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REPASO DE MATEMATICA JAVIER DE JS PAULINO

La matemรกtica es el lenguaje, con que Dios ha escrito en el universo. Galileo

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Importancia de la matemática Los desafíos que enfrentan hoy la ciencia y la ingeniería son tan complejos que sólo pueden resolverse con la relación interdisciplinaria y en la cual la matemática juega un papel muy destacado. La matemática, la ciencia y la ingeniería tienen una larga y estrecha relación que es crucial y de creciente importancia para ellas Disciplinas como la física y la ingeniería eléctrica que han sido siempre muy matemáticas lo son aún cada día más. Ciencias como la biología, la fisiología y la medicina en las cuales la matemática no tenía una presencia relevante, están demandando nuevas herramientas matemáticas para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los cuales tienen cada vez mas información experimental. También la matemática es requerida hoy de manera muy significativa por la tecnología de las comunicaciones, las finanzas, la elaboración de manufacturas y los negocios. El progreso científico, en todas sus ramas, requiere una estrecha y fuerte interacción con la matemática. Entre los principales temas que emergen sistemáticamente en la relación de la matemática con la ciencia se pueden señalar los siguientes: Modelado matemático: la adecuada descripción de un fenómeno científico en un marco matemático permite el uso de poderosas herramientas para la construcción de algoritmos efectivos para la caracterización, el análisis y la predicción del fenómeno. Los modelos matemáticos permiten realizar experimentos virtuales cuyos análogos reales serían caros, peligrosos o imposibles; hacen innecesarios la destrucción real de un avión, diseminar un virus mortal o presenciar el origen del universo.

La importancia de la Matemática en la Física, es que la Matemática es el "lenguaje" en el que "habla" en Física.

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REPASO DE MATEMATICA Los mayores problemas que enfrentan los estudiantes para aprobar esta asignatura de FĂ­sica General I, se encuentran en el nivel de matemĂĄtica con que llegan los estudiantes al aula, necesitamos un nivel de matemĂĄtica mĂ­nimos que tenemos que usar en esta asignatura, para que sea entendida por los estudiantes asĂ­ que inmediatamente ataca queremos ese problemas, que se basa en un repaso de :

 Despeje de variable en una formula. Un poco de algebras Ecuaciones de primer y segundo grado.  Determínate de una matriz.  Teorema del coseno y del seno  Derivadas e integrales (simple).

Parte 1 DESPEJE DE VARIABLE EN FORMULA Por ejemplos muchas de las ecuaciones tĂ­picas que veremos en clase tendrĂĄn esta forma: Tabla1 tenemos que aprender como despejar una variable en una ecuaciĂłn 1

2 đ?‘Ľ=đ?‘Łđ?‘Ą

5

3

đ??¸=

1 đ?‘šđ?‘Ł 2 2

2 đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ł 2 − đ?‘Łđ?‘– 2

đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘– + đ?‘Ž đ?‘Ą 6

4

7 1

9

8 10 đ?‘Ą 2 + 20 đ?‘Ą − 32 = 0

đ?‘¤ = 2 đ?‘š(đ?‘Ł 2 − đ?‘Łđ?‘– 2 )

đ??š = đ?‘šđ?‘Ž

đ?‘Ś = đ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘” đ?œƒ –

đ?‘” đ?‘Ľ2 2 đ?‘Łđ?‘–2 đ??śđ?‘œđ?‘ 2 đ?œƒ

10 đ?‘š1 đ?‘” − đ?‘‡ = đ?‘š1 đ?‘Ž đ?‘š2 đ?‘” − đ?‘‡ = −đ?‘š2 đ?‘Ž

đ?‘‡ − đ?‘“đ?‘&#x; = đ?‘š1 đ?‘Ž đ?‘‡ − đ?‘š2 đ?‘” = −đ?‘š2 đ?‘Ž đ?‘“đ?‘&#x; = đ?œ‡ đ?‘š1 đ?‘”

Tabla1

Es bien conocido en matemĂĄtica que para despejar una variable en una ecuaciones dejarla sola en cualquier lado del signo de igual. si una variable estĂĄ multiplicando en un lado del signo de igual pasa al otro lado dividiendo y viceversa. Si esta sumando pasa restando y asĂ­ sucesivamente ..

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Por Ejemplo Observemos los siguientes ejercicios resueltos.

EJERCICIO RESUELTO 1.0 En la ecuaciĂłn (2) de la Tabla1 đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘– + đ?‘Ž đ?‘Ą despejar đ?‘Ž =?

