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o de 5 20):

etiro de $ 30):

esro

Presentación

5sito de $ 150):

y el manejo del

interés compuesto a largo financieras las operaciones son necesarios en

Fl conocimiento

plazo, en operaciones de inversiones de capital, en los cálculos del monto, del interés y del tiempo. Este tipo de interés se va capitalizando de acuerdo con el tiempo, medido en períodos de capitalización o de conversión. lgualmente, el concepto y aplicación del valor actual es básico en el interés compuesto para

i:,07 = $ 255;07

manejar en documentos e inversiones financieras en el largo plazo.

Se incluyen el lema de la capitalización continua, en plazos menores de un año, las fórmulas de las tasas equivalentes al monto y el valor actual, con capital ización continua.

:r \ender, ¿qué fecha focal se

Objetivo general de interés compuesto y sus € Conocer el concepto aplicaciones ' un' llu liquidación de documentos

-¡,ación de valor?

financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier

:nco propuestas diferentes,' : so¡a

plazo.

llara todas? ¿Por qué?

jetivos específicos

neses, ;cuál debe ler ia-feqha Teses para cancelar una

-uenta de ahorrq!? ::;,',

.

,'"

de ahorros tomándb:,ló,p

mulan al capital,y':.lg

.

4á, u¡..

e e

Conocer y manejar los conceptos pel'íodo cle capitalizacién y tasa de interés por período de capitalización. Manejar la fór,müla del monto'en intérés cornpuesto. Conocer y aplicar el concepto,de valor actual a largo plazo. A$licar en inversionés las tasas dé inteiés nonrinal y e{ectiVa,:anticipada y- venc id¿.' Resólver,pr ob!émas de interés eornpuesto aplicando ecuacionás de valor. Conocei y, rnánej al,'f a cap ita I ización conti nua" Maneiai,la fórmüla del Mo,nto yJa del Valor Actual en, jnterés.:' compuesto con' dife.reútes, perirldos'de capita lización. Conoáer, y aplieár' la capitálizacipn continua;:en' el , ,,''' ' ','' ',,,": l], MontO,y'en el'Valór Conóeer:'y, aplicái, l as tasás, dé'.! nterés,equ lvalentes. ''' i.ncl ulrend0 la, cáp.i'tálizációnl conti'nú4, .' ,','''''' ' ptazos la eón!1n¡¡a,.qn, Cono,cer ¡r áplic¿r rcaPiklizqcién .

Actual'

:r

mé¡o¡ei, Ali;xrr;ega

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y-,e'o

rn'paraila, con,e!' j n!@s.'si

mpte¡',


.A¡manrl¡i rMora Zambrano

lnlerés compueslo

S

(Para el sexto períc

M = 6.442.O40[1

'

"Es el interés de un capital al que se van acumulando los réditos para que produzcan otros."l "Cuando se calcula interés compuesto, el capital aumenta por la adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los períodos a que se refiere la tasa. Siempre que no se pague efectivamente el interés al final de un período, sino que se adicione al capital, se dice que los intereses se capitalizan."2

Puede notarse la diferenci monto total que producen.

EI interés compuesto se caracteriza porque el interés generado, en una

En el siguiente cuadro (y er

unidad de tiempo, se suma al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así sucesivamente, tantas veces como períodos de capital ización se hayan establecido.

Monto con interés Monto con interés

interés simple y el interés

c

Comparación interés simple/i nterés compuesto El interés compuesto se diferencia del interés simple en que éste calcula los intereses por una sola vez, mientras que en aquél el interés se va acumulando al capital periódicamente; es decir, los intereses se capitalizan. Generalmente, el interés simple se utiliza a corto plazo, hasta un año, y el interés compuesto a largo plazo, más de un año. Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $ 4.000.000 a una tasa de interés del 10% durante 6 períodos. Cálculo a interés simple:

Tabla 5.1

Como se observa, la difel

compuesto radica en que I a la acumulación de los ir

I = Cit; I = 4.000.000(0,10x6) = $ 2.400.000

M = C(l +i¿) =4.000.000[1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000

El interés compuesto cre( el interés simple es cons' capitalice, mayor será la d

Cálculo a interés compuesto:

el primer período) M = 4.000.000[1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000 (Para

3.600

el segundo período) M = 4.400.000[1 + 0,10('l)] = $ 4.840.000 (Para

3.200 2 800

(Para el tercer período)

M = 4.840.000[1 + 0,10(1)] = $ 5.324.000 (Para el cuarto período) M = 5.324.000['l + 0,1 0(1 )]

. Tabla co¡n

n

2.4oD

z

2000

E

r.ooo

4

=$

S.AS0.+OO

el quinto período) M = 5.856.400[1 + 0,10(1)] = $ 6.442.040 (Para

1 Cran diccionario enciclopédico universal, Valencia, Ortells, 1980. 2.¡. H. Moote, Manual de matemáticas financieras, México, Uteha, 1973, p. 68.

Gráfico 5.1. Com

Alt¿¡¡mesr


=-_

(Para el sexto período)

M = 6.442.O40[1 + los réditos para que

rte gana intereses y se es como períodos de

= $ 7.086.244

Puede notarse la diferencia, en el mismo tiempo y con Ia misma tasa de interés, del monto total que producen.

)nta por la adición de rque se refiere la tasa. l un período, sino que

an."l is generado/ en una

0,1 0(1 )]

Monto con interés simple: Monto con interés compuesto:

$ 6.400.000

$ 7.086.244

En el siguiente cuadro (y en los gráficos adjuntos) se demuestran el comportamiento del

interés simple y el interés compuesto y sus respectivos montos:

:

Pqrjs{o,,,.

r'iliitdréig.,

:'DifeleneÉi

que éste calcula los és se va acumulando rlizan. Ceneralmente, I interés compuesto a

:sto de un capital de dos.

Tabla 5.1. Tabla comparativa interés simple interés compuesto (en $)

Como se observa, la diferencia entre el monto a interés simple y el monto a interés compuesto radica en que este último se va acrecentando en función del tiempo, debido a la acumulación de los intereses al capital por período de capitalización.

.000

El interés compuesto crece en función del nuevo capital por período, mientras que interés simple es constante durante todos los períodos. Mientras más períodos se capitalice, mayor será la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto.

el

3.600

I

200

2 800

3

2400

z

20aa

H

1600

=

1 200

lnterés simple

800 400 0

PERfoDos

Gráfico 5.1. Comparación gráfica interés simple/interés compuesto

Alfaomega

Alfaomega


¡nteres compuestf}

:

I

. '

7.000

Tas¿

Número de c

6.500 lnteres compuesto

lnterés simple

6.000 ¿ z 5.500 0 z

360 # días del

5.000

4.500

t = 9 años; tasa

4.000

34

2

r

(ex12)

PERIODOS

r:¡.:jr1.:':-\.rlr\ri{:::!..-.i..r.rrrrrrrr:irrr:rr,

¡

Ahora calculemos el núr período de capitalizaciór con una tasa de interés d

o

¡1

::.

li = --=-----= b

Gráfico 5.2. Comparación gráfica monto interés simple/interés compuesto

360 m=-=2 180

Variables del interés compuesto En

el cálculo del interés compuesto se debe tomar en cuenta previamente

. 0.06 "'"" = 0,03 i=

el

cálculo de las variables iy n, correspondientes a la tasa de interés por período de capitalización (i)y el número de períodos de capitalización (n). Período de capitalización (n): Espacio de tiempo en el que el interés se adiciona o acumula al capital. Este período puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etcétera. Se identifica con la letra (n).

2

i = 3"A semestrai Por último calculemos e por período de capitaliz; años, a una tasa de interr

Tasa de interés (i): Latasa de interés por período de capitalización significa la tasa diaria, mensual, bimestral, trimestral, semestral, anual, etc., según sea Ia capitalización por día, por mes, por bimestre, por trimestre, por semestre o por año. Se identifica con la letra i.

t=5años

i=

,=u+=20;:

Número de capitalizaciones en el año (m): Se obtiene dividiendo 360 para el número de días del período dq capitalización.

,=

Para calcular el número de períodos de capitalización y la tasa de interés por período de capitalización de un capital colocado a interés compuesto durante 7 años, con una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente, se realiza el sigu iente procedim iento:

t = 7 años. Entonces, n = 7(12)/6 = 14

n=

Número total de meses Número de meses del período de capitalización

9*=

gO -+;

4

se

= 0.01-

Fórmula del monto

,

"El monto de un capital

;

final o capital acumulad

decir, que se capitaliza 14 veces o que existen 14 semestres en 7 años.

i=

360

i=o'o9

'A Es

9%

o,ozs

Alfao¡l:ega

la diferencia entre el r

compuesto."a 3 L. Portus Covinden,

Maten.

a

500 pra

F.

Ayres )r., Teoría

All¿rrw:

y


I=

7.000

Tasa anual

Tasa anual

Número de capitalizaciones al año

m

6.500

6.000

m=

z 5.500

o F

zo

360

m=-360

# días del período

180

Ahora calculemos el número de períodos de capitalización (n) y la tasa de interés por período de capitalización (l) de un capital colocado a interés compuesto durante 9 años,

5.000

con una tasa de interés del 6"/,, capitalizable semestralmente.

4.500

t = 9 años; tasa nominal anual i =

4.000

6"/d

n=(e)á12) =re rrterés compuesto

360 m-_-l 180

enta previamente el : interés por período :ión (n). interés se adiciona o üimestral, mensual,

i=

0,06=0,03

i=

3o/o semestral

2

Por último calculemos el número de períodos de capitalización (n) y la tasa de interés por período de capitalización (l); de uh capital colocado a interés compuesto durante 5 años, a una tasa de interés del 9"/" anual, capitalizable trimestralmente.

rlización significa la l, etc., según sea la I, por semestre o por

t=5años i = 9"/" n=

5

1'' '=' = 20; se divide entre el número de meses del período -)

idiendo 360 para el

. =3+= 90

4; se capitaliza 4 veces al año

t tasa de interés por ,

compuesto durante

: semestralmente,

¡=

se

O'99 4

=0,0225 =2,25o/otrimestral

Fórmula del monto a interés compuesto )n res en 7 años.

"El monto de un capital a interés compuesto, o monto compuesto, es el valor del capital final o capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses."3 'A Ia diferencia entre el monto compuesto y el capital original se Ie conoce como interés compuesto."4 3 L. Portus Covinden, Matemáticas financieras, Bogolá, McCraw-Hill, 197 5, p. 70

a

Alláomeg¿

F.

Ayres.¡r., Teoría

Alfaomega

y

500

problemas resueltos, México, McCraw-Hill, 1971 , p. 63.


Armantlo Mora Zambrano

,

para deducir la fórmula del monto de interés compuesto, se parte de un ejemplo

de en el que se conocen el capital, la tasa de interés y el número de períodos

Para cualquier Perí fórmula del monto

r

capitalización. un De esta manera, para realizar el cálculo del monto a interés compuesto de 12% del interés de tasa a una plazo, de años cuatro a 100:000 capital de $ anlal, se elabora un cuadro en el que se expresan los períodos, los intereses y el monto.

El factor (1 + t)'Pt buscarse en tablas

La fórmula del mo capitalización mer

continua.

Tabla 5.2. Forma del cálculo de interés y monto compuesto

Fórmula del cálculo: I = Clt Primer año

l=

100.000(0,12\1= $ 12.000 M = 100.000 + 12.O00 = $ 1 12.000

M= C t-:_ m=

Segundo año I = 1 12.000(0,12)1 = $ 13.440

M = 1 12.000 + 13.44O = $ 125.440

L_

Variaciones de l¡ capitalizaciones

Tercer año

I =125.44O(O,12)1= $ 15.052,80 M = 125.440 + 1 5.052,80 = 5 1 40.492,80

Tomemosal=tas

Cuarto año

m = 360/número

I

= 14O.492,80(0,12)1 = $ 16.859,14 M = 140.492,80 + 1 6.859,14 = $ 1 57.351,94

t

de capitalizaciont

i la tasa de interés por período de capitalización y n, el núruro de períodos de capitalización. Así, se tiene el cuadro siguiente: En este ejemplo, C es el capital;

a) Si la tasa de intr

M=C(1

+r)nt

b)Si la tasa de int

* =.

(''

c) Si la tasa de inl

"=.(t Tabla 5.3. Tabla para deducir la fórmula del monto en interés compuesto Alíaome1q,4


{rmanrJo Mc¡ra Za¡nl¡rano

:

i

¡nterés compuesto

esto, se parte de un ejemplo

Para cualquier período de capitalización y tasa

, el número de períodos de

fórmula del monto en interés compuesto:

de interés por período, se obtiene la

a interés compuesto de un

la tasa de interés del 12% ios períodos, los intereses y

Entonces,

Monto alfin¿l: del período

+ i), puede hallarse mediante calculadoras electrónicas, var¡ando buscarse en tablas matemáticas en función de las referidas variables' El factor (1

112,.QQ0$,. 121440.0O1,

f

iy

n; o

cuenta los perío.dos de La fórmula del monto también puede expresarse tomando en mensual, diaria o bimestral, trimestral, semestral/ capitalización menores de un año:

8a,i;,1;

15?1351,94:',

continua.

M

monto.

