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FascĂ­culo

3

Fundamentos de MatemĂĄticas Semestre 1


Fundamentos de matemáticas

Tabla de contenido

Página

Introducción

1

Conceptos previos

1

Mapa conceptual

2

Logros

2

Expresiones algebraicas

2

Operaciones con polinomios

7

Adición de polinomios

7

Multiplicación de polinomios

8

División de polinomios

9

Cocientes y productos notables

11

Factorización

15

Actividad de trabajo colaborativo

20

Resumen

20

Bibliografía recomendada

21

Nexo

21

Seguimiento al autoaprendizaje

23

Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.

Fundamentos de matemáticas

Semestre 1


Fundamentos de matemáticas

Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C. Orientación a cargo de; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008

Semestre 1


Fundamentos de matemáticas

Introducción El planteamiento, análisis y solución de situaciones cotidianas de diferentes ciencias que involucran el manejo de variables, se facilita al enunciarlas haciendo uso de un lenguaje adecuado, gracias a las expresiones algebraicas. Por esta razón, otro conjunto que abordaremos es el conjunto de las expresiones algebraicas y nos apoyaremos en éstas para el desarrollo de las demás temáticas. Introducimos el concepto de polinomio, como un caso especial de expresión algebraica; también se define el concepto de término semejante y revisamos algunas de las operaciones más importantes entre los polinomios: adición, resta, producto y división. Trataremos algunas multiplicaciones y divisiones especiales, en las cuales se puede abreviar el proceso y dar la respuesta por simple inspección, como es el caso de los productos y cocientes notables. Posteriormente, se abordará la factorización como un proceso inverso de la multiplicación y por último, se estudiarán algunas aplicaciones en el manejo operatorio con las fracciones algebraicas.

Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos relacionados con la temática propuesta en este fascículo, se requiere que además de su auto motivación, buena disposición e interés personal recuerde lo siguiente: 1. ¿Qué son constantes y qué son variables? 2. ¿Cuándo se dice que dos cosas u objetos son semejantes? 3. Recuerde cómo se expresan las variables y las constantes

1 3 x 2 b) (−65,13)(26,11) + 12,09 c) 256,56 ÷ −2,12

4. Efectúe: a) 4,23x 3 − 2,05 x 3 +

Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas Mapa conceptual Fascículo 3 TÉRMINOS ALGEBRAICOS conforman

se efectúan

EXP. ALGEBRAICAS

POLINOMIOS

OPERACIONES

como

SUMA

RESTA

simplificando

MULTIPLICACIÓN

como los

TÉRMINOS SEMEJANTES

entre ellos

DIVISIÓN inversamente

como la

P. NOTABLES DIVISIÓN SINTÉTICA

D. CUBOS D. CUADRADOS

FACTORIZACIÓN por

CUADRADO PERFECTO como

SUMA CUBOS TRINOMIOS

FACTOR COMÚN Hernán A. Díaz G.

NO CUADRADO PERFECTO

Logros

Al finalizar el estudio del fascículo, el estudiante: ƒ ƒ ƒ ƒ

Identifica y simplifica términos semejantes. Realiza operaciones con polinomios. Aplica algunos conceptos algebraicos en situaciones contextuales. Identifica y expresa la factorización de diferentes expresiones

Expresiones algebraicas Una expresión en donde se combinan constantes y variables, las variables afectadas por exponentes con las diferentes operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, recibe el nombre de expresión algebraica; las constantes o parte numérica, están constituidas por números reales y las variables o parte literal, por las últimas letras del alfabeto.

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas Son expresiones algebraicas: 3x 2 + 5 y 3 3 3 4 3 2 3 x y + 2 x y + 25 , , 2 x 3 y 2 + 32 x 2 y 3 − 3 x 4 y 4 + 45,7 4 5x + 3 y

5x 2 y 3 −

Se ha repartido una suma de acciones entre tres personas; la segunda recibió b acciones más que la primera, la tercera c acciones más que la segunda. Expresar las acciones repartidas, siendo x la parte de las acciones que recibió la primera. Como x es la parte de acciones que recibió la primera persona y la segunda persona

recibió b acciones más que la primera, a la segunda le

corresponden: x + b acciones y como a la tercera persona le corresponden c acciones más que a la segunda, entonces a la tercera persona le corresponde: x + b + c acciones. También son expresiones algebraicas la definición de la gran mayoría de fórmulas que se utilizan en las diferentes ciencias.