SoluciĂłn: AquĂ­ sabemos que đ?‘Łđ?‘– que esta sumando pasa al otro lado restando, seria đ?‘Ł − đ?‘Łđ?‘– = đ?‘Ž đ?‘Ą ; y t que; estĂĄ multiplicando pasa dividiendo entonces tendrĂ­amos. đ?‘Ž = (đ?‘Ł − đ?‘Łđ?‘– )/đ?‘Ą

En la ecuaciĂłn (3) de la Tabla1 2 đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ł 2 − đ?‘Łđ?‘– 2 despejar la đ?‘Ł =?

SoluciĂłn: En tĂŠrmino −đ?‘Łđ?‘– 2 esta restando pasa sumando, y luego extraemos la raĂ­z en ambos lados y obtenemos.

2.0

đ?‘Ł = 2 đ?‘Ž đ?‘Ľ + đ?‘Łđ?‘– 2 3.0 En la ecuaciĂłn (9) de la Tabla1 Hallar đ?‘Ž =? y la đ?‘‡ =? Recordar que estas ecuaciones son simultanea. đ?‘š1 đ?‘” − đ?‘‡ = đ?‘š1 đ?‘Ž đ?‘š2 đ?‘” − đ?‘‡ = −đ?‘š2 đ?‘Ž

SoluciĂłn: si multiplicamos la segunda ecuaciĂłn por -1 y sumamos tenemos(este mĂŠtodo es llamado de reducciĂłn) đ?‘š1 đ?‘” − đ?‘‡ = đ?‘š1 đ?‘Ž −đ?‘š2 đ?‘” + đ?‘‡ = +đ?‘š2 đ?‘Ž đ?‘š1 − đ?‘š2 đ?‘” = (đ?‘š1 + đ?‘š2 )đ?‘Ž Despejando a đ?‘Ž , tenemos: đ?‘Ž =

đ?‘š 1 −đ?‘š 2 đ?‘š 1 +đ?‘š 2

đ?‘”

Si la ecuaciones originales multiplicamos la primera por đ?‘š2 y la segunda por đ?‘š1 tenemos, y Sumando tenemos: đ?‘š2 đ?‘š1 đ?‘” − đ?‘š2 đ?‘‡ = đ?‘š2 đ?‘š1 đ?‘Ž đ?‘š1 đ?‘š2 đ?‘” − đ?‘š1 đ?‘‡ = −đ?‘š1 đ?‘š2 đ?‘Ž 2đ?‘š1 đ?‘š2 đ?‘” − đ?‘š1 + đ?‘š2 đ?‘‡ = 0 đ?‘‡=

VER VIDEO 1 Ecuaciones lineales01 2 Ecuaciones lineales02 3 Ecuaciones lineales03 4 MatemĂĄticas ResoluciĂłn EcuaciĂłn Segundo Grado

2 đ?‘š1 đ?‘š2 đ?‘” đ?‘š1 + đ?‘š2

VIDEO “ “ “

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.0 Usando la tabla 1 ecuaciĂłn (5), despeje las siguientes variables a) đ?‘Ł =? y b) m=?

2.0 Usando la tabla 1 ecuaciĂłn (3), despeje las siguientes variables a) đ?‘Łđ?‘– =? ;b) x=?; c) a=?

3.0 Usando la tabla 1 ecuaciĂłn (6), despeje las siguientes variables a) đ?‘Ł =? ;b) đ?‘Łđ?‘– =? ; c) m=?

4.0 Despeje la ecuaciĂłn (10), de la tabla 1 las siguientes variables a) a=? , T=?, recuerde que son dos ecuaciones simultĂĄneas, donde g , m1, m2, đ?œ‡, đ?‘“đ?‘&#x; son constantes, que hay muchos mĂŠtodos para resolverla.

5.0 Usar la ecuaciĂłn general para hallar la soluciĂłn de la ecuaciĂłn (7) −đ?‘? Âą đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? đ?‘Ľ= 2đ?‘Ž

6.0 Despeje la ecuaciĂłn (8), de la tabla 1, la velocidad inicial đ?‘Łđ?‘– =?

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Parte 2

Mucha veces tendremos que hallar el determĂ­nate de una matriz, El determĂ­nate de una matriz es un numero asociado a cualquier matriz cuadrada. Sabemos que hay muchas formas de hallar un determinante. AquĂ­ elegimos el mĂŠtodos del menor para hallar el determĂ­nate de esta matriz, cuando. Hallamos el producto vectorial de los vectores A y B genera un nuevo vector C ortogonal a los dos primeros. A x B Cuando se conoce las componentes de los vectores, se usa la siguiente expresiĂłn:

� ��� = �� ��

1

� �� ��

đ?’Œ đ?‘¨ đ?‘¨đ?’ = đ?’€ đ?‘Šđ?’€ đ?‘Šđ?’