C

capital inicial.

j

tasa de interés nominal capitalizable varias veces' número de capitalizaciones en el año. número de años.

m

t

interés y las Variaciones de la fórmula del Monto en función de la tasa de capitatizaciones: M = C (1 + i/m)-t varias veces en el año; Tomemos a i = tasa efectiva, anual; i = tasa nominal capitalizable años; n = número Á = 360/número de días del períodt de capitalización; t = número de de capitalizaciones en el año.

r_+

período de capitalización tiene el cuadro siguiente:

rr"

Monto

C+Cí

+l)i r+Ct1+i)4 r + C(1

sola vez al año) a) Si la tasa de interés es efectiva (se capitaliza una

M=C(1

+i)nt

b) Si la tasa de interés se capitaliza semestralmente:

=,,.),&li',$,,,tj Jttt,',",Q,(!,

M=C '"--\" 11 +-l--\''

2

)

c) Si la tasa de interés se capitaliza quimestralmente:

r

C(

I

+t )

q't.i

M=C/1

\

r.:ria:.:::.:gl*,:,t*1:ill

=.. i,nterés compuesto A!laomega

Alfaomega

;

2,4(r)

+-r-\ I 2,4

Ellil

FC


a)Tasa del 9Y. efect se capitaliza cuatrimestralmente: d) Si la tasa de interés

M=C

(r.+l'

M = 20'OO( b) Tasa del 97" anu;

se capitaliza trimestralmente: e) Si la tasa de interés

M=C fl

(1

M=

*L4 f'

c)Tasadel 97" anu

capitaliza bimestralmente: Si ta tasa de interés se

M=C

(r.--, f'

=C (r

,

.M = 20'O{

d)Tas.a'det 9"1" ant

'l:l: r:'g =,0'O

se capitaliza mensualmente: g) Si la tasa de interés

M

20-0Ot

.+)"

9"1" c¿

quincenalmente: h)Si la tasa de interés se capitaliza ;

M=C

:rlt:..,:,M:

2-1t

\ -J-\ 24t

/1 -'

i) Si la tasa de interés

i

i) si la rasa de interés

T¿sá-del 9% c

se capitaliza diariamente:

M=Cf.rh-) '3601

o

M=c

se capitaliza en forma

f .#.J

:tt,.1...,¡

- ,0.

_c::til]5

En la cual el número

lím(1 + 1/x)"

-

n---

-)

71B2B1B2,

i = tasa nominal

i

=

nút"ro

20.C

de años

Alfaomega


M = 20'000(1 +

= 183'97 6'4852

0'09)25'75

capitalizable semestral: b) Tasa del 9% anual

M = 2o.ooo

(t

o';e

*

'1)

)"

'gz',naz'gssog

capitalizable quimestral: c) Tasa del 9% anual

*

M = 2o.ooo(r

949J"'!

tso'sza'szsz

cuatrimestral: d)Tasa del 9% anual capitalizable

*

M = 2o.ooof

-g/E:''L: 1s6'202's822

trimestral: Tasa del 99o caPitaliza'ción

,

o,o9

M=20.000[+ 4

\ro3= 197.857,0883 r

ación bimestral: Tasa del 9olo caPitaliz

r.+--11 0,09\15lotgg.S+t,OZIS

M=20.000[

mensual: Tasa del 9% capitalización

M = 2o.ooo(l *

qfj"'=

2o1'2s7 '4348

diaria: h) Tasa delg% capitalización

r *-T61 - 0,09 \e"-) ZOz.g+a,Sqsl

M=20.000[

compuesto durante

i),

,,Tasa

continua: del'9o7" g¿pitalización

capitalizable de la

elMonto.


r

:

lnteré$ r:ompueslo

Armandi¡ Mora Z¿lml:rano

I

a) Cálculo ma

6(12\-3

Si una empresá obtiene un préstamo de $ 3.000 a 6 años de plazo, con una tasa de interés del 15"1o a,nual capitalizable semestralmenté, ¿qué molto debe pagar a la fecha de vencimiento y qué interés?

6

. /-

t-r,,_

Secalculaniyn: 6;,Ii ;,lii:.::t. '.': 6

1

?

.:,,,,i',2

:: ii..,: '

m=

pefíodos

'::

360 180

;,.l),rll

l,,

911..5,, :)

-

¡;l¡)U'.. =''7' U %

lffiésii;

-u,[

2

M = 4.000(.1 M = $ 6.14e,.

=Z

-

o,o7

.:"::'.:..:,:...

i " ,. :.' l

,,

... ,,u.ti.,

b) El cálculo

i

comPuestc

monto de M;'3.6¡n,t::':::+O;Oi'511:z':'.'.)'3''ggQ11;'::t6751'.\!

M = 3.000(2,381 780) = $ 7.1 45,34 I

En el ejem

nterés compuéstó Oúe' dobe:pagarlr:r

M = 4.000t1' M = 4.000'1

Cuando el tiempo de pago no coincide con el período de capitalización, presenta el caso de los períodos de capitalización fraccionarios.

n= Es

4(12)+9

66 =

.

Como puede aprecia

Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios

Entonces, si el tiempo de pago de una deuda es 4 años y 9 meses interés del 14% capitalizable semestralmente, se tiene que:

i

En otras P; entera e in

matemático. se

y la tasa de

Calculemos por Ios d,

$2.000a7añosy8 Método matemátic

Se calcula el valor de

57 =9,5semestres

n=+

7

'

(12t

)

J

. 0,09 /=-=u

decir, 9 semestres y una fracción de semestre.

4

Para el cálculo del monto compuesto con períodos de capitalización fraccionario

pueden aplicarse dos métodos.s a) El matemático, que toma el valor exacto de n en la fórmula del monto compuesto.

b) El comerciai (véase el siguiente ejemplo parte b).

Se

aplica la fórmula

r

M = 2.000t1 Método comercial n

el cálculo el monto de una deuda de $ 4.000 a interés compuesto durante 6 años y 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual capitalizable Para

=

.

7(12\ + 3

0,09 4

semestralmente, se tiene: *

s L. Portrs Covinden, ob. cit., p. 25.

En este

procedimiento

es

Ia tasa de interés Por Perí

Al.[;ryre,"

ú'-*^**-


a) Cálculo matemático

le plazo, con una:tasa é monto debepqgar a

,=6(12\+3 = 75 =l2,5semestres 66 o,o7

¡=

= 0,035

2

M = 4.000(1 + 0,0035)12'5 = 4.000(1 ,537285) M = g 6.149,14

-1

b) El cálculo comercial, aplica la parte entera de n en la fórmula del monto compuesto (interés compuesto) y la parte fraccionaria en la fórmula del monto de interés simPle. En otras palabras, el método comercial aplica interés compuesto a la parte entera e interés simple a la parte fraccionaria. En el ejemplo anterior, con el método comercial se tiene:

M = 4.000(1,035)r'/(1 +

0,035+)

M = 4.000(1 ,51107)(1 ,075) = $ 6.150,05 Como puede apreciarse, el método comercial da un resultado mayor que el método

fraccionarios

n

de capitalización,

matemático. se

irios.

9 meses y la tasa de

Calculemos por los dos métodos, el matemático y el comercial, el monto compuesto de trimestralmente. $ 2.000 a7 añosy B meses de plazo, al 9olo anual capitalizable

Método matemát¡co Se calcula el valor de n e

i

B4+B

7fl2\ + B )

1 J

-)

=

i rl

ización fraccionario

tra

Se

o'09 4

=o,0225

aplica la fórmula del monto: M = 2.000(1 +

iórmula del monto

_ 30,6667

0,0225)30'6667

-

$ 3.957,0s

Método comercial

'' -

n

+B 90 *Z=3o +lperíodos =

3 3 ,= o' t =0,0225

; compuesto durante o

7(12)

anual capitalizable

3

3'

*

interés simple, debe relacionarse En este procedimiento es necesario destacar que, en Ia parte del cálculo con la tasa dá interés por período con los meses o días que tiene el correspondiente período.

Alfaanrega

Alfaonega

IilEJI


,Arnl;,rnrJ¡¡ N4<¡rii l-a¡nhr¿lno

o,azzsl .)/

M = 2.00011 ,02)St'o(l + \

M = 3.000.{

M = 2.000(1 ,9494)(.1,01 5) = $ 3.957 ,27

3.030.399.-;

También puede expresarse así:

lnterés = 3.,-

0,09jL) ' 360t

M = 2.000(1 ,o225¡oh \ +

Esta fornta c

del interés

s

M = 2.000(1 ,9494)fi,01 5) = $ 3.957 ,27

c) Con el año Correr,

Diferencia entre los resultados obtenidos por los dos métodos: I = 3"000.U[ $ 3.957,27

-

$3.957,05 = $ 0,22

M = 3.000.i

Esto se debe a la diferente aplicación del interés en el tiempo fraccionario (dentro

d) Lon el ano caleira

de los dos últimos meses se acumula el interés).

,,..i.

I

Aplicación de la capitalización continua en plazos menores de un año

"

En algunas operaciones de documentos financieros/ como contratos a término o

fon'vards, contratos futuros, opciones de compra (put), opciones de venta (call), se utiliza la tasa cle interés anual con capitalización continua, tomando el año calendario o el año conrercial )i corno base el número "e" = 2,71828182846, en plazos menores a urn año. El resultado es siempre mayor qure la aplicación con el interés simple normal.

-

3"000.üi

r ,\d '= 3.80[1.,

Se puede considerar'

lé¿icamente'meno!'.

S)t¡emplo [iemplo Calcular el lnterés y el Monto que generará un documento financiero de $ 3.000.000,00 durante 92 días, si se considera unatasa de interés del 4"/, anual con capitalización continua. Resolución:

r, =

i = 0,04

-23--= 360

Calcular el vaior ac, suscrito a 210 días i de interés del 9% a:: Resolución:

C=Me'

M=Ce'l

d

Y' ' ',

Lon el ano comerc:i

0,255555555556 C = 5.000.-

bl t,- = á) Con el áñó

:

-236s

= 0,252054791t21

ócmercial

C = 5.000.i

':r

,,,.,'

"

::.,

Si se calCu,la con ei

'.,. .::: :a:

f,.{

=,3.000.00ó,00

ero,04) i0,2ss5,551156),=]3.000:,000¡OO

9o',:o102222212222

=

3.030.823,94285 ,,',

:'1¡tp¡6r':''

!:,:}CI,3

0.8e 3,9

-a

r 4 2 8 9,

:

:

.

óÓq, oo0;

00 =

3O. gr2.3,

.1

g4t Bs

AL::*l.-.


M = 3.000.000,00

so'o+ \o'2s¿o547s1521)

= 3'000'000'00

e0'01ooazls1781

-

3.030.399,56495

-

lnterés = 3.030.399 ,56495

3'000'000'00 = 30'399 '56495

Estafornradecálculodaunresultadomayorquesiserealizaraconlafórmula áli int"t¿t simple: I = Cit y la del Monto = c + I anual c) Con el año comercial y tasa de interés

l = 3.000.000,00(0,04) M = 3.000'000,00 acc¡onario (dentro

I

30'666,6666667

+ 30'666'6666667 = 3'03O'666'666667

interés anual d) Con el año calenclario y tasa de r=

nor€s de un año ntratos a término o nes de venta (call), ra, tomando el año

(.%--)=

3.000.000,00(0,04)

(#,

)=

30.21b,s75342s

3'030 '246'5753425 M = 3.000'000,00 + 30'246'5753425 =

.supu"a"considerarigualmerrteelcáIculoclelvaloractual,enelqueelresultadoes lógicamente menor'

, 1 B2B1 82846, en

e la aplicación con

cle un clocr'rnrerrto financiero

@l:r$|1,. nanciero de interés del 4 "/"

urlo, actual 90 días antes cle su verrcirnienro "l .suscritoa2l0clíascleplazo,porUnn-'o',.nde$5.000.000,0O,siseconsideraunatasa i .l" int"r¿, del 9% unuul ton capitalización contitrua: Resolución:

C=Me-ir :

,

Con el año comercial:

:

,

c = 5.000.000,00

eJ'oe

t!l0r'160r

- 5'000'000'00

e-0'0?25

4'BBB'756'186 C = 5.000'0 OO'OO(O'977751237) = Si se calcula con el interés simPle: |aa)))), ))

C_

1+

85

o,oe(#o)

5.000.000,00

= 4.889.975,55

1,0225

EI:R,I

l

I

5.000.000,00

Aiíaonrega

All'aornt'ga


Arnr¿ndo Mora Zambrano

¿;;iinó

'

Fórmula de equi

l'áióiiaá']ó

C = 5,0O0.O00,00 e{'oe

(e0/36s)

El monto de $

- 5.000.000,0O e4'o221e178

'1,

a

lr

i('l+i)=1 C

::' I5;G)00:üOO;00

(0,978G5 2646) =

5i se'caleulá:coii inierés simPle:

:'

r:

4'8W'263,231 El monto de $ 1, a .ia

,,

i"tg,o-e

r= t*#

,rr':l

5.000.000 o0

= 4.891.450,01,

T,A271,937&L.

,..:

',' .,

,1,

I

,, .,j ,!:

Iasas equivalentes

que es la ecuación

ano y nominal es aquella que puede ser capitalizable varias veces en un se denomina (i). capital una vez en el Tasa efectiva áe interés es la que realmente actúa sobre el

,

capitalizable varias

Tasa

Tasas equivalentes

producen el mismt

año y se denomina (i)conversión dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de al final compuesto interés mismo el (capitalizáción) son equivalentes si producen de un año."6

,,Se

,,Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando producen cantidad de dinero al final del año."7

la

misma

será: Así a un capital de $ 1, al 1B% anual capitalizable mensualmente,

rrl =

r

(r

* ol;

Así, para conocer

(1

I

+i)=[

En este caso:

i=? j. (1

)"= 1(1,os)r2 = 1(1,1ss6182)

A una tasa de interés efectiva del19,56182o/":

M=$1,1956192

También se pued

l,

anual capitalizable las nrensualmenie, es equivalente a la iasa efectiva del 19,561827o, puesto que dos producen el mismo resultado. 6

F.

