Issuu on Google+

ส่วนที่ 1 ส่วนที่ 2 ส่วนที่ 3 ส่วนที่ 4

(O NET) .........โดย อ.ไพโรจน์ โอ่งตัว๋ .....................................หน้า 2-50 (PAT 1)..........โดย อ.ภาคภูมิ อร่ามวารีกุล (พี่แท๊ป)..............หน้า 51-112 (PAT 1)..........โดย อ.ศุภฤกษ์ สกุลชัยพรเลิศ (ครู sup’k) .....หน้า 113-218 ชุดเก็งข้อสอบ ..........................................................................หน้า 219-240


เซต เซตที่ควรรูจัก 1. 2. 3. 4.

เซตจํากัด (Finite Set) หมายถึง เซตที่มีจํานวนสมาชิกจํากัด เซตอนันต (Infinite Set) หมายถึง เซตที่มีจํานวนสมาชิกไมจํากัด หรือเปนเซตซึ่งไมใชเซตจํากัด เซตวาง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไมมีสมาชิก เขียนแทนดวยสัญลักษณ φ หรือ { } สมบัติของสับเซต ถา A เปนเซตจํากัดใดๆ ที่มีสมาชิก n ตัว

1) 2) 3) 4)

จํานวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n เซต จํานวนสับเซตแททั้งหมดของเซต A = 2n – 1 เซต จํานวนสับเซตที่มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัว = 2n – 1 เซต จํานวนสับเซตที่มีสมาชิกอยางนอย 2 ตัว = 2n – n – 1 เซต

5. สมบัติของเพาเวอรเซต ให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A เขียนแทนดวย P(A) 1) P(A) ≠ φ สําหรับทุกๆ เซต A (P(A) จะตองมีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวเสมอ) 2) A ∈ P(A) 3) ถา A เปนเซตจํากัดใดๆ ที่มีสมาชิก n ตัว จํานวนสมาชิกของ P(A) = 2n 4) ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 5) P(A) I P(B) = P(A I B) 6) P(A) U P(B) ⊂ P(A U B) ขอสังเกต 1. A ⊂ (A U B) และ B ⊂ (A U B) 2. (A I B) ⊂ A และ (A I B) ⊂ B 3. ถา A ⊂ B แลว A U B = B 4. ถา A ⊂ B แลว A I B = A คณิตศาสตร (2) ____________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สมบัติของเซต 1. Idempotent Laws 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

สมบัติการเปลี่ยนกลุม สมบัติการสลับที่ สมบัติการแจกแจง เอกลักษณของเซต Complement Laws De Morgan’s Laws ผลตาง

ยูเนียน อินเตอรเซคชัน AI A = A AU A = A AU φ = A AI φ = φ AU U = U AI U = A (A U B) U C = A U B U C (A I B) I C = A I B I C AU B = BU A AI B = BI A A U (B I C) = (A U B) I (A U C) A I (B U C) = (A I B) U (A I C) AU φ = A AI U = A A U A′ = U A I A′ = φ (A U B)′ = A′ I B′ (A I B)′ = A′ U B′ A - B = A I B′

6. การหาจํานวนสมาชิกของเซต 1) ถา A และ B เปนเซตจํากัด และ A I B = φ แลว n(A U B) = n(A) + n(B) 2) ถา A และ B เปนเซตจํากัด และ A I B ≠ φ แลว n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B) 3) n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A I B) – n(A I C) – n(B I C) + n(A I B I C) 4) n(A′) = n(U) – n(A) การหาจํานวนสมาชิกจากแผนภาพ มีวิธีการพอสังเขป คือ การลงจํานวนสมาชิกในแตละสวนที่เปนรูปปดที ละสวนตามที่ทราบ แลวจึงพิจารณาความสัมพันธจากโจทยถึงสวนที่เหลืออีกครัง้ เพื่อคํานวณหาจํานวนสมาชิกใน สวนที่เหลือจบครบ แลวตอบคําถามตามที่โจทยตองการทราบ

ตัวอยางขอสอบ 1. กําหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซึ่ง A ⊂ B พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (C – A) ⊂ (C – B) ข. A′ I C ⊂ A′ I B ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

____________________________________ คณิตศาสตร (3)


2. ให A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตอนันต ขอความใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ A 2) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ B 3) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ A 4) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ B 3. ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเท็จ 1) A - B มีสมาชิก 5 ตัว 2) จํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากับ 4 3) จํานวนสมาชิกของ (A - B) U (B - A) เปนจํานวนคู 4) A I B คือ เซตของจํานวนนับที่มีคามากกวา 5 4. ถา A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว A I B เปน สับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} 5. กําหนดให A และ B เปนเซต ซึ่ง n(A U B) = 88 และ n[(A – B) U (B – A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55 6. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเสื้อสีเหลืองหรือเสือ้ สีฟาอยางนอยสีละหนึ่งตัว ถานักเรียน 39 คนมีเสื้อสีเหลือง และ 19 คนมีเสื้อสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มีเสือ้ สีเหลืองและเสือ้ สีฟามีจํานวนเทากับขอใด 1) 9 คน 2) 10 คน 3) 11 คน 4) 12 คน 7. ในการสํารวจความชอบในการดืม่ ชาเขียวและกาแฟของกลุมตัวอยาง 32 คน พบวา ผูชอบดื่มชาเขียวมี 18 คน ผูชอบดื่มกาแฟมี 16 คน ผูไมชอบดื่มชาเขียวและไมชอบดืม่ กาแฟมี 8 คน จํานวนคนที่ชอบดื่มชาเขียวอยางเดียวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 คน 2) 8 คน 3) 10 คน 4) 12 คน 8. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 50 คน มี 32 คน ไมชอบเลนกีฬาและไมชอบฟงเพลง ถามี 6 คน ชอบฟงเพลงแต ไมชอบเลนกีฬา และมี 1 คน ชอบเลนกีฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนักเรียนในกลุมนี้ที่ชอบเลนกีฬาและชอบ ฟงเพลงมีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน 9. ถากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปนี้ เซต จํานวนสมาชิก

AU B 25

AU C 27

BU C 26

จํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 23 2) 24 3) 25 คณิตศาสตร (4) ____________________________________

AU BU C 30

AI BI C 7 4) 26

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


10. ให A และ B เปนเซตซึ่ง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(A I B) = 2 ถา C = (A – B) U (B – A) แลว n(P(C)) เทากับเทาใด 11. ในการสํารวจงานอดิเรกของนักเรียน 200 คนปรากฏวา ชอบอานหนังสือมี 120 คน ชอบดูภาพยนตรมี 110 คน ชอบเลนกีฬามี 130 คน ชอบอานหนังสือและดูภาพยนตรมี 60 คน ชอบอานหนังสือและเลนกีฬามี 70 คน ชอบดูภาพยนตรและเลนกีฬามี 50 คน นักเรียนที่ชอบเลนกีฬาเพียงอยางเดียวมีกี่คน 12. ในการสอบถามพอบานจํานวน 300 คน พบวา มีคนที่ดื่มชา 100 คน มีคนที่ดื่มกาแฟ 150 คน มีคนที่ไมดื่มทั้งน้ําชาและกาแฟ 100 คน พอบานที่ดื่มทั้งชาและกาแฟมีจํานวนเทาใด 13. ในการสอบของนักเรียนชั้นประถมศึกษากลุมหนึ่ง พบวา มีผูสอบผานวิชาตางๆ ดังนี้ คณิตศาสตร 36 คน สังคมศึกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสังคมศึกษา 12 คน คณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทั้งสามวิชา 5 คน จํานวนผูที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชามีกี่คน

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

____________________________________ คณิตศาสตร (5)


การใหเหตุผล การใหเหตุผลทางคณิตศาสตรโดยทั่วไปสามารถแบงออกได 2 ลักษณะ คือ 1. การใหเหตุผลแบบอุปนัย เปนการใหเหตุผลโดยอาศัยขอสังเกต หรือผลการทดลองจากหลายๆ ตัวอยาง มาสรุปเปนขอตกลง หรือขอคาดเดาทั่วไป หรือคําพยากรณ 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัย เปนการใหเหตุผลโดยนําขอความที่กําหนดให ซึ่งตองยอมรับวาเปนจริงทั้งหมด มาเปนขออางและสนับสนุนเพื่อสรุปเปนขอความจริงใหม การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชแผนภาพเวนน–ออยเลอร รูปแบบที่ 1 “a เปนสมาชิกของ A” รูปแบบที่ 2 “a ไมเปนสมาชิกของ A” a

A

a

A

เขียนวงกลม A โดยให a อยูภายใน A

เขียนวงกลม A โดยไมให a อยูภายใน A

รูปแบบที่ 3 “A ทุกตัวเปน B” B

รูปแบบที่ 4 “A บางตัวเปน B” A B

A

เขียนวงกลม A และ B ซอนกัน โดย A อยูภายใน B สวนที่แรเงาแสดงวา “A ทุกตัวเปน B”

เขียนวงกลม A และ B ซอนกันบางสวน สวนที่แรเงาแสดงวา “A บางตัวเปน B”

รูปแบบที่ 5 “A บางตัวไมเปน B” A B

รูปแบบที่ 6 “ไมมี A ตัวใดเปน B”

เขียนวงกลม A และ B ซอนกันบางสวน สวนที่แรเงาแสดงวา “A บางตัวไมเปน B”

เขียนวงกลม A และ B แยกกัน เพื่อแสดงวา “ไมมี A ตัวใดเปน B”

A

คณิตศาสตร (6) ____________________________________

B

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ตัวอยางขอสอบ 1. จากแบบรูปที่กําหนดให 1

7 2

4

2

14 4

8

3

21 6 12

a

...

77 b

c

โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย 2a – b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 2 พิจารณาผลตางระหวางพจนของลําดับ 2, 5, 10, 17, 26, ... โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย พจนที่ 10 ของ ลําดับคือขอใดตอไปนี้ 1) 145 2) 121 3) 101 4) 84 3. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี 2. คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี 3. ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี แผนภาพในขอใดตอไปนี้มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขอขางตน เมื่อจุดแทนภราดร 1)

2)

3)

4)

4. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. คนตีกอลฟเกงทุกคนเปนคนสายตาดี 2. คนที่ตีกอลฟไกลกวา 300 หลา บางคนเปนคนสายตาดี 3. ธงชัยตีกอลฟเกงแตตีไมไดไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขางตน เมื่อจุดแทนธงชัย 1)

2)

3)

4)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

____________________________________ คณิตศาสตร (7)


5. เหตุ 1. ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน 2. มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง 3. มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง ผล 1. มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง 2. มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน 3. มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4. มีคนตกงานที่เปนคนขยัน ในขอใดตอไปนี้เปนการสรุปผลจาก เหตุ ขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล 1) 1. 2) 2. 3) 3. 4) 4. 6. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้ เหตุ 1. A 2. เห็ดเปนพืชมีดอก ผล เห็ดเปนพืชชั้นสูง ขอสรุปขางตนสมเหตุสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พืชชั้นสูงทุกชนิดมีดอก 2) พืชชั้นสูงบางชนิดมีดอก 3) พืชมีดอกทุกชนิดเปนพืชชั้นสูง 4) พืชมีดอกบางชนิดเปนพืชชั้นสูง 7. พิจารณาการอางเหตุตอไปนี้ ก. เหตุ 1. ถาฝนไมตกแลวเดชาไปโรงเรียน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรียน ข. เหตุ 1. รัตนาขยันเรียน หรือ รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได 2. รัตนาไมขยันเรียน ผล รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล 3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล

คณิตศาสตร (8) ____________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ระบบจํานวนจริง แผนผังของระบบจํานวนจริง จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จํานวนเต็ม จํานวนเต็มลบ

ศูนย

จํานวนอตรรกยะ

เศษสวนที่ไมใชจํานวนเต็ม จํานวนเต็มบวก

จํานวนจริง : Real Number (ใชสัญลักษณ R แทนเซตของจํานวนจริง) คือ เซตที่เกิดจากการยูเนียนกัน ของเซตของจํานวนตรรกยะกับเซตของจํานวนอตรรกยะ เขียนบนเสนจํานวนแบงออก ดังนี้ 1. จํานวนอตรรกยะ (ใชสัญลักษณ Q′ แทนเซตของจํานวนอตรรกยะ) คือ จํานวนที่ไมสามารถเขียนในรูป เศษสวนของจํานวนเต็มได ซึ่งก็คือทศนิยมไมซ้ําทั้งหลาย เชน π, e, ทศนิยมไมรูจบที่ไมซ้ํา 2. จํานวนตรรกยะ (ใชสัญลักษณ Q แทนเซตของจํานวนตรรกยะ) คือ จํานวนที่เขียนเปนเศษสวนของ

จํานวนเต็มได ซึ่งก็คือ ทศนิยมซ้ําทั้งหลายดังนั้น Q = {x | x = ba เมื่อ a, b ∈ I และ b ≠ 0} จํานวนเต็ม แบงออกเปน 3 ชนิด คือ 1. จํานวนเต็มบวก เขียน I+ หรือ I+ แทนเซตของจํานวนเต็มบวก หมายถึง {1, 2, 3, ...} จํานวนเต็มบวก เรียกชื่ออีกอยางวา จํานวนนับหรือจํานวนธรรมชาติ ซึ่งเขียนแทนเซตของจํานวนธรรมชาติไดดวย N 2. จํานวนเต็มศูนย เซตที่มี 0 เปนสมาชิกเพียงตัวเดียว นั่นคือ {0} 3. จํานวนเต็มลบ เขียน I- หรือ I- แทนเซตของจํานวนเต็มลบ หมายถึง {..., -3, -2, -1} เซตของ จํานวนเต็มเขียนแทนดวย I ดังนั้น I = I+ U I- U {0}

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

____________________________________ คณิตศาสตร (9)


การบวกและการคูณในระบบจํานวนจริง สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณในระบบจํานวนจริงมีดังนี้ ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง สมบัติ ปด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุม การมีเอกลักษณ การมีอินเวอรส

การบวก 1. 2. 3. 4.

การคูณ

a+b∈R a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 5. สําหรับ a จะมีจํานวนจริง -a โดยที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) อาน -a วา อินเวอรสการบวกของ a

ab ∈ R ab = ba (ab)c = a(bc) มีจํานวนจริง 1 ซึ่ง 1a = a = a ⋅ 1 10. สําหรับ a ที่ไมเปน 0 จะมี จํานวนจริง a-1 โดยที่ (a-1)a = 1 = a(a-1) เรียก a-1 วา อินเวอรสการคูณของ a 11. a(b + c) = ab + ac

การแจกแจง

6. 7. 8. 9.

การแกสมการกําลังสอง การแกสมการ หรือการหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว คือ การหาคําตอบของสมการที่เขียน อยูในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 ทําไดโดยอาศัยความรูเกี่ยวกับจํานวนจริง และการแยกตัวประกอบของพหุนาม ดังนี้ แยกตัวประกอบของพหุนาม • พหุนามในรูปกําลังสองสมบูรณ จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • พหุนามในรูปผลตางกําลังสอง จะแยกตัวประกอบดังนี้ A2 – B2 = (A – B)(A + B) • พหุนามในรูปผลบวกกําลังสาม จะแยกตัวประกอบดังนี้ A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) • พหุนามในรูปผลตางกําลังสาม จะแยกตัวประกอบดังนี้ A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) การหาคําตอบของสมการ

ax2 +

2 ± b - 4ac b bx + c = 0 โดยใชสูตร x = 2a

คณิตศาสตร (10)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สมบัติของกรณฑที่สอง 1. x = x1/2 เมื่อ x ≥ 0 2. x 2 = |x| 3. ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x y = x ⋅ y 4. ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว x = xy y

การไมเทากัน ความหมายและสัญลักษณแทนการไมเทากัน ในการเปรียบเทียบจํานวนสองจํานวน นอกจากการเปรียบเทียบวาเทากันและไมเทากันแลว เปรียบเทียบวา มากกวาหรือนอยกวาไดโดยเขียนอยูในรูปประโยคสัญลักษณ การเขียนสัญลักษณแทนชวง ถา a, b ∈ R และ a < b 1. ชวงเปด a, b เขียนแทนดวย (a, b) และ (a, b) = {x|a < x < b} 2. ชวงปด a, b เขียนแทนดวย [a, b] และ [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} 3. ชวงครึ่งปดครึ่งเปด a, b เขียนแทนดวย [a, b) และ [a, b) = {x|a ≤ x < b} หรือ (a, b] และ (a, b] = {x|a < x ≤ b} 4. ชวงอนันต 4.1 (a, ∞) = {x|a < x < ∞} = {x|x > a} 4.2 [a, ∞) = {x|a ≤ x < ∞} = {x|x ≤ a} 4.3 (-∞, a) = {x|-∞ < x < a} = {x|x < a} 4.4 (-∞, a] = {x|-∞ < x ≤ a} = {x|x ≤ a} 4.5 (-∞,∞) = เซตของจํานวนจริง = R การเขียนชวงบนเสนจํานวนจริง (a, b) = a b [a, b] = a b [a, b) = a b (a, b] = a b (a, ∞) = a [a, ∞) = a (-∞, a) = a (-∞, a] = a (-∞, ∞) = 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

ยังมีการ

___________________________________ คณิตศาสตร (11)


สมบัติของการไมเทากัน กําหนด x, a, b เปนจํานวนจริง และ a < b แลว 1. ถา (x – a)(x – b) > 0 จะได x < a หรือ x > b 2. ถา (x – a)(x – b) < 0 จะได a < x < b 3. ถา (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได x ≤ a หรือ x ≥ b 4. ถา (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได a ≤ x ≤ b 5. ถา xx -- ab > 0 จะได x < a หรือ x > b 6. ถา xx -- ab < 0 จะได a < x < b 7. ถา xx -- ab ≥ 0 จะได x ≤ a หรือ x > b 8. ถา xx -- ab ≤ 0 จะได a ≤ x < b คาสัมบูรณของจํานวนจริง คาสัมบูรณของ a เขียนแทนดวยสัญลักษณ |a| หมายถึง ระยะหางระหวางจุดแทน 0 กับจุดแทน a บน เสนจํานวน บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง a ถา a > 0 |a| = 0 ถา a = 0 -a ถา a < 0 สมบัติการเทากันของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง 1. |x| = |y| ก็ตอเมือ่ x = y หรือ x = -y 2. |x| = |-x| 3. |xy| = |x||y| 4. xy = ||xy|| , y ≠ 0 5. |x – y| = |y – x| 6. |x2| = |x|2 = x2 7. |x + y| = |x| + |y| ก็ตอเมือ่ xy ≥ 0 8. |x - y| = |x| + |y| ก็ตอเมือ่ xy ≤ 0

9.

x 2 = |x|

คณิตศาสตร (12)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สมบัติการไมเทากันของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง และ a เปนจํานวนจริงบวก 1. |x| < a ความหมายตรงกับ -a < x < a 2. |x| ≤ a ความหมายตรงกับ -a ≤ x ≤ a 3. |x| > a ความหมายตรงกับ x < -a หรือ x > a 4. |x| ≥ a ความหมายตรงกับ x ≤ -a หรือ x ≥ a 5. x2 < y2 ก็ตอเมื่อ |x| < |y| 6. |x + y| ≤ |x| + |y| 7. |x| - |y| ≤ |x - y| 8. |y| - |x| ≤ |x - y| 9. -|x| ≤ x ≤ |x|

ตัวอยางขอสอบ 1. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. มีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ข. มีจํานวนอตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ขอสรุปใดตอไปนี้กลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 2. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. จํานวนที่เปนทศนิยมไมรูจบบางจํานวนเปนจํานวนอตรรกยะ ข. จํานวนที่เปนทศนิยมไมรูจบบางจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 3. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. สมบัติการมีอินเวอรสการบวกของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที่ b + a = 0 = a + b ข. สมบัติการมีอินเวอรสการคูณของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที่ ba = 1 = ab ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (13)


4. ให a และ b เปนจํานวนตรรกยะที่แตกตางกัน และให c และ d เปนจํานวนอตรรกยะที่แตกตางกัน พิจารณาขอคว���มตอไปนี้ ก. a – b เปนจํานวนตรรกยะ ข. c – d เปนจํานวนอตรรกยะ ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 5. กําหนดให s, t, u และ v เปนจํานวนจริง ซึ่ง s < t และ u < v พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 6. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a และ b เปนจํานวนจริงซึ่ง |a| < |b| แลว a3 < b3 ข. ถา a, b และ c เปนจํานวนจริงซึ่ง ac = bc แลว a = b ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 7. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงซึ่ง |a|b3c > 0 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 8. กําหนดใหคาประมาณที่ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ 2.236 ตามลําดับ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 – 1.731 ≤ 5 – 3 ≤ 2.237 – 1.733 ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 9.

(|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | - |4 3 - 3 5 |)2 เทากับขอใด

1) 0

2) 180

5 6 10. 3 -32 + 2 3/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 27 (64) 2) - 56 1) - 13 24

3) 192

4) 200

3) 23

4) 19 24

คณิตศาสตร (14)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


   

2

5 - 2  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 11. 6 15  7 3 1) 10 2) 10

3)

5 -2

4)

6 -2

12. 12 - 1 - |2 - 2 | มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2 1) 32 - 22 2) 22 - 32 4) 3 2 2 - 52 3) 52 - 3 2 2 13. (1 - 2 )2(2 + 8 )2(1 + 2 )3(2 - 8 )3 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 2 14. ถา x ≤ 5 แลวขอใดตอไปนีถ้ ูก 2) |x| ≤ 25 3) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 25 1) x2 ≤ 25 15. ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยูในชวงใด 1) (-10, -5) 2) (-6, -4) 3) (-4, 5) 4) (-3, 6) 16. ถา 34 เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมื่อ b เปนจํานวนจริงแลว อีกผลเฉลยหนึ่งของ สมการนี้มีคาตรงกับขอใด 1) –2 2) - 12 3) 12 4) 2 17. พิจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรุปใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) คําตอบหนึ่งของสมการมีคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการมีคาเทากับ 14 3) สมการนี้มีคําตอบมากกวา 2 คําตอบ 4) ในบรรดาคําตอบทั้งหมดของสมการ คําตอบที่มีคานอยที่สุดมีคานอยกวา 3 18. ถาสมการ (x2 + 1)(2x2 – 6x + c) = 0 มีรากที่เปนจํานวนจริงเพียง 1 ราก คาของ c จะอยูในชวงใดตอไปนี้ 1) (0, 3) 2) (3, 6) 3) (6, 9) 4) (9, 12) 2

2   19. จํานวนสมาชิกของเซต {x | x =  a + |1a| - |a|- 1a  เมื่อ a เปนจํานวนจริงซึ่งไมเทากับ 0} เทากับ   ขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรือเทากับ 4 20. ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากับขอใดตอไปนี้ 3) 3 - 1 4) 3 + 1 1) 0 2) 3   21. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม และ A =  x ∈ I |x|x- -1|1-| 1 ≤ 23  แลวจํานวนสมาชิกของเซต A   เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (15)


22. เซตของจํานวนจริง m ซึ่งทําใหสมการ x2 - mx + 4 มีรากเปนจํานวนจริง เปนสับเซตของเซตใดตอไปนี้ 1) (-5, 5) 2) (-∞, -4) U [3, ∞) 3) (-∞, 0) U [5, ∞) 4) (-∞, -3) U [4, ∞) 23. เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + x ≤ 1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1- 2 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] 1) [ 2 - 1, 1] 24. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาวเทากับ 10 3 หนวย และดาน AB ยาวเทากับ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปตั้งฉากกับดาน AB ที่จุด D แลวจะไดวาดาน CD ยาว เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 25. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีพื้นที่ 600 ตารางเซนติเมตร ถาดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งยาวเปน 75% ของดานประกอบมุมฉากอีกดานหนึ่งแลว เสนรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้ยาวกี่เซนติเมตร 1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 26. ขบวนพาเหรดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาขบวนหนึ่ง ประกอบดวยผูเดินเปนแถว แถวละเทาๆ กัน (มากกวา 1 แถว และแถวละมากกวา 1 คน) โดยเฉพาะผูอยูริมดานนอกทั้งสี่ดานของขบวนนั้น ที่สวมชุดสีแดง ซึ่งมีทั้งหมด 50 คน ถา x คือจํานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คือจํานวนคนที่อยูในขบวนพาเหรดแลว ขอใด ถูกตอง 1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N 27. รูปสี่เหลี่ยมผืนผาสองรูป มีขนาดเทากัน โดยมีเสนทแยงมุมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานํารูป สี่เหลี่ยมผืนผาทั้งสองมาวางตอกันดังรูป จุด A และจุด B อยูหางกันเปนระยะกี่เทาของดานกวาง A B

1) 1.5

2) 3

C

3)

4) 2 2

2

28. ถา x = 2 + 3 และ y = 2 - 3 แลว x2 – 4xy + y2 เทากับเทาใด 2- 3 2+ 3 4

8  =  16  1/x และ y = 3x แลว y เทากับเทาใด 27   81  30. ถาชวงเปด (a, b) เปนเซตคําตอบของอสมการ |x - 1| + |6 - 3x| < 17 และ x > 2 แลว a + b เทากับเทาใด

29. ถา

  

คณิตศาสตร (16)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เลขยกกําลัง เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม บทนิยาม ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก แลว an = a × a × a × ... × a (เมือ่ a มีจํานวน n ตัว) เรียก an วา เลขยกกําลัง มี a เปนฐาน และ n เปนเลขชี้กําลัง เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทนิยาม ถา a เปนจํานวนจริงบวกใดๆ และ n เปนจํานวนตรรกยะที่มากกวา 1 n a = a1/n สมบัติของเลขยกกําลัง ถา x และ y เปนจํานวนจริงใดๆ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก 1. xm ⋅ xn = xm+n m 2. x n = xm-n x 3. (xm)n = xmn

4. (x ⋅ y)n = xn ⋅ yn n n 5.  xy  = x n y 6. 1n = x-n x

ขอสังเกต : x0 = 1 สมการของเลขยกกําลัง ถา x และ y เปนจํานวนจริงบวกใดๆ m และ n เปนจํานวนตรรกยะ 1. xm = xn ก็ตอเมื่อ m = n 2. xm = ym ก็ตอเมื่อ x = y โดยที่ x, y ≠ 0 อสมการของเลขยกกําลัง ถา x และ y เปนจํานวนจริงบวกใดๆ m และ n เปนจํานวนตรรกยะ 1. xm < xn และ x > 1 จะไดวา m < n 2. xm < xn และ 0 < x < 1 จะไดวา m > n

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (17)


ตัวอยางขอสอบ 1. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ แลวขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 2) ถา a < b < 0 แลวจะได ab < a2 1) ถา a < b แลวจะได a2 < b2 3) ถา |a| < |b| แลวจะได a < b 4) ถา a2 < b2 แลวจะได a < b 2. กําหนดให a และ x เปนจํานวนจริงใดๆ ขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง 2) ถา a < 0 แลว a-x < a 1) ถา a < 0 แลว ax < 0 3) ถา a > 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > a 3. ขอใดมีคาตางจากขออื่น 1) (-1)0 2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.8 4. ขอใดตอไปนี้ผิด 1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 4) 300 125 < 200 100 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 5. อสมการในขอใดตอไปนีเ้ ปนจริง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600 6. ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 330 ⋅ 440 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 2 (4x) 7. คาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 2 ( x ) = 2 4 4 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

8.

82/3 ⋅ (18)1/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 144 6 1) 23

3) 2

2) 4) 3

3x 9. ถา  3 + 38  = 16 81 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 1) - 94 4) 3) - 91

3 2

- 92 1 9

คณิตศาสตร (18)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


10. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 13 2) 23 3) 34 4) 53 1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 11. เซตคําตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32 1) -52 , 52  2) -52 , 1 3) -12 , 1 4) -12 , 52  4

8  =  16 1/x แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 125   625  2) 23 1) 34 3) 32 4) 34 13. ถา 4a = 2 และ 16-b = 14 แลว a + b เทากับเทาใด

12. ถา

  

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (19)


ความสัมพันธและฟงกชัน คูอันดับ คูอันดับ (a, b) กลาวคือ a แทน สมาชิกตัวหนา และ b แทน สมาชิกตัวหลัง

ผลคูณคารทีเซียน “ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเซียนของ A และ B เขียนแทนดวย A × B” นิยาม A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบัติของผลคูณคารทีเชียน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว n(A × B) = n(B × A) = mn 2. A × B = B × A ก็ตอเมื่อ A = B หรือ A = φ หรือ B = φ แลวจะไดวา 3. A × (B U C) = (A × B) U (A × C) 4. A × (B I C) = (A × B) I (A × C) 5. A × (B - C) = (A × B) - (A × C)

ความสัมพันธ นิยาม ให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสัมพันธจาก A ไป B ก็ตอเมื่อ r เปนสับเซตของ A × B โดเมนของความสัมพันธ คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของทุกคูอันดับ (Dr) นั่นคือ Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของความสัมพันธ คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคูอันดับ (Rr) นั่นคือ Rr = {y | (x, y) ∈ r} ถา n(A) = m แ���ะ n(B) = n แลว จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B เทากับ 2mn การหาโดเมนและเรนจในกรณีที่ r ⊂ R × R 1. ถาเงื่อนไขของความสัมพันธอยูในรูป y = ax + b โดยที่ a ≠ 0 จะได โดเมนและเรนจเปนจํานวนจริง 2. ถาเงื่อนไขของความสัมพันธอยูในรูป y = bxa+ c โดยที่ a, b ≠ 0 จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ 0} +b 3. ถาเงื่อนไขของความสัมพันธอยูในรูป y = ax cx + d โดยที่ a, c ≠ 0 เรนจ = {y|y ≠ ac } จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc }

4. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = |ax + b| โดยที่ a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ 0}

คณิตศาสตร (20)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


5. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = |ax + b| + c โดยที่ a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ c} 6. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = ax2 + b ; a ≠ 0 และ a > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b} 7. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = ax + b จะได โดเมน = {x|x ≥ - ba }; a ≠ 0 เรนจ = {y|y ≥ 0} 8. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = x 2 + b ; b > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b } 9. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = x 2 - a 2 จะได โดเมน = {x|x ≤ -a หรือ x ≥ a} เรนจ = {y|y ≥ 0} 10. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = a 2 - x 2 จะได โดเมน = {x|-a ≤ x ≤ a} เรนจ = {y|0 ≤ y ≤ a}

ฟงกชัน นิยาม ความสัมพันธ r จะเปนฟงกชัน ก็ตอเมื่อ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z การพิจารณาความสัมพันธใดเปนฟงกชัน ไดดังนี้ 1. ความสัมพันธแบบแจกแจงสมาชิก : ใหพิจารณาวาเปนฟงกชันหรือไม สังเกตสมาชิกตัวหนาของคู อันดับที่เปนสมาชิกแตละตัว ถาสมาชิกไมซ้ํากัน 2. กราฟของความสัมพันธ : ใหพิจารณาวาเปนฟงกชันหรือไม โดยลากเสนตรงขนานแกน y ใหตัดกราฟ ถาเสนตรงที่ลากตัดกราฟเพียง 1 จุด ความสัมพันธนั้นเปนฟงกชัน ถาเสนตรงที่ลากตัดกราฟมากกวา 1 จุด ความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน 3. ความสัมพันธเปนแบบบอกเงื่อนไข : พิจารณาจากตัวแปร y ของสมการในเงื่อนไข ดังนี้

3.1 3.2 3.3 3.4

ถา yn เมื่อ n เปนจํานวนคู จะไมเปนฟงกชัน ถา y เปนคาสัมบูรณ จะไมเปนฟงกชัน ถาไมมีตัวแปร y จะไมเปนฟงกชัน ถาเปนอสมการ จะไมเปนฟงกชัน

การหาคาของฟงกชัน : การหาคาของฟงกชัน ทําไดโดยการแทนคา ตัวแปรในฟงกชันนั้นดวยคาที่ตองการ

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (21)


ฟงกชันประเภทตางๆ ฟงกชันเชิงเสน นิยาม ฟงกชันเชิงเสน คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง และ a ≠ 0 ฟงกชันคงตัว คือ ฟงกชัน f(x) = ax + b เมื่อ a = 0 และ b เปนจํานวนจริง จะไดฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = b ฟงกชันกําลังสอง นิยาม ฟงกชันกําลังสอง (Quadratic function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 ลักษณะของกราฟของฟงกชันขึ้นอยูกับคาของ a, b และ c เมือ่ คาของ a เปนบวกหรือลบ จะทําใหได กราฟเปนเสนโคงหงายหรือคว่ํา เรียกวา กราฟพาราโบลา ดังรูป

เมื่อ a > 0

เมื่อ a < 0

พิจารณา ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 สามารถ จัดฟงกชันในรูป f(x) = a(x – h)2 + h เมื่อ h และ k เปนจํานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0  2 1. จุดวกกลับ (h , k) =  -2ab , 4ac4a- b    2. คาสูงสุดหรือคาต่ําสุด คือ k 3. สมการแกนสมมาตร คือ x = h 4. โดเมน คือ R และเรนจ คือ [h, ∞) กรณี a > 0 หรือ (-∞, h] กรณี a < 0 ฟงกชันเอ็กซโพเนนเชียล คือ ฟงกชันที่อยูในรูปของ y = ax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 y = ax a > 0 และ a ≠ 1 (0, 1)

- a > 1 เปนฟงกชันเพิ่มหรือกลาวไดวา เมื่อ x มีคาเพิ่มใน y จะมีคาเพิ่มขึ้น - Dr = R - Rr = R+

(0, 1)

- 0 < a < 1 เปนฟงกชันลดหรือกลาวไดวา เมื่อ x มีคาเพิ่มขึ้น y จะมีคาลดลง - Dr = R - Rr = R+

ฟงกชันคาสัมบูรณ คือ เปนฟงกชันที่อยูในรูป y = |x – a| + c เมื่อ a และ c เปนจํานวนจริง กราฟจะมี ลักษณะเปนรูปตัววี (V) ฟงกชันขั้นบันได คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนสับเซตของ R และมีคาฟงกชันเปนชวงมากกวา 2 ชวง คณิตศาสตร (22)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ตัวอยางขอสอบ 1. ความสัมพันธในขอใดเปนฟงกชัน 2) {(0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0)} 1) {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3)} 3) {(1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1)} 4) {(1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2)} 2. กําหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชันในขอใดตอไปนี้ เปนฟงกชันจาก B ไป A 2) {(0, b), (1, a), (1, c)} 1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)} 3. กําหนดให A ={1, 2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอไปนี้ เปนสมาชิกของผลคูณคารทีเชียน A × B 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) 4. ให A = {1, 99} ความสัมพันธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชัน 1) เทากัน 2) ไมเทากัน 3) หารลงตัว 4) หารไมลงตัว 5. กําหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตัว} ถา A = {2, 3, 5} แลวความสัมพันธ r จะเปนฟงกชัน เมื่อ B เทากับเซตใดตอไปนี้ 1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9} 6. กําหนดให f(x) = -x2 + 4x – 10 ขอความใดตอไปนี้ถกู ตอง 1) f มีคาต่ําสุดเทากับ 6 2) f ไมมีคาสูงสุด 3) f มีคาสูงสุดเทากับ 6 4) f  92  < -6 

7. จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของโดเมนของฟงกชัน y = 2 x + 2x2 - 1 x + 3x + 2 x - 1 1) –2 2) –1 3) 0 4) 1 8. ถา f(x) = 3 - 4 - x 2 แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 2) 1) Df = [-2, 2] และ Rf = [0, 3] 3) Df = [0, 2] และ Rf = [0, 3] 4)

Df = [-2, 2] และ Rf = [1, 3] Df = [0, 2] และ Rf = [1, 3]

9. ถา f(x) = 3 - x และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว Df U Rg คือขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 10. กราฟของฟงกชันในขอใดตอไปนี้ ตัดแกน X มากกวา 1 จุด

1) y = 1 + x2

2) y = |x| - 2

3) y = |x - 1|

11. ถา f(x – 2) = 2x – 1 แลว f(x2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2x2 – 1 2) 2x2 + 1 3) 2x2 + 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

4) (-∞, ∞) x 4) y =  12 

4) 2x2 + 9

___________________________________ คณิตศาสตร (23)


12. ถา P เปนจุดวกกลับของพาราโบลา y = -x2 + 12x – 38 และ O เปนจุดกําเนิดแลวระยะทางระหวางจุด P และจุด O เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 10 หนวย 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย 13. พาราโบลารูปหนึ่งมีเสนสมมาตรขนานกับแกน Y และมีจุดสูงสุดอยูที่จุด (a, b) ถาพาราโบลารูปนี้ตัดแกน X ที่จุด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 14. ถากราฟของ y = x2 – 2x – 8 ตัดแกน X ที่จุด A, B และ มี C เปนจุดวกกลับแลวรูปสามเหลี่ยม ABC มี พื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย 15. ทุก x ในชวงใดตอไปนี้ที่กราฟ y = -4x2 - 5x + 6 อยูเหนือแกน X 2)  -52 , -32  3)  14 , 67  4)  12 , 32  1)  -23, -13  16. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 – 10) เมื่อ k เปน จํานวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –4 2) 0 3) 6 4) 14 17. ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอสรุปใดถูกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมื่อ -1 ≤ x ≤ 2 2) จุดวกกลับของกราฟของฟงกชัน f อยูในจตุภาคที่สอง 3) ฟงกชัน f มีคาสูงสุดเทากับ 2 4) ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดเทากับ 2 18. พาราโบลาหนึ่งเปนกราฟของฟงกชัน f(x) = 2x2 – 4x – 6 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. พาราโบลารูปนี้มีแกนสมมาตร คือ เสนตรง x = -1 ข. พาราโบลารูปนี้มีจุดวกกลับอยูในจตุภาคที่สี่ ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด 19. ฟงกชัน y = f(x) ในขอใดมีกราฟดังรูปตอไปนี้ y y = f(x) (0, 1) x

1) f(x) = 1 - |x|

2) f(x) = 1 + |x|

3) f(x) = |1 - x|

คณิตศาสตร (24)___________________________________

4) f(x) = |1 + x|

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


20. กําหนดใหกราฟของฟงกชัน f เปนดังนี้ y

5

-10

x

-5

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คือขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 86 21. ขอใดตอไปนี้เปนความสัมพันธที่มีกราฟเปนบริเวณที่แรเงา y y=x x y = -x

1) {(x, y) ||y| ≥ x} 3) {(x, y) | y ≥ |x|}

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

2) {(x, y) ||y| ≤ x} 4) {(x, y) | y ≤ |x|}

___________________________________ คณิตศาสตร (25)


22. เมื่อเขียนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยที่ a ≠ 0 เพื่อหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟ ในขอใดตอไปนี้แสดงวาสมการไมมคี ําตอบที่เปนจํานวนจริง y 5

1)

5

-5

x

-5

y 5 2)

5

-5

x

-5 y 5 3)

5

-5

x

-5 y 5

4)

5

-5

x

-5

คณิตศาสตร (26)___________________________________

โครงการแบรนดซั���เมอรแคมป ปที่ 25


อัตราสวนตรีโกณมิติ B

AB คือ ดานตรงขามมุมฉาก (ฉาก) AC คือ ดานประชิดมุม A (ชิด) BC คือ ดานตรงขามมุม A (ขาม)

C A เราจะเรียกอัตราสวนตางๆ ดังนี้ BC คือ ไซน (sine) ของมุม A เขียนยอวา sin A 1. AB 2. AC AB คือ โคไซน (cosine) ของมุม A เขียนยอวา cos A BC คือ แทนเจนต (tangent) ของมุม A เขียนยอวา tan A 3. AC 4. AB BC คือ โคซีแคนต (cosecant) ของมุม A เขียนยอวา cosec A AB คือ ซีแคนต (secant) ของมุม A เขียนยอวา sec A 5. AC 6. AC BC คือ โคแทนเจนต (cotangent) ของมุม A เขียนยอวา cot A าม โดย 1. sin A = ความยาวของ ดานตรงขามมุม A = ขฉาก ความยาวของ ดานตรงขามมุมฉาก ชิด 2. cos A = ความยาวของ ดานประชิดมุม A = ฉาก ความยาวของ ดานตรงขามมุมฉาก 3. tan A = ความยาวของ ดานตรงขามมุม A = ขชิาดม ความยาวของ ดานประชิดมุม A 4. cosec A = ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก = ฉาก ขาม ความยาวของดานตรงขามมุม A 5. sec A = ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก = ฉาก ชิด ความยาวของดานประชิดมุม A 6. cot A = ความยาวของดานประชิดมุม A = ขชิาดม ความยาวของดานตรงขามมุม A

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (27)


คาของอัตราสวนตรีโกณมิติ มุม

ขนาดของมุม

π

/ (0°)

sin θ

0

cos θ

1

tan θ

0

π

6 / (30°) 1 2 3 2 1 3

π

4 / (45°) 2 2 2 2 1

π

3 / (60°) 3 2 1 2 3

π

2 / (90°) 1 0

หาคาไมได

ความสัมพันธระหวาง sin θ, cos θ, tan θ, cosec θ, sec θ และ cot θ 2. sec θ = cos1 θ 1. cosec θ = sin1 θ sin θ 4. cot θ = tan1 θ 3. tan θ = cos θ 6. tan2 θ + 1 = sec2 θ 5. sin2 θ + cos2 θ = 1 7. 1 + cot2 θ = cosec2 θ สูตรการหาความสัมพันธของอัตราสวนตรีโกณมิตเิ พิ่มเติม เมื่อ 0 < θ ≤ π2 sin(π - θ) = sin θ

sin  π2 - θ  = cos θ

sin(π + θ) = -sin θ

sin  π2 + θ  = cos θ

cos(π - θ) = -cos θ

cos  π2 - θ  = sin θ

cos(π + θ) = -cos θ

cos  π2 + θ  = -sin θ

การประยุกตของอัตราสวนตรีโกณมิติ เสนระดับสายตา คือ เสนตรงที่ขนานกับผิวน้ําทะเลหรือขนานกับพื้นราบ มุมเงย (Angle of Elevation) คือ มุมที่วัดสูงกวาระดับสายตาขึ้นไป มุมกม (Angle of Depression) คือ มุมที่วัดต่ํากวาระดับสายตาลงมา A

B

มุมกม

มุมเงย A

C แนวระดับสายตา

คณิตศาสตร (28)___________________________________

C แนวระดับสายตา

B

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ตัวอยางขอสอบ 1. ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) sin 30° < sin 45° 3) tan 45° < cot 45° 2.

21°

A 3.

B C

C

F

2) cos 30° < cos 45° 4) tan 60° < cot 60° จากรูป ขอสรุปใดตอไปนี้ถกู ตอง 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° พิจารณารูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่ CFˆE , CAˆ B , AEˆ B และ EDˆ B ตางเปนมุมฉาก ขอใดตอไปนี้ผิด 1) sin ( ˆ1 ) = sin ( 5ˆ ) 2) cos ( 3ˆ ) = cos ( 5ˆ ) 3) sin ( 2ˆ ) = cos ( ˆ4 ) 4) cos ( 2ˆ ) = sin ( 3ˆ )

1 2 3E 4

5 A D B 4. โดยการใชตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ ที่กําหนดใหตอไปนี้ θ 72° 73° 74° 75°

sin θ 0.951 0.956 0.961 0.966

cos θ 0.309 0.292 0.276 0.259

มุมภายในที่มีขนาดเล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่มีดานทั้งสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มีขนาดใกลเคียง กับขอใดมากที่สุด 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18° 5. กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC มี Bˆ = Aˆ + Cˆ ให D เปนจุดกึ่งกลางดาน AC ถา Aˆ = 20° แลว ADˆ B มีขนาดกี่องศา 1) 80 องศา 2) 100 องศา 3) 120 องศา 4) 140 องศา

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (29)


6. กําหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ ดังนี้ ตาราง A θ sin θ 40° 0.643 41° 0.656 42° 0.669

ตาราง B θ cos θ 40° 0.766 41° 0.755 42° 0.743

ตาราง C θ tan θ 40° 0.839 41° 0.869 42° 0.900

ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เปนมุมฉาก มุม C มีขนาด 41° และสวนสูง BX ยาว 1 หนวย แลวความ ยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดังขอใดตอไปนี้ B

A

7.

8.

9.

10.

11.