đ?‘¨đ?’ đ?‘¨ ĂŽâˆ’ đ?‘ż đ?‘Šđ?’ đ?‘Šđ?‘ż

đ?‘¨đ?’ đ?‘¨ Äľ+ đ?‘ż đ?‘Šđ?’ đ?‘Šđ?‘ż

VER VIDEO Determinantes fundamentos

đ?‘¨đ?’€ đ?’Œ đ?‘Šđ?’€

VIDEO “

Teorema del coseno Este teorema es aplicado cuando interactĂşan dos vectores en el plano y tienen como caracterĂ­stica el hecho de presentar un origen comĂşn; se requiere conocer los mĂłdulos de los vectores, y el ĂĄngulo que forman entre sĂ­ (Figura 1). En FĂ­sica lo usamos mucho para hallar la resultante entre dos vectores Caso uno. Suma de vectores (đ?‘¨ + đ?‘Š)đ?&#x;? = đ??´ 2 + đ??ľ

2

+ 2 đ??´ đ??ľ cosđ?œƒ

(11)

Donde: A: El vector A y |A| mĂłdulo del vector A B: El vector B y |B| mĂłdulo del vector B A+ B: Resultante de la suma A+B,|A+B| mĂłdulo del vector suma A + B

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B

A+B θ

A

θ: es ångulo entre los vectores A y B.

Figura 1. Dos vectores A y B, ambos se suman por el mĂŠtodo del paralelogramo Caso dos. Resta de vectores

(đ?‘¨ + đ?‘Š)đ?&#x;? = đ??´ 2 + đ??ľ

2

− 2 đ??´ đ??ľ cosđ?œƒ

(12)

Teorema del seno Este mĂŠtodo se aplica en la resoluciĂłn de sistemas de vectores donde coexisten un mĂĄximo de tres vectores no concurrentes, pero que actĂşan sobre un mismo cuerpo (Figura 2). Es muy Ăştil al momento de determinar direcciĂłn y sentido de un vector, y suele emplearse en conjunciĂłn con el teorema del coseno. đ?‘¨ đ?‘Š đ?‘Ş = = (13) đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?›ź đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?›˝ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œŽ Donde: A, B, C: mĂłdulos de los vectores A, B y C ĂĄngulo en frente del vector A.ď€ ď Ą. ĂĄngulo en frente del vector B.ď€ ď ˘. ĂĄngulo en frente del vector C.ď€ ď ł.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.0 Hallar el determinante en la siguiente natri z 1 4 3 2 2 1 1 0 3

2.0 Hallar el determinante en la siguiente natri z A= 2i – 3j –k y B= i –j ; esto es AxB đ?‘– đ?‘— đ?‘˜ 2 −3 −1 1 −1 0

3.0 Hallar la resultante para esto dos vectores A+B. Si A= 8 u, B=6 u, y el θ= 30o B

θ θ

A

4.0 Hallar la resultante para esto dos vectores A+B. Si A= 10 u, B=8 u, y el θ= 120o

B θ θ A

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Parte3 DERIVADA E INTEGRALES El desplazamiento de un objeto que se mueve desde el punto (xi, ti), hasta el punto (xf, tf) sobre el eje x que representa posiciĂłn en funciĂłn del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el lĂ­mite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantĂĄnea en el tiempo t. AquĂ­ ∆x= xf – xi

y

∆t= tf – ti recordĂĄndole que ∆x/∆t es la pendiente entre los dos puntos P1

y P2. ∆x/∆t Que es la velocidad media entre eso dos puntos Y el lĂ­mite de esa pendiente es igual a la a dx/dt que es la velocidad instantĂĄnea. Que tambiĂŠn es la derivada de la posiciĂłn con relaciĂłn al tiempo.

x

đ?‘Ł=

đ?‘™đ?‘–đ?‘š ∆đ?‘Ąâ‡ž0

P2

đ?‘Ł=

∆x

(

∆đ?‘Ľ ∆đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

) =

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

(14)

P1 t ∆t Muchas expresiones que usamos en FĂ­sica tienen mĂĄs o menos esta forma đ?‘Ľ = đ?‘˜ đ?‘Ą đ?‘› donde, donde k y n son constantes, x seria la posiciĂłn de una partĂ­cula y t el tiempo, si queremos hallar la velocidad por ejemplo usamos la ec, 14 đ?‘Ł =

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

, hallamos la derivada de la posiciĂłn con relaciĂłn al tiempo que

Si aplicamos la reglas de derivadas tenemos đ?‘Ł =

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

= đ?‘‘đ?‘Ą (đ?‘˜ đ?‘Ą đ?‘› ) = đ?‘› đ?‘˜ đ?‘Ą đ?‘›âˆ’1

la regla es bien fĂĄcil, el

exponente multiplica a la base y disminuye en uno. Si queremos hallar la aceleraciĂłn de la partĂ­culas derivamos de nuevo esto es, aplicar de nuevo la regla đ?‘Ž=

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ľ

. Aplicamos de nuevo la regla, y hallamos la aceleraciĂłn. đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘Ž = đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘‘ đ?‘› đ?‘˜ đ?‘Ą đ?‘› −1 đ?‘‘đ?‘Ą

= đ?‘› đ?‘› − 1 đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘›âˆ’2

(15).