Ayres Jr., ob. cit., P. 65.

se puede apreciar que la tasa nomina

71. H. Moore, ob. cit., p. 92.

{

I; -1 -l I: -1 -l

M = 1(1 + 0,19561 82) = 1(1,1956182\

ejemplo

I

+l)=

(1 +l)=( (1 +i)=( (1 +i)=1

M=$1,1956182

En este

¿

capitalizable trime

1Bo/o

trimestralmente

e:

fbra la solución

d

(1

+i¡=(


Fórmula de equivalencia tasa nominal/tasa efectiva 9¡;8

EI monto de $ 1, a Ia tasa I en un año, es:

i(1+l)=1+i=M El monto de $ 1, a latasa

jcon m capitalizaciones en el año, es:

M= ú\ *-LY mt Considerando que los dos montos son iguales, se puede plantear la identidad

ieces en un ano y

lital una vez en

el

dos de conversión compuesto al final

oducen la mrsma

que es la ecuación de equivalencia, que relaciona una tasa efectiva con una tasa nominal capitalizable varias veces en el año y viceversa, con tasas de interés vencidas' Tasas equivalentes son aquellas tasas que,

Así, para conocer a qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 1B% anual capitalizable trimestralmente, se realiza el siquiente cálculo:

(1

t

i-

+r¡=(r.#)

En este caso:

ente, será:

con diferentes períodos de capitalización,

producen el mismo interés compuesto.

i=7. j= (1

,

18"/"

m=4

2ff1, +l)= [ *.¿

(1 +l)=(1 +0,045)a (1 + i)= (1,045)4 (1 +i)=1,1925186

i i

= 1,1925186- 1 = 0,1925186 = 19,25186"/"

También se puede plantear el problema inverso: ¿A qué tasa nominal capitalizable

nual capitalizable 19,o,

puesto que las

trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19,25186"4? Para la solución de este problema utilizamos la ecuación de equivalencia:

(1

Alf'aomega

Ali'aomega

+r)=(.+f


y reemplazamos (1

1,O45 =

+0,1

s2s1ft6)=h.+f 1,O45

-

(1,1s251e01=(l,' *L)^

4,

0,045 =

mĂŠtodos: exponentes o Para encontrar la respuesta pueden emplearse dos radicales y logaritmos.

0,045(4)

j = 0,18

Por exponentes o radicales igualdad no se altera. Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la

*

(1,1s2s1e)1/o =(1

1,O45

=, *

1,045O'O45 =

4 (O,O

+l'r 7

+

1=+ f

:

hÂĄacoirscer,

sl

'i1'+ il=

i nor expotia# a ,1+o,oi

ÂĄ

=

Se obtiene la mil

i

') j=0,18j=1Bo/oanual,capitalizabletrimestralmente. Por logaritmos tog (1,1e2s18) =

r.g(, *

0,07646s= 4 log (r

j)'

. *)

o'o7646s -rog(1 * L* )

0,0191r0=log(1 antilog (0,0191

+4

16)

= 1 + t-


¡

1,O45 =

exponentes o

1*-q

1,045

,i - | =-4

0,045

=':-

0,045(4)

¡

=l ¡ = 18"/"

i = 0,18 r

se altera.

respuesta: Se obtiene la misma

j = lBohanual' capitalizable

trimestralmente'

es equivalente

entonces, a qué.tasa lqTill;t"pitalizablesemestralmente' '*Tllt""."r, el siguiente procedimiento: la tasa efectiva del a'l','selealiza (1

+i)=

(t

*#'

Por exPonentes o radicales

1+o,og

*1'

=l

es semestral en razón de que la capitalización

rente.

1,08

=l

*t)' . a 1t)

(1,08)r/2=[(,r.# (se elevan ambos

I

miemb¡s a taR'oteneial12)

1,O3g23

='

*!

1,03923

-1

=T

a,úe9

=l

I

Z(0,03923)

=i

A,07846 =

j'

fil'4il A

ltanmepa


i

¡\rnrando

fu4ora

Zarnbrano

Por logaritmos

+l2

log (1,08)= lo8(1

@¡E¡emplo

'Yt

)

Calculemos

e!

durante 5 años

)

15 j4065923o/.

0,03342376 =

2l

"sf

* l_'\

M=2

2t

i'

*+*=toe(1 .+)

itrt;t]lit.ll.

= 4t ,

':,:,,',".'a..'::Ñf'

0,016711SS = log(1

.,

antilog Q,01671188) =

1,O3923 =

1,03923

-

1

::,,:..a,:,.

1

+L

Se tiene que di

2

a) Para el Mon

l

1+i.=gi

2

-L 0,03923(2) = j

j = O,07846 j

= 7,846o/o anual, capitalizable semestralmente'

Como puede notarse, al comparar la misma tasa de interés, la tasa efectiva

es

mayor cuando se capitaliza más de una vez en el año. 7

,846"/"

También puede plantearse el problema inverso: ¿A qué tasa efectiva es equivalente Ia tasa nominal del 7,846"/. capitalizable semestralmente? (1

+i)= r**-

(i+l)=

.= $

Fórmulas pa

¡

0,03923 =

B"/" >

2

2

+-l

1

a.:::.::f::a:,:.t

-

1+0'078462 2

1+i = (1 +0,O3923)2

Esta relación también puede demostrarse en forma práctica.

,{1¿-ernesa


@)E¡emplo

Y

el monto y el interés compueslo que producirá un capital de

Calculemos

$

200.000

durante 5 años y 9 meses si es colocado: a) a una lasa del 167o electiva y b) a una tasa del 1' 5, 4A659 23"/, an ua I co n cap ital zaCién semestra l. i

M = 200.000(.1 + O,l6)¡:75 ;,,$,469,530¡09 f ,,,:,= 469,53A,09 - 200,000 = $ 269.530,ü9

$,,-',,z1yi4nni,',ói1l,l¡:,.;,&13$$3i ' .r..r'\ ],i,. il,l.rir:. : :,, .2

.

i':lf

iii:"r

,,,'..::,,-.,.1:.,,:...:,,..,t,,...:

.:;'

"¡..;.:on;

l:.:',*,fii,:.2:69z:5''C$;09',:i'rl;:.1"'''.

Fórmulas para tasas equivalentes con capitalización continua Se tiene que diferenciar si son tasas para calcular

el Monto o para el Valor Actual.

a) Para el Monto:

1+i.=si

i.=ei -1

@r¡emplo

Y

restralmente.

:.

Ia tasa efectiva

¿A qué tasa e[ectiva es equivalente una tasa del 67o anual con capitalización continua, en una serfe de depósitos?

. ,, es

-

-

i.

-

e0'06 1 - 0,06]

is

=

6, 1 83 65465 45o/"

¿A qué tasa anuál Con

B-3

6546545

capitalización continua

es equivalente una tasa efectiva

dé,1,

6,1836546545%? ectiva es equivalente

0,061 836546545 = ',,.,,.: ¡ .:.:::... :..

a

,,:,

-::..:

ei-

;:'t:;,06.:1:,;&3..6i[746545,1;:ál;.gt .:,

:,a

..

1

.' ""

'

...'r ,,,,,,',,,'.,,,¡¡.:l];0¿it$3,l6S¿.6E¿.lt;,.i.ln,t¿

t..a.,,',

t

t'

t

t

rj.t,ri,t,r t,,,,,,r,,,raa,.,

,:'tqriO6iÉ,i,f'l

ri r:i:,i.t.:

a:...::::::...a:a..aa.:.......-,::

: :',

r.:

.

_

.. .. : ... . ':..

.,:,:::i.:::.:21;',.,6q/;:,:::'..:.,,.:.:

@t¡rrplo -

¿ A qué tasa anual con capitalización mensual es equivalente una lasa del 97o anual con capltatización continua?

, t2 (l* i )=so.oe ' 12',

/ }=1,09417428 {l+ 12'' ' rilitl

Allaorne¡ga

,{,il;..Jnreg..

lljr,:

TilúT'I


Alternativas de Se saca la raíz 12 de los dos miembros r ; (r*-] \

Cuando se requie encontrar tasas cie

rll

12,)=1,oo7s2v1e

j

= 9,033834 ?o anual

capitalizable

mlns1at1entl

analizar en iorm¿

equivalencia lfór;'

.,,r.

cualquier tipo de capitalización b) Para el valor actual, se puede comparar ;m

(t + -L1"'= \

6tiemplo Y Una empresa

*'

m/

de,

a) una tasa del capitalizable sen trimestralmente: ¿Cuál opción le

Eiemplo una tasa del 6% capltalizable mensualmente es.equivalente ¿A que tasa anual pagos? capitalización continua, en Una serie de

anual con

fr,

'

;

r

j )'1 1.o61libs47 fr* I \' '

12

I l-tro.ob 12',

I = 6,01 5025

i = o-'- 0601.5025 -

Este Problem,

ecuación de equi compuesto.

Solucién anatític Se comPara la ta Con tasa de inter

12

t

"/ó

de p¿8os' es con,capitalizació¡ coiriinua' en una serie 9' anual capitalizable mensualmente? equivalente una tasa oel b O 15025

--1

¿A que lasa anual

. t

ln\1

,- ^i =tne

ln 1,061836546 = i ln

. ,.

,,

.,, i = 0,41

Con [a tasa de ir

1+l=i

i=''69/'-ó

i

Eiemplo

,

: interés anual capitalizable mensualmente En una serie de pagos, ¿a que tasa de

i,üfi;i;;,1-ri-,""ñu'i"'i",.tái

del = e% anual con capitalización continua?

:r''ir." j=0,01 ,r-..... .,"

, (r

;

t t¡ h* \ 12'l

'12

rii

--

E-ffii

0¡ü90338345

4,0(

Conrla,tasa de

,,:,.,,

=t,oOzsZSlSS

i

*

i

:rri:,i,i:.'.,.1+l= ,..'.,,.ii:_.r.t.::

=

i=

,12

\ *--t-¡ 12' =so'oo ,;] I \ l., \'- 12 I -1,094174284

I

={.1

:'i,.. i=4,11

e :.:

0,06 =

+i

i = 1,0'1

'tqnl= 112 0.06015025 \rr

+-7-J

c

''.,...':

O,O:l,A:+5Y" anual eapiializable mensualnrente

¡1..LLxl.n¡:siL

.l-i :_ 1 ,0:

,.. - :,, :.-.1,

.i1:*

;,,::;:i.:=

0r0'

j,]'


':'1.:::

:::i::'::'

.,

Alternativas de inversión, comparando fasas de interés

nrente ,-i

¡rc de capital izacién

=:;,,ivalente una tasa del 6./"

:

:la

$OS

; rl 1')

?

Cuando se requiere invertir determinado capital en el mercado financiero, es frecuente encontrar tasas de interés con diferentes tipos de capitalización, por lo que necesitamos analizar en forma matemática cuál es Ia mejor alternativa, utilizando la ecuación de equivalencia (fórmula 5.4).

iemplo Una empresa desea invertir $ 6.000 durante dos años y tiene las siguientes opciones: a) una tasa del interés del 4,147o efectiva; b) una tasa de interés del 4, 17o anual, capitalizable semestralmente; c) una tasa de interés del 4% anual, capitalizable trimestralmente; d) una tasa de interés del 3,9"/" anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál opción le conviene y cuál le produce mayor interés? Este problema se puede solucionar de dos formas: analíticamenre, utilizando la ecuación de equivalencia, o prácticamente, utilizando la fórmul¿ del monlo con interés compueslo.

,ll |

.ll:r\ttr '.. tt,)wz-)

= 1,061836547 o//o

' i-rrra sej'ie de pagos, es . .zable mensualmente?

Solución analítica Se compara la tasa efectiva del 4,1 4o/o con l¿s demás. Con tasa de interés del 4,17o anual, capitalizable semesLralmente:

1+i=ú\2/ +o'041)'z i=1,04142025i = 0,4142 i = 4,1 42"/" Con la tasa de interés del4% anual, capitalizable trimestralmente:

t.*; oLt

1+i=(1

t

i=1,04060*1

:

rapitalizable mensualmente -on capital ización continua?

¡= 0,04060 i = 4,06"/, Csn

[a tasa de interés del 3,9% anual, cápitalizable mensualmente:

r

+

i;(r *.uei"

i:= 1,fl]$/[J,: i =:io¡0397, < 3,97o1o ,, . i':

l

r¿Iizable mensualmente

,Lái

-'l

,

mejor:o{ei1a:es la segu,ndá, i =

tasa,

efeótiva do| 4,1

42ol¡,.

4;:'1d/a

anual, capitaiizáble trimestralmente, que'da,una


.Armanrjo Mora Zaml:r¡ no

Solución práctica Se calcula con los datos de capital, tiempo y tasa de interés. Con tasa efectiva del 4,14"/":

":::::::*!::::'

a.

M = 6.000(1 + 0,0414)2 = $ 6.507,08

M=18 I -'r1

b.

'.

M=18

Con tasa del 4,17o anual, capitalizable semestralmente:

,l=21

t

s o.soz.:: M=6.000\1 +_o_,9!t)1 I

..

"

4

Con tasa del 4"/"anual, capitalizable trimestralmente:

C.

, +,q91f =s6.4e7.14

M=6.000t1

a

r

M = 6.000(1

:,.r.. .M,= 1[ j'

t

t

,,.,

"l ,-

d..,r."',::ii:r:, .,tt,t.,

. 0.039 "'i;" )-'= g 6.48s,s1 t2a

21

lÁ = 1f

l-11

La.rnejor: oferta es lá segúnlda',ió¡L:'|,1ín,,ryañQrdié $'6i.,fq.7i/:,3i;':::,la.¡ei;,p;1w;*ia¡ha!.!¡dá. ,por'la forrna,anal:ít!ia,,.i!,0,üirre lfe[!é,.pn¡l¡nl,idir con !a e¡gontráda.,,.póí!b im$¡. práctica, como se vio en el ejemplo.

