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Taller realizado por :  

Liz Carolina Zarate Monroy Javier Correa Barrantes

Estudiantes practicantes en Maloka II-2006. Taller UN POCO DE TOPOLOGIA CON GRAFOS

Objetivo General Conocer las matemáticas como un ámbito fuera de los algoritmos y procedimientos que se realizan comúnmente en el aula de clase. Objetivos Específicos 1. Identificar los grafos como una herramienta para resolver algunos problemas prácticos. 2. Reconocer y resolver grafos eulerianos en la escuela. Temas a trabajar

- Grafos - Recorrido de un mensajero para obtener ahorro de combustible y tiempo. Tiempo de ejecución 120 minutos Presentación Los estudiantes realizaran el respectivo recorrido que tiene que realizar el mensajero en el menor tiempo posible en una ciudad. La actividad consiste en realizar tres recorridos de un mensajero que se desplaza en su moto por la ciudad. Debe entregar la correspondencia en diferentes sitios del recorrido, tratando de hacerlo en el menor tiempo posible y con el menor gasto de combustible; para esto el mensajero debe realizar el recorrido sin repetir camino. (2 minutos).

Materiales -

Cinta de precaución o peligro Cubitos de la mesa 6


-

20 conos grandes (Equipo de carretera) numerados como indican (figuras 1,2 y 3) Cronometro Planillas, mapa y taller Cartas o sobres Tablero acrílico y marcador 8 lápices y borradores. Campo rectangular abierto ( 38m, 18m).Cancha de microfutbol.

Dicho terreno estará distribuido de la siguiente forma:

Nota: la distancias entre vértices puede estar entre 4-6 metros y el ancho del terreno se deja a juicio del ejecutor. Instrucciones de ejecución Distribución del grupo: 1. Se numera el grupo de estudiantes del uno al cinco, luego se reúnen aquellos que tengan el mismo número. No importa que el número de alumnos en cada grupo sea el mismo.(2 minutos) 2. A cada grupo se entregara un lápiz, un borrador y anexo1(hoja de resultados).(1 minuto) 3. Se anunciaran las reglas del juego, como diligenciar la hoja de resultados (1 minuto) y los siguientes pasos a seguir: 

El grupo realiza una estrategia de juego que consiste en escoger el mensajero y definir el recorrido. La estrategia debe ser anotada en la hoja de resultados, para esto se facilitará un mapa con el diagrama de cada uno de los recorridos que deben realizarse. (figuras 1,2 y 3) (3 minutos)

Los demás estudiantes del grupo se ubicarán en el punto medio de cada camino, si no alcanzan, estudiantes de otro grupo se ubicaran de manera tal que en medio


del recorrido de cada camino estará ubicado un estudiante para que a cada uno de ellos el mensajero le entregue un sobre. (1 minuto) (5 minutos total) 4. Con los mensajeros realizará el sorteo del orden de salida, utilizando una bolsa y cinco papeles enumerados de 1-5. 5. Empieza el juego (recorrido por las pistas). (75 minutos) 6. Uno de los talleristas realizara el registro indicado en el anexo3 (hoja de tallerista). Donde se anotara nombre o número de grupo, número de intentos para cada recorrido, número de los vértices por los que va pasando el mensajero en cada intento, si lo logra o no hacer el recorrido y tiempo total, llevado desde que inicia y hasta que logra hacer el recorrido, este tiempo de ser máximo de 5 minutos. 7. Reflexiones y conclusiones de la actividad. 8. Se determina el grupo ganador (según parámetros).

Los esquemas de los recorridos propuestos (grafos) son:

Como cada juego tiene sus reglas este no es la excepción. Reglas: 1. Cada mensajero al iniciar el juego debe contar con un número de cartas igual al número de caminos1 del recorrido. 2. El mensajero sólo puede recorrer cada camino una vez y entregar un sobre a la persona ubicada a la mitad del recorrido. 3. Si el mensajero o los integrantes de su equipo advierten que la segunda regla se romperá con el recorrido que se está ejecutando, el mensajero deberá recoger los sobres ya entregados y volver a comenzar el recorrido. 4. Ninguno de los estudiantes ubicados en el punto intermedio de cada camino debe tener más de un sobre o quedar sin sobre en el momento en que el mensajero haya terminado el recorrido. 5. Para cada recorrido se dispone máximo de 5 min.


6. Si un recorrido se hace correctamente en un tiempo menor de cinco minutos, el tiempo restante se añadirá a los cinco minutos disponibles para realizar el siguiente recorrido. Grupo ganador El grupo ganador se definirá a partir de los siguientes criterios: 1. El grupo ganador será aquel que logre hacer los tres recorridos en el menor tiempo posible. 2. Si ninguno de los grupos llegara a completar los tres recorridos en el tiempo disponible el grupo ganador será aquel que haya logrado completar el mayor número de recorridos. 3. Si existiera empate entre dos o más grupos se considerará ganador el grupo que haya invertido el menor tiempo en hacer los recorridos que haya logrado completar.

