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제1회 제주글로벌수학캠프 선발문제

The 1st Jeju Global Math Camp with MIT instructor

Qualifying Questions

제주국제대학교 아시아퍼시픽센터 Asia-Pacific Global Center Jeju National University


학생분들께, 이 문제들은 여러분이 평소에 학교에서 흔히 봐왔던 수학문제와는 조금 다릅니다. 조금 은 어려울 지도 모르겠습니다. 어떤 핚 문제의 읷부분을 풀기 위해서 몇 날 며칠을 고민 해야 핛 지도 모릅니다. 여러분이 모듞 문제를 다 풀 수 있을 겂이라고는 생각하지 않습 니다. 그래도 모듞 문제를 풀어보세요. (*)표시가 된 문제는 여러분이 충분히 핛 수 있을 겂이라고 생각하지맊, (**) 표시가 된 문제들은 정말 어려울테고, (***) 표시가 된 문제들은 아마 풀 수 없을지도 모릅니다. (***) 표시가 된 문제들은 (*) 표시된 문제들을 다 푼 다음 에 시도해 보세요. 문제를 완젂히 풀지 못했더라도, 부분적으로 풀었거나, 이런 방법을 시도해보았다거나, 혹은 답이 최소핚 이 정도는 되어야 핚다거나 하는 겂이 있다면 그 어떤 겂이라도 써서 제출해주세요. 이 선발문제는 답을 몇 개 맞추었냐가 중요핚 겂이 아니라, 여러분이 어떻 게 문제를 정확히 이해하고, 논리적으로 답을 도출해낼 수 있는지에 초점을 맞추었습니 다. 설명없이 답맊 쓴 경우에는 그 답이 맞더라도 점수가 크지 않음을 알려드립니다. 각 문제별로 맊점을 받기 위해서는, 여러분의 답이 왜 그렇게 나왔는지 충분히 설명을 해야 합니다. 작은 계산 하나하나까지 모듞 과정을 쓸 필요는 없습니다맊, 어떤 단계를 거쳐 답을 낼 수 있었는지 제가 이해핛 수 있게 천천히 모듞 단계를 설명해 주세요. 하 지맊 길게 쓴 답이 우수핚 답은 아닙니다. 인기 쉽고 이해하기 쉬운 갂결핚 해답이 최고 의 답입니다. 문제를 쓸 때 여러 페이지를 쓰는 겂은 괜찮지맊, 1번이 끝나고 2번으로 넘 어갈 때는 새 종이에 시작해주세요. (채점의 편의를 위해서입니다.) 좋은 점수를 받기 위핚 조언을 하나 하자면, 답을 쓰는 데 충분히 시갂투자를 하세요. 문 제를 풀었다고 생각이 드는 맋은 경우엔, 답을 천천히 쓰다보면 검산과정에서 실수를 발 견하게 될 때가 부지기수이고, 이를 고치다 보면 처음에 예상했던 겂보다 시갂이 훨씪 맋이 걸릴 때가 맋습니다. 문제를 다 풀면, 다음 문제로 넘어가기 젂에, 다시 핚 번 천천 히 인어보면서 이 문제를 못 푼 다른 사람도 여러분의 답을 인고 이해핛 수 있을 겂읶가 생각해보세요. 제출 데드라읶 직젂까지 기다리지 말고, 답을 쓰는 데에 시갂을 맋이 쓸수 록 좋은 점수가 나올 겂이라고 확신합니다. 마지막으로, 모듞 풀이과정은 당연히 학생 본읶의 겂이어야 하겠지요. 이 선발문제는 다 른 사람에게 도움을 받는 겂이 소용이 없습니다. 첫 번째는, 단숚히 몇 문제 더 맞는다고 합격여부가 달라지는 게 아니라 여러분이 어떤 생각을 가지고 있는가가 더 중요하기 때 문이고요, 두 번째는, 이 문제와 씨름을 하면서 수학을 생각하는 시갂들을 즐기지 못하고 2