La suma de los primeros n números naturales

x( x + 1) 2

El interés simple que se obtiene por colocar un capital durante un cierto tiempo

c ⋅t ⋅r 100

El espacio recorrido por una partícula que se mueve con m.u.a (Movimiento uniforme acelerado) v0 ⋅ t +

1 2 at 2

La hipotenusa en un triángulo rectángulo

c12 + c 22

Cuando en una expresión algebraica reemplazamos cada una de las variables por un valor particular, se crea una expresión numérica que tiene como resultado un número real, entonces decimos que se ha obtenido el valor numérico de la expresión. Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas

Ejemplo A. Una empresa ha determinado que los costos totales para uno de sus productos se calcula con la expresión 0,008q 3 − 0,002q 2 + 3q + 5000 , ¿cuál es el costo de producir los primeros 20 artículos?. Reemplazamos en la expresión q por 20, es decir hacemos q =20 0,008(20)3 − 0,002(20)2 + 3(20) + 5000= 0,008⋅ 8000− 0,002⋅ 400+ 60 + 5000= 64 − 0,8 + 5060= 5123,2

Dentro de las expresiones algebraicas se encuentran aquellas expresiones donde únicamente se combinan la multiplicación con la potenciación de las variables afectadas por enteros positivos, llamadas términos o monomios. La parte numérica recibe el nombre de coeficiente y las variables se denominan parte literal. Cuando formamos una expresión mediante la suma o resta de dos términos, le decimos binomio y si tiene tres términos se denomina trinomio.

P ( x) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n , donde los coeficientes

b0 , b1 ,...bn son

números reales y los exponentes son enteros positivos. Esto es un polinomio en la variable x y si bn ≠ 0 el grado del polinomio es n. El grado

Polinomio: Una expresión que tenga más de dos términos recibe en general el nombre de polinomio. Los polinomios forman un subconjunto de las expresiones algebraicas.

de un término es el exponente al cual se haya elevado la variable, si el término tiene dos o más variables, el grado es la suma de los exponentes. El grado del polinomio es el mayor de los grados entre los términos. Ejemplo 2 x 3 y 2 + 32 x 2 y 3 − 3 x 4 y 5 + 45,7 es un polinomio de cuatro términos en las

variables x e y de grado 9, tiene grado 4 con respecto a x y grado 5 con respecto a y. Los dos primeros términos son de grado 5 y el cuarto término es de grado cero.

7 4 x − 2 2 x 3 + x es un trinomio de grado 4 5

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas 4 x 3 z 5 − 23 x 2 z 5 −

2x + 7 no es un polinomio ya que los exponentes de las 3z 2

variables no son enteros positivos.

x 4 − 81 es un binomio de grado 4, el segundo término se llama término independiente.

Cuando dos términos tienen las mismas variables y afectadas por los mismos exponentes se dice que los términos son SEMEJANTES, usualmente si en una expresión existen términos que sean semejantes estos se deben simplificar, es decir, reducirlos a uno sólo.

Cuando en un término sólo hay parte literal su coeficiente es uno

x 2 y 2 = 1x 2 y 2 Para simplificar términos semejantes efectuamos la suma o resta indicada entre sus coeficientes.

3 El término 5,72m 2 n 3 es semejante con − m 2 n 3 se recogen o simplifican 4 como 4,97m 2 n 3 . 4 2a 4 b 3 no es semejante con el término 5 2a 3 b 4 ya que los exponentes

de las variables son diferentes

Utilizamos los signos de agrupación para enunciar como una sola expresión varios términos. El principio básico de la colocación de signos de agrupación es la propiedad distributiva de la multiplica-ción con respecto a la suma y la resta, y por ende la ley de signos. Para colocar u omitir un signo de agrupación precedido de signo menos (–) se cambian los signos de los términos agrupados y si está precedido de signo más (+) no cambian los signos de los términos agrupados.

Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas Simplifiquemos los términos que sean semejantes:

5 7 2 A.- 4 x 2 y 3 − xy 2 − 5 + xy 2 + 3x 2 y 3 − 11 = 7 x 2 y 3 + xy 2 − 16 3 3 3 4 x 2 y 3 + 3x 2 y 3 = 7 x 2 y 3 5 7 2 − xy 2 + xy 2 = xy 2 3 3 3 − 5 − 11 = −16

B.-

17,42m 3 n − 5,24m 2 n 3 + 2 3m 2 n 2 − 11 3m 2 n 2 + 5,13m 2 n 3 + 4,13m 3 n = 21,55m 3 n − 0,11m 2 n 3 − 9 3m 2 n 2 17,42m 3 n + 4,13m 3 n = 21,55m 3 n − 5,24m 2 n 3 + 5,13m 2 n 3 = −0,11m 2 n 3 2 3m 2 n 2 − 11 3m 2 n 2 = −9 3m 2 n 2 C.{−2x −[9(x +5) −7] −[4(x −12) +9]} ={−2x −[9x + 45−7] −[4x − 48+ 9]} ={−2x −[9x + 38] −[4x −39] = − 2 x − 9 x − 38 − 4 x + 39 = −15 x + 1

3.1

1. De un lote de producción de 32 artículos, se sacan primero x artículos y 3 más, la segunda vez se saca el doble de lo que se había sacado antes y 4 más. Escribir un polinomio en la forma más simple que exprese los artículos que quedan.