Lil'¡

.o¡,'.*ert;

está.respÚesta

Sé ,é Elemplo

á*prur" desea invertir $ 1 8.000 durante dos años ytiene las siguientes opciones: a) una tasa de interés del 9"/" efectiva; b) una tasa de interés del B 3/4% anual Ü na

capitalizable semestralmente; c) una tasa de interés del S 7/Bo/" anual capitalizable trimestralmente y d) una tasa de interés del B 13/16Y" anual¡ capitalizable mensualmente. ¿Cuál opción produce mayor monlo e interés? Resolvamos el proceso en forma analítica y en forma práctica.

I

utiliz

-gÍs.liffs,l.13:f

@:r1ll*aan, (1

*;

Solución analítica

a)

b)

i = 9"/o

1+i =(r-z*

,i

i = 8,941 40625"/" efectiva, anual -

c)

\2+J

11

o'qszs¡' '.......

.i'l:"

_

i"

::aa

'"

"-'

{,*l

:'

1+i=(r*o'ogazs;o

,,,j_

',.'2

d)

,,:12,'j:,,J=

lll

El ejemplo qut

A

lLlrrr

eo-¡


a.

M=

18.000(1 +0,09)2 =$21.385,80 - 18.000 = $ 3.385,80

I = 21.385,80

M = 1B.ooo(r

.gy!)o=

5 2t.362,82

= 21.362,82 * 1 8.000 = $ 3.362,82

I

M=

o'o8;875 lB.ooot +

'4

)u=

g 2r .454,44

I = 21 .454,,44._ I8.000:= $ 3.454,,,44 '

M = 18.000(1

+

0,088125)tt= g zt .4s5,43

'12'

i,,=

2r1,

;454;43i,*: I B ;000, +

¿r,;;i;itÁruli,A:l¡;t',,i;a";rqon Se puede

*

:3,45

5:

¡43

:, :,::::

. : :'. :

ün,,man ro;,,Á,ie':,$i,i.t,,.+,s5;!ii:y,*Á'.inte¡és.de ,$

utilizar la ecuación de equivalencia cuando nos enfrentamos con problemas

¡qii.elnéri: ta$asr ¿on:rdiféienlQs,¡1i'$o,qrde

e

áp,litli2aeióillL,,

r,,

.:

,,,,r,,,:,,ri,r:r:::r:

pcrones:

% anual talizable talizable amos el

cap ital izab le trimestral mente?

t \1

t +0,15)4 +iJi¡2 =\1 4 t

(r

*l)

(1

*+i'- tl,óizsi

\ \' 2 / = ('*q-i) 4

¡

--=1,07649625-1 ?,.,¡,¡;t5,zgt.75.,';,.','i,,,2,,1',5i;i¡91,;2'$t1,.ánl'ál. capitalil)ble,seméstialmóráte

El ejemplo que sigue presenta el problema inverso. rlrn.ed ..-:':,;:,,)rl;:.i.:*,

iltar.rnrega

3,als,a];


A¡mando ñ1ora Zambrano

:

lnleteS LUll lljuot

Simplificando,

equivalente una tasa del

1+i=

1+i,

1+i

Tasa

de interés anticiPada

La tasa de interés anticipada es aquella que permite pa8ar o cobrar los intereses (para demostrarla [.i"a"f """do; para la áplicación se utilii_1la siguientefórmula bancario): y al descuento 5.4] ,u ¡.u.urru a la ecuación de equivalencia lfórmula

1+i=h*4' \ml ,d ' 1-d

m=

i=1

l=C ;-c

También put

d l-

t

anual, capita

1+t

Conociendo quei es una tasa de interés anticipada, puede establecerse que

Entonces;

¿A qué tasa

m

¿A qué tasa t una tasa efer

d

1_-m

1+

Llevando este criterio a la ecuación de equivalencia, se tiene:

dl tm

r.r=[r

(1,C

.;j?l Aluoru


Simplificando,

te una

1+i=

1+i

r

=|-i-\' 1-\\m

*¡=t

I

con tasas de Fórmula 5.5. Fórmula de equivalencia

-#)*

interés anUciPadas'

es equivalente una tasa anticipada ;A oué tasa de interés efectiva anticipada

ar los intereses

ínüi-.upit"l

i

zable cuatri mestral mente?

ara demostrar¡a

ento bancario): m=

360 =Ja 120

r l+i=[que

0.09 \-3

3

)

i=1,0956827 -1 i = 0,0956827 i = 9,568270/o problema inverso' También puede plantearse el capitalizable ;A oué tasa de interés anticipada anual, 6827 "/o ! 9'5 'u del i pada nr',ur" efectiva anti c

1 + o,oe568 27

=l- +) '

(1,oss6Lz7)-'o =[(1

AlfaómFPa

- +f

f"'

cuatrimestralmente, es equivalente


^lT:

::11

::::i itT?::i:

ro8+ 0,o97 =

1

-097

1

-)

n

j

.

= J)

Otro métodc

M_

(0,03)3 = i O,O9 =

j

C

i = 9"/" anual, capitalizable cuatri mestral mente, anticipada

Se elevan amb

¡Mrl {-l \C

La diferencia entre la tasa de interés vencida y anticipada puede apreciarse en la siguiente tabla:

y se simplifica

1

il;i"t265432t 3Vo . 42qo ,

3.09-l 72.41A

.,ó%

6.383

:

81.820

i:,::,45%'

l:':,,.:9.%..i,i9.890 tl:'.48yd,,,,,.r,.,tt¡.9¿:31Q

3.069 60.230

6.281 6ó.190

9.646 73.130

i'.::¡

3.06s

1,¿f¡rrr:rr.

nr"

3,¡53:,..,ri:.3.049

I

2.3

.g42,.,,.1:,,1:,619;

57.220 55.950'', s4.+eo sr.t:o,1,¡i.it0,r,,,,S0:g7S

58.690

4 ...3:

-.. tB3;4: ., 3.91:1:

49¡9ü

5 ::'.:,,,::3.::p/26!.,:,.:..

: .48:.l50rirri'i

riil6l:13{5:...ii,,..iit6'.1?1..

6.265 61.ó00 9.607 70:840

t{l \C

Núrnero de mesés vencidos

Número de meses anticipados lnterés

6

6,165 $.n9{

63.830 61.190 59,640 5S:i9ú l',"51;:5:ta"" 54-XA

53.1180: 52.090,. . 5l:051,150,060

9.568 9,530 9.492 9.454'i 9:380 9.144 68.720 66.750 64.620 ,,63.210 I 6fl.100 58,6C0

9.03&, '9,273 9.237 9;VA3 57.350 56.fl90',54l8qn"',53.760

Tabla 5.4. Tabla comparativa entre Ia tasa de interés anticipada y la tasa

*=,t

;

+-ml

m-t |

=loB11

M_ C

en

l¿

¿A qué tasa efr 6 años?

M=C C

Utilización de logaritmos:

loe+"C

interpolación encuentran tal

M=

n

Para despejar r, se presentan tres alternativas:

¡

m

cociente M/C.

interés compuesto:

i)

Un tercer

Se busca

La tasa efectiva o nominal puede calcularse partiendo de la fórmula del monto a

+

.

de interés vencida

Cálculo de Ia tasa de interés

M=C(l +i)";M =.(t

tr_j \C

3,&3

43,tó0:.46,410

+i)'

,M togf- =nlog{1 +l)

45.00 30.00 1tr I tJ -

Por logaritmor

log1,i log1,:


,M lo$-L

.

=lo8(1 +i)

Otro método es utilizando exponentes o radicales.

M C

=(1 +i)n

Se elevan ambos miembros a la potencia 1/n

* )"n= [(1 +i)nlr'n f\c/

'uede apreciarse en

y

se

simplifica el exponente en el segundo miembro

lM)''"=r*¡ \c/ ,*

3.331,:?

{al5q,i:i;,,1

16

lM)'^\c/ t=i

á1á'-iil

.

Un tercer método es la interpolación de tablas, que se realiza en forma similar a la interpolación logarítmica. Sin embargo, este método casi no se utiliza porque no se

m

]s !0

encuentran tablas fácilmente para determinados tipos de interés'

56.090:

M -(1 +i)n C

¡¿ de interés vencida

al Se busca en las tablas, para un determinado período, la cantidad que se aproxima interpolar. a procede se exactamente cociente /WC. Si no se encuentra

irmula del monto

a

capital de $ 30.000 en un monto de $ 45.000, en ¿A qué tasa efectiva se convertirá un 6 años?

M=C(1 +i)n

M C

=(1 +i)"

45.ooo _ t1 r -',

il6

30.000

1,5=(1+i)6 Por logaritmos

log1,5= log (1 +

i)6

log1,5=6log(1 +i) Aliaomega

Alfaomega


Armando Mo¡a Zambrano

¿A qué tasa anu¿ en 314 veces má

0,179091 =log(1 +i) 6

M=C't C=$4i

O,O2g34B = lsg (1 + i)

=1+l

antilogO,O2934B

1,069913=1+l

M=4O

0,069913 = i

i=

6,991320/"

t=5ir Mt -C\=[1

Por exPonentes

1,5=(t

+l)6 = 11 + i)6/6 '5)1/6 (1,510'toe6=1+i

70.000

(1

40.00c

1,069913=1+i

i=

6,99132"/o

í,75)1

Por interPolación de tablas

(,75J1

1,5=(1 +l)6 (1 + i )" cuando n Se busca en tablas de

-

6

1,028

(0,02f

0,1 13

j=11 Tabla

5'4'

Tabla para

la interpolación del ejercicio

anter¡or

la diferencia tabular de 0'041 5BB plantea una regla de tres simple' comparando ¿l¿I v'iu *"no," en la tabla, que corresponde con la diferencia

Se

"",r"

aO,O4OB57.

-x-

0,005

¿A qué tasa trimestralmen

i;;;,'5"i

1+¡

1+i 1+i 1+i i=0

0,041588 o,o4OB57

i=1

x = O,OA412 Se suma este resultado

al menor

0,065000

o,004912 0,069912

Cálculo de Para calculal

monto:

\z{ =

v se obtiene

'

i = 0,069912 i = 6,9912o/o, aProxirnadamente

M-

Ali'aornéga


¿A qué tasa anual, capitalizable trimestralmente, un capital de $

40.000 se convertirá

en 3/4 veces más en 5 años?

M=C+l c = g 40.000 M = 4o.ooo

*

|

r+oo.ooo) = $ 7o.ooo

t=5;m=4;m.t=20

Ic =lr, * m,l)'"' 7o.ooo

40.000=(.,\

*/)ro 40'

(,75\t'zo=(r

/

*f)

(,

. l)

(

,7s)t

1o

=

i

\20/20

. +) 4r =j

1,028376= (,

rc,O28376)4 O,113504 = j = 1 1,3504o/o anual, capitalizable trimestralmente

i

capitalizable ¿A qué tasa efectiva es equivalente la tasa del 11,35037"/o anual, de 0,041588

trimestralmente?

, llf!l!1)* 1..¡=(1+j t 4

corresponde

1+

i=

(1 +O,028376)a

1+i=(1,028376)4 1+i=1,118427 i = 0,118427 i = 11 ,84270/" efectiva

Cálculo deltiempo en interés compuesto para calcular el tiempo, se debe hallar primero n/ por lo cual se aplica la fórmula del

monto:

M=C(1 +l)n

/ +-l/\; ml mt

M=Cl1\ .llrlorrir:q.r

All'ilonega


lnteres comPUe5ru

Arnrando Mora Zambrano

M C

1 año

=(1 +

0,449726

i)n

(0,4{

Para hallar n existen dos alternativas:

.

¡

por log,aritmos, utilizando calculadoras electrónicas o tablas logarítmicas:

log+

= 161,9

::,:.:l

;,Ii.gtWo=

=lsg(1 +i)n

ltg+-nlog(1

@li'JT.l:;,.

+i)

M=8O0 6=gBO

,M ro8F -

.0.16

=n

,2

log (1 + i)

No se requiere hallar el antilogaritmo, pues a n no le afecta la

palabra

MI

C\ -=11

logaritmo.

¡ por interpolación de tablas,

con la restricción mencionada, de que a veces no

800

Eiemplo

tiempo, expresado en años, meses y días, un capital de I.SOO a una tasa de interés del 189o efectiva? .onuátt¡tá "n'$ ¿Én qué

$

,l.000

2=('l ,O log2=

se

log 2

irsnF

M = 1.500

'

C = 1.000

=

+l)n;

C

1,5

-

log 1,5 log 1,18

,,,

- .

1.500

=(1 +0,18)n

1.000

9,0064

':2

- (1,18)n

1og 1,5

0¡301O

o,o334

18o/"

M -(1

+

1.600 _

hay tablas para todo tipo de interés'

i

:..

t (anos,

n log (1,18)

-

n

',,9üs?J'* n.,

o,071882

t*1,+:4g726años

::

:

hra caliular el tiemPo en años, considelCndb eitñó comerCial :

me5es,.:y

días se plantea una regla de

A-ha¡rmer:a

7

¿Eo

q¡é tlemtr

i . 24 ,'*gS-r.3


A¡-lran¡Jo Mor¿ Zamf¡ra ¡rr¡

1 año 0,449726

360 días x días

(o,449726) (360)

-

1

'.

ónicas o tablas logarítmicas:

,.

,

.,'

,,,",:.:;,X,1,,*

.1611r;,90

díaS .-.,

:,5 . ,...

meseS y,' 1,,,2,,,,6[ftg,

-.....,..,,.,,......,

r.1 t.:..

... ....::,):: ".,...:...,

..,::

,"';.,1f1,,;.nltry:2t"i:,'*?t*,ffi:ur)!.,-{*1t;).','l

¿En qué

tiempo, expresado en años, meses y días, se duplicará un capital de $ 800,

a

una tasa de interés del 160/", capitalizable semestralmente?