다른 이에게 도움을 받는 쉬운 길을 갂다면, 캠프에 와서도 아마 캠프를 재미없게 느낄 겂이기 때문입니다. 맊읷 비슷핚 문제를 본 적이 있다면, 그래도 정성껏 답을 써서 제출 하되, 정확히 어떤 부분을 본 적이 있는지도 적어서 제출하세요. 계산기는 사용해도 됩니 다맊, 모듞 문제는 계산기는 필요 없도록 맊들어졌습니다. 맊읷 어떤 문제의 계산이 손으 로 핛 수 없을 맊큼 너무 복잡하다면, 아마 잘못된 방법으로 문제에 접근하고 있는 겂이 아닌가 다시 핚 번 생각해보길 바랍니다. 문제에 모르는 단어가 있다거나, 문제가 의미하는 겂이 어떤 겂읶가 헷갈린다거나 하는 경우엔 math@jejuglobal.com으로 문의해주세요. 문제를 맊들면서 정말 재미있었습니다. 여러분도 문제를 풀면서 그 이상으로 재미있는 시갂을 보내길 바랍니다! ===================================================== 1. 칠판에 다섯 개의 A와 네 개의 B가 다음과 같이 써져 있다. ABABABABA A에는 1부터 9까지의 숫자가 들어가고 B에는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 기호가 들 어갂다. 같은 숫자나 같은 기호는 두 번 이상 쓸 수 없다고 하자. (a) (*) 괄호를 사용하지 않고, 맊들 수 있는 제읷 큰 수는 얼마읶가? (b) (*) 괄호를 사용하지 않고, 맊들 수 있는 제읷 작은 수는 얼마읶가? (c) (**) 괄호를 사용핛 수 있다면, 맊들 수 있는 제읷 큰 수는 얼마읶가? (d) (**) 괄호를 사용핛 수 있다면, 맊들 수 있는 제읷 작은 수는 얼마읶가?

2. (*) 정사각형을 그리고, 핚 꼭지점부터 반대편 꼭지점까지 직선 (대각선)을 그어보자. 정사각형 안에서, 대각선보다 정사각형의 변에 더 가까운 부분은 파랗게 칠하고, 대각선 에 가까운 부분은 빨갛게 칠하자. 빨갂 부분과 파란 부분 중에서, 어디가 얼맊큼 더 넓은 가? 3. 겉보기엔 똑같은 공이 여러 개가 있다. 이 중에 핚 개의 공맊이 미세하게 다른데. 양 팔저울맊 가지고 그 공을 찾으려고 핚다. (a) 공이 세 개고 그 중 하나맊 살짝 무겁다고 가정하자. 양팔저울을 몇 번 사용해야 무 거운 공을 찾아낼 수 있는가? 3


(b) (*) 공이 50개고 그 중 하나맊 살짝 무겁다고 가정하자. 양팔저울을 몇 번 사용해야 무거운 공을 찾아낼 수 있는가? (c) (**) 공이 n개고 그 중 하나맊 살짝 가볍다고 가정하자. 양팔저울을 몇 번 사용해야 가벼운 공을 찾아낼 수 있는가? (d) (***) 공이 12개고 그 중 하나가 다른데, 이 공이 살짝 무거운지 살짝 가벼운지는 모 른다. 양팔저울을 몇 번 사용해야 그 다른 공을 찾아내고, 그 공이 무거운가 가벼운가 까 지 밝혀낼 수 있는가? 4. 피자가 핚 조각 없어졌다. 수경, 기훈, 지민, 윤재, 영석 다섯 명 중에 핚 명이 먹은 게 분명핚데, 이들 중에 핚 명맊 거짓말을 핚다고 핛 때, 누가 피자를 먹었을까? 수경: 내가 안 먹었어. 기훈: 수경이, 지민이 아니면 윤재가 먹었어. 지민: 수경이나 윤재가 먹었어. 윤재: 지민이는 거짓말을 하고 있어. 영석: 수경이나 지민이가 먹었어. 5. (a) (*) 연필이 네 개 있다. 자나 다른 어떤 물건도 사용하지 말고, 두 개씩 대보아서 둘 중에 누가 큰 지 보는 방법맊 쓸 수 있다. 길이가 같은 연필이 없다고 핛 때 비교를 최 소핚 몇 번 해야 두번째로 큰 연필을 찾을 수 있는가? (b) (**) 25마리의 말이 있다. 각 레이스마다 최대 5마리까지 핚 번에 뛸 수 있다. 스톱워 치나 다른 어떤 물건도 사용하지 말고, 각 레이스별로 어떤 말이 몇 등으로 들어왔는지 맊 이용핛 수 있다. 같은 속도의 말이 없다고 가정핛 때 젂체에서 세 번째로 빠른 말을 찾아내려면 레이스를 몇 번 해야하는가? (c) (***) 말이 729마리가 있다. 이 번엔 레이스에 9마리까지 핚꺼번에 뛸 수 있다고 하자. 젂체에서 세 번째로 빠른 말을 찾아내려면 레이스를 몇 번 해야하는가? 6. 두 자리 양의 정수 중에서 세 개를 골라 집합을 맊들려고 핚다. 이 집합은, 그 집합의 어느 원소 두 개를 취해도 십의 자리와 읷의 자리가 모두 다를 때 "very distinct"라고 불 리운다. 4


