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InterpretaciĂłn geomĂŠtrica

La recta dibujada forma un cierto ĂĄngulo que llamamos β. Evidentemente, este ĂĄngulo estarĂĄ relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que era el valor de la derivada en el punto de ganancia ejemplo Supongamos que tenemos una funciĂłn, a la que cortamos con una recta secante en dos puntos A y B, cuyas coordenadas son: đ??´(đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 ) đ??ľ(đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 ) RepresentĂĄndolo quedarĂ­a de la siguiente manera:


física de la derivada Tasa de Variación Media = Velocidad Media Un conductor recorre los 20 km que separan su casa de su oficina en 10 minutos. ¿Cuål es la velocidad media? Igual que la TVM, la velocidad media se define como el incremento de distancia �� (o sea, la distancia recorrida) dividido por el incremento de tiempo �� empleado en recorrerla. �=

�� ��

=

20đ?‘˜đ?‘š 10đ?‘šđ?‘–đ?‘›

= 120km/h

Derivada en un punto = Velocidad instantĂĄnea El conductor no va estrictamente a 120 km/h durante todo el trayecto, sino que su velocidad irĂĄ variando (no sale del parking de su casa a 120 km/h !). La velocidad instantĂĄnea es la velocidad en un instante preciso. Dicho de otra manera, hacemos que el intervalo de tiempo transcurrido sea prĂĄcticamente cero y miramos cual serĂ­a la distancia recorrida.

La funciĂłn velocidad es la funciĂłn derivada de la funciĂłn posiciĂłn (o espacio).

Ejemplo La distancia que recorre una persona en funciĂłn del tiempo transcurrido es: đ?‘‘(đ?‘Ą) = đ?‘Ą 2 − đ?‘Ą + 2 Calcular la velocidad media en los primeros 5 segundos de movimiento El enunciado nos da. đ?›Ľđ?‘Ą = 5đ?‘ Calculamos la distancia recorrida: đ?›Ľđ?‘‘ = (đ?‘Ą = 5) − đ?‘‘(đ?‘Ą = 0) = 22 − đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 


Por lo tanto, �� =

20đ?‘š = 4đ?‘š ∕ đ?‘† 5đ?‘

Derivada de funciones algebraicas. Derivada de una funciĂłn: La derivada de una funciĂłn es el lĂ­mite del cociente o razĂłn entre el incremento de dicha funciĂłn menos la funciĂłn original y el incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. đ?‘“(đ?‘Ľ + đ?›Ľđ?‘Ľ)−đ?‘“ (đ?‘Ľ) đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™đ?‘–đ?‘š Ě…Ě…Ě…Ě… đ?›Ľđ?‘Ľ →0 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?›ĽĂ— Reglas de la derivada. La derivada de una constante es igual a cero đ?‘‘ (đ?‘?) = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ La derivada de una variable con relaciĂłn a ella misma es igual a 1. đ?‘‘ (đ?‘Ľ) = 1 đ?‘‘đ?‘Ľ La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘‘ [đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ) + â„Ž(đ?‘Ľ)] = đ?‘”(đ?‘Ľ) + â„Ž(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

La derivada de una constante por una funciĂłn es igual a la constante por la derivada de dicha funciĂłn. đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘?[đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ La derivada de un producto de funciones es igual a la primera funciĂłn por la derivada de la segunda mĂĄs la segunda funciĂłn por la derivada de la primera. đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘“[(đ?‘Ľ). đ?‘”(đ?‘Ľ)] = đ?‘“ đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ La derivada de la potencia de una funciĂłn siendo el exponente constante es igual al producto del exponente por la funciĂłn elevada al exponente disminuido en una unidad multiplicado esto por la derivada de la funciĂłn.


đ?‘‘ đ?‘‘ [đ?‘“(đ?‘Ľ)]đ?‘› = đ?‘›[đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘›âˆ’1 ] đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ đ?‘Ľ Si f (x)= x entonces: đ?‘‘ (đ?‘Ľ)đ?‘› = đ?‘›(đ?‘Ľ)đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador entre el cuadrado del đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ś = [đ?‘”(đ?‘Ľ)]2 đ?‘Ľ đ?‘”(đ?‘Ľ)

La derivada del cociente de una funciĂłn y una constante es igual a la derivada de la funciĂłn entre la constante đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ đ?‘? đ?‘? Ejemplos Hallar la derivada de las siguientes funciones. Y = 4x4+5x3

