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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO PARA EL PODER POPULAR DE LA EDUCACION UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIテ前 EXTENSION PORLAMAR

Algebra de Boole

AUTOR: FREDDY JAVIER MORENO BRAVO C.I.: 18058745 SAIA PORLAMAR, NOVIEMBRE DE 2013


Características y aplicaciones del Álgebra de Boole Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y Si (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un

operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. 

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si

A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. 

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º

B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) =


(A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. 

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A. - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.


Utilizaremos además los siguientes postulados: 

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT

P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos.

P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).

P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.

P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)' = A' · B' Teorema 8: (A · B)' = A' + B' Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A


Teorema 11: A + A'B = A + B Teorema 12: A' · (A + B') = A'B' Teorema 13: AB + AB' = A Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A' Teorema 15: A + A' = 1 Teorema 16: A · A' = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de De Morgan en honor al matemático que los descubrió.

Características: Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:

1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'.

2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)

3- Tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx


Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0


Algebra de boole