X

C

1) ปรากฏอยูในตาราง A 2) ปรากฏอยูในตาราง B 3) ปรากฏอยูในตาราง C 4) ไมปรากฏอยูในตาราง A, B และ C กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม B เปนมุมฉาก มีมุม A เทากับ 30° และมีพื้นที่เทากับ 24 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาวเทากับ 10 3 หนวย และดาน AB ยาวเทากับ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปตั้งฉากกับดาน AB ที่จุด D แลว จะไดวาดาน CD ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มที่มีพื้นที่เทากับ 15 ตารางหนวย และมีมุม C เปนมุมฉาก ถา sin B = 3 sin A แลวดาน AB ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ ม ซึ่งมีมุม A เปนมุมฉาก และมีมุม B = 30° ถา D และ E เปนจุด บน ดาน AB และ BC ตามลําดับ ซึ่งทําให DE ขนานกับ AC โดยที่ DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มที่มีมุม C เปนมุมฉาก และ cos B = 23 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 55 ตารางหนวย 2) 45 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 25 ตารางหนวย

คณิตศาสตร (30)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


12. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลีย่ มผืนผาซึ่งมีพื้นที่เทากับ 12 ตารางหนวย และ tan ABˆ D = 13 ถา AE ตั้งฉากกับ BD ที่จุด E แลว AE ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 52 10 หนวย 3) 210 หนวย 4) 53 10 หนวย 1) 310 หนวย 13. มุมมุมหนึง่ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีขนาดเทากับ 60 องศา ถาเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาว 3 3 ฟุตแลว ดานที่ยาวเปนอันดับสองมีความยาวเทากับขอใด 1) 2 - 3 ฟุต 2) 2 + 3 ฟุต 3) 2 3 - 3 ฟุต 4) 2 3 + 3 ฟุต 14. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 6 หนวย และ A, B, C เปนจุดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศูนยกลาง ของวงกลม และ CAˆ B = 60° แลวพืน้ ที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย 3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย 15. กลองวงจรปดซึ่งถูกติดตั้งอยูสงู จากพื้นถนน 2 เมตร สามารถจับภาพไดต่ําที่สุดที่มุมกม 45° และสูงที่สุดที่ มุมกม 30° ระยะทางบนพื้นถนนในแนวกลองที่กลองนี้สามารถจับภาพไดคือเทาใด (กําหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร 2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร 16. นาย ก. และนาย ข. ยืนอยูบนพื้นราบซึ่งหางจากกําแพงเปนระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลําดับ ถานาย ก. มองหลอดไฟบนกําแพงดวยมุมเงย α องศา ในขณะที่นาย ข. มองหลอดไฟดวงเดียวกันดวย มุมเงย 90 - α องศา ถาไมคิดความสูงของนาย ก. และนาย ข. แลวหลอดไฟอยูสูงจากพื้นราบกี่เมตร 1) 10 2) 10 2 3) 10 3 4) 20 17. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มที่มีมุม B เปนมุมฉาก ถา cot A = 12 5 แลว 10cosec A + 12sec A มีคาเทาใด 18. ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมมุ B เปนมุมฉาก และ cos A = 53 แลว cos(B - A) มีคาเทากับเทาใด 19. ถา 2cos2 θ + cos θ = 1 โดยที่ 0 ≤ θ ≤ 90° แลว θ เปนมุมกี่องศา  sin 31° sin 35°   20. cosec 30°  cos 35° cos 59°  tan 55° มีคาเทากับเทาใด 

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (31)


ลําดับและอนุกรม ลําดับ ลําดับ (Sequences) คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่เรียงจากนอยไปหามาก 1. ลําดับจํากัด คือ ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก {1, 2, 3, ..., n} 2. ลําดับอนันต คือ ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...} การเขียนลําดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกที่เปนเรนจเรียงกัน เชน a1, a2, a3, ..., an เรียก an วาพจนที่ n หรือพจนทั่วไป ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มีผลตาง ซึ่งไดจากพจนที่ n + 1 ลบดวยพจนที่ n ไดคาคงตัว เรียกคาคงตัวนี้วา “ผลตางรวม” (d) โดย an = a1 + (n – 1)d เมื่อ d = an+1 – an ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีอัตราสวนของพจนที่ n + 1 ตอพจนที่ n ไดคาคงตัว เรียกคาคงตัวนี้วา “อัตราสวนรวม” (r) โดย an = a1rn-1 a เมื่อ r = an +1 n

อนุกรม อนุกรม (Series) คือ ผลบวกของพจนทุกพจนของลําดับ ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม เชน S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M = M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่ไดจากการบวกกันของลําดับเลขคณิต 1. Sn = n2 [2a1 + (n - 1)d] 2. Sn = n2 [a1 + an] ค���ิตศาสตร (32)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่ไดจากการบวกกันของลําดับเรขาคณิต a (1 - r n ) a (r n - 1) 1. Sn = 1 1 - r เมื่อ r ≠ 1 และ r < 1 หรือ Sn = 1 r - 1 เมื่อ r ≠ 1 และ r > 1 a -a r a r-a หรือ Sn = nr - 1 1 เมื่อ r ≠ 1 และ r > 1 2. Sn = 11 - rn เมื่อ r ≠ 1 และ r < 1 สัญลักษณแทนการบวก ถา x1, x2, x3, ..., xN เปนคาขอมูลชุดหนึ่ง N

∑ x1 i =1

คือ ผลรวมของคาทุกตัวของขอมูล

N

1.

∑c i =1

2.

∑ x1 i =1

3.

∑ x1 i =1

4.

∑ x1 i =1

5.

∑ i =1

6.

∑ i =1

N

N 2

N 3 N

N

cx1

= cN เมื่อ c เปนคาคงตัว N ( N + 1) 2 N ( N + 1)( 2 N + 1) = x 12 + x 22 + x 23 + ... + x 2N = 6 2 N ( N + 1) 2 3 3 3 3 = x 1 + x 2 + x 3 + ... + x N = 4 N N ( N + 1) = cx1 + cx2 + cx3 + ... + cxN = c ∑ x 1 = c i =1 2

= x1 + x2 + x3 + ... + xN

(x 1 + y1 ) =

N

∑ i =1

x1 +

N

∑ i =1

=

y1

ตัวอยางขอสอบ 1. ลําดับเรขาคณิตขอใดตอไปนี้มีอตั ราสวนรวมอยูในชวง (0.3, 0.5) 1) 3, 54 , 25 2) 2, 34 , 98 , ... 3) 4, 3, 94 , ... 48 , ...

4) 5, 4, 16 5 , ...

2. ลําดับในขอใดตอไปนี้เปนลําดับเรขาคณิต 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) 1) an = 2n ⋅ 32n 1 , - 1 , - 1 , ... มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 3. พจนที่ 31 ของลําดับเลขคณิต - 20 30 60 5 9 2) 13 3) 20 4) 1) 12 30 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

an = (2n)n 7

15

___________________________________ คณิตศาสตร (33)


1 , 1 , 1 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 4. พจนที่ 16 ของลําดับเรขาคณิต 625 125 5 125 2) 125 3) 125 5 4) 625 1) 25 5

5. ใน 40 พจนแรกของลําดับ an พจนแรกของลําดับ ab = 3 + (-1)n มีกี่พจน ที่มีคาเทากับพจนที่ 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 6. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรมหนึ่ง คือ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนที่ 10 ของอนุกรมนี้มีคาเทากับ ขอ ใดตอไปนี้ 1) 57 2) 82 3) 117 4) 302 7. 8.

9.

10. 11.

12.

13. 14.

50

(1 (-1)k )k มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

∑ + k =1

1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 1450 ถาผลบวกและผลคูณของสามพจนแรกของลําดับเลขคณิตที่มี d เปนผลตางรวมเทากับ 15 และ 80 ตามลําดับ แลว d2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 4 3) 9 4) 16 ลําดับเรขาคณิตหนึ่งมีผลบวกและผลคูณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลําดับ ถา r เปนอัตราสวน รวมของลําดับนี้แลว r + 1r มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 10 2) 73 3) 34 4) 13 3 กําหนดให 32 , 1, 12 , ... เปนลําดับเลขคณิต ผลบวกของพจนที่ 40 และพจนที่ 42 เทากับขอใด 1) –18 2) –19 3) –37 4) –38 กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้ มี คาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 ปาจุเริ่มขายขนมครกในวันที่ 3 มกราคม ในวันแรกขายไดกําไร 100 บาท และวันตอๆ ไปจะขายไดกําไร เพิ่มขึ้นจากวันแรกกอนหนาวันละ 10 บาททุกวัน ขอใดตอไปนี้เปนวันที่ของเดือนมกราคมที่ปาจุขายไดกําไร เฉพาะในวันนั้น 340 บาท 1) วันที่ 24 2) วันที่ 25 3) วันที่ 26 4) วันที่ 27 ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 1071

คณิตศาสตร (34)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


15. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง a2 + a3 + a4 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 16. กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก ของลําดับนี้เทากับขอใด 1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 1024 17. กําหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากับผลบวกของจํานวนคี่ทั้งหมดใน S และ b เทากับ ผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดใน S แลว b – a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 18. กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , … ถา Sn = 90 และ S10 = 5 แลว a11 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –39 2) –38 3) –37 4) –36 19. ในสวนปาแหงหนึ่ง เจาของปลูกตนยูคาลิปตัสเปนแถวดังนี้ แถวแรก 12 ตน แถวที่สอง 14 ตน แถวที่สาม 16 ตน โดยปลูกเพิ่มเชนนี้ ตามลําดับเลขคณิต ถาเจาของปลูกตนยูคาลิปตัสไวทั้งหมด 15 แถว จะมี ตนยูคาลิปตัสในสวนปานี้ทั้งหมดกี่ตน 20. ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 1 + (-2) + 4 + (-8) + ... + 256 เทากับเทาใด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (35)


ความนาจะเปน กฎการนับเบือ้ งตน 1. กฎการคูณ ถาตองการทํางาน k อยาง โดยที่งานอยางแรกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีเลือกทํางาน อยางแรกนี้มีวิธีทํางานอยางที่สองได n2 วิธี และในแตละวิธีที่เลือกทํางานอยางแรกและทํางานอยางที่สองมีวิธีที่ จะเลือกทํางานอยางที่สามได n3 วิธี ฯลฯ จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทํางานทั้ง k อยางเทากับ n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี

2. กฎการบวก ถาตองการทํางานอยางใดอยางหนึ่งใน k อยาง โดยที่อยางแรกทําได n1 วิธี อยางที่สอง ทําได n2 แตกตางจากวิธีตางๆ ที่ทํางานอยางแรก อยางที่สามทําได n3 วิธี แตกตางจากวิธีตางๆ ที่ทําในงานสอง อยางแรก ฯลฯ จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานอยางใดอยางหนึ่งใน k อยาง เทากับ n 1 × n 2 × n 3 × ... × n k วิธี

ความนาจะเปน 1. ถาแซมเปลสเปซ S มีสมาชิก n(S) ตัว ซึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน และเปนเหตุการณใน E ซึ่งมี สมาชิก n(E) ตัว ความนาจะเปนของ E เทากับ P(E) = n(E) n(S) 2. สมบัติของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. ถา A, B และ C เปนเหตุการณใดๆ ใน S จะได

• • •

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A I B) P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A และ B ไมเกิดเหตุการณรว มกัน A I B = φ P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A I B) - P(A I C) P(B I C) + P(A I B I C)

3. ถา E เปนเหตุการณใน S และ E′ เปนเหตุการณตรงขาม แลว P(E) = 1 - P(E′) คณิตศาสตร (36)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ตัวอยางขอสอบ 1. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. การทดลองสุมเปนการทดลองทีท่ ราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลัพธของการทดลองสุมมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 2. มาลีตองการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C โดยตองเดินทางผานไปยังเมือง B กอนจากเมือง A ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต รถไฟ หรือเครื่องบินได แตจากเมือง B ไปเมือง C สามารถ เดินทางไปทางเรือ รถยนตรถไฟ หรือเครื่องบิน ขอใดตอไปนี้คือจํานวนวิธีในการเดินทางจากเมือง A ไปยัง เมือง C ที่จะตองเดินทางโดยรถไฟเปนจํานวน 1 ครั้ง 1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 3. ขอสอบชุดหนึ่งมีสองตอน ตอนที่หนึ่งมี 5 ขอ ใหเลือกตอบวาจริงหรือเท็จ ตอนที่สองมี 5 ขอ เปนขอสอบ แบบ 4 ตัวเลือก ถาตองตอบขอสอบชุดนี้ทุกขอโดยไมเวนแลว จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตางๆ กันทั้งหมด เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 52 × 54 วิธี 2) 25 × 54 วิธี 3) 25 × 45 วิธี 4) 52 × 45 วิธี 4. ครอบครัวหนึ่งมีพี่นอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีที่จะจัดใหคนทั้งหกยืนเรียงกันเพื่อถายรูป โดยใหชายทั้งสองคนยืนอยูริมสองขางเสมอ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 วิธี 2) 24 วิธี 3) 36 วิธี 4) 48 วิธี 5. ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมูบ านซึ่งประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญิง 1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญิง 1 คน จากผูสมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวิธีการ เลือกคณะกรรมการไดกวี่ ิธี 1) 168 วิธี 2) 324 วิธี 3) 672 วิธี 4) 1344 วิธี 6. ในการออกรางวัลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนที่รางวัลเลขทาย 2 ตัว จะออกหมายเลขที่มีหลัก หนวยเปนเลขคี่ และหลักสิบมากกวาหลักหนวยอยู 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.25 7. โยนลูกเตา 3 ลูก ความนาจะเปนที่ลูกเตาจะขึ้นแตมคี่อยางนอย 1 ลูก เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 23 2) 58 3) 34 4) 78

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (37)


8. กําหนดให A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, ..., 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A, n ∈ B} ถาสุมหยิบ คูอันดับ 1 คู จากความสัมพันธ r แลว ความนาจะเปนที่จะไดคูอันดับ (m , n) ซึ่ง 5 หาร n แลวเลือกเศษ 3 เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1 1 1) 15 2) 10 3) 51 4) 53 9. ในการหยิบบัตรสามใบ โดยหยิบทีละใบจากบัตรสี่ใบ ซึ่งมีหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กํากับ ความนาจะเปนที่ จะไดผลรวมของตัวเลขบนบัตรสองใบแรกนอยกวาตัวเลขบนบัตร���บที่สามเทากับขอใด 1) 14 2) 34 3) 12 4) 23 10. โรงเรียนแหงหนึง่ มีรถโรงเรียน 3 คัน นักเรียน 9 คน กําลังเดินไปขึ้นรถโรงเรียนโดยสุม ความนาจะเปนที่ ไมมนี ักเรียนคนใดขึ้นรถคันแรกเทากับขอใดตอไปนี้ 9 9 9 9 1)  13  2)  23  3)  91  4)  92  11. กลองใบหนึ่งบรรจุสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสุมหยิบสลากจํานวนสองใบ โดยหยิบทีละใบ แบบไมใสคืน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสลากหมายเลขต่ํากวา 5 เพียงหนึ่งใบเทานั้น เทากับขอใด 8 2 11 1) 92 2) 15 3) 35 4) 156 12. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่งจํานวน 30 คน พบวา มีนักเรียนไมชอบรับประทานปลา 12 คน และ ชอบ รับประทานปลาหรือกุง 23 คน ถาสุมนักเรียนมา 1 คน แลวความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่ชอบ รับประทานกุงเพียงอยางเดียวมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 61 2) 51 3) 52 4) 53 13. กลองใบหนึ่งมีลูกบอล 10 ลูก เปนสีแดง 1 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก สีขาว 2 ลูก นอกนั้นเปนสีอื่นๆ ความนาจะเปน ที่จะหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองใบนี้ใหไดสีแดง 1 ลูก สีน้ําเงิน 1 ลูก และไมไดสีขาว เทากับขอใดตอไปนี้ 1 7 2 1 3) 60 4) 15 2) 10 1) 12 14. ชางไฟคนหนึ่งสุมหยิบบันได 1 อัน จากบันได 9 อัน ซึ่งมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟุต แลวนํามาพาดกําแพงโดยใหปลายดานหนึ่งหางจากกําแพง 3 ฟุต ความนาจะเปนที่บันไดจะทํามุมกับพื้นราบ นอยกวา 60 องศา มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 92 3) 93 4) 94 1) 91 15. โรงแรมแหงหนึ่งมีหอ งวางชั้นที่หนึ่ง 15 หอง ชั้นที่สอง 10 หอง ชั้นที่สาม 25 หอง ถาครูสมใจตองการ เขาพักในโรงแรมแหงนี้โดยวิธีสุมแลว ความนาจะเปนที่ครูสมใจจะไดเขาพักหองชั้นที่สองของโรงแรมเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1 3 1) 10 2) 51 3) 10 4) 12

คณิตศาสตร (38)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


16. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลข 1-10 กํากับ ความนาจะเปนที่จะหยิบสลากพรอมกัน 3 ใบ ใหมีแตมรวม เปน 10 และไมมสี ลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 1 1 1) 60 2) 40 3) 30 4) 20 17. จํานวนวิธีในการจัดหญิง 3 คน และชาย 3 คน นั่งเรียงกันเปนแถว โดยใหสามีภรรยาคูหนึ่งนั่งติดกันเสมอ มี ทั้งหมดกี่วิธี 18. ในการเขียนตัวเลข 3 ตัว จากเลขโดด 1 ถึง 7 โดยที่เลขโดดในหลักทั้งสามไมซ้ํากันเลย จะมีวิธีเขียนตัวเลข เหลานี้ที่แสดงจํานวนคี่ไดกี่วิธี 19. ถานําตัวอักษรทั้งหมดจากคําวา AVATAR มาจัดเรียงเปนคําตางๆ โดยไมจําเปนตองมีความหมาย จะ จัดเปนคําที่แตกตางกันไดกี่วิธี 20. จากการสํารวจนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 100 คน ไดขอมูลวามีนกั เรียนที่สวมรองเทาขนาดตางๆ ดังนี้ เบอรรองเทา 5 6 7 8 9 10

จํานวนนักเรียน (คน) 3 12 35 27 16 7 รวม 100 คน

ถาเลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนกลุมนี้อยางสุม แลวความนาจะเปนที่จะเลือกไดนักเรียนสวมรองเทา เบอร 6 หรือเบอร 7 เทากับเทาใด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (39)


สถิติ สถิติมี 2 ความหมาย ดังนี้ สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนจํานวนหรือขอเท็จจริงของสิ่งที่เราศึกษา สถิติ หมายถึง ศาสตรที่วาดวยระเบียบวิธีการทางสถิติ ซึ่งประกอบดวย 1. การเก็บรวบรวมขอมูล 2. การนําเสนอขอมูล 3. การวิเคราะหขอมูล 4. การสรุปและตีความหมายของขอมูล ลักษณะของขอมูล แยกเปน 2 ประเภท 1. ขอมูลเชิงปริมาณ 2. ขอมูลเชิงคุณภาพ ขอมูลเบื้องตนเกี่ยวกับสถิติ 1. ความถี่ คือ ขอมูลชุดหนึ่งที่ประกอบดวยคาคะแนนสามารถแบงออกไดเปน 1.1 ขอมูลไมแจกแจงความถี่ (ขอมูลดิบ, ตารางที่ไมมีชวงชั้น) 1.2 ขอมูลแจกแจงความถี่ (ตารางที่มีชวงชั้น) 2. ความถี่สะสม คือ ผลรวมของความถี่นั้นกับความถี่ของคาที่นอยกวาทั้งหมดหรือสูงกวาทั้งหมดอยางใด อยางหนึ่ง 3. ขีดจํากัด คือ คากึ่งกลางระหวางอันตรภาคชั้นที่อยูติดกัน 3.1 ขีดจํากัดบนของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคะแนนที่สูงสุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับ คะแนนต่ําสุดของอันตรภาคชั้นที่มีคะแนนสูงกวาที่อยูติดกัน 3.2 ขีดจํากัดลางของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคะแนนต่ําสุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับ คะแนนสูงสุดของอันตรภาคชั้นที่มีคะแนนต่ํากวาที่อยูติดกัน 4. ความกวางของอันตรภาคชั้น คือ ผลตางระหวางขีดจํากัดบนและขีดจํากัดลางของชั้นนั้น 5. คากึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด คือ ขีดจํากัดบน + ขีดจํากัดลาง 2 6. พิสัย คือ xmax - xmin คากลางของขอมูล 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) หาไดจาก x = ΣNx 2. มัธยฐาน (Me) คือ คากลางของขอมูลซึ่งเมื่อเรียงขอมูลจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย แลว จํานวนขอมูลที่นอยกวาคานั้นจะเทากับจํานวนขอมูลที่มากกวาคานั้น 3. ฐานนิยม (Mo) ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดนั้น ขอมูลชุดใดถามีขอมูลซ้ํากันหรือมีความถี่สูงสุด เพียงจํานวนเดียวจํานวนนั้นเปนคาฐานนิยม คณิตศาสตร (40)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


คากลางของขอมูล คาเฉลี่ยเลขคณิต ( x )

กรณีขอมูลไมแจกแจงความถี่ x = ΣNx

กรณีขอมูลมีการแจกแจงความถี่ x = ΣNfx N - F  Me = L +  2 f M  I M  

มัธยฐาน (Me)

Me = ขอมูลตําแหนงที่ N 2+ 1

ฐานนิยม (Mo)

Mo = ความถี่ที่มีมากที่สุด

ควอไทล

Qr = r(N 4+ 1)

Mo = L +  d d+1 d  I  1 2   rN - F  Qr = L +  2 f  I  

เดไซล

Dr = r(N10+ 1)

rN - F  Dr = L + 10 f  I 

เปอรไซล

Pr = r(N100+ 1)

 rN - F  Pr = L +  100f  I  

   

หมายเหตุ : 1. L คือ ขีดจํากัดลางของอันตรภาคชั้นที่มีขีดจํากัดลางอยู 2. N คือ จํานวนขอมูลทั้งหมด 3. F คือ ผลรวมของความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีคาต่ํากวาอันตรภาคชั้นที่ตองการ 4. f คือ ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ตองการ 5. I คือ ความกวางของอันตรภาคชั้นนั้น 6. dn คือ ผลตางระหวางความถี่ของอันตรภาคที่มีความถี่สูงสุดกับความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีคาต่ํากวา ที่อยูติดกัน 7. r คือ ตําแหนง ควอไทล เดไซล หรือเปอรเซนตไทล ที่ตองการ คาเฉลี่ยสะสม x รวม = N1 x 1 + N2 x 2 + N3 x 3 + ... + + Nk x k สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน Σ (x i )2 Σ (x i - x)2 2 S= หรื อ S = N N - (x)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (41)


คาความแปรปรวน (S2) S2 = N1 ∑ (x - x )2 (กรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี)่ (สูตรลัด) = N1 ∑ x2 - x 2 (กรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี)่ หรือ S2 = N1 ∑ f(x - x )2 (สูตรลัด) = N1 ∑ fx2 - x 2 คามาตรฐาน (S = S2 คือ คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน) z = x -S x ความสัมพันธของ x , Med., Mod. 1. ขอมูลเปนโคงปกติ

2. ขอมูลเบซาย

3. ขอมูลเบขวา

แผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรือ Box-Plot) แผนภาพกลองทําใหเราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล 25% คาต่ําสุด

25% Q1

25% Q2

25% Q3

คาสูงสุด

จากแผนภาพพบวา ขอมูลที่อยูระหวาง Q1 กับ Q2 มีการกระจายมากที่สุด รองลงมาคือขอมูลที่อยู ระหวาง Q3 ถึงคาสูงสุด ขอมูลระหวางคาต่ําสุดกับ Q1 และขอมูลระหวาง Q2 กับ Q3 ตามลําดับ แผนภาพตน-ใบ เปนการจัดขอมูลเปนกลุมเพื่อแจกแจงความถี่และวิเคราะหขอมูลเบื้องตนไปพรอมกัน เรียกวา แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรือ Stem Plot) สวนประกอบของแผนภาพตน-ใบ 1. ตน เปนขอมูลตั้งแตหลักสิบขึ้นไป 2. ใบ เปนขอมูลในหลักหนวย

คณิตศาสตร (42)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ตัวอยางขอสอบ 1. ในการใชสถิติเพื่อการตัดสินใจและวางแผน สําหรับเรื่องที่จําเปนตองมีการใชขอมูลและสารสนเทศ ถาขาด ขอมูลและสารสนเทศดังกลาว ผูตัดสินใจควรทําขั้นตอนใดกอน 1) เก็บรวบรวมขอมูล 2) เลือกวิธีวิเคราะหขอมูล 3) เลือกวิธีเก็บรวบรวมขอมูล 4) กําหนดขอมูลที่จําเปนตองใช 2. ครูสอนวิทยาศาสตรมอบหมายใหนักเรียน 40 คน ทําโครงงานตามความสนใจ หลังจากตรวจรายงาน โครงงานของทุกคนแลว ผลสรุปเปนดังนี้ ผลการประเมิน ดีเยี่ยม ดี พอใช ตองแกไข

จํานวนโครงงาน 3 20 12 5

ขอมูลที่เก็บรวบรวม เพื่อใหไดผลสรุปขางตนเปนขอมูลชนิดใด 1) ขอมูลปฐมภูมิ เชิงปริมาณ 2) ขอมูลทุติยภูมิ เชิงปริมาณ 3) ขอมูลปฐมภูมิ เชิงคุณภาพ 4) ขอมูลทุติยภูมิ เชิงคุณภาพ 3. สําหรับขอมูลเชิงปริมาณใดๆ ที่มีคาสถิติตอไปนี้ คาสถิติใดจะตรงกับคาของขอมูลคาหนึ่งเสมอ 1) พิสัย 2) คาเฉลี่ยเลขคณิต 3) มัธยฐาน 4) ฐานนิยม 4. ถาขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 แลวขอความใดเปนเท็จ สําหรับขอมูลชุดนี้ 1) มัธยฐาน เทากับ 12 2) ฐานนิยม นอยกวา 12 3) ฐานนิยม นอยกวา คาเฉลี่ยเลขคณิต 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต มากกวา 12 5. ขอมูลตอไปนี้แสดงน้ําหนักในหนวยกิโลกรัม ของนักเรียนกลุมหนึง่ 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาที่เหมาะสมที่จะเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ 1) มัธยฐาน 2) ฐานนิยม 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต 4) คาเฉลี่ยของคาสูงสุดและคาต่ําสุด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (43)


6. จากตารางแสดงน้ําหนักของนักเรียนจํานวน 50 คน เปนดังนี้

7.

8.

9. 10.

ชวงน้ําหนัก (กิโลกรัม) จํานวน (คน) 30-39 4 40-49 5 50-59 13 60-69 17 70-79 6 80-89 5 ขอสรุปในขอใดตอไปนีไ้ มถูกตอง 1) นักเรียนกลุมนี้สวนใหญมีน้ําหนัก 60-69 กิโลกรัม 2) นักเรียนที่มีน้ําหนักต่ํากวา 50 กิโลกรัม มี 9 คน 3) นักเรียนที่มีน้ําหนักในชวง 50-59 กิโลกรัม มี 26% 4) นักเรียนที่มีน้ําหนักมากกวา 80 กิโลกรัม มี 10% ในการแขงขันกีฬามหาวิทยาลัยโลกครั้งที่ 24 ซึ่งประเทศไทยเปนเจาภาพ มีการสงรายชื่อนักกีฬาจาก ประเทศไทย 379 คน มีอายุเฉลี่ย 22 ป ถามีการถอนตัวนักกีฬาไทยออก 4 คน ซึ่งมีอายุ 24, 25, 25 และ 27 ป และมีการเพิ่มนักกีฬาไทยอีก 5 คน ซึ่งมีอายุเฉลี่ย 17 ป แลวอายุเฉลี่ยของนักกีฬาจากประเทศไทย จะเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21.6 ป 2) 21.7 ป 3) 21.8 ป 4) 21.9 ป คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของพนักงานของบริษัทหนึ่ง เทากับ 48.01 กิโลกรัม บริษัทนี้มีพนักงานชาย 43 คน พนักงานหญิง 57 คน ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักพนักงานหญิงเทากับ 45 กิโลกรัม แลวน้ําหนัก ของพนักงานชายทั้งหมดรวมกันเทากับขอใด 1) 2236 กิโลกรัม 2) 2279 กิโลกรัม 3) 2322 กิโลกรัม 4) 2365 กิโลกรัม อายุเฉลี่ยของคนกลุมหนึ่งเทากับ 31 ป ถาอายุเฉลี่ยของผูหญิงในกลุมนี้เทากับ 35 ป และอายุเฉลี่ยของ ผูชายในกลุมนี้เทากับ 25 ป แลว อัตราสวนระหวางจํานวนผูหญิงตอจํานวนผูชายในกลุมเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5 ตารางแจกแจงความถี่ แสดงจํานวนนักเรียนในชวงอายุตางๆ ของนักเรียนกลุมหนึง่ เปนดังนี้ ชวงอายุ (ป) 1-5 6-10 11-15 16-20 อายุเฉลี่ยของนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 ป 2) 9.5 ป

ความถี่ (คน) 4 9 2 5 3) 10 ป

คณิตศาสตร (44)___________________________________

4) 10.5 ป โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


11. กําหนดใหตารางแจกแจงความถีส่ ะสมของคะแนนของนักเรียนหองหนึ่ง เปนดังนี้ ชวงคะแนน 30-39 40-49 50-59 60-69

ความถี่สะสม (คน) 1 11 18 20

ขอสรุปในขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง 1) นักเรียนที่ไดคะแนน 40-49 คะแนน มีจํานวน 22% 2) นักเรียนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน 3) นักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มีจํานวนนอยกวา นักเรียนที่ไดคะแนน 40–49 คะแนน 4) นักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มีจํานวนมากกวา นักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน 12. ขอมูลชุดหนึ่ง มีบางสวนถูกนําเสนอในตารางตอไปนี้

อันตรภาคชั้น 2-6 7-11 12-16 17-21

ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่สัมพัทธ

6

11 14

0.2 0.3

ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนที่มีความถี่สูงสุด 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21 13. ถาสุมตัวเลขหนึ่งตัวจากขอมูลชุดใดๆ ซึ่งประกอบดวยตัวเลข 101 ตัวแลว ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคี านอยกวาคามัธยฐาน < 12 2) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคี านอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต < 12 3) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคี ามากกวาคามัธยฐาน > 12 4) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคี ามากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต > 12 14. คะแนนของผูเขาสอบ 15 คน เปนดังนี้ 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คือ ตองไดคะแนนไมต่ํากวาเปอรเซนตไทลที่ 60 แลว ขอใดตอไปนี้เปนคะแนน ต่ําสุดของผูที่สอบผาน 1) 68 2) 70 3) 72 4) 73

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (45)


15. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 19 จํานวน ตอไปนี้

16.

17.

18.

19.

6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทลที่ 3 มีคาตางจากเปอรเซนตไทลที่ 45 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 เมื่อพิจารณาผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 39 คน พบวา เปอรเซนตไทลที่ 25 ของคะแนนสอบ เทากับ 35 คะแนน และมีนักเรียน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 80 คะแนน ถามีนักเรียนที่สอบได 35 คะแนนเพียงคนเดียวแลว จํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนในชวง 35-80 คะแนน เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 80 คน ซึ่งมี ลําเจียก ลําดวน และลําพู รวมอยูดว ย ปรากฏผลการสอบดังนี้ ลําดวนไดคะแนนตรงกับควอไทลที่สาม ลําพูไดคะแนนตรงกับเปอรเซนตไทลที่ 50 ลําเจียกไดคะแนนเปนลําดับที่ 30 เมื่อเรียงคะแนนจากมากไปหานอย ขอใดตอไปนี้เปนการเรียงรายชื่อของผูที่ไดคะแนนนอยไปหาผูที่ไดคะแนนมาก 1) ลําพู ลําเจียก ลําดวน 2) ลําพู ลําดวน ลําเจียก 3) ลําเจียก ลําพู ลําดวน 4) ลําเจียก ลําดวน ลําพู จากการตรวจสอบลําดับที่ของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวิชาคณิตศาสตร ที่มีผูเขาสอบ 400 คน ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยูในตําแหนงควอไทลที่ 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยูในตําแหนง เปอรเซนตไทลที่ 60 จํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนระหวางคะแนนนาย ก และคะแนนนาย ข มีประมาณ กี่คน 1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน ถาน้ําหนัก (คิดเปนกิโลกรัม) ของนักเรียน 2 กลุม กลุมละ 6 คน เขียนเปนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้

นักเรียนกลุมที่ 1 8 6 4 8 6 6

3 4 5

นักเรียนกลุมที่ 2 4 9 2 2 4 0

ขอสรุปในขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง 1) น้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวาน้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุมที่ 1 2) ฐานนิยมของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวาฐานนิยมของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 3) มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวามัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 4) มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนทั้งหมด มากกวามัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1

คณิตศาสตร (46)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


20. กําหนดแผนภาพตน-ใบ ของขอมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 0 1 2 3

3 6 0 0

7 4 2 1

5 3 1

2

สําหรับขอมูลชุดนี้ ขอใดตอไปนีเ้ ปนจริง 1) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม 21. แผนภาพตน-ใบ ของน้ําหนักในหนวยกรัมของไขไก 10 ฟอง เปนดังนี้ 5 6 7 8

7 7 0 1

8 8 4

9 4

7

ขอสรุปใดเปนเท็จ 1) ฐานนิยมของน้ําหนักของไขไกมีเพียงคาเดียว 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของน้ําหนักของไขไกมีคาเทากัน 3) มีไขไก 5 ฟองที่มีน้ําหนักนอยกวา 70 กรัม 4) ไขไกที่มีน้ําหนักสูงกวาฐานน���ยม มีจํานวนมากกวา ไขไกที่มีน้ําหนักเทากับฐานนิยม 22. แผนภาพกลองตอไปนี้แสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง และนักเรียนชาย คะแนนสอบของนักเรียนหญิง คะแนนสอบของนักเรียนชาย 0

คะแนนสอบ

100

ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) คะแนนสอบเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชาย สูงกวาคะแนนสอบเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง 2) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชายมีการกระจายเบขวา 3) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง มีการกระจายมากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของ นักเรียนชาย 4) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิงมีการกระจายเบขวา

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (47)


23. จากการทดสอบนักเรียนจํานวน 100 คน ใน 2 รายวิชา แตละรายวิชามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถาผลการ ทดสอบทั้งสองรายวิชาเขียนเปนแผนภาพกลองไดดังนี้ คะแนนสอบรายวิชาที่ 1 คะแนนสอบรายวิชาที่ 2 0

20

40

60

80

100 120 140

ขอสรุปในขอใดตอไปนีถ้ กู 1) คะแนนสอบทั้งสองรายวิชามีการแจกแจงแบบปกติ 2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 1 มากกวาจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 2 3) คะแนนสูงสุดที่อยูในกลุม 25% ต่ําสุด ของผลการสอบรายวิชาที่ 1 นอยกวาคะแนนสูงสุดที่อยูในกลุม 25% ต่ําสุด ของผลการสอบรายวิชาที่ 2 4) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนระหวาง 60–80 คะแนน ในการสอบรายวิชาที่ 2 นอยกวาจํานวนนักเรียนที่ ไดคะแนนในชวงเดียวกัน ในการสอบรายวืชาที่ 1 24. ขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํานวน ประกอบดวยจํานวนตอไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทลที่สามของขอมูลชุดนี้มีคา เทากับเทาใด 25. ในการสํารวจน้ําหนักตัวของนักเรียนในชั้นเรียนที่มีนักเรียน 30 คน เปนดังนี้

ชวงน้ําหนัก (กิโลกรัม) 30-49 50-69 70-89

ความถี่สะสม (คน) 10 26 30

คาเฉลี่ยของน้ําหนักตัวของนักเรียนในชั้นเรียนนี้เทากับกี่กิโลกรัม

คณิตศาสตร (48)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เฉลย เซต

1. 4) 6. 4) 11. 30

การใหเหตุผล 1. 4) 6. 3)

ระบบจํานวนจริง 1. 6. 11. 16. 21. 26.

4) 4) 1) 1) 3) 4)

เลขยกกําลัง 1. 2) 6. 3) 11. 4)

2. 3) 7. 2) 12. 50

3. 3) 8. 1) 13. 101

4. 3) 9. 1)

5. 4) 10. 32

2. 3) 7. 3)

3. 4)

4. 4)

5. 2)

2. 7. 12. 17. 22. 27.

3. 8. 13. 18. 23. 28.

4. 9. 14. 19. 24. 29.

5. 10. 15. 20. 25. 30.

1) 3) 4) 3) 4) 4)

2. 3) 7. 3) 12. 2)

2) 4) 3) 2) 1)

2. 7. 12. 17. 22.

อัตราสวนตรีโกณมิติ 1. 6. 11. 16.

1) 3) 2) 4)

2. 7. 12. 17.

2) 2) 3) 2) 2) 6

3) 1) 4) 3) 3) 8

3. 2) 8. 3) 13. 0.75

4. 2) 9. 1)

5. 3) 10. 2)

4) 3) 2) 1) 4)

3. 8. 13. 18.

1) 2) 4) 3)

4. 9. 14. 19.

3) 4) 3) 2)

5. 10. 15. 20.

4) 2) 1) 4)

1) 1) 4) 39

3. 8. 13. 18.

3) 2) 3) 0.8

4. 9. 14. 19.

2) 4) 4) 60

5. 10. 15. 20.

4) 2) 2) 2

ความสัมพันธและฟงกชัน 1. 6. 11. 16. 21.

2) 1) 1) 2) 3) 64

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (49)


ลําดับและอนุกรม 1. 6. 11. 16.

1) 1) 2) 3)

ความนาจะเปน 1. 6. 11. 16.

2) 1) 2) 1)

สถิติ 1. 6. 11. 16. 21.

4) 4) 3) 4) 4)

2. 7. 12. 17.

1) 1) 4) 1)

3. 8. 13. 18.

3) 3) 4) 2)

4. 9. 14. 19.

3) 1) 4) 390

5. 10. 15. 20.

2) 3) 2) 171

2. 7. 12. 17.

1) 4) 1) 240

3. 8. 13. 18.

3) 3) 1) 120

4. 9. 14. 19.

4) 1) 2) 120

5. 10. 15. 20.

3) 2) 2) 0.47

2. 7. 12. 17. 22.

3) 4) 1) 1) 1)

3. 8. 13. 18. 23.

4) 1) 3) 4) 3)

4. 9. 14. 19. 24.

4) 3) 3) 1) 19

5. 10. 15. 20. 25.

