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UNIVERSIDAD MARIANO GALVES DE GUATEMALA SAN PEDRO SACATEPEQUES, SAN MARCOS. INGENERIA EN SISTEMAS ING. LUIS CURSO: CALCULO SECCION:”A”

TEMA: PROYECTO FINAL

NOMBRES: CARLOS EDUARDO GODINEZ GONZALEZ NEHEMIAS JOEL ESTRADA GUINAC JUAN CARLOS FUENTES MIRANDA JUAN FRANSISCO PABLO PABLO CABRERA

CARNE: 0903-10-5611 0903-10-4665 0903-10-4444 0903-08-10107 0903-07-11309


Limites Suponer que se pide dibujar la grafica de la función f dada por

Para todos los valores distintos de x=1, es posible emplear las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x=1, no está claro que esperar. Para obtener una idea del comportamiento de la grafica de f cerca de x01, se puede usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha como se muestra se ilustra en la tabla

Como se muestra en la figura la grafica de f es una parábola con un hueco en el punto (1,3).A pesar de que x no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1 y en consecuencia f(x) se acerca a 3 de la misma manera. Utilizando la notación que se emplea con los limites, se podría escribir.

Este análisis a una descripción informal de limite. Si f(x) acerca arbitrariamente a un numero L cuando x se aproxima a c por cualquiera de los dos lados, entonces el Limite de f(x), cuando x se aproxima a c, es L. esto se escribe


Limites Que no Existen Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda Demostrar que el siguiente limite no existe

Solucion: Considerar la grafica de la funci贸n f(x)=|x|/x para los valores positivos de x

,

X>0

Y para los valores negativos de x

X<0


Esto significa que, independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán tantos valores positivos como negativos de x que darán f(x)=1 yf(x) =-1. De manera especifica, si δ(letra Griega minúscula) es un numero positivo, entonces los valores de x que satisfacen la desigualdad 0<|x|< δ se puede clasificar de la siguiente manera:

Esto implica que el límite no existe.

Propiedad de los Limites


Limite de un Polinomio

En el ejemplo se observa que el limite (cuando x2) de la función poli nómica p(x) = 4x2 + 3 es simplemente el valor de p en x=2

Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones poli nómicas y racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado. Limites y Manipulacion Algebraica

LIMITES POR MANIPULACION ALGEBRAICA Ejercicio 1

Hallar el límite hacia el cual tiende la función: ( )

cuando su variable se aproxima a un punto

podemos decir cuando x tiende a 3. Esta situación problémica de limite la podemos escribir simbólicamente como:

esto quiere decir que debemos

determinar hacia que número se aproxima la función f(x), cuando la variable se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha, podemos observar que cuando le damos a la


variable X el valor de 3 en la función esta se nos hace

es

decir nos da una indeterminación, la cual es evitable si hacemos una factorización del numerador y al realizar la simplificación, luego tenemos: y cancelamos los términos que nos causan esta indeterminación en la función. ( - )( ( )

Procedamos a factorizar

)

podemos

observar que la indeterminación esta en X-3 luego ( ) podemos determinar Podemos concluir entonces que el límite de la función es 6.

EJERCICIO 2 DETERMINE

si reemplazamos

directamente el 5 en la función tendremos la indeterminación para evitar esto debemos simplificar la función factorizando el trinomio que tenemos en el numerador y hacer una simplificación para destruir esta indeterminación, luego tenemos que: =

(

)(

)

(

)


Limites Expotencial Limites laterales

Solución Como se muestra el limite cuando x se aproxima a -2 por la derecha es

Los limites laterales pueden usarse para investigar el comportamiento de las funciones escalón. Un tipo de común de función escalón es la función parte entera o mayor entero [x], que se define como


Limites Infinitos

Con la ayuda de la figura y de las siguiente tabla, se puede observar que f(x) decrece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la izquierda y que crece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Este comportamiento se denota

Limites de Funciones

Límite de funciones. Cálculo Propiedades.


Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:

En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:

En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto. Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.

La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión. En este caso concreto, el punto es : x = 1.


La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:

Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará :

puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:

que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador. Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fracción no cambia, sigue que:


Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la funci贸n :

Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:

Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :

Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, est谩 claro que:

Veamos ahora otra indeterminaci贸n de este tipo, pero algo m谩s complicada:


Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado. El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:

Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que:


Derivadas Por partes

Derivada Lista de derivadas de funciones elementales En las f贸rmulas siguientes se considera que

:


(regla de la cadena)

Ejemplo #1 Sea la función números reales (denotado por

, definida sobre el conjunto de los ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

Para encontrar el signo de

, se tiene que factorizar:

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado. También se observa su segunda derivada: f''(x) = 12x − 18

Dado que es

y

entonces tiene un máximo local en -1 y su valor

.

Dado que

y

entonces tiene un mínimo local en 4 y su valor es

. Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de x tales que

, los cuales son

y

, tomando en cuenta el teorema

del valor medio y que entonces la derivada es negativa en el intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo . Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo y en el intervalo .


Notaci贸n de la derivada Evaluaci贸n de una derivad

Regla del cociente


Regla de la cadena

INTEGRACION La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.


Integral Definida.

Definición de integral definida; La integral (denominada algunas veces la integral definida) de una función f(x). Entre x = a y x = b, se escribe como: Inclusive, se interpreta como el área de la región limitada por la gráfica y = f(x) el eje “x” y las líneas verticales de x = a, y x = b (a<b); Si el área esta por encima del eje “x”, es positiva y si esta por debajo del eje “x”, es negativa. y y = f(x) +x (-) Coeficientes de desigualdad para distribución de ingreso La curva de Lorenz se utiliza en la economía y ecología para describir la desigualdad de abundancia o tamaño. La curva de Lorenz es una función de la proporción acumulativa de individuos pedidos tras sobre la proporción acumulativa correspondiente de su tamaño. Dado una muestra de n pidió a individuos con el tamaño del individuo i y, después está el polígono la curva de Lorenz de la muestra que


ensambla los puntos, donde h = 0, 1, 2… n, y Alternativamente, la curva de Lorenz se puede expresar como donde está la función de distribución acumulativa de individuos pedidos y es el medio F(y) clasificar. Si todos los individuos son del mismo tamaño, la curva de Lorenz es una línea diagonal recta, llamada la línea de la igualdad. Si hay alguna desigualdad de tamaño, entonces la curva de Lorenz cae debajo de la línea de la igualdad. La cantidad total de desigualdad se puede resumir por el coeficiente de Gini (también llamado el cociente de Gini), que es el cociente entre el área incluida por la línea de la igualdad y la curva de Lorenz, y el área triangular total bajo línea de la igualdad. El grado de la asimetría alrededor del eje de la simetría es medido por el coeficiente supuesto de la asimetría de Lorenz 

Ejercicio

Encuentre el coeficiente de desigualdad de la distribución de ingreso dada por la curva

, en donde X es la proporción acumulada de captadores de ingresos y Y es la proporción acumulada del ingreso nacional.

R// Curvas de aprendizaje


Las curvas de aprendizaje, también llamadas economías de escala dinámicas, hacen referencia al aumento de la productividad que se produce a través de la experiencia acumulada. Cuando una empresa lleva más de un periodo produciendo un bien aprende a producirlo mejor, se hace con el know how del proceso productivo, lo que se traduce en una disminución del coste unitario a medida que aumenta la producción acumulada. La importancia de esta relación puede llevar a que determinadas empresas produzcan más que la cantidad de equilibrio durante los primeros periodos con el fin de bajar por su curva de aprendizaje más rápidamente que sus competidores, es decir, para crear una barrera de entrada. Formula

Ejercicio

Después de observar las primeras 400 unidades de su producto, una empresa determina que el tiempo de mano de obra requerido a fin de ensamblar la unidad (x+1) fue de

. Calcule el total de horas de mano de horas requeridas con el objeto de producir 500 unidades adicionales

10000 R//


PROYECTO FINAL  

presentaciones de funciones

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