2. Encontrar el interés simple (I ) que paga un capital ( c ) de $ 200.000 a una tasa de (r) de 0.18 por un período (t ) de tres años usando la fórmula I = c.r.t 3. Simplifique o reduzca los términos que sean semejantes. x – {x – 1 – [x – 2 – (x – 3 – {x – 4 – [x – 5 – (x – 6)]})]}

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas Operaciones con polinomios Los polinomios, y las operaciones que realizamos con ellos, son los conceptos más utilizados en el desarrollo de las matemáticas y su aplicación es significativa frente a situaciones especiales en otras ciencias. Los principios operatorios y las propiedades estudiadas en el conjunto de los números reales, las aplicamos de forma generalizada en las operaciones con polinomios.

Adición de polinomios El proceso de adición o suma de polinomios consiste en omitir los signos de agrupación, si los hay, para posteriormente reducir o simplificar los términos que sean semejantes. Ejemplo

1 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ A. Efectuar: ⎜ 5 z 2 y 3 − z 3 y 2 − + z 2 y 2 ⎟ − ⎜ 7 z 2 y 3 + 0,53 z 3 y 2 + − 2 z 2 y 2 ⎟ = 4 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 z 2 y 3 − 7 z 2 y 3 = −2 z 2 y 3 −

1 3 2 z y − 0,53z 3 y 2 = −0,25 z 3 y 2 − 0,53z 3 y 2 = −0,78 z 3 y 2 4

1 1 2 − − =− 3 3 3 z 2 y 2 + 2 z 2 y 2 = 3z 2 y 2 El resultado es: − 0,78 z 3 y 2 − 2 z 2 y 3 + 3z 2 y 2 −

2 3

B. De la suma de: 3w 4 m 4 − 5 2 w 3 m 3 − 3wm 2 + 13 con 7 2 w 3 m 3 − wm 2 − 7 restar 2 w 4 m 4 + 3 2 w 3 m 3 + 11 . Cambiamos los signos de los términos de la expresión que hay que restar y reducimos o simplificamos los términos semejantes.

Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas 3w 4 m 4 − 2w 4 m 4 = w 4 m 4 5 2w3 m 3 + 7 2w3 m 3 − 3 2w3 m 3 = − 2w3 m 3

− 3wm 2 − wm 2 = −4wm 2 13 − 7 − 11 = −5

El resultado es: w 4 m 4 − 2 w 3 m 3 − 4 wm 2 − 5

Carina entra en una tienda y le dice al tendero que le venda la mitad de una cierta cantidad de huevos que éste tiene en unas cubetas más medio huevo más, el tendero atiende su pedido; luego, entra Camilo y le dice que le venda la mitad de los huevos que aún le quedan en las cubetas más medio huevo más, el tendero atiende su pedido, por último entra Heidy y ordena la mitad de los huevos que aún le quedan en las cubetas más medio huevo más, su pedido es atendido, sin embargo aún quedan 3 huevos. ¿Cuántos huevos había al comienzo en las cubetas?

Multiplicación de polinomios Multiplicar dos o más polinomios consiste en aplicar la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y resta, y de las bases con respecto a los exponentes y viceversa. Por último, se simplifican los términos que sean semejantes.

Ejemplo A. Efectuar:

5 2⎞ ⎛ 2 3 2 2 3 ⎜ 6m − 4,02mn − n ⎟(2m − 3n ) = 12m − 26,04m n + 7,06mn + 7,5n 2 ⎠ ⎝

(6m )(2m) = 12m 2

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas

(6m )(− 3n) = −18m n

⎫⎪ = −26,04m 2 n 2 ⎬ (− 4,02mn )(2m ) = −8,04m n⎪⎭ 2

2

(− 4,02mn )(− 3n ) = 12,06mn 2 ⎫⎪ 2 ⎬ = 7,06mn 2 2 ⎪⎭ (− 2,5n )(2m) = −5mn

(− 2,5n )(− 3n ) = 7,5n 2

3

B. (3x − 2 )(2 x + 1) = 6 x 2 + 3x − 4 x − 2 = 6 x 2 − x − 2 C. (7 x − 1)(7 x + 1) = 49 x 2 + 7 x − 7 x − 1 = 49 x 2 − 1

División de polinomios La división está íntimamente relacionada con la multiplicación pues son operaciones inversas. Al dividir un polinomio P(x) llamado Dividendo por