1) 3) 2) 4) 55.5

————————————————————

คณิตศาสตร (50)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (51)


คณิตศาสตร (52)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (53)


แนวขอสอบ PAT 1 จํานวนเชิงซอน 1. ให z เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่งอยูในจตุภาคที่ 1 บนระนาบเชิงซอน ถา z(1(z ++ i)i)(1+ 5+ +i) i = 1 และ |z| = 6 จงหาคาผลคูณของสวนจริงกับสวนจินตภาพของ z (แนว PAT 1 มี.ค. 56)

2. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ 3|z + 1| = |z + 9| แลวคาของ | z | มีคา เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

คณิตศาสตร (54)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


3. ให z1, z2, z3, ... เปนลําดับของจํานวนเชิงซอนโดยที่ z1 = 0, zn+1 = z 2n + i สําหรับ n = 1, 2, 3, ... เมื่อ i = -1 คาสัมบูรณของ z111 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 3) 3 4) 110 1) 1 2) 2 4. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ z2 แทนสังยุค (Conjugate) ของ z2 ถา 5z1 + 2z2 = 5 และ z2 = 1 + 2i เมื่อ i2 = -1 แลวคาของ |5 z-1 1 | เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 5. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอน ถา z-1 1 = 53 - 54 i เมื่อ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว z2 เทากับขอใดตอไปนี้ (เมื่อ z2 แทนสังยุค (Conjugate) ของ z2) (PAT 1 ก.ค. 53) 2) 3 + 2i 3) 1 - 2i 4) 1 + 2i 1) 3 - 2i 6. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกทีน่ อยที่สุดที่ทําให

   

2 + i 2  n = 1 เมื่อ i2 = -1 แลว n มีคาเทากับเทาใด 2 2 

(PAT 1 ก.ค. 53) 7. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z2 = 22 -+ ii + 31 ++ 2i4i + 53+-15i i เมื่อ i = -1 แลวคาสัมบูรณของ z เทากับ 37 10 ข. ถา x และ y เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ -x5 ++ yi2i = i(i + 1)(i + 2)(i + 3)(i + 4) แลวคา x + y = 15 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 8. ถา (1 + bi)3 = -107 + ki เมื่อ b, k เปนจํานวนจริง และ i = -1 แลว |k| เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 9. กําหนดให a, b และ z เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ |a| ≠ |b|, |a| ≠ 1 และ |b| ≠ 1 ถา |az + b| = | bz + a | แลว |z| เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 10. ถา x - 1 + i เปนตัวประกอบของพหุนาม P(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง แลวคาของ a2 + b2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 17 2) 13 3) 8 4) 5 11. กําหนดให z1 และ z2 เปนจํานวนจริงเชิงซอน โดยที่ |z1| = |z1 + z2| = 3 และ |z1 - z2| = 3 3 |11z |- |5z | คาของ |z z 1 + z z2| เทากับเทาใด ( z แทนสังยุค (Conjugate) ของ z) (PAT 1 มี.ค. 54) 1 2 1 2 -1

12. กําหนดให z =  i - 1 -2 2i  จงหาคาของ |3z2 + z - 1 - 3i| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 13. ใช z1 และ z2 เปนเชิงซอน โดยที่ |z1 - z2| = 1 และ |z1 + z2| = 2 คาของ |z1|2 + |z2|2 เปนเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (55)


14. ให A เปนเซตของจํานวนเชิงซอน z ทั้งหมดที่สอดคลองกับสมการ |z| - 2z = 1 - 2i   และ B = |w| w = (21 -+ 2ii)z เมื่อ z ∈ A  ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B คือเทาใด   (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 15. กําหนดให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z2 - z + 2 = 0 แลวคาของ (|z1|2 + |z2|2) z1z +z z2 เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 12 1) 1 2) 2 3) 2 4) 2 2 3 16. กําหนดให z1, z2, z3 เปนเปนรากของสมการ (z + 2) = 8 จงหาคาของ |z1| + |z2| + |z3| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 2) 2 3 3) 4 3 4) 12 1) 3

เก็งขอสอบ “จํานวนเชิงซอน” 1. ให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ |z1| = |z1 + z2| = 4 และ |z1 - z2| = 2 5 |4 z | + |z z | จงหาคาของ |3z z1 + 3z2 2z | 1 2

2 1

APoint ที่ตองรู : 1 2 3 4

z ⋅ z = |z|2 |z1 + z2|2 = |z1|2 + z1 z2 + z2 z1 + |z2|2 |z1 - z2|2 = |z1|2 - z1 z2 - z2 z1 + |z2|2 | z | = |z|

เฉลยวิธีคิด Q |z1 + z2| = 4 → |z1|2 + z1 z2 + z2 z1 + |z2|2 = 16 Q |z1 - z2| = 2 5 → |z1|2 - z1 z2 - z2 z1 + |z2|2 = 20

(1) + (2) ;

2|z1|2 + 2|z2|2 = 36 ∴ |z1|2 + |z2|2 = 18

...(1) ...(2)

APoint 2 APoint 3

...(3)

แทนคา |z1| = 4 ใน (3) จะได |z2|2 = 18 - 42 ∴ |z2| = 2 แทนคา |z1|, |z2| ใน (1) จะได z1 z2 + z2 z1 = 16 - 42 - ( 2 )2 = -2 APoint 4 APoint 1 2 |4 z | + |z z | 4|z | + ||z |2| ดังนั้น |3z z1 + 3z2 2z | = 3|z 1z + z 2z | = 4(4) +3|-|(2| 2 ) | = 18 6 = 3 Ans 1 2 2 1 1 2 2 1 คณิตศาสตร (56)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


2. ให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับ z3 + 2z2 + 4z = 0 ถาอารกิวเมนตของ z อยูในชวง  π2 , π  แลว |Re(z6) + Im(z6)| เทากับเทาใด (กําหนดให 2 = 1.4 และ 3 = 1.7) APoint ที่ตองรู : รูปเชิงขั้ว z = r cis (θ) 1 อารกิวเมนตของ z = θ 2 zn = rn cis (nθ) b2 - 4ac 3 ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = -b ± 2a Q z3

+ 2z2 + 4z = 0 z(z2 + 2z + 4) = 0

z = 0, -1 + 3 i, -1 - 3 i จัดรูปเชิงขั้ว จะได z = 0 8 z = 2 cis  23π  9

APoint 3

  Q θ ∈  π2 , π  

APoint 1

z = 2 cis  43π  8 ดังนั้น z = 2 cis  23π  ที่สอดคลองกับเงื่อนไข z6 = 26 cis  6 ⋅ 23π  APoint 2 ∴ z6

= 64 cis (4π) = 64 6 ∴ คาของ |Re(z ) + Im(z6)| = 64 Ans

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (57)


คณิตศาสตร (58)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (59)


แนวขอสอบ PAT 1 ความนาจะเปน 1. ตองการนําเลขโดด 1, 1, 2, 3, 3, 4 ทั้งหมด 6 ตัว มาจัดเรียงเปนจํานวนที่มี 6 หลัก จะสรางจํานวนที่มี 6 หลัก ไดทั้งหมดกี่จํานวน เมื่อเลข 1 ทั้งสองตัวไมติดกัน และเลข 3 ทั้งสองตัวไมติดกัน (แนว PAT 1 มี.ค. 56)

2. จังหวัดหนึ่งมี 6 อําเภอ แตละอําเภอ���งผูแทน 2 คน เปนชาย 1 คน และหญิง 1 คน ในการเลือก คณะกรรมการ 6 คน จากผูแทน 12 คน จะตองมีชาย 3 คน หญิง 3 คน ถาความนาจะเปนที่คณะกรรมการ ดังกลาว มีชายหญิงอยางนอย 1 คู มาจากอําเภอเดียวกัน เทากับ ab โดยที่ ห.ร.ม. ของ a กับ b เทากับ 1 แลว a + b มีคาเทาใด (แนว PAT1 มี.ค. 56)

คณิตศาสตร (60)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


3. กลองใบหนึ่งบรรจุเสื้อยืด 13 สี สีละ 4 ตัว โดยที่ เสื้อยืดในแตละสีมีขนาด S, M, L และ XL ตามลําดับ สุมหยิบเสื้อจากกลองมา 3 ตัว พรอมๆ กัน ความนาจะเปนที่จะไดเสื้อมีสีเหมือนกัน 2 ตัว เทากับขอใด ตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 72 72 3 3 1) 425 2) 5525 3) 221 4) 22100 4. กําหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตุการณใดๆ ใน S จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. P(A) = P(A I B) + P(A I B′) ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(A U B′) = 0.7 แลว P(A - B) = 0.4 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง (PAT 1 มี.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 5. ให A เปนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10 B เปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10 และ C เปนเซตของฟงกชัน f : A → B ทั้งหมดที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และ ห.ร.ม. ของ a และ f(a) ไมเทากับ 1 สําหรับทุกคา a ∈ A จํานวนสมาชิกในเซต C เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 6. กําหนดให A = {0, 1, 2, 3, 4} จํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตัวเลขในเซต A และ ตัวเลขแตละหลักไมซ้ํากันเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 7. คณะกรรมการชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานุการ และกรรมการอีก 4 คน จํานวนวิธีที่จัดกลุมคน 7 คนนี้นั่งประชุมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอ แต เลขานุการไมนั่งติดกับรองประธานเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 8. ในการทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมๆ กัน ความนาจะเปนที่ผลบวกของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 7 หรือผลคูณ ของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 12 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1 2) 61 3) 92 4) 94 1) 18 9. มีขอสอบปรนัย 20 ขอ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกําหนดขอ 1-10 ขอละ 4 คะแนน และขอ 11-20 ขอละ 1 คะแนน ถาหากนักเรียนตอบขอใดถูกตอง จะไดคะแนนเต็มของขอนั้น แตถาตอบผิดหรือไมตอบ จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมีกี่วิธีที่นักเรียนคนหนึ่ง จะทําขอสอบชุดนี้ไดคะแนนรวม 45 คะแนน (PAT 1 ก.ค. 53) 10. กําหนดให A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} จงหาจํานวนสับเซตของ A ทั้งหมดที่ประกอบดวยสมาชิก 8 ตัวที่ แตกตางกัน โดยที่ผลรวมของสมาชิกทั้ง 8 ตัว เปนพหุคูณของ 5 (PAT 1 ก.ค. 53)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (61)


11. ในการสอบถามนักเรียน จํานวน 100 คน ปรากฏวา มี 50 คน ชอบวิชาคณิตศาสตร , มี 40 คน ชอบวิชา ฟสิกส, มี 33 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ, มี 5 คน ชอบทั้งสามวิชา, มี 10 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษอยาง เดียว, มี 12 คน ชอบวิชาฟสิกสอยางเดียว และมี 20 คน ชอบวิชาคณิตศาสตรและวิชาฟสิกส พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งไมชอบทั้งสามวิชา เทากับ 0.15 ข. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งชอบวิชาคณิตศาสตรอยางเดียว เทากับ 0.40 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 12. โยนเหรียญบาท (เที่ยงตรง) หนึ่งเหรียญ จํานวน 10 ครั้ง ความนาจะเปนที่ไดหัวอยางนอย 2 ครั้งติดกัน เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 9 1) 193 2) 314 3) 64 4) 55 512 512 64 13. มีถุงยังชีพ 5 ถุง ตองการแจกใหครอบครัวที่ถูกน้ําทวม 4 ครอบครัว ครอบครัวละไมเกิน 2 ถุง ความนาจะเปน ที่ครอบครัวของสมชายซึ่งเปนหนึ่งในสี่ครอบครัวนั้นไมไดรับของแจกเลย เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 0.15 2) 0.2 3) 0.4 4) 0.6 14. ถา S เปนผลบวกของจํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่สรางมาจากเลขโดด 1, 2, 3 หรือ 4 โดยที่ตัวเลขในแตละ หลักไมซ้ํากัน แลวเศษเหลือจากการหาร S ดวย 9 เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) 15. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณในปริภูมิตัวอยาง ถา P(B - A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(A′ U B) = 0.7 แลว จงหา P(A U B′) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 0.1 2) 0.3 3) 0.4 4) 0.5 16. สุมเลือกจํานวนตั้งแต 3 ถึง 17 มา 5 จํานวน จงหาจํานวนวิธีที่จะไดจํานวนซึ่งมีผลรวมของทั้ง 5 จํานวน หารดัวย 3 ลงตัว (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 17. มีบัตรอักษร 9 ใบ ไดแก X, X, X, O, O, O, S, S, S เลือกมา 3 ใบ เพื่อสรางรหัส 3 หลัก จะสรางรหัสที่ แตกตางกันไดกี่วิธี (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 18. ให S เปนเซตของพหุนาม P(x) = ax3 + bx2 + cx + d โดยที่ a, b, c, d เปนสมาชิกในเซต {x ∈ I|x ≥ 0} ซึ่งมีสมบัติสอดคลองกับ a + 2b + c + d = 4 จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 19. มีลูกบอลสีแตกตางกัน 5 ลูก คือ สีขาว, สีแดง, สีเขียว, สีเหลือง และสีดํา สุมเลือกลูกบอลเหลานี้มาครั้งละ 3 ลูก ความนาจะเปนที่จะไดสีแดงหรือสีเหลืองเทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 20. จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการจัดสามี ภรรยา 3 คู ซึ่งมีเจนภพและนพนภา รวมอยูดวยใหยืนเปนแถวตรง 2 แถว แถวละ 3 คน โดยที่เจนภพและนพนภาไมไดยืนติดกันในแถวเดียวกัน (แนว PAT 1 มี.ค. 55)

คณิตศาสตร (62)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


21. ในการทอดลูกเตา 2 ลูก พรอมกัน 1 ครั้ง โอกาสที่ลูกเตาลูกหนึ่งออกแตม x อีกลูกออกแตม y โดยที่ 1 + 1 = 1 คือเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) x y 2 1 1 2) 61 3) 18 4) 12 1) 91 22. จากการสอบถามนักเรียน 22 คน พบวาทุกคนเปนคนชอบเลนกีฬาอยางนอย 1 ชนิด มี 10 คน ชอบเลน เปตอง, มี 12 คน ชอบเตะตะกรอ, มี 12 คน ชอบตีกอลฟ, มี 5 คน ชอบเลนเปตองและตะกรอ, มี 3 คน ชอบเลนเปตองและกอลฟ, มี 6 คน ชอบเตะตะกรอและตีกอลฟ ถาตองการเลือกเด็กนักเรียนที่ชอบกีฬา ชนิดละ 1 คน โดยที่เด็กคนนั้นตองชอบกีฬาเพียงชนิดเดียวเทานั้น จะสามารถเลือกไดกี่วิธี (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 23. สําหรับเหตุการณ E ใดๆ ให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตุการณ E ถา P(A) = 0.34, P(A I B) = 0.15, P((A U B) - (A I B)) = 0.43 แลวคาของ P(B - A) คือเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 24. ในการจัดที่นั่งรอบโตะกลมของคน 8 คน ที่มีวีกิจและมุตตารวมอยูดวย จงหาความนาจะเปนที่ทั้งสองคน ไมไดนั่งติดกัน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 2) 54 1) 34 3) 57 4) 78 25. กําหนดให S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} สุมหาสับเซตของ S ที่มีสมาชิก 3 ตัว ความนาจะเปนที่จะได สับเซต {x, y, z} ⊂ S โดยที่ x < y < z และ x, y, z เปนลําดับเลขคณิตเทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 9 11 6 9 2) 35 3) 210 4) 210 1) 35 26. กําหนดให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตุการณ E ถา A และ B เปนเหตุการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ โดยที่ P(A) = 12 , P(B′) = 58 และ P(A′ I B′) = 14 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 56) ก. P(A I B) = 18 ข. P(A U B′) = 34 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 27. ในการโยนลูกเตา 2 ลูก พรอมกันหนึ่งครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดผลคูณของแตมบนลูกเตาทั้งสองหารดวย 3 ไมลงตัวเทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 56) 1) 91 2) 92 3) 94 4) 69

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (63)


เก็งขอสอบ “ความนาจะเปน” 1. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ในการจัดโตะกลมของคน 9 คน มีนาย ก และนาย ข รวมอยูดวย ความนาจะเปนที่ทั้ง 2 คน ไมนั่งติดกัน มีคาเทากับ 34 ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 และ P(A U B′) = 0.8 แลว P(A - B) = 0.2 ขอใดสรุปไดถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด APoint ที่ตองรู : 1 นั่งเปนวงกลม 2 จับแทรก 3 แผนภาพเวนน-ออยเลอร เฉลยวิธีคิด พิจารณาขอความ ก. n(S) ; จัดเรียงคน 9 คน ได (9 - 1)! = 8! วิธี

n(E) ;

APoint 2

APoint 1

i) จัดคน 7 คน (ไมรวม ก, ข) ได (7 - 1)! = 6!

7 7! ⋅ 2! = 42 ii) จับ ก. และ ข. แทรกได  2  ⋅ 2! = 2!5!   เลือกชองนั่ง จัดนาย ก, ข นั่ง 1 2

1

7

2

7

3 6 6

5

4

P(B) U

P(A)

0.5

APoint 3

n(E) = 42 ⋅ 6!

4

42 ⋅ 6! 5= 42 = 3 P(E) = n(E) = 8! 56 4 n(S) P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 และ P(A)

3

ข. จากที่กํา���นดให

APoint 1

P(B) U

ดังนั้น ก. ถูก P(A U B′) = 0.8 P(A)

P(B) U

0.3 0.8

P(A)

P(B) U

0.4 0.1 0.2 0.3

จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้ จะได P(A - B) = 0.4 Ans 2) ดังนั้น ข. ผิด

คณิตศาสตร (64)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


x2 - 4 0  แบบสุม โดยที่ x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ความนาจะเปนที่จะได 2 y x - 1 เมทริกซที่หาผกผันการคูณได มีคาเทากับขอใด 6 7 2) 53 3) 25 4) 25 1) 52

2. ในการสรางเมทริกซในรูป

   

APoint ที่ตองรู : 1 A-1 หาได ↔ det A ≠ 0 2 กฎการคูณ เฉลยวิธีคิด

ให ดังนั้น

x2 - 4 0  y x2 - 1 det A = (x2 - 4)(x2 - 1) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) det A ≠ 0 เมื่อ x ≠ -2, 2, -1, 1

A =

   

หา A-1 เมื่อ x ≠ -2, 2, -1, 1 หา n(S) ; เนื่องจาก x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ∴ n(S) = 5 × 5 = 25 หา n(E) ; x ≠ -2, 2, -1, 1 ∴ n(E) = 3 × 5 = 15 x = 0, 3, 4

APoint 2 APoint 2

y = 0, 1, 2, 3, 4

15 3 ดังนั้น P(E) = n(E) n(S) = 25 = 5

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

APoint 1

Ans 2)

___________________________________ คณิตศาสตร (65)


คณิตศาสตร (66)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (67)


คณิตศาสตร (68)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


แนวขอสอบ PAT 1 ลําดับและอนุกรม 1. สําหรับ n = 2, 3, 4, ... ให an = 1 + 2 + 3 + ... + n a 2 ⋅ a 3 ⋅ a 4 ⋅ ... ⋅ a n 1 ⋅ (แนว PAT 1 มี.ค. 56) จงหาคาของ lim 12 (a 1)(a 2 3 - 1)(a 4 - 1) ⋅ ... ⋅ (a n - 1) n→∞

2. กําหนด a1, a2, a3, ..., an, ... เปนลําดับเรขาคณิตและมีอัตราสวนรวมเทากับ r +a a +a a +a a a +a ถา a 1 + a 3 + a 3 + a5 + a 5 + a 7 + ... + a 2013 + a 2015 = 2014 4 6 2 4 6 8 2014 2016 2 3 จงหาคาของ 1 + 5r + 13r + 25r + ... (แนว PAT 1 มี.ค. 56)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (69)


3 n + 2n - 2 + ... เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 33 3. ผลบวกของอนุกรม 3 + 11 4 + 16 + ... + 4 n-1 1) 20 2) 29 3 3 31 40 3) 3 4) 3 4. ถา {an} เปนลําดับของจํานวนจริงที่ an = 2 + 4 + 6 2+ ... + 2n สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n n แลว lim a n เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) n→∞

n

   k =1 

5. กําหนดให Sn = ∑

1

k (k + 1) + k k + 1

   

สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ lim S n เทากับเทาใด n→∞

(PAT 1 มี.ค. 53) 6. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 3, 4, 5, 6, ... ในตารางดังตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) แถวที่ 1 2 3 4 5

2 3 4 5

9 8 7 6

17 10 16 11 15 12 14 13

... ... ... ... ...

จํานวน 2400 อยูในแถวที่เทาใด 7. กําหนดให x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x เลขคณิต แลวคา r เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 14 2) 13 3) 12 4) 2 8. กําหนดใหอนุกรมตอไปนี้ A =

1000 ∑ (-1)k k =1

20 B = ∑ k2 k =3

100

C = ∑k k=1

คาของ A + B + C + D เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922

คณิตศาสตร (70)___________________________________

y ถา x, 2y, 3z เปนลําดับ

k D = ∑ 2 12  k =1

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


9. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดังตอไปนี้

แถวที่ 1 1 แถวที่ 2 3 5 แถวที่ 3 7 9 11 แถวที่ 4 13 15 17 19 แถวที่ 5 M M M M M M M

M

M

M

M

M

M

จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยู ตําแหนงใดในแถวที่เทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 1) ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2) ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3) ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4) ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21 10. ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว lim n 2 a n มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) n→∞

βn - 7 11. กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงที่นิยามโดย an = n + 2 สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ {an} เปนจํานวนเทากับ a108 แลว lim a n มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) n→∞

2

2

12. กําหนดให an = 1 +  1 + n1  + 1 +  1 - n1  สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 + a1 + ... + a1 เทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 2 20 1 5 4 +2 12 + ... + 15  2  n-1 + ... แลว k 13. ให k เปนคาคงที่และถา lim k(n + n) + 3n = 15 + 6 + 5 5 n→∞ (n + 2)5 มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 14. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดังตอไปนี้

หลักที่ 1

หลักที่ 3 5 17 29 41

หลักที่ 4 8 14 32 38

หลักที่ 5

47

หลักที่ 2 2 20 26 44

M

M

M

M

M

23

11 35

จํานวน 2012 อยูในหลักที่เทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (71)


15. ให T(x) = sin x - cos2 x + sin3 x - cos4 x + sin5 x - cos6 x + ... แลวคาของ 3T  π3  เทากับ

ขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 4 3 - 1 2) 5 3 - 1

3) 6 3 - 1

4) 7 3 - 1

n k2 16. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ an = ∑ (2k - 1)(2k สําหรับ n = 1, 2, 3, ... + 1) k =1 an เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) lim 16 n→∞ n 3) 8 4) 16 1) 4 2) 16 3

17. กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยมีสมบัติ ดังนี้ ก. a15 - a13 = 3 ข. ผลบวก m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 325 และ ค. ผลบวก 4m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 4900 แลวพจน a2m เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 2) 121 3) 125 1) 61 2 2 2

4) 119

18. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ a1 = 2 และ an =  nn -+ 11  (a1 + a2 + ... + an-1) สําหรับ n = 2, 3, ... แลวคาของ lim a + a n+ ... + a เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) n n→∞ 1 2 19. บทนิยาม ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง เรียกพจน an วา พจนคู ถา n เปนจํานวนคู และ เรียกพจน an วา พจนคี่ ถา n เปนจํานวนคี่ กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยที่มีจํานวนพจนเปนจํานวนคูและผลบวกของพจนคี่ทั้งหมด เทากับ 36 และผลบวกของพจนคูทั้งหมดเทากับ 56 ถาพจนสุดทายมากกวาพจนแรก เปนจํานวนเทากับ 38 แลว ลําดับเลขคณิต {an} นี้ มีทั้งหมดกี่พจน (PAT 1 ต.ค. 53) 1+ b 20. ให {bn} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ b1 = -3 และ bn+1 = 1 - b n สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ n b1000 เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 9999

21. คาของ ∑

n =1

1 เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) n + 1 )( 4 n + 4 n + 1 )

( n+

22. กําหนดให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สําหรับ k = 1, 2, 3, ...    n→∞  

1 + ... + 1 เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) S3 Sn 23. ถาผลคูณของลําดับเรขาคณิต 3 จํานวนที่เรียงติดกัน เทากับ 343 และผลบวกของทั้งสามจํานวนนี้ เทากับ 57 แลว คามากที่สุดในบรรดา 3 จํานวนนี้ เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

คาของ lim

1 S1

+

1 S2

    

+

คณิตศาสตร (72)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


24. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ an+1 = n2 - an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 ที่ทําให a101 = 5100 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 50 2) 25 3) 1 4) 0 25. กําหนดให 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิต คือ 2a + 1, 2b - 1, 3b - a และ a + 3b เมื่อ a และ b เปน จํานวนจริง พจนที่ 1000 ของลําดับเลขคณิตนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 3,997 2) 3,999 3) 4,001 4) 4,003 26. ให a, b, c เปนจํานวนจริง โดยที่ 2a, 3b, 4c เปนลําดับเรขาคณิต และ 1a , 1b , 1c เปนลําดับเลขคณิต คาของ ac + ca เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) 27. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 = 1 และ an + 1 ≤ an+1 และ an+5 ≤ an + 5  n  สําหรับ n = 1, 2, 3, ... แลวคาของ lim n1  ∑ (a k + 6 - k)  เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) n→∞  k =1  28. กําหนดอนุกรมเลขคณิต a1 + a2 + a3 + ... + a51 ถา a1 + a2 + a3 + ... + a51 = 52 แลวจงหาคาของ a2 + a4 + a6 + ... + a50 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 44 2) 46 3) 48 4) 50 29. จงหาจํานวนจริง x > 0 ซึ่ง 1 + 1 +5 x + 12 2 + 22 3 + ... = 10 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) (1 + x) (1 + x) 30. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 = 0 และ an = (-1)n  logn 12   logn-1 13  ...  log2 n1  ; n > 1 n

   k =2 

1  k2 - 1  จงหาคา c ที่ทําให lim (an + cbn) = 5 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) n→∞

bn = ∑

2 + 22 + 32 + ... + n 2 31. กําหนดให 1(2) 1+ 2(3) = 89 + 3(4) + ... + n(n + 1) 92 จงหาคา n (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 32. พิจารณาขอความตอไปนี้ ∞ n n 2 - b2 ก. ถา a, b ∈ I+ แลว ∑ a - bn = a ab n =1 (a + b) a + a + ... + a n a 1 + a 2 + ... + a m ข. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต โดยที่ 1 2 2 = ;n≠m n m2 แลว 2na - 1 = 2ma - 1 n

m

ขอใดตอไปนี้ถูก (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

3) ก. ผิด แต ข. ถูก

4) ก. และ ข. ผิด

___________________________________ คณิตศาสตร (73)


33. ลําดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีอัตราสวนรวมเปนจํานวนจริงบวก ถาผลบวกของสองพจนแรก เทากับ 3 และ ผลบวกของสี่พจนแรก เทากับ 15 แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 34. กําหนดให an = 2bn + 2-bn เมื่อ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 2n เมื่อ n = 1, 2, 3, ... a คาของ lim a a a n... a มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) n→∞ 1 2 3

n-1

35. กําหนดให an = 2 sin  nπ - π2  + cos nπ และ bn = 4 cos  2nπ - π3 

a1  a2  2  a3  3 แลวคาของ b +  b  +  b  + ... มีคาเทากับเทาใด (แน��� PAT 1 ต.ค. 55) 1  2  3 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 36. กําหนดให an = 1 + 2 + 3 + ... + n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an   แลวคาของ lim  b3 + b4 + b5 + ... + nb+ 2  มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 2 3 n  n→∞  1

1 37. จงหาคาของ lim 2n n→∞

    

1 + 12 + 12 1 2

+

1 + 12 + 12 + ... + 1 + 1 2 + 12  (n - 1) n  2 3

(แนว PAT 1 มี.ค. 55) 38. กําหนดใหลําดับเลขคณิตมีผลบวก 5 พจนแรกเทากับ 105 และมีผลบวก 5 พจนถัดไป เทากับ 180 แลว ผลบวก 31 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้มีคาเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 39. กําหนด a1, a2, a3, a4, a5 และ b1, b2, b3, b4, b5, b6 เปนลําดับเลขคณิต โดยที่ a1 = b2 ; a5 = b5 ; (b - b ) + (b - b ) a1 ≠ a5 ถา 6 a4 - a 8 2 = xy และ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากับ 1 แลวจงหาคาของ xy 4 2 (แนว PAT 1 มี.ค. 56) 40. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ an = 5 + 10 + 151 + ... + 5n กับ n = 1, 2, 3, ... ผลบวกของอนุกรม a1 + a2 + a3 + ... เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT1 มี.ค. 56) 1) 51 2) 52 3) 53 4) 54

คณิตศาสตร (74)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เก็งขอสอบ “ลําดับและอนุกรม” 1. กําหนดใหลําดับ an สอดคลองกับสมการ 2a1 + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an = nn ++ 32 ; n ∈ I+ ∞

จงหาคําตอบของ ∑ 12a n n =3

APoint ที่ตองรู : 1 อนุกรมเศษสวนยอย  1 ∑  1 1 1 ∑ n(n + d)(n = 2d  n(n + d) (n + d)(n + 2d)  + 2d) 2 S∞ = lim Sn n→∞

3 ลิมิตของฟงกชันพหุนาม : ดีกรีสูงสุดของเศษนอยกวาส่วน เฉลยวิธีคิด ∴

(1) - (2) ;

2a1 + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an = nn ++ 23 ...(1) ...(2) 2a1 + 3a2 + 4a3 + ... + nan-1 = nn ++ 12 (n + 1)an = nn ++ 23 - nn ++ 12 2)(n + 2) - (n + 1)(n + 3) an = (n + (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2 + 4) - (n 2 + 4n + 3) an = (n +(n4n+ 1)(n + 2)(n + 3) 1 an = (n + 1)(n + 2)(n + 3)

n n n   1 1 จะได Sn = ∑ 12a k = 12 ∑ a k = 12 ∑ 12  (k + 1)(k APoint 1  + 2) (k + 2)(k + 3)  k =3 k =3 k =3      1 1  Sn = 12  12 4 1⋅ 5 - 5 1⋅ 6   + 12  5 1⋅ 6 - 6 1⋅ 7  + ... + 12  (n + 1)(n + 2) (n + 2)(n + 3)        1 Sn = 12  12 4 1⋅ 5 - (n + 2)(n  + 3)    

ดังนั้น

∑ 12a n n =3

= S∞ =

lim Sn

n→∞

APoint 2

   1 lim 12  12 4 1⋅ 5 - (n + 2)(n  + 3)   n→∞   = 12 ⋅ 12  4 1⋅ 5 - 0  APoint 3 6 = 0.3 Ans = 20

=

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (75)


100

2. ให an เปนลําดับเลขคณิต โดยที่ 9a51 = a55 + 60 จงหาคาของ ∑ a n n =1

APoint ที่ตองรู : 1 an = a1 + (n - 1)d 2 Sn = n2 (a1 + an) เฉลยวิธีคิด

คาของ

9a51 9(a1 + 50d) 9a1 + 450d 8a1 + 396d 2a1 + 99d 100 ∑ an n =1

= = = = =

a55 + 60 (a1 + 54d) + 60 a1 + 54d + 60 60 15 = S100 = 100 2 (a1 + a100)

= = = =

50[a1 + (a1 + 99d)] 50(2a1 + 99d) 50(15) 750 Ans

คณิตศาสตร (76)___________________________________

APoint 1

APoint 2 APoint 1

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (77)


คณิตศาสตร (78)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (79)


คณิตศาสตร (80)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


แนวขอสอบ PAT 1 แคลคูลัส 2x - 8 ; x<4 2 - 3x + 12 2x 4x 1. กําหนดให f(x) = โดย k เปนจํานวนจริง ถา f ตอเนื่องที่จุด x = 4 kx ; x ≥ 4 3 จงหาคา f(k + 4) (แนว PAT 1 มี.ค. 56)     

2. ให f เปนฟงกชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจ เปนสับเซตของจํานวนจริง โดยที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทียบกับ x เทากับ ax3 + bx เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง และให g(x) = (x3 + 2x)(f(x)) ถา f′(1) = 18, f″(0) = 6 และ f(2) = f(1) + f(-1) จงหาคาของ g′(-1) (แนว PAT 1 มี.ค. 56)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (81)


3. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f(x) = 3x2/3, g(1) = 8 และ g′(1) = 23 คาของ (fog)′(1) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 2) 23 3) 1 4) 34 1) 13  x 2 - 3x - 2  x-2 , x <2  4. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และ f เปนฟงกชัน ซึ่งกําหนดโดย f(x) =  a - b , x=2   x 2 + ax + 1 , x > 2 

ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริงแลว คาของ a2 + b2 เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 5. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชันโดยที่ f′(x) = 3 x + 5 สําหรับทุก 2 จํานวนจริง x และ f(1) = 5 แลวคา lim f(x f(x)) - 2 เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) x →4 6. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชันโดยที่ f″(x) = 6x + 4 สําหรับทุกจํานวน จริง x และความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (2, 19) เทากับ 19 แลวคาของ f(1) เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) |x3 - 1|  , -1 < x < 1  x - 1 7. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชัน โดยที่ f(x) = ax + b , 1 ≤ x < 5  5 , x≥5  

ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (-1, ∞) แลวคาของ ab เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 54 2) - 74 3) 15 4) -10

8. โรงงานผลิตตุกตาแหงหนึ่ง มีตนทุนในการผลิตตุกตา x ตัว โรงงานจะตองเสียคาใชจาย x3 - 450x2 + 60200x + 10000 บาท ถาขายตุกตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลิตตุกตากี่ตัวจึงจะไดกําไร มากที่สุด (PAT 1 ก.ค. 53) 9. กําหนดให f(x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง ถาความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (1, 2) มีคา 2

เทากับ 4 และ ∫ f(x)dx = 12 แลว f(-1) + f″(-1) มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) -1 10. กําหนดให h(x) = f(x)g(x) โดยที่ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (x, y) เทากับ 2 - 2x และ เสนโคง y = f(x) มีคาสูงสุดสัมพัทธ เทากับ 5 ถา g เปนฟงกชันพหุนาม ซึ่งมีสมบัติ g(2) = g′(2) = 5 แลว h′(2) มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

คณิตศาสตร (82)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


11. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ให f : R → R เปนฟงกชันตอเนื่อง ที่ x = 1 และให g เปนฟงกชันที่  x +3 -2 เมื่อ x > 1  ถาฟงกชัน g มีความตอเนื่องที่ x = 1 แลวคาของ กําหนดโดย g(x) =  x - 1  f(x) เมื่อ x ≤ 1  |x| + 7  (gof)(1) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 2) 2 3) 2 - 7 4) 7 - 2 1) 2 - 3 12. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชันพหุนาม โดยที่ f(x) = x4 + 2x3 - x2 + ax + b 1

ถามีฟงกชันพหุนาม Q(x) โดยที่ f(x) = (Q(x))2 แลวคาของ ∫0 f(x)dx เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 71 31 11 1 2) 30 3) 30 4) 30 1) 30

13. ให f เปนฟงกชันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง โดยที่ f(2x + 1) = 4x2 + 14x คาของ f(f′(f″(2553))) เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) x 3 + x 2 + x เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) x2 x →02) 12 3) -1 1) - 12

14. คาของ lim

4) 1

15. กําหนดให f เปนฟงกชันพหุนามที่มี f″(x) = ax + b เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ถา f(0) = 2 และกราฟ ของ f มีจุดต่ําสุดสัมพัทธที่ (1, -5) แลว 2a + 3b เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) -12 2) 20 3) 42 4) 48 16. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ให g : R → R เปนฟงกชันกําหนดโดย g(x) = 2x 1+ 3 เมื่อ x ≠ - 32 ถา f : R → R เปนฟงกชันที่ (fog)(x) = x สําหรับทุกจํานวนจริง x แลว f″  12  เทากับขอใด ตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) - 12 2) 12 3) -8 4) 8 17. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดทุก x ∈ R โดยที่ g(x) = x2 - 2x + 5, (gof)(x) = x6 + 2x4 - 2x3 + x2 - 2x + 5 และ f(0) = 0 คาของ (f′og′)(1) + (g′of′)(0) เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) 2

18. กําหนดใหเสนโคง y = f(x) สัมผัสกับเสนตรง 2x - y + 3 = 0 ที่จุด (0, 3) และ ∫0 f ′′(x)dx = -3 ถา g(x) = x + 2 f(x) และ g′(2) = 0 แลว f(2) เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (83)


x-3 เมื่อ x ≠ 3 2x + 10 - x + 13 โดยที่ a เปนจํานวนจริง ถา f เปนฟงกชัน a เมื่อ x = 3 ตอเนื่องที่จุด x = 3 แลว a เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54)

19. กําหนดให f(x) =

    

20. กําหนดให f(x) = x2 ถา L เปนเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนสัมผัสกราฟของ f(x) ที่จุด (a, f(a)) ; a > 0 และ L มีระยะตัดแกน y เทากับ 52 หนวย แลวขอใดเปนพิกัดบนเสนตรง L (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) (-2, 2) 2) (0, 5) 3) (2, 2) 4) (3, 1) 21. กําหนดให A(0, 0), B(2, 0) และ C(1, 4) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ถากราฟ f(x) = ax2 + bx + c ผานจุด A, B โดยที่ AC และ BC เปนเสนสัมผัสกราฟของ f ที่จุด A และ B ตามลําดับ แลวพื้นที่ที่ปดลอม ดวยกราฟของ f กับเสนตรง AB มีคาเทาใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 2) 23 3) 1 4) 34 1) 13 22. ฟงกชัน f, g, h มีสมบัติวา (fog)(x) = 3x + 1, f  x 2- 1  = x - 5, h(2x - 1) = 4g(x) + 7 จงหาคาของ

h′(1) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1

23. กําหนดให f″(x) = 0 ทุกจํานวนจริง x ถา f(0) = 12 และ f(1) = 52 แลว ∫0 f(x)dx เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 24. ให l เปนเสนตรงที่ผานจุด (0, 5) และมีความชันมากกวา -1 แตนอยกวา 0 ถาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ ถูกปดลอมดวย l กับแกน x จาก x = 0 ถึง 4 มีคาเทากับ 16 ตารางหนวย แลว จงหาพื้นที่ปดลอมดวย เสนตรง l กับแกน x จาก x = 0 ถึง 2 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) x 25. จงหาคาของ lim 3 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) x + 1 + 3 x-1 x→0 26. กําหนดให f″(x) = 2x - 1 และ f′(2) = 3 สมการของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (1, -1) คือขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) y = -2x + 1 2) y = x - 2 3) y = 2x - 3 4) y = 3x - 4 27. ให f, g, h เปนฟงกชันที่มีอนุพันธทุกอันดับ โดยที่ h(x) = x2 - 1, g(x) = h(f(x) + 1) และ f′(-1) = g′(-1) = 7 แลวคาของ f(-1) เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) - 72 2) - 12 3) 12 4) 72 2

28. กําหนดให f(x) = x - 1 และ (gof)(x) = x3 - 6x2 + 8x - 3 แลวคาของ ∫ f(g(x))dx เทากับเทาใด 0 (แนว PAT 1 มี.ค. 55)

คณิตศาสตร (84)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


29. จงหาคาของ lim

x→ π 4 f(x) = x3

(1 - tan 3 x)sec2 x (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1 + cos 2x - 2 sin 2 x

30. กําหนดให - 14x2 + kx - 64 ถารากของสมการ f(x) = 0 เปนจํานวนจริง ที่เรียงกันเปนลําดับ เรขาคณิต แลวคาของ f′(1) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) -45 2) -31 3) 31 4) 45 31. กําหนดให f เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง โดยที่ f(0) = -1 และ f(x + 1) = f(x) + x - 1 สําหรับทุก 1

จํานวนจริง x แลวคาของ ∫-1 f(x)dx มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 2) - 32 3) 32 4) 53 1) - 53 2 32. จงหาคาของ lim |x + x - 2| (แนว PAT 1 ต.ค. 55) x →1 + 2x - 1 - 1

1) -3 2) 0 3) 3 4) หาคาไมได 33. กําหนดให f และ g เปนฟงกชันที่สอดคลองกับคุณสมบัติตอไปนี้ 1. (fg)(x) = 3x + 3 2. f และ g เปนฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธไดทุกอันดับ 3. f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 3 ที่ x = 1 4. g″(x) = 2 สําหรับทุกจํานวนจริง x แลวฟงกชัน g มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 34. กําหนดให P(x) เปนฟงกชันพหุนามซึ่ง P(x2 - 1) = 3x4 - 2x2 - 2 สําหรับทุกจํานวนจริง x และ x

กําหนดให f(x) = ∫ 0 P(t)dt แลวคาของ lim P(x) + f(x) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) x →-1 4xh - 3h 35. กําหนดให P(x) เปนฟงกชันพหุนามซึ่ง P(0) = 1 ถา lim P(x + h + 1) + P(h =1 + 1) - P(x + 1) - P(1) h→0

แลวคาของ P(6) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)  f(x) เมื่อ x ≥ 1 36. กําหนดให f(x) = ax2 - 1 , g(x) = (2x - 1)f′(x) และ h(x) = g(x) เมื่อ x < 1 ถา h ตอเนื่องที่ x = 1  x +1 แลวคาของ 3h(2) + h(-2) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 2) 0 3) 1 4) 2 1) -1

37. กําหนดให f(x) = x3 + ax + b + 2 โดยที่ a

b และให L1 และ L2 เปนเสนสัมผัสโคงที่ x = a และ 1 4h x = b ตามลําดับ ถา L1 ขนานกับ L2 และ lim f(1 + h) = 1 แล ว ค า ของ f(x)dx เทากับ ∫ - f(1) 0 h →0 เทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (85)


38. คาของ lim x(x - 1) - x + 4 เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 56) x →∞ 4 2) 52 3) 62 4) 72 1) 2 4 39. กําหนดให C เปนเสนโคง y = 3x 3- 2 เมื่อ x > 0 และ ให L เปนเสนตรงที่สัมผัสกับเสนโคง C ที่จุด x (1, 1) ถาเสนตรง L ตัดกับเสนพาราโบลา x(x - 1) = y - 1 ที่จุด A และ จุด B แลวกําลังสองของ ระยะหางระหวางจุด A และจุด B เทากับขอใด (แนว PAT 1 มี.ค. 56) 1) 5247 2) 5248 3) 5249 4) 5250 40. กําหนดให f(x) เปนพหุนามดีกรีสาม ซึ่งสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง โดยมี x + 1 เปนตัวประกอบของ f(x) 1

ถา 4 + 3i เปนคําตอบของสมการ f(x) = 0 และ f(0) = 50 จงหาคาของ ∫-1 [f(x) - f(-x)]dx (แนว PAT 1 มี.ค. 56)

คณิตศาสตร (86)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เก็งขอสอบ “แคลคูลัส” 1. กําหนดให y = f(x) เปนฟงกชันพหุนาม ซึ่งมีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ 2 ที่ x = 1 และมีเสนตรง

4 2x + y - 11 = 0 เปนเสนสัมผัสกราฟที่จุด (2, 7) ถา g(x2) = x2f(x) แลวคาของ ∫1 g′′(x)dx เทากับ เทาใด

APoint ที่ตองรู : 1 2 3 4 5 เฉลยวิธีคิด

อินทิเกรตจํากัดเขต กฎลูกโซ d dx (uv) = uv′ + vu′ จุดต่ําสุดสัมพัทธ : f(1) = 2, f′(1) = 0 ความชันของเสนตรง ; f(2) = 7, f′(2) = -2 4 ∫1

พิจารณา APoint 2 แทน x = 2 ;

g′(4)(4) = 4f′(2) + f(2)(4) g′(4) = f′(2) + f(2) = -2 + 7 = 5 ∴ g′(4) = 5 g′(1)(2) = f′(1) + f(1)(2) g′(1) = f ′2(1) + f(1) = 2+0 = 2 ∴ g′(1) = 2

แทน x = 1 ;

ดังนั้นคาของ

g′′(x)dx = g′(4) - g′(1) Q g(x2) = x2f(x) g′(x2)(2x) = x2f′(x) + f(x)(2x)

4 ∫1

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

APoint 1 APoint 3 APoint 5

APoint 4

g′′(x)dx = 5 - 2 = 3 Ans

___________________________________ คณิตศาสตร (87)


1

2. ถา f′(x) = 3x2 - 6x + 1 และ ∫ 0 f(x)dx = 0 แลว f(4) มีคาเทาใด APoint ที่ตองรู : 1 อินทิเกรตจํากัดเขต 2 อินทิเกรตไมจํากัดเขต เฉลยวิธีคิด

f(x) = ∫ f′(x)dx = ∫ (3x2 - 6x + 1)dx ∴ f(x) = x3 - 3x2 + x + C ; เมื่อ C เปนคาคงที่

Q

และ ∴

1 3 ∫ 0 (x   

f(x)dx = 0

- 3x 2 + x + C)dx = 0

x 4 - x3 + x2 + Cx  4 2    

ดังนั้น

1 ∫0

APoint 2

x =1

x =0

APoint 1

= 0

1 -1+ 1 + C - 0 = 0 4 2 ∴ C = 14 f(x) = x3 - 3x2 + x + 14 ∴ f(4) = 43 - 3(4)2 + 4 + 14 = 64 - 48 + 4 + 14 = 20 14 = 20.25 Ans   

คณิตศาสตร (88)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


3. ให a เปนจํานวนจริงที่ทําให พื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง y = 3a2x2 + 2ax + 10 จาก x = 0 ถึง x = 1 มีคานอยที่สุด แลวพื้นที่ปดลอมดังกลาวมีคาเทากับเทาใด b2 - 4ac แลว x จะไมมีจํานวนจริงเปน APoint ที่ตองรู : 1 ถา x = -b ± 2a คําตอบ เมื่อ b2 - 4ac < 0 2 อินทิเกรตจํากัดเขต 3 โจทยประยุกตคาต่ําสุด

เฉลยวิธีคิด พิจารณา คา

y = 3a2x2 + 2ax + 10 b2 - 4ac = (2a)2 - 4(3a2)(10) = 4a2 - 120a2 = -116a2 < 0 เสมอ แสดงวา สมการ (1) ไมตัดแกน x 1

พื้นที่ปดลอม (A) = ∫ 0 (3a 2 x 2 + 2ax + 10)dx x =1 A = [a2x3 + ax2 + 10x] x =0 ∴ A = a2 + a + 10 หาพื้นที่ปดลอม นอยที่สุด : Q A′ = 2a + 1 ให A′ = 0 → a = - 12 ∴

...(1) APoint 1 APoint 2

APoint 3

2 -12  +  -12  + 10 = 14 - 12 + 10 = 9.75 ตารางหนวย Ans

A  -12  =

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

  

___________________________________ คณิตศาสตร (89)


คณิตศาสตร (90)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (91)


คณิตศาสตร (92)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (93)


คณิตศาสตร (94)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


แนวขอสอบ PAT 1 สถิติ 1. กลุมคนทํางาน กลุมหนึ่งมีสมาชิก 6 คน มีคาเฉลี่ยของอายุเทากับ 36 ป ความแปรปรวนของอายุเทากับ 64 ป อีก 6 ป ตอมา มีคน 2 คน มาเขากลุมเพิ่มเติม โดยทั้ง 2 คนนี้มีอายุเทากัน เทากับอายุเฉลี่ยของคน ทั้ง 6 คนแรกพอดี ความแปรปรวนของอายุของคนทั้ง 8 คนนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 56) 1) 12 2) 24 3) 36 4) 48

2. ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงแบบโคงปกติ พบวา มีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวานาย ก คิดเปนรอยละ 9.48 และมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวานาย ข คิดเปนรอยละ 10.64 ถาหากนาย ข ได คะแนนนอยกวานาย ก อยู 38.25 คะแนน จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนหองนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 56) z

0.24

0.27

1.24

1.31

พื้นที่

0.0948

0.1064

0.3936

0.4052

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (95)


3. นักเรียนหองหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตรไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 40 คะแนน ถานักเรียนชายสอบได คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 35 คะแนน และนักเรียนหญิงสอบไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 50 คะแนน อัตราสวน ของนักเรียนชายตอนักเรียนหญิงตรงกับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 1 4) 1 : 2 4. คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งเทากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 600 ถามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได 60 คะแนน ทําใหคาเฉลี่ยเปลี่ยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมูลชุดใหมเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 5. จากการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 4 คน มี 2 คน น้ําหนักเทากันและหนักนอยกวาอีก 2 คนที่เหลือ ถาฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัยของน้ําหนักของนักเรียน 4 คนนี้คือ 45, 46 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับ แลวความแปรปรวนของน้ําหนักของนักเรียน 4 คนนี้เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 6. ในการสอบคัดเลือกเขาศึกษาตอของโรงเรียนแหงหนึ่ง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปน คามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได -2 แลวสัมประสิทธิ์การแปรผัน เทากับรอยละเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 7. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 30 คน มีคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 60 คะแนน และมี สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุมนี้เพียง 29 คน เทากับ 2.5 แลวนักเรียนอีก 1 คนที่เหลือสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 35 2) 58 3) 60 4) 85 8. มีนักเรียน 5 คน รวมกันบริจาคเงินไดเงินรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากั��� 660 ถามี นักเรียนเพิ่มอีก 1 คน มารวมบริจาคเปนเงิน 60 บาท ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตรงกับขอใด ตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) เพิ่มขึ้น 80 2) เพิ่มขึ้น 90 3) ลดลง 80 4) ลดลง 90 9. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ถานักเรียนคนหนึ่งในหองนี้สอบได 55 คะแนน คิดเปน คะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (Coefficient of Variation) ของคะแนน นักเรียนหองนี้ เทากับ 20% คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 10. สรางตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง โดยใหความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเปน 10 แลวปรากฏวามัธยฐานของคะแนนการสอบเทากับ 57 คะแนนซึ่งอยูในชวง 50-59 ถามี นักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ํากวา 49.5 คะแนน อยูจํานวน 12 คน และมีนักเรียนไดคะแนนต่ํากวา 59.5 คะแนน อยูจํานวน 20 คน จงหาวานักเรียนกลุมนี้มีทั้งหมดกี่คน (PAT 1 ก.ค. 53)

คณิตศาสตร (96)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


11. นักเรียนกลุมหนึ่ง จํานวน 50 คน มีสวนสูงแสดงดังตารางตอไปนี้ สวนสูง (เซนติเมตร) 156-160 161-165 166-170 171-175

12.