M=800(2)=$1.600 C=9800

a n no le afecta la

i =0,16 '? palabra

= o.o8

M ,

i{t

_={.1 + -¡ (, \ ml rnencionada, de que a veces no 1

.600 i.

0,1 6\

2t

800\2t

Cías. un capital de

$

1.000

2 = (1;08)2.t se

Eo., efectiva?

log2 =2 tlogil,0B)

log2

-1* "

Iog lTlog)-

QJqlq¡?, =2t 0,033423 , ,

t

:

9,006468

+_=

...r.,:.2,..,:,,...,,'

f (añ,o$r,l 1,rá,ñó,,

se plantea *ná,rr.,égiá

dCfé¡

Aliaomerga

¿

4 ;5'O32,3'4'',,'

36O,dfás

$,5,625 a una tasadé,inte(s,déJ


Arnrando Mora l;¡mbrano

i

M = $ 5.62s c = g 2.500 = o'2+

Luego ise suma

i

i

l)''' Y \ * ml {._=(r 5.625 =fi * 0,24\t" 2.500 \ 12 |

2,25 =

(1

+ 0,02)r2't

Por logaritmos

EI valor actu,

log2,25 = 12 t log (1,02) ))q lo._ '''- = 12t -

El valor actual

¿

la fecha de su v

1,02

Por ejemplo, la

0,352182 _ QL

el cálculo del v 5 años? y ¿en c "La expresión v antes del vencir "Valor actual, v actualizados al

0,008600

4A,g5Ag77 = 12f (meses) 40,9.5_0977 _ (años) r 12

3,412501= ¿ (años) .,;

.

..'. .,1.1 1...,,

.,

,,,,., ,.,.,,'

'0¡A12.5,,Ai1

Para el efecto,

..,,,...---,"- 3,6.Adías,..

I,,,,,,.,

,.-....

.:r:.rx.díás,,.,r...,r,,

s

M=C( .

(-_

x = 148,5 días Tiempo -,3 añoí,:4 me5e¡.y,28,5 días

l

(1

f:..--,'-

Por tablas

i,,,,..,,,,,,,,,,11

-,..,t,,,,e

;

L:jl:llájj,::-.__

M(

Util'izando tablas de (1 +il)l,.se busca el valgr',cOiiespondiélte,,..á.,?i25i Para

i=

También se cor

2o/"

,t,luandal, n,. ii,l ¿ü,ándó,t

i a'l;o r, éln tdlb\ as, 2 ri,2' 5L2ü O :tíb.lás:r : :2,¡0S03 9 ;,,val.ol.en .::,t,'.49

-,

-7'r'

:

,:::,:,:,11:,,.;1;11.,'Djp4.1.6;A:,,1,,,;;,;; .,lr:.li:lr: r:

r'r':.,.

r.:'

t:.

..

_::l:l:,i

tr:.:l:rt",l'.'

I

rr"rr,r:ii

il:rli,

.

r.,,..,,:r.Z;p5üJFO,¡,

lrl: l

:,irlll

B.¡.

H. Moore, ob.

9 N. Dávalos Arcen


n=40

Luegosesumaa 12¡7

= (4O + 0,9501

7O)

= 49,9591 70 (meses)

n -40'950170 = 3,412514 (años) 12

1 0,412514

360 días x

-

x = 148,51 días Tiempo = 3 años, 4 meses y 28,5 días

El valor actual a interés compuesto o cálculo del capital El valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bien o deuda, antes de

la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés. Por ejemplo, las siguientes preguntas, y otras similares, se pueden responder mediante el cálculo del valor actual: ¿Cuánto vale hoy una deuda de $ 1.000.000 que vencerá en 5 años? y ¿en cuánto se puede vender un documento de $ 5.000 que vence en 4 años? "La expresión valor actual significa el valor de un pago futuro en una fecha determinada antes del vencimiento."s "Valor actual, valor en el momento presente de los beneficios o de los costos del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de sustitución del capital."e Para

el efecto, se considera la fórmula del monto a interés compuesto: M = C(1 +l)n, de donde se despeja

C:

M (1 +i)n C = M(1 +i

)-n

Fórmula 5.6. Fórmula del valor actual a interés compuesto.

También se conoce que M = C (l \ , C = M(1 \

.' .-m.t'

* ¿f rn '

*

+)''. ml

Entonces:

Fórmula 5.7. Fórmula del valor actual a interés compuesto en función de m y t,

Para capital izaciones conti nuas:

= ys-lr (e = 2,718281)

f

8

Fórmula 5.7a. Fórmula del valor actual con capitalización

continua.

¡. H. Moore, ob. cit., p. tz+.

.l 9 N. Dávalos Arcentales, Enciclopedia Básica de Administración, Contabilidad y Auditoría, Quito, 9B.l , p.

Alfaomega

51 9.


Arrnando Mora Zambrano

lnterés r:omp

Cráficamente, se puede ubicar el valor actual:

¿Cüál es elr ptad'óón <

gi sp,vende anüál;:e¿p¡1

5b'elábbra

cráfico 5.3. Expresión gráfica del valor actual en interés compuesto El valor actual puede calcularse en cualquier fecha comprendida entre Ia fecha

de suscripción y la fecha de vencimiento, según las condiciones en que se establezca el cáiculo. Puede haber dos casos generales: cuando el documento no gana interés y el valor nominal coincide con el monto, o cuando el documento gana interés y se requiere calcular el monto.

Eiemplo

al'iencimjéhtQ al fi.qq:f: 4 ¿Luái seiá ej'ná1or áctoe¡rde un'pagaré cuyo'valor áñó, e¡¿ó $ i.5,00, coniidérandó u,ira tása de inteiés'del,12% ánúál'bapitáJiea,$é semestrdmé¡rr'? ([ ste,,és, u¡ éjem p lo típico del q.r]m er egf o) .,,,', M = $ 3.500) i=O,12;

e,--*fi''¡r$i]r't

t=

4; m

=2

r


,Armando Mora Zambranir

lntcrés comPUestc)

Eiemplo

5'000 a 6 años de el valor actual de un documento-cuyo calor nominal es de $ el4/"' A" int"r¿r unuá¡, capitalizáblé semestralmente,'desde su suscripción, ;ü;; una tasa del 5% si se vende dos años antes de la fecha'de úencimiento, considerándo caso') ségundo del típico anual, Capitalizable'semestralmentei (Éste es un ejemplo

¡cuál

Se

es

elaboü un gráfico de tiempos y valores:

interés compuesto

Íecha comprendida entre la fecha según las condiciones en que se ; generales: cuando el documento r el monto, o cuando el documento

ralor al vencimiento, al final de 4

e¡¡*io s;x Sblurióñ:,grárica,idel,eiemplo

nterés del 12% anual capita:lizable

Se

primer cáso.)l

ieúl*,ellnro¡to'a.lo5 6'á$os:

,,

,'

CI';,i1t;g

9.15,,püA ü ),0.2I?,:,,, ,:,., :,,. M = 5.000(1 ,268241\

M = $ 6.341,20

1¡::.::',!.

\

M=$r.soo

\l'\L:

II

--i

;

,j

r,:rui:trr\l il,nrrl!:iiilriR:!:ii.

::,jia:rt$ti:Xlli::iril,,r/

Alfaonrega

Alfaomeg,a

:4..il,l.irrrr';r:!:


i

,A¡'mando Mor¿ Zambrano

.':i::::::T c) Respectr

Precio de un documento

C C

En el segundo caso pueden darse, a su vez, tres situaciones diferentes respecto a Ia coripra/v"ntu du un documento: cuando se negocia a la p.ar'. Ia tasa de

negociación es la misma que la nominal y el precio se mantiene sin variaciones; cuXndo se negocia con prbmio: la tasa de negociación es menor.que la nominal y el precio suÉe; cuand ó se negocia con castigoi Ia tasa de negociación es mayor que la nominal y el precio baja.

Valor aa

Veamos:

períodos d Para el cál

El valor ac

de 2 años de la fecha de suscripción se negocia. un. documento de $ ¡IOOO con vencimiento en 5 años y una tasa de interés del 2,1"/o anual, iapitalizable semestralmente desde la suscripción lqt9u]91os su valor actual o orecio en las sieuientes alternativas: a) con una tasa del 1 ,B% anual, capitalizable irimestralmenté; b) con una tasa del 2,1"/o anual, capitalizable semestralmente, y c) con una tasa del 2,4o/' efectiva.

o"iprer

3e traza el gráfico de tiempos y valores:

.

En form¿ C

t

En form, interés sin C M = $ 3.330,30

Entonces:

c =$ 3.1ss,62

El valor dr valor actu considerar

forma mat Gráfico 5.6. Solución gráfica del ejemplo Se calcula el

M = 3.000(1 + 0,0105)10 = $ 3.330,30825 Se halla el valor actual o precio de negociación: a) Respecto de la primera alternativa, i

=

1,8"/o anual, capitalizando trimestralmente;

Gráfico 5.i

C = 3.330,30825 (1 + 0,045)-12 6 = $ 3.1 55,62. Ésta es una negociación con premio. b) En relación con la segunda alternativa, i = 2,17o anual, capitalizando semestralmente: C = 3.330,30825(1 + 0,1 05)-6 6 = $ 31 27 ,gg. Ésta es una negociación a la par, pues la tasa de negociación es igual a la nominal; además, se puede comprobar calculando el monto desde la fecha de suscripción hasta la de negociación. M = 3.000(1 + 0,0105)1 = $ 3.127,99

!_

2

Por la fon

*

Con interér


c) Respecto de la tercera alternativa, i = 2,4"/" efectiva: C = 3.330,30825(1 + O,024)-j 6 = $ 3.101,59. Ésta es una negociación con cast¡go; el precio más bajo de los tres'

; respecto la tasa de Lriaciones;

a nominal l es mayor

Valor actual con tiempo fraccionario compuesto, también puede calcularse con El valor actual, al igual que el monto a interés

rmento de 17o anual, or actual o

de cápitaTizaci'ón no enteros, es decir' fraccionarios' itara el cálculo existen dos alternativas:

["rOJot

o

o En forma matemática

exacta, utilizando únicamente interés Compuesto:

,pitalizable C = M(1+

straImente,

i)-"

. En forma práctica o comercial, utilizando

interés compuesto para la parte entera e

interés simple para la parte fraccionaria:

6 = M(1+

i

)-n (1 +

it)-l

-

Entonces:

ElvalordeundocumentoalfinaldeTañosseráde$3.400.Queremoscalcularsu meses de la fecha de suscripción' valor actual, luego de transcurridos 3 años y 4 semestralmente' utilicemos la considerando una tasade interés del14"/o, cafitalizable forma matemática Y [a comercial' c = $ 2.070,13

nestralmente:

matemática' det ejemPlo Gráfico 5.7. Solución gráfica'

M = $ 3.400

i

)2=0,]4 ando

=o,oz

Por la forma matemática

6=Mit lenegociación ando el monto

n--

*

+j)-"

(n(12)-t(3X12)+41

Con interés simple: C

Alfacrmega

=

M 0 +it)

M = $ 3.400


Arm¿nclo Mora

tI=-

84-40 44 i,

Z¡mllr¿no

:

2

Luego de suserito el capital.izat una tasa d

i-

6

O también: (3X12) + 6

c = 3.400(1

+

Bqj-

-- 7,3333

-)"

2

convierte el tiempo en meses y se divide entre el número de meses que tiene el período de caPitalización. C = 3.400(1 + 0,07\-\7)2/6 Se

C = 3.400(1 ,07¡-7'zzzz C = 3.400(0,608862) C = $ 2.070,13 (valor actual por la forma matemática) Por la forma práctica o comercial

C=M(1+i)-"(1 +it)1

2 --,2

(3X12)+B 44 42 =-

"66666

(7 la parte entera y 2/6la parte fraccionaria)

En interés simple, si se toma la tasa anual, se divide el número de meses por 12:

c = 3.400(1 + o,o7)-7 (, Si tomamos la tasa semestral, el

C = 3.400(0 ,622750

c

X.l

. 0,4#l tiempo

se

divide por 6:

,023333)*1

= 3.400(0,6227 5O)(O,97 7 1 99)

C = 5 2.069'07

Gráfico s.a. Solución gráfica, comercial, del ejemplo

Al comparar los dos resultados, se obtiene que por el método práctico el valor actual es menor;

matemático.

eS

decir, el documento tendría un valor mayor que por el método


I

,'l

ir

Í I

t'-'t-

f c=52aoo

ri

///

ti

ti;

/'

.'.¡

calcula el mt ejemplo' Se del monto gráfica del Solución Gráfico 5'9'

6añosYgmeses: t(.tÁ2 +9)

n=---

M=2.Booh

13'5 -- B += - 81 u 6

*o#)''''

(2'195984) M = 2'800 meses Por

12:

üt

= $ 6'1148'76

el métoci" O":tt,tt el monto por Se calcula + o',t z 7l M = 2'Boo t1'06)1tlt

M' = 2'800 12'132928r(i '031 üi = u u t tt''=ui",.ura C.on estos resultados'

s(

etecttva' es del t 1,25"1"

valor oráctico el método el je Por

o comercial:

interés si la tasa de 3 años y 3 meses, los a el valor acruar

r+


A¡mando Mora Zambrano

:

..':,::::

::

Descue

El descur monto y, Puede ca Su fórmu

t I 3añosy6meses

r::::-: l:.-g: twlt.,

t

Gnífico 5.10. Solución gráfica del valor actual del ejemplo El

tiempo que falta para el vencimiento del documento [6(12)+

9]-

t3(12)+

n=T=J/5anos

3l

\

es:

.