Si f (x) = 2x 3 + 5x 2 y g (x) = 3x 4 + 6x, halle

â…† [f (x). g(x)] â…†x


Reglas de Derivadas de funciones Trascendentes Regla de funciones exponenciales

Regla de Funciones LogarĂ­tmicas

Regla de funciones TrigonomĂŠtricas


Derivada de una constante đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(đ?‘?) = 0Una funciĂłn polinĂłmica de grado 0 o funciĂłn constante es aquella que no

depende de ninguna variable y su derivada siempre serĂĄ cero. Si f(x) = a, tendremos que f'(x) = 0 Donde a es una constante, como un ejemplo: f(x) = 7 f'(x) = 0


Ejemplos Hallar la funciĂłn derivada de la siguiente funciĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ 2 + 4 đ?‘“(đ?‘Ľ) ℎ−0

=

lim đ?‘“(1 + đ?‘›) đ?‘›

5đ?‘Ľ 2 + 10đ?‘Ľâ„Ž + â„Ž2 + 4 − 5đ?‘Ľ 2 − 4 đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘›â†’0 â„Ž (5(đ?‘Ľ + â„Ž)2 + 4) − (5đ?‘Ľ 2 + 4) đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘›â†’0 â„Ž (5. (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľâ„Ž)2 − (5đ?‘Ľ 2 + 4) đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘›â†’0 â„Ž


Regla de función identidad La identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Al ser Êsta positiva (m > 0), la función es creciente. Que la pendiente de la función identidad sea m = 1 significa que si aumentamos la x en una unidad, la y tambiÊn aumenta en una unidad. Formarå un ångulo de 45° con cualquiera de los ejes. La identidad id es el elemento neutro en la composición de funciones. Es decir, cualquier función f compuesta con la identidad es ella misma.

1 reglas de la potencia (para n < 0 y n > 0) đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

[đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; ] = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1

Una funciĂłn de carĂĄcter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = x n y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn â&#x2C6;&#x2019; 1 por ejemplo tomemos la funciĂłn: f(x) = x 3 Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que ĂŠste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, asĂ­: f'(x) = 3x 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 Quedando finalmente: f'(x) = 3x 2 En algunas funciones donde la variable ya esta siendo multiplicada, como: f(x) = 7x 4 se aplica la siguiente regla.


Regla del múltiplo constante [ c f(x) ] = c f ´(x) Si F es una función derivable y C dx un numero real.

Regla de la derivada de una suma y una diferencia

[ f(x) ± g(x) ] = f ´(x) ± g ´(x) Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término por aparte. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la función f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada termino por aparte y la expresión de estos será la derivada de la función suma: f'(x) = 15x4 + 3x2

Regla del producto

f(x) g(x) = f(x) g ´(x)+ g(x) f ´(x) La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función"


Consideremos la siguiente función como ejemplo: h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2) Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que: f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6 Por lo tanto

Regla del cociente

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado" Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:


Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que seria g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, asi:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.


Ejemplos


Derivada con la regla de la cadena Regla de la cadena Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. En ocasiones utilizo con mis alumnos la expresión “funciones dentro de funciones” para describir esta operación. Para obtener la derivada con la regla de la cadena en el caso de la composición por ejemplo de dos funciones, tenemos que aplicar la regla de derivación a la función “exterior“, o sea la aplicamos a la que “engloba“, y luego multiplicar por la derivada de la función “interior“, es decir la que “es englobada“. En resumen, la composición de dos funciones se derivará mediante la regla de la cadena y nos dará .


Derivada de las funciones exponenciales

• Función exponencial: f(x) = ex

f '(x) = ex

f(x) = ax

f '(x) = ax · ln a

f(x) = 2x

f '(x) = 2x · ln 2

Regla general de la función exponencial

Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales:


Derivada de las funciones logarítmicas

Regla general de la función logarítmica

Ejemplos de derivadas de funciones logarítmicas:


Ejemplos de derivada de una función logarítmica aplicando las propiedades de los logarítmos:

Aplicamos las propiedades de los logarítmos en el segundo miembro para reescribir la función:


La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así: Un límite indeterminado de la forma:

valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo. EJEMPLO 1: Hallar el límite:

este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

que es en definitiva el valor del límite. Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: / , 0× , - .


Por ejemplo, una indeterminación del tipo de la forma:

/ , provendrá de un límite

en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación diferente de la 0/0.

/

no es

EJEMPLO 2: Hallar el límite:

Este límite en principio toma la forma indeterminada / , y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:

OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 ántes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a. En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0× , aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.


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