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LEONARDO PISANO FIBONACCI

Trabajo realizado por Jéssica Núñez Bermúdez


INDICE

Biografía.......................................... 3 Sucesión........................................... 4 Historia............................................ 4 Definición recursiva............................... 6 Función generadora................................7 Formula explícita................................. 7 Forma matricial................................... 9 Propiedades de la sucesión...........................................10


BIOGRAFIA LEONARDO PISANO FIBONACCI

Leonardo Pisano Fibonacci también tenia mas nombres Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bigollo o Fibonacci nació en 1170 probablemente en Pisa actualmente Italia y murio en 1250 en el mismo lugar. Fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo

actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci. El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe. Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo. Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en general. En 1240, la República de Pisa lo honra


concediéndole un salario permanente (bajo su nombre alternativo de Leonardo Bigollo).

SUCESIÓN DE FIBONACCI En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión de números naturales:

La sucesión inicia con 1 y 1 y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Historia


La sucesión de Fibonacci en términos de conejos. Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c.1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era

, que produce explícitamente los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar

cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también". Número de

Explicación de la genealogía

Mes Fin del mes 0 Comienzo del mes 1

0 conejos vivos. Nace una pareja de conejos (pareja A).

Parejas de conejos totales 0 parejas en total. 1 pareja en total.

La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la

1+0=1 pareja en

pareja A.

total.

Fin del mes

La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a

1+1=2 parejas

2

cruzar la pareja A.

en total.

Fin del mes

La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B

2+1=3 parejas

3

cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.

en total.

Fin del mes

Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C

3+2=5 parejas

4

cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.

en total.

Fin del mes

A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un

5+3=8 parejas

Fin del mes 1


5

mes. Se cruzan A, B, C, D y E.

en total.

Fin del mes

A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H

8+5=13 parejas

6

cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. en total.

...

...

...

...

...

Fin del mes 12

Definición recursiva Los números de Fibonacci

quedan definidos por las ecuaciones

para Esto produce los números • • • • • • • • Es usual definir de esta manera en Matemática discreta y, de hecho, ya es algorítmica.


Función generadora Una función generadora para una sucesión cualquiera

es la función

, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales y El polinomio característico de esta relación de recurrencia es sus raíces son

,y


De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes satisfacen la ecuación anterior cuando

y

y

, es decir que satisfacen el

sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a


Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional

. De hecho, la relación con este número es estrecha.

Forma matricial Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

Conociendo a

y

, al aplicar la fórmula anterior

veces se obtiene

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba. y más aún

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.


Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud

que no tienen ceros consecutivos y

en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamadaFibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: •La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son


oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamentepor exceso y por defecto al valor límite. •Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo,

,

.

•Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo

, para cualquier

.

•La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamadaforma de Binet. Si

y

, entonces

y •Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

•Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.

•La suma de los posición

primeros números es igual al número que ocupa la

menos uno. Es decir


•Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

Si

, entonces

para cualquier

(Identidad de Cassini)


Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

(con φ = número áureo)

•El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente

Esto significa que

y

son primos relativos y que

divide exactamente a

•Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo

de Pascal. Es decir que para cualquier

,


y más aún

•Si

, tal que es un número primo, entonces

primo, con una única excepción,

también es un número

; 3 es un número primo, pero 4 no lo

es. •La suma infinita de los términos de la sucesión

es exactamente

•La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie. •El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.

.


Leonardo Pisano Fibonacci