La otra fc deuda; e: interés cc el valor e

Mr = $ 6.148,755 Mz = $ 6.151,365 Se calcula el valor actual por

f

(

el método matemático:

Para inter

(

Ct = 6.148,755(1+ 0,1125)-3's Cr = 6.1 48,7 55(0,688573) Cr = $ 4.233,87

Luego

I

Ahora, por el método práctico o comercial:

Cz = 6.151,365(1 + 0,1

125fr (1 + 0,1 1 ,u

+)

Cz = 6'15'1,365(1,1 1 25)1 (1,05625)-1 Cz = 6.1 51,3 65(0,7 2627 3)(0,9 467 46) Cz = $ 4.229,65

Del análisis de los dos resultados: Cr = $ 4.233,87 (matemático) Cz = $ 4.229,65 (comercial) Conclusión: El valor actual hallado mediante el métodO práctico es menor que el valor actual hallado mediante el método matemático.

Calculen luego de

del 15%

Descuen

I

I

I

I

_l

I

I


Descuento compuesto

M

t

+ 7 años

El descuento compuesto, al igual que el descuento simple, es la diferencia entre el monto y el valor actual de un documento, deuda, etcétera. Puede calcularse de dos maneras: el más utilizado es el descuento compuesto matemático. Su fórmula se basa en el descuento simple:

DC=M-C Dc=M-M(]+i)-"

Dc=M[1 -v] y=(1 +l)-n La otra forma es el descuento compuesto bancario, que se calcula sobre el monto de la deuda; es decir, el monto menos el valor efectivo a interés compuesto. El valor efectivo a interés compuesto se expresa como Cbc. Se toma como base de deducción de la fórmula

el valor efectivo a interés simple.

Cb=M(1 -dt) Para interés compuesto, se tiene:

Cbc=M(l -d)"

Dbc=M-M[(i-d)"]

Calculemos el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de $ 9.000.000, luego de 10 años, si se descontó 3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 15% efectiva.

DC=M_C Des cuento com

puesto m ate m áti co

Dc=M-M(1 +i)-" M=9.000; i=15"/o;n=3;Dc =M[1 -(1 +i)-"] lor que el

Dc = 9.000

-

9.000(1 + 0,15)-3

Dc=9.000[1 -(1,15f3] Dc = 9.000(1 -0,657516) Dc = 9.000(0,342484) Dc = $ 3.082,35

Alíaonrega

Allaomega


i

Descu e nto com

P u esto

ArmanrJo Mora Zambrancr

bancar io

M = 9.000; d = 15"/o; Dbc = Dbc = 9.000t1 - (1 - 0,15)31 Dbc = 9.ooo(1 - 0,614125) Dbc = $ 3.472,875

M[l -

Una empre méses de p elldía,'de,hr

(1-d)"]

Como puede notarse/ el descuento bancario compuesto eS mayor/ Con

eapltalizáb

Una

diferencia notable; por esto/ casi no se utiliza.

Ecuaciones de valor en interés compuesto

AI igual que en interés simple, en interés compuesto también .se utilizan

las

ecuJciones de valor cuando se requiere reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto de diferentes valores o capitales disponibles en diversos ii"*por, tomándo en consideración una fecha común, llamada también fecha focal.

Relacionando los valores y fechas con la fecha focal, se obtiene la ecuación

conjunto de obligaciones iniciales con el La siguiente gráfica nos ayuda a exPlicar el conjunto de nuevas obligaciones.

de valor, que permite igualar

el

procedimiento:

012345678910Períodos

Gráfico 5.1 1. Expresión gráfica de la solución a un problema de ecuación de valor

en interés compuesto Sean M,, Mz y M¡ las obligaciones que vencen en los períodos dos, cuatro y siete, respeciivamente, las cuales se quiere reemplazar por un solo valor al final del quinio período, con una tasa de interés (i)y una capitalización por período, siendo x el valor que reemplaza las tres obligaciones y al final del quinto período

la fecha focal. Ai relacionar ésta con las obligaciones, se puede plantear la ecuación de valor, de la siguiente manera:

S=Mr(1 +i)3+Mz(1 +l)1 +Mr(1 +i)-2 valor (Mr) acumulará interés durante 3 períodos; el segundo valor (Mz) 'l acumulará interés durante período y el tercer valor (M:) deberá calcularse El primer

como valor actual por

-2

períodos.


Eiemplo Una e-rnpresa tiene las siguiente pLiligaciones: $:$¡9 a 1?'meses de plazo; $ 1.300 a 1B ma$es,.de'plazo y $ 1.S00 a.2,4 ,m'eses de plazo' De-gea reemplazarlas por un so,lo'pq¡gg el¡'díá¡rdeihoyt ¿cuál será e[,valor de ese¡ pago,' có¡si derands,, u nla ¡asa de,irytelé*del' 1 5%

eap,ü [zab|e semer!1gl entet

con una

ilizan

las

gaciones diversos én fecha ecuación

s con

el

<plicar el

de valor

cuatro y rr al final

:;:¡i!¿.i;E-'tirl ;tr;-l¡":i.j_1[:i{¡iini: .:)rl)i:tili:ii't]í;.:]irrr:i:

período, r período antear la

'alor (Mz) alcularse

Allaanrega

Alfaomega


Armando Mora Zambranc

5e:plantea

e

Comparación de ofertas En cualquier empresa o negocio, es frecuente tener que seleccionar Ia mejor oferta, en condiciones similares, tanto para comprar como para vender uno o más bienes o servicios. En este punto se estudiará cómo las ecuaciones de valor ayudan a seleccionar la oferta más alta para el vendedor o la más baja para el comprador, a largo plazo, tomando como fecha focal el tiempo cero.

Reempla;

Cuando se fecha de p;


i"

pii"iéi éi giafi'ó' iu u'úálion

¿u u"íoi v ios

caituio' á" u"ioi áótJ"t'

blema Puesto & intereses.

onar la meior vender uno o iones de valor is baia Para el )fo.

+3700'00

Tercera oferta: n = 10

$ 4.000,00 al

(1

+ 0'03)-D X, = 2.300,00 + 4'000'00(1 5 4'1 2 2' 04 B' 60 = 5 7'1 + 2' s,i T,-= ;.;óó1,óó + z . eo

+ 0,03)-20 =

n =20

actual respectivos: los cálculos de valor ecuación de valor y [a gráfico' el Se plantea

4.000,00 a ', $ I contado, una

eses de Plazo.

ndimiento del

(1 + 0'03)-20 = + 0,03)-10 + 2'000'00 x^ = 3.000,00 + 5'000'00(1 + 1 .1'07 ,35 = $ 7.827 ,82

i,

=

¡.OOO,OO

+ 3'720'47

que es la más alta; vendedor es la tercera' el ')nte para La oferta más conventt 11

Y

Para el

*ip;;;i"':qY:lii t:: :: *i: ?ili

ulo delvalor

por dos pagos iguales Reemplazode fas obligaciones Cuandosequierereemplazarlasobligacionespordospagosiguales,sedebeesco8er como fecha focal' fecha de pago cle

""'T'[":'i;i;;;3;;"gos

6.000

60 meses

@tr:l{: ev fl:"i¿:'r?' 'i"t"u i #""?":# Ji *':T: 3:Tt':, ,", a e l, : á:T"fii'i;ifi i27:1"1. i: :1':i i; ::: co' u'ro de plazo' 2'000 reemp!a-1. todas I ll**un:rui:ffi [.ji";';5'frut"' $ ---,erés de orazo; 33 meses#h:;d"m*:;::x*lJiifi a ;::fl": unu't $ 3.000 so"¿ anual Jui 36% suscripció;il;¡bt i desde *""*:::'1"":T.:":i"";;;;" dei ;J;;"J;;:'p.ion;y tów. p"go"üX¡;,:.:n,n':;;i,:il:$':*:: '"' z ti en

I

i

e

mese-s

3

Lqru

rd ErrrPrvJe

ra

7322,A5

po' .z Pa8ru> sus deudas Por

il;d, capitalizable ffimestral *-<ÍiF,ñonrp,

A ll

a0rnega

el valor de dichos pagos. ,.r*"nio cámo feckra foca

"1:!:i


i

¡\¡'nrandc¡ Mor:r Z¿n¡brano

@ii:yr1t I

0

3

6

9

18

15

12

21

Gráfico 5.16. Solución gráfica del ejemplo

12-

24-36

24-27

-;

-

3 = -¡,

,o=4#=-|= Se

cálcuiail rnonto

-:

de.la iercera op-ción:

M r;: 2r,OO0,(1,+' Q,J:,7f,7;5

¡4,,+.2,,5180&

',,.x,:,:.4*\git168ü8i1*\!:f.,6143r::"t:::', (1r,

30

33

36

meses

pagos/ cl Primero

Se toma

3 " 24-21 =T=' nj = -------1J

77

¡

3

9 n1=-24-15 7-=t='

24

meses dt de interé suS'deuc

70-84252)x' a;,7:61'¡4i!7

::;,, :::';:';:


de plazo; $ 3'000 a 27 @li:lt*presa tiene tas siguientes deudas: $ 2.s00 a 21 meses una tasa $ 4.'000 a 63, meses de plazo' con i meses de plazo; S 3'ñoí+zg meses de7lplazo; reemplazar desea emDresa plazo. La , de interés del g% efectiva; 5.000 a meses de;;*: calculemos el valor de dichos b;;;";;0 iguale sus deudas por dos pagos ^ ' ', pagos, considerando u,iu *iu de interés del'12o/"anual, capitalizable trimestralmente' Primero se calcula el monto de cuarta deuda:

M = 4.000(1,09)s'25 = $ 6.288,53 Se toman 60 meses como fecha focal:

tomando como fecha focal los 60 meses cráfico5.17. Solución gráfica del ejemplo'

¡=

0,12 4

= o,o3

60-24 =

n = "X

n. l.¿

a

J

60

O'=-.-..--=

-21 .t

60-27

fi2=----;-=

+ 3.000{1;09).3

1. lJ

-

11 tt

.)

nr_

-3

i1r =

60-42 -JJ=-= ) 60

-163-

.ri r ,, ii 60'75 ns = -'_;' J Sé plántea

6

-'

1

* q =

-'

,

'

']i'

los la ecuacién tomando como fecha focal

6O meses:

+ 3'5'Q0'00{1'03)'6'' + x {1 + 0,03;12 + x'= 2'.500,00(1,03)1]'* 1'999'O0(:l'03)11"

. ..

All,Ir rl-rl{'q.t

+6.2SS;53(1,03)-1'+5'Q00p0(1'0-3)-5='

"'i]


Arnr.rndo ñ1or.r Z¿rmbrano

;

+ 4'313,044 = tl,iZSiOi + i=t Oll,Sj+Z * +.152,7016 + 4.179,183 + 6.105,37 "2,4257 6(x) = 22.421,6328 x = 22.421 ,6328 / 2,4257 6 = $9.243,13 73 (dos pagos iguales) Ahora se toman los 24 meses como fecha focal:

El tiempo equir valores u obliga, "La fecha en la c

puede liquidars, conoce como I€

hasta dicha fech La regla más irt

$ 3.500

"^l-

Tiempo equiv

vencimiento

5 3.000------.-.-

Prc

/-{il-\

focal 74 meses Gráfico S.18. solución grafica del ejemplo, tomando la fecha

Es

. 0,12 -'- =0,03 ^ ^i= 4 24-60

D*=---;-i

Í1i=

n

24-21

24-27 a1--=

presenta un eje Encontremos el obligaciones:

-'-

J

decir que el ti,

por sus tiemPot cuanto lo que

$1.000a1añ meses de plazc

-1

TE=-

-1

-)

'3 I'I¿

=

24-42

TE=-

24-63

=-1

3

fE=2

24-75 .-

TE=i

D5=_=_r,

En el ejemplo

+ x + x (1 + 0,03)-12 = 2.500,00(1,03)1 + 3'000,00(1,03)-1 + 3'500,00(1,03f6

': ' :;

+6-288,53(1,03)-13+5000,00(1,03)-17=

,:

2'g12,62 + 2.g31,19 + 4.282,18 + 3.025,08 --

x + x(0,701380) = 2.575,00 + x(1,701380) = 1 5]26fi7 y = $9.243 ,13 73 (dos Pagos iguales)

g9'243,1373 Por lo,tanto¡ deben hacerse dos pagos iguales'de de las dos Estos procedimientos permiten concluir que, tomando cualquiera fechas focales, el resultado es el mismo.


i,37 + 4.313;94,4:L

i

Tiempo equivalente El tiempo equivalente es el tiempo de vencimiento promedio de dos o más deudas, valores u obl igaciones. "La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con vencimiento en fechas diferentes,

puede liquidarse mediante un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equivalente."l0 La regla más frecuente y común para el cálculo del tiempo equivalente o tiempo de vencimiento promedio de dos o más deudas está regida por la siguiente fórmula:

_-+ 78

meses

decir que eltiempo equivalente es igual a Ia suma de los diferentes montos multiplicados por sus tiempos de vencimiento, divididos por la suma de los respectivos montos, por Es

cuanto Io que se calcula es un tiempo de vencimiento promedio. A continuación presenta un ejemplo de cálculo cuando se tiene una tasa efectiva.

se

Encontremos el tiempo equivalente, o tiempo de vencimiento promedio, de las siguientes obligaciones: $ 1.000 a'l año de plazo; $ 2.000 a 2 años y 6 meses de plazo; $ 3.000 a2 añosy 9 meses de plazo, con una tasa del 7"/" anual.

TE=

TE=

1

.000(1) + 2.000(2,5) + 3.000(2,75)

1.000+2.000+3.000 1.000+5.000+8.250 6.000

=-

14.250 6.000

fE = 2,375 años fE = 2 años, 4 meses y 1 5 días En el ejemplo siguiente la tasa de interés es anual

1o

Alfaomega

F.

Ayres lr., ob. cit., p.75.

Aliaomega

capitalizable semestralmente.


