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INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se muestra lo que es una función, sus tipos de funciones con sus respectivas graficas e incluso las operaciones con funciones pero para ello antes que nada e decidido incluir un tema muy especial, bastante reducido ya que es un tema muy extenso y aunque he de confesar que ha sido poco lo que me he adentrado a lo que es la historia en las matemáticas me parecido fascinante cómo desde hace años e incluso siglos estas se empezaban a manejar sin siquiera nuestros antepasados saberlo, como la necesidad de estas fue tan grande que cada vez se les facilitaba la vida a las personas más y más y no solo a ellos sino que a nosotros nos dejaron todo en charola de plata me atrevo a decir que muy comúnmente caemos en un grave error en relación a nuestro típico concepto de que “las matemáticas vinieron a complicarnos la vida” o “que lo más bonito seria vivir en un mundo sin matemáticas” para no salirme del contexto quisiera compartir un poco de lo que este trabajo aporta en relación a la historia de las funciones : el concepto de función nació ligado a la idea de dependencia de cantidades variables, en unión con el estudio del movimiento, con a caracterización dada por Nicolás de Óresme “todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar por una cantidad continua representada por un segmento”. También se encuentran ejemplos de funciones en los cuales e agregado algunos comentarios o tips que debemos tener muy en cuenta a realzar estas, esperando se faciliten de manera que podamos disfrutar de ellas y darles el valor que realmente se merecen agregando también las dos reglas más importantes para determinar el dominio de las funciones, o lo que es un dominio; e agregado algunas notas personales llamándolas puntos a tomar en cuenta para un mejor comprendimiento sobre las funciones ya que es lo que me ayuda a mi y en las operaciones con funciones e incluido algunos textos importantes a recordar al momento de realizarla, añadiendo a si mismo las presentaciones sobre las funciones que presentaron y explicaron mis compañeros.


INDICE Introducción……………….....……………1 Índice…………………………………………2 Una breve historia de las funciones…3 y 4 Funciones……………………………………5 Diferentes casos de funciones…………6 Puntos a tomar en cuenta para comprendimiento de funciones…………………………………….7

n

mejor las

de

las

Operaciones con funciones…………….8 Funciones Algebraicas………………….11 Función Racionales……………….…….12 Funciones raíz…………………………….13 Funciones potencia………………………14 Funciones logarítmicas…………………15 Funciones trascendentes………….……16 Funciones exponenciales……………….17 Funciones trigonométricas…………….18 Conclusión…………………………………..19 Bibliografía………………………………...20

Una breve funciones

historia


En las matemáticas actuales el concepto de función se define del modo siguiente: Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.1 Para representar las funciones se suele utilizar la notación:

f : A →B para los conjuntos, f(x) = y para los elementos A se llama conjunto inicial y B es el conjunto final

f(x) = y se expresa como y es la imagen de x a través de la aplicación f.

Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En los próximos temas vamos a estudiar funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (conjunto final) de variable real (conjunto inicial), f :R →R . La pregunta que cabe hacerse ahora es: ¿cómo se ha llegado hasta aquí?. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también la forma en que se definía, ganando precisión a través de los años. Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia2. En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función3. En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias4 para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva. Detalle del Papiro Ahmes

En la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y moderno) de función5. La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (13231382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano.6 En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado.


Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes consecuencias: La función uno-a-uno n→n2 entre los naturales y sus cuadrados, que demuestra que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Las funciones

que prueban que dos circunferencias, una con doble radio que la otra, tienen el mismo número de puntos. Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (15961650) introducía la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para representar en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un plano8. A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis infinito, en el definió función como: Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes. Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que precisar su definición: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ... Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)


“FUNCIONES” ¿Qué es una Función? Una función del conjunto D en el conjunto Y es una relación que asocia a cada elemento X del conjunto D un único elemento del conjunto Y. Si f es una función de D en Y entonces:

F : D

Y

X

f (X) D 1

1

2

2

3

3

4

4

f(X) = X

¿Qué es Dominio? Es el que determina una función. X

Y

X

Y

X

Y Y

Y


DIFERENTES CASOS DE FUNCIONES (a)

Sea f(x) =

encuentre el dominio

2 X–1

X–1=0 X=1 D= x x

0

D=R/

1

//Son los que sean diferentes de 0 //Todos los Reales excepto 1

D = (-00, 1) U (1, 00)

)

(

1 (b)

f(x) = x 2 + 1 x + 3

D = R

-3

X + 3 = 0 X = -3

(c) f(x) =

// Es el Dominio

3x + 1 X2 – 2

X 2 – 16 = 0 // No queremos que salga esto


(x – 4 ) (x + 4) = 0 X = 4 X = --4 D = R -

(c)