13.

14. 15.

จํานวนนักเรียน (คน) 6 15 21 8

ให a เปนคาเฉลี่ยเลขคณิตของสวนสูง และ b เปนสวนสูง โดยที่มีจํานวนนักเรียน 75% ของนักเรียนทั้งหมดที่มีสวนสูงนอยกวา b ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) a = 166.1 และ b = 168.73 2) a = 166.1 และ b = 169.43 3) a = 166.7 และ b = 168.73 4) a = 166.7 และ b = 169.43 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ในการสอบของนักเรียน 3 คน พบวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทากับ 80 คะแนน คามัธยฐาน เทากับ 75 คะแนน และพิสัยเทากับ 25 คะแนน คะแนนสอบของนักเรียนที่ไดคะแนนที่ไดคะแนน ต่ําสุดเทากับ 70 คะแนน ข. ขอมูลชุดที่หนึ่งมี 5 จํานวน คือ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมูลชุดที่สองมี 4 จํานวน คือ x1, x2, x3, x4 โดยที่คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลทั้งสองชุดเทากัน ถา a และ b เปนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลชุดที่หนึ่งและชุดที่สองตามลําดับ แลว ba = 25 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 2 หอง ซึ่งทําคะแนนเฉลี่ยได 60 คะแนน โดยหองแรกมีนักเรียน จํานวน 40 คน และหองที่สองมีนักเรียนจํานวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรกเปอรเซ็นไทลที่ 50 มีคา 64 คะแนน และฐานนิยมมีคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองที่สองมีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน คือ 2, 3, 6, 11, a, b ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ เทากับ 8 และ คามัธยฐาน เทากับ 7 แลว |a - b| เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) ในการสอบวิชาคณิตศาสตรคะแนนเต็ม 60 คะแนน มีนักเรียนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปนนักเรียนคนหนึ่ง ที่เขาสอบในครั้งนี้ นาย ก. สอบได 53 คะแนน และมีจํานวนนักเรียนที่มีคะแนนสอบนอยกวา 53 คะแนน อยู 27 คน ถามีการจัดกลุมคะแนนสอบเปนชวงคะแนน โดยมีอันตรภาคชั้นกวางเทาๆ กัน คะแนนสอบของ นาย ก. อยูในชวงคะแนน 51-60 จํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 นี้ มีทั้งหมดกี่คน (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 3 2) 4 3) 5 4) 9 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (97)


16. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐาน ที่อยูระหวาง 0 ถึง z z พื้นที่

1.14 0.373

1.24 0.392

1.34 0.410

1.44 0.425

ความสูงของนักเรียน 2 กลุม มีการแจกแจงปกติ ดังนี้ กลุม นักเรียนหญิง นักเรียนชาย

คาเฉลี่ยเลขคณิต 158 เซนติเมตร 169.06 เซนติเมตร

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 เซนติเมตร 5 เซนติเมตร

ถานักเรียนหญิงคนหนึ่งมีความสูงตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 91 ของกลุมนักเรียนหญิงนี้แลว จํานวนนักเรียนชาย ที่มีความสูงนอยกวาความสูงของนักเรียนหญิงคนนี้ คิดเปนรอยละเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 12.7 2) 11.4 3) 10.7 4) 9.4 17. บริษัทผลิตหลอดไฟตองการรับประกันคุณภาพผลิตภัณฑของบริษัท โดยจะเปลี่ยนเปนหลอดใหม ถาหลอด เดิมชํารุด บริษัทจะรับประกันไมเกิน 4.1% ของจํานวนที่ผลิตหลอดไฟมีอายุใชงานเฉลี่ย 2500 ชั่วโมง มีสัมประสิทธิ์ของความแปรผันเทากับ 0.20 ถาคาดวาตามปกติคนจะใชหลอดไฟวันละ 5 ชั่วโมง บริษัทนี้ควร กําหนดเวลาประกันมากที่สุดกี่วัน (PAT 1 มี.ค. 54) กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐาน ที่อยูระหวาง 0 ถึง z z พื้นที่

1.34 0.410

1.44 0.425

1.54 0.438

1.74 0.459

1.84 0.467

1) 362 วัน 2) 352 วัน 3) 346 วัน 4) 326 วัน 18. ขอมูลความสูง (เซนติเมตร) และน้ําหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนหญิง 4 คน ดังนี้ นักเรียนหญิง คนที่ 1 ความสูง (เซนติเมตร) 150 น้ําหนัก (กิโลกรัม) 45

คนที่ 2 152 45

คนที่ 3 154 48

คนที่ 4 156 50

ถาสวนสูงและน้ําหนักของนักเรียนมีความสัมพันธเชิงฟงกชันเปนเสนตรง y = a + 0.9x เมื่อ x เปนสวนสูง และ y เปนน้ําหนัก แลวนักเรียนที่มีสวนสูง 155 เซนติเมตร จะมีน้ําหนักกี่กิโลกรัม (PAT 1 มี.ค. 54) N

19. กําหนด ∑ x i = 1800, N = 45, x เปนคาเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเทากับ 121 ถานาย ก i=1

และนาย ข เปนนักเรียนของหองนี้ นาย ก ได 38 คะแนน มีคามาตรฐานมากกวาคามาตรฐานของนาย ข อยู 1 แลวนาย ข ไดกี่คะแนน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 27 2) 28 3) 29 4) 31 20. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวน มีฐานนิยมเทากับมัธยฐานเทากับ 25 คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 26 มีควอไทล ที่ 1 เทากับ 20 และพิสัยเปน 20 จงหาความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้ (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) คณิตศาสตร (98)___________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


21. คะแนนสอบของนักเรียน 1000 คน คะแนนเต็ม 100 คะแนนมีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเปน 60 และ 64 คะแนนตามลําดับ จงหาจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 52 แต นอยกวา 76 คะแนน กําหนดพื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐานดังนี้ (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

0.5 1.0 1.5 2.0 0.191 0.341 0.433 0.477

z A

22. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยที่ฐานนิยมของขอมูลชุดนี้ คือ 16 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 9 และ N ∑ (x i i=1

- 6) 2 = 6740 เมื่อ N คือ จํานวนขอมูล จงหาคา N (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

23. ขนมปง 40 ชิ้น มีน้ําหนักเฉลี่ย 25 กรัม และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 5 กรัม ถานําขนมปงอีก 2 ชิ้น ซึ่งหนัก 30 กรัม และ 20 กรัม มารวมดวยแลว ความแปรปรวนจะเทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) 4 2) 5 3) 20 4) 25 24. ตารางตอไปนี้เปนคะแนนสอบปลายภาคของนักเรียนจํานวน 100 คน คะแนนไมเกิน 15 20 25 30 35 40

จํานวนนักเรียน (คน) 14 36 63 91 96 100

ถาคะแนนต่ําสุดของนักเรียน คือ 11 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) 15 2) 17.5 3) 21 4) 23 25. นักเรียนจํานวน 20 คน แบงเปน 2 กลุม กลุมละ 10 คน ทําแบบทดสอบฉบับหนึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ไดคะแนนของนักเรียนแตละคนดังนี้ กลุมที่ 1 กลุมที่ 2

8 6

7 12

6 8

5 7

7 9

6 6

9 15

10 7

3 1

6 5

พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ขอมูลกลุมที่ 1 มีความแตกตางกันนอยกวาขอมูลกลุมที่ 2 5 และ 9 ตามลําดับ ข. สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอรไทลของกลุมที่ 1 และกลุมที่ 2 เทากับ 28 14 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

___________________________________ คณิตศาสตร (99)


26. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยจํานวน 9, 1, 4, 1, 3, 1, x ให A เปนเซตของ x ที่เปนไปไดทั้งหมด ซึ่งทําให คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของขอมูลชุดนี้ มีคาแตกตางกันทั้งหมด และในบรรดาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม เหลานี้นํามาจัดเรียงกันใหมจากนอยไปมากแลวเปนลําดับเลขคณิต จงหาผลบวก ของสมาชิกทั้งหมดในเซต A (แนว PAT 1 มี.ค. 55)

ขอมูลตอไปนี้ สําหรับตอบคําถามขอ 27 แ���ะขอ 28

ในการสอบวิชาภาษาญี่ปุนของนักเรียนหองหนึ่งจํานวน 60 คน มี 34 คน ไดคะแนนในชวง 10 ถึง 39 คะแนน มี 20 คน ไดคะแนนในชวง 40 ถึง 49 คะแนน และมี 6 คน ไดคะแนนในชวง 50 ถึง 59 คะแนน 27. ถาแบงคะแนนเปน 3 ระดับ คือ เกรด A, เกรด B, เกรด C โดยที่ 5% ของนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดได เกรด A และ 25% ของนักเรียนไดเกรด B แลวคะแนนสูงสุดของเกรด C เทากับกี่คะแนน (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 28. ถาคะแนนขางตนมีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่สัมประสิทธิ์การแปรผันเปน 12 ถาคะแนนสูงสุดของเกรด B เทากับ 55.5 คะแนน คะแนนมาตรฐานเปน 1 แลวคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เปนเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 29. จากขอมูล x 5 10 15 20 25 y 10 12 15 14 14 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถาขอมูลดังกลาวมีความสัมพันธเชิงเสนตามสมการ y = ax + b แลว |a - b| = 9.8 ข. ถา x = 30 แลว y = 16 ขอใดถูกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด แต ข. ถูก 3) ก. ถูก แต ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด 30. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานดังนี้ z พื้นที่

0.50 0.192

1.00 0.341

1.50 0.433

2.00 0.477

พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถาคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติ แลวนักเรียนที่ไดคะแนนสอบมากกวามัธยฐาน อยู 3 เทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวคะแนนสอบของนักเรียนคนนั้นจะมีคามาตรฐานคิดเปน 1.5 ข. ถามีนักเรียนที่ไดคะแนนสูงกวา 66 คะแนนอยู 15.9% และมีฐานนิยม คือ 60 คะแนน จะไดวา สัมประสิทธของการแปรผันคะแนนสอบครั้งนี้เทากับ 0.1 ขอใดตอไปนี้สรุปไดถูกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 31. ขอมูลชุดหนึ่งมี 3 จํานวน เมื่อนํามาบวกกันไดเทากับ 180 คามัธยฐานเทากับ 60 และสัมประสิทธิ์พิสัยของ ขอมูลชุดนี้เทากับ 0.1 แลวความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) คณิตศาสตร (100)__________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


32. กําหนดตารางแสดงคะแนนสอบ ของนักเรียนกลุมหนึ่งดังตาราง คะแนนสอบ 1-10 11-20 21-30 31-40

จํานวนนักเรียน (คน) 10 20 30 40

ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของขอมูลดังกลาว เขียนไดในรูปของ k + xy โดยที่ k, x, y เปนจํานวนเต็มบวก และ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากับ 1 และ x < y แลวคาของ k + x + y มีคา เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 33. ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร ม.6 จํานวน 50 คน เปนดังนี้ คะแนน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-35

จํานวนนักเรียน (คน) 5 11 9 15 10

ถา a คือคาเฉลี่ยเลขคณิต และ b คือ P90 คาของ |b - a| เทากับขอใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5.6 2) 15.6 3) 8.6 4) 18.6 34. ในการสอบครั้งหนึ่งซึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเปน 66 คะแนน โดยที่หองแรกมี 35 คน และหอง ที่สอง 40 คน นาย ก. ซึ่งเปนนักเรียนหองแรกสอบได 56 คะแนนคิดเปนคามาตรฐานเทากับ 1.2 และหอง แรกมีสัมประสิทธิ์การแปรผันเทากับ 0.1 นาย ข. เปนนักเรียนในหองที่สองซึ่งมีคะแนนสอบคิดเปน คามาตรฐานเทากับ -1 โดยที่คะแนนหองที่สองมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 9 คะแนน จงหาคะแนนสอบ ของนาย ข. (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 35. ขอมูลชุดหนึ่งมีดังนี้ 2, 4, 3, 6, 12, 7, 15, 6, 4, 2, 9, 4 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง (แนว PAT 1 มี.ค. 56) 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตนอยกวาฐานนิยม 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับมัธยฐาน 3) ฐานนิยมมากกวามัธยฐาน 4) มัธยฐานนอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต 36. ในการสํารวจนักเรียน 6 คน ซึ่งมีคะแนนฟสิกสและคะแนนคณิตศาสตร คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนฟสิกส ( y ) = 9 และคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนคณิตศาสตร ( x ) = 6 6 ∑ xiyi i =1

6

6

i=1

i=1

= 72, ∑ x 2i = 24, ∑ y 2i = 36

ถาหากคะแนนฟสิกส และคะแนนคณิตศาสตร มีความสัมพันธกันแบบเชิงเสนตรง ถานักเรียนคนหนึ่งสอบ คณิตศาสตรได 2 คะแนน นักเรียนคนนั้นจะสอบฟสิกสไดประมาณกี่คะแนน (แนว PAT 1 มี.ค. 56) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (101)


เก็งขอสอบ “สถิติ” 1. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงานจํานวน 40 คน กําหนดให ตารางแจกแจงความถี่สะสมอายุ ของพนักงานเปนดังนี้ อายุ (ป) 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60

ความถี่สะสม 6 14 26 36 40

ถาผูจัดการมีอายุ 53 ป พนักงานที่มีอายุระหวางคามัธยฐานของอายุพนักงาน และอายุของผูจัดการมี จํานวนประมาณรอยละเทาใด APoint ที่ตองรู : 1 P50 = Med 2 P = L + I (ตําแหนง - ความถี่สะสมชั้นกอนหนา) ความถี่ชั้น Pr เฉลยวิธีคิด อายุ (ป) 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60

F 6 14 26 36 40

f 6 8 12 10 4

Pr = 53

  40r 53 = 50.5 + 10 4  100 - 36  2.5 = 2.5[0.4r - 36] r = 92.5% ดังนั้นที่อายุ 53 ป ตรงกับ P92.5

APoint 2

ผูจัดการอายุ 53 ป

APoint 1

P50 = Med P92.5 42.5%

จํานวนพนักงานที่มีอายุระหวาง Med กับ P92.5 คิดเปนรอยละ = 92.5 - 50 = 42.5 Ans

คณิตศาสตร (102)__________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


2. ขอมูลชุดหนึ่งมี 3 จํานวน มีคามัธยฐาน เทากับ 5 ผลบวกของทั้ง 3 จํานวน เทากับ 15 และสัมประสิทธิ์ พิสัยของขอมูลชุดนี้ เทากับ 0.6 แลวคาสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของขอมูลชุดนี้ เทากับเทาใด 1) 23 2) 53 3) 56 4) 106 APoint ที่ตองรู : 1 S

=

Σ(x i - x)2

N S 2 CV = x x -x 3 CR = x max + x min max min

เฉลยวิธีคิด ให x1 < x2 < x3 และ x1 + x2 + x3 = 15 ↓

Med = 5

(1) + (2) ; แทนคาใน (1) ; ดังนั้น ขอมูล คือ 2, 5, 8

x1 + 5 + x3 = 15 → x1 + x3 = 10 x -x ∴ 0.6 = x 3 + x1 APoint 3 3 1 x -x 0.6 = 3 10 1 → x3 - x1 = 6 2x3 = 16 ∴ x3 = 8 ∴ x1 = 2 x = 15 3 = 5 ∴

S = = =

∴ CV

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

=

...(1) ...(2)

Σ(x i - x)2

APoint 1 N (2 - 5)2 + (5 - 5)2 + (8 - 5)2 3 6 6 APoint 2 Ans 5

__________________________________ คณิตศาสตร (103)


3. ขอมูลชุดหนึ่งมี n จํานวน มีการกระจายปกติ มีฐานนิยมเทากับ 10 และความแปรปรวนเทากับ 36 n

ถากําหนดให ∑(x i - 8) 2 = 1440 เมื่อ xi คือขอมูล จงหาจํานวนของขอมูล i=1

APoint ที่ตองรู : 1 แจกแจงปกติ → x = Med = Mode 2 yi = axi + b → y = a x + b 3 yi = axi + b → Sy = |a|Sx Σx 2 4 S2 = N i - x 2 เฉลยวิธีคิด ให

และ

yi = xi - 8 S.D.y = S.D.x

APoint 3

y = x -8

APoint 2

S 2x = S 2y =

N ∑ y 2i i =1

- ( y )2

N

n ∑ (x i i=1

- 8)2

- ( x - 8)2 n 2 36 = 1440 n - (10 - 8) n = 1440 40 = 36 Ans

36 =

APoint 4

คณิตศาสตร (104)__________________________________

APoint 1

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


4. ความสูงของนักเรียน 2 หอง มีการแจกแจงปกติ ดังนี้ หอง คาเฉลี่ยเลขคณิต (cm) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 158 4 2 169.06 5

ถาเด็กชายเอเปนนักเรียนหองที่ 1 มีความสูงตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 91 ของหองนี้ แลวจํานวนนักเรียน ในหองที่ 2 ที่มีความสูงมากกวาเด็กชายเอคิดเปนรอยละเทาใด • กําหนดใหตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติดังนี้ 1.14 0.373

Z A

APoint ที่ตองรู : Zi = เฉลยวิธีคิด หองที่ 1 ( x 1 = 158, S1 = 4)

0.41 x1

1.24 0.342

1.34 0.410

1.44 0.425

xi - x S

x -x APoint Z = 1.34 = iS 1 x - 158 1.34 = เอ 4 → xเอ = 163.36 cm

0.09

P91

หองที่ 2 ( x 2 = 169.06, S2 = 5) A 0.373 0.5 xเอ = 163.36 x 2 = 169.06 Z 2 = -1.14

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

Z2 = 163.36 -5 169.06 = -1.14 A = 0.5 + 0.373 = 0.873 คิดเปนรอยละ 87.3 Ans

APoint

__________________________________ คณิตศาสตร (105)


5. กําหนดใหสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันอยูในรูป Y = mX + c ถาใหขอมูล X และ Y มีความสัมพันธกันดังตารางตอไปนี้

3 4

X Y

1 1

4 6

2 3

แลว เมื่อ x = 10 คาของ Y เทากับเทาใด APoint ที่ตองรู : ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล แบบเสนตรง y = mx + c → Σy = mΣx + nc xy = mx2 + cx → Σxy = mΣx2 + cΣx เฉลยวิธีคิด

รวม

x 3 1 4 2 10

y 4 1 6 3 14

X2 9 1 16 4 30

xy 12 1 24 6 43

จากตาราง Σx = 10, Σy = 14, Σx2 = 30 แล Σxy = 43, N = 4 จะได 14 = 10m + 4c ...(1)   APoint 43 = 30m + 10c ...(2)  (2) - (1) × 3 ; 1 = -2c c = - 12 = -0.5 และนํา c = -0.5 แทนใน (1) ; m = 1.6 ดังนั้น y = 1.6x - 0.5 แทน x = 10 ; y = 1.6(10) - 0.5 = 15.5 Ans

คณิตศาสตร (106)__________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (107)


แนวขอสอบ PAT 1 กําหนดการเชิงเสน 1. สมการจุดประสงค คือ P = a(x + y) + 7y มีอสมการขอจํากัดดังนี้ 3x + 4y ≤ 48, x + 2y ≤ 22, 3x + 2y ≤ 42 และ x ≥ 0, y ≥ 0 จงหาคา a ที่เปนจํานวนเต็มบวกที่ทําให คาสูงสุดของ P เทากับ 388 วาเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 56) 1) 22 2) 23 3) 24 4) 25

2. ถา C เปนปริมาณที่มีคาขึ้นกับคาของตัวแปร x และ y ดวยความสัมพันธ C = 3x + 5y เมื่อ x, y เปนไป ตามเงื่อนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาต่ําสุดของ C ตามเงื���อนไขขางตน มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52) 1) 21 2) 29 3) 25 4) 27 5 5 4 4

คณิตศาสตร (108)__________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


3. ถา P = 5x + 4y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52) 1) 90 2) 100 3) 110 4) 115 4. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวกซึ่ง a < b ถาคามากสุดและคานอยสุดของ P = 2x + y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b มีคาเทาใด (PAT 1 ต.ค. 52) 5. จงหาผลคูณของคาสูงสุดและคาต่ําสุดของฟงกชัน f(x, y) = x + y + 2 ภายใตเงื่อนไขขอจํากัดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) (1) x + 2y ≥ 8 (2) 5x + 2y ≥ 20 (3) x + 4y ≤ 22 (4) x ≥ 1 (5) 1 ≤ y ≤ 8 6. รานคาผลิตสินคา A วันละ x ชิ้น และสินคา B วันละ y ชิ้น โดยที่ 400 ≤ 2x + y ≤ 600 1050 ≤ 2x + 3y ≥ 1500 ถาสินคา A ขายชิ้นละ 100 บาท ในแตละวันขายสินคาทั้ง 2 แบบ ไดเงินมากสุด 12,000 บาท แลวขาย สินคา B ชิ้นละกี่บาท (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5 2) 10 3) 15 4) 20 7. กําหนดสมการจุดประสงคคือ P = 6x + 3y โดยมีอสมการขอจํากัด ดังนี้ x + 2y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, y - x ≤ 1, x ≥ 0 และ 2 ≤ y ≤ 3 คาของ P มีคามากสุด เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52) 1) 12 2) 18 3) 20 4) 24 8. กําหนดสมการจุดประสงคคือ P = 2x + y มีอสมการขอจํากัดเปน 5x - 2y ≤ 30 x+y ≥ 4 0 ≤ y ≤ x พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คาต่ําสุดของ P คือ 6 ข. ถาจุด (a, b) ทําให P มีคาสูงสุด แลวจุด (a, b) สอดคลองกับสมการ x - y = 0 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (แนว PAT1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (109)


เก็งขอสอบ “กําหนดการเชิงเสน” 1. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ซึ่ง a < b ถาคามากที่สุดและคานอยที่สุดของ P = x + 2y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ 2x + y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 200 และ 49 ตามลําดับ จงหาคาของ |a - b| APoint ที่ตองรู : กําหนดการเชิงเสน (ทําตามขั้นตอน) เฉลยวิธีคิด

1. สรางเงื่อนไข

จากโจทย a ≤ 2x + y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 จะได a ≤ 2x + y และ 2x + y ≤ b, x ≥ 0, y ≥ 0

2. กําหนดฟงกชันจุดประสงค 3. วาดกราฟ

P = x + 2y, Pmax = 200, Pmin = 49

พิจารณาสมการ 2x + y = b จะผานจุด (0, b),  b2 , 0  และ 2x + y = a จะผานจุด (0, a),  a2, 0 

Y b a

4. พิจารณาคําตอบ จาก P = x + 2y P มีคามากที่สุดเมื่อ x, y มีคามากๆ มีความเปนไปได 2 จุด คือ (0, b),  b2 , 0  Check!!  b2 , 0  = (50, 0) ถา Pmax ที่จุด (0, b)

a 2

b 2

จะได

P(0, b) = 2b P(50, 0) = 50 (นอยกวา Pmax = 200) 200 = 2b ∴ b = 100 b = 100 P มีคามากที่สุดเมื่อ x, y มีคามากๆ มีความเปนไปได 2 จุด คือ (0, b),  b2 , 0 

ถา Pmin ที่จุด (0, a) จะได

P(0, a) = 2a

Check!!  a2, 0  =  P  49 4 , 0  =

49, 0  4  49 (นอยกวา P = 49 ทําใหขัดแยง) min 4

  

49 = 2a a = 49 2 a  ∴ Pmin ที่จุด  2, 0    คณิตศาสตร (110)__________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

X


จะได P  a2, 0  = a2 49 = a2 a = 98

|a - b| = |98 - 100| = |-2| = 2 Ans

เฉลย จํานวนเชิงซอน 1. 6. 11. 16.

16 8 2 3)

ความนาจะเปน 1. 6. 11. 16. 21. 26.

84 44 4) 1001 4) 1)

ลําดับและอนุกรม 1. 6. 11. 16. 21. 26. 31. 36.

0.25 2 2 1) 9 2.5 44 6

2. 3 7. 4) 12. 10

3. 2) 8. 198 13. 2.5

4. 5 9. 1) 14. 1

5. 4) 10. 2) 15. 2)

2. 7. 12. 17. 22. 27.

39 192 4) 27 12 3)

3. 8. 13. 18. 23.

1) 3) 1) 22 0.24

4. 9. 14. 19. 24.

2) 352 4 0.9 3)

5. 10. 15. 20. 25.

25 9 4) 528 1)

2. 7. 12. 17. 22. 27. 32. 37.

18 2) 7 2) 2 6 1) 0.5

3. 8. 13. 18. 23. 28. 33. 38.

4) 1) 25 0 49 4 63 1860

4. 9. 14. 19. 24. 29. 34. 39.

1 2) 2 20 1) 1 3.75 48

5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

1 200 3) 2 3) 4 1) 2)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (111)


แคลคูลัส 1. 6. 11. 16. 21. 26. 31. 36.

32 7 4) 4) 4) 2) 1) 4)

สถิติ 1. 6. 11. 16. 21. 26. 31. 36.

4) 10 2) 1) 818 18 24 3.75

2. 7. 12. 17. 22. 27. 32. 37.

324 4) 3) 1 3 2) 3) 1.75

3. 8. 13. 18. 23. 28. 33. 38.

2) 200 120 8 32 8 1.75 4)

4. 9. 14. 19. 24. 29. 34. 39.

53 18 1) 8 9 3 0 2)

5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

6 10 3) 3) 1.5 3) 51 0

2. 7. 12. 17. 22. 27. 32.

15 1) 1) 4) 20 43.5 28

3. 8. 13. 18. 23. 28. 33.

3) 4) 56 48.80 4) 37 3)

4. 9. 14. 19. 24. 29. 34.

520 50 10 1) 4) 1) 71

5. 10. 15. 20. 25. 30. 35.

6 36 2) 44 2) 3) 4)

กําหนดการเชิงเสน 1. 4) 6. 2)

2. 2) 7. 2)

3. 3) 8. 1)

4. 70

5. 157.50

————————————————————

คณิตศาสตร (112)__________________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เนื้อหา ในสวน ที่ครู Sup’k รับผิดชอบ ระดับขอสอบ โจทยปญหาเชาวน แนวจํานวนกับตัวเลข โจทยปญหาเชาวน แนวโอเปอรเรชั่นใหมๆ เอกซโปเนนเชียล ลอการิทึม ตรรกศาสตร ระบบจํานวนจริง ทฤษฎีจํานวน เรขาคณิตวิเคราะห ภาคตัดกรวย ความสัมพันธ ฟงกชัน เมทริกซ และดีเทอรมินันต ตรีโกณพื้นฐานในวงกลม ตรีโกณประยุกต อินเวอรสตรีโกณ

PAT1 ต.ค.53 ยากมาก

PAT1 มี.ค.54 ยากมาก

3 ขอ

ยากเกือบมาก

PAT1 มี.ค.55 ยากมาก

PAT1 ต.ค.55 ยากมาก

PAT1 มี.ค.56 ยากมาก

-

-

-

1

1

2 ขอ

-

2

1

-

2

2 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 2 ขอ 2 ขอ

1.25 2.5 1.5 2 1 1.5 1.5 1 2

2 0.5 2 1 1 0.5 2.5 1 2.5

2 2 1 2 2 2 1 3

3 1 2 1 2 3 1 1

3 2 1 2.5 1 0.5 3 2 2

2 ขอ

2

2

2

2

2

2 ขอ 1 ขอ

0.75 2 1

0.5 3 1

1 1 1

0.5 2 2

2 2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

PAT1 ธ.ค.54

__________________________________ คณิตศาสตร (113)


เนื้อหา ในสวน ที่ครู Sup’k รับผิดชอบ ระดับขอสอบ กฎของ sin, กฎของ cos ลําดับอนุกรมพื้นฐาน ลําดับเวียนบังเกิดแปลกๆ อนุกรมประยุกตแปลกๆ โจทยเซอรไพส แนวโอลิมปก รวม ขอสอบทั้งหมด หมายเหตุ

PAT1 ต.ค.53 ยากมาก

PAT1 มี.ค.54 ยากมาก

1 ขอ

PAT1 ธ.ค.54 ยากเกือบมาก

PAT1 มี.ค.55 ยากมาก

PAT1 ต.ค.55 ยากมาก

PAT1 มี.ค.56 ยากมาก

1

1

1

1

1

4 ขอ 3 ขอ 3 ขอ

2 1 1

1 1 1.5

1 2

1.5 1 2

2 2

1 ขอ

5

1

2

2

1

36 ขอ

30 ขอ

27 ขอ 27 ขอ 29 ขอ 32 ขอ 50 ขอ / 3 ชม. ชอย 25 ขอ ขอละ 5 คะแนน, เติมคํา 25 ขอ ขอละ 7 คะแนน

คณิตศาสตร (114) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยปญ  หาเชาวน แนว ลําดับ-ฟงกชัน สองตัวแปร NichTor-Pb1.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กําหนด a(n, m) เปนจํานวนเต็มบวก ทุกๆ n = 1, 2, 3, 4 , m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เมื่อ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 และ a(2, 3) = 18 จงหาคาของ a(1, 2) ตอบ .............................. แนวคิด & เทคนิค

Tips จากครู Sup’k

*NichTor-Pb1.2 (ดักแนวขอสอบ PAT1) กําหนด a(n, m) เปนจํานวนเต็มบวก ทุกๆ n = 1, 2, 3, 4 , m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เมื่อ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 และ a(4, 1) = 4 , a(4, 4) = 35 จงหาคาของ a(3, 1) ตอบ .............................. NichTor-Pb1.3 (ดักแนวขอสอบ PAT1) สําหรับจํานวนเต็ม n, m ที่ไมติดลบ นิยาม กําหนด a(n, m) ดังนี้ (i) a(0, m) = m + 1 (ii) a(n + 1, 0) = a(n, 1) (iii) a(n + 1, m + 1) = a(n, a(n + 1, m)) จงหาคาของ a(3, 0) ตอบ .............................. โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (115)


*NichTor-Pb1.2 ตอบ 2 เนื่องจาก a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 , a(4, 4) = 35 และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) ขั้นที่ 1 จากสูตร (*) แทน n = 2, m = 2 จะได a(2, 2) = a(2, 1) + a(1, 1) แทนคาจากโจทย จากสูตร (*) แทน n = 3, m = 2 จะได

a(2, 2) =

a(3, 2) = a(3, 1) + a(3, 3) =

ขั้นที่ 2 ในทํานองเดียวกัน

a(4, 4) = 35 =

แทนคาจากโจทย (๖), (๒) ;

35 =

ดังนั้น

a(3, 2)

...(๒) + a(2, 2) 15

...(๓)

a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) a(4, 3) = a(4, 2) + a(3, 2) a(4, 2) = a(4, 1) + a(3, 1)

แทนคาจากโจทย (๕), (๓) ;

แทนคาจากโจทย ;

...(๑)

5

a(3, 3) = [a(3, 1) + 5] + a(3, 3) = a(3, 1) + 20

แทนคาจาก (๑), (๒) ;

จาก (๔) ;

= 15

a(3, 2) = a(3, 1) + a(2, 1)

แทนคาจากโจทย จากสูตร (*) แทน n = 3, m = 3

ขั้นที่ 3

5 + 10

...(*)

35 35 35 35 - 29 6 6 3 a(3, 1)

= = = = = = =

a(4, 3)

...(๔) ...(๕) ...(๖) +

a(3, 3)

[a(4, 2) + a(3, 2)] + {a(3, 1) + 20}

[[a(4, 1) + a(3, 1)] + {a(3, 1) + 5}] + {a(3, 1) + 20} [[4 + a(3, 1)] + {a(3, 1) + 5}] + {a(3, 1) + 20}

4 + 5 + 20 + a(3, 1) + a(3, 1) + a(3, 1) 29 + 3 ⋅ a(3, 1) 3 ⋅ a(3, 1) 3 ⋅ a(3, 1) a(3, 1) 2

คณิตศาสตร (116) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


NaDate-Pb2.48 (PAT1’มี.ค.56) สําหรับ x, y ∈ {0, 1, 2, 3, ...} กําหนดให F(x, y) เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่  , x=0,y≠0  F(1, y - 1)  x+1 , y=0 F(x, y) =    F(F(x - 1, y) , y - 1) , x ≠ 0 , y ≠ 0 คาของ F(1, 2) + F(3, 1) เทากับเทาใด ตอบ............................. โจทยปญ  หาเชาวน แนวเติมตัวเลขในตารางเกาชอง BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางที่กําหนดให มีชองวางทั้งหมด 9 ชอง ดังรูป

7

Tips จากครู Sup’k

x 10 3 ใหเติมจํานวนเต็มบวก ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนในแตละแถว ในแตละหลัก และในแตละแนวทแยงมุม มีคาเทากัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 3, 7, 10 ดังปรากฏในตาราง แลวจํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด แนวคิดเร็วๆ ขั้นที่ 1

ขั้นที่ 2

7

7

x

x 10 3

ขั้นที่ 3 (แถม)

10 3 ขั้นที่ 4 (แถม)

ขั้นที่ 5 (แถม)

7

7

7

10 3

10 3

10 3

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (117)


BRAN-Pb2.50 แนวคิดที่ 2 ตอบ 0004.00 สมมติวาผลบวกที่เทากันในแตละทิศทาง คือ s จะได ชองทางซายลางสุด เทากับ S - 13 (ดังรูป) พิจารณาในแนวทแยง (จากมุมซายลางไปยังมุมขวาบน) จะได (S - 13) + b + 7 = S b = 6 พิจารณาในแนวทแยง (จากมุมซายบนไปยังมุมขวาลาง) จะได a+b+3 = S a+9 = S

พิจารณาในแถวที่ 1 จะได

พิจารณาหลักที่ 2 จะได โดย (1) จะได

a+c+7 (a + 9) + c + 7 S+c+7 c

= = = =

S S+9 S+9 2

a c 7 x b d 10 3 S - 13 ...(1)

a c 7 [โดย (1)] x 6 d 10 3 S - 13

S = c + 6 + 10 = 2 + 6 + 10 = 18 a + 9 = 18 a = 9 ตารางที่สมบูรณ

พิจารณาหลักที่ 1 จะได ดังนั้น

a + x + (S - 13) = S 9 + x - 13 = 0 x = 4 (ทําใหไดวา d = 8)

9 2 7 4 6 8 5 10 3

คณิตศาสตร (118) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยปญ  หาเชาวน แนวผลรวมตัวเลขในตาราง SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเติมจํานวนเต็มบวกลงในชองสี่เหลี่ยม โดยใหผลรวมของจํานวนในชองสี่เหลี่ยมสามชองที่ติดกัน เทากับ 18

7

x

8

คาของ x เทากับเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางที่กําหนดให มีชองวาง 16 ชอง ดังรูป

หลัก (ค)

หลัก (ง)

แถว (ก)

1

5

แถว (ข)

x

13

ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวก ของจํานวนในแตละแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแตละหลัก (หลัก (ค) และ หลัก (ง)) มีคาเทาๆ กัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแลวจํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ตอบ .............................. โจทยปญ  หาเชาวน แนว Sudoku SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางของตาราง 5 × 5 ตอไปนี้

1 2

5 3

4 5 3

3 1 x

โดยที่แตละแถวตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 และแตละหลักตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาวาจํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ตอบ ..............................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (119)


โจทยปญ  หาเชาวน แนว Alphabetic Problem BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พิจารณาการบวกของจํานวนตอไปนี้ A B + C D E F G

เมื่อ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดที่แตกตางกัน โดยที่ F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาจํานวนสองหลัก AB เปนจํานวนเฉพาะ แลว A + B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 7 4) 9 แนวคิด

SupK-Pb2.28.2 (ดักแนว PAT 1) ให ตัวอักษรภาษาอังกฤษแตละตัวที่แตกตางกัน แทน เลขโดดที่แตกตางกัน จงหาตัวเลขมาเติมตัวอักษรอังกฤษตอไปนี้

S E N M O R M O N E

D + E Y

เมื่อตัวอักษร O ในขอนี้ คือ เลขศูนย

SupK-Pb2.28.3 (ดักแนว PAT 1) ให ตัวอักษรภาษาอังกฤษแตละตัวที่แตกตางกัน แทน เลขโดดที่แตกตางกัน จงหาตัวเลขมาเติมตัวอักษรอังกฤษตอไปนี้

F A M O P A

T T R

H E R + H E R E N T

เมื่อตัวอักษร O ในขอนี้ คือ เลขโดดใดๆ

คณิตศาสตร (120) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยปญ  หาเชาวน แนวทฤษฎีจํานวน BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให a, b, c, d, e, f เปนจํานวนเต็มบวก ถาผลบวกของสองจํานวนที่แตกตางกัน Tips จากครู Sup’k ในเซต {a, b, c, d, e, f} มีทั้งหมด 15 จํานวน โดยที่ a < b < c < d < e < f คือ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155 แลวคาของ c + d เทากับเทาใด ตอบ .............................. แนวคิด

โจทยทฤษฎีจํานวน แนวทฤษฎีการหารลงตัว BRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สําหรับ a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ นิยาม a * b หมายถึง a = kb สําหรับบางจํานวนเต็มบวก k ถา x, y และ z เปนจํานวนเต็มบวกแลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) ถา x * y และ y * z แลว (x + y) * z 2) ถา x * y และ x * z แลว x * (yz) 3) ถา x * y และ x * z แลว x * (y + z) 4) ถา x * y แลว y * x โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (121)


โจทยปญ  หาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพูดโกหก VS นั่งติดกับคนโนน ตรงขามคนนี้ TF-PAT119 (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจัดคน 5 คน ยืนเขาแถวหนากระดาน พบวา - นาย ก ไมยืนขางนาย ข - นาย ค ยืนอยูริม Tips จากครู Sup’k - นาย ง ยืนอยูขางนาย จ และไมยืนอยูกลางแถว ขอใดตอไปนี้เปนไปได 1) นาย ก ยืนขางนาย ข 2) นาย จ ยืนอยูริมดานหนึ่ง 3) นาย ก ยืนอยูตรงกลาง 4) นาย จ ยืนอยูตรงกลาง

TF-PAT120 (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย ขอ เมื่อกี้ ถานาย ข ยืนอยูริมดานหนึ่งแลว ขอใดตอไปนี้ผิด 1) นาย ค ยืนติดนาย ก 2) นาย ก ยืนอยูตรงกลาง 3) นาย จ ยืนอยูตรงกลาง 4) นาย ง ยืนติดกับนาย ข

TF-PAT123 (PAT1’มี.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยืนเขาแถวตอน ตามลําดับ โดยมีเงื่อนไขดังนี้ นาย ฉ ไมยืนติดกับนาย ข นาย ฉ ยืนอยูในลําดับกอนนาย ก นาย ก ยืนติดนาย ง นาย จ ยืนอยูลําดับที่ 4 ถานาย ฉ ยืนติดและอยูหลังนาย ค แลว คนที่มีโอกาสอยูในลําดับที่ 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปนี้ 1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉ

TF-PAT124 (PAT1’มี.ค.52) จากเงื่อนไขในโจทยขอที่แลว ขอความใดตอไปนี้จริง 1) นาย ง ยืนอยูในลําดับที่ 2 2) นาย ค ยืนอยูในลําดับที่ 3 3) นาย ง ยืนอยูหลังนาย ข 4) นาย ข ยืนอยูหลังนาย จ

คณิตศาสตร (122) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยปญ  หาเชาวน แนวระบบจํานวนจริง BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจํานวนนับ กําหนดให a * b = a + b สําหรับ a, b ∈ N พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (a * b) * c = a * (b * c) สําหรับ a, b, c ∈ N ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สําหรับ a, b, c ∈ N ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

Tips จากครู Sup’k

สูตรลัดจากครู Sup’k

แนวคิดเร็วๆ

BRAN-Pb1.5 ตอบ 4) วิธีจริง สําหรับ a, b ∈ N เรามีวา a * b = a + b (ก) ผิด , (a * b) * c = ( a + b ) * c = a+b+c a * (b * c) = a * b + c = a + b + c ∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c) (ข) ผิด , a * (b + c) = a + b + c , a * b = a + b , a * c = a + c a+b+c ≠ a+b + a+c เพราะวา ∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c) ดังนั้น ทั้ง (ก) และ (ข) ผิดทั้งคู โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (123)


BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจํานวนนับ, สําหรับ a, b ∈ N a , a > b b , a > b  aΘb = a , a = b และ a∆b = a , a = b b , a < b a , a < b   พิจารณาขอความตอไปนี,้ สําหรับ a, b, c ∈ N ก. aΘb = bΘa ข. aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc ค. a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c) ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ถูก 1 ขอ คือ ขอ ก. 2) ถูก 2 ขอ คือ ขอ ก. และ ข. 3) ถูก 2 ขอ คือ ขอ ก. และ ค. 4) ถูกทั้ง 3 ขอ คือ ขอ ก., ข. และ ค. KAiOU-Pb1.24 (PAT1’มี.ค.53) ให N แทนเซตของจํานวนนับ กําหนดให a * b = ab สําหรับ a, b ∈ N พิจารณาขอความตอไปนี้ สําหรับ a, b, c ∈ N ก. a*b = b*a ข. (a * b) * c = a * (b * c) ค. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) ง. (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ถูก 2 ขอ คือ ข. และ ค. 2) ถูก 2 ขอ คือ ค. และ ง. 3) ถูก 1 ขอ คือ ค. 4) ก., ข., ค. และ ง. ผิดทุกขอ SheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ กําหนดให a ⊗ b เปนจํานวนจริงที่มีสมบัติตอไปนี้ ข. a ⊗ b = b ⊗ a ก. a ⊗ a = a + 4

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากับเทาใด

(a + b) = a + b ค. a ⊗a ⊗ b b ตอบ ..............................

NaDate-Pb2.49 (PAT1’มี.ค.56) สําหรับ x และ y เปนจํานวนจริงบวกใดๆ กําหนดให x * y เปนจํานวนจริงบวก ที่มีสมบัติตอไปนี้ (1) x * (xy) = (x * x)y (2) x * (1 * x) = 1 * x (3) 1*1 = 1 คาของ 2 * (5 * (5 * 6)) เทากับเทาใด ตอบ ..................................