Reflexiones y conclusiones (30 minutos) El primer recorrido es muy fácil y se puede realizar ¿Cuántos caminos llegan a cada punto?, 2 y 4 solo números pares por esta razón el recorrido se puede realizar desde cualquier punto. El de la figura 2 tiene una particularidad, se debe empezar en dos puntos estratégicos ¿Cuáles son esos puntos?, pues bien los impares; donde llegan caminos impares. La figura 3 hace referencia a lo estudiado por Euler los puentes de Konigsberg (ahora Kaliningrado), en Prusia donde el recorrido es imposible de realizar, puesto que todos los caminos son impares. Los grafos poseen unas características importantes: 1. Si todos los vértices de la figura son pares la figura se puede realizar en un solo trazo. 2. Si la figura posee solo dos vértices impares la figura se puede realizar en un solo trazo empezando por alguno de los vértices impares. 3. Si hay más de dos vértices impares la figura no se puede realizar en un solo trazo. Por lo tanto el mensajero no puede hacer el recorrido tres sin repetir camino, el ahorro en este caso, de gasolina es mínimo.¿Cómo se lograría? El recorrido dos solo se puede realizar empezando a repartir en dos lugares específicos y el mensajero ahorraría gasolina. En cuanto al primer recorrido el mensajero puede comenzar en cualquier parte y el ahorro de gasolina es el mismo.


Para poder lograr que sean los mismos participantes del taller quienes concluyan lo anteriormente mencionado se trabajara así durante los 30 minutos: Se empieza entregando la hoja de reflexiones, una por cada grupo, y se pide contestar lo que allí se pregunta. (5 minutos) Luego se trabajara haciendo la reflexión de cada uno de los recorridos, utilizando las respuestas a las preguntas planteadas en la hoja de reflexiones. Recorrido Nº 1 Se pregunta por la respuesta a la pregunta de esté recorrido, donde con seguridad responderán que el numero de caminos que llega a cada punto es par. A estos conos se les llamaran vértices pares por tener el número de caminos pares. Luego se anotara en el tablero (ver figura) los puntos de inicio de todos los grupos; con la hoja de resultados se resaltará si se logro o no, realizar el recorrido, para esto se hace útil el registro en el anexo3 del tallerista; por último se miraran los recorridos que se pueden hacer partiendo por los puntos de los que aun no se ha empezado, para notar que el recorrido se puede realizar desde cualquier punto porque todos los vértices son pares.(primera regla de Euler).

Euler demostró de forma general que para cualquier dibujo lineal, como el de los recorridos, se puede dibujar con una línea continua y sin repetir ningún trazo si no tiene ningún vértice impar o simplemente si todos son pares, como en este recorrido.

Recorrido Nº 2 Se pregunta por la respuesta a la pregunta de esté recorrido, donde se responderá que el número de caminos que llega a los puntos 5 y 6 son números impares.. Luego se anotara en el tablero (ver figura) si se logro o no hacer el recorrido y los puntos de inicio de todos los grupos; nuevamente para esto se utiliza la hoja del anexo3 del tallerista; por último se hará notar que el recorrido se puede realizar solamente partiendo de un vértice impar (segunda regla de Euler), para esto se replicara el recorrido de cada grupo y los diferentes caminos que aun no se lograron ver.


Euler demostró de forma general que para cualquier dibujo lineal, como el de los recorridos, se puede dibujar con una línea continua y sin repetir ningún trazo si tiene exactamente dos vértices impares, pero siempre que se empiece por uno de esos dos vértices y termine en el otro, como en este recorrido.

Recorrido Nº 3 Nuevamente se pregunta por la respuesta a la pregunta de esté recorrido, donde se responderá que el número de caminos que llega a cada punto es impar. Luego se anotara en el tablero (ver figura) si se logro o no hacer el recorrido y los puntos de inicio de todos los grupos; nuevamente para esto se utiliza la hoja del anexo3 del tallerista; por último se hará notar que el recorrido no se puede realizar partiendo desde cualquier vértice (tercera regla de Euler), para esto se replicara el recorrido de cada grupo y los diferentes caminos que aun no se lograron ver. Además de un recuento histórico de los puentes de Könisgsberg y de algunas aplicaciones de la teoría de grafos en campos como lingüística, la electricidad, la genética y la sociología.

Euler demostró de forma general que para cualquier dibujo lineal, como el de los recorridos, se puede dibujar con una línea continua y sin repetir ningún trazo si no tiene 4 o mas vértices impares, como en este recorrido.


