fue condecorado nada más y nada menos que con la Orden del Imperio Británico en un joven desempleado de Manchester. A principios de 1952, su casa fue asaltada por un amigo de su amante, y 1946, fue víctima de un arcaico sistema judicial que le llevó al suicidio en 1954, cuando contaba Turing acudió a la policía, sin revelar su relación. Cuando se descubrió la historia completa, arrestaron a Turing por 42 años. Nos referimos a Alan M. Turing. Perteneciente a una familia colonial británica, indecencia, y le llevaron a juicio el 31 de marzo de 1952. En la corte, Turing no negó su homosexualidad, y expuso Alan fue fruto del encorsetado sistema social británico de la época victoriana. Un mundo en el una defensa de sus preferencias, que la doble moral estaba a la orden del día. De que manifestó haber este modo, las relaciones íntimas eran reprimidas mantenido durante toda su en público y consentidas en privado. carrera, incluso cuando De igual modo sucedía en las instituciones trabajaba para el gobierno en públicas de enseñanza, donde Alan se educó. Primero en el Sherborne College y después en el Mánchester. Eso le valió ser condenado a prisión, Kings College de Cambridge, las relaciones entre alumnos se practicaban, disimulaban y pena que conmutó por un año de tratamiento consentían mientras no salieran del campus. ALAN TURING (1912-1954) con estrógenos Alan descubrió su condición homosexual (hormonas femeninas) alrededor de 1928 al conocer a Christopher Morcom, con quien mantuvo un amor platónico que le marcaría para que le causaron impotencia, y le hicieron siempre. La desgracia llegó cuando Chris falleció con 18 años en 1930. brotar senos. Para él, que había sido Su muerte marcaría aún más la vida ya de por sí solitaria e introvertida de corredor de fondo toda su vida, la Alan, quien, no obstante, mantuvo siempre su sexualidad activa. Hacia humillación recibida le llevó al suicidio con 1945, cuando trabajaba en el ordenador Colossus, le ofreció matrimonio a manzanas envenadas con cianuro.

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Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com


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EL MUNDO

Jueves científico

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L A P R I M AV E R A L A S M AT E M AT I C A S A LT E R A Incluso el corazón de los matemáticos se siente tocado por el influjo primaveral, y antes de que se escape mayo no hemos querido dejar pasar la ocasión de relatarte algunas historias relacionadas con los matemáticos y el amor. Si bien es verdad que a lo largo de la historia los matemáticos no han sido personajes especialmente escandalosos, sino más bien personas tímidas y aisladas, tras rebuscar en las biografías de muchos de ellos hemos localizado algunos casos de soltería empedernida junto a otros esposos prolíficos. También hay historias de engaños y amantes, de homofobia y de apasionados romances. Disfruta de esta crónica rosa de las matemáticas.

por Lolita Brain

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variste Galois (1811- 1832) es el protagonista de una de las historias más apasionadas de la Historia de las matemáticas. Hijo de la Revolución Francesa y defensor de los derechos civiles, es recordado por haber zanjado por completo uno de los problemas más persistentes a lo largo de la historia: la resolución de las ecuaciones. Su revolucionaria teoría, denominada Teoría de Galois, opera sobre el álgebra abstracta y fue descubierta por él cuando contaba apenas 20 años. A la edad de 21, estando preso y para evitar una epidemia de cólera, fue con-

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rwin R. J.A. Schrödinger (1887-1961), padre de la Química del siglo XX, se casó con 37 años con Anny Bertel. Hacia 1933, y a pesar de ser católico, decidió abandonar Alemania E RWIN SCHRÖDINGER avergonzado de vivir la persecución de los judíos. Schrödinger recibió una solicitud para trabajar en Oxford y pidió, de modo inexplicable, la asistencia de un colega, Arthur March. Y es que Schrödinger sentía tanta atracción por las mujeres como por los átomos y a la sazón la esposa de Arthur era su amante, de la que se habría separado si no hubiera ofrecido un puesto a su marido. Pero la relación matrimonial de Schrödinger con Anny no era muy dulce: ella estaba acostumbrada a las amantes de él, de las que estaba al corriente... pero es que ella fue amante durante años de uno de los colaboradores más cercanos de su marido: Hermann Weyl (18851955). ¡Así, todo quedaba en el laboratorio!