คณิตศาสตร (124) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวเลขยกกําลัง ม.2

สูตร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn n a an   =  b bn amn = a(mn)

สูตร 2.1 am × an = am+n a m = am-n = 1 เมื่อ a ≠ 0 an a n-m (am)n = am⋅n = (an)m

สูตร 2.3

2

(a + b) FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา ab = 2 แลว 2 2 มีคาเทากับเทาใด 2(a - b) 1) 4 2) 8 3) 64 4) 256

แนวคิดเร็วๆ

ถา ab = 2

2

(a + b) จะหา แลว 2 2 2(a - b) 2

(a + b) วิธีจริง จะหา 2 2 = 2(a + b)2 - (a - b)2 = 2(a - b) =

2(a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2) 2a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = 24 ⋅ ab = 24 ⋅ 2 = 28 = 256 ตอบ

QET-G-Pb26.1 ถา a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยที่ a และ n เปนคาคงตัว จงหา x 2) 1a -- a2 3) 1 -a a 4) a a- 1 1) 21 -- aa    

-3

-1 -2 QET-G-Pb23.2 จงหารูปอยางงายของ 3a b- 4  ÷  a-⋅3b 2  a ⋅b   a ⋅b  1 1 1) 5 2) -9 3) 17 a a b

5

4) 112 b

n+3 -n + 2 2n - 2 n-1 2-n + 2 QET-G-Pb23.3 จงหา 2-n-1 × 3 -n-1 × × 3 5 3 × 2 n - 4 × 2 n -2 5 n +1 1) 4 Tips จากครู Sup’k 2) 864 3) 870 4) ไมมีขอถูก โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (125)


โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวเปรียบเทียบความมากนอยเลขยกกําลัง ม.2 สูตร I เมื่อ 1 < ฐาน เจอ 3.5x < ∴

3.5y

สูตร III เมื่อ 1 < ฐาน เจอ log7.8 x < log7.8 y ∴

สูตร II เมื่อ 0 < ฐาน < 1 เจอ 0.21x < 0.21y ∴

สูตร IV เมื่อ 0 < ฐาน < 1 เจอ log0.42 x < log0.42 y ∴

NaDate-Pb1.25 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให A = 7 3 5 , B = 5 3 7 , C = 3 5 7 และ D = 3 7 5 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) D > C > A > B 2) A > C > B > D 3) A > B > D > C 4) C > A > D > B

VetaNaDate-Pb1.25 (โจทยตางประเทศ) ให A = 3 10 , B = 5 , C = 3 28 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) A < B < C 2) A < C < B 3) B < A < C 4) B < C < A 5) C < A < B คณิตศาสตร (126) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


KAiOU-Pb 1.22 (PAT1’มี.ค.53) ให A = 7(77), B = 777, C = 777 และ D = (777)7 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) B < A < C < D 2) B < C < A < D 3) C < B < D < A 4) C < A < D < B SheLL1.24 (PAT1’ก.ค.53) กําหน��� a = 248, b = 336, c = 524 ขอใดตอไปนี้ถกู ตอง 1) 1b > 1c > 1a 2) 1a > 1b > 1c 3) 1b > 1a > 1c 4) 1a > 1c > 1b

**DiAMK-Pb1.25 (ดักแนว PAT 1) ให a = (10100)10 , b = 10(1010) , c = 1000000! , d = (100!)10 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) a < c < d < b 2) a < d < c < b 3) a < d < b < c 4) a < b < c < d SheLL1.10 (PAT1’ก.ค.53) พิจารณาขอความตอไปนี้ 3

4

ก. 2 2 < 3 3

ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

ข. log2  38  < log3  12  2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

DiAMK-Pb1.2 (ดักแนว PAT 1) จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. log1 π + log1 π > 2 ข. log1 π + log1 2 > 2 2 5 2 π ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด KAiOU-Pb1.11 (PAT1’มี.ค.53) เซตคําตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x+3 + 32x+2 เปนสับเซตของชวงใด 1) (log8 7, log9 8) 2) (log9 8, log8 9) 3) (log8 9, log7 8) 4) (log9 10, log8 9) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (127)


การเลขยกกําลัง กับ รูด สูตร 5.1

พิสูจน ii)

m i) a n = ( n a )m = n a m

mn

1 1 1 1 1 a = (a n ) m = a n ⋅ m = a n ⋅ m = mn a

m m⋅k iii) n a m = a n = a n ⋅ k = n ⋅ k a m ⋅ k

ii) m n a = mn a iii) n a m = nk a mk

พิสูจน i)

สูตร 5.2 i) n a n b = n ab n ii) n a = n ab b

ii)

ตัวอยางที่ 5.2.1 จงหารูปอยางงายของ 1

1

1

n

1 1 1 a n b = a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n = n a ⋅ b

na nb

3

1

1

= an1 =  ab  n = n ab bn

3 1

3 1

3

i)

a a = a ⋅ a 2 = a 1 ⋅ a 2 = a 1+ 2 = a 2 = (a 2 ) 2 = a 2 ⋅ 2 = a 4

ii)

3 3 3 7 a a a = a ⋅ a 4 = a 1 ⋅ a 4 = a 1+ 4 = a 4 = (a 4 ) 2 = a 4 ⋅ 2 = a 8

7 1

7 1

15 1

7

15 1

15

7 7 7 15 iii) a a a a = a ⋅ a 8 = a 1 ⋅ a 8 = a 1+ 8 = a 8 = (a 8 ) 2 = a 8 ⋅ 2 = a 16

ตัวอยางที่ 5.2.2 จงหารูปอยางงายของ 3 a 4 ⋅ 5 6a ตอบ......................... แนวคิด 3 a 4 ⋅5

1 1 1 1 1 3 1 4+ 1 6a = 3 a 4 ⋅ (6a) 5 = 3 a 4 ⋅ 6 5 ⋅ a 5 = 3 6 5 ⋅ a 4 ⋅ a 5 = 6 5 ⋅ a 5

1 21 1 1 1 21 1 1 1 21 1 1 21 1 21 = 3 6 5 ⋅ 6 5 = (6 5 ⋅ a 5 ) 3 = {6 5 }3 ⋅ [a 5 ] 3 = 6 5 ⋅ 3 ⋅ a 5 ⋅ 3 = 6 15 ⋅ a 15 = 15 61 ⋅ 15 a 21

คณิตศาสตร (128) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลัง แบบ ฐานติดตัวแปร BRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง และให C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1} จํานวนสมาชิกของเซต C เทากับเทาใด ตอบ ................. แนวคิดเร็วๆ

Tips จากครู Sup’k

แนวคิดที่ 2

Sup’k-Pb2.29.1 (ดักแนว PAT1) ให R แทนเซตของจํานวนจริง และให C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จํานวนสมาชิกของเซต C เทากับเทาใด ตอบ ............................... Sup’k-Pb2.29.2 (ดักแนว PAT1) ให R แทนเซตของจํานวนจริง 

log x + 5

และให C =  x ∈ R|x 3  

 

= 105 + log x   

จงหา n(C) ตอบ ..............................

FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให x และ y เปนจํานวนจริงที่ x, y > 0 ซึ่งสอดคลองกับ xy = yx และ y = 5x จงหาวาคาของ x อยูในชวงใด 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [3, 4) 4) [5, 6)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (129)


โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลัง

สูตร 5.1 ax = ay → x = y สูตร 5.2 ax = bx → x = 0

เมื่อ a ≠ -1, 0, 1 เมื่อ a, b ≠ -1, 0, 1

x x พิสูจน สูตร 5.2 จาก ax = bx → a x = 1 →  ab  = 1 → ∴ x = 0จบ b

*NichTor–Pb2.1 (ดักแนว PAT1) ถา θ เปนมุมซึ่ง 180° < θ < 270° ที่สอดคลองกับ 2

8  cos θ = 2(3sinθ)  27  แลว sin 3θ เทากับขอใดตอไปนี้ ตอบ .............................. Tips จากครู Sup’k วิธีทํา

3(2sinθ) 

NichTor–Pb2.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) ถา θ เปนมุมซึ่ง 180° < θ < 270°

ที่สอดคลองกับ 3(2sinθ)  4 

cos 2 θ

= 2(3sinθ) 9 แลว 3 tan2 θ - 2 sin 3 θ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 3 

3) 7

4) 11

คณิตศาสตร (130) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


NichTor–Pb2.2 ตอบ 2) 3

3(2sinθ)  4  

9

cos 2 θ

2   sinθ   2cos θ         2   sinθ + 2cos θ     2   sinθ + 2cos θ    

2 3

2 3

2 3

จะได

2 3 sin θ + 2 cos2 θ sin θ + 2(1 - sin2 θ) -2 sin2 θ + sin θ + 1 2 sin2 θ - sin θ - 1 (sin θ - 1)(2 sin θ + 1) sin θ

= 2(3sinθ) = 23 = 23 =

= = = = = = เพราะวา 180° < θ < 270° ฉะนั้น sin θ = - 12 ∴ 3 tan2 θ - 2 sin 3θ = =

 1    

2 3

1 1 0 0 0 1, - 12 ทําให θ = 210° 3 tan2 210° - 2 sin 630° 3 tan2 76π - 2 ⋅ sin 72π

= 3 tan2  π + π6  - 2 ⋅ sin 72π ยุบมุมดวยตรีโกณในวงกลม = 3 tan2  π6  - 2 ⋅ sin 72π 2

 = 3 1  - 2(-1) 3 = 1+2 = 3    

FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แลวคาของ a มีคาเทาใด 1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5 FPAT-Pb3 (PAT1’มี.ค.52) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากับขอใดตอไปนี้ 2) –1 3) 1 1) -2 4) 2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (131)


SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ 32x+2 – 28(3x) + 3 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ log x + log (x – 1) = log (x + 3) แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A U B เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 AVATAR-Pb5.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท) กําหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0 จงหาวา x2 - 2x เทากับเทาใด ตอบ .............................. KMK-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4) x x -1 *KAiOU-Pb1.12 (PAT1’มี.ค.53) ถาสมการ  14  +  12  + a = 0 มีคําตอบเปนจํานวนจริงบวก แลวคาของ a ที่เปนไปไดอยูในชวงใดตอไปนี้ 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3) 1) (-∞, -3)

โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลังโอลิมปก 4  x +  9  x = 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ *FPAT-Pb4 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดสมการ  25   25  ก. ถา a เปนคําตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมีคําตอบ แลวคําตอบจะมีเพียงคําตอบเดียว ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด *NaDate-Pb2.27 (PAT1’มี.ค.56) ถา x และ y เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ log y 5(x-2A)2yA = (16)64 เมื่อ A = log x

แลวคาของ x + y เทากับเทาใด ตอบ ......................................

คณิตศาสตร (132) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


*NaDate-Pb 2.30 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให A แทนเซตคําตอบของสมการ    5+ 4x-x 2    2  2+ x -4x-1 

Tips จาก ครู Sup’k

5 (1+ x - 4x - 1 ) + 5 = 126 ผลบวกของสมาชิกในเซต A ทั้งหมดเทากับเทาใด ตอบ ...................................... วิธีลัด (ฟงครู Sup’k สอนสดในหอประชุม Brand’s นะครับ) 2

วิธีจริง ขั้นที่ 1

กอนอื่นสังเกตวา

5 + 4x - x 2 2 + x 2 - 4x - 1

(5 + 4x - x 2 )( 2 - x 2 - 4x - 1 ) (2 + x 2 - 4x - 1 )(2 - x 2 - 4x - 1 ) 2 2 = (5 + 4x - x )(22 - x - 4x - 1 ) 4 - (x - 4x - 1) = 2 - x 2 - 4x - 1

=

ขั้นที่ 2 จากนั้นเพื่อความสะดวกให y = x 2 - 4x - 1 (ฉะนั้น y ≥ 0) ขั้นที่ 3 แกสมการ 5

(1+ x 2 - 4x - 1 )

+5

   5+ 4x-x 2    2  2+ x -4x-1 

2 2 5 (1+ x - 4x - 1 ) + 5 (2- x - 4x - 1 ) 51+y + 52-y 5y ⋅ (51+y + 52-y) 5(52y) + 25 5(52y) - 126 ⋅ 5y + 25 (5 ⋅ 5y - 1)(5y - 25) 5y 5y y แต y ≥ 0 จึงได y = 2 เทานั้น

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

= 126 = = = = = = = = =

126 126 126 ⋅ 5y 126 ⋅ 5y 0 0 1 5 , 25 5-1, 52 -1, 2

__________________________________ คณิตศาสตร (133)


ขั้นที่ 4 ทําให

y =

x 2 - 4x - 1 = 2 ยกกําลังสองทั้งสองขาง x2 - 4x - 1 = 4 x2 - 4x - 5 = 0 (x - 5)(x + 1) = 0 x = 5, -1

จะได เซตคําตอบ A = {-1, 5} ∴ ผลบวกของสมาชิกใน A ทั้งหมด = -1 + 5 = 4 โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการติดรูด Tips จากครู Sup’k

Sup’k ระวัง

BRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 x 2 - x + 3 = 15} แลวผลบวกของกําลังสองของสมาชิกในเซต A เทากับเทาใด ตอบ .............................. KAiOU-Pb2.2 (PAT1’มี.ค.53) ถา S = {x ∈ R | 3x + 1 + x - 1 = 7x + 1 } เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง แลวผลบวกของสมาชิกใน S เทากับเทาใด ตอบ ..............................

SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา S = {x ∈ R | x + 1 + 3x - 1 = 7x - 1 } และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลวผลบวกของสมาชิกใน T เทากับเทาใด ตอบ .............................. คณิตศาสตร (134) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สูตรของ log

สูตร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สูตร 10.2! logz x - loga y = loga xy

loga x

สูตร10.5! logan xm = mn ⋅ loga x สูตร10.6! loga 1x = -loga x สูตร10.7! loga xn = loga1/n x

สูตร 10.3! loga a = 1 สูตร 10.4! loga 1 = 0

log a สูตร10.8! logb a = log c b c

สูตร10.10! x log b a = a log b x เอ็กซกําลัง ลอก a นั้นยากอยู ฝากหัวใจใหกันเอาไวกอน เปลี่ยนสูตรโดยสลับ x และ a ที่เราจะตองหางเหินไป

สูตร10.9! loga x = log1 a x

ระวัง10.1! log (x + y) ≠ log x + log y ระวัง10.2! log (x - y) ≠ log x - log y ระวัง10.3! (x ± y)n ≠ xn ± yn

e ≈ 2.7182

สูตร10.11! blogb a = a ตอดวยสูตร ฐาน log และ expo เผื่อวาเราลําบากอยูหนใด เหมือนกันใหเอาหลัง log มาตอบ หัวใจก็ยังมีคนดูแล

log10 x = log x logex = ln x

ตัวอยาง 10.1 ¾ จํา log 2 ≈ 0.30103 ¾ log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 ¾ log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897 ¾ log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309

สูตร10.12! log 2 = 1 – log 5 อาจจะมีบางคราว เราพบใครใหม สูตร10.13! และ log 5 ก็ = 1 – log 2 เกิดหวั่นไหว ไปตามประสาคนไกลกัน

ตัวอยาง 10.3 ¾ จํา log 3 ≈ 0.4771 ¾ log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813 ¾ log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542 ตัวอยาง 10.5 จงหาคาของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 วิธีทํา = log3  15 ×92 × 5  = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10)    

   1  = 2 ⋅ log1 3  = 2 ⋅  log1 3  ≈ 2 ⋅  0.4771    10 

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

ระวัง10.4!

¾ จํา log 1 = 0 ¾ จํา log 7 ≈ 0.84509 ¾ log 10 = log10 10 =

1

__________________________________ คณิตศาสตร (135)


โจทยลอการิทึม แนวสูตรพื้นฐาน BRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงที่มากกวา 1 ถา (logb a)(logd c) = 1 สูตร 10.3! logm m = 1 แลวจงหาคาของ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) ตอบ ....................... วิธีเร็วๆ ���า (logb a)(logd c) = 1 จะหาคาของ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1)

วิธีจริง BRAN-Pb2.35 ตอบ 1 เพราะวา

(logb a)(logd c) = 1 log a log c log b ⋅ log d = 1

(logd a)(logb c) = 1

จะได

ฉะนั้น logb c = logd a = ∴

1 log d a = loga d , 1 log b c = logc b ,

log a สูตร 10.8! logb a = log c b c 1 สูตร 10.9! loga x = log a x

สูตร 10.11! blogb a = a ตอดวยสูตร ฐาน log และ expo เผื่อวาเราลําบากอยูหนใด เหมือนกันใหเอา............................... หัวใจก็ยังมีคนดูแล

logc d = log1 c = logb a d loga b = log1 a = logd c

a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) =

b log c a b ⋅ b log c d ⋅ c log d a ⋅ d log a b

abcd log a d ⋅ b log b a ⋅ c log c b ⋅ d log d c = a abcd d a b c ⋅ ⋅ ⋅ = abcd = 1

คณิตศาสตร (136) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยเพิ่มเติมลอการิทึม แนวสูตรพื้นฐาน SheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ 35x ⋅ 9x2 = 27 (log 3)(log 5)(log 7) และ y = (log 2 3)(log4 5)(log6 7) จงหาคาของ xy เทากับขอใด 4 6 8 1 1) - 8 2) 18 3) -27 4) 27 FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดให a, b, c, d เปนจํานวนจริงที่มากกวา 1 โดยที่ loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 จงหาวาคาของ logc d เทากับเทาใด 1) 75 2) 120 3) 150 4) 180 FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา mlog505 + nlog50 2 = 1 แลว m + n เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 2) 3 3) 4 4) 6 KAiOU-Pb1.10 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงบวก และ y ≠ 1 ถา logy 2x = a และ 2y = b แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 (log2 b)a

2) 2(log2 b)a 3) a2 (log2 b) 4) 2a(log2 b)

FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แลวขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) b2 = a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (137)


โจทยลอการิทึม แนวสูตรพื้นฐาน VS ผลบวกราก, ผลคูณราก BRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 - 18x + 2 = 0 แลวจงหา log27  1a + 1b + 1c  เมื่อ k เปนจํานวนจริง 1) 91 2) 13 3) 23 4) 1 แนวคิดเร็ว เทคนิคลัน่ ลา กับ ครู Sup’k ผลคูณราก คือ..................... ผลบวกราก คือ......................... จับมือไว้แล้วไปด้วยกัน เหมือนว่าไม่มวี ันจะพรากไป แลวไลเครือ่ งหมาย + , - , - , ... .............................. ทําอะไรได้ดั่งฝันใฝ่ ถ้าเราร่วมใจ แตขอให................. co-ef หนาสุด ตองเปน ....... จุดหมายที่ฝันกันไว้ ก็คงไม่เกินมือเรา

1 ⋅ x3 + kx2 - 18x + 2 = 0

ผลบวกราก = a + b + c a⋅b + b⋅c + c⋅a ผลคูณราก = a ⋅ b ⋅ c

= .................... = .................... = ....................

แนวคิดที่ 2 ขั้นที่ 1 เนื่องจาก x = a, b, c เปนราก(เปนคําตอบ)ของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จึงไดวา x3 + kx2 - 18x + 2 = (x - a)(x - b)(x - c) x3 + kx2 - 18x + 2 = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc เทียบสัมประสิทธิ์ ฉะนั้น ab + bc + ca = -18 และ abc = -2 1 ac 1 ab  ขั้นที่ 2 จะหา log27  1a + 1b + 1c  = หา ค.ร.น. เพื่อรวมเศษสวน = log27  1a ⋅ bc bc + b ⋅ ac + c ⋅ ab  ac + ab  = log27  -18  = log27 9 = log27  bc +abc   -2  = log33 32 = 23 ⋅ (log3 3) = 23 ⋅ (1) = 23 ตอบ

คณิตศาสตร (138) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยลอการิทึม แนวแกสมการ log สูตร I เจอ logm ♥ = logm

....................

สูตร II เจอ log5 ♥ = 7 → ....................

BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคําตอบของสมการ log 23 x – log27 x3 = 6 ตรงกับเซตคําตอบ ของสมการในขอใดตอไปนี้ 1) log 1 log 1 log 1 3 2 1 =0 9x 244x + 29 4 3 2 2) 2 log2 (x + 1) - log2 (x2 - 14x + 41) = 1 2 2 3) 3 (1+ x - 8x + 5 ) + 3 (2- x - 8x - 5 ) = 28 4) log3x 3 + log27 3x + 34 = 0

Sup’k Tips

Sup’k ระวัง

log m ♥

โจทยเพิ่มเติมลอการิทึม แนวแกสมการ log FPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคําตอบของสมการ log 2 (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 เปนสับเซตของชวงใด 1) [-9, -7) 2) [-7, -2) 3) [-2, 2) 4) [2, 7) NaDate-Pb2.29 (PAT1’มี.ค.56) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา A = {x ∈ R | log 3 (x - 1) - log 3 3 (x - 1) = 1}

B = {x ∈ R | x + 1 + x - 1 = 2} แลวสามเทาของผลคูณของสมาชิกในเซต A U B ทั้งหมดเทากับเทาใด ตอบ........................... KMK-Pb2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากที่มีคานอยที่สุดของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2 มีคาเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb12 (PAT1’มี.ค.52) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยูในชวงใด 1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16) KMK-Pb2.9 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 เทากับเทาใด ตอบ........................... โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (139)


โจทยเพิ่มเติมลอการิทึม แนวแก อสมการ log NaDate–Pb1.12 (PAT1’มี.ค.56) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ logx  x 2- 1  ≥ 1

แลว A เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้ 1) {x ∈ R | |x2 + 2x - 3| = 3 - 2x - x2} 2) {x ∈ R | |2x + 5| > 9} 3) {x ∈ R | 0 ≤ |x + 3| ≤ 5} 4) {x ∈ R | x3 > 3x2} โจทยแนวใหมเซอรไพส แนว ............................ Sup’k Tips1.1

Sup’k ระวัง

Sup’k Tips1.2

สูตรแถม1.3

Sup’k-Pb2.28.1 จงหาคา x ซึ่งสอดคลองกับสมการ (x2 - 36)4 = cos (x ⋅ π) - 1 ตอบ .......................... แนวคิด

Sup’k-Pb2.28.2 (ดักแนวPAT1) จงหาคา x ใหครบทุกตัว ซึ่งสอดคลองกับสมการ x - 2 = 32 - x5 ตอบ........................... BRAN-Pb2.28 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง

  ถา B =  x ∈ R log2 (-x2 + 7x - 10) + 3 cos π x2 + 7  - 1 = 1    

แลวผลบวกของสมาชิกในเซต B เทากับเทาใด ตอบ........................... คณิตศาสตร (140) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


BRAN-Pb2.28 ตอบ 0003.00 แนวคิด จากสมการ log2 (-x2 + 7x - 10) + 3 cos π x2 + 7  - 1 = 1 

ขั้นที่ 1

เงื่อนไข 0 ≤ ใตรูด ∴

0 ≤ cos  π x 2 + 7  - 1 →

1 ≤ cos  π x 2 + 7  → (๑)

ขั้นที่ 2

เงื่อนไขตรีโกณ -1 ≤ cos θ ≤ 1 จะได ∴ -1 ≤ cos  π x 2 + 7  ≤ 1 → (๒)

ขั้นที่ 3

จาก (๑) และ (๒) ใชกฎการตอราคา จะไดวา cos  π x 2 + 7  = 1 เทานั้น แทนคาในโจทย log2 (-x2 + 7x - 10) + 3 ⋅ cos π x2 + 7  - 1 = 1 

log2 (-x2 + 7x - 10) + 3 ⋅ 1 -1 = 1 log2 (-x2 + 7x - 10) = 1 ปลด log ไปเสียบอีกฝง (-x2 + 7x - 10) = 21 -x2 + 7x - 10 = 2 → ∴ x = 3, 4 ∴

ขั้นที่ 4 ตรวจคําตอบ กรณีที่ 1 เมื่อ x = 3 แลว log2 (-32 + 7 ⋅ 3 - 10) + 3 ⋅ cos  π 32 + 7  - 1 = 1 

log2(2) + 3 ⋅ 1 - 1 = 1 1 + 3 ⋅ 0 = 1 จริง กรณีที่ 2 เมื่อ x = 4 แลว log2(–42 + 7 ⋅ 4 – 10) + 3 ⋅ cos π 42 + 7  - 1 = 1 

log2(2) + 3 ⋅ cos( 23 ⋅ π) - 1 = 1 ไมจริง ดังนั้น x = 3 เทานั้น จึงได B = {3} → ∴ ผลบวกของสมาชิกใน B เทากับ 3 ตอบ

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (141)


ทบทวนสูตรตรรกศาสตร . นิเสธ

และ

P T F

∼P

P T T F F

∼T ≡ F ∼F ≡ T

หรือ Q T F T F

P∧Q T∧T T∧F F∧T F∧F

ถา...แลว... P T T F F

Q T F T F

≡T ≡F ≡F ≡F

P T T F F

Q T F T F

P∨Q T∨T ≡T T∨F ≡T F∨T ≡T F∨F ≡F

...ก็ตอเมื่อ... P→Q T→T T→F F→T F→F

≡T ≡F ≡T ≡T

P T T F F

Q T F T F

P↔Q T↔T T↔F F↔T F↔F

≡T ≡F ≡F ≡T

ประพจนทสี่ มมูลกัน คือ ประพจนสองประพจนที่มีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีตอกรณี สมมูลใชสัญลักษณ คือ ≡ เชน (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) p T T T T F F F F

q T T F F T T F F

r T F T F T F T F

(p ∧ q) (T ∧ T) ≡ T (T ∧ T) ≡ T (T ∧ F) ≡ F (T ∧ F) ≡ F (F ∧ T) ≡ F (F ∧ T) ≡ F (F ∧ F) ≡ F (F ∧ F) ≡ F

(p ∧ q) → r T→T≡T T→F≡F F→T≡T F→F≡T F→T≡T F→F≡T F→T≡T F→F≡T

(p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r) T T T ∨ T ≡ T F F F ∨ F ≡ F T T T ∨ T ≡ T F T F ∨ T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T F T ∨ F ≡ T T T T ∨ T ≡ T T T T ∨ T ≡ T

คณิตศาสตร (142) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สูตร กฎการสลับที่ กฎการเปลี่ยนกลุม กฎการคูณกระจาย กฎเดอรมอนแกน กฎนิเสธ

p∧q≡q∧p (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(∼p) ≡ p

p∨q≡q∨p (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

โจทยตรรกศาสตร แนวพื้นฐาน VS สมมูล VS สัจนิรันดร BRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให A, B และ C เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนี้ถกู ตอง 1) ถา A ↔ B มีคาความจริงเปนจริง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มีคาความจริงเปนเท็จ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสัจนิรันดร 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสัจนิรันดร 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) สมมูลกับประพจน (A ∧ B) → C แนวคิด ชอย ขอ 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) ≡ สมมูลกับประพจน (A ∧ B) → C วิธีเร็วๆ วิธีจริง ผิด เพราะ (A → C) ∧ (B → C) ≡ ≡

สูตรนิยม “หนา ชี้ หลัง”

(∼A ∨ C) ∧ (∼B ∨ C) Sup’k Tips

(∼A ∧ ∼B) ∨ C

≡ ∼(A ∨

≡ ≡

B) ∨ C

(A ∨ B) → C (A ∧ B) → C

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

(q ∧ r) → p ≡ (q → p) ∨ (r → p) (q ∨ r) → p ≡ (q → p) ∧ (r → p) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)

__________________________________ คณิตศาสตร (143)


หลัก I ลําดับการทํา แบบ ตรง ขั้นที่ 1 ทําในวงเล็บกอน ขั้นที่ 2 ทํา นิเสธ ขั้นที่ 3 ทํา ∧, ∨ ขั้นที่ 4 ทํา → ขั้นที่ 5 ทํา ↔

หลัก II ลําดับการทํา แบบ ยอนกลับ ขั้นที่ 1 ทํา ↔ ขั้นที่ 2 ทํา → ขั้นที่ 3 ทํา ∧, ∨ ขั้นที่ 4 ทํา นิเสธ ขั้นที่ 5 ทําในวงเล็บ

ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มีคาความจริงเปนจริง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มีคาความจริงเปนเท็จ วิธีทําเร็วๆ วิธีจริง

A B C T T T

(B ∧ C) → [∼A → C] (T ∧ T) → [∼T → T] ≡ (T) → [ F → T] ≡ (T) → [ T ] ≡

A B A↔B T T T↔T≡T T F T↔F≡F F T F↔T≡F F F F↔F≡T

T T F

(T ∧ F) → [∼T → F] ≡ (F) → [ F → F] ≡ (F) → [ T ] ≡

T T F F

F F T T

T F T F F F T

T

(F ∧ T) → [∼F → T] ≡ (F) → [ T → T] ≡ (F) → [ T ] ≡

F F F

T

T

(F ∧ F) → [∼F → F] ≡ (F) → [ T → F] ≡ (F) → [ F ] ≡

T

คณิตศาสตร (144) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มีคาความจริงเปนจริง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มีคาค���ามจริงเปนเท็จ วิธีเหนือชั้น สูตรนิยม “หนา ชี้ หลัง”

Sup’kลัด

ชอย ขอ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสัจนิรันดร วิธีเหนือชั้น

วิธีทําเร็วๆ

วิธีจริง หลักการตรวจสอบสัจนิรันดร : ใชวิธีการจับเท็จ (แตกกิ่งยอนกลับ) [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] A F T

F F T

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

F F

F

F

__________________________________ คณิตศาสตร (145)


การจับเท็จ สําเร็จ เพราะไมเกิดขอขัดแยงใดๆ

ดังนั้น ประพจนนไี้ มเปน สัจนิรันดร ชอย ขอ 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสัจนิรันดร วิธีจริงแบบ I หลักการตรวจสอบสัจนิรันดร : ใชวิธีการจับเท็จ (แตกกิ่งยอนกลับ) [(A ∧ B) C] [(A B) (A

F (๑)

(๒)

F (๒)

T

(๓) (T∧T) (๗) (๗)

F (๗)

เกิดขอขัดแยง เพราะวาจากขั้นที่ (๗) (T∧T) (T) ≡

F F

F

C)]

(๕) T

F (๓)

T T (๖)

(๔) T

ซึ่งไมตรงกับการแตกกิ่งในขั้นที่ (๒)

การเกิดขอขัดแยง หมายถึง การจับเท็จ ไมสําเร็จ แสดงวา ประพจนในขอนี้ เปนสัจนิรันดร วิธีจริงแบบ II ถูก สมมติวา [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ไมเปนสัจนิรันดร

ฉะนั้น [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ≡ F ได ...(1) สงผลให (A ∧ B) → C ≡ T และ (A → B) → (A → C) ≡ F ...(2) โดย (2) จะได A → B ≡ T และ A → C ≡ F ฉะนั้น A ≡ T, B ≡ T, C ≡ F ทําให (A ∧ B) → C ≡ F ขัดแยงกับ (1) ดังนั้น [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสัจนิรันดร คณิตศาสตร (146) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

F

(๔)


โจทยตรรกศาสตรเพิ่มเติม แนวสมมูล VS สัจนิรันดร SheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให p, q, r และ s เปนประพจน ถาประพจน (p ∨ q) → (r ∨ s) มีคาความจริงเปนเท็จ และประพจน p ↔ r มีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)] 3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)] Peach–Pb2.44 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p, q, r เปนประพจน ซึ่ง p ⇒ (q ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง แลวประพจน r ⇒ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] มีคาความจริงเปนจริง

ข. กําหนดให เอกภพสัมพัทธ คือ {x|x2 ≤ 2x + 3} แลว ประพจน ∃x [3x + 6 = 33 – x] มีคาความจริงเปนจริง ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

KMK-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให p, q, r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q ∧ r มีคาความจริงเปนจริง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มีคาความจริงเหมือนกัน ข. ถา p มีคาความจริงเปนเท็จ แลว r และ (p → q) ∧ r มีคาความจริงเหมือนกัน

ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

__________________________________ คณิตศาสตร (147)


FPAT-Pb17 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให p, q, r เปนประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน p → (p → (q ∨ r)) สมมูลกับประพจน p → (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q → r) สมมูลกับประพจน (q → p) ∨ ∼(p → ∼r) ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด FPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กําหนดให P, Q, R, S เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ (i) ประพจน (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมูลกับ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q)

(ii) ประพจน (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปนสัจนิรนั ดร ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ขอ (i) ถูก และ ขอ (ii) ถูก 3) ขอ (i) ผิด และ ขอ (ii) ถูก

2) ขอ (i) ถูก และ ขอ (ii) ผิด 4) ขอ (i) ผิด และ ขอ (ii) ผิด

Peach–Pb2.43 (แนวPAT1’ต.ค.55) สําหรับ ประพจน p, q, r ใดๆ ขอใดตอไปนี้เปนสัจนิรนั ดร 1) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) 2) (p ↔ q) ↔ (∼q ↔ p)

3) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼p) ⇒ (p ⇒ q)

4) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼q) ⇒ (p ⇒ q)

KAiOU-Pb1.1 (PAT1’มี.ค.53) ให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q

3) [(p → q) ∧ p] → q

4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q)

คณิตศาสตร (148) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30}

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30}

∀x จะ T ได

∃x จะ T ได

วิจัย กําหนดให U = {-5, -1, 10} P(x) แทน (x + 1)2 = x + 1, Q(x) แทน x + 1 > 2, S(x) แทน (x + 1)2 = |x + 1| แนวคิด (ii) จงหาคาความจริงของ ∃x[P(x)] (i) จงหาคาความจริงของ ∀x[P(x)]

(iii) จงหาคาความจริงของ ∀x[Q(x)]

(iv)

จงหาคาความจริงของ ∃x[Q(x)]

(v) จงหาคาความจริงของ ∀x[S(x)]

(vi)

จงหาคาความจริงของ ∃x[S(x)]

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (149)


โจทยตรรกศาสตร แนววลีบงปริมาณตัวแปรเดียว BRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง

และ P(x) แทน (x + 1)2 = x + 1 Q(x) แทน x + 1 > 2 ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงตรงขามกับประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)]

2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)]

3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)]

4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)]

NaDate-Pb1.3 (PAT’มี.ค.56) กําหนดให P(x) แทน xx -+ 22 < 2 และให Q(x) แทน |2x + 1| > x - 1

เอกภพสัมพัทธในขอใด ที่ทําใหขอความ ∀x[Q(x)] → ∃x[P(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ 1) 2) 3) 4)

(-∞, -4) (-5, -1) (-3, 2) (-1, ∞)

คณิตศาสตร (150) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30}

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30}

∀x∀y จะ T ได

∃x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30}

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30}

∀x∃y จะ T ได

∃x∀y จะ T ได

SheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ {–1, 0, 1} ขอใดตอไปนี้ถกู ตอง

1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มีคาความจริงเปนจริง 2) ∃x∃y[x + y > 1] มีคาความจริงเปนเท็จ 3) ∃x∀y[x + y = 1] มีคาความจริงเปนเท็จ 4) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มีคาความจริงเปนเท็จ

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (151)


โจทยตรรกศาสตรเพิ่มเติม แนววลีบงปริมาณสองตัวแปร KAiOU-Pb1.2 (PAT1’มี.ค.53) ขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง 1) ถาเอกภพสัมพัทธ คือ {–1, 0, 1} คาความจริงของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เปนเท็จ 2) ถาเอกภพสัมพัทธ เปนเซตของจํานวนจริง คาความจริงของ ∃x[3x = log3 x] เปนจริง 3) ถาเอกภพสัมพัทธ เปนเซตของจํานวนจริง นิเสธของขอความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)] คือ ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4) ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเต็ม นิเสธของขอความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คือ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)] FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดเอกภพสัมพัทธ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10} ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 2) ∀x∀y[(x2 = y2) → (x = y)] 3) ∀x∃y[(x ≠ 1) → (x > y2)] 4) ∃x∃y[(x – y)2 ≥ y2 + 9xy] KMK-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ {–2, –1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] FPAT-Pb22 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ∀x∀y[ x I y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ x U y = U ] 3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ]

คณิตศาสตร (152) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ทฤษฎี สมมติ ถามีเหตุ : S1, S2, S3, ..., Sn ผล : P ขอความดังกลาวจะ สมเหตุสมผล ก็ตอเมื่อ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปน สัจนิรันดร หลัก ................................................................................................................................................................... โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตุสมผล FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P, Q , R เปนประพจน พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ เหตุ 1. P → (∼Q ∨ R) Tips จากครู Sup’k

2. Q ∨ R 3. ∼R ผล S

S เปนประพจนในขอใด จึงจะทําใหการอางเหตุผลขางตน สมเหตุสมผล 1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q วิธีจริง ชอย ขอ 1) ; [(P (~ Q ∨ R)) ∧ (Q ∨ R) (๒)

(T

(๒)

T (๕) (๖) T F

T

(๗)

4) P ∨ R ∧

(~ R)]

(๒)

T

(๔)

F

[~ P]

F (๑) (๒) F (๓) T

(~ T ∨ F))

เกิดขอขัดแยงเพราะวา จากขั้นที่ (๗) (T → (∼T ∨ F)) ≡ (T → ( F ∨ F)) ≡ (T → (F)) ≡ F ซึ่งไมตรงกับการแตกกิ่งในขั้นที่ (๒) การเกิดขอขัดแยง หมายถึง การจับเท็จ ไมสําเร็จ แสดงวา ประพจนในขอนี้ เปนสัจนิรันดร ∴ โจทยขอนี้ เปน ขอความที่สมเหตุสมผล ดวย ตอบ ............................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (153)


โจทยระบบจํานวนจริง แนวทฤษฎีบทเศษเหลือ FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให c เปนคาคงตัว และ P(x) = x3 - 3x2 + c2 x + 5 ถา P(x) หารดวย x - 2 เหลือเศษเทากับ 7 แลว P  c3 + 2  เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 31 2) 33 3) 35 4) 37 โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกสมการพหุนาม FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอใดตอไปนีเ้ ทากับ A 1) {x | x ∈ R และ x2 - x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = -2x} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = -2x} 3) {x | x ∈ I และ x2 - 1 = 0} FPAT-Pb35 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให S = {x | |x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S 1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x} FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A เปนเซตคําตอบของสมการ x4 - 5 2 x2 + 8 = 0 ผลบวกของสมาชิกที่เปนจํานวนจริงบวกของ A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 18 3) 4 242 4) 4 162 2) 24 FPAT-Pb37 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5 KMK-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให A เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0 A I B เปนสับเซตของชวงในชวงในขอใดตอไปนี้ 2) [-1.1 , 0] 3) [0 , 3 5 ] 4) [1 , 5 3 ] 1) [-3 5 , -0.9] โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการ FPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = {x ∈ R | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15} มี a เปนจํานวนที่มีคานอยที่สุดใน S และมี b เปนจํานวนที่มีคามากที่สุดใน S แลว (b - a)2 มีคาเทากับเทาใด 1) 24 2) 12 3) 6 4) 3

คณิตศาสตร (154) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการ ติดเศษสวน ดานใดดานหนึ่ง เทากับ 0  2)(x + 3) ≤ 0  และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0} FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให X =  x (x(x +- 4)(2x - 1)   ถา p เปนสมาชิกที่มีคามากที่สุดของ X และ q เปนสมาชิกที่มีคามากที่สุดของ Y แลว |pq| เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12 4 2 FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2- 13x + 36 ≥ 0 x + 5x + 6 ถา a เปนสมาชิกที่มีคานอยที่สุดในเซต A I (2, ∞) และ b เปนจํานวนจริงลบที่มีคามากที่สุด โดยที่ b ∉ A แลว a2 - b2 มีคาเทากับเทาใด 1) -5 2) –9 3) 5 4) 9

- 1) ≥ 0 FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให X คือ เซตคําตอบของอสมการ (2x +2 1)(x -x Y คือ เซตคําตอบของอสมการ 2x2 - 7x + 3 < 0 คาของ 6a - b มีคาเทาใด เมื่อ X I Y = [a, b) 1) 4 2) 6 3) 8 4) 10

โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการ ติดเศษสวน ดานใดดานหนึ่ง ไมเทากับ 0 

 ≥ x+2 KMK-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให S =  x 2 x 2  x - 3x - 2 x - 1  ชวงในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ S 2) (–1, 0.5) 3) (–0.5, 2) 1) (–∞, –3)

4) (1, ∞)

โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบมี แอบขางเดียว อีกขางเปนคาคงที่ KAiOU-Pb1.4 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให A =  x ∈ R x2 - 6x + 9 ≤ 4  เมื่อ R คือ เซตของจํานวนจริง

ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) A′ = {x ∈ R | |3 - x| > 4} 3) A = {x ∈ R | x ≤ 7}

2) A′ ⊂ (-1, ∞) 4) A ⊂ {x ∈ R | |2x - 3| < 7}

BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจํานวนเต็ม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = {x ∈ I | | x2 - 1| < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x - 2 ≥ 0} ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) จํานวนสมาชิกของ P(A - B) เทากับ 4 2) จํานวนสมาชิกของ P(I - (A U B)) เทากับ 2 4) P(A - B) - P(A I B) = {{0}} 3) P(A - B) = P(A) - P(A I B)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (155)


โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบมี แอบขางเดียว อีกขางเปนตัวแปร FPAT-Pb46 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = {x | |x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปนสมาชิกคามากที่สุดของ A คาของ a อยูในชวงใด 1) (0 , 0.5] 2) (0.5 , 1] 3) (1 , 1.5] 4) (1.5 , 2] โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบมี แอบสองขาง FPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถาชวง (a, b) เปนเซตคําตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x - 2| แลว b - a เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14 โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบ ปลดแอบโดยนิยาม   SheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา A =  x ∈ R |x1 +-|xx||-- 23 > 1 แลว A I [0, 1) เทากับขอใด 

1) 13, 23 2)  13, 1    

  

3)  23, 1  4)  23, 32  NaDate–Pb1.4 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ให A = {x ∈ R ||2x - 5| + |x| ≤ 7} และ B = {x ∈ R | x2 < 12 + |x|} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. A I B ⊂ {x ∈ R | 1 ≤ x < 4} ข. A - B เปนเซตจํากัด (finite set) ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด คณิตศาสตร (156) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เรขาคณิตวิเคราะห ‹ สูตร1.11!

พื้นที่รปู n เหลี่ยม ในกรณีที่รูจุดยอด n จุด ของรูป n เหลี่ยมใดๆ : (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn) เชน จงหาพื้นที่ของรูป … ABCD เมื่อ A(1, 3), B(2, 0), C(5, 7), D(-1, 5) แนวคิด

C(5, 7)

D(-1, 5) A(1, 3)

B(2, 0)

หลักการใชสูตร 1. เริ่มตนจากจุดใด ตองลงทายดวยจุดนั้น 2. วนในทิศใดทิศหนึ่ง 3. ...................................................................................... 4. ...................................................................................... 5. ...................................................................................... ขอควรระวัง .............................................................................................................................................................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (157)


โจทยเรขาคณิตวิเคราะห แนวหาพื้นที่รูป n เหลี่ยม BRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีจดุ ยอด เปน A(-2, 3), B(2, 8), C(4, 4) และ D(0, -3) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 16 ตารางหนวย 2) 32 ตารางหนวย 3) 10 13 ตารางหนวย 4) 26 10 ตารางหนวย วิธีคิดเร็วๆ Tips จากครู Sup’k

วิธีจริง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) ขั้นที่ 1 จากรูป พื้นที่ [PQRS] = PQ ⋅ QR = |-2 - 4|⋅|-3 - 8| = 66

พื้นที่ [ABP] = 12 ⋅ AP ⋅ BP = 12 |8 - 3||-2 - 2| = 10 ตารางหนวย พื้นที่ [BCQ] = 12 ⋅ CQ ⋅ BQ = 12 |8 - 4||4 - 2| = 4 ตารางหนวย พื้นที่ [CDR] = 12 ⋅ CR ⋅ DR = 12 |-3 - 4||4 - 0| = 14 ตารางหนวย

P(-2, 8)

Y

B(2, 8) Q(4, 8) C(4, 4)

A(-2, 3)

X S(-2, -3)

D(0, -3)

R(4, -3)

พื้นที่ [ADS] = 12 ⋅ AS ⋅ DS = 12 |-3 - 3||-2 - 0| = 6 ตารางหนวย ขั้นที่ 2 จะหา พื้นที่ [ABCD] = [PQRS] - [ABP] - [BCQ] - [CDR] - [ADS] ∴ พื้นที่ [ABCD] = 66 - 10 - 4 - 14 - 6 = 32 ตารางหนวย

คณิตศาสตร (158) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


‹ สูตร1.1!

สูตรระยะระหวางจุดสองจุด

Y

d = P1P2 = (x1 - x 2 )2 + (y 1 - y 2 )2

P1(x1, y1)

เชน จงหาระยะหางระหวางจุด A(5, -4) , B(7, 8) วิธีทํา AB = (5 - 7)2 + ((-4) - 8)2

X P2(x2, y2)

= =

‹ สูตร1.2!

สูตรจุดกึ่งกลางหางระหวางจุดสองจุด

Y P2(x2, y2)

(-2)2 + (-12)2 4 + 144 = 148

จุดกึ่งกลางระหวาง P1P2 =  x1 +2 x2 , y1 +2 y2 

P1(x1, y1) X

เชน จงหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A(5, -4), B(7, 8) วิธีทํา จุดกึ่งกลาง =  5 2+ 7 , (-4)2 + 8  = (6 , 2)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (159)


‹ สูตร1.3!

