Issuu on Google+

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

1


1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

2


Unitat 11: Límits i continuïtat. Autoavaluació. Repàs Solució autoavaluació Calcular els següents límits: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Regles de càlcul de límits Solucionari llibre 2

x2 + x − 2 x →0 x2 −1 x2 + x − 2 lim x → −2 x2 −1 x2 + x − 2 lim x → −1 x2 −1 x2 + x − 2 lim x →1 x2 −1 x2 + x − 2 lim x→∞ x2 −1 x 3 − 3x 2 + 4 lim 3 x→2 x − 4 x 2 + 4 x x 3 + (1 − x) 3 lim n→∞ (1 + x) 2 lim

0

∞ 3/2 1 3/2 3

3/2

( x + 1) 3 − 1 x →0 2x 1 x   9) lim  2 − 2  x →0  x −1 x −1 x   1 10) lim  2 − 2  x →1  x −1 x −1 8)

11)

lim

lim x →3

-1 -1/2 1/6

x 2 − 3x x3 − 9x

3/2

2 x − x 2 + 27 12) lim x →3 x−3 2x − 1 − x 13) lim x →1 x −1 1 1 − 3 3− x 14) lim x →0 2x

3/2 -1/18

1

2n

 n  n +1 15) lim   n →∞ n + 1  

4

 n + 1 16) lim   n→∞  n − 1

2n

e

a  17) lim 1 +  n→∞ n 

n

e

a

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

3


 n3 + 7   18) lim  3 n→ ∞ n −5

5 n +3

 2n 2 + 4   19) lim  2 n→∞  2n + 3 

2 3n + 5

e

0

2n − 4

 3n + 2  5 20) lim   n→∞  5n  21) Estudia la continuïtat de la següent funció:

 1 si  f ( x ) =  0 si − 1 si 

Discontínua en x=0

x>0 x=0 x<0

22) Estudia la continuïtat de la següent funció:

 x + 1 si f (x ) =  si  0

3

Discontínua en x=1

x ≠1 x =1

23) Estudia la continuïtat de la següent funció:

Discontínua en x=1

1 f (x ) = x −1 24) Representa funcions que compleixin les condicions següents: a) Dom f ( x ) = R − {0}; lim f ( x ) = 0 i lim f ( x ) = 0 x → +∞

b)

x → −∞

Dom g ( x ) = (− 1,1); lim− g ( x ) = ∞ i lim+ g ( x ) = −∞ x →1

x →1

h( x ) té dues asímptotes verticals, una en x = 1 i una altra en x = −1 i una d’horitzontal en y = 0 . d) i ( x ) es contínua en R − {0} i no existeix el límit d’aquesta funció en x = 0 . e) lim+ j ( x ) = +∞ ; lim− j ( x ) = +∞ i j (0 ) = 0 . c)

x→0

x→0

f) 25) Si una funció pren sempre valors positius i una altra els pren només negatius, poden tenir el mateix límit? Si és així, quin seria aquest límit? 26) Posa un exemple gràfic d’una funció que talli una asímptota horitzontal. 27) Posa un exemple de dues funcions que no siguin contínues en x = 1 i la suma de les quals sigui contínua en aquest punt.

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

Si, el 0

4


AUTOAVALUACIÓ MATEMÀTIQUES 1r BATX. NOM :

Unitat 11: Límits i continuïtat. GRUP :

Nota

1) Donada la funció :  x + 1 si x < 0  f ( x ) = 5 si 0 ≤ x ≤ 2  x + 3 si x > 2  a) Domini f (0,25 p ) b) Estudiar la continuïtat per x=0. (1 p )

c) Estudiar la continuïtat per x = 2. (1 p )

d) Comprovar gràficament el resultat (1,25 p )

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

5


2) Troba les asímptotes de les funcions següents i la posició de la gràfica respecte d’aquestes : a) f ( x ) =

x−3 x +1

b) f ( x ) =

x2 − 3 (1,5 p ) x+2

c) f ( x ) =

x−4 (1,5 p ) x − 5x + 4

(1,5 p )