HERMANN WEYL

SRINIVASA RAMANUJAN NIKOLAI I. LOBACHEVSKY

ducido a un centro hospitalario, donde conoció y se quedó prendadó de Stephanie, hija del doctor Poterin, quien le trataba. En seguida se enamoraron (el primer amor de ambos sin duda), tal y como refleja Galois en algunas de sus cartas. Su situación personal era temible: preso, enfermo, luchando por ser aceptado por la Academia, ayudado sólo por el amor de Stephanie. Pero, meses después, ella le dejó para casarse con un profesor de Lengua. Galois, desconsolado, escribe a su amigo Chevalier ¿Cómo puedo consolarme cuando, en un mes, he agotado la más rica fuente de

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PIERRE SIMON LAPLACE

Casos bien distintos son los de Nikolai I. Lobachevsky (1782-1856), casado en 1832 con Lady Varvara Alexivna Moisieva, cuando ella era una adolescente y él tenía 40 años. De este matrimonio nacieron nada menos que siete hijos. Pierre Simon Laplace (1749-1827) se casó en 1788 con Marie-Charlotte de Courty de Romanges, que era 20 años más joven que él. Laplace tenía 39 años. Por el contrario, Srinivasa Ramanujan (1887-1920) se casó con S. Janaki Ammal cuando él contaba 12 años y ella tan sólo nueve. La boda, por supuesto, fue un arreglo de su madre según la costumbre india. Ramanujan no vivió con su esposa hasta que ésta tuvo 12 años.

l que es considerado padre de la computabilidad teórica, el que descifró los códigos de los nazis en la II Guerra Mundial descodificando la máquina Enigma, el que trabajó en el primer centro de cálculo automático de Inglaterra con el Mark I, el mismo que fue condecorado nada más y nada menos que con la Orden del Imperio Británico en 1946, fue víctima de un arcaico sistema judicial que le llevó al suicidio en 1954, cuando contaba 42 años. Nos referimos a Alan M. Turing. Perteneciente a una familia colonial británica, Alan fue fruto del encorsetado sistema social británico de la época victoriana. Un mundo en el que la doble moral estaba al orden del día. De este modo, las relaciones íntimas eran reprimidas en público y consentidas en privado. De igual modo sucedía en las instituciones públicas de enseñanza, donde Alan se educó. Primero en el Sherborne College y después en el Kings College de Cambridge, las relaciones entre alumnos se practicaban, disimulaban y consentían mientras no salieran del campus. Alan descubrió su condición alrededor de 1928 al conocer a Christopher Morcom, con quien mantuvo un amor platónico que le señalaría para siempre. La desgracia llegó cuando Chris falleció con 18 años en 1930. Su muerte marcaría aún más la vida ya de por sí solitaria e introvertida de Alan, quien, no obstante, mantuvo siempre su sexualidad activa. Hacia 1945, cuando trabajaba en el or-

felicidad que puede tener el hombre, cuando la he agotado sin felicidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de haberla secado de por vida? No sabemos si la causa fue la ruptura desesperada de Stephanie, pero el caso es que el 29 de abril de 1832 Galois salió de la cárcel . El 30 de Mayo escribió tres cartas: a todos los republicanos, a sus buenos amigos N.L. y V.D y a A. Chevalier. En ellas anuncia su muerte al día siguiente en un duelo al que ha sido “imposible negarme” y añade, “víctima de una infame coqueta”. Así fue: la mañana del 30 de mayo Galois moría en un duelo, por las heridas por pistola empuñada por alguien que, aún hoy, se desconoce. Como dejó escrito “...faltan cosas por completar en esta demostración. No tengo tiempo”. Tenía 21 años.

denador Colossus, le ofreció matrimonio a una de sus colegas en Bletchley Park, llamada Joan Clark, la cual aceptó gustosamente. Turing hubo de retractarse después del ofrecimiento, hablándole a su prometida acerca de su realidad. Aunque lo peor estaba por llegar. En la Navidad de 1951, Turing entabló una relación con un joven desempleado de Manchester. A principios de 1952, su casa fue asaltada por un amigo de su amante, y Turing acudió a la policía, sin revelar su relación. Cuando se descubrió la historia completa, arrestaron a Turing por indecencia, y le llevaron a juicio el 31 de marzo de 1952. En la corte, Turing no negó su condición, y expuso una defensa de sus preferencias, que manifestó haber mantenido durante toda su carrera, incluso cuando trabajaba para el gobierno en Mánchester. Eso le valió ser condenado a prisión, pena que conmutó por un año de tratamiento con estrógenos (hormonas femeninas) que le causaron impotencia, y le hicieron brotar senos. Para él, que había sido atleta toda su vida, corredor de fondo -como buen solitario, y casi participante en unos JJOO-, la humillación recibida le llevó al suicidio con manzanas envenadas con cianuro. lolitabrain@hotmail.com

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