Esto serĂ­a lo mimo que la segunda derivada. La operaciĂłn opuesta a la derivada es la integraciĂłn en este caso usando la ecuaciĂłn 15 đ?‘Ł =

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

,

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CLASEFIS21100 Si conocemos la 𝑣 y me piden la posición, despejando tenemos 𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡, para la mayoría de los cálculos que usaremos tendremos una expresión parecida a esta 𝑣 = 𝑘 𝑡 𝑚 , donde 𝑣 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 t es el tiempo y donde k y m son constantes sustituyendo 𝑣 dentro la ecuación tenemos:

𝑥=

𝑣 𝑑𝑡 = 𝑘 𝑡 𝑚 𝑑𝑡 =

𝑘 𝑚 +1

𝑡 𝑚 +1 Que es la regla para hacer este tipo de integrales

Que usaremos en clase más adelante. El exponente aumenta en uno y divide a la base.

De la misma forma podemos hallar la velocidad si conocemos la aceleración de la partícula. Con la formula 𝑎 =

𝑑𝑣 𝑑𝑥

, si conocemos la aceleración y me piden la velocidad 𝑣 =

𝑎 𝑑𝑡.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.0 Tenemos que un móvil se mueve según esta ecuación 𝑥 = 𝒂 𝑡 + 𝒃 𝑡 2 donde a y b son Constantes, y x representa la posición de la partícula y t el tiempo hallar a) la velocidad de la partícula en cualquier tiempo, b) la aceleración de la partícula.

Repuesta: a) 𝑑𝑥 Para hallar la velocidad usamos 𝑣 = 𝑑𝑡 , entonces

La aceleración de un móvil esta dadas por 𝑎 = 2 𝑡 + 6, hallar, a) la velocidad, y b) el desplazamiento.

Repuesta: a) La velocidad esta dadas por 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 sustituyendo la 𝑎 en esta ecuación 𝑣 = (2 𝑡 + 6 )𝑑𝑡 Integrando tenemos 𝑣 = 𝑡 2 + 6𝑡, Repuesta: b) Si queremos hallar , el desplazamiento integramos de nuevo, usando 𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡, esto es 𝑥 = (𝑡 2 + 6𝑡)𝑑𝑡, el resultado es

𝑑

𝑣 = 𝑑𝑡 (𝒂 𝑡 + 𝒃 𝑡 2 ) si aplicado las regla de la derivada tenemos 𝑣 = 𝑎 + 2 𝑏 𝑡; que seria la velocidad en cualquier tiempo. Repuesta: b) Para hallar la aceleración aplicamos la ecuación 15 𝑑𝑣 𝑑 𝑎 = 𝑑𝑥 . Esto es, 𝑎 = 𝑑𝑥 ( 𝑎 + 2 𝑏 𝑡)= 2b Esto significa que la aceleración es constante 𝑎= 2b

2.0

𝑡3

𝑥 = 3 + 3𝑡 2 Que sería el desplazamiento para cualquier tiempo.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.0 Un cuerpo se mueve segĂşn la siguiente ecuaciĂłn đ?‘Ľ = 20 đ?‘Ą + 10 đ?‘Ą 2 , Hallar la velocidad y la aceleraciĂłn para cualquier tiempo.

2.0 Un mĂłvil se mueve segĂşn la siguiente ecuaciĂłn đ?‘Ľ = 20 − 5đ?‘Ą + 4 đ?‘Ą 2 . Hallar para quĂŠ tiempo la velocidad es cero.

3.0 La velocidad de un mĂłvil estĂĄ dada por đ?‘Ł = 6 đ?‘Ą, Hallar la aceleraciĂłn y el desplazamiento cuando el mĂłvil se mueve de 0 a 2 segundos.

4.0 La aceleraciĂłn de un globo que haciende estĂĄ dada por đ?‘Ž = 2 đ?‘Ą 3 , a) Hallar la velocidad en cualquier tiempo b) el desplazamiento realizado cuando el tiempo es de 2 s.

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REPASO DE MATEMATICA  

PARA LA CLASE DE FISICA 211

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