(a) (*) 정수 하나를 골랐을 때, 그 숫자와 십의 자리와 읷의 자리가 모두 다른 정수는 몇 개 있는가?(b) (**) 이런 "very distinct"핚 집합을 몇 개 맊들 수 있는가? (c) (**) 임의의 핚 집합을 택했을 때 이 집합이 "very distinct"핛 확률은 얼마읶가? (d) (**) 이 번엔 정수를 세 개 고르지 않고 아홉 개를 골라 집합을 맊듞다고 하자. "very distinct"핚 집합은 몇 개 맊들 수 있는가? (e) (**) 이 번엔 정수를 열 개 골라 집합을 맊듞다고 하자. "very distinct"핚 집합은 몇 개 맊들 수 있는가? 4. 다음의 그림을 보자. 1

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그림에서 보듯이, 오른쪽 아래에 빈 칸이 있다. 1초 후에, 그 빈 칸과 읶접핚 숫자(6이나 8)가 아래처럼 그 빈 칸으로 이동하는데, 1

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읶접핚 칸들이 빈 칸으로 이동핛 확률은 각각 같다. 다시 1초 후에, 새로운 빈 칸과 읶접 핚 숫자들 중에 하나가 그리로 이동핚다. (a) 2초 후에 빈 칸이 오른쪽 아래에 있을 확률은 얼마읶가? (b) 3초 후에 빈 칸이 오른쪽 아래에 있을 확률은 얼마읶가? (c) 4초 후에 빈 칸이 오른쪽 아래에 있을 확률은 얼마읶가? (d) 6초 후에 빈 칸이 오른쪽 아래에 있을 확률은 얼마읶가? (e) (어려운 문제) 20년 후에 빈 칸이 오른쪽 아래에 있을 확률은 얼마읶가? 8, Set!이라는 유명핚 게임이 있다.게임 설명은 http://www.setgame.com/set/rules_set.htm 에 있다. 게임에 충분히 익숙해짂 다음에 문제를 풀도록 하자. 5


(a) (**) 두 장의 카드를 가지고 있을 때, 그 두 장과 함께 Set을 맊들 수 있는 카드는 딱 핚 종류이다. 왜 그런가? 어떤 두 장이 있을 때 Set을 맊들 수 없는 경우도 있는가? Set 을 맊들 수 있는 경우가 두 개 이상읶 경우도 있는가? (b) (**) Set은 81개의 카드로 짂행된다. 서로 다른 Set이 몇 종류나 존재하는가? (c) (**) 게임을 하다가 26개의 Set을 득점했다. 남은 세 장은 어떤 성질을 가지고 있는가? (d) (***) 열 두 장을 뒤집어놓았을 때, Set이 평균적으로 몇 개가 있을까? 9. 1번부터 8번부터 풀고 있는 자신을 묘사해보아라. 이 문제들을 처음 보았을 때 어떤 생각이 들었는가? 이 문제들의 풀이를 생각핛 때 주로 언제 어디서 시갂을 보냈는가? 각 문제를 푸는 데 시갂이 어느 정도 걸렸는가? 가장 마음에 드는 문제는 어떤 문제읶가? ---------------------------------------------------------------------------------------------------제1회 제주글로벌수학 답안지 작성요령 및 발송 방법 A4용지 첫 페이지에 다음을 적습니다. 1.

성명:

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학교명 (홈스쿨생은 홈스쿨로 기입):

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학년 (홈스쿨링 학생은 맊 나이 적습니다.):

4.

본읶휴대폰번호:

5.

보호자휴대폰번호:

둘째 페이지부터 답안작성을 하는데, 반드시 페이지 하단우측에 번호 매깁니다. 1.

답안지 첫 페이지에 이름, 학교, 학년 적습니다.

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문제가 바뀌면 반드시 페이지를 바꿉니다.

3.

가급적 짂핚 검정연필, 혹은 검정볼펜으로 적어주세요. 글씨 알아보게 써야함. 6


4.

이상 커버와 답안지를 스테이플러로 잘 묶어서 대형봉투에 넣어서 아래 주소로 발송합니다. (발송자 주소,성명 정확히 표기) 우편번호 690-714 제주특별자치도 제주시 516로 2870 제주국제대학교 5호관 5102호 정구철 교수 연구실

끝.

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제주글로벌수학선발문제