M,

=$1.677.100, VVTEV

M.=$3.330.512,

t

t,-$7909.360,

Acüvidodes dr

0

1

4

3

2

6

5

1. Calcule

7

años

Gráfico 5.19. Solución gráfica del ejemplo, cálculo del tiempo equivalente

e

$ B.o0o,oo cr

2.iealcule

el

$ 3:0.ooo,oo

+oilgi

M, = 1.ooot ,M: = 2.000-('l

*

M, = 3.000 (r

.

1

TE=

=

0,12)a,5

'.:' ."' . ..:t'

1

TE=

t t .677,10

durante 9 añc

- $ 3.330,51

3¡.Una,,perso intérés del 12 debe,'pagar a

n 1q\ 26'jl3l -y.Lf, g 7 .909.360,36 ) =*

4:'Una persa

4t

inte'res,-anual ,y$:tneSes?

.67 7,1 O(,6)'+' 3.i3 3 0, 5 1 (9)' +..7 .949 36( 1 3¡'1' 7) 1'.67.7,1O

c

+ 3,330,51 + 7.909i36

0.A62,6'' 1' :29.974';61

+:'

12.916,973,20

104.1 66,2:7

:

5;::Añdtés abr

1144.203;48

izable

,,

,Fla$:los, cált

12:916.,9,7,3..20

&,€d.hule el TE

=

1

1;,16,semestres

.:y,,9.'mes-es al

iÍ. ñe"r

.:üolbeádo a

u

ñló$:,Y..6.mes

,,$:#ri:el,

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2

0.

So

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n

g rá f ica d

el

eje mrFlói,s&leú:lí:,::.del :.|f!¡:9 q..ún iqo.,

Alíar¡$le-s;r-

1l


Actividodes de eiercitoción

1. Calcule el monto a

interés compuesto

ya

interés simple cle

un capital de

$ 8.000,00 colocado durante 1o años a una tasa de interés del 12% anuar.

2. Calcule el monto a

interés compuesto

y el

interés compuesto de un capital de

$ 30.000,00 colocado a una tasa de interés del 15% anual, capitalizable semestralmente durante 9 años.

3. Una persona obtiene un préstamo de $ 5.000,00 a 1 2 años plazo, con una tasa de interés del 12"/" anual, capitalizable trinrestralmente Calcule el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento.

4. Una persona coloca un capital de $ 3.000,00 en una cuenta de ahorros al 6% de interés anual capitalizable trimestralmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al final de y 6 meses?

B años

5. Andrés abre una cuenta de ahorros con $ 800,00, a una tasa de interés del 14./"anual, capitalizable semestralnrente. ¿Cuánto habrá en la cuenta luego de 7años y Z meses? Haga los cálculos en forma matemática y comercial y analice los resultados.

6. Calcule el monto compuesto que acumulará un capital de $ 3.500,00 durante 6 años y 9 meses al l6'/.anual ion capitalización continua. 7. calcule el monto y el interés compuesto que producirá un capital de $ 58.000.000,00 colocado a una tasa de interés del 1B% anual con capitalización continua, durante 15 años y 6 meses.

B. En el mismo problema, calcule el monto y el interés compuesto con una tasa de interés del 1B% anual con capitalización diaria. Analice resultados.

9.

¿A qué tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 12o/o ánual, capitalizable semestralmente?

10.

Resuelva

el

probrlema anterior buscando

la tasa nominal, capitalizable

semestralmente, equivalente a una tasa efectiva del 12,360/o.

11. ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 9o/" anual, capitalizable trimestralmente?

12. ¿A qué tasa anual, capitalizable trimestralmente, equivale una tasa efectiva del 9,30833

1

B%

13. ¿A qué tasa anual, capitalizable trirnestralmente, se debe colocar: un capital de $ 2.500,00 para que.produzca un monto de 5.520,00 en 10 años? ¿A qué taga efectiva es equivalente?


.

*l:":'l:-l

ll:l':'::':'ll:"1:',

en un monto de 14" ¿Aqué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 5'000'00 $ 8.979,28163 en 12 años?

15.

¿En

7'000'00 qué tiempo, en años meses y días, se duplicará un capital de $

a una tasa de interés efectiva del 7,25'/"¿' 3A partes

más.un capital de .l anual, capitalizable lBo/o 17 del interés cle tasa g O.OOO,Oó, considerando una semestralmente?

16. ¿En qué tiempo, en años, aumentará en

9 años y 6 17. Calcule ei valor actual cle un pagaré cuyo valor al termjno.de anual, 13% del interés de tasa g.l0ó.00, una consiclerJndo meses será de $ capital i zable tri mestral mente. 1

23. CalcLrle .

de un docLrn-años antes'le

24. Una en :: tasa del 1 8'' tasa del 12 , capitalizable

urr tienrpo ei;

valor del

p.r'=

semestraInret

r'q

g. De un documento financiero, cuyo valor al término de 1 2 años y 9 meses será de

$l5.000,00,sedeseaconocersuvaloractualluegodetranscurridos2añosy3 tasa de interés del B% meses desde la fecha de suscripción, considerando una anual con capitalización continua' un valo.r de $ 3.800,00 a 5 1g. Un documento financiero, suscrito el día de hoy, por

añosdeplazo,conunatasacleinterés delTo/oanr.ta[,capitalizablesemestralmente, á"r4" ,, suscripción, se vende 2 años antes de la fecha de vencimiento,

el

Calcule consideranclo una tasa'del 9olo anual, capitalizable cuatrimestralmente' correspondiente' valor de la venta del áocunlento a esa iecha; elabore la gráfica

desea vender una propiedad' q'9 tl"l: un avalúo de g al contaclo y $ 10.000 a 60 nreses; b) $ 20.000,0b, recibe 3 ofertas: a) 10.000 g y 7.000 a 60 meses; c) $ 11.000 al é é-OOO ál contado, 4.000 a 24 meses $ a B años' ¿Cuál de contado, una letra de $ 4.500 a 6 años y otra letra de $ 4'500 rendimiento del dinero es las 3 ofertas le conviene aceptar, considerando que el

20. Una persona

del 21 "A an tral, capital izable qu i mestral mente?

2l.Undocumentode$7.500,00,suscritoeldíadehoya9añosy6meses

efectiva, desde plazo, con una tasa de interés del 9"/o anual con capitalización

meses desde suscripción, es negociado luego de transcurridos 2 años y nueve tasa del 127" una a) alternativas: siguientes lai la fecha de suscripción, .on capitalización con anual 9% del tasa b) una anual capitalizable semestralmente; Calcule el valor efectiva; c) una tasa del 6olo anual con capitalización continua. premio o con con la par, a es si indique e actual o precio para cada alternativa

iu

castigo. tasa del 22,tJndocumento suscrito por $ 3.500 a 5 años y 7 meses' con una d"tpY::,9"'11 meses y 5 años 1)in-, *,p¡ulizable trimestraimente, se vencie 2 capitalizable fecha de suscripción. corrsiderando una tasa de interés del 13%, Haga los documento' dicho semestralmente, calcule el valor de la venta de cálculos en forma matemática y comercial'

É*Béspueslos

1. Monto a Monto a ;'

I

2. Monto =

:

3. Monto =

:

4. Habrá

er'

5, Por la for¡ Por la for.'

6.¡4=910

7.M=!iclj B.M=$9i 12,36

1O.¡=1'2"' 11. i =

9,3t1

12. i =

9"',"'

13. i =

B'1,,

14. i =

5"u,

15. t = 9,9 All,lorn{.t?.1


;j....l-FF--,

un monto de

e s 7.000,00

:r capital de capitalizable

e9añosy6

23. Calcule el desci¡ento cornp{-¡esto matermático y el clescuenlo cot.i-lpi,testo bancaric de un cJocr¡mento cuyo monto ai Íinal de 7 i¡ños es cle $ 7.000.0t10, si {r-¡e descontado 3 años antes cle lafecha de su vencirnler:to con una tasa cie interés del 14% efectiva. 24" Una ernpresa tiene las siguientes deudas: $ 1 000,09{f a 3 años de plazo con una tasa dei 18% capitalizable senresiralrneniE; $ 5.CI0il.000 a 4 años y 6 meses con una r) rneses con un.l tasa del 15% anual tas¿ del 127o electiv¿: $ 3.000.0tJ0,¡ b.r¡ios y rcen:plazarias por un únicÓ pago en cicsea capitalizable trirnesiralmente. La emprssa un tiempo equivalente para Ios tres vencimie¡ltos. Calcule: a) la fecha de pago,y bl 9l valor del pagc único, consirJeranoJo urla tasa de intÉ¡'ég **¡ 14?lo anr"ial capitáli2abte semestralmentc"

13o/o anual,

meses será de

rs2añosy3 terés del B%

3.800,00

a5

restralmente,

vencimiento, te. Calcule el espondiente.

r

avalúo de

60 meses; b) 5 11.000 al

¡

ios. ¿Cuál'de del dinero es ,

l¡¡:¡

:s y 6

meseS

ectivá; deSd,e meíásldeide asa de[,,,,1i2c/¿ :apitali:lación

Monto a interós compuestü = $ )4.&46,78567 Monto a lnterés simple = $ 1 7.600,00

2.Monto=$11A.274,12

lnterés cor-npuest{) = fi &A.27 4,12

3.Monto=$20.661,26

lnterés c(]t'npuestc = $ 15.66'l ,26

4. Habrá en la cue nta ce ahorroE = $ 4.976,989.1 5, For la forma m¿ter¡litic¿ $ 2':])':6 Por la forma comercial $ 2.232,98

6.M=$10.-10b,38 7.M=$,q44.299.148,58

I_ q RRI- ]ot, l jF ifj

8.M=$943.64CI.948,u1

i = $ 885.648.945,8i

9. I =

I

),

jt¡"toefectir'¿

10. ¡ = I2Yo anual capitalizable seniestralmente'

r¡,[s¿lsy

l.¡l¿

rremio,ó, bon .. .

'1.

.::.:.

..

.:::

;

.::.

:.

. ..

":.''

'|'1" i = 9,3083318Yn efectiva, anual

17. i = 9"/o anual capitalizable trirnestralmente.

uná tasá del lesp,úél

de,lll,ta

capi.l4li:iábl;e

13, i = 8"/o ánual capitalizable lrinrestralrnente. i = B',243216o4 efectiva,

to.'|láúá,,las ',4; i = 15" t Allac;ir:ega

5Yo efectiva, an¡-lal"

- 9,9 añog ;-p -,-'a¡igs, 'i 0 me,g,qs y 25 d{¡¡,.,


:\rnr,tlt( lr) :\1i)i.l ,:

1 6. 3,40581 B años.

8. ¿.\ qué tasa anui -.2508182"/J.

17.C=$2.402,50

9. Un inversionist'

1B.C=$6.475,66

Al consultar en e efectiva del 42oo; del 3B% anual ca

19.Valor de la venta del documento = $ 4.489,146167

mensualmente. ;( con los nrétodos

,

2O. Laoferta a) X = $ 1 3.654,67542

10. Un caPital

21. a) $ 7 .744,3293 (con castigo); b) $ 9.505,7006 (a la Par);

añosy6mesesci con caPitalizació

c) 1 1 .342,8902 (Premio). 22. Va lor de la venta $

4

.545 ,19 y $

dr

interés del 9% an

4 .5 43

11. Un docunler

,61

es negociado del

interés del 1B9o

23. Dc = $ 2.275,2Oy Dbc = $ 2.547,61

¿

negociación.

1A'736412 semestres'

24. alTE = 5,368206 años = b) hgo único = $ 18.398.403,52

12. Un docunler una tasa de inte después de 2 añ alternativas: a'

Calcule el número de períoclos de capitalización y la tasa de interés, por p"río.lo de capitalización, de un capital colocado a una tasa del 24"/" anual, capitalizable semestralmente durante 6 años y 9 meses'

'l

.

2. Calcule el monto, a interés compuesto, de un capital de $ 5.000 colocado a una tasa de interés clel 1B% anual, capitalizable trimestralmente durante 5 años y 6 meses.

3.

En el problema anterior calcule capitalización continua.

el monto y el

interés compuesto con

capitalizable ser Calcule el valor si es con Premic

13. Una emprel

$5.000a4añr

empresa acuerc

años, con una valor del Pago

1

t

14. Una emPre

$8.000a4añ

4. Al nacer su hijo, una madre abre una cuenta de ahorros con un capital. de 1B años, si se considera $ g00. ¿Cuánto t"Ádrá en la cuenta cuando su hijo cumpla

$10.000a7añ equivalente Pat único, conside

'l una tasa cle interés del 5% anual, capitalizable trimestralmente?

tasa ¿A qué tasa efectiva es equivalente una l rimestra lmente?

5.

6. ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente del +l,l 5\2o/ol

7.

tasa ¿A qué_ tasa efectiva es equivalente una

continua?

del

es

del

36olo anual, capitalizable

;ffi**

equ¡valente una tasa efectiva

7o/o anuál con capitalización

t( n=r


8. ¿,4 qué tasa anual con capitalización continua es equivalelrte una tasa efectiva del 7,2sAü82%? 9. Un inversionista tiene un capital de $ 50.000 y desea invertirtro a I5 rreses de plazo. Al consultar e¡'l el mercado financiero le ofrecen Ias siguientes o¡rciones: a) una tasa efectiva del 42"k; i:) una tasa del 397" anuai capitalizable sen-lestralmente; c) una tasa ciel 3B% anual capitalizable trinrestralmente y cl) una tasa del 36% anual ca¡:italizable mensuainrente. ¿Cuál de las cuatro o¡rciones produce nlayor interés? Haga el cáiculo con los nlétodos ¿nalílico y práct!co.