2

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

6


3) Calcula els límits següents : a) lim x →∞ x + 3 − x (1,5 p )

b) lim x→ 2

x 2 − 5x + 6 (1,5 p ) x 2 − 3x + 2

 x + 5 c) lim x→∞    x − 3

2x

(1,5 p )

x+3   4 d) lim x→1  − 2  (1,5 p )  x − 1 x − 1

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

7


4) Donada la gràfica d e la funció y= f ( x ) a) Dom f = (0,5 p)

b) Recorregut (0,5 p) f =

c) Observant el gràfic omplir la taula següent (2 p): Punt Límit per l’esquerra Límit per la dreta Límit en el punt

Tipus de discontinuïtat

-1 0 1 3 5

d) Estudiar el comportament en el infinit ( 0,5):

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

8


PROBLEMES DE REPÀS: 1) Calcular dos nombres tal que la seva suma sigui 90 i el seu quocient es igual al més petit dels dos. 2) Calcular dos nombres sencers positius tal que la seva diferencia sigui 3 i la diferencia dels seus quadrats 33 . 3) Racionalitza:

6

a)

b)

2+ 3

6 5

81 i 9 ; 100 i – 10 7i4 a)

6

c)

3

4

2⋅ 2

4) Redueix a índex comú els radicals:

b)

2

3, 3 2 , 4 2 3 ⋅ 3 2

12

−6 2 +6 3 35 8 c)

3 6 , 12 2 4 , 12 2 9 ⋅ 3 6

5) Resol el sistema:

(− 2 , 3]

3x + 8 ≤ x + 14 3 2 x > x − 1  2 

[2 , 4]

2 x 2 − 12 x + 16 ≤ 0 2 7) Resol l’equació : cos 2α + sin α = 1 6) Resol la inequació:

0º , 180º

8) Resoldre: a)

x = −1 b) x = 81 c) x = 2 d) x = 2046 a) x = 15 b) x = 2 c) x = 200

a)

x + 2 = 11 c) 3 + 2 = 11 d) log 2 ( x + 2 ) = 11

2

x

x + 2 x + 1 = 0 b)

9) Resol les equacions següents: a)

36 2 5 2

2 ⋅ log x − log 45 = log

x b) 2 ⋅ log x = log(8 − 2 x ) c) log 5 + log x = 3 3

10) Resol el sistema:

x = 10 , y = 1

x + 6 y = 16   3 x − 4 y = 26 11) Troba l’equació de la recta que passa pels punts

A(1, 2) i B(− 1 , 3) .

12) Veure si els punts A(1 , 0 ) , B (2 , 1) i C (3 , 3) estan o no estan alineats. 13) Determina la posició relativa dels parells de rectes següents: a)

r : 2x − 4 y = 2 b) x −1 y r ': = − 2 −1

r : 2x − 4 y = 8 r ': 3 x − 6 y + 5 = 0

14) Troba l’angle que formen les rectes y = 2x − 3 i 2x + y = 0 15) Quina és la distancia entre les rectes: r : x − 2 y + 2 = 0 i r ': x − 2 y + 5 =

f ( x ) = 3 x 3 + 4x

b)

f (x ) = x 2 − 9

k per que sigui continua la funció: si x ≤ 3 si

a) paral·leles b) coincidents

3 0

17) Calcula el valor de

2 x + k f (x ) =  2  x −1

no

126º 52' 11,6' '

16) Calcula el domini de: a)

1 5 y =− x+ 2 2

5 a) (− ∞, ∞ ) b) (− ∞,−3] ∪ [3, ∞ ) k=2

x>3

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

9


REGLES DE CÀLCUL DE LÍMITS

Límits d’operacions. “El límit d’una operació es el resultat de fer l’operació amb els límits de les dades”

A.- El límit d’una suma o resta és la suma o resta de límits dels sumands. Successions Funcions

limn → ∞ (an ± bn ) = limn → ∞ an ± limn → ∞ bn limx → a ( f ( x ) ± g ( x )) = lim

x→a

f ( x ) + lim

x→a

g (x )

B.- El límit d’un producte es el producte de límits . Successions Funcions

limn → ∞ (an . bn ) = limn → ∞ an . limn → ∞ bn limx → a ( f ( x ) .g ( x )) = lim

x→a

f ( x ) . lim

x→a

g (x )

C.- El límit d’un quocient és el quocient de límits. Successions

limn → ∞

Funcions

limx → a

an limn → ∞ an = bn limn → ∞ bn f ( x) limx → a f ( x) = g ( x) limx → a g ( x)

