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A1.- Solución:

1 2

y

x 1

y

x

2

y x

x

2

0

x 1 x y

x

2

x

1,5

y

0,5

0 2

x x

y y

x

0

y

x 1

x

1

y

0

y

0

y

0

x

0

y

0

Luego el máximo de z se encuentra en el vértice A(1.5 , 0.5) y es max z=2*1.5+0.5=3.5 A2.- Solución: Llamamos c al número de camisetas pedido, b al número de bufandas y g al número de gorras.

27g 20g 10c 5b 7 g 2980 c b g 380 c 2g

2g

5b 7 g b

g

2980

380

27g 3g

5b b

2980 380

b 110 c 180 Aquí están el planteamie nto y la solución

15g

5b 5b

12 g 1080 g 90

2980 1900


A3.- Solución:

f ( 2) x 1 t si x

a) f ( x)

x 5

si x

2 2

2 1 t

3 t

lim f ( x )

lim

x 1 t

x

x

2

2

lim f ( x )

lim x 5

x

x

2

Para continua en x 3 t 3 t 6

3 t

3

2

Si t=2 no es continua y su gráfica es una especie de v y una semirrecta. Ver gráficos t=2

t=6

A4.- Solución: Si en un punto se anula la derivada primera y la segunda es positiva entonces hay un mínimo.

f ( x)

x2

ax b

f ' ( x)

2x a

f ' ' ( x)

2

f ( 2) 1

como por mínimo f ' ( 2) y como f ' ( 2)

0

4 a

a

4 b

4 2a b 1

2a b

3

b

3 2a

5

2


A5.- Solución: Consideremos los sucesos: A elegir al azar y ser del tipo A, B elegir al azar y ser del tipo B y D elegir al azar y ser defectuosa. Sabemos que p(A)=0,2. p(B)=0,8 y también:

a) p( D )

0,02, p( D ) B

A

P( D )

P( D

0,1 Entonces:

A) P ( D P( D A) P( A)

P( D ) A

B)

P ( D ) P( A) P ( D ) P( B ) A B p( nD) 1 p( D ) 0,916

P( D )

b) P( A

nD

P( A) P(nD ) A P(nD)

P( A nD) P(nD)

)

0,02 * 0,2 0,1 * 0,8

0,2 * 0,98 0,916

0,084

0,196 0,916

0,214

A6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

P x

z

/2

·

x

n

z

/2

·

n

1

, donde 1-

es el nivel de confianza (0,95 en

nuestro caso). x la media de la muestra, calculamos la media de los 10 datos y es 79; desviación típica, ahora 20; n el tamaño de la muestra, 10.

1

0,95

0,05

/2

0,025

z

/2

la

1,96 ya que (1 0,025 0,975) .Ver

tabla a)Luego el intervalo pedido es:

x

z

/2

·

n

,x

z

/2

·

n

79 1,96

20 20 , 79 1,96 10 10

(66,60 , 91,40)

b) Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.


B1.- Solución:

1 A

2

1 1

a) M

B

3 0

3I

X ·B b)

1 1 1

A

I

1·1 1 1

3 0

1

1 1

4 1

5 2

3 0 0

8 5 ; 3I 1 2

0 3 0 0 0 3

3 0 0

1

4 1

4

4 1

2

0 3 0 0 0 3

5 2

8 5 1 2

5 2

11 5 1 5

X

B 1 , para hallarla usamos la traspue sta de adjuntos por 1/ B

1 0 5 5

1

1 1

1 1

0 1/ 5 1 1/ 5

B2.- Solución: Llamaremos m al número de bicicletas de montaña pedido, p al número de bicicletas de paseo y e al número de bicicletas estáticas. El planteamiento y la solución son los siguientes:

2m 3 p e

9

La 1ª por 6 menos la segunda y la tercera menos la 2ª

la 1ª menos 3 * 2ª

6m 4 p 6e

28

6m 14p 26

8p 8

8m 6 p 6e

34

2m 2p

p 1

m

3

p

m

e

9 4 3

6

2

2

B3.- Solución:

a) f ( x)

b) f ( x )

x t si x

( x 3) 2 1 si x

x 2 si x ( x 3)

2

f ( 2)

2 2

lim f ( x )

lim x t

x

x

2

2 t

2

lim f ( x )

lim ( x 3) 2 1 0

x

x

2

2

Para continua en x 2 t

0

t

2

2

2

El primer trozo es una semirrecta El segundo un trozo de parábola

2

1 si x

2 t

f ' ( x) 2 x 6

f ' ' ( x) 2 0

f ' ( x ) 0 2 x 6 0 x 3, luego en (3, f(3)) (3,-1) hay mínimo c) De 2 a 3 es decreciente y de 3 a infinito es creciente.Ver gráfica.


B4.- Solución: Si la derivada primera es 0 y la segunda negativa hay máximo y si la primera es 0 y la segunda positiva hay mínimo. Hallaremos esos puntos.

f (t )

t3

f ' (t )

0

9t 2

18t

38

3t 2 18t 18

f ' (t )

3t 2 18t 18

0

f ' ' (t )

6t 18

t

1

f ' ' (1)

6 18 0

t

5

f ' ' (5)

30 18 0

máximo(1seg , 45metros) mínimo(5seg , 13metros)

B5.- Solución: Llamemos B al suceso el alumno elegido juega al baloncesto y F al suceso juega al futbol

a ) p( F  B )

p( F )

p( B )

p( F B ) p( B )

b) p ( F ) B

P( F

20% 30%

B)

30%

40% 50%

20%

66,66%

B6.- Solución: El intervalo dado corresponde a la fórmula siguiente, donde =10 y n=100, x la media pedida

10 898,04 901,96 898,04 x 900 100 2 10 898,042901,96 x z /2· 901,96 z /2 1,96 2 100 0,05 1 0,95 Intervalo de confianza al 95% x

a) x

b) z

/2

z

/2

·

1,96

n

,x

/2

z

/2

·

n

0,025

z

/2

·

Aybmatcsjun2013  
Aybmatcsjun2013  

Pau de Matemáticas Ciencias Sociales Castlla La Mancha Junio 2013. Enunciados y soluciones

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