10. Un capital de $ 7.500,00 suscrilo a l2 años y 9 meses de plazo, con una tasa de interés del 9% anual con capitalización continua, es negociado luego de transcurridos 2 años y 6 meses desde la fecha de suscripción, con uila tasa de interés del 3/4Yo anual con capitalización continua. Calcr,¡lar el valor actual o precio a ia fecha de negociación.

I

11. Un documento de $ 10.000, sustrilu el dí¿ clo.hoy a 5 años y b nleses de plazo, es negociado clespr-rés cle 2 aÍios y 3 nreses cle la fecha de suscripción, con una tasa de interés del 'l 8% anual, capitaiizable trinrestraimente. Calcule su valor actual a la fecha de

negociación.

12. Un documento de $ a.000, suscrito eldía de iroy a 6 años y 9 nreses de plazo¡ con una tasa de interés del 15% anual, capitalizable semestralrnente clesde 5u suscripción,

.a de interés, por ,a del 24"/o anual,

después dc 2 años y 6 meses de la fecha de suscr!pción es negoci,rdo con. las siguiente,s atrternativas: a) una tasa de interés del 18% efectiva; b) una tasa del i57o. anual, capitalizable semestralmente y c) una tasa del 12olo anr.;al capitali¡able trimestralmente. Calcule el valor actu,al o precio a la fecha cle negociación para cada alternativa e indique si es con premio, a la par o con castigo. empresa tiene las siguientes cleudas u ohlig,aciones. 5 1.00U ¡ I ¿ño. de plazo; $ ¡.ooo a 4'años de plazo; $ 7.000 a B años fle piazo; $ 9.CI00 a ic *ños de plazc. L3 empresa acuerda con sLrs acreedores reenrplazar sus cleudas por un solo pago.a lgs añés, con ilna, tasa de interes del 14"2' anua[, capitalizab[e se¡¡eslralrnenie. Calcüle el valor clel pago único.

13.

5.000 colocado

a

:ie durante 5 años

r

compuestO cOn

con un capital de ios, si se considera

:

lte?

:'

t-.rna

I

14. Una empres¿ tiene las siguientes cicuclas u obligaciorres: $ I U.U00 a 3 años de plazo; $18.000 a 4 añós de plazo; $ 6.000 a 5 años cle- plazo; $ 8.0ü0 a 6 años de plazo ¡r

10;000 a 7 años de piázo. Desea reenrplazar sus deudas Por un solo pago en un tiempo equlvalente para los 5 vencimiente¡s. Calcule;'a) la fecha de pago y b) el valordel pago único, conriderando uña tasa de,interés det'6%'anual, iapitalizalile genrestralmente. $r

:

rual, capitalizable

..',',

',",.,,:.',

;- ala "'',' -o -

u/

1I ¿)

-

cn'l]estr.ll Jlr

¡e una tasá,'éfectiVá

,

.,,,,,..,,,,.,,.,.,,...,.

': ':

'

on capitaliiac,iónrr,

]EINú


Alnr;rncJo,\4o¡".r Za¡nbr¿

360 ff7=-=4

n

i

1+i

= 0,045 trimestral

90

=et

i=7,75O

5(12) + 6

1 + 0,07-

a .f

ln 1,072:

M=C{1 +i)n

(formula 5. l) M = 5.000(1 + O,O45Y2 = $ 13.168,26

M=Cejt 5(12) . --1;= L-

C=

+6

5.000

O,O7 = x ao/ / lo-A

e=2,71828182846

a) Métod

t'lc

Primera

i

M,= 5.000 e 0,18is,5) M ¿ 13.456,17

o;15

M = 5.000 €

o'e9

= 5.000 (2,691234472)

t+,=11t-

n=(18)12 1 =72

1+i:1

l.

l=42,8 Tercera

M = 900(1 + O,A375):2 = $ 1?-.746,36

r

42"n

Segunda

0,0375 tiimestral

4

=

r

'.....''' t¡ T¡,;-l'

360 m=-=4 rr90:-.:, .: .

I

:.r.:..i..

.,:,1..'..

1+i=h*!'391\41 :, t:,,,::..::l:.,,::..

. ....

1,* i:,r'1

;r4lr,.1t

r

.

:.r,,::ii:r,

g

r.r.!.1 r.,,.,

62,::'

:,

i = O,411582 i = 41 ,1582o/o efectiva

'':,,1

,,,,

*i=1

.' ' ,i=

43,71

, , 'Cuarta c '

,

,,t.'

1+i= ::

::

t

'.::a.-,

:::,.,::..,:

:.'.+ i

-

',ll.:'¡,.t,¡,.il- +Z,S

'llrrrl:l:,,,r.,.:.rlEn

gste

1

;

(


ia =uo,ut 1+l= 1,a725oB1B1818181 i = 7 ,2508181

81 81

i = 0,0725081818181

8%

1 + 0,072508181 Bl Bi 81 = e' ln 1,O725081B1Bt B.l = x ln e

1,0725081

B1 81 B

= e'

0,07 = x (1) 7o/o

j = o,1B

=x

a) Método analítico:

Primera oPción: i = 42"/o i= O,42 efectiva, anual

,1234472)

SegLrnda oPción:

+

1

i--

I . ry)'

(fórmLrla 5'4)

1+i=1,428025

i=

42,8O25"/,'

Tercera oPción:

1+i=t.TI 1+l=1,437661 = 43,7661o/o efectiva, anual

i

Cuarta oPciórr:

1+i=(t.#)'' l+i=1,425761 = 42,5761Yo efectiva, anual

i

:ia 1/4

la tercera En este caso, le conviene analíticamente

b) Método Práctico: 42o/o Primera opción: Tasa efectiva del

M=50.000(1 +0,42)t'2s M = 5 77.505,127 27 '505,127 .r ='iz'.505,127 - 50.000 = $

\lt.rotttega

\lld! ¡lilr'{,1

opción

i=

43,7661o/"


'\r¡l;¡ n¡ln \,11¡r¡ lamhr¿n

Segunda

op;ió;: Í¿sa del 39% anual capitalizablei"rnóttiuirrllntu

11.

Se exprer

M=s0.000(t ' * e!:')" , t M = g 78.05t],03 I = 78.053,03

-

50.000 = $ 28.053,03 0

Tercera opción: Tasa del 3B7o anual capitalizable trimestralmente:

Gráfico 5,

' *g!q)' M=s0.000(, o,

n=-

I

M = 5 78.711,937 I

= 78.711,937

-

50.000 = $ 28.71 1,937

C-

Cuarta opción:Tasa del 36oó anual capitalizable mensualmente:

M = 5o.ooo (t

-

T)

C-

'

C-

M = S 77.898,37 I = 77.898,37 - 50.000 = S 27.8q837

Se expn ....1

En este caso, le conviene la tercera opción M

= $ 78.711,937;

l

t=928.711,937

l l

X

0.

l '1//

Se elahora el gráfico del problema:

-l ,,

/:

1

1

0

.'.''..

,l' "'^ O

r

12

24 t-

30

36

0,09

48

60

72

84

96 108 120 132 144

,'i

i

'(12x12+9) t¿

Ne

153 meses

M

= 12,75 M

M :,7..500

(e)0;0e{r2,zs)

¡4 :, 7:500,00(s[,117s = 7.500,00,(3,1r5i073),=

23.627 ,30

.t- (12x12+9)-(2x12+6) 12 C =23,6-27:;,36 s

(0,407842t

*(t!,¡z!)!0roeiif

.'::lli::l:.lr'.,,,1_

123 12

-1n1f,

-o'sl9{71'=;23,;; =,-2,3,,627,30 e

::: n

=

i:,0;0815

2;l,tg

,tiliti.];:a::::, f :],:::.:,;ll,ll:lii'l:.' C,

c = 5 9.636,21 j1L..^''._

,


11. Se expresa gráficamente el problema:

stralmente

c=?

M = $ 10.000

t

\

v/

¡ralmente:

Gráfico 5.21. Solución gráfica del problema 11

,'3- lt5l(12)+ 6l - l(2r(12) + 3l - ,, I

C --- \ + - = 10.000{1 almente:

018\rt "''" 4

I

I

c = g 5,642,72 C = 5.642,72, ésle es el valor actual o precio del documento a esa fecha

12. Se expresa el problema gráficanrente: 11,937; C=?

t yt

\- -\ 144

Cráfiio s.22. Sólución gráfica del problema 12

\ r¡

Negociación con una tasa del 18Yo efectiva:

153 meses

M.=+.'ooo{ri$1.,l'o...... M,a"$ 1O:[116.77 "'' 3,1

s0r3) = I t":'

9,]1.{{?X,1:)'+-ql *,,4,.,2!'"' .:."' ; _- fq(1?).t ,tt',,, .-: :,,..1,2

l"ll

..r,...rr,,,:r:

.,,

i -,01O875 C;'1,'.0i61,8.77,,\7,:+ 0t1,8);'42:5:' . ":"::' r,',,,,: :l:, C,,;,r$ i5;25 5.03,,hégOciacjóQ qoú castigo} "::

i27 34.'::'.'::::'

,, . rr'l

',:l.rt',itt

g.r


;\inr,rniio ir'1ora Zanrbrano

N"g*,a;6" .." """ n=

t(6X12) +91

taiu ¿"t I SV" anual capitalizable semestralmente:

/'13=-

(

-[(2X121+6] _ q\ -vtJ

6

C = 10.61 8.771

:

(:

11¡=-

,os(1*o-t1llu't x=3.0

C = $ 5.742.51 (negociación a la par)

x=19 Se comprueba:

Un sol

M = 4.ooolj \

*qq)t 2l

= g s.742.s2

14.

Se expresa

Negociación con una tasa del 127" anual capitalizable trimestralmente: + 9i -)9,(D. ^ - I(6X1Zr n=-=,,

3=

17

UrallCO 5'z'

C = 10.61 BJz(t

+912\'' lE=-

10.0(

C = $ 6.424.53 (negociación con premio)

TE=

13. Se expresa el problema gráficamente;

' 3.OOO /'-.'--------\

/'\/-

5.ooo

/-1

fl1 = [72

9 Gráfico 5.23. Solución gráfica del'problema 13

,6

,rr--

(sx12)

Calcl

x

-A(D

(sxl2) - (4){12)

10

años

=

x = 1{

x= l1 ,: X=$ Pago

-


restralmente:

(s)(12)

*

(8X12)

--6

6

(5)(12) [14

*

(10)(12)

=

x' = 3.000ú -'---\'

*.

1)

)

t

I

=-1 0

s.oootr + o,o7)2+ 7.000('l + O,07)-6 + 9.000(1 + 0,07)-10

x = 19.466,23 Un solo pago rle $ 19.466,23'

14.

Se expresa

el problema gráficamente:

_l

nestraimente:

Cráfico 5.24. Solución gráfica del problema 14

+ 6.000(10) + 8.000(12) + 10.000(14) 10.000(6) + 8.000(8) . 10.000 + 8.000 + 6.000 + 8'000 + 10.000

tt--

TE

420.000 42.000

= 10 senrestres = 5 años

Calculamos el vak:r del Pago único:

'-.

9 000 f?1

,= 1O - 6'= 4

n2:,'= 1;g 'i

0

años

-'U

=,

n:=10-10=0 n¿ + 10 * 1'2 =:2

nq;;10-14.é:.41

.',

¡ g,¡1Óo(t,os)l + 6,00ü{1,03)0 +"a.0o0iiu0¡}.¿ +'10.o0-0(i,03)i1 ' ','' 'r x'*'i1'.255,,09 +8.482,20 + 6,ooo,+ i.s+o;77'a $.fi84,87:' : y -, g

*,-] iró.onoir i:0,03¡+

42.767,.93

Pago único: $42.167,g3

:.1rlil1rl!la

,": '

:

..

,..i


i::::i:l

:l:t:

t'T?:1't:

t= t= 1=

Acfividodes de reposo

Ar

l*

t=

1. ¿Cuál es l¿ diferencia entre el interés simple y el interés compuesto?

IE IE

2, ¿Cuál es la fórmula del monto en interés compuesto? 3. ¿Cómo se calcula el interés compuesto?

4. ¿En qué se diferencia una tasa de interés efectiva de una tasa de inlerés nominal capitalizable varias veces en el año?

Fresentaciór Las

5. ¿Qué es más conveniente para un inversionista: una tasa de interés del 457o efectiva o una tasa del 397o anual capitalizable rnensualmente? 6.¿Cuáleslafórmuladelvaloractualeninter'éscompuesto?

:as periódicas ablas de anro

qué se diferencia una tasa de interés anticipada de uáa tasa de inre*rés vencida? ¿Cuál ¡:roduce mayor interés Compuesto?

lara el cálcuk :elar una deur

B. ¿Cómo se calcula el precio de un documento con interés compuésto?

de pólizas de

7.

¿En

'

la anualidadt

i

r;ósito, cálcul .r largo plazo ianto, es im¡tc

procedimiento de cálculo se pr-rede reenrplazar ün cónjunto de lobligaciones o deudas a largo plazo por uno o más pagos?

,i,g.,,¿Con qué

"

anualidadt

:uencia en o1r i' de formació :as o series cle 'ormar capital

. ,, 10- jCómo,sé calcula el descuento compuests? ¿Con qué fór,nru'lal

'

)

De olra parie Cantente, es rle y el interé

i

::

Se incluyen

l,

ii nua.

Objetivo ge i Conocer y mi

[omplete su oprendizoie ron el (D que ocompoño o

iaciiiten al

efe libro

es

ies o de anlor

oeriódicas

Objetivos =

=

i

Conocer el

er

cr

de las anuali< Calcular el n¡

Calcular {a

re

actual.

:

Conocer las i

i

Cohócer la ar en la realidat Conocer las ¡ Maneiar las a

renta,,,períodr

f,

.

All::¡¡'¡*r¡a


Interes Compuesto  

Tomado del Libro de Matemática Financiera de Zambrado

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