D.- El límit d’una potencia és el límit de la base elevat al límit del exponent. b

Successions

limn → ∞ (an ) n = limn → ∞ an

Funcions

limx → a ( f ( x )) g ( x ) = lim

lim n → ∞ bn

lim

x→a

f (x )

x→a g

(x)

E.- El límit d’una arrel és l’arrel del límit del radicand Successions Funcions

limn → ∞ p an = log p [limn → ∞ an ]

limx → a p f ( x) = log p [limx → a f ( x)]

E.- El límit d’una arrel és l’arrel del límit del radicand Successions

limn → ∞ p an = p limn → ∞ an

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

10


Funcions

limx → a p f ( x) = p limx → a f ( x)

F.- El límit d’un logaritme és el logaritme del límit. Successions Funcions

limn → ∞ log p an = log p [limn → ∞ an ] limx → a log p f ( x) = log p [limn → ∞ f ( x)]

Casos Simbòlics. En el càlcul de límits es presentes els següents casos possibles:

Casos simbòlics determinats A.- k ± ∞ = ±∞

B.- k ·(±∞) = ±∞ si k > 0 k ·(±∞) = m ∞ si k ·< 0 C.-

k = 0 + , si k > 0 +∞ k = 0 − , si k > 0 −∞

k = 0 − , si k < 0 +∞ k = 0 + , si k < 0 −∞

D.-

0 = 0 , si k ≠ 0 k

E.-

∞ = ∞ , si k ≠ 0 ( + ∞ si k i ∞ tenen el mateix signe, i - ∞ si tenen diferent signe) k

K + ∞ si K > 0 F.- (+ ∞ )   0 si K < 0

 + ∞ si K > 1 G.- K + ∞  0 si 0 < K < 1

0 si K > 1  K −∞  + ∞ si 0 < K < 1

Casos simbòlics indeterminats

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

11


A.-

∞ ∞

D.- 0. ∞

B.-

0 0

E.- 1 ∞

C.- ∞ − ∞

F.- 0 0

G.- ∞ 0

LÍMITS DE FUNCIONS RACIONALS:

En les funcions racionals f(x) =

Primer cas: indeterminació La

indeterminació

∞ de ∞

P (x ) apareixen tres casos d’indeterminació Q(x )

∞ ∞

funcions

racionals

desapareix

aplicant

infinit

equivalents al polinomi del numerador i al polinomi del denominador o dividint numerador i denominador per la màxima potencia .

∞ si grP( x ) > grQ( x ) P(x )  a limx → ∞ si grP( x ) = grQ( x )  Q(x )  b  0 si grP( x ) < grQ( x )

( a i b son els l coeficients dels monomis

principals)

Segon cas:

indeterminació

La indeterminació

0 0

0 de funcions racionals desapareix factoritzan numerador i 0

denominador i simplificant

Observació: Si el polinomi numerador i denominador s’anul·len per x = a un dels factors tant de numerador com de denominador serà x-a. 1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

12


Tercer cas: indeterminació ∞ − ∞ La indeterminació ∞ − ∞ de funcions racionals desapareix reduint a una fracció racional amb el mínim comú denominador

LÍMITS DE FUNCIONS IRRACIONALS En les funcions irracionals apareixen tres tipus de indeterminacions :

∞ ∞

Primer cas:

indeterminació

La indeterminació

∞ en radicals desapareix dividint numerador i denominador per la ∞

màxima potencia .

Segon cas:

indeterminació

La indeterminació

0 0

0 en radicals desapareix multiplicant i dividint per l’expressió 0

radical conjugada.

Tercer cas :

indeterminació ∞ − ∞

La indeterminació ∞ − ∞ en radicals desapareix multiplicant i dividint per l’expressió radical conjugada.

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

13


DEFINICIÓ DE NOMBRE “ e”: n

 1 Es el límit d’una successió de terme general an = 1 +  .  n  Es a dir e = limn → ∞ 1 + 

1  n

n

LÍMITS DE FUNCIONS POTENCIALS-EXPONENCIALS: En les funcions potencials-exponencials es pot presentar la indeterminació 1∞ . La indeterminació 1 ∞ desapareix aplicant el nombre “e”.

1r Batxillerat – CIÈNCIES DE LA NATURALESA I DE LA SALUT - TECNOLOGIA Límits i continuïtat

14


mates