La división consiste en determinar cuántas veces se puede restar del dividendo el divisor, por eso en una división se resta sucesivamente.

un polinomio Q(x) llamado Divisor se obtiene un polinomio C (x) llamado Cociente tal que P( x) = Q( x) ⋅ C ( x) + R( x) , (algoritmo de la división), donde

R(x) es el residuo. Para dividir dos polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma y resta, y de las bases con respecto a los exponentes y viceversa; en el proceso se van simplificando los términos que sean semejantes. Ejemplo A. 15 x 3 + 4 x 2 y + 17 xy 2 + 14 y 3 ÷ 3 x + 2 y = 5 x 2 − 2 xy + 7 y 2

15 x 3 − 15 x 3

+ 4 x 2 y + 17 xy 2

+ 14 y 3

− 10 x 2 y

3x + 2 y 5 x 2 − 2 xy + 7 y 2

− 6 x 2 y + 17 xy 2 6x 2 y

+ 4 xy 2 + 21xy 2

+ 14 y 3

− 21xy 2

− 14 y 3

La división es exacta y por lo tanto su residuo es cero. Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas B. 20 x 2 − 6 x − 5 ÷ 4 x − 2 = 5 x + 1

20 x 2 − 6 x − 5 − 20 x 2 + 10 x

4x − 2 5x + 1

4x − 5 − 4x + 2

−3 La división es inexacta su residuo es − 3 .

Tomemos el polinomio en la variable x P(x) de grado n y b un número real. Si P (b) = 0 decimos que b es una solución de la ecuación polinómica P ( x) = 0 . También decimos entonces que

x − b es un factor o divisor de P(x) . Luego P ( x) = Q ( x)( x − b ) donde Q(x) es un polinomio de grado n − 1 . Podemos escribir el polinomio P(x) en forma extendida

mediante el algoritmo de la división.

P ( x) = ( x − b )Q( x) + R( x) . Si calculamos el polinomio en x = b tenemos

P (b) = (b − b )Q( x) + R ( x) P(b) = R( x)

Luego el residuo de dividir calculando P(x) en x = b

P(x) por

(x − b ) se

obtiene

3.2

1. Halle el resultado de efectuar:

1 3 (− m2n3 + 3,7mn2 −3mn−12,3) − ( mn2 − 2,75m2n3 + 4mn+ 5) + (2,3m2n3 + 5mn− 7) 2 4 4 3 2 3 . De la suma de − z w + 2 zw − 3w + 43 con − z 2 w 3 − 5 zw + 4 w − 17 4 2 3 restar 2,25 z w + 3 zw − 2 w + 3 . Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas

(

)

3. Obtenga el producto : 11z 2 − 2 zw + 4 w 2 (2 z − 3w) . 4. Efectúe: ( 54 x 2 − 1)( 54 x 2 − 1) . 5. Hallar el área de una región cuadrangular que tiene de lado 8 x 2 + 7 6.- Encuentre el área de una región rectangular de largo 5 x + 2 y de ancho 3 x + 1 7.- Efectúe el proceso de dividir 64 x 4 + 112 x 2 + 52 entre 8 x 2 + 7 8.- Determine el residuo de dividir el polinomio P ( x) = 7 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 13 entre x − 2 .

Cocientes notables Un cociente notable es una división donde podemos dar el resultado por simple inspección, es decir abreviando el proceso. Tenemos los si-guientes: A. Diferencia de potencias iguales: se presentan las opciones i) Si las potencias son pares siempre son divisibles por la diferencia de sus bases, como se observa a continuación: xn − yn = x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 + K + xy n − 2 + y n −1 x− y

Ejemplo

z 6 − m6 = z 5 + z 4 m + z 3 m 2 + z 2 m 3 + zm 4 + m 5 z−m

ii) Si las potencias son pares siempre son divisibles por la suma de sus bases. xn − yn = x n −1 − x n − 2 y + x n −3 y 2 − K + xy n − 2 − y n −1 x+ y

Ejemplo

h4 − a4 = h 3 − h 2 a + ha 2 − a 3 h+a

Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas iii) Si las potencias son impares siempre son divisibles por la diferencia de sus bases, así: xn − yn = x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 + K + xy n − 2 + y n −1 x− y