สูตรหาจุดปลาย เมื่อใหจุดกึ่งกลาง และจุดปลายอีกดานหนึ่ง Tips จากครู Sup’k

B(x, y) A(5, -4)

(6, 2)

เชน ใหจุด (6, 2) เปนจุดกึ่งกลางระหวางจุด A(5, -4), B จงหาจุด B วิธีทํา สมมติวา จุด B(x, y) (6, 2) = จุดกึ่งกลาง =  5 +2 x , -4 2+ y  6 = 5 +2 x , 2 = -4 2+ y 7=x , 8=y ∴ B(x, y) = B(7, 8)

NichTor-Pb3.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กําหนดให A(1, 3) เปนจุดกึ่งกลางของ OP เมื่อ O(-1 , 2) จงหาพิกัดจุด P ตอบ .............................. วิธีทํา

คณิตศาสตร (160) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABCD เปนสี่เหลี่ยมดานขนานที่อยูในระนาบ XY ถา A = (-3, -2), B = (1, -5), C = (9, 1) แลว BD มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 10 3) 97 4) 10 2 1) 91 วิธีคิดเร็วๆ

D

Tips จากครู Sup’k

C( 9, 1)

A( - 3, - 2) B(1, - 5)

วิธีจริง & พิสูจนสูตรลัด ขั้นที่ 1

ทฤษฎีเรขาคณิต เสนทแยงมุมของสีเ่ หลี่ยมดานขนาน จะตัดกันและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน

D(x, y) C(9, 1) G

A(-3,-2) B(1,-5)

สมการ จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมAC = จุด G = จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมBD [-3] + 9 , [-2] + 1  =  x + 1, y + [-5]  2 2  2   2 y + [-5] [ 3] [ 2] 1 +9 + x + 1 และ ∴ 2 = 2 2 = 2 ∴ 5=x และ 4=y ∴ D(x, y) = D(5, 4)   

ขั้นที่ 2 จะหา BD = ระยะ BD = ( ∆x)2 + ( ∆y)2 = (5 - 1)2 + (4 - [-5])2 = 97 ตอบ

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (161)


โจทยเพิ่มเติมเรขาคณิตวิเคราะห . KAiOU-Pb1.15 (PAT1’มี.ค.53) ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมทีม่ ี A(0, 0) และ B(2, 2) เปนจุดยอด และ C(x, y) เปนจุดยอดในจตุภาค (quadrant) ที่ 2 ที่ทําใหดาน AC ยาวเทากับดาน BC ถาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีคาเทากับ 4 ตารางหนวย แลวจุด C อยูบนเสนตรงในขอใด 1) x - y + 4 = 0 2) 4x + 3y - 1 = 0 3) 2x - y - 3 = 0 4) x + y - 5 = 0 KAiOU-Pb1.9 (PAT1’มี.ค.53) จุด A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, -3) เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ขอใดตอไปนี้ผิด 1) ดาน AB ขนานกับดาน DC 2) ผลบวกความยาวของดาน AB กับ DC เทากับ 10 2 หนวย 3) ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และ D มีคาเทากับ 9 2 2 หนวย 4) ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และ D มีคาเทากับ 92 หนวย FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A(-1, -1) และ B(1, c) เปนจุดในระนาบ XY ถา L เปนเสนตรงซึ่งผานจุด A, B และมีความชันเทากับ 3 แลวเสนตรงที่มีความชันเทากับ -2 และผานจุด B จะมีสมการดังขอใดตอไปนี้ 1) y = -2x + 7 2) y = -2x + 5 3) y = -2x + 3 4) y = -2x + 1 SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รูปสามเหลี่ยม ABC มี ABˆ C เปนมุมฉาก และดานตรงขามมุมฉากยาว 10 หนวย ถาพิกัดของจุด A และจุด B คือ (-4, 3) และ (-1, 2) ตามลําดับ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจุด C 1) x + 8y - 27 = 0 2) 8x + y - 27 = 0 3) 4x - 5y + 3 = 0 4) -5x + 4y + 3 = 0

คณิตศาสตร (162) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


‹ สูตร 1.20!

โปรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L

Y P(x1, y1)

O

L : Ax + By + C = 0

สูตร ระยะหางระหวางจุด P(x1, y1) กับเสนตรง L คือ |Ax 1 + By 2 + C| d = A2 + B2

X

ระวัง 1.20!

NichTor-Pb3.2 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด P(3, 4) ไปยังเสนตรง 3y - 4x = 15 ตอบ ................................. วิธีทํา

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (163)


ภาคตัดกรวย : วงกลม . ‹ สูตร 2.1!

วงกลม ระวัง! กอนใชสูตร สัมประสิทธิ์ หนา x2, y2 ตองเทากับ …… x2

สมการรูปทั่วไป + + Ax + By + C = 0 y2

สมการมาตรฐาน (x - h)2 + (y - k)2 = r2

จุดศูนยกลาง รัศมี

เทคนิคลั่นลากับครู Sup’k รองเพลงกับพี่ Sup’k แลวจําไดเลย วงกลมนั้นมีสองสิง่ สําคัญ คือ จุดศูนยกลาง กับ รัศมี ไง ศูนยกลางอยูที่ (h, k) =  -A2 , -B2  กอนเคยเชื่อในลิขิตฟาดิน ปลอยชีวิตไปตามโชคชะตา แตฝนไมเคยถึงฝง ผิดหวังในใจเรื่อยมา เพราะไมมีหัวใจ รัศมีคือ รูดผลบวกของ กําลังสองของ.................... แลว............................... จะดีหรือเลวมันอยูที่คน จะมีหรือจนมันอยูที่ใจ ดินฟาไมเคยลิขิต .........ตัวเลขใดๆ ............................................ ชีวิตจะเปนเชนไร อยาเลยอยาไปถามฟา

NichTor-Pb3.3 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาจุดศูนยกลางและรัศมีของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ................................... วิธีทํา

คณิตศาสตร (164) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


วิธีการตรวจสอบวา จุดใดอยูใน หรืออยูบน หรืออยูนอกวงกลม

x2 + y2 = 25 กับ P(1, 0) 12 + 02 < 25

x2 + y2 = 25 กับ P(3, 4) 32 + 42 = 25

x2 + y2 = 25 กับ P(7, 10) 72 + 102 > 25

ควรจัดสมการใหอยูรูป (x - h)2 + (y – k)2 = r2 หลังแทนคา จุด P(x1, y1) ที่สนใจแลว กรณีที่ 1 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 < r2 แสดงวา จุด P อยูในวงกลม กรณีที่ 2 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 แสดงวา จุด P อยูบนเสนรอบวงกลม กรณีที่ 3 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 > r2 แสดงวา จุด P อยูนอกวงกลม หรือหากจัดในรูป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หลังแทนคา จุด P(x1, y1) ที่สนใจแลว กรณีที่ 1 x 12 + y 12 + Ax1 + By1 + C < 0 แสดงวา จุด P อยูในวงกลม กรณีที่ 2 กรณีที่ 3

x 12 + y 12 + Ax1 + By1 + C = 0 x 12 + y 12 + Ax1 + By1 + C > 0

แสดงวา จุด P อยูบนเสนรอบวงกลม แสดงวา จุด P อยูนอกวงกลม

NichTor-Pb3.4 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงตรวจสอบวา จุด A(1, 3) อยูดานใน หรือดานนอก หรืออยูบนเสนรอบวงของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ ..............................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (165)


โจทยภาคตัดกรวย แนววงกลม PTOR–Pb3.5 (แนวขอสอบจริง PAT1’ธ.ค.54) ถา P เปนจุดบนวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ที่อยูใกลจุด A(1, 3) มากที่สุด แลวระยะทางจาก P ไปยังเสนตรง 3y - 4x = 15 มีคาเทาใด ตอบ .............................. วิธีลัด ใหฟงครู Sup’k สอนในหอประชุม Brand’s Summer Camp วิธีจริง x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = ขั้นที่ 1 จัดรูปกําลังสองสัมบูรณ (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = (x + 1)2 + (y - 2)2 = (x + 1)2 + (y - 2)2 = ∴ วงกลมมีจุดศูนยกลางที่ O(-1, 2) รัศมี r =

0

20 20 20 2 20 = 2 5 หนวย

ขั้นที่ 2 จุด P(a, b) บนวงกลมที่อยูใกล A(1, 3) มากที่จุด คือ จุด P ที่ทําให O, A, P อยูบนเสนตรงเดียวกัน (ดูรูป)

สังเกตวา OA = (1 - (-1))2 + (3 - 2)2 = 5 = 2r ฉะนั้น A เปนจุดกึ่งกลางของ OP จะได a -2 1 = 1 และ b 2+ 2 = 3 a = 3 และ b = 4 ฉะนั้น พิกัดของจุด P คือ P(3, 4) ขั้นที่ 3

คือ

Tips จากครู Sup’k

Y P(a, b) O(-1, 2)

A(1, 3)

จะหาระยะหางจาก P กับเสนตรง 3y - 4x = 15 ระยะหางจาก P กับเสนตรง 3y - 4x - 15 = 0 d = |3(4) -2 4(3) -215| หนวย = 3 หนวย 3 + (-4)

คณิตศาสตร (166) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

X


BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. x2 + y2 + 6x - 4y = 23 เปนสมการวงกลมที่สัมผัสกับเสนตรง ซึ่งมีสมการเปน 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x - 6y = 71 เปนสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (–5, 3) และจุดโฟกัสที่ (-1, 3) ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด NaDate-Pb1.8 (PAT1’มี.ค.56) ใหพาราโบลา P มีสมการเปน y2 - 2y + 6x + 4 = 0 ถาวงกลมวงหนึง่ ผานจุดโฟกัสของพาราโบลา P และสัมผัสกับเสนตรง 3x - 2y - 6 = 0 ณ จุด (4, 3) แลวสมการของวงกลมตรงกับขอใดตอไปนี้ 2) 7x2 + 7y2 + 4x + 82y + 55 = 0 1) 7x2 + 7y2 - 4x - 82y - 55 = 0 3) 7x2 + 7y2 - 4x + 82y - 55 = 0 4) 7x2 + 7y2 + 4x - 82y + 55 = 0 KMK-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากที่สุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย 1) 5 2 หนวย BRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จุด A(1 , 0) และจุด B(b , 0) เมื่อ b > 1 เปนจุดปลายของเสนผานศูนยกลางของวงกลมวงหนึ่ง ถาเสนตรง L ผานจุด (-1, 0) และสัมผัสกับวงกลมวงนี้ มีความชันเทากับ 34 แลว b เทากับเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb50 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (2, 1) ถาเสนสัมผัสวงกลมที่จุด x = 1 เสนหนึ่งมีความชันเทากับ 1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลมทีก่ ําหนด 3 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) FPAT-Pb52 (PAT1’ก.ค.52) ใหเสนตรง l1 และ l2 สัมผัสกับวงกลม (x - 5)2 + y2 = 20 ที่จุด A และ B ตามลําดับ โดยที่จุดศูนยกลางของวงกลมอยูบนเสนตรงที่ผานจุด A และ B ถาสมการของเสนตรง l1 คือ x - 2y + 5 = 0 แลวจุดใดตอไปนี้อยูบนเสนตรง l2 3) (8, -1) 4) (15, 0) 1) (0, 15) 2) (1, -8)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (167)


KMK-Pb2.7 (PAT1’ต.ค.52) ให a, b, c เปนจํานวนจริง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีศูนยกลางที่ (2, 1) และมีเสนตรง x - y + 2 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม แลว |a + b + c| เทากับเทาใด ตอบ ........................... โจทยภาคตัดกรวย แนวพาราโบลา FPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) ระยะทางระหวางจุดโฟกัสของพาราโบลา y2 = -8x กับเสนตรง 2x + y = 6 มีคาเทาใด 1) 2 5 หนวย 2) 3 5 หนวย 3) 4 5 หนวย 4) 5 5 หนวย FPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P เปนจุดตัดของเสนตรง x - 2y = 0 และเสนไดเรกตริกซของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหวางจุด P และเสนตรง 2x - y = 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 หนวย 2) 7 หนวย 3) 7 หนวย 4) 7 หนวย 5 5 5 FPAT-Pb56 (PAT1’มี.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนึ่งผานจุดกําเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และเสนไดเรกตริกซที่จุด (a , b) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 KMK-Pb2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกําเนิดเปนจุดโฟกัส ถาเสนตรง y = x ตัด พาราโบลาที่จุด P และจุด Q แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทาใด ตอบ........................... โจทยภาคตัดกรวย แนววงรี KMK-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใด ตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ Dr - Rr 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5) 1) (-1.4, -1.3) FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรีที่มีจุดศูนยกลางที่จุด (1, 2) แกนเอกขนานกับแกน X และยาว 6 หนวย แกนโทยาว 4 หนวย ผานจุดในขอใดตอไปนี้ 1) (0, 1) 2) (2, 0) 3) (1, 4) 4) (4, 1) FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให E เปนวงรีที่มีจุดโฟกัสทั้งสองอยูบนวงกลม C ที่มีสมการเปน x2 + y2 = 1 ถาวงรี E สัมผัสกับวงกลม C ที่จุด (1, 0) แลวจุดใดตอไปนีอ้ ยูบนวงรี E 2)  12, 52  3)  13, 1  4)  13, 43  1)  12, 12 

คณิตศาสตร (168) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


  FPAT-Pb59 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให วงรีรูปหนึง่ มีโฟกัสอยูท ี่จุด (±3, 0) และผานจุด  2, 221  จุดในขอใด   ตอไปนี้อยูบนวงรีที่กําหนด   1) (-4, 0) 2)  0, 5 2 2  3) (6, 0) 4) (0, -3 2 )  

NaDate-Pb2.31 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดใหวงรีมีจุดศูนยกลางอยูที่ (0, 0) และมีโฟกัส F1 และ F2 อยูบน แกน X จุด A(4, 1) เปนจุดบนวงรีโดยที่ผลบวกระยะทางจากจุด A(4, 1) ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีคาเทากับ 6 2 ใหเสนตรง L ตัดแกน X ที่จุด (4.5, 0) และสัมผัสกับวงรีที่จุด A(4, 1) ถา d เปนระยะหางระหวางจุด (0, 0) กับเสนตรง L แลวคาของ d2|AF1||AF2| เทากับเทาใด ตอบ........................... โจทยภาคตัดกรวย แนวไฮเพอรโบลา KMK-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให E เปนวงรีที่มีโฟกัสอยูที่จุดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ถา E ผานจุด (0, 1) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E     1)  1, - 22  2) (1, 2 ) 3)  1, -12  4)  1, 23      FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให F1, F2 เปนจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา 2(x - 1)2 - (y - 2)2 = 8 โดยที่ F2 อยูในควอดรันตที่ 1 วงกลมที่มี F2 เปนจุดศูนยกลางและผานจุด (2 3 , 3) คือ วงกลมที่มีสมการ ดังขอใด ตอไปนี้ 1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y - y2 + 2 2) (x - (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 + 2 3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 - 2 4) (x - (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 – 2 FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กําหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17} P = {(x, y) | x2 - y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 - x2 = 1} ถา a ∈ S I P และ b ∈ S I Q แลวระยะทางที่นอยที่สุดระหวาง a และ b เทากับเทาใด 2) 2 3 - 2 3) 3 2 - 2 4) 2 3 - 4 1) 3 2 - 4 FPAT-Pb64 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตัดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตัดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจุด} เซต {d | d = c2, c ∈ B - A}เทากับชวงใดตอไปนี้ 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (169)


KAiOU-Pb1.8 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดใหวงรี 25x2 + 21y2 + 100x - 42y - 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด (–3, 1 + 8 ) มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้ 2) 3y2 - 2x2 - 6 8 y - 8x + 15 = 0 1) 5y2 - 4x2 - 10 8 y - 32x - 25 = 0 4) y2 - 7x2 - 2y - 28x - 28 = 0 3) y2 - 4x2 - 2y - 16x - 19 = 0 SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลาง และ จุดโฟกัสดานหนึ่งของไฮเพอรโบลา 9x2 - 16y2 - 90x + 64y + 17 = 0 แลววงกลมดังกลาวนี้มีพื้นที่เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 254π ตารางหนวย 2) 252π ตารางหนวย 3) 4π ตารางหนวย 4) 5π ตารางหนวย NaDate-Pb1.17 (PAT1’มี.ค.56) ให 9x2 - 16y2 - 18x + 64y - 199 = 0 เปนสมการของไฮเพอรโบลา ถาพาราโบลารูปหนึ่งมีแกนสมมาตรขนานแกน Y ตัดแกน X ที่จุด (1, 0) และผานจุดยอดทั้งสอง ของไฮเพอรโบลาที่กําหนดให แลวจุดในขอใดตอไปนี้ไมอยูบนพาราโบลา 2)  -1, 12  3)  3, 12  4)  4, 14  1)  2, 18  โจทยความสัมพันธ แนวอินเวอรสของความสัมพันธ FPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให r = {(x, y) | 2y = 3x - 4} ถา a, b เปนคาคงตัว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แลว 3a - b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 5 3 4 1) 3 2) 4 3) 5 4) 34 FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดความสัมพันธ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r ตัดกับกราฟของ r-1 เพียง 2 จุด เทานั้น ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด โจทยความสัมพันธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยกราฟ FPAT-Pb75 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให f(x) = x2 - 1 เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [0, 1] และ g(x) = 2x เมื่อ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg 3) f เปนฟงกชัน 1-1 4) g ไมเปนฟงกชัน 1-1

คณิตศาสตร (170) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


FPAT-Pb70 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = [-2, -1] U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.5 2) 3 3) 3.5 4) 4 โจทยความสัมพันธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยการจัดรูป หาเงื่อนไข NaDate-Pb1.5 (PAT1’มี.ค.56) ให R แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | 12 -|x| + y + 1 = 3} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Dr I Rr ⊂ (-1, 8)

ข. Dr - Rr = {x ∈ R | 8 < x ≤ 12} ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

FPAT-Pb71 (สอบตรงวิศวะ) กําหนด r และ s เปนความสัมพันธ   r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + xy = -1} s = (x, y) ∈ R × R y = 1 - |32 - x|   จงหาวา Rs - Rr เปนสับเซตของขอใดตอไปนี้ 1) (-4, -2) 2) (-1, 1) 3) (-2, 0) 4) (-1, 4)     

FPAT-Pb72 (สอบตรงวิศวะ) กําหนดให

มีจํานวนเต็มกี่จํานวนที่อยูในเซต Rr - Ds 1) 0 2) 1

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

 1 r = (x, y) ∈ R × R y =  5 - 9 - x 2  s = {(x, y) ∈ R × R | 2xy2 – 3xy = 4x + 1}

3) 2

4) 7

__________________________________ คณิตศาสตร (171)


KAiOU-Pb1.6 (PAT1’มี.ค.53) ให f และ g เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่ f(x) = x2 - 1 และ g(x) = f(x) - x - 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ x -4 ก. Dg = (2, ∞) ข. คาของ x > 0 ที่ทําให g(x) = 0 มีเพียง 1 คาเทานั้น ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด โจทยฟงกชนั แนวคํานวณฟงกชันธรรมดา FPAT-Pb65 (PAT1’ก.ค.52) ให g(x) = x2 + x + 1 และ r, s เปนคาคงตัว ซึ่ง s ≠ 0 ถา g(r + s) = g(r - s) แลว r2 เปนสมาชิกของชวงใดตอไปนี้ 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) โจทยฟงกชนั แนวจัดรูปฟงกชนั ธรรมดา KAiOU-Pb1.13 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให f  x x- 1  = 1x เมื่อ x ≠ 0 และ x ≠ 1 ถา 0 < θ < π2 แลว f(sec2 θ) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) sin2 θ 2) cos2 θ 3) tan2 θ 4) cot2 θ โจทยฟงกชนั แนวจัดรูปฟงกชนั อินเวอรสธรรมดา

-x x AVATAR-Pb6.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) จงหา f-1(x) เมื่อ f(x) = 10x - 10 -x 10 + 10 ตอบ...........................

คณิตศาสตร (172) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยฟงกชนั แนวคํานวณฟงกชันคอมโพสิตธรรมดา

สูตร

Peach–Pb2.32 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให f และ g เปนฟงกชันซึ่ง f(x + 5) = x3 – x2 + 2x และ g– 1(2x – 1) = x + 4

จงพิจาณาขอความตอไปนี้ เมื่อ I แทน เซตของจํานวนเต็ม ก. (f – g)(0) < –169 ข. {x ∈ I|(gof)(x) + 5 = 0} เปนเซตวาง ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

KMK-Pb2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 1x และ g(x) = 2f(x) แลว จงหา gof(3) + fog–1(3) ตอบ........................... FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 1 และ g(x) = x3, (f-1og)(3) มีคาเทากับขอใด 1) 16 2) 20 3) 50 4) 52 FPAT-Pb66.1 ให f(x) = xx ++ 63 และ (f-1og)(x) = x-6x - 1 ถา g(a) = 2 แลว a อยูในชวงใด 1) [–1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7) FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดฟงกชัน f(x) = x – 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให fog(a) = gof(a) แลว (f ⋅ g)(a) มีคาเทากับเทาใด 1) 18 2) –18 3) 25

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

4) –25

__________________________________ คณิตศาสตร (173)


โจทยฟงกชนั แนวคํานวณฟงกชันคอมโพสิตยากขึ้นมาหนอย *NaDate-Pb2.50 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน ซึ่งสอดคลองกับ (fof)(x) = 4 + x(4 - f(x)) สําหรับทุกจํานวนจริง x แลวคาของ f(4) เทากับเทาใด ตอบ .................................. แนวคิด & เทคนิค

KAiOU-Pb2.22 (PAT1’มี.ค.53) นิยาม f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชันใดๆ (f ⊗ g)(x) = f(g(x)) - g(f(x)) สําหรับทุกจํานวนจริง x

ถา f(x) = x2 - 1 และ g(x) = 2x + 1 สําหรับทุกจํานวนจริง x แลว (f ⊗ g)(1) เทากับเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb1.5 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให y1 = f(x) = xx -+ 11 เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 1 y2 = f(y1) , y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1) สําหรับ n = 2, 3, 4, ... คาของ y2553 + y2010 เทากับขอใดตอไปนี้ 2 1) xx -+ 11 2) xx -+11 2 2 3) x 2x+ 1 4) 1 + x2x- -1 x

คณิตศาสตร (174) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


SheLL2.28 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f1, f2, f3, f4, g และ h เปนฟงกชันจาก R ไป R โดยที่ f1(x) = x + 1, f2(x) = x – 1, f3(x) = x2 + 4, f4(x) = x2 - 4 (f1og)(x) + (f2oh)(x) = 2 และ (f3og)(x) - (f4๐h)(x) = 4x คาของ (g๐h)(1) เทากับเทาใด ตอบ........................... SheLL1.18 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f(x) = ax + b เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง ถา f เปนฟงกชันลด และ f f(f(f(x))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 2) -5 1) -11 3) 11 4) 5

(

)

โจทยฟงกชนั แนวนิยามตรวจสอบความเปนฟงกชัน BRAN-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง, ความสัมพันธขอใดตอไปนี้เปนฟงกชัน 1) ความสัมพันธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 4 - y 2 และ xy ≥ 0} 2) ความสัมพันธ r2 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0} 3) ความสัมพันธ r3 = {(x, y) ∈ R × R | ||x| - |y|| = 1} 4) ความสัมพันธ r4 = {(x, y) ∈ R × R | |x - y| = 1} โจทยฟงกชนั แนวฟงกชันแยกชวง FPAT-Pb76 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 2 เมื่อ x ∈ [-1, 0] U (1, 2) -x , x ∈ [-1, 0] และ g(x) =  4x - 2 , x ∈  1 , 2    2  

ขอใดตอไปนีไ้ มถกู ตอง 1) Df ⊆ Dg 3) f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

2) Rf ⊆ Rg 4) g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง 1 x

, |x| < 12 NaDate-Pb1.11 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให f(x) = 1 1 1 2 + x , |x| ≥ 2   คาของ f  f  f  - 13    ตรงกับขอใดตอไปนี้    1) -6 2) 6 3) -3     

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

4) 3

__________________________________ คณิตศาสตร (175)


โจทยฟงกชนั แนวฟงกชันแยกชวง VS อินเวอรส FPAT-Pb79 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให f(x) = 3x - 1 และ g–1(x) =

คาของ f-1(g(2) + g(-8)) เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 1 +3 2 1) 1 -3 2

x2 , x ≥ 0 -x 2 , x < 0

   

3) 1 --3 2

4) 1 +-3 2

NaDate-Pb1.7 (PAT1’มี.ค.56) ให R แทนเซตของจํานวนจริง พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ความสัมพันธ {x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 , xy > 0} เปนฟงกชัน x - 2 , x ≤ 0 และ g(3x - 1) = 2x2 + 3x สําหรับ x ∈ R ข. ถา f(x) =  2 x , x > 0  แลวคาของ (gof-1)(25) = 14 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด โจทยฟงกชัน แนวฟงกชันพีชคณิตฟงกชัน VS อินเวอรส KMK-Pb2.4 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = 1 +x x แลว (f–1 + g–1)(2) เทากับเทาใด ตอบ........................... โจทยฟงกชนั แนวคอมโพสิต VS อินเวอรส VS นิยามฟงกชันแบบเซต BRAN-Pb2.42 (PAT1���ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 5} g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1of-1)(a) = 4 แลว (fog)(2a) เทากับเทาใด ตอบ...........................

คณิตศาสตร (176) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เมทริกซ : อินเวอรสการคูณของเมทริกซ (ตัวผกผันของเมทริกซ)

นิยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I เมทริกซ Bn×n เปน อินเวอรสการคูณของเมทริกซ An×n ก็ตอเมื่อ AB = I = BA เขียนแทนดวย B = A-1 สูตร 1.2 !! ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ A, อินเวอรสของเมทริกซ A, A-1 สําหรับมิติ n × n A-1 = det1 A ⋅ adj A สูตร 1.3 !! ถา A = [ก] → ∴ A-1 =  1ก  เมื่อ ก ≠ 0 a b สูตร 1.4 !! ถา A = c d  → ∴ A-1 = det1 A -cd -ab     

นิยาม 1.6!! สําหรับเมทริกซ An×n ขนาดมิติใดๆ ถา det A = 0 แลว จะเรียก เมทริกซ A วา “เมทริกซเอกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซิงกูลารเมทริกซ”

จะหา A-1 ไมได นิยาม 1.7!! สําหรับเมทริกซ An×n ขนาดมิติใดๆ ถา det A ≠ 0 แลว จะเรียก เมทริกซ A วา “ไมใชเมทริกซเอกฐาน” , “Non-singular Matrix” “นอนซิงกูลารเมทริกซ”

จะหา A-1 ได

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (177)


-1 1  2 -1  Pb3 ให A-1 =  1 2  , B-1 = 1 0  จงหา (A – 2B)-1     แนวคิด -1 1  ขั้นที่ 1 จาก A-1 =  1 2  

ตอบ .................... Sup’k ระวัง!!

-2 1   2 -1  2 -1 1 1 → A = (-1) ⋅ 2 - 1 ⋅ 1 -1 -1  → A = -3 -1 -1  → A =  31 31       3 3  2 -1  ขั้นที่ 2 จาก B-1 = 1 0      0 1  0 1 0 1 → B = 2 ⋅ 0 -11 ⋅ (-1) -1 2  → ∴ B = 11 -1 2  → ∴ B = -1 2       

-1

      

   2 1    -23 13   0 1  0 2   1   3 3 ขั้นที่ 3 จะหา (A – 2B) = 1 1  - 2 -1 2   =   1 1  - -2 4       3 3  3 3       -11 5   11 5  9 - 3 3  =    1     73 32  = 57 -7 -2   -2   -11  -  -7   -5  -3 -3   3 3   3  3   3  3 

-1

     

-2 = 37 3

-53    -11 3  

-1

โจทยเมทริกซ แนวหา อินเวอรส ของ 2 × 2 3 4  TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดให A และ B เปนเมทริกซที่สอดคลองกับ 2A - B = 3 6    -1 2  และ A + 2B =  4 -2  จงหาวา (AB)-1 คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้   -1 0  1 1  - 1 0  1 -1  1)  1 -1  2)  4  3)  4  4) 0 -1  4 4   0 -1   1 -1   โจทยเมทริกซ แนวแกสมการเมทริกซ SheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d เปนจํานวนจริง  a   5 b  a 4 5a + b  แลวคาของ b + c เทากับเทาใด ถา 3  c  = 5d - 1 36  +  c 2d    2 d  2

ตอบ...........................

KAiOU-Pb2.7 (PAT1’มี.ค.53) ให x, y, z และ w สอดคลองกับสมการ  1 0   x -1  2y -1   1 0  -1 w   0 y  =  z 2  -1 w  

คาของ 4w - 3z + 2y - x เทากับเทาใด

 

 

ตอบ...........................

คณิตศาสตร (178) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


x y 1 1  BRAN-Pb1.12 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให A = 1 -1 และ B =  y z    -2 0  ถา A-1BA =  0 4  แลวคาของ xyz เทากับเทาใดตอไปนี้   2) -1 3) 0 1) -3

4) 1

x  KMK-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให X =  y  สอดคลองกับสมการ AX = C  z  1 -1 0   1 2 1  2     เมื่อ A = -2 0 1  , B = 2 0 -1 และ C =  -2     0 1 2     1 4 0   3 a  ถา (2A + B)X =  b  แลว a + b + c มีคาเทาใดตอไปนี้  c  1) 3 2) 6 3) 9 4) 12

ทฤษฎีของ det ดีเทอรมินันต

สูตร 3.1 !! ดีเทอรมินันตของเมทริกซของเมทริกซขนาด 2 × 2 A = [5] → ∴ det A = |[5]| = 5 B = [-7] → ∴ det B = |[-7]| = -7

Sup’k ระวัง!!

สูตร 3.2 !! ดีเทอรมินันตของเมทริกซของเมทริกซขนาด 2 × 2 9 5 9 5  C =  4 2  → ∴ det C = 4 2 = 9 × 2 - 4 × 5 = 18 - 20 = -2 

-2 -4  D =  5 7  → ∴ det D = -52 -74 = (-2) × 7 - (-4) × 5 = –14 + 20 = 6  

a b c  a b c a b c สูตร 3.3 !! กําหนดให A = d e f  จะได det A = d e f = d e f g h i  g h i g h i     

det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h - g ⋅ e ⋅ c - h ⋅ f ⋅ a - i ⋅ d ⋅ b ระวัง! สูตรคูณลงตอบเลย คูณขึ้นใสลบซอน ใชไดเฉพาะ 2 × 2, 3 × 3

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (179)


โจทยเมทริกซ แนวนิยาม det TF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให a และ b เปนจํานวนจริง 1 2 3 

2 a 3 

3 b 2 

1 2 3 

ถา X = 2 a 1  และ Y = 2 b 3  โดยที่ X และ Y ไมมีตัวผกผัน แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -1 2) -2 3) -3

4) -4

สูตรของ ไมเนอร, โคแฟกเตอร

นิยาม 4.1

กําหนดใหเมทริกซ A = [aij]n×n โดยที่ aij ∈ R และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 ไมเนอรของ aij คือ ดีเทอรมินันตของเมทริกซที่เกิดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ออกไป เขียนแทน ไมเนอรของ aij ดวย M(aij), Mij(A)

นิยาม 4.2

กําหนดให A = [aij]n×n โดยที่ aij ∈ R และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 โคแฟกเตอรของ aij คือ (-1)i+j ⋅ Mij(A) เขียนแทน โคแฟกเตอรของ aij ดวย C(aij) , Cij(A)

2 1 เชน A = 2 1      

→∴

0 1 -3 0

4 1 2 -1

0 2  4  → ∴ M13(A) = 3 

2 1 2 1

0 1 -3 0

4 1 2 -1

0 2 1 1 2 4 = 2 -3 4 = –5 3 1 2 3

C13(A) = (-1)1+3M13(A) = (-1)4M13(A) = (-1)4(-5) = -5

โจทยเมทริกซ แนวโคแฟกเตอร ไมเนอร 1 2 -1  TF-PAT2 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = 2 x 2  โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง 2 1 y  ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det(A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -33 2) -30 3) 30 4) 33     

คณิตศาสตร (180) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สูตรของ det ดีเทอรมินันต กําหนดให A, B และ C เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ n × n และ k เปนคาคงที่ใดๆ ¾ det (AB) = det A ⋅ det B ¾ det (cA) = cn ⋅ (det A) ¾ det I = 1, det 0 = 0

¾ det (At) = det A ¾ det (A-1) = (det A)-1 ¾ det (An) = (det A)n

¾ det (-A) = det A , n = คู ¾ det (-A) = - det A , n = คี่ ¾ det (A ± B) ≠ det A ± det B

โจทยเมทริกซ แนวใชสตู รของเมทริกซ VS สูตรของ det NaDate-Pb2.33 (PAT1’มี.ค.56) ให S เปนเซตของจํานวนจริง x ทั้งหมดที่ทําใหเมทริกซ  4 -2 7     x -1 3  เปนเมทริกซเอกฐาน  0 x   2 และให y เทากับผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต S y 1 ถา A = -1 y  แลวคาของ det    

        

A

 -1 t  1  t       

เทากับเทาใด

ตอบ .............................. แนวคิด & เทคนิค

DJton–Pb15.1 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให A , B , C เปนเมทริกซ ซึ่ง det B ≠ 0 5 0 0    ถา A =  1 6 0  และ det (B-1CBt) = -4 จงหาคาของ det (CtAC) ตอบ ..............................   2 8 7  KAiOU-Pb2.6 (PAT1’มี.ค.53) ให A และ B เปนเมทริกซที่มีขนาด 2 × 2 -4 -4  -5 -8  โดยที่ 2A - B =  5 6  และ A - 2B =  4 0  คาของ det (A4B-1) เทากับเทาใด 

ตอบ........................... 0 x 0 -1  KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถา det 2 0 2 2   = x 1- 1 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 3 1 5   1) 1 2) 2 3) 3 4) 4      

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

   

__________________________________ คณิตศาสตร (181)


โจทยเมทริกซ แนว det (adj A) AVATAR-Pb14.1 (แนวขอสอบตรงเขาแพทย กสพท) กําหนด A เปนเมทริกซ 3 × 3 ที่มี det(A) = 2 จงหา det(adj(adj (A))) ตอบ........................... Tips จากครู Sup’k แนวคิด & เทคนิค

Peach-Pb2.34 (แนวPAT1’ต.ค.55) กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 × 3 โดยที่ det (A) ≠ 0 จงพิจารณาขอความตอไปนี้วา ถูก หรือ ผิด ก. det (A3) = det (adj A) ข. ถา A2 = 2A แลว det A = 2 ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด 1 2 3  MARARine-Pb46.34.1 กําหนดให A = -2 -3 2  จงหา det (adj(adj A)) 1 2 1  ตอบ ..............................     

 1 -1 1  1 1 2    Pb34.2 ให A = 1 2 1  , B = 0 1 2  จงหาคาของ det adj(adj(-5A-1B adj(B2)))   1 2 3   0 5 -3  ตอบ ..............................     

(

)

คณิตศาสตร (182) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยเมทริกซ แนวใชสูตรของเมทริกซบวกกัน MARARine-Pb27.2 (PAT1’มี.ค.54) กําหนดให x เปนจํานวนเต็ม  1  เปนเมทริกซ ที่มี det(A) = 3 และ A = 2x  x x  ถา B เปนเมทริกซมีมิติ 2 × 2 โดยที่ BA + BA-1 = 2I เมื่อ I เปนเมทริกซ เอกลักษณการคูณมิติ 2 × 2 แลวคาของ det(B) อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [1, 2] 2) [-1, 0] 3) [0, 1] 4) [-2, -3] TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเมทริกซมิติ 2 × 2 โดยที่ det(A) = 4 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณ ถา A – 3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det (A + 3I) มีคาเทากับเทาใด 1) 12 2) 16 3) 20 4) 26 BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให X เปนเมทริกซที่สอดคลองกับสมการ   1 -2  2 1 -2   3 2   4 3  + 4X = 0 1 3   1 4      -3 1    แลวคาของ det(2Xt ⋅ (X + Xt)) เทากับเทาใด ตอบ........................... 0 1 1 1  1 -1  SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให A = 0 1 , B = 0 0  และ C = 0 2        t 2 t คาของ det(2A + BC + B C) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) –1 2) 0 3) 2 4) 6 a b SheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d, t เปนจํานวนจริง ถา A = c d  โดยที่ det(A) = t ≠ 0   2 -1 2 -1 และ det(A + t A ) = 0 แลวคาของ det(A - t A ) เทากับเทาใด ตอบ...........................

NaDate-Pb 1.13 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให A และ B เปนเมทริกซ มีมิติ 3 × 3 โดยที่ det (A) = 2 1 3 2    และ B = 0 -1 x  เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง    0 -2 y  ถา AB + 3A = 2I เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณ ที่มีมิติ 3 × 3 แลว x + y เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) -1 3) -2 4) -2.5 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (183)


เมทริกซผูกผันของ A, adj (A)

นิยาม 2.1 เมทริกซผูกพันของ A คือ adj A กําหนดให A = [aij]n×n จะได adj A = [Cij]t

C11 นิยาม 2.2 adj A = C21 C31     

C12 C22 C32

C13  C23  C33 

t

สูตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I 1 2 4  A-Pb 3.32 ให A = -3 8 0  จงหา A-1 ตอบ ........................ 1 2 -1 แนวคิดขั้นที่ 1 หา det A = -70 ≠ 0 ซึ่งสามารถหาอินเวอรสได ขั้นที่ 2 ใชสูตร A-1 = det1 A (adj A)     

         

8 2 2 ∴ A-1 = -170 - 2 2 8

0 -3 0 -3 -1 - 1 -1 1 4 1 4 1 -1 1 -1 - 1 1 4 1 4 0 - -3 0 -3

t

8  2  -8 10 -32    2  = 1  -108 --53 -140  = 1  -3 -5 -12  2  -70  -70   32 12 14  0 14    -14 2 8 

โจทยเมทริกซ แนวหา อินเวอรส ของ 3 × 3 TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กําหนดให A = [aij]3×3  1 2 4 เปนเมทริกซ ที่มี A-1 = -3 8 0  แลว จงหาคาของ a23  1 2 -1    1) 0 2) 16 70 32 4) 12 3) 70 70 TF-PAT7 (PAT1’มี.ค.52)

1) – 23

Tips จากครู Sup’k

-2 2 3  1 -1 0  จงหาสมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A-1 0 1 4  2) –2 3) 23 4) 2

ให At =

    

1 2 4  KMK-Pb2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให A = -3 8 0  1 2 -1 สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A-1 เทากับเทาใด     

ตอบ...........................

คณิตศาสตร (184) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยเมทริกซ แนวแกสมการหลายตัวแปร TF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําให a - b + 2c = 9 2a + b - c = 0 3a - 2b + c = 11 แลว a มีคาเทากับเทาใด 1) -4 2) -2 3) 2 4) 4 TF-PAT9 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให x, y, z สอดคลองกับระบบสมการ 2x - 2y - z = -5 , x - 3y + z = -6 , -x + y - z = 4 ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) xyz = -2

TF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดให a, b, c เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับระบบสมการ 2a - 2b - c = 1 , a - 3b + c = 7 , -a + b - c = -5 แลวคาของ 1a + 2b + 3c เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (185)


ตรีโกณประยุกต อยางยาก สูตร 8.1! สูตรผลบวกหรือผลตางของมุม

cos(A + B) = cos A ⋅ cos B - sin A ⋅ sin B cos(A - B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B A + tan B tan(A + B) = 1tan - tan A ⋅ tan B

sin2A + cos2A = 1 1 + tan2A = sec2A 1 + cot2A = cosec2A sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B sin(A - B) = sin A ⋅ cos B - cos A ⋅ sin B

A - tan B , tan(A - B) = 1 tan + tan A ⋅ tan B

sin A cos B + cos A sin B + B) sin(A sin A cos B + cos A sin B cos A cos B พิสูจน tan(A + B) = cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B = cos A cos B - sin A sin B cos A cos B sin A cos B + cos A sin B sin A + sin B A + tan B cos A cos B B cos A cos B cos = 1tan = cos A cos B sin A sin B = cos B A sincos A sin B tan A tan B cos A cos B - cos A cos B cos B - cos A cos B

A ⋅ cot B - 1 cot A ⋅ cot B + 1 cot(A + B) = cot cot B + cot A , cot(A – B) = cot B - cot A

o o FPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาวา sin 30o - cos 30o มีคาเทาใด sin 10 cos 10 1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 แนวคิด

คณิตศาสตร (186) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา sin 15° และ cos 15° เปนคําตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แลวคาของ a4 - b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -1 2) 1 3) 2 4) 1 + 3 2 ลัด

KMK-Pb2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถา 1 - cot 20° = ตอบ...........................

*KAiOU-Pb2.5 (PAT1’มี.ค.53) คาของ ตอบ........................... วิธีเร็วกวา

x แลว x มีคาเทาใด 1 - cot 25o

cos 36o - cos 72o เทากับเทาใด sin 36o tan 18o + cos 36o

ลัด

วิธีจริง

= = = =

cos 36o - cos 72o = 2 sin 54o sin 18o sin 36o tan 18o + cos 36o sin 36o sin 18o - cos 36o cos 18o 2 sin 54o sin 18o cos 18o 2 sin 54o sin 18o cos 18o = cos(36o - 18o ) sin 36o sin 18o + cos 36o cos 18o 2 sin 54o sin 18o cos 18o = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72° cos 18o 2 sin 36o cos 36o cos 72o = sin 72o cos 72o = 2 sin 72o cos 72o sin 36o sin 36o 2 sin 36o sin 144o = 1 = 0.5 2 sin 36o 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (187)


สูตรมุม 2A

sin 2A = 2 sin A ⋅ cos A = 2 ⋅ tan 2A 1 + tan A

พิสูจน จาก สูตร sin (A + B) = แทนคา มุม B= จะไดเปน sin (A + A) = ∴ sin (2A) =

cos 2A = cos2A – sin2A = 2 ⋅ cos2A – 1 = 1 – 2 ⋅ sin2A 2 = 1 - tan 2A 1 + tan A

tan 2A = 2 ⋅ tan 2A 1 - tan A 2 A-1 cot 2A = cot 2 ⋅ cot A

sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B Sup’k ลัลลา มุม A sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A sin มุม 2A ฮืม เสียงที่บอกฉัน ........................ 2 ⋅ sin A ⋅ cos Aจบ ความรักของเธอ ฮืม เสียงทีบ่ อกฉัน วาเธอมีใจ อีกสูตรนั้นคือ (2 ⋅ tanA) สวน .............................. มือนัน้ ของเธอ ทีแ่ ตะหนาผากฉัน วันที่ฉันกําลังตาย

แนวบทกลับของมุม 2A

2A sin2 A = 1 - cos 2

2A cos2A = 1 + cos 2

พิสูจน จาก cos 2 A = 1 – 2 ⋅ sin2 A ∴ 2 ⋅ sin2 A = 1 – cos 2A 2A sin2 A = 1 - cos 2

พิสูจน จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2 A – 1 ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2 A 1 + cos 2A = cos2 A 2

2A tan2A = 11 -+ cos cos 2A พิสูจน

สูตรมุม 3A และ บทกลับ

sin 3A = 3 ⋅ sin A – 4 ⋅ sin3 A cos 3A = 4 ⋅ cos3 A – 3 ⋅ cos A 3B tan 3B = 3 ⋅ tan B - tan 1 - 3 ⋅ tan 2 B 3 cot 3A = cot A -2 3 ⋅ cot A 3 ⋅ cot A - 1

sin3 A = 3 sin A 4- sin 3A cos3 A = 3 cos A 4+ cos 3A

คณิตศาสตร (188) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยตรีโกณประยุกต แนวสูตรมุม สองเทา NaDate-Pb1.9 (PAT1’มี.ค.56) พิจารณาขอความตอไปนี้ o o ก. cos 10o - sin 10 o = sec 20° - tan 20° cos 10 + sin 10 ข. 3 cot 20° = 1 + 4 cos 20° ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) ให (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ⋅ ... ⋅ (sin 89°) = 1n 2 ตอบ......................... คาของ 4n เทากับเทาใด

tan θ = 1 + A cos θ sin θ แลว A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ FPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 11 -+ tan θ cos 2θ 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คาของ

44 o ∑ cos n n =1 44 o ∑ sin n n =1

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

44 o ∑ sin n n =1 44 o ∑ cos n n =1

เทากับเทาใด ตอบ...........................