-4, 4

F (x)=7-x

7 – x ≥ 0 -x ≥ -7 X≤7 D=x x≤7

PUNTOS A TOMAR EN CUENTA PARA UN MEJOR COMPRENIMIENTO SORE LAS FUNCIONES Si se cumple con las siguientes reglas: 1.- Queda estrictamente prohibido dividir por cero. 2.- No se pueden extraer raíces con índice par de números negativos


Esto quiere decir que la parábola, la cubica, polinomica, etc. todas las que cumplan con las reglas siempre tendrán como dominio todos los números reales. “Cuando se necesite hallar el dominio de una función real de una variable real, debemos excluir aquellos valores de la variable independiente (por lo general es X) que causaran una división entre cero o la raíz cuadrada de un numero negativo”. Importante: “Siempre que sea con valor absoluto el dominio serán todos los números reales”.

Como recomendación: juega con el dominio dándole valores pequeños con decimal y así poder ver el comportamiento de la curva.

OPERACIONES CON FUNCIONES Suma

Ejemplo 1 sean f(x) = x2 + 1

Encuentra f(x) + g(x)

y

f(x) – g(x)

F(x) = x2 + 1+ 3 x2 - 2x +3 = 4 x2 – 2x + 4 F(x) = x2 + 1 – (3 x2 – 2x + 3) = x2 + 1 – 3 x2 + 2x -3 = -2 x2 + 2x – 2

Ejemplo 2

y

y(x) = 3x2 - 2x +3


F(x) = 3x

g(x) = 1

2x + 2

x+1

F(x) + g(x)

y g(x) – f(x)

F(x) + g(x)

= 3x + 2x+2

1 = 3x(x + 1) + 2x + 2 x+1

2(x+1)2

= 3x2 + 3x + 2x + 2 2(x+1)2

= 3x2 + 5x + 2 2(x+1)2

Ejemplo 3 sean f(x) = ex – 1

F(x) + g(x) = ex – 1 + x+2

y

g(x) = x+2


G(x) – f(x) = x+2 + 1 - ex

Se pueden sumar la cantidad de Funciones que queramos, y estas se van sumando de dos en dos.

Multiplicación

F(x) * g(x) = (ex – 1) (x+2)

= ex x+2 - x+2

Y1 = 3x + 2

y2 = 4x 2 – 1 + x

Y1 * y2 = (3x + 2) (4x2 – 1 + x) = 12x3 – 3x + 3x2 + 8x2 – 2 + 2x =12x3 - x + 11x2 – 2


División y = cos x

y = tan x

y1 * y2 = cos x * tan x = cos x * sen x

sen x

cos x

“SENO SOBRE COSENO ES IGUAL A TANGENTE”

H= tangente x = coseno y = seno

h= y x

Composición


Bibliografía http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_3.html

En conclusión

quisiera resaltar como las

funciones juegan un papel importante en nuestra vida cotidiana y el saber que es una función de donde provienen como encontrar el dominio, y saber cómo se diferencia una de otra es de gran importancia para llegar a la solución de estas, en este trabajo se muestran consejos prácticos y que son los que me han ayudado en lo personal a desarrollar las funciones; en cuestión a las operaciones con funciones es lo que venimos viendo desde antes con respecto a la suma, resta, multiplicación y división y aunque puede parecer un poco confuso si se siguen los pasos y consejos, y con un poco de practica se logra ver las matemáticas de una nueva forma, en este trabajo he comprendido que el esfuerzo y dedicación hacia algo importante vale la pena y tal vez no cambie la mentalidad al leer o entender esto pero puede ser la puerta que me lleve a lograr todas aquellas metas pues esta es la base y sin ella todo se derrumba.


Bibliografía Apuntes de la libreta de cálculo diferencial aportados por el L.M.A. Daniel Cardona Ríos

http://www.google.com.mx/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CC4QFj AA&url=http%3A%2F%2Fwww.geogebra.org%2Fen%2Fupload %2Ffiles%2Fruben %2Flec_BreveHistoriaFunciones_profe.pdf&ei=I3ZCUfXoIqHN2Q WN2ICYCQ&usg=AFQjCNFIfYoJWeb453ozVaAbT9cXEXfZyA&si g2=N8rdQYTKAJivBsK2oh4jgw

http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/funciones.html

http://www.vitutor.com/fun/2/co_e.html

Calculo diferencial  

Un trabajo acerca de las funciones

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