Ejemplo

z 5 − w5 = z 4 + z 3 w + z 2 w 2 + zw 3 + w 4 z−w B. Suma de potencias iguales: se presentan las opciones. i) Si las potencias son pares no es divisible ni por la suma, ni por la diferencia de sus bases. xn + yn no es divisible x± y

ii) Si las potencias son impares es siempre divisible por la suma de sus bases. xn + yn = x n −1 − x n − 2 y + x n −3 y 2 − K − xy n − 2 + y n −1 x+ y

Ejemplo x3 + y3 = x 2 − xy + y 2 x+ y

Los cocientes notables dan lugar a productos notables, al expresarlos como una multiplicación del divisor por el cociente.

Productos notables Algunas multiplicaciones especiales en las cuales el proceso se puede abreviar, es decir cuyo resultado se puede dar por simple inspección, reciben el nombre de productos notables. Entre ellos.

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas A. Producto de binomios de los cuales los más destacados son: i) Producto de binomios iguales. El producto de dos binomios iguales, es decir, un binomio al cuadrado siempre es igual a un trinomio cuadrado perfecto, el cual se abrevia como los cuadrados de los dos términos y el doble producto dichos términos. Ejemplo

(4z m+ 5y)(4z m+ 5y) = (4z m+ 5y) = (4z m) + 2[(4z m)(5y)]+ (5y) 2

2

2

2

2

2

(9x −11y ) = (9x −11y )(9x −11y ) = (9x) 2 2

2

2

2

2

[ (

)] (

2

− 2 (9x) 11y 2 + 11y 2

= 16z 4m2 + 40z 2my+ 25y2

)

2

= 81x 2 − 198xy2 + 121y 4

(7 w − 3m )2 = 49w 2 − 42wm + 9m 2 ii) Producto de binomios conjugados. Dos binomios son conjugados cuando sólo difieren en el signo que separa sus términos y su producto se abrevia como la diferencia de sus cuadrados. Ejemplo

(13w + 4m )(13w − 4m ) = (13w) − (4m ) 2

(3 4 hq (10 z

2

3

)(

2 2

2

2

) (

− 5 p 3 hq 3 + 5 p = 3 hq 3 4 4

)(

= 169w 2 − 16m 4

) − (5 p ) 2

2

=9

16

h 2 q 6 − 25 p 2

)

+ 1 10 z 2 − 1 = 100 z 4 − 1

iii) Producto de dos binomios de la forma

(mx + p )(nx + q ) ,

donde

m, n, p, q , son enteros. Un producto de esta forma siempre tiene como resultado

un

trinomio

de

la

forma

ax 2 + bx + c ,

donde

m ⋅ n = a, (m ⋅ q + p ⋅ n) = b, p ⋅ q = c Ejemplo

(3w + 4)(5w − 1) = 15w 2 − 3w + 20w − 4 = 15w 2 + 17 w − 4 (2 x − 5)(7 x + 2) = 14 x 2 − 31x − 10 , − 31x = 4 x − 35 x

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17

Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas Puede suceder que m = 1 y n = 1

(z − 7 )(z + 3) = z 2 − 4 z − 21

(y

2

)(

)

+ 8 y 2 − 3 = y 4 + 5 y 2 − 24

iv) Producto de la forma (x − y )( x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 + K + xy n −2 + y n −1 ) . Un producto de esta forma siempre tiene como resultado una diferencia de potencias iguales impares x n − y n , siendo n impar. Ejemplo

(3z − 7m )(81z 4 + 189 z 3 m + 441z 2 m 2 + 1029 zm 3 + 2401m 4 ) = 243z 5 − 16807m 5 v) Producto de la forma (x + y )( x n −1 − x n − 2 y + x n −3 y 2 − K + xy n − 2 − y n −1 ) . Un producto de esta forma siempre tiene como resultado una suma de potencias iguales impares x n + y n , siendo n impar Ejemplo

(5 z + 2v )(25 z 2 − 10 zv + 4v 2 ) = 125 z 3 + 8

3.3

1.- Obtenga el producto por simple inspección: i) ii) iii) iv)

( x m − 2 w) ( q n + 1)( q n − 1) 7 11

6 5

2

2

3

3

6 5

(z − 13)(z + 12) (7 x − 2)(8 x + 1)

(

)

v) 9m 2 + 24mn + 64n 2 (3m − 8n )

(

vi) (6 x + 5) 36 x − 30 x + 25 2

)