__________________________________ คณิตศาสตร (189)


โจทยตรีโกณประยุกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) NaDate-Pb2.28 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให x เปนจํานวนจริง โดยที่ sin x + cos x = 34 ถา (1 + tan2 x) cot x = ab เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม โดยที่ ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับ 1 แลว a2 + b2 เทากับเทาใด ตอบ .............................. Tips จากครู Sup’k แนวคิด & เทคนิค

KAiOU-Pb1.7 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให x เปนจํานวนจริง ถา sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b แลวคาของ sin 4x เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 (a3b - ab3) 2) 12 (ab3 - a3b) 4) a3b - ab3 3) ab3 - a3b KMK-Pb2.6 (PAT1’ต.ค.52) ถา (sin θ + cos θ)2 = 32 เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π4 แลว arccos (tan 3θ) มีคาเทาใด ตอบ .............................. FPAT-Pb82 (PAT1’มี.ค.52) ถา cos θ - sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอไปนี้ 4 9 1) 13 2) 13 3) 94 4) 13 9

คณิตศาสตร (190) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให a เปนจํานวนจริง และสอดคลองกับสมการ 5(sin a + cos a) + 2 sin a cos a = 0.04 จงหาคาของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a ตอบ.............. วิธีจริง ให x = sin a + cos a และ y = sin a cos a จากโจทยจะได 5x + 2y = 0.04 ...(1) เนื่องจาก x2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2a ฉะนั้น x2 = 1 + 2y ...(2) 2 2 พิจารณา x = 1 + sin 2a จะได 0 ≤ x ≤ 2 ฉะนั้น - 2 ≤ x ≤ 2 (1) + (2) ; x2 + 5x = 1.04 x2 + 5x - 1.04 = 0 (x + 5.2)(x - 0.2) = 0 x = 0.2, -5.2 แต - 2 ≤ x ≤ 2 จึงได x = 0.2 เทานั้น สงผลให y = 12 ((0.2) - 1) = -0.48 เพราะวา sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a) = x(1 - y) 3 3 ∴ 125(sin a + cos a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 37 - 36 3 3 125(sin a + cos a) + 75 sin a cos a = 1 โจทยตรีโกณประยุกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) Peach-Pb1.2 (แนวPAT1’ต.ค.55) สําหรับ จํานวนจริง θ ใดๆ ให a และ b เปนคามากที่สุดของ cos4 θ - sin4 θ และ 3 ⋅ sin θ + 4 ⋅ cos θ ตามลําดับ จงหาคาของ a + b ตอบ ................. Tips จากครู Sup’k

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (191)


สูตร 22.1! สูตร ผลบวก ผลตาง → ผลคูณ sin A + sin B = 2 sin  A 2+ B  cos  A 2- B  = 2 sin (half sum) cos (half diff) sin A - sin B = 2 cos  A 2+ B  sin  A 2- B  = 2 cos (half sum) sin (half diff) cos A + cos B = 2 cos  A 2+ B  cos  A 2- B  = 2 cos (half sum) cos (half diff) cos A - cos B = -2 sin  A 2+ B  sin  A 2- B  = -2 sin (half sum) sin (half diff) สูตร 23.1! สูตร ผลคูณ → ผลบวก ผลตาง 2 sin A cos B 2 cos A sin B 2 cos A cos B -2 sin A sin B

= = = =

sin (A + B) + sin (A - B) sin (A + B) - sin (A - B) cos (A + B) + cos (A - B) cos (A + B) - cos (A - B)

= = = =

sin (sum) + sin (diff) ก sin (sum) - sin (diff) ก cos (sum) + cos (diff) cos (sum) - cos (diff)

Peach-Pb2.22 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพิจารณาความถูก ผิดของขอความตอไปนี้ ก. cos π5 + cos 35π + cos π = 12 Tips จากครู Sup’k

ข. tan 716π + tan 38π = cosec π8

ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

คณิตศาสตร (192) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สูตร 35.2! ระวังเงื่อนไขของ x ดวย arcsin (-x) = -arcsin x arccos (-x) = π - arccos x arctan (-x) = -arctan x arccot (-x) = π - arccot x arccosec (-x) = -arccosec x arcsec (-x) = π - arcsec x สูตร 2.1 !! arcsin (sin x) = arccos (cos x) = arctan (tan x) = arccot (cot x) = arccosec (cosec x) = arcsec (sec x)

สูตร 35.2! ระวังเงื่อนไขของ x ดวย arcsin 1x = arccosec x = arcsec x arccos 1x arctan 1x = arccot x arccot 1x = arctan x arccosec 1x = arcsin x arcsec 1x = arccos x

x เมื่อ – π2 ≤ x ≤ π2 x เมื่อ 0 ≤ x ≤ π x เมื่อ – π2 < x < π2 x เมื่อ 0 < x < π x เมื่อ x ∈ -π2 , 0  U  0, π2  

= x เมื่อ x ∈ 0, π2  U  π2 , π  

สูตร 3.1!! arctan x + arctan y = arctan 1x-+xyy เมื่อ - π2 < arctan x + arctan y < π2 สูตร 3.2!! arctan x + arctan y = arctan 1x-+xyy + π เมื่อ π2 < arctan x + arctan y สูตร 3.3!! arctan x + arctan y = 1x-+xyy – π เมื่อ arctan x + arctan y < - π2 โจทยตรีโกณประยุกต แนวอินเวอรสตรีโกณ tan  arccot 51 - arccot 13 + arctan 79  ตอบ ............................... BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา 5 + arctan 12  sin  arcsin 13 13 

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (193)


Peach-Pb1.26 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงหาคาของ sec2  2 ⋅ arctan 13 + arctan 71 

ตอบ ...............................

    

2 2 )   มีคาเทากับเทาใด MEP-Pb1.3 (แนวสามัญ’ป55) cos arcsin sec (2 arctan 11     

ต���บ ...............................

Sup’k Tips I

Sup’k Tips II

โจทยตรีโกณประยุกต แนวสมการอินเวอรสตรีโกณ Peach-Pb2.39 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให arcsec x = 2 ⋅ arccos 2 - arcsin 1 5 17 แลวจงหาคาของ cot  π2 + arcsec x  1) - 13 9 13 2) 9 13 3) - 16 13 4) 16

คณิตศาสตร (194) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จํานวนคําตอบที่แตกตางกันของสมการ arcsin x = 2 arccos x มีกี่คา 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = π2 แลว tan (arcsin x) มีคาเทาใด 1) 51 3) 13 2) 1 4) 1 5 3 π FPAT-Pb88 (PAT1’มี.ค.52) ให –1 ≤ x ≤ 1 เปนจํานวนจริง ซึ่ง arccos x – arcsin x = 2552 π  เทากับขอใดตอไปนี้ แลวคาของ sin  2552 

2) 1 – 2x2 4) –2x

1) 2x 3) 2x2 – 1

SheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจํานวนจริง ถา arcsin x = π4 π + arccos (x2 )  อยูในชวงใดตอไปนี้ แลวคาของ sin  15    2)  12, 1  2    4)  23 , 1   

1)  0, 12  3)

   

1 , 3  2 2 

KAiOU-Pb2.4 (PAT1’มี.ค.53) ให α และ β เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 

 โดยที่ tan α = ab ถา cos  arcsin  

แลว sin β มีคาเทากับเทาใด

a

    

    

a

    

+ sin arccos =1 a 2 + b2 a 2 + b2 ตอบ..................................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (195)


NaDate-Pb1.10 (PAT1’มี.ค.56) ถา x เปนจํานวนจริงที่มากสุด โดยที่ 0 < x < 1 1  = 2 arcsec 1 + 2x(1 - x) แลวคาของ cos πx และสอดคลองกับ arctan (1 - x) + arccot  2x  ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) -1 Tips จากครู Sup’k 2) 0 3) 12 4) 23

NaDate-Pb2.32 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให 0 < θ < π2   โดยที่ θ = arctan  x + 1  - arctan x เมื่อ 0 < x < 1 1- x  คาของ tan θ + cot θ เทากับเทาใด ตอบ..................................

คณิตศาสตร (196) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


สูตร 42.1! สูตรของพื้นที่สามเหลี่ยม A

b ซม.

C

c ซม. a ซม.

พื้นที่ ∆ ABC = 12 a ⋅ b ⋅ sin พื้นที่ ∆ ABC = 12 b ⋅ c ⋅ sin พื้นที่ ∆ ABC = 12 a ⋅ c ⋅ sin

Cˆ Aˆ Bˆ

B

สูตร 42.21! กฎของ sin A b ซม.

C

c ซม. a ซม.

กฎของ sin a = b = c sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ

B

สูตร 42.3! กฎของ cos A b ซม.

C

c ซม. a ซม.

กฎของ cos a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ bc ⋅ cos A b2 = a2 + c2 - 2 ⋅ ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 - 2 ⋅ ab ⋅ cos C

B

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (197)


โจทยตรีโกณประยุกต แนวกฎของ sin A

BRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ดังรูป ถา ABˆ C = 30°, BAˆ C = 135° และ AD และ AE แบง BAˆ C ออกเปน 3 สวนเทาๆ กัน แลว EC BC มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 3 B 3 4) 2 3) 1 2

D

แนวคิด ใน ∆ABC จะได ACˆ B = 180° - 135° - 30° = 15°

โดยกฎของไซน ได

E

A 45°

sin 30o = sin 135o AC BC 1 1 2(AC) = 2 (BC) BC = 2 (AC)

B

30°

45°

D

120° 15° C E

o ใน ∆ACE จะได CAˆ E = 1353 = 45° และ AEˆ C = 180° - 45° - 15° = 120°

โดยกฎของไซนได

C

sin 120o AC 3 2(AC)

o = sinEC45 1 = 2 (EC) 2 (AC) EC = 3 1 EC = BC → ∴ EC BC = 3 3

คณิตศาสตร (198) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


NaDate-Pb1.16 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถาดานตรงขามมุม A ยาว 14 หนวย ความยาวของเสนรอบรูปสามเหลี่ยมเทากับ 30 หนวย และ 3 sin B = 5 sin C แลว sin 2A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) - 12 Tips จากครู Sup’k 2) - 23 3) 12 4) 23

โจทยตรีโกณประยุกตเพิ่มเติม แนวกฎของ sin FPAT-Pb91 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เทากับ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos(2B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 14 2) 12 4) 34 3) 23 FPAT-Pb92 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม และ D เปนจุดบนดาน BC ที่ทําให BD = 2 แลวคาของ sin Bˆ เทากับขอใดตอไปนี้ BAˆ D = CAˆ D ถา CD sin Cˆ 1 2) 1 1) 2 3) 32 4) 2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (199)


โจทยตรีโกณประยุกตเพิ่มเติม แนวกฎของ cos Duem-Pb2.8 (แนวPAT1’ธ.ค.54) กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีดานตรงขามมุม A, B, C ยาว a, b, c ตามลําดับ และ (sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C

จงหาคาของ 3 cosec2 B + 3 sec2 B ตอบ ...................

Tips จากครู Sup’k

Peach–Pb2.8 (แนวPAT1’ต.ค.55) ใหสามเหลี่ยม ABC รูปหนึง่ มีดานตรงขามมุม A, B, C ยาว a, b, c หนวย ตามลําดับ ถา a 1+ c + b 1+ c = a + 3b + c แลว sin C มีคาเทากับเทาใดตอไปนี้ 3 1) 12 2) 22 3) 2 4) 1 SheLL1.7 (PAT1’ก.ค.53) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม B และมุม C ตามลําดับ แลว 1a cos A + 1b cos B + 1c cos C เทากับขอใดตอไปนี้ 2 b2 + c2 1) a +2abc

b + c)2 2) (a + abc

b + c)2 3) (a +2abc

2 b2 + c2 4) a + abc

KMK-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2(BC) + 2(AC) แลว cot C มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 12 3) 1 4) 3 3

คณิตศาสตร (200) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


ลําดับ และ อนุกรม สูตร ลําดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1) ⋅ d เมื่อ d คือ ผลตางรวมคงที่ ¾

สูตร ลําดับเรขาคณิต an = a1 ⋅ rn – 1 เมื่อ d คือ ผลตางรวมคงที่

อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากลําดับเลขคณิต กําหนดให Sn คือ ผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต

Sn = n2 [2a1 + (n - 1)d]

สูตร 6.1!! อนุกรมเรขาคณิต n พจน a (1 - r n ) Sn = 1(1 - r)

Sn = n2 [a1 + an] = n2 ⋅ [a2 + an-1] = ...

สูตร 6.1!! อนุกรมเรขาคณิต อนันตพจน a Sn = 1 -1 r เมื่อ –1 < r < 1

โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตู รพื้นฐาน NaDate-Pb2.36 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให a1, a2, a3, a4, a5 และ b1, b2, b3, b4, b5, b6 เปนลําดับเลข คณิตของจํานวนจริงบวก โดยที่ a1 = b2 , a5 = b5 และ a1 ≠ a5 (b - b ) + (b - b ) ถา 6 a4 - a 6 1 = xy เมื่อ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากับ 1 แลว x2 + y2 เทากับเทาใด 4

2

ตอบ........................................ โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตู รพื้นฐาน VS หารลงตัว, หารไมลงตัว TF-PAT33 (PAT1’ก.ค.52) จํานวนเต็มตั้งแต 100 ถึง 999 ที่หารดวย 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว มีทั้งหมดกี่จํานวน 1) 260 2) 293 3) 300 4) 313 โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตู ร an = Sn - Sn-1 *SheLL2.35 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง βn - 7 นิยามโดย an = n + 2 สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ {an} เปนจํานวนเทากับ a108 a มีคาเทากับเทาใด ตอบ............................. แลว nlim →∞ n โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (201)


โจทยปญหาเชาวนลําดับเลขคณิต แนวตัวเลขในตาราง SheLL1.25 (PAT1’ก.ค.53) พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางตอไปนี้ แถวที่ 1 แถวที่ 2 แถวที่ 3 แถวที่ 4 แถวที่ 5 ...

1

3 5 7 9 11 13 15 17 19 ... ... ... ... ... ... ...

จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูในตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยูที่ตําแหนงใดและในแถวที่เทาใด 1) ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2) ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3) ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4) ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21 โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตู รพื้นฐานแนวใหม  a n - a1    =5 TF-PAT36 (PAT1’ก.ค.52) ถา an เปนลําดับเลขคณิต ที่สอดคลองกับ nlim →∞  n 

และ a9 + a5 = 100 แลวคาของ a100 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 495 2) 515 3) 530 4) ตัวเลือก 1) ถึง 3) ไมมีตัวเลือกใดถูกตองเลย  2 2  an +1 - an  KMK-Pb2.15 (PAT1’ต.ค.52) ถา an เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง nlim n  = 4 →∞  

แลว

a 17 - a 9 มีคาเทาใด 2

ตอบ.........................

BRAN-Pb2.38 (PAT1’ต.ค.53) บทนิยาม ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง

เรียกพจน an วาพจนคู ถา n เปนจํานวนคู และ เรียกพจน an วาพจนคี่ ถา n เปนจํานวนคี่ กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยที่มีจํานวนพจนเปนจํานวนคูและผลบวกของพจนคี่ทั้งหมดเทากับ 36 และผลบวกของพจนคูทั้งหมดเทากับ 56 ถาพจนสุดทายมากกวาพจนแรกเปนจํานวนเทากับ 38 แลวลําดับ เลขคณิต {an} นี้ มีทั้งหมดกี่พจน ตอบ.........................

คณิตศาสตร (202) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยลําดับเรขาคณิต แนวพื้นฐาน NaDate-Pb3.34 (PAT1’มี.ค.56) ให a1, a2, a3, ... an, ... เปนลําดับเรขาคณิตของจํานวนจริงบวกโดยมี r เปน a +a a +a a +a a +a อัตราสวนรวม และ a 1 + a 3 + a 3 + a 5 + a 5 + a 7 + ... + a 2011 + a 2013 = 2012 2 4 2012 2014 4 6 6 8 2 3 ตอบ............................... คาของ 1 + 5r + 12r + 22r + ... เทากับเทาใด Peach-Pb1.4 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให f(x) = x3 – 26x2 + bx – 216 เมื่อ b เปนจํานวนจริง ถา a1, a2, a3 เปนจํานวนจริงที่เรียงกันเปนลําดับเรขาคณิต และเปนรากของสมการ f(x) = 0 ตอบ............................... แลวจงหาคาของ f′(1) SheLL1.17 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลําดับเลขคณิต แลวคา r เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 14 2) 13 3) 12 4) 2 โจทยลําดับเรขาคณิต แนวเทคนิคสมมติพจน BRAN-Pb2.49 (PAT1’ต.ค.53) ถาผลคูณของลําดับเรขาคณิต 3 ���ํานวนที่เรียงติดกัน เทากับ 343 และผลบวก ของทั้งสามจํานวนนี้เทากับ 57 แลวคามากที่สุดในบรรดา 3 จํานวนนี้ เทากับเทาใด ตอบ....................... โจทยลําดับเรขาคณิต แนวใชสูตรพื้นฐานแนวใหม a *TF-PAT38(PAT1’มี.ค.52) ให an เปนลําดับที่สอดคลองกับ an + 2 = 2 สําหรับทุกจํานวนนับ n n 10

2552

n =1

n =1

ถา ∑ a n = 31 แลว ∑ a n เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21275 – 1

2) 21276 – 1

3) 22551 – 1

4) 22552 – 1

โจทยลําดับอนุกรมเลขคณิต แนวใชสูตรหลากหลาย BRAN-Pb1.17 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยมีสมบัติ ดังนี้ (ก) a15 – a13 = 3 (ข) ผลบวก m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 325 (ค) ผลบวก 4m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 4900 แลวพจน a2m เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 61 2) 121 3) 125 4) 119 2 2 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (203)


โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวใชสูตรพื้นฐาน VS ลิมิต SheLL2.40 (PAT1’ก.ค.53) ให k เปนคาคงที่ k(n 5 + n) + 3n 4 + 2 = 15 + 6 + 12 + ... + 15  2  n-1 + ... และถา nlim 5 5 →∞ (n + 2)5 ตอบ....................... แลว k มีคาเทาใด    ab  n 2 b + 1 = 1 แลวจงหาผลบวกของอนุกรม ∞ TF-PAT40 (PAT1’มี.ค.52) ถา nlim ∑   →∞ 2n 2 a - 1 n = 1  a 2 + b2  1) 13 2) 23 3) 1 4) หาคาไมได 

1  1 + 3 + 7 + ... + 2n - 1  เทากับเทาใด *TF-PAT42 (B-PAT1’ต.ค.51) คาของ nlim   4 8 →∞ n + 1  2 2n   1) 1

2) 2

3) 0

4) หาคาไมได

โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวอนุกรม VS ตรีโกณ Peach-Pb1.19 (แนวPAT1’ต.ค.55)

ให an = sin  n ⋅ π - π2  - cos n ⋅ π สําหรับ n = 1, 2, 3, ...

สูตร

และ bn = 6 ⋅ cos  2n ⋅ π - π3  สําหรับ n = 1, 2, 3, ...  a n a1  a2  2  a 3  3 แลวจงหาคาของ b +  b  +  b  + ... +  bn  + ... 1  2  3  n

ตอบ .................................

คณิตศาสตร (204) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

n


BRAN-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.53) ให T(x) = sin x – cos2 x + sin3 x – cos4 x + sin5 x – cos6 x + ... แลวคาของ 3T  π3  เทากับขอใดตอไปนี้

1) 4 3 – 1

2) 5 3 – 1

3) 6 3 – 1

4) 7 3 – 1

โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวอนุกรมเรขา ผสม อนุกรมเรขา ∞

  4 +  n = 1  2n + 1

TF-PAT39 (B-PATต.ค.51) ผลบวกของอนุกรม ∑

1) 13 18

40 2) 18

33 3) 27

2n  มีคาเทาใด 3n + 2 

4) 56 27

33 + ... + 3n + 2n - 2 + ... KAiOU-Pb1.17 (PAT1’มี.ค.53) จงหาผลบวกของอนุกรม 3 + 11 + 4 16 4 n-1 1) 20 2) 29 3) 31 4) 40 3 3 3 3 โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวใชสูตรพื้นฐาน แบบ เซอรไพส

*TF-PAT45 (PAT1’มี.ค.52) ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่ง ∑ a n = 4 แลวคามากที่สุดที่ เปนไปไดของ a2 เทากับใดตอไปนี้ 1) 4 3) 1

n =1

2) 2 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มีคามากไดอยางไมมีขีดจํากัด

โจทยลําดับเวียนบังเกิด แนวแทนคาดูแนวโนม BRAN-Pb2.39 (PAT1’ต.ค.53) ให {bn} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ 1+b b1 = –3 และ bn+1 = 1 - b n สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ b1000 เทากับเทาใด ตอบ....................... n

โจทยลําดับเวียนบังเกิด แนวใชเทคนิคผลตาง *BRAN-Pb2.30 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจํานวนเต็ม และให f : I → I เปนฟงกชัน โดยที่ f(n + 1) = f(n) + 3n + 2 สําหรับ n ∈ I ถา f(–100) = 15000 แลว f(0) เทากับเทาใด ตอบ.......................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (205)


โจทยลําดับเวียนบังเกิด แนวอนุกรมใหมๆ ไมเคยเห็น **BRAN-Pb2.37 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 = 2 และ an =  nn -+ 11  (a1 + a2 + ... + an-1) สําหรับ n = 2, 3, ... n แลวคาของ nlim เทากับเทาใด ตอบ....................... →∞ a 1 + a 2 + ... + a n

**SheLL2.34 (PAT1’ก.ค.53) ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... n2an มีคาเทากับเทาใด ตอบ....................... ถา a1 = 100 แลว nlim →∞ โจทยอนุกรมสูตร ∑ in สูตรหลัก 3 สูตร ¾

n สูตร3.1!! ∑ i = n(n2+ 1) i =1

เชน 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n2+ 1)

สูตรหลัก 3 สูตร ¾

สูตร3.2!!

n 2 ∑i i =1

สูตรหลัก 3 สูตร ¾

สูตร3.3!!

n 3 ∑i i =1

+ 1) = n(n + 1)(2n 6

2 =  n(n 2+ 1) 

+ 1) เชน 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n 6

2 เชน 13 + 23 + 33 + ... + n3 =  n(n 2+ 1) 

*NichTor-Pb4.1 (ดักแนว PAT1’55) จงหาจํานวนเต็มบวก n ที่ทําให 105x5 + 25x + 1 13 + 23 + 33 + 4 3 + 5 3 + ... + n 3 = lim 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) x → ∞ 136x5 - 39x 3 - 42x 2 - 1 ตอบ.............................. วิธีลัด

Tips จากครู Sup’k

คณิตศาสตร (206) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


NichTor-Pb4.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) จงหาจํานวนเต็มบวก n ที่ทําให 12 + 22 + 32 + 4 2 + 5 2 + ... + n 2 = 231 ตอบ.............................. 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) 238 NichTor-Pb4.2 ตอบ 49 วิธีลัด ฟงที่ ครูSup’k สอนในหอประชุม ติว Brand’s Summer Camp วิธีจริง ขั้นที่ 1

+ 1) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n 6

เพราะวา และ

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) = = =

n ∑ i(i + 1) i =1 n 2 ∑ (i + i) i =1 n 2 n ∑i + ∑i i =1 i =1

+ 1) = n(n + 1)(2n + n(n2+ 1) 6 = n(n2+ 1)  2n3+ 1 + 1  + 2) = n(n + 1)(n 3

ขั้นที่ 2

จากสมการ จะได

12 + 22 + 32 + 4 2 + 5 2 + ... + n 2 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) 3n(n + 1)(2n + 1) 6n(n + 1)(n + 2) (2n + 1) 2 ⋅ (n + 2) 238 ⋅ (2n + 1) 476n + 238 14n n

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

231 = 238 231 = 238 231 = 238 = 231 ⋅ 2 ⋅ (n + 2) = 462n + 924 = 686 = 49

__________________________________ คณิตศาสตร (207)


KAiOU-Pb2.10 (PAT1’มี.ค.53) ถา {an} เปนลําดับของจํานวนจริงที่ an = 2 + 4 + 6 2+ ... + 2n n an มีคาเทาใด ตอบ....................... สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n แลว nlim →∞ Peach-Pb2.27 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให an = 2 + 4 + 6 + … + 2n สําหรับ n = 1, 2, 3, ...    2 + 3 + 4 + ... + n + 1  bn = a1 + a2 + a3 + … + an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... จงหาคาของ nlim b2 b3 bn  →∞  b1 ตอบ ......................... NaDate-Pb2.37 (PAT1’มี.ค.56) สําหรับ n = 2, 3, 4, ... ให an = 1 + 2 + 3 + ... + n a 2 a 3 a 4 ... a n คาของ nlim เทากับเทาใด →∞ (a 2 - 1)(a 3 - 1)(a 4 - 1) ... (a n - 1) ตอบ ......................... SheLL1.23 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดอนุกรมตอไปนี้ 1000

20

100

k A = ∑ (-1) k , B = ∑ k 2 , C = ∑ k , D = ∑ 2 12  k =1 k =1 k =3 k =1

คาของ A + B + C + D เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7917 2) 7919

3) 7920

4) 7922

 nk  มีคาเปนจํานวนจริงบวก แลว จงหา L 3  1 + 8 + 27 + ... + n  3) 4 4) 8

 TF-PAT41 (PAT1’ก.ค.52) ถา L = nlim →∞ 

1) 1

2) 2 

3 

 3n + 12n + 27n + ... + 3n KMK-Pb2.16 (PAT1’ต.ค.52) nlim →∞  1 + 8 + 27 + ... + n3  ตอบ.......................

 

มีคาเทาใด

คณิตศาสตร (208) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


โจทยอนุกรมอนันตเทเลสโคปก แนวสวนกลับของผลคูณเลขเรียงติดกัน VS แนวใชเทคนิคผลตาง NaDate-Pb1.18 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ an = 4 + 8 + 121 + ... + 4n สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ผลบวกของอนุกรม a1 + a2 + a3 + ... เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 4) 2 3) 32 2) 34 ∞ TF-PAT43 (B-PAT1’ต.ค.51) ผลบวกของอนุกรม ∑ 2 1 มีคาเทาใด n =3 n - 4 1) 14 2) 25 3) 25 12 48

4) หาคาไมได

BRAN-Pb2.41 (PAT1’ต.ค.53) ให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สําหรับ k = 1, 2, 3, ... 

 1 คาของ nlim  →∞  S 1 

+

1 S2

+

1 + ... + 1  เทากับเทาใด ตอบ....................... S n  S3

∞ ∞ **TF-PAT44 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = ∑ 4 1 2 แลว ∑ 12 มีคาเทากับเทาใด n =2 n - n n =2 n 1) 34 + S 4) 54 – S 2) 54 + S 3) 34 – S

โจทยอนุกรมอนันตเทเลสโคปก แนวรูด VS แนวใชเทคนิคผลตาง n

   1 **KAiOU-Pb2.11 (PAT1’มี.ค.53) ให Sn = ∑   เมื่อ n = 1, 2, 3, ... + k (k + 1) + k k 1  k =1 Sn เทากับเทาใด ตอบ....................... แลวคาของ nlim →∞

9999

*BRAN-Pb2.40 (PAT1’ต.ค.53) คาของ ∑

n =1 (

n+

1 เทากับเทาใด n + 1 )( 4 n + 4 n + 1 )

ตอบ.......................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (209)


โจทยอนุกรมอนันตเทเลสโคปก แนวโจทยใหมๆ ไมเคยเห็น VS แนวใชเทคนิคผลตาง 2 2 **SheLL2.39 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให an = 1 +  1 + n1  + 1 +  1 - n1 

สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 + a1 + a1 + ... + a1 เทากับเทาใด ตอบ....................... 1 2 3 20

**BRAN-Pb1.16 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง n k2 โดยที่ an = ∑ (2k - 1)(2k สําหรับ n = 1, 2, 3, ... + 1) k =1 lim 16 a เทากับขอใดตอไปนี้ n →∞ n n 3) 8 1) 4 2) 16 3

4) 16

ลําดับ และ อนุกรม : แนว check นิยาม convergent, divergent *KMK-Pb1.14 (PAT1’ต.ค.52) พิจารณาขอความตอไปนี้ ∞

ก. ถาลําดับ an ลูเขา แลว อนุกรม ∑ a n ลูเขา ข. ถาอนุกรม

∞ ∑ an n =1

ขอใดตอไปนีเ้ ปนจริง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก

n =1

ลูเขา แลว อนุกรม ∑  1 + ann  ลูเขา n =1  2  2) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

คณิตศาสตร (210) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เก็งขอสอบ โดย ครู Sup’k FORSU-Pb1.1 ในตารางขางลางนี้ ถาผลบวกของแตละแถว ผลบวกของแตละหลัก และผลบวกของแนวทแยงมุมทั้งสองเทากันหมด จงหาคาของ a + b + c + d + e + f

a b 6 c d e f 7 2 ตอบ .............................. FORSU-Pb1.2 ถา x เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ log(x + 1) = 3 log 2 และ y เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ 2y = 18 แลว x + y มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 4 4) 5 FORSU-Pb1.3 กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ 3x = 2x2 และ B = {2x|x ∈ A} แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต B มีคาเทากับเทาใด ตอบ .............................. FORSU-Pb1.4 กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ถา (p ∧ q) → (r ∨ s) มีคาความจริงเปนเท็จ แลวประพจนในขอใดตอไปนี้มีความจริงเปนจริง 1) ~(p → s) 2) p ∧ r 3) ~(r → q) 4) q ↔ s FORSU-Pb1.5 ใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนคี่ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. ∀x∃y[x + 3y = 4] 2. ∀x∀y[2|x-y|เปนจํานวนคู] ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ขอ 1. เปนจริง และ ขอ 2. เปนจริง 2) ขอ 1. เปนจริง และ ขอ 2. เปนเท็จ 3) ขอ 1. เปนเท็จ และ ขอ 2. เปนจริง 4) ขอ 1. เปนเท็จ และ ขอ 2. เปนเท็จ FORSU-Pb1.6 กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 3-|-1 2x - x| ≥ 0 ขอใดตอไปนีถ้ ูก 2) A′ ⊂ (-∞, 0) 1) A′ I [2, 3) ≠ ∅ 4) A ⊂ (1, ∞) 3) A I (1, 2) = ∅

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (211)


FORSU-Pb1.7 จงหาผลบวกของสมาชิกใน A เมื่อ A = {a ∈ I+|a ≥ 3 และ a - 2 เปนตัวประกอบของ 3a2 - 2a + 10} ตอบ .............................. FORSU-Pb1.8 ให C1, C2 และ C เปนวงกลมที่มีสมการ ดังนี้ C1 : x2 + y2 - 2x + 2y - 7 = 0 C2 : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 C : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ถา C ผานจุดตัดของ C1 กับ C2 และผานจุด (0, 0) จงหา D + E + F ตอบ .............................. FORSU-Pb1.9 ให C เปนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 = 4 และ l เปนเสนสัมผัสวงกลม C ที่จุดในจตุภาค (Quadrant) ที่ 1 และ l ผานจุด (5, 0) จงหาความชันของ l ตอบ .............................. 2 2 FORSU-Pb1.10 ถา F1 และ F2 เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลา (y -520) - (x +411) = 1 แลว สวนของเสนตรง F1F2 มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 หนวย 2) 2 หนวย 3) 3 หนวย 4) 5 หนวย

FORSU-Pb1.11 ให m เปนคําตอบของสมการ f(m) = 14 เมื่อ f(x) = 2 x x + 3x + 1 2 แลว จงหา 4 ⋅ f(m ) เทากับเทาไร ตอบ .............................. FORSU-Pb1.12 ถา f = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (5, 2)} g = {(1, 2), (2, 3), (4, 1), (5, 4)} และ h = {(2, 4), (3, 1), (4, 2), (5, 1)} แลว (fog) + h เทากับขอใดตอไปนี้ 1) {(2, 5), (4, 5)} 2) {(2, 5), (4, 4)} 3) {(2, 3), (4, 5)} 4) {(2, 11), (3, 2), (4, 3), (5, 7)}

คณิตศาสตร (212) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


FORSU-Pb1.13 ถา x และ y เปนจํานวนจริงซึ่ง arcsin (x + y) + arccos (x - y) = π แลวขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) x2 + y2 = 12 2) x2 + y2 = 1 3) x2 - y2 = 12 4) x2 - y2 = 1 FORSU-Pb1.14 กําหนดให A เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n × n และ A ≠ 0 เมื่อ 0 แทนเมทริกซศูนย ถา A2 - 2A = 0 แลวจงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. A เปนเมทริกซไมเอกฐาน 2. det (A) เปนจํานวนเต็มคู ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1) ขอ 1. เปนจริง และขอ 2. เปนจริง 2) ขอ 1. เปนจริง และขอ 2. เปนเท็จ 3) ขอ 1. เปนเท็จ และขอ 2. เปนจริง 4) ขอ 1. เปนเท็จ และขอ 2. เปนเท็จ 1 , n = 1, 2, 3, ..., 2009 และ a = 1 1 1 + a1 n จงหา a1a2 + a2a3 + ... + a2009a2010 ตอบ ..............................

FORSU-Pb1.15 ให an+1 =

FORSU-Pb1.16 ให a เปนจํานวนเต็มบวก กําหนดให f(1) = a และ f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n) เมื่อ n > 1 จงหา a ทีน่ อยที่สุดที่ทําให f(100) เปนจํานวนเต็ม ตอบ .............................. *FORSU-Pb2.17 a tan 20° + 4 sin 20° ถา sin 20 ° + sin 40° + sin 80° = b sin 20° + c cos 20° แลว a + b - c มีคาเทาใด ตอบ .............................. *FORSU-Pb2.18 8  กําหนดให C = arcsin  53  + arccot  53  - arctan  19   1   1  ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ arccot  2x  + arccot  3x  = C

แลวผลคูณของสมาชิกใน A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) - 14 2) 14

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

3) - 61

4) 61

__________________________________ คณิตศาสตร (213)


*NichTor-Pb2.18 ถา 1 + 1 +6 x + 15 2 + 28 3 + ... = 27 4 แลว x มีคาเทาใด (1 + x) (1 + x) ตอบ .............................. Peachkun-Pb3.19 สับเซต A ของ ในขอใดตอไปนี้ที่ทําใหประพจน ∀x ∈ A[x2(x4 - 3x2 + 1) < 3] มีคาความจริงเปนจริง 2) (-2, -1) 3) (-1, 0) 1) (-3, -2)

4) (1, 2)

Peachkun-Pb3.20 ถา A = {x ||3 - 2x| - |3x - 7| ≥ 0} และ A = [a, b] แลวจงหาคาของ a2 + 5b ตอบ .............................. 2 2 Peachkun-Pb3.21 ถาจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x2 + y7 = 1 เปนจุดเดียวกันกับจุดโฟกัสทั้งสองของ a x 2 - y 2 = 1 แลว a2 มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้ ไฮเพอรโบลา 144 81 25 4) 1432 1) 9 2) 16 3) 344 25

Peachkun-Pb3.22 ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ 32x+1 + 2x+1 = 6x + 2 ⋅ (3x+1) a ⋅b โดยที่ a ≠ b แลว  32  มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้ 2) 13 1) 61 4) 2 3) 12     Peachkun-Pb3.23 ถา At = 1 -a a 1-+aa  เมื่อ a เปนจํานวนจริง และ I = 01 01      แลวจงหา 3 det(A - 2 ⋅ I) ⋅ det(A - 3 ⋅ I) ⋅ det(A - 5 ⋅ I) ⋅ det(A - 7 ⋅ I) 1) 3 48 - 13a 2) 3 17a 3) 3 17 4) 3 48 5) 3 (a - 2 )(a - 3 )(a - 5 )(a - 7 )

คณิตศาสตร (214) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


*Peachkun-Pb3.24 จงหาคาของ ตอบ ..............................

1

cos2

10°

+

1

sin2

20°

+

1

sin2

40°

Peachkun-Pb3.25 กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย a1, a2, a3, ..., a91 n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกคู ถา an = 3 + 4n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกคี่ มัธยฐานของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 63 2) 68 3) 71 4) 74 5) 76 n

Peachkun-Pb3.26 กําหนดให an = ∑ k(k + 1)(k + 2)

และ bn =

n ∑ (2k - 1) 2 k =1

k =1

3nb n + n 2 an n →∞

จงหาคาของ lim

ตอบ ..............................

*Peachkun-Pb3.27 นิยาม ลําดับ (an) โดย a1 = 1 และสําหรับจํานวนเต็ม n ≥ 1 ให an และ an+1 เปนจํานวนจริงซึ่งทําใหสมการในตัวแปร x 2 arcsin (x + an+1) = 2π - arccos (x + an) ∞ มีคําตอบที่เปนจํานวนจริง จงหาคาของ ∑ a a1 n =1 n n +1 ตอบ ..............................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (215)


เฉลยคําตอบ ชีทติวแบรนดซัมเมอรแคมป ในสวนของครู Sup’k SheLL2.46 ตอบ x = 3 SheLL2.47 ตอบ x = 9 NaDate-Pb2.48 ตอบ 10 SheLL2.4 ตอบ x = 3 BRAN-Pb1.25 ตอบ 1) TF-PAT119 ตอบ 4) TF-PAT120 ตอบ 2) TF-PAT123 ตอบ 3) TF-PAT124 ตอบ 3) BRAN-Pb1.20 ตอบ 4) KAiOU-Pb1.24 ตอบ 4) SheLL2.49 ตอบ 208 NaDate-Pb2.49 ตอบ 6 QET-G-Pb26.1 ตอบ 4) QET-G-Pb23.2 ตอบ 1) QET-G-Pb23.3 ตอบ 4) VetaNaDate-Pb1.25 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.22 ตอบ 3) SheLL1.24 ตอบ 4) DiAMK-Pb1.25 ตอบ 2) SheLL1.10 ตอบ 1) DiAMK-Pb1.2 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.11 ตอบ 2) Sup’k-Pb2.29.1 ตอบ 2 ตัว Sup’k-Pb2.29.2 ตอบ 2 ตัว FPAT-Pb14 ตอบ 2) FPAT-Pb1 ตอบ 1) FPAT-Pb3 ตอบ 2) SheLL1.11 ตอบ 2) AVATAR-Pb5.1 ตอบ 2) KMK-Pb1.8 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.12 ตอบ 2) FPAT-Pb4 ตอบ 3) NaDate-Pb2.27 ตอบ 20 NaDate-Pb2.30 ตอบ 4 BRAN-Pb2.27 ตอบ 13 KAiOU-Pb2.2 ตอบ 5 SheLL2.27 ตอบ 2 SheLL1.14 ตอบ 2) FPAT-Pb9 ตอบ 1) FPAT-Pb8 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.10 ตอบ 1) FPAT-Pb7 ตอบ 4) BRAN-Pb1.11 ตอบ 1) FPAT-Pb11 ตอบ 3) NaDate-Pb2.29 ตอบ 5 KMK-Pb 2.10 ตอบ 4 FPAT-Pb12 ตอบ 3) KMK-Pb2.9 ตอบ 6 NaDate-Pb1.12 ตอบ 3) SheLL1.1 ตอบ 2) KMK-Pb1.2 ตอบ 1) FPAT-Pb17 ตอบ 2) FPAT-Pb18 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.1 ตอบ 4) NaDate-Pb1.3 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.2 ตอบ 3) FPAT-Pb21 ตอบ 4) KMK-Pb1.1 ตอบ 4) FPAT-Pb22 ตอบ 1) FPAT-Pb32 ตอบ 2) FPAT-Pb34 ตอบ 1) FPAT-Pb35 ตอบ 2) FPAT-Pb36 ตอบ 4) FPAT-Pb37 ตอบ 4) KMK-Pb1.4 ตอบ 1) FPAT-Pb39 ตอบ 1) FPAT-Pb41 ตอบ 1) FPAT-Pb43 ตอบ 3) FPAT-Pb42 ตอบ 1) KMK-Pb1.5 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.4 ตอบ 1) BRAN-Pb1.3 ตอบ 4) FPAT-Pb46 ตอบ 4) FPAT-Pb45 ตอบ 2) SheLL1.4 ตอบ 3) NaDate-Pb1.4 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.15 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.9 ตอบ 4) FPAT-Pb49 ตอบ 1) SheLL1.9 ตอบ 2) BRAN-Pb1.8 ตอบ 4) NaDate-Pb1.8 ตอบ 4) KMK-Pb1.9 ตอบ 2) BRAN-Pb2.34 ตอบ 17 FPAT-Pb50 ตอบ 1) FPAT-Pb52 ตอบ 4) KMK-Pb2.7 ตอบ 5.5 FPAT-Pb54 ตอบ 1) FPAT-Pb55 ตอบ 4) FPAT-Pb56 ตอบ 3) KMK-Pb 2.8 ตอบ 8 KMK-Pb1.6 ตอบ 4) FPAT-Pb57 ตอบ 3) FPAT-Pb58 ตอบ 4) FPAT-Pb59 ตอบ 1) NaDate-Pb2.31 ตอบ 162 KMK-Pb1.10 ตอบ 1) FPAT-Pb62 ตอบ 4) FPAT-Pb63 ตอบ 1) FPAT-Pb64 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.8 ตอบ 3) SheLL1.8 ตอบ 1) NaDate-Pb1.17 ตอบ 4) FPAT-Pb77 ตอบ 1) FPAT-Pb78 ตอบ 1) FPAT-Pb75 ตอบ 1) FPAT-Pb70 ตอบ 2) PAT-Pb71 ตอบ 3) FPAT-Pb72 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.6 ตอบ 4) FPAT-Pb65 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.13 ตอบ 1) AVATAR-Pb6.1 ตอบ f-1(x) = 12 log 11 -+ xx คณิตศาสตร (216) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


KMK-Pb 2.3 ตอบ 7.5 FPAT-Pb66 ตอบ 4) FPAT-Pb67 ตอบ 2) KAiOU-Pb2.22 ตอบ 7 SheLL2.28 ตอบ 1 SheLL1.18 ตอบ 1) FPAT-Pb76 ตอบ 4) NaDate-Pb1.11 ตอบ 2) NaDate-Pb1.7 ตอบ 1) KMK-Pb2.4 ตอบ 6 TF-PAT4 ตอบ 4) SheLL2.30 ตอบ 4 BRAN-Pb1.12 ตอบ 1) KMK-Pb1.11 ตอบ 3) TF-PAT2 ตอบ 4) KAiOU-Pb2.6 ตอบ 32 AVATAR-Pb14.1 ตอบ 16 TF-PAT3 ตอบ 4) SheLL1.12 ตอบ 3) SheLL2.31 ตอบ 4 TF-PAT6 ตอบ 4) TF-PAT7 ตอบ 3) TF-PAT8 ตอบ 3) TF-PAT9 ตอบ 1) SheLL1.13 ตอบ 3) KMK-Pb2.5 ตอบ 2 FPAT-Pb83 ตอบ 2) SheLL2.29 ตอบ 2 KMK-Pb2.6 ตอบ 0 FPAT-Pb82 ตอบ 3) FPAT-Pb87 ตอบ 1) FPAT-Pb89 ตอบ 1) SheLL1.6 ตอบ 4) KAiOU-Pb2.4 ตอบ 0.5 FPAT-Pb91 ตอบ 4) FPAT-Pb92 ตอบ 1) KMK-Pb 1.7 ตอบ 1) NaDate-Pb2.36 ตอบ 205 SheLL2.35 ตอบ 2 SheLL1.25 ตอบ 2) 4 KMK-Pb2.15 ตอบ 2 2 ≈ 2.38 BRAN-Pb2.38 ตอบ 20 BRAN-Pb2.49 ตอบ 49 SheLL1.17 ตอบ 2) BRAN-Pb1.17 ตอบ 2) SheLL2.40 ตอบ 25 TF-PAT42 ตอบ 1) BRAN-Pb1.6 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.17 ตอบ 4) TF-PAT45 ตอบ 3) BRAN-Pb2.30 ตอบ 50 BRAN-Pb2.37 ตอบ 0 KAiOU-Pb2.10 ตอบ 1 Peach-Pb2.27 ตอบ 2.25 SheLL1.23 ตอบ 1) TF-PAT41ตอบ 4) NaDate-Pb1.18 ตอบ 1) TF-PAT43 ตอบ 3) TF-PAT44 ตอบ 3) KAiOU-Pb2.11 ตอบ 1 SheLL2.39 ตอบ 7 BRAN-Pb1.16 ตอบ 1)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