Un poco de historia Un ejemplo de topología primitiva es el problema de los puentes de Könisgsberg: ¿es posible cruzar los siete puentes sobre el rió Pregel, que conectan las dos islas y las orillas, sin cruzar dos veces el mismo puente?

La palabra “Königsberg” significa en alemán “Colina Real”.La ciudad de Königsberg se encuentra a orillas del Mar Báltico, en territorio ruso y a unos 50 kilómetros de la frontera con Polonia, hoy es llamada Kaliningrado, ciudad atravesada por el rió Pregel, que en la actualidad se denomina Pregolya. Existía entonces para los habitantes de la ciudad el interrogante ¿es posible recorrer todas las zonas de la ciudad, atravesando todos los puentes, una y sólo una vez cada uno de ellos?, que surgía luego de pasear por ella; hasta que un grupo de jóvenes de la ciudad visitó, en 1735, a Leonhard Euler, matemático suizo nacido en Basilea en 1707, para pedirle que resolviera el conflictivo problema. Es así como han surgido las más grandes teorías de la ciencia, a partir de un problema sencillo que en el momento no tiene gran utilidad resolverlo, pero que muchos años después se vuelve relevante para el desarrollo de la misma sociedad; ejemplo claro de está afirmación es la teoría de grafos que en 1735 no se le veía utilidad alguna, pero que hoy día es utilizada en muchos campos. Euler, una vez enterado del problema, se dedicó por completo al estudio del mismo, dando una solución simple e ingeniosa, que servía para cualquier número de puentes, llamada teoría de grafos. Para finalizar está reflexión se retomara lo concluido y se dará respuesta a la siguiente pregunta, tratando los tres grafos o recorridos simultáneamente, tratando de ver diferencias significativas como las siguientes: Recorrido1: Cuantos vértices pares hay? Con seguridad se contestara que todos. Recorrido2: Cuantos vértices pares hay? Contestaran que exactamente dos. Recorrido3: Cuantos vértices pares hay? Contestaran que ninguno


Luego se observara que el recorrido1 fue posible realizarlo, que el recorrido2 también y que el recorrido3 no fue posible; buscando así que se llegue a determinar que cuando un grafo tiene solo vértices pares o exactamente dos es posible realizarlo, y cuando todos son impares no es posible realizarlo. Como punto final del taller se entregara a cada participante una hoja donde encontrara una serie de grafos para realizar según la teoría de los grafos Eulerianos.

La parte que sigue no se presentara en la ejecución del taller pero se deja como alternativa para realizar un nuevo taller sobre grafos en el espacio.

Ahora observemos este cubo, es el recorrido que realizaría un mensajero para entregar la correspondencia en cada oficina2 con una entrada y una salida. Para realizar el grafo cada punto será un color del cubo y se contará cuantas veces llega el mensajero a cada color3.

Se anota el recorrido en el grafo correspondiente probando con la teoría de Euler que el recorrido solo se puede realizar mínimo con dos tubitos rectos.


HOJA DE RESULTADOS RECORRIDOS

Estrategia para realizar el recorrido Escriba los números de los conos, de acuerdo al recorrido escogido.

Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

Grupo Nº______


RECORRIDO 1 Intento Secuencia

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

¿Se logro recorrer la pista? SI ___ NO ____

HOJA DE REFLEXIONES


RECORRIDO 1 ¿Cuántos caminos llegan a cada cono (vértice)? Cono Nº de caminos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

¿Qué características tienen estos números? Pares

Impares

RECORRIDO 2 ¿Cuántos caminos llegan a cada cono (vértice)? Cono Nº de caminos

1

2

3

4

5

6

¿Qué características tienen los conos 5 y 6? Pares

Impares RECORRIDO 3 ¿Cuántos caminos llegan a cada cono (vértice)?

Cono Nº de caminos

1

2

3

4

¿Qué características tienen estos números? Pares

Impares

HOJA DE TALLERISTAS Grupo Nº______


RECORRIDO 1 Intento Secuencia

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo: Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI __NO __ Tiempo:

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO ___ Tiempo:

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo: Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo: Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo: Grupo Nº______ RECORRIDO 1 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

RECORRIDO 2 Intento Secuencia

RECORRIDO 3 Intento Secuencia

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

¿Se logro recorrer la pista? SI ___NO___tiempo:

Actividad final


Pon en practica las habilidades que obtuviste, para poder repetir los siguientes grafos sin levantar el lápiz del papel y sin repetir dos o más veces una misma línea.

1

Se le llama camino al recorrido que realiza un mensajero de un punto a otro. Ejemplo: La figura Nº1 posee 12 caminos. 2 Cada oficina es un cubo pequeño. 3 Este ejercicio lo deben realizar personas más avanzadas como 11 grado, docentes y futuros docentes.


Taller grafos