2.- Hallar el área de una región cuadrangular que tiene de lado

Fundamentos de matemáticas

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7 2 h −1 4

Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas 3.- Obtenga el cociente por simple inspección: i) 32 z 5 − 243 ÷ (2 z − 3) ii)

( (625v (343x

)

)

− 16m 4 ÷ (5v + 2m ) 3 + 8 p 3 ÷ (7 x + 2 p ) 4

)

iii) 4.- Encuentre el área de una región rectangular de largo m + 7 y de ancho m − 1

Factorización Anteriormente aplicamos el principio para multiplicar dos o más expresiones polinómicas, ahora desarrollaremos el proceso de devolvernos, es decir, buscamos las expresiones que multiplicadas nos dan la expresión inicial. Así pues, el proceso de hallar los factores de dicha expresión recibe el nombre de factorización. Si tenemos las expresiones P ( x), Q( x), R( x) donde P( x) = Q( x) ⋅ R( x) se dice que Q( x) y R( x) son factores de P( x) y Q( x) ⋅ R( x) su factorización. Por ser la factorización un proceso inverso a la multiplicación cada producto notable da lugar a un caso. i) Factorización por factor común: consiste en devolvernos en la propiedad distributiva, hallamos el factor común como primer factor y luego la expresión por la cual hay que multiplicar el factor común para que de cada término de la expresión inicial. Ejemplo Factorizar la expresión:

28w 4 m 3 − 35w 3 m 2 + 21w 3 m 3 − 7 w 2 m 2 = (7 w 2 m 2 )(4 w 2 m − 5w + 3wm − 1) (7 w 2 m 2 )(4 w 2 m) = 28w 4 m 3 ; (7 w 2 m 2 )(−5w) = −35w 3 m 2 ; (7 w 2 m 2 )(3wm) = 21w 3 m 3 ; (7 w 2 m 2 )(−1) = −7 w 2 m 2 ii) Factorización de una diferencia de cuadrados: consiste en devolvernos en el producto de dos binomios conjugados, hallamos las raíces de

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas cada uno de los cuadrados y en un factor se escribe un binomio y en el otro su conjugado. Ejemplo Expresar en factores: 169m 2 −

4 2 ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ y = ⎜13m + y ⎟⎜13m − y ⎟ 9 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝

iii) Factorización de trinomios cuadrados perfectos: consiste en devolvernos en el producto de dos binomios iguales. Inicialmente se comprueba si es un Trinomio Cuadrado Perfecto (dos cuadrados diferentes y el doble producto de sus bases), luego se establece como el producto de dos binomios iguales, es decir un binomio al cuadrado. Ejemplo Descomponer en factores la expresión:

(

)(

) (

x 49 x 2 y 4 − 140 xyz 2 + 25 z 4 = 7 xy 2 − 5 z 2 7 xy 2 − 5 z 2 = 7 xy 2 − 5 z 2

(

(7 xy 2 ) 2 = 49 x 2 y 4 ; − 5 z 2

)

2

[(

)

2

)]

)(

= 25 z 4 ; 7 xy 2 − 5 z 2 2 = −140 xy 2 z 2

iv) Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c , donde a, b, c son números enteros: consiste en devolvernos en el producto de dos binomios de la forma (mx + p )(nx + q ) .

Expresamos el trinomio

ax 2 + bx + c =

(ax + p )(ax + q ) , a

se multiplicó

inicialmente por a pero a su vez, se divide por a , el signo de b se coloca en el primer paréntesis y en el segundo, se ubica el signo del producto, del signo de b por el de c , buscando luego dos números enteros p y q donde su producto sea igual a por c , es decir p ⋅ q = a ⋅ c y su suma o resta igual a b ,es decir p ± q = b , por último se simplifica.

Ejemplo Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas Expresar en factores: 6x

2

(1 6 x − 10 )(6 x + 3) 424 3 123 ( 6 x − )(6 x + ) mitad tercera = (3 x − 5)(2 x + 1) − 7x − 5 = = 2⋅3

6

Descomponer: m 2 − 2m − 35 =

(1m − )(1m + ) = (m − 7 )(m + 5) donde 1

a =1

Los cocientes notables dan lugar a casos de factorización, al expresarlos como una multiplicación del divisor por el cociente.

v) Factorización de diferencias de potencias iguales impares x n − y n , siendo n impar: consiste en devolvernos en el producto de

la

forma (x − y )( x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 + K + xy n −2 + y n −1 ) .Hallamos la diferencia de las raíces n − ésimas como primer factor y con ellas obtenemos el otro factor. Ejemplo

(

)(

Factorizar: 343m 3 w 6 − 8 = 7mw 2 − 2 49m 2 w 4 + 14mw 2 + 4 3

(

343m 3 w 6 = 7mw 2 ; 3 8 = 2 ; 7mw 2

)

2

)

= 49m 2 w 4 ; 2 2 = 4 ; (7mw 2 )(2) = 14mw 2

vi) Factorización de sumas de potencias iguales impares x n + y n , siendo n impar: consiste en devolvernos en el producto de

la forma

(x + y )( x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − K + xy n−2 − y n−1 ) .Hallamos la suma de las raíces n − ésimas como primer factor y con ellas obtenemos el otro factor. Ejemplo

(

Factorizar: 1 − 512 y 3 = (1 − 8 y ) 1 − 8 y + 64 y 2 3

)

1 = 1 ; 3 512 y 3 = 8 y ;12 = 1 ; (8 y ) = 64 y 2 ; 1 ⋅ 8 y = 8 y 2

3.4

1.- Descomponer en factores: i) 25m 4 w 4 − 15m 3 w3 + 10m 3 w 2 − 5m 2 w 2 ii) 625m 4 − 1 iii) 169m 4 n 2 − 182m 2 nz + 49 z 2 iv) 12 z 2 − 5 z − 3 Fascículo No. 3 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas v) w 4 − w 2 − 20 2.- Halle los factores de: i) 64 y 3 + 1000 z 3 ii) 729 x 6 − 1 3.- Una región cuadrangular tiene de área 16 x 2 − 8 x + 1 ¿cuál es la longitud que tiene de lado?. 4.- El área de una región rectangular es m 2 + 2m − 63 ¿cuál es su largo y su ancho respectivamente?.

Aplicaciones Podemos hacer algunas aplicaciones de lo anterior para realizar operaciones con fracciones algebraicas como suma, multiplicación y división. También se pueden efectuar aplicaciones en la potenciación y radicación; dentro de la radicación existe una aplicación llamada racionalización.

Ejemplos A.

2 x 3x + 5 4 x − 4 2 x − 3x − 5 + 4 x − 4 3x − 9 3( x − 3) − + = = = =3 x −3 x −3 x−3 x −3 x−3 x −3

B. x x 3x 1 3x 1 3x(x −1) − x(x +1) +1 3x2 − 3x − x2 − x +1 = = − + 2 = − + = (x −1)(x +1) (x −1)(x +1) x +1 x −1 x −1 x +1 x −1 (x −1)(x +1)

2x 2 − 4x + 1 x2 −1 C. ⎛ x2 − 4 ⎞⎛ 27x3 + 8 ⎞⎛ x2 − 9 ⎞ [(x − 2)(x + 2)] (3x + 2)(9x2 − 6x + 4) [(x − 3)(x + 3)] ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⋅ ⋅ = [(x + 3)(x + 2)] (9x2 − 6x + 4) ⎝ 3x +11x + 6 ⎠⎝ x + 5x + 6 ⎠⎝ 9x − 6x + 4 ⎠ [(3x + 2)(x + 3)]

[

]

(x − 2)(x − 3) (x + 3) D.

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas ⎛ 25w 2 − 1 ⎞ ⎛ 5w 2 + 4 w − 1 ⎞ [(5w − 1)(5w + 1)] [(w − 1)(w + 1)] (5w + 1)(w − 1) ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ = 2 ⎝ w + 3w + 2 ⎠ ⎝ w − 1 ⎠ [(w + 2)(w + 1)] [(5w − 1)(w + 1)] (w + 2 )(w + 1)

Racionalizar el numerador o el denominador de una expresión donde aparecen radicales, es hallar una expresión equivalente donde ya no aparecen radicales (cantidades irracionales), para ello se multiplica tanto el numerador como el denominador por una expresión apropiada.

E. Racionalizar el denominador:

F. Racionalizar el numerador:

3 23 x

=

x −3 = 2x

3 23 x

(

3

x2

3

x2

)(

=

33 x 2 23 x 3

)

=

33 x 2 2x

x −3 x +3 x −9 = (2 x ) x + 3 2x x + 3

(

)

(

)

Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. El área de una región rectangular es w2 − 7 w + 12 ¿cuál es el largo y el ancho de dicha región?. 2. Factorizar 14 x 2 − 13x − 2 . 3. Si la expresión que modela el precio de un artículo para un productor es: 13q 2 + 25 , ¿cuál es la expresión que representa el ingreso para el producto de ese fabricante? 4. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía y la administración en donde se apliquen los fundamentos algebraicos.

Otro de los tantos conjuntos importantes a los que podemos hacer alusión, Fascículo No. 3 Semestre 1

23

Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas es el conjunto de las expresiones algebraicas con las cuales iniciamos este fascículo. Una expresión algebraica es la combinación de constantes y variables (afectadas de exponentes) con las operaciones más conocidas. Dentro de las expresiones algebraicas están los polinomios, los cuales de acuerdo al número de términos pueden ser: monomios, binomios, trinomios, tetranomios etc. Se trataron los términos semejantes y su reducción o simplificación, posteriormente, con los polinomios realizamos las operaciones de suma y resta, para las cuales basta con omitir los signos de agrupación y simplificar los términos que sean semejantes. La multiplicación y la división de polinomios se basan en la propiedad distributiva y la simplificación de términos semejantes. A continuación, se presentaron una serie de divisiones y multiplicaciones en las cuales se puede abreviar el proceso de desarrollo, llamado cocientes y productos notables. Posteriormente, como proceso inverso de la multiplicación, se abordó la factorización y algunas aplicaciones en operaciones con fracciones algebraicas, como suma, resta, multiplicación, división y racionalización.

Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001. Soo tang tan. Matemáticas para administración y economía. Internacional THOMPSON. 1999 Smith Charles Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.1992 Laurence D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración,

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001 Francisco Soler, Reinaldo Nuñez, Moisés

Aranda. Fundamentos de

cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002 Bittinger. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial addison Wesley. Septima edición Frank S. Budnick. Matemáticas aplicadas para Administración, economía y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998

En el siguiente fascículo estudiaremos las ecuaciones lineales

y los

sistemas de ecuaciones lineales. Se determinarán las condiciones para su solución y se definirán los sistemas consistentes e inconsistentes. Se presentarán los métodos usuales de solución de los sistemas, en donde el estudiante debe emplear claramente los principios operatorios con las expresiones algebraicas y los polinomios.

Fascículo No. 3 Semestre 1

25

Fundamentos de matemáticas


Fundamentos de matemáticas

Seguimientoal autoaprendizaje Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 3 Nombre______________________________________________________ _ Apellidos

_______________________________

Fecha:

_________________ Ciudad_________________________________

Semestre:

_______________ 1. El costo de operación de un automóvil a una velocidad v, está dado en forma aproximada por el polinomio 0.005v 2 − 0.35v + 10 (costo en miles por kilómetro, velocidad (v) en km / h ). Encontrar el costo de operación de un automóvil a 50 km / h 2. Una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de cartón de 12 pulgadas de lado. Se cortan cuadrados de lado x en las esquinas, y los lados se doblan hacia arriba. Hallar una expresión algebraica para el volumen y otra para el área superficial de la caja.

(

)(

)

3. Al efectuar el producto 2 x + 5 y 2 4 x 2 − 10 xy + 25 y 4 por simple inspección se tiene:

(

A. 6 x 3 + 30 y 3 B. 2 x − 5 y 2

)

3

(

C. 8 x 3 + 125 y 6 D. 2 x + 5 y 2

)

2

4. Si el largo de una región rectangular es 5w + 3 y su ancho 3w − 5 , ¿cuál es el área de la región?. Preguntas de selección múltiple con respuesta múltiple Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras a, b, c, d. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.

Fundamentos de matemáticas

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Fascículo No. 3 Semestre 1


Fundamentos de matemáticas Si a y b son correctas, marca la respuesta Si b y c son correctas, marca la respuesta Si c y d son correctas, marca la respuesta Si b y d son correctas, marca la respuesta

A B C D

5. El área de una región rectangular es de 25a 2 − 49 y se tienen las expresiones: a. a − 7 b. 5a + 7 c. 25a + 49 d. 5a − 7 ¿El largo y el ancho que corresponden respectivamente a la región son ? A.

B.

C.

D.

6. Factorizar x 2 + xy − zy 2 − xyz 7. El área de una región cuadrangular es: 4 x 2 − 20 x + 25 ¿Cuánto tiene de lado dicha región?.

7 x 9 x − 1 3x − 4 + − x −5 x −5 x −5 2x − 3 1 x +1 + 2 − ii) x − 2 x − 5x + 6 x − 3

8. Efectuar: i)

(125x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (7 x − 7 x ) (x − 1) (25x − 1) (25x + 5x + 1) 3

9. Efectuar:

10. Efectuar:

2

(3x

2

2

)

+ 9 x x 2 + 10 x + 21 ÷ x − 15 x 2 − 225

11. Racionalizar

Fascículo No. 3 Semestre 1

2

2

1 m− n

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Fundamentos de matemáticas


Fasciculo 3