FPAT-Pb66.1 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.5 ตอบ 2) BRAN-Pb1.4 ตอบ 2) FPAT-Pb79 ตอบ 1) BRAN-Pb2.42 ตอบ 262 KAiOU-Pb2.7 ตอบ 6 TF-PAT1 ตอบ 2) KMK-Pb1.12 ตอบ 4) BRAN-Pb2.36 ตอบ 396 NaDate-Pb1.13 ตอบ 4) KMK-Pb2.11 ตอบ 0.2 TF-PAT10 ตอบ 1) KAiOU-Pb2.5 ตอบ 0.5 KAiOU-Pb1.7 ตอบ 3) BRAN-Pb2.31 ตอบ 1 FPAT-Pb88 ตอบ 2) NaDate-Pb2.32 ตอบ 2 SheLL1.7 ตอบ 1) TF-PAT33 ตอบ 3) TF-PAT36 ตอบ 2) NaDate-Pb3.34 ตอบ 16 TF-PAT38 ตอบ 2) TF-PAT40 ตอบ 2) TF-PAT39 ตอบ 2) BRAN-Pb2.39 ตอบ 2 SheLL2.34 ตอบ 200 NaDate-Pb2.37 ตอบ 3 KMK-Pb2.16 ตอบ 4 BRAN-Pb2.41 ตอบ 2 BRAN-Pb2.40 ตอบ 9 KMK-Pb1.14 ตอบ 4)

__________________________________ คณิตศาสตร (217)


เฉลยเก็งขอสอบ โดย ครู Sup’k FORSU-Pb1.1 ตอบ 12 FORSU-Pb1.2 ตอบ 3) FORSU-Pb1.4 ตอบ 1) FORSU-Pb1.5 ตอบ 4) FORSU-Pb1.7 ตอบ 51 FORSU-Pb1.8 ตอบ -17.5 FORSU-Pb1.10 ตอบ 4) FORSU-Pb1.13 ตอบ 1) FORSU-Pb1.16 ตอบ 5050 NichTor-Pb2.18 ตอบ 2 Peachkun-Pb3.21 ตอบ 2) Peachkun-Pb3.24 ตอบ 12 Peachkun-Pb3.27 ตอบ 12

FORSU-Pb1.11 ตอบ 2 FORSU-Pb1.14 ตอบ 3) FORSU-Pb2.17 ตอบ 1 Peachkun-Pb3.19 ตอบ 3) Peachkun-Pb3.22 ตอบ 3) Peachkun-Pb3.25 ตอบ 4)

FORSU-Pb1.3 ตอบ 4 FORSU-Pb1.6 ตอบ 1) FORSU-Pb1.9 ตอบ - 221 FORSU-Pb1.12 ตอบ 1) FORSU-Pb1.15 ตอบ 2009 2010 FORSU-Pb2.18 ตอบ 4) Peachkun-Pb3.20 ตอบ 24 Peachkun-Pb3.23 ตอบ 4) Peachkun-Pb3.26 ตอบ 16

————————————————————

คณิตศาสตร (218) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เก็งขอสอบ ชุดที่ 1 1. กําหนดให U คือ เอกภพสัมพันธ A, B และ C เปนเซตจํากัดใดๆ ขอใดกลาวไมถูกตอง 1) A I B ⊂ A U B 2) ถา A - C ⊂ B - C แลว A ⊂ C 3) (A I B) - C = (A - C) I (B - C) 4) ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 2. ให A = {1, 2, 3, {4, 5, 6, ...}} และ B = {4, 5, 6, ...} ขอใดกลาวถูกตอง 1) A และ B เปนเซตอนันต 2) จํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากับ 1 3) จํานวนสมาชิกของสับเซตของ A U B เทากับ 16 4) จํานวนสมาชิกของ P(A) I P(B) เทากับ 1 3. กําหนดใหเอกภพสัมพันธมีสมาชิก 80 ตัว ; n(A) = 45, n(B) = 36, n(C) = 48, n(A I B) = 20, n(A I C) = 24, n(B I C) = 15, n(A I B I C) = 4 จํานวนสมาชิกของ [(A U B) I (A U C)]′ ตรงกับขอใด 1) 35 ตัว 2) 29 ตัว 3) 24 ตัว 4) 11 ตัว 4. จากการสอบถามนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 จํานวน 70 คน เกี่ยวกับความชอบในการเลนกีฬาสามชนิด คือ ฟุตบอล บาสเกตบอล และเทนนิส โดยทุกคนชอบเลนกีฬาอยางนอยหนึ่งชนิด พบวา - มีนักเรียนชอบเลนฟุตบอลจํานวน 17 คน - มีนักเรียนชอบเลนบาสเกตบอลจํานวน 40 คน - มีนักเรียนชอบเลนเทนนิสจํานวน 27 คน - มีนักเรียนชอบเลนกีฬาอยางนอยสองชนิดจํานวน 10 คน - มีนักเรียนชอบเลนฟุตบอลและบาสเกตบอลจํานวน 7 คน - ไมมีนักเรียนที่ชอบเลนทั้งฟุตบอลและเทนนิส แตไมชอบเลนบาสเกตบอล จํานวนนักเรียนที่ชอบเลนฟุตบอลและบาสเกตบอล แตไมชอบเลนเทนนิสมีจํานวนกี่คน 1) 2 คน 2) 3 คน 3) 4 คน 4) 5 คน

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (219)


5. ถา x คือ เลขโดดในหลักหนวยของ 22556 และ y คือ พจนที่ 9 ของแบบรูป 1, 2, 3, 5, 8, ... คาของ y - 2x มีคาตรงกับขอใด 1) 18 2) 22 3) 39 4) 43 6. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. เหตุ 1. นักเรียนที่เรียนดีและยากจนจะไดรับทุนการศึกษา 2. สิรวิชญเปนนักเรียนที่เรียนดี ผล สิรวิชญจะไดรับทุนการศึกษา ข. เหตุ 1. นักเรียนที่ชอบดูฟุตบอลทุกคนชอบดูบาสเกตบอล 2. นักเรียนที่ชอบดูฟุตบอลบางคนชอบดูเทนนิส ผล มีนักเรียนที่ชอบดูบาสเกตบอลบางคนชอบดูเทนนิส ขอความใดกลาวถูกตอง 1) ขอ ก. และ ข. สมเหตุสมผลทั้งสองขอ 2) ขอ ก. สมเหตุสมผลเพียงขอเดียว 3) ขอ ข. สมเหตุสมผลเพียงขอเดียว 4) ขอ ก. และ ข. ไมสมเหตุสมผลทัง้ สองขอ 7. ขอใดกลาวถูกตอง 1) ถา a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ แลว (a - b)2 = |a - b| 2) ถา a เปนจํานวนอตรรกยะ แลว a เปนจํานวนอตรรกยะ 3) จํานวนตรรกยะคูณกับจํานวนอตรรกยะเปนจํานวนอตรรกยะ 4) จํานวนที่เปนทศนิยมทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ 8. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 7 + 5 ≤ 2 6 ≤ 5 4/3

ข. (((-1)-1) ) (13/4) = -1 ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 9. ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ |x|2 + |x| = 6 เทากับขอใด 1) 5 2) 3 3) 2 4) 0 10. สุวิทยขายเสื้อราคาตัวละ 190 บาท โดยเขาตองจายคาเชารานวันละ 600 บาท และตนทุนในการขายเสื้อ ราคาตัวละ 80 บาท ถาสุวิทยตองการกําไรวันละไมต่ํากวารอยละ 40 ของราคาทุน สุวิทยจะตองขายเสื้อ อยางนอยกี่ตัวตอวัน 1) 10 ตัว 2) 9 ตัว 3) 8 ตัว 4) 7 ตัว -1 -1

คณิตศาสตร (220) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


11. ลุงไสวมีบอเลี้ยงปลาอยูแหงหนึ่ง โดยมีดานยาวสั้นกวาสองเทาของดานกวางอยู 5 เมตร ถาลุงไสวทํา ทางเดินรอบขอบบอกวางเทาๆ กันทุกดาน ดานละ 1 เมตร ซึ่งมีพื้นที่ของทางเดินเปน 66 ตารางเมตร จงหาวาลุงไสวมีพื้นที่เลี้ยงปลาเทากับขอใด 1) 252 ตารางเมตร 2) 228 ตารางเมตร 3) 198 ตารางเมตร 4) 162 ตารางเมตร 12. กําหนดให a, b และ x เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ a, b ≠ 0 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a < b แลว ax < bx ข. ถา a < b แลว a-x < b-x ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 13. ขอใดถูกตอง

1) 0.5 3 < 0.5 2

2) ( 3 )5 < ( 5 )3

3) (0.1)0.1 < (0.2)0.2

4) ( 3 ) 5 < ( 5 ) 3

-x 14. ถา 2-1 ⋅  23  = 9-5/2 ⋅ 256 แลว x 2+ 3 มีคาตรงกับขอใด 1) 4 2) 1 3) -1 4) -4 15. ขอใดไมถูกตอง 1) 320 ⋅ 510 < 430 2) 310 ⋅ 520 < 430 3) 230 ⋅ 310 < 520 4) 320 ⋅ 410 < 530

2n + 3 - 24 ⋅ 22(n-1) เมื่อ n เปนจํานวนนับ ตรงกับขอใด 16. คาของ 2 ⋅ 2 10 ⋅ 22n 1) 2 2) 1 3) -1 4) -2 17. กําหนดให A = {1, a, b} และ B = {1, 2, a} คูอันดับในขอใดตอไปนี้ไมเปนสมาชิกของผลคูณคารทีเซียน ของ A × B 1) (1, 1) 2) (b, a) 3) (b, b) 4) (b, 2)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (221)


18. กําหนดให f(x) = -2x2 + 4x - 9 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Df I Rf = [-9, ∞) ข. f มีคาสูงสุด คือ 7 ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 19. พิจารณากราฟของฟงกชัน y = f(x) ตอไปนี้ Y 8 6 4 2

-10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8

2 4 6 8 10

X

ขอใดมีคามากที่สุด 1) f( 5 ) - f(4) - f(10) 3) f(8) + f(tan 45°)

2) f(-5 2 ) ⋅ f(5) + f(-2) 4) f( π) f(0) 20. ถากราฟของ y = ax2 + bx + c ตัดแกน x จุดหนึ่งที่ (-3, 0) โดยมีจุดวกกลับ คือ (-2, -3) แลวคาของ a + b + c ตรงกับขอใด 1) 24 2) 10 3) -8 4) -14 A + tan A ตรงกับขอใด 21. กําหนดให sin A = 0.6 คาของ cos A - sec sin A 1) 0.4 2) 0.5 3) 0.6 4) 0.7

คณิตศาสตร (222) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


22. กําหนดให ∆ ABC มีมุม B เปนมุมฉาก โดยดาน AB ยาวเทากับ 8 เซนติเมตร และดาน AC ยาวเทากับ 16 เซนติเมตร พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คา cos C เทากับ 23 ข. คาของ cos A + sin C เทากับ 3 ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 23. จากรูป กําหนดให ABˆ C และ BDˆ C เปนมุมฉาก ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ABC ตรงกับขอใด B 6 หนวย A

60°

D

9 หนวย

C

1) 6 + 9 3 หนวย 2) 9 + 6 3 หนวย 4) 18 + 6 3 หนวย 3) 15 + 9 3 หนวย 24. วินัยสังเกตเห็นวาวจุฬาที่ติดอยูบนเสาไฟฟาตนหนึ่งทํามุมเงย 30 องศา เมื่อเขาเดินเขาไปใกลเสาไฟฟาอีก 40 เมตร พบวา มองเห็นวาวจุฬาตัวเดิมทํามุมเงย 60 องศา จงหาวาวาวจุฬาที่ติดอยูบนเสาไฟฟาอยูสูง จากพื้นกี่เมตร 1) 10 2 เมตร 2) 10 3 เมตร 3) 20 2 เมตร 4) 20 3 เมตร 25. พจนที่ 36 ของลําดับเลขคณิต 12, 21 2 , 9, ... เทากับขอใด 1) - 117 2) -42 2 4) -38 3) - 81 2 7 คาของ a - 4(a ) ตรงกับขอ 26. กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต โดย a5 = 7 และ a10 = 32 2 7 ใด 1) 42 2) 49 3) 56 4) 63

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (223)


27. กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิต a1, a2, a3, ... ถา S9 = 126 และ S21 = 672 แลว S12 มีคาเทากับขอใด 1) 222 2) 273 3) 399 4) 546 28. ชั้นวางหนังสือชั้นหนึ่งมีหนังสือแตกตางกันทุกเลม แบงตามวิชาตางๆ ไดดังนี้ หนังสือวิชาคณิตศาสตร 3 เลม หนังสือวิชาภาษาไทย 2 เลม และหนังสือวิชาภาษาอังกฤษ 2 เลม จะมีวิธีการจัดเรียงใหหนังสือแตละวิชาอยู ติดกันไดทั้งหมดกี่วิธี 1) 24 วิธี 2) 72 วิธี 3) 144 วิธี 4) 5040 วิธี 29. ตัวเลข 0, 2, 7, 8 และ 9 หากตองการสรางเลข 3 หลัก โดยที่ตัวเลขแตละหลักจะตองไมซ้ํากันและ เลขที่สรางตองเปนเลขคูทมี่ ากกวา 700 จะสามารถสรางไดทั้งหมดกี่จํานวน 1) 60 จํานวน 2) 48 จํานวน 3) 36 จํานวน 4) 24 จํานวน 30. จัดนักเรียนหญิง 3 คน และนักเรียนชาย 3 คน ใหยืนเรียงแถวตรง ความนาจะเปนที่นักเรียนชายจะยืน อยูหัวแถวและทายแถวตรงกับขอใด 2) 51 1) 13 4) 79 3) 56 31. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก เปนสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีเหลือง 2 ลูก และสีสม 1 ลูก ความนาจะเปน ที่จะสุมหยิบลูกบอลทีละลูก 2 ครั้งแบบไมใสคืน ใหไดลูกบอลสีแดงเพียงลูกเดียวเทานั้นเทากับขอใด 1) 38 2) 23 3) 15 4) 15 56 28 32. ถาขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 8.8, 10.3, 8.8, 12.7 และ 9.4 แลวขอความใดกลาวไมถกู ตอง 1) ฐานนิยม นอยกวา คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน นอยกวา คาเฉลี่ยเลขคณิต 3) ฐานนิยม นอยกวา มัธยฐาน 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต นอยกวา 10 33. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 19 จํานวน ดังนี้ 5 7 7 9 11 13 13 13 16 18 18 20 23 25 25 29 32 34 34 เปอรเซนตไทลที่ 78 รวมกับควอไทลที่ 1 ตรงกับขอใด 1) 40.0 2) 38.4 3) 28.2 4) 20.6

คณิตศาสตร (224) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


34. กําหนดแผนภาพ ตน-ใบ ของขอมูลชุดหนึ่ง ดังนี้

4 5 6 7

5 3 0 5 2 1 7 2 8

พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. มีขอมูล 3 จํานวนที่มากกวาควอไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนี้ ข. คาเฉลี่ยเลขคณิตมากกวามัธยฐาน ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด 35. การสอบเก็บคะแนนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 50 คน เปนดังนี้ ชวงคะแนน 50-59 40-49 30-39 20-29 10-19

ความถี่สะสม (คน) 5 12 26 40 50

ขอใดกลาวถูกตอง 1) ชวงคะแนนที่มีความถี่สูงสุด คือ 30-39 2) พิสัยของการสอบเก็บคะแนนครั้งนี้ คือ 49 3) ความถี่สัมพัทธของชวงคะแนนของคนที่ไดคะแนนนอยที่สุด คือ 0.2 4) ฐานนิยมของการสอบเก็บคะแนนครั้งนี้ คือ 24.5

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (225)


ชุดที่ 2 ตอนที่ 1 : แบบปรนัย 4 ตัวเลือก 36. ขอใดถูก 1) A - (B I C) = (A - B) I (A - C) 2) (A I B) - C = (A - C) U (B - C) 3) A - (B - C′) = A I (B′ I C) 4) (A U B) - C = (A U (B - C)) - C 37. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p, q, r เปนประพจนซึ่ง p → (q ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง และ (p ∨ q) → r มีคา ความจริง เปนเท็จ แลว q → (p ∨ r) มีคาความจริงเปนจริง ข. กําหนดเอกภพสัมพันธ U = {x ∈ R | x2 ≤ 3x + 4} แลว ∃x∃y[xy2 + 2xy + 3x - 5y2 - 10y - 15 > 0] มีคาความจริงเปนจริง ขอใดตอไปนี้สรุปไดถกู ตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 38. กําหนดให p, r, s เปนประพจนใดๆ ประพจน [(s ∧ r) → (p ∨ r)] ∧ [(p ∨ r) → (p ∧ r)] สมมูลกับประพจนในขอใดตอไปนี้ 1) p ∧ r 2) p ∨ r 3) p → r 4) p ↔ r 39. ให S เปนเซตคําตอบของอสมการ (x - 1)(x - 2)2(x - 3)3 ... (x - 10)10 ≤ 0 จงหาผลบวกของสมาชิก ของเซต S I {x ∈ I | 0 ≤ x ≤ 12} 1) 52 2) 53 3) 54 4) 55

คณิตศาสตร (226) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


40. กําหนดให A = {x ∈ I | |x| + |2x - 4| ≤ 5} B = {y ∈ R | y = |3x - 6| - |x + 1| + |2x + 4|} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. n(A) = 4 ข. คาต่ําสุดของสมาชิกในเซต B เทากับ 5 ขอใดตอไปนีถ้ ูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 41. r = {(x, y) ∈ R × R | y 2x - 2 2 - x = 2} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Rr - Dr = (2, ∞) ข. Dr I Rr = (1, 2] ขอใดถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด  4x - 4 , 0≤x≤1 42. กําหนดให f(x) =  2 16 - (x - 5) , 1 < x < 5 คาของ f(f-1(7) + f-1(-2)) เทากับขอใด 1) 15 4 2) 5 3) 7 4) 39 4 43. กําหนดให f(x, 0) = x f(x, y + 1) = f(f(x, y), y) คา f ในขอใดมีคามากที่สุด 1) f(10, 15) 2) f(11, 14) 3) f(12, 13) 4) f(13, 12)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (227)


44. กําหนดให C คือวงกลม x2 + y2 - 4x - 6y + 9 = 0 และ P เปนพาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูที่จุดศูนยกลาง ของวงกลม C และมีแกน X เปนเสนไดเรกตริกซ ขอใดตอไปนี้คือสมการของ P 1) x2 - 4x - 12y - 36 = 0 2) x2 - 4x - 12y - 40 = 0 3) x2 - 4x - 12y + 36 = 0 4) x2 - 4x - 12y + 40 = 0 45. กําหนดให F1 และ F2 เปนจุดแกน x และ R เปนจุดบนแกน y ที่ทําให F1F2R เปนรูปสามเหลีย่ มดานเทา ถาพาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูที่ R และผานจุด F1 และ F2 มีความยาวเลตัสเรกตัมเทากับ 1 หนวย แลววงรีซึ่งมีจุด F1 และ F2 เปนโฟกัส และผานจุด R จะผานจุดในขอใดตอไปนี้ 1) (2, - 6 ) 2) (- 6 , 2) 3) (4, 1) 4) (1, 4) 46. ให R แทนเซตของจํานวนจริง และ A = {(x, y) ∈ R × R | | (x - 5)2 + (y - 1)2 - (x + 4)2 + (y - 1)2 | = 6} เซต B ในขอใดตอไปนี้ที่ทําให A I B ≠ φ 1) B = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x} 2) B = {(x, y) ∈ R × R | y = 4x} 3) B = {(x, y) ∈ R × R | 3y = 4x} 4) B = {(x, y) ∈ R × R | 4y = 3x} 47. ถา A เปนเซตคําตอบ ของอสมการ 27x + 75x > 10 ⋅ 53x-1 แลว A เปนสับเซตของขอใด 1) [-3, ∞) 2) [-4, ∞) 3) (-∞, -3] 4) (-∞, 4] 48. ถา x และ y เปนจํานวนจริง โดยที่ x2 + 2xy = log xx + 2 log xy แลว 22x-y/y มีคาเทากับเทาใด 1 1) 16 1 2) 32 1 3) 64 1 4) 128

คณิตศาสตร (228) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


49. ให θ, α เปนจํานวนจริงใดๆ sin θ + sin α = 1 และ cos θ + cos α = 0 จงหาคาของ 12 cos 2θ + 4 cos 2α 1) 6 2) 7 3) 8 4) 9 50. สามเหลี่ยม ABC รูปหนึ่งมีความยาวดานตรงขามมุม A, B, C เปน a, b และ c ตามลําดับ ถา c -b a - b a+ c = 1 จงหาขนาดของมุมที่ใหญที่สุดในสามเหลี่ยม ABC 1) 30° 2) 60° 3) 120° 4) 150° 51. ให A, B, C และ I เปน 2 × 2 เมทริกซ โดยที่ I เปนเมทริกซเอกลักษณ -4 -1  และถา det (-A3) = det (3 3 I), det (C-1) = 3 และ ABtC =  4 -5  แลว det (BA) มีคาเทาใด   1) 36 2) 72 3) 81 4) 144 52. กําหนดให vu และ vv ไมเปนเวกเตอรศูนย และ | vu + vv | = | vu - vv | ถา | vv | = 15 | vu | แลว มุมระหวางเวกเตอร vu + vv และเวกเตอร vu - vv เทากับขอใด

1) arccos  13  2) arccos  23 

3) arccos  14  4) arccos  34  53. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ f(x) = x4 - 6x3 + 15x2 + ax + b จํานวนเชิงซอน 1 + i และ 2 + i เปนรากของ f(x) แลว x - 2 หาร f(x) เหลือเศษเทากับเทาใด 1) 2 2) 4 3) 6 4) 8

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (229)


54. ถาผลบวกของอนุกรมเลขคณิตตัง้ แตพจนที่ 1 ถึงพจนที่ 11 มีคาเทากับ 77 และผลบวกของกําลังสอง ของพจนที่ 4, 5, 6, 7 และ 8 มีคาเทากับ 285 แลวจงหาคา d2 1) 1 2) 4 3) 9 4) 16 55. สมมติให เหรียญเงินแตละเหรียญหนัก 4 กรัม และมีคาเหรียญละ 6,000 บาท เหรียญทองแตละเหรียญหนัก 8 กรัม และมีคาเหรียญละ 10,000 บาท ถาโอมสามารถหยิบเหรียญไปไดไมเกิน 100 เหรียญ และน้ําหนักรวมของเหรียญไมเกิน 500 กรัม แลวมูลคา รวมที่มากที่สุดของเหรียญที่โอมจะหยิบไปไดมีคาเทาใด 1) 1,000,000 บาท 2) 900,000 บาท 3) 800,000 บาท 4) 700,000 บาท 5) 600,000 บาท 56. กําหนดให a, b เปนคาคงตัวที่ทําใหฟงกชัน f(x) = x2 - ax - ab มีเสนสัมผัสที่จุด x = a + b เปนเสนตรง y = -x + 11 จงหาคาผลบวกของ a2 ที่เปนไปไดทั้งหมด 1) 102 2) 104 3) 106 4) 108 57. นักเรียนกลุมหนึ่งมีนักเรียนชาย 4 คน หญิง 4 คน โดยมีเด็กชายแดง เด็กชายเขียว และเด็กหญิงฟา รวมอยูด วย จํานวนวิธีที่จะจัดนักเรียนกลุมนี้นั่งเปนแถวที่มีชายและหญิงนั่งสลับกัน โดยที่เด็กชายแดง เด็กชายเขียว และเด็กหญิงฟา ตองนั่งติดกันเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 24 วิธี 2) 36 วิธี 3) 72 วิธี 4) 144 วิธี

คณิตศาสตร (230) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


58. ในการทอดลูกเตา 2 ลูก พรอมกัน 1 ครั้ง โอกาสที่ลูกเตาลูกหนึ่ง ออกแตม x อีกลูกออกแตม y โดยที่ 2x + 3y ≤ 10 คือเทาใด 5 1) 36 6 2) 36 8 3) 36 9 4) 36 59. ให x1, x2, x3, x4 เปนขอมูลชุดที่หนึ่ง y1, y2, y3, y4 เปนขอมูลชุดที่สอง โดย yi = 2xi - 1 ; i = 1, 2, 3, 4 4

ถา y = 1.5 และ ∑ x i y i = 15 แลวความแปรปรวนของขอมูลชุดที่หนึ่งมีคาเทาใด i =1 12 1) 16 2) 14 16 3) 15 16 4) 1 60. ในการสํารวจนักเรียน 6 คน ซึ่งมีคะแนนฟสิกสและคะแนนคณิตศาสตร คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนฟสิกส ( y ) = 10 และคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนคณิตศาสตร ( x ) = 6 6 ∑ xiyi i =1

6

6

i =1

i =1

= 144, ∑ x 2i = 72, ∑ y 2i = 120

ถาหากคะแนนฟสิกส และคะแนนคณิตศาสตร มีความสัมพันธกันแบบเชิงเสนตรง ถานักเรียนคนหนึ่งสอบ คณิตศาสตรได 4 คะแนน นักเรียนคนนั้น จะสอบฟสิกสไดประมาณกี่คะแนน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (231)


ตอนที่ 2 : แบบอัตนัย 61. กําหนดให A, B, C เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U โดยที่ C ⊂ A I B และ C ≠ φ ถา n((A - B) U (B - A)) = 18, n(A) = 21, n(B) = 19 แลวจะมีเซต C ทั้งหมดกี่เซต 62. ให p เปนจํานวนเฉพาะบวก ถา x + 3 หาร x3 + mx2 + nx + p ลงตัว x - 1 หาร x3 + mx2 + nx + p เหลือเศษเทากับ 2 จงหา m - n 63. กําหนดให f(x) = x2 และ g เปนฟงกชันพหุนาม โดยที่ (gof) (x) = 3x2 + 1 ถาเซต {y | y = (g-1of)(x) ; x ∈ [-10, 10]} คือชวง [a, b] แลว 6(a + b) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 64. ใหจุด A(2,3) เปนจุดสะทอนของจุด B ตามแกน x และจุด B เปนจุดสะทอนของจุด C ตามเสนตรง y = x จงหาพื้นที่ ABC 65. ให (1, 1) เปนจุดศูนยกลางของวงกลม x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ที่สัมผัสกับแกน x และแกน y เมื่อ d, e, f เปนจํานวนจริง ถาเสนตรง dx + ey + f = 0 ตัดแกน x ที่จุด (a, 0) จงหาคาของ 8a 66. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ arccos (x) = arcsin (x) + arcsin (1 - x) และให B เปนเซตคําตอบ ของสมการ arcsin (x) = arcsin ( 1 - x 2 ) - arcsin ( 1 - 4x 2 ) แลว n(P(A U B)) เทากับเทาใด C   1 1 2 3   1   67. กําหนดให A = 1 1 2  , B =  3  , C = C2  และ I3 เปนเมทริกซเอกลักษณขนาด 3 × 3 -1 1 2 1   C3    ถา X เปนเมทริกซขนาด 3 × 3 และ det (X) ≠ 0 ซึ่งสอดคลองกับสมการ 4AX = I3 และ XB = C แลวคาของ -16 ⋅ C1C2C3 มีคาเทาใด

    

68. จงหาผลบวกของจํานวนเต็ม x ทั้งหมดที่สอดคลองกับสมการ x + 8 - 6 x - 1 + x + 3 - 4 x - 1 = 1   69. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ 23x - 83x - 6  2x - x1-1  = 1 แลวผลบวกของสมาชิกในเซต S 2  2  ทั้งหมดเทากับเทาใด 

  70. ให A =  x ∈ I logx/9  x32  < 6 + log3  9x   จงหา n(A)    

o 3 71. จงหาคา sin 80o sin 20 2 sin 80o

cos 100o 72. ให 0 ≤ x ≤ 180° จงหาคา x ที่สอดคลองกับสมการ = tan x 1 - 4 sin 25o cos 25o cos 50o v 73. กําหนด vu + vv - 2 wv = 0 โดย wv ตั้งฉากกับ vv และ θ เปนมุมระหวาง vu กับ vv ถา | vv | = 3, | wv | = 2 จงหาคาของ sin θ

74. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่งอยูในควอดรันตที่ 2 และสอดคลองกับสมการ |4iz-1 + 9 z | = 6 2 และ |z - 1| = 3 แลว 9|z + z | มีคาเทากับเทาใด คณิตศาสตร (232) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


75. ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆซึ่งสอดคลองกับสมการ 12 + 22 + 33 + ... + nn = an n+ b + c 2 2 2 2 + สําหรับทุกๆ n ∈ I จงหา |a + b + c| an 76. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 = 1 และ an+1 = 1 + na สําหรับ n = 1, 2, 3, ... n จงหาคา a 1 - 2,025,000 2013

 sin 2x  มีคาเทาใด 77. กําหนดให lim  πsin- xx  = 1 แลว lim  (x4(1- π+ )cos x)  x →π x →π 

78. ถา f(x) เปนฟงกชันซึ่งมีคาสูงสุดสัมพัทธคาหนึ่ง คือ -1 และ f′(x) = x3f(x) + 27 แลว |f″′(3)| มีคาเทากับ เทาใด 79. ให f เปนพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ x4 เทากับ 5 ถากราฟของปฎิยานุพันธหนึ่งของ f ตัดกับเสนตรง 5

y = 3x + 4 ทั้งหมดสี่จุดที่ x = 1, 2, 3 และ 4 แลว ∫ 0 f(x)dx เทากับเทาใด 80. ให A และ B เปนเหตุการณใดๆ ในปริภูมิตัวอยาง ถา P(A) = 0.30 และ P(B) = 0.45 แลวคาที่นอยที่สุด ของ P(A U B) บวกคานอยสุดของ P((A U B)′) เทากับเทาใด 81. ขอมูล 6 จํานวน มีมัธยฐาน คากึ่งกลางพิสัย และสวนเบี่ยงเบนควอไทลเทากับ 15, 13 และ 2.25 ถาในที่นี้ มีขอมูล 3 จํานวนซึ่งมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 0 และ 3 จํานวน ดังกลาวมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 16 จงหาคาเฉลี่ยของขอมูลทั้งหมด 82. โรงงานสับปะรดกระปองจะรับซือ้ เฉพาะสับปะรดที่มีน้ําหนักระหวาง 0.7-1.3 กิโลกรัมเทานั้น ถาน้ําหนัก สับปะรด แจกแจงปกติดวยคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 1 กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0.2 กิโลกรัม ชาวไรคนหนึ่งปลูกสับปะรดไดผลผลิต 10000 ผล จะมีสับปะรดที่โรงงานไมรับซื้อประมาณกี่ผล กําหนดให พื้นที่ใตโคงปกติของตัวแปรมาตรฐาน (z) ดังรูป 0.3413

0.0919

0.0228

-2

-1

0

1

1.5

83. ให a, b เปนจํานวนเต็ม จงหาจํานวนคูอันดับ (a, b) ที่สอดคลองกับสมการ a2 + 2ab + 2b2 = 13 84. กําหนดให A, B เปนจํานวนที่แตกตางกัน โดยที่ A, B ∈ {0, 1, 2, ..., 9} ถา 11A1B เปนจํานวนเต็ม 5 หลักที่ 3 หารลงตัว แลว A + B เปนไปไดทั้งหมดกี่แบบ 85. ให abcd และ dcba เปนจํานวนเต็ม 4 หลัก ที่สอดคลองกับสมการ 2(abcd) + 1000 = dcba จงหาคา a + b + c + d

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (233)


ชุดที่ 3 2 86. Sup’kBRAND’s-Pb 1 (ขอสอบตางประเทศ) If for x ∈ R , 13 < x 2 - 2x + 4 < 3 , then x + 2x + 4 9 ⋅ 32x - 6 ⋅ 3 x + 4 lies between : 9 ⋅ 32x + 6 ⋅ 3 x + 4 2 2x x สําหรับทุกๆ x ∈ R, ถา 13 < x 2 - 2x + 4 < 3 แลว จงหาวา 9 ⋅ 32x - 6 ⋅ 3 x + 4 อยูระหวางคาใด x + 2x + 4 9⋅3 + 6⋅3 + 4 2) 13 and 3 3) 0 and 2 4) none of these 1) 12 and 2

87. Sup’kBRAND’s-Pb 2 (ขอสอบตางประเทศ) Find the solution of 2x + 2|x| ≥ 2 2 จงหาเซตคําตอบของ 2x + 2|x| ≥ 2 2 ตอบ ............................. 88. Sup’kBRAND’s-Pb 3 (ขอสอบตางประเทศ) The solution of ||x| - 1| < |1 - x| จงหาเซตคําตอบของ ||x| - 1| < |1 - x| ตอบ ............................. 2x 89. Sup’kBRAND’s-Pb 4 (ขอสอบตางประเทศ) ให f(x) = (1 + r1)x, g(x) =  1 + r22  , 4x h(x) =  1 + r43  และ r1 , r2 , r3 เปนจํานวนจริงบวก แลวขอใดตอไปนี้ถกู ตอง 2) r1 < r3 < r2 3) r2 < r1 < r3 4) r2 < r3 < r1 1) r1 < r2 < r3 5) r3 < r2 < r1

90. Sup’kBRAND’s-Pb 5 (ขอสอบตางประเทศ) ให 1 < mn-5 < nm-8 และ m , n เปนจํานวนจริงบวก 1 1 m 8 n ⋅n 5 m

ถา a = 1) a > b > c 3) b > a > c 5) c > a > b

,b=

1 - 1 m 8 n m ⋅n 5

1 - 1 m 8 m ⋅ n n-5

,c = 2) a > c > b 4) b > c > a

แลวขอใดตอไปนีถ้ กู ตอง

คณิตศาสตร (234) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


91. Sup’kBRAND’s-Pb 6 (ขอสอบตางประเทศ) ให A = {x | log3 |x - 3| < 4} B = {x | log2 x + log2 (x - 2) ≥ 3} และ C = {x ∈ I | x ∈ A I B} จงหาวา ตัวประกอบทั้งหมดของ n(C) มีทั้งหมดกี่ตัว ตอบ ............................. 92. Sup’kBRAND’s-Pb 7 (ขอสอบตางประเทศ) ให A = {x | 2x+3 > 4} B = {x | 2 ⋅ log (x + 3) < log (5x + 15)} และ C = {x ∈ I | x ∈ A I B} จงหา n(P(C)) ตอบ ............................. 93. Sup’kBRAND’s-Pb 8 (ขอสอบตางประเทศ) ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ถา a1 = 6, a10 = -12 จงหาคาของ |a1| + |a2| + |a3| + ... + |a20| ตอบ ............................. 94. Sup’kBRAND’s-Pb 9 (ขอสอบตางประเทศ) ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับของจํานวนจริง 10

ถา a2n-1 = 2n, a2n = 5n เมื่อ n = 1, 2, 3, ... จงหาคาของ ∑ log a n ตอบ .............................

n =1

95. Sup’kBRAND’s-Pb 10 (ขอสอบตางประเทศ) ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับของจํานวนจริง n a + a + ... + a k = (n + 1)2 แลว จงหาคาของ a ถา ∑ 1 2 k 10 k =1 ตอบ ............................. 96. Sup’kBRAND’s-Pb 11 (ขอสอบตางประเทศ) ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับของจํานวนจริง ∞ a ถา 7 ⋅ a1 + 72 ⋅ a2 + ... + 7n ⋅ an = 3n - 1 แลว จงหาคาของ ∑ nn-1 n =1 3 ตอบ ............................. 97. Sup’kBRAND’s-Pb 12 (ขอสอบตางประเทศ) ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับของจํานวนจริง ซึ่ง a1 < a2 < a3 < ... < an < ... และ Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ถา a1 = 1 , a2 = 3 และ (Sn+1 - Sn-1)2 = 4 ⋅ an ⋅ an+1 + 4 เมื่อ n = 2, 3, 4, ... จงหาคาของ a20 ตอบ .............................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (235)


98. Sup’kBRAND’s-Pb 13 (ขอสอบตางประเทศ) ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับของจํานวนจริง 2n + 1 เมื่อ n ≥ 1 และ a1 = 2, an+1 = an + (-1)n n(n + 1) q ถา a20 = p เมื่อ p, q เปนจํานวนนับ ที่เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธซึ่งกันและกัน

แลว จงหาคาของ p + q - 14 ตอบ .............................

99. Sup’kBRAND’s-Pb 14 (สามัญ’ป56) ในระนาบพิกัดฉากที่มี O เปนจุดกําเนิดวงรีรูปหนึ่งมีสมการเปน (x - 3)2 + (y - 5)2 = 1 ถา F และ F เปนจุดโฟกัสของวงรีรูปนี้ โดยที่ OF > OF แลวระยะทาง 1 2 1 2 9 25 จากจุด F2 ไปยังเสนตรงที่ผานจุด F1 และ (0, 5) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 19 2) 21 5 หนวย 5 หนวย 3) 22 4) 23 5 หนวย 5 หนวย 5) 24 5 หนวย 1+a 1 1 100. Sup’kBRAND’s-Pb 15 (ขอสอบตางประเทศ) For non-zero a, b, c, if 1 1 + b 1 = 0, 1 1 1+c then the value of 1a + 1b + 1c is equal to : 1+a 1 1 กําหนดให a, b, c ≠ 0, ถา 1 1 + b 1 = 0 แลว จงหาคาของ 1a + 1b + 1c 1 1 1+c ตอบ .............................      

2r-1 2 ⋅ 3r-1 101. Sup’kBRAND’s-Pb 16 (ขอสอบตางประเทศ) If Mr = x y n n 2 -1 3 -1

4 ⋅ 5r-1  z  , 5n - 1 

n

Then the value of ∑ det (M r ) is equal to : r =1

     

2r-1 2 ⋅ 3r-1 ถา Mr = x y 2n - 1 3n - 1 ตอบ .............................

4 ⋅ 5r-1  n z  จงหาคาของ ∑ det (M r ) r =1 5n - 1 

คณิตศาสตร (236) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


102. Sup’kBRAND’s-Pb 17 (ขอสอบตางประเทศ) π ⋅ cos 2 π ⋅ cos 4 π ⋅ ... ⋅ cos 32 π Find the value of cos 65 65 65 65 π π π 2 4 32 π จงหาคาของ 65 ⋅ cos 65 ⋅ cos 65 ⋅ ... ⋅ cos 65 ตอบ ............................. 103. Sup’kBRAND’s-Pb 18 (ขอสอบตางประเทศ) if tan x + cot x = 2, then the value of sin x + cos x + sin2 x + cos2 x + ... + sin25 x + cos25 x กําหนดให tan x + cot x = 2 จงหาคาของ sin x + cos x + sin2 x + cos2 x + ... + sin25 x + cos25 x 2) 13 3) 23 4) none of these 1) 12 104. Sup’kBRAND’s-Pb 19 (ขอสอบตางประเทศ)

21 , Let α, β be such that π < α - β < 3π If sin α + sin β = - 65 α-β , then the value of cos cos α + cos β = - 27 2 is 65 21 , กําหนดให α, β เปนจํานวนจริงซึ่ง π < α - β < 3π ถา sin α + sin β = - 65 α-β cos α + cos β = - 27 65 จงหาคาของ cos 2 ตอบ .............................

105. Sup’kBRAND’s-Pb 20 (ขอสอบสามัญ’ป56) กําหนดให α, β ∈ [-π, 0] ถา sin α + sin β = - 23 และ cos α + cos β = 2 แลว α + β มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 3 1) - π6 2) - π3 3) - 23π 4) - 43π 5) - 53π 106. Sup’kBRAND’s-Pb 21 (ขอสอบตางประเทศ) If arcsin x + arcsin y + arcsin z = 32π , Then the value of x25 + y25 + z25 - 25 125 25 x +y +z π 3 ถา arcsin x + arcsin y + arcsin z = 2 แลว จงหาคาของ x25 + y25 + z25 - 25 125 25 x +y +z ตอบ .............................

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (237)


107. Sup’kBRAND’s-Pb 22 (ขอสอบตางประเทศ) Find the value of tan  2 ⋅ arctan 51 - π4 

จงหาคาของ tan  2 ⋅ arctan 51 - π4  ตอบ ............................. 108. Sup’kBRAND’s-Pb 23 (ขอสอบตางประเทศ) 2 If arcsin 2a 2 - arccos 1 - b 2 = arctan 2x 2 , then value of x is : 1+a 1+ b 1- x 2 กําหนดให arcsin 2a 2 - arccos 1 - b 2 = arctan 2x 2 จงหาคาของ x 1+a 1+ b 1- x ตอบ ............................. 109. Sup’kBRAND’s-Pb 24 (ขอสอบตางประเทศ) If arctan (x - 1) + arctan x + arctan (x + 1) = arctan (3x), then x is : จงหาคา x เมื่อ arctan (x - 1) + arctan x + arctan (x + 1) = arctan (3x) ตอบ ............................. 110. Sup’kBRAND’s-Pb 25 (ขอสอบตางประเทศ) If x1, x2, x3, x4 are the roots of the equation x4 - sin 2β ⋅ x3 + cos 2β ⋅ x2 - cos β ⋅ x - sin β = 0, then find the value of arctan x1 + arctan x2 + arctan x1 + arctan x2 กําหนดให x1 , x2 , x3 , x4 เปนรากของสมการ x4 - sin 2β ⋅ x3 + cos 2β ⋅ x2 - cos β ⋅ x - sin β = 0 แลว จงหาคาของ arctan x1 + arctan x2 + arctan x1 + arctan x2 ตอบ .............................

คณิตศาสตร (238) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


เฉลย ชุดที่ 1 1. 11. 21. 31.

2) 2) 2) 4)

2. 12. 22. 32.

4) 4) 2) 4)

3. 13. 23. 33.

3) 4) 4) 2)

37. 42. 47. 52. 57. 62. 67. 72. 77. 82.

4) 4) 4) 2) 4) 5 3 95 1 1336

4. 14. 24. 34.

2) 3) 4) 3)

5. 15. 25. 35.

4) 2) 3) 3)

38. 43. 48. 53. 58. 63. 68. 73. 78. 83.

4) 4) 2) 1) 1) 196 45 0.2 747 8

6. 3) 16. 2) 26. 2)

7. 1) 17. 3) 27. 1)

8. 1) 18. 3) 28. 3)

9. 4) 19. 1) 29. 4)

10. 3) 20. 1) 30. 2)

ชุดที่ 2 36. 41. 46. 51. 56. 61. 66. 71. 76. 81.

4) 3) 4) 2) 3) 2047 4 2 79 14

39. 44. 49. 54. 59. 64. 69. 74. 79. 84.

4) 4) 3) 2) 3) 15 1 14 135 5

40. 45. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85.

1) 1) 3) 4) 4) 4 223 1 0.7 26

ชุดที่ 3 86. Sup’kBRAND’s-Pb 1 ตอบ 2) 87. Sup’kBRAND’s-Pb 2 ตอบ (-∞, log2 ( 2 - 1)] U  12 , ∞  88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95.

3 ตอบ (-∞ , 0) Sup’kBRAND’s-Pb 4 ตอบ 5) Sup’kBRAND’s-Pb 5 ตอบ 1) Sup’kBRAND’s-Pb 6 ตอบ 20 Sup’kBRAND’s-Pb 7 ตอบ 4 Sup’kBRAND’s-Pb 8 ตอบ 284 Sup’kBRAND’s-Pb 9 ตอบ 15 Sup’kBRAND’s-Pb 10 ตอบ 39 Sup’kBRAND’s-Pb

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25

__________________________________ คณิตศาสตร (239)


96. Sup’kBRAND’s-Pb 11 ตอบ 13 97. Sup’kBRAND’s-Pb 12 ตอบ 39 98. Sup’kBRAND’s-Pb 13 ตอบ 25 99. Sup’kBRAND’s-Pb 14 ตอบ 5) 100. Sup’kBRAND’s-Pb 15 ตอบ -1 101. Sup’kBRAND’s-Pb 16 ตอบ 0 1 102. Sup’kBRAND’s-Pb 17 ตอบ 64 103. Sup’kBRAND’s-Pb 18 ตอบ 4) 104. Sup’kBRAND’s-Pb 19 ตอบ - 3 130 105. Sup’kBRAND’s-Pb 20 ตอบ 2) 106. Sup’kBRAND’s-Pb 21 ตอบ 83 7 107. Sup’kBRAND’s-Pb 22 ตอบ - 17 b , 1 + ab 108. Sup’kBRAND’s-Pb 23 ตอบ x = 1a+-ab b-a 109. Sup’kBRAND’s-Pb 24 ตอบ x = 0, 0.5, -0.5 110. *Sup’kBRAND’s-Pb 25 ตอบ π2 - β ————————————————————

คณิตศาสตร (240) ___________________________________________โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป ปที่ 25